JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं :
(i) 7 सेमी,
(ii) 0.63 मीटर।
हल:
(i) गोले की त्रिज्या (r) = 7 सेमी

∴ गोले का आयतन = 1437.33 घन सेमी।

(ii) गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मीटर
∴ गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.63)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 घन मीटर
= 1.047816 घन मीटर।
= 1.05 घन मीटर लगभग
अतः गोले का आयतन = 1.05 घन मीटर (लगभग)।

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्नलिखित हैं:
(i) 28 सेमी,
(ii) 0.21 मीटर
हल:
(i) गोले का व्यास = 28 सेमी
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गोले का आयतन

अतः गोला पानी हटाएगा = 11,498.67 घन सेमी।

(ii) गोले का व्यास = 0.21 मीटर
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{0.21}{2}\) मीटर
= 0.105 मीटर
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन =
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.105)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.0011576 घन मीटर
= 0.004851 घन मीटर लगभग
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 घन मीटर लगभग।

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
गेंद का व्यास = 4.2 सेमी
∴ गेंद की त्रिज्या (r) = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 सेमी
∴ गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^3\) घन सेमी
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 4 × 22 × 0.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 38.808 घन सेमी
∴ गेंद का द्रव्यमान = गेंद का आयतन × गेंद की धातु का घनत्व
= 38.808 घन सेमी × 8.9 ग्राम/घन सेमी
= 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम लगभग
अतः गेंद का द्रव्यमान = 345.39 ग्राम (लगभग)।

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल:
माना पृथ्वी का व्यास 4D मीटर है।
∴ पृथ्वी की त्रिज्या (R) = 2D मीटर
प्रश्नानुसार, चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) पृथ्वी का व्यास
∴ चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) × 4D = D मीटर
∴ चन्द्रमा की त्रिज्या r = \(\frac{D}{2}\) मीटर

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्द्ध-गोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल:
कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी
∴ कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{10.5}{2}\) सेमी
= \(\frac{105}{20}\) सेमी = \(\frac{21}{4}\) सेमी
अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन

= 303.1875 घन सेमी = 303 घन सेमी
= \(\frac{303}{1000}\) लीटर (क्योंकि लीटर 1000 घन सेमी)
= 0.303 लीटर
अतः कटोरे में 0.303 लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अर्द्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या = R
तथा भीतरी त्रिज्या = r
R = (1 + 0.01) मी., (मोटाई = 1 सेमी = 0.01 मीटर)
= 1.01 मी.
और r = 1 मीटर
टंकी में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाहरी आयतन – भीतरी आयतन

अतः टंकी में लगे लोहे का आयतन = 0.06348 मीटर³।

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सेमी

अतः गोले का आयतन लगभग 179.67 घन सेमी

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल:
(i) ₹2 प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय = ₹ 498.96
∴ गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{498.96}{2}\) मी²
= 249.48 मीटर²।
(ii) अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= \(\frac{9 \times 7}{10}\) = \(\frac{63}{10}\)
अब गुम्बद का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10}\) मी³
= 523.908 मीटर2 523.9 लगभगं
अतः गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन = 523.9 मीटर³ (लगभग)।

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठ का क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल:
(i)… गोले की त्रिज्या और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तब
S = 4πr2 …..(1)
और गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\) πr³
∴ सभी 27 गोलों का आयतन (V’) = 27 × \(\frac{4}{3}\) πr³
= 36πr³
∴ नव निर्मित गोले का आयतन = 36πr³
∵ नव निर्मित गोले की त्रिज्या r’ है अतः इस गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr’³
तब, \(\frac{4}{3}\) πr’³ = 36πr³ ⇒ r’³ = 27r³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
अतः नव निर्मित गोले की त्रिज्या 3r है (जहाँ r गोलों की त्रिज्या है)।

(ii) नव निर्मित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ = 4πr’²
= 4π(3r)²
∴ S’ = 36πr² …..(2)
समीकरण (1) व (2) से.
अपेक्षित अनुपात = \(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
अपेक्षित अनुपात = 1 : 9.

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल:
कैपसूल का व्यास = 3.5 मिमी
∴ कैप्सूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मिमी
= \(\frac{35}{20}\) मिमी = \(\frac{7}{4}\) मिमी
∴ कैप्सूल का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) मिमी³
= \(\frac{539}{24}\) मिमी³
= 22.46 मिमी³ (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए दवाई की आवश्यकता होगी = 22.46 मिमी³।