JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्न आकृतियों में दए गए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 1a
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 2a
हल:
(i) ΔABC तथा ΔPQR में,
∠A = ∠P (प्रत्येक 60°)
∠B = ∠Q (प्रत्येक 80°)
∠C = ∠R (प्रत्येक 40°)
A-A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR

(ii) ΔABC तथा ΔQRP में,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 3a
S-S-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔQRP

(iii) ΔLMP तथा ΔDEF में,
\(\frac{M P}{D E}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{P L}{D F}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{L M}{E F}=\frac{2.7}{5}=\frac{27}{50}\)
यहाँ \(\frac{M P}{D E}=\frac{P L}{D F} \neq \frac{L M}{E F}\)
∵ दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में नहीं हैं।
∴ दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv) ΔMNL तथा ΔQPR में,
\(\frac{M L}{Q R}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
∠M = ∠Q = 70°
\(\frac{M N}{P Q}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔMNL ~ ΔQPR

(v) ΔABC तथा ΔDEF में,
\(\frac{A B}{D F}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{B C}{E F}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
∠B ≠ ∠F [∵ ∠B अज्ञात है]
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(vi) ΔDEF में,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∵ ∠D + ∠E + ∠F = 180°
∴ 70° + 80° + ∠F = 180°
⇒ ∠F = 180° – 70° – 80°
∴ ∠F = 30°
ΔPQR में, ∠Q = 80°, ∠R = 30°
∵ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 80° – 30°
∴ ∠P = 70°
ΔDEF एवं ΔPQR से,
∠D = ∠P (प्रत्येक 70°)
∠E = ∠Q (प्रत्येक 80°)
∠F = ∠R (प्रत्येक 30°)
A-A-A समरूपता कसौटी में,
ΔDEF ~ ΔPQR.

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प्रश्न 2.
निम्न आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
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हल:
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
∵ DOB एक सरल रेखा है।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180°
⇒ ∠DOC = ∠180° – ∠COB
⇒ ∠DOC = 180° – 125°
∴ ∠DOC = 55°
अतः ∠DOC = ∠AOB = 55° (शीर्षाभिमुख कोण)

ΔDCO में,
∠D + ∠O + ∠C = 180°
⇒ 70° + 55° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 70° – 55°
∴ ∠C = 55°
अर्थात् ∠DCO = 55°
∵ ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
∴ ∠DCO = ∠OAB
(∵ दो समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं)
∠OAB = 55°
अतः ∠DOC = 55°
∠DCO = 55°
और ∠OAB = 55°

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) है।
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हल:
दिया है: ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD तथा उसके विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
उपपत्ति: AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण युग्म)
और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अब ΔAOB और ΔCOD में,
∠OAB = ∠OCD तथा ∠AOB = ∠COD
त्रिभुजों की समरूपता के उपगुणधर्म A-A से,
ΔAOB ~ ΔCOD
∴ \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
(भुजाओं की आनुपातिकता से) इति सिद्धम्।

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प्रश्न 4.
आकृति में \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।
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हल:
दिया है: दी गई आकृति में,
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2
सिद्ध करना है: ΔPQS ~ ΔTQR
उपपत्ति: ΔPQR में,
∠1 = ∠2 (दिया है)
∴ PR = PQ
(बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
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S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔPQS ~ ΔTQR इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
ΔPQR की भुजाओं PR और OR पर क्रमशः बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है।
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हल:
दिया है: ΔPQR की भुजाओं PR और OR पर क्रमश: S तथा T बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है।
सिद्ध करना है: ΔRPQ ~ ΔRTS
उपपत्ति: ΔRPQ और ΔRTS में,
∠P = ∠RTS
तथा ∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
त्रिभुजों की समरूपता के उपगुणधर्म AA से
ΔRPQ ~ ΔRTS इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।
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हल:
दिया है: दी गई आकृति में ΔABE ≅ ΔACD है।
सिद्ध करना है: ΔADE ~ ΔABC
उपपत्ति: ΔABE ≅ ΔACD (दिया है)
AB = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
और AE = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
\(\frac{A B}{A C}=1\) …(i)
तथा \(\frac{A D}{A E}=1\) …(ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से,
\(\frac{A B}{A C}=\frac{A D}{A E}\) ⇒ \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\)
ΔADE और ΔABC में,
\(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔADE ~ ΔABC इति सिद्धम्।

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प्रश्न 7.
आकृति में, ΔABC के शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं दर्शाइए कि :
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(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC
हल:
दिया है: ΔABC में AD और CE शीर्ष लम्ब हैं, जो बिन्दु P पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: (i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC
उपपत्ति: (i) ΔAEP और ΔCDP में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔAEP ~ ΔCDP

(ii) ΔABD और ΔCBE में,
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABD ~ ΔCBE

(iii) ΔAEP और ΔADB में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔAEP ~ ΔADB

(iv) ΔPDC और ΔBEC में,
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔPDC ~ ΔBEC इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।
हल:
दिया है: समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु हैं तथा BE भुजा CD को F बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: ΔABE ~ ΔCFB
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उपपत्ति: ΔABE और ΔCFB में,
∠A = ∠C
(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∵ AE || BC
तथा BE तिर्यक् रेखा है।
∠AEB = ∠CBF (एकान्तर कोण)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABE ~ ΔCFB इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
निम्न आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
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(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल:
दिया है:
ΔABC और ΔAMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं।
सिद्ध करना है:
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
उपपत्ति: (i) ΔABC और ΔAMP में,
∠A = ∠A (उभनिष्ठ)
∠B = ∠M (प्रत्येक 90°)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔAMP

(ii) ∵ ΔABC और ΔAMP समरूप त्रिभुज है।
∴ \(\frac{A C}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
(यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
अतः \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\) इति सिद्धम्।

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प्रश्न 10.
CD और GH क्रमश: ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ΔABC और ΔEFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :
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(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGE
हल:
दिया है: ΔABC तथा ΔFEG में, ZACB तथा ZEGF के समद्विभाजक CD तथा GH इस प्रकार है कि D, AB पर तथा H, FE पर स्थित है।
तथा ΔABC ~ ΔFEG
(i) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠CAB = ∠GEF
⇒ ∠CAD = ∠GFH …(i)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
⇒ ∠ACD = ∠FGH …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
ΔACD ~ ΔFGH (AA समरूपता से)
∵ दो समरूप त्रिभुजों की संगत गुजाएँ समानुपात में होती हैं।
अतः \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)

(ii) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠ABC = ∠FEG
⇒ ∠DBC = ∠HEG …(iii)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
ΔDCB = ΔHGE … (iv)
समीकरण (iii) और (iv) से,
ΔDCB ~ ΔHGE (AA समरूपता से)

(iii) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠CAB = ∠GFE
⇒ ∠CAD = ∠GFH
⇒ ∠DAC = ∠HFG ….(v)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
⇒ ∠DCA = ∠HGF …(vi)
समीकरण (v) और (vi) से,
ΔDCA ~ ΔHGF (AA समरूपता से)

प्रश्न 11.
निम्न आकृति में, AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है।
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हल:
दिया है: एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है, जिसमें AB = AC है तथा CB को E बिन्दु तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि EF ⊥ AC और AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है: ΔABD ~ ΔECF
उपपत्ति: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (दिया है)
∴ AB = AC
तथा ∠B = ∠C
(त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब ΔABD और ΔECF में,
∠ABD = ∠ECF (ऊपर सिद्ध किया है)
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∴ A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABD ~ ΔECF इति सिद्धम्।

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प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं ΔABC ~ ΔPQR है।
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हल:
दिया है:
ΔABC तथा ΔPQR दो त्रिभुज हैं जिनमें AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अर्थात् BD =\(\frac{1}{2}\)BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\)QR
तथा \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\) है …(i)
सिद्ध करना है: ΔABC और ΔPQR समरूप हैं।
उपपत्ति: \(\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\) (दिया है)
\(\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{A D}{P M}\)
[∵ BD = \(\frac{1}{2}\)BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\)QR]
\(\frac{B D}{Q M}=\frac{A D}{P M}\) … (ii)
अब ΔABD तथा PQM में,
समी. (i) व (ii) से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}=\frac{A D}{P M}\)
ΔABD ~ ΔPQM
∴ ∠B = ∠Q
ΔABC तथा ΔPQR में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समी. (i) से]
∠B = ∠Q
∴ S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है।
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हल:
दिया है: ΔABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है: CA2 = CB × CD
उपपत्ति: ΔABC और ΔDAC में,
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
∠BAC = ∠ADC (दिया है)
∴ A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔDAC
\(\frac{A C}{D C}=\frac{B C}{\dot{A C}}\)
(यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
∴ AC2 = BC.DC
या AC2 = CB.CD इति सिद्धम्।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।
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हल:
दिया है: दो त्रिभुज ABC और POR में, D, BC का मध्य-बिन्दु है और QR का मध्य- बिन्दु M है।
तथा \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\) …(i)
सिद्ध करना है:
ΔABC ~ ΔPQR
रचना: AD को E तक इस प्रकार बढ़ाया कि AD = DE हो। BE और CE को मिलाया तथा PM को N तक इस प्रकार बढ़ाया कि PM = MN हो। QN और NR को मिलाया।
उपपत्ति: चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC परस्पर D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ चतुर्भुज ABEC एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ BE = AC …(ii)
इसी प्रकार PQNR भी एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ QN = PR …(iii)
समीकरण (ii) को (iii) से विभाजित करने पर,
\(\frac{B E}{Q N}=\frac{A C}{P R}\) …(iv)
अब \(\frac{A D}{P M}=\frac{2 A D}{2 P M}=\frac{A D}{P M}=\frac{A E}{P N}\) …(v)
समीकरण (i), (iv) और (v) में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B E}{Q N}=\frac{A E}{P N}\)
अत: ΔABE और ΔPQN मैं,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B E}{Q N}=\frac{A E}{P N}\)
∴ ΔABE ~ ΔPQN (SSS से)
∴ ∠BAE = ∠QPN …(vi)
इसी प्रकार,
ΔAEC ~ ΔPNR
∴ ∠EAC = ∠NPR …(vii)
समीकरण (vi) व (vii) को जोड़ने पर,
∠BAE + ∠EAC = ∠QPN + ∠NPR
⇒ ∠BAC = ∠QPR
अब ΔABC और ∠PQR में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}\) [समी. (i) से]
∠A = ∠P
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR इति सिद्धम्।

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प्रश्न 15.
6 मीटर लम्बाई वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: 6 मीटर लम्बे स्तम्भ CD की छाया DE = 4 मीटर प्राप्त होती है। उसी समय एक मीनार AB जिसकी ऊँचाई माना h मीटर है की छाया BE = 28 मीटर प्राप्त होती है।
ज्ञात करना है: मीनार AB की ऊँचाई (h)।
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गणना : ΔABE और ΔCDE समरूप हैं।
∴ \(\frac{A B}{C D}=\frac{B E}{D E}\)
⇒ \(\frac{h}{6}=\frac{28}{4}\)
⇒ h = \(\frac{28}{4}\) × 6
∴ h = 42 मीटर
अत: मीनार की ऊँचाई = 42 मीटर

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है।
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल:
दिया है: ΔABC और ΔPQR समरूप त्रिभुज हैं जिनमें AD और PM क्रमश: ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं।
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सिद्ध करना है: \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
उपपत्ति: ΔABC और ΔPQR समरूप हैं।
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) …(i)
∠Q = ∠B (ΔABC ~ ΔPQR)
∵ AD, ΔABC की माध्यिका है।
∴ BD = \(\frac{1}{2}\)BC ⇒ BC = 2BD
तथा PM, ΔPQR की माध्यिका है।
∴ QM = \(\frac{1}{2}\)QR ⇒ QR = 2QM
समीकरण (i) से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}\)
⇒ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) …(ii)
अब ΔABD और ΔPQM की तुलना करने पर,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\)
∠B = ∠Q
∴ S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔΑΒD ~ ΔΡQΜ
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपातिक होती हैं) इति सिद्धम्।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2

प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में DE || BC है। (i) में, EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 1
अथवा
यदि ΔABC में DE || BC है, AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ΔABC में,
DE || BC (दिया है)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ \(\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}\)
⇒ EC = \(\frac{3}{1.5}\)
∴ EC = 2 सेमी

(ii) ΔABC में,
DE || BC (आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
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JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 2.
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी।
(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी।
(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी।
हल:
ΔPQR में दो बिन्दु E और F क्रमश: PQ और PR भुजाओं पर स्थित हैं।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 3
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 4
अत: EF, QR के समान्तर नहीं है।

(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी,
\(\frac{P E}{Q E}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\) …(1)
तथा \(\frac{P F}{R F}=\frac{8}{9}\) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
\(\frac{P E}{Q E}=\frac{P F}{R F}\)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
अत: EF || QR

(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी, PF = 0.36 सेमी
EQ = PQ – PE
= 1.28 – 0.18 = 1.10 सेमी
FR = PR – PF
= 2.56 – 0.36 = 2.20 सेमी
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समीकरण (1) व (2) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
अत: EF || QR

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।
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हल:
ΔABC में,
ML || BC (दिया है)
∴ \(\frac{A M}{M B}=\frac{A L}{L C}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
∴ पुन: ΔADC में,
LN || DC (दिया है)
\(\frac{A N}{N D}=\frac{A L}{L C}\) …(ii)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
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प्रश्न 4.
निम्न चित्र में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) है।
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हल:
दिया है : ΔABC में भुजा AB पर एक बिन्दु D हैं और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं। रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गये हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\)
उपपत्ति : ΔBCA में, DE || AC (दिया है)
∴ \(\frac{B E}{E C}=\frac{B D}{D A}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
पुन: ΔBEA में, DF || AE (दिया है)
∴ \(\frac{B F}{F E}=\frac{B D}{D A}\) …(ii)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
निम्न चित्र में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 9
हल:
दिया है दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ΔPOQ में,
DE || OQ
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) …(i)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेव से)
पुन: ΔPOR में,
DF || OR
\(\frac{P F}{F R}=\frac{P D}{D O}\) …(ii)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेव से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
अब ΔPQR में,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
(आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
∴ EF || QR इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
निम्न चित्र में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 10
हल:
दिया है : ΔPQR में बिन्दु A, B और C क्रमश: OP, OQ और OR पर इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ और AC || PR
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ΔPQO में,
AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O B}{B Q}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
पुन: ΔPRO में,
AC || PR
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O C}{C R}\) …(ii)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से)
ΔCQR में, BC || QR. इति सिद्धम्।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हल:
दिया है : ΔABC में; D, AB का मध्य- बिन्दु है अर्थात् AD = DB है।
BC के समान्तर रेखा l, AB व AC को क्रमश: D तथा E बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य- बिन्दु है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 11
उपपत्ति: ∵ D, AB का मध्य बिन्दु है (दिया है)
∴ AD = DB
\(\frac{A D}{B D}=1\) …(i)
ΔABC में DE || BC
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
\(1=\frac{A E}{E C}\)
[समी. (i) के प्रयोग से]
AE = EC
∴ E, AC का मध्यबिन्दु है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)
हल:
दिया है ΔABC में, AB तथा AC के मध्य-बिन्दु क्रमश: D और E हैं अर्थात् AD = BD और AE = EC हैं। D को E से मिलाया।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 12
सिद्ध करना है: DE || BC
उपपत्ति D, AB का मध्य बिन्दु है
∴ AD = BD (दिया है)
⇒ \(\frac{A D}{B D}=1\) …(i)
E, AC का मध्य- बिन्दु है।
∴ AE = EC
⇒ \(\frac{A E}{E C}=1\) …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
⇒ \(\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
∴ DE || BC इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) हैं।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 13
हल:
दिया है : समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसमें AC और BD दो विकर्ण हैं, जो परस्पर O बिन्दु पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
रचना : O से जाती हुई OE || CD खींची।
उपपत्ति: ΔADC में,
OE || DC
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में,
AB || CD
∴ OE || CD (रचना से)
OE || AB
अब ΔADB में,
OE || AB
\(\frac{E D}{A E}=\frac{D O}{B O}\)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\) …(ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
⇒ AO × DO = BO × CO
⇒ \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) इति सिद्धम्।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर हिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 14
हल:
दिया है ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्णं AC तथा BD बिन्दु O पर एक दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
रचना : O से OE || DC खींची।
उपपत्ति: ΔBDC में,
OE || DC
\(\frac{B O}{D O}=\frac{B E}{E C}\) …(i)
परन्तु दिया है, \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
⇒ \(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\) … (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B E}{E C}\)
⇒ \(\frac{C O}{A O}=\frac{E C}{B E}\)
∴ OE || AB
(आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम से)
इसी प्रकार, OE || CD
⇒ AB || CD
अत: ABCD एक समलम्ब है। इति सिद्धम्।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए गए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) सभी वृत्त ……… होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी……… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण ………….. हों तथा (b) उनकी संगत भुजाएँ ………. हों । (बराबर, समानुपाती)
हल:
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर (b) समानुपाती।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप आकृतियाँ।
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल:
(i) 1. समबाहु त्रिभुजों का युग्म समरूप आकृतियाँ हैं।
2. वर्गों का युग्म समरूप आकृतियाँ हैं।

(ii) 1. एक त्रिभुज और एक चतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म बनाती हैं जो समरूप नहीं हैं।
2. एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म बनाती हैं जो समरूप नहीं हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 1
हल:
दोनों चतुर्भुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
A. P. 121, 117, 113, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
हल:
दी गई A. P. है : 121 117, 113, …
प्रथम पद a = a1 = 121; a2 = 117; a3 = 113
सार्वन्तर d = a2 – a1 = 117 – 121 = – 4
सूत्र an = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
⇒ an = 121 + (n – 1 ) (- 4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
प्रश्नानुसार,
an < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > \(\frac{125}{4}\)
⇒ n > 31\(\frac{1}{4}\)
⇒ n > 31.25
⇒ n < 32
क्योंकि n एक पूर्णांक है।
अत: 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A. P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दी गई A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तीसरा पद a3 = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद a7 = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार,
तीसरे और सातवें पदों का योग = 6
या a3 + a7 = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 …(1)
पुन: प्रश्नानुसार, a3 × a7 = 8
⇒ (a + 2d)(a + 6d) = 8
⇒ a2 + 8ad + 12d2 = 8 …(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)2 – (a2 + 8ad + 12d2) = (3)2 – 8
⇒ a2 + 8ad + 16d2 – a2 – 8ad – 12d2 = 9 – 8
4d2 = 1
∴ d = ±\(\frac{1}{2}\)
तव a + 4d = 3 में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2
⇒ a + 2 = 3
∴ a = 1
पुन: a + 4d = 3 में d = –\(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × (-\(\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
∴ a = 5

स्थिति I. a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)
प्रथम 16 पदों का योग
S16 = \(\frac{16}{2}\) [2a + (16 – 1)d]
= 8[2 + 15 × \(\frac{1}{2}\)]
= 8 × \(\frac{19}{2}\) = 4 × 19 = 76
अतः 16 पदों का योग = 76

स्थिति II. a = 5, d = –\(\frac{1}{2}\)
∴ प्रथम 16 पदों का योग
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 1
अतः 16 पर्दों का योगफल = 20.

प्रश्न 3.
एक सीणी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई 45 सेमी है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) मीटर है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी ?
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 2
हल:
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) मीटर = 250 सेमी
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 सेमी
∴ सीणी में डण्डों की संख्या
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 3
∵ प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 सेमी और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 सेमी
∴ 11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप
= 2\(\frac{1}{2}\)(a + l) = \(\frac{1}{2}\)(25 + 4)
\(\frac{11}{2}\) × 70 = 11 × 35
= 385 सेमी = 3.85 मीटर
अतः सीणी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 सेमी या 3.85 मीटर।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है किx से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों पर क्रमागत रूप से अंकित संख्याएँ :
1, 2, 3, 4, 5, 6, …… 47, 48, 49 है।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग
= x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वअन्तर d = 1 है।
तब से x – 1 तक की संख्याओं का योग, a = 1, n = x – 1
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 4
और x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
= S49 – Sx
(∵ Sx+1 नहीं होगा क्योंकि x के बाद ही x + 1 प्रारम्भ होगा)
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 5
अतः x का मान 35 है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीणियाँ बनी हुई हैं। इन सीणियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 मीटर है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी हैं। प्रत्येक सीणी में \(\frac{1}{4}\) मीटर की बनाई है और \(\frac{1}{2}\) मीटर का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 6
हल:
प्रत्येक सौणी की लम्बाई 50 मीटर और चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) मीटर है सीणियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीणी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढी (A.P.) का अनुक्रम है-
\(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}, \frac{6}{4}, \ldots, \frac{15}{4}\)
अतः पहली सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{50}{8}\) घन मीटर
दूसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4}=\frac{100}{8}\) घन मीटर
तीसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
\(=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{150}{8}\) घन मीटर
चौथी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4}=\frac{200}{8}\) घन मीटर
अतः चबूतरा बनाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 7
अतः चबूतरे में लगी कंक्रीट का कुल आयतन = 750 घन मीटर

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक।
(ii) -37, -33, -29, …, 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots 11\) पदों तक।
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी = 2, 7, 12, ….. 10 पदों तक
प्रथम पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d = 7 – 2 = 5
पदों की संख्या n = 10
n पदों का योग Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S10 = \(\frac{10}{5}\)[2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5[4 + 9 × 5]
= 5[4 + 45] = 5 × 49 = 245
अतः 10 पदों तक योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी = -37, -33, -29, …, 12 पदों तक
प्रथम पद a = -37
तथा सार्वअन्तर d = – 33 – (-37) = 4
और पदों की संख्या n = 12
∵ n पदों तक योग Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S12 = \(\frac{12}{2}\)[2 × (-37) + (12 – 1) × 4)
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30) = -180
अतः 12 पदों तक योग = -180

(iii) दी गई समान्तर श्रेढी = 0.6, 1.7, 2.8, …. 100
पदों तक
प्रथम पद a = 0.6
सार्वअन्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1
और पदों की संख्या n = 100
n पदों का योगफल Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S100 = \(\frac{100}{2}\)[2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
अतः 100 पदों तक योग = 5505

(iv) दी गई समान्तर श्रेढी = \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11\) पदों तक
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 1

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
(ii) 34 + 32 + 30 +…+ 10
(iii) -5 + (8) + (11) +…+ (-230)
हल:
(1) दिया गया है,
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद a = 7
सार्वअन्तर d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7
= \(\frac{21}{2}-7=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
दिया है, nवाँ पद an = 84
a + (n – 1)d = 84
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 2
∴ अनुक्रम में 23 पद हैं।
सूत्र : Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l) से
∴ 23 पदों का योगफल
⇒ S23 = \(\frac{23}{2}\)(7 + 84)
= \(\frac{23}{2}\) × 91 = \(\frac{2093}{2}\)
= 1046\(\frac{1}{2}\)
अतः 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84 = 1046\(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया है: 34 + 32 + 30 + … + 10
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद = 34
और सार्वअन्तर d = 32 – 34 = -2
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
nवाँ पद an = 10
⇒ a + (n – 1)d = 10
⇒ 34 + (n – 1) × (-2) = 10
⇒ (n – 1) × (-2) = 10 – 34 = -24
⇒ (n – 1) = \(\frac{-24}{-2}\) = 12
⇒ n = 13
∴ अनुक्रम में कुल 13 पद हैं।
सूत्र : Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
13 पदों का योग S13 = \(\frac{13}{2}\) = (34 + 10)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
अत: 34 + 32 + 30 + … + 10 = 286

(iii) दिया गया है:
– 5 + (-8) + (-11) + … + (-230) स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = -5
तथा सार्वअन्तर d = (-8) – (-5)
= – 8 + 5 = -3
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
अनुक्रम का nवाँ पद an = -230
⇒ a + (n – 1)d = -230
⇒ -5 + (n – 1) × – 3 = -230
⇒ 5 + (n – 1)3 = 230
⇒ (n – 1)3 = 230 – 5 = 225
(n – 1) = \(\frac{225}{3}\) =75
∴ n = 75 + 1 = 76
तब n पदों तक योगफल
Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 76 पदों तक योगफल
S76 = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)]
= \(\frac{76}{2}\) × (-235)
= 38 × (-235) = -8930
अत: -5 + (-8) + (-11) + … + (-230)
= -8930

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 3.
एक A. P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और Sn = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, Sn = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया है,
a = 5, d = 3 और अन्तिम पद (an) = 50
∵ अनुक्रम A. P. है और an = 50
⇒ a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1)3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50 ⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
∴ n = \(\frac{48}{3}\) = 16
अब Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{16}{2}\)(5 + 50) = 8 × 55 = 440
अत: n = 16 तथा Sn = 440

(ii) दिया है: a = 7, a13 = 35
a + (n – 1)d = 35
⇒ 7 + (13 – 1)d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
सूत्र : Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से
अब S13 = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35]
⇒ S13 = \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
अतः d = \(\frac{7}{3}\) तथा S13 = 273

(iii) दिया है: a12 = 37, d = 3
∵ a12 = 37
a + (n – 1)d = 37
⇒ a + (12 – 1)3 = 37
⇒ a = 37 – 33 = 4
अब S12 = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] [∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]से]
S12 = 6 × 41 = 246
अतः a = 4 तथा S12 = 246

(iv) दिया है: a3 = 15, S10 = 125
∵ a3 = 15
⇒ a + (3 – 1)d = 15
⇒ a + 2d = 15 ….(1)
∵ दिया है S10 = 125
\(\frac{10}{2}\)[2a + (10 – 1)d] = 125
⇒ 5[2a + 9d] = 125
⇒ 2a + 9d = \(\frac{125}{5}\)
⇒ 2a + 9d = 25 …(2)
समीकरण (1) से, a = 15 – 2d ….(3)
a का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(15 – 2d) + 9d = 25
⇒ 30 – 4d + 9d = 25
⇒ 5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
d का मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 15 – 2(-1)
⇒ a = 15 + 2 = 17
अब a10 = 17 + (10 – 1) (-1)
[∵ an = a + (n – 1)d]
= 17 – 9 = 8
अत: d = -1 और a10 = 8

(v) दिया है: d = 5 और S9 = 75
∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∵ S9 = \(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1)5]
⇒ 75 = \(\frac{9}{2}\)[2a + 8 × 5] [∵ S9 = 75]
⇒ \(\frac{75 \times 2}{9}\) = 2a + 40
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 3

(vi) दिया है: a = 2, d = 8 और Sn = 90
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
90 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1)8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[4 + 8n – 8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[8n – 4]
90 = \(\frac{n}{2}\) × 4(2n – 1)
90 = 2n(2n – 1)
\(\frac{90}{2}\) = n(2n – 1)
45 = 2n2 – n
2n2 – n – 45 = 0
2n2 – (10 – 9) – 45 = 0
2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
n = 5 या –\(\frac{9}{2}\)
∵ n का मान सदैव धन पूर्णांक होता है।
∴ n = 5
तब a5 = a + (5 – 1)d
= 2 + 4 × 8
= 2 + 32 = 34
अतः n = 5 तथा an = 34

(vii) दिया है: a = 8, an = 62
और Sn = 210
∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + an)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\)(8 + 62)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\) × 70
⇒ \(\frac{210 \times 2}{70}\) = 6
∵ an = 62
⇒ a + (n – 1)d = 62
⇒ 8 + (6 – 1)d = 62
⇒ 8 + 5d = 62
⇒ 5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{2}\)
अत: n = 6 तथा d = \(\frac{54}{2}\)

(viii) दिया है: an = -4, d = 2 और Sn = -14
∵ an = 4
a + (n – 1)d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a + 2n = 6 …..(1)
∵ Sn = -14
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)2] = -14
n[a + n – 1] = – 14 ….(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n समीकरण (2) में a के
स्थान पर (6 – 2n) रखने पर,
n[6 – 2n + n – 1] = -14
∴ n[5 – n] = – 14
⇒ 5n – n2 = -14
⇒ n2 – 5n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = – 2
n का मान सदैव धनपूर्णांक होता है। इसलिए n = 7
तब a = 6 – 2n
= 6 – (2 × 7)
= 6 – 14 = -8
अतः a = -8 तथा n = 7

(ix) a = 3, n = 8 और Sn = 192
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
परन्तु Sn = 192
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 192
⇒ \(\frac{8}{2}\)[2 × 3 + (8 – 1)d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
∴ d = \(\frac{168}{28}\) = 6
अतः d = 6

(x) दिया है: l = 28, Sn = 144 और कुल पदं n = 9
हम जानते हैं कि Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
144 = \(\frac{9}{2}\)[a + 28]
288 = 9[a + 28]
288 = 9a + 252
9a = 288 – 252
9a = 36
∴ a = 4
अतः a = 4

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A. P. : 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए ?
हल:
दी गई A. P.: 9, 17, 25, …
प्रथम पद a = 9 सार्वअन्तर d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है।
Sn = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[18 + 8n – 8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n2 + 5n = 636
⇒ 4n2 + 5n – 636 = 0
⇒ 4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53 ) -12(4n + 53 ) = 0
⇒ (4n + 53 ) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या –\(\frac{53}{4}\)
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः n = –\(\frac{53}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ n = 12
अतः दी गई A.P के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A. P का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, प्रथम पद a = 5,
अन्तिम पद l = an = 45
और Sn = 400
∵ an = 45
a + (n – 1)d = 45
⇒ 5 + (n – 1)d = 45
⇒ (n – 1)d = 45 – 5
⇒ (n – 1)d = 40 ….(1)
और Sn = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + l] = 400
⇒ \(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
∴ n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(16 – 1)d = 40
⇒ 15d = 40
∴ d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अत: n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A. P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल:
दिया है,
प्रथम पद a = 17
अन्तिम पद l = an = 350
और सार्वअन्तर d = 9
∵ an = 350
a + (n – 1)d = 350
⇒ 17 + (n – 1)9 = 350
⇒ 9(n – 1) = 350 – 17 = 333
⇒ n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
अब Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{38}{2}\)(17 + 350)
= 19 × 367 = 6973
अतः n = 38 और पदों का योग (Sn) = 6973

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 7.
उस A. P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
d = 7, n = 22
∵ 22वाँ पद a22 = 149
⇒ a + (22 – 1)d = 149
⇒ a + 21 × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
∴ a = 149 – 147 = 2
तब प्रथम 22 पदों का योग
S22 = \(\frac{n}{2}\)(a + l) = \(\frac{22}{2}\)(2 + 149)
= 11 × 151 = 1661
अतः दी गई A.P के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

प्रश्न 8.
उस A. P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
A.P का दूसरा पद a2 = 14
तथा तीसरा पद a3 = 18
∴ सार्वअन्तर d = a3 – a2 = 18 – 14 = 4
∵ दूसरा पद = 14
∴ a + d = 14
⇒ a + 4 = 14
⇒ a = 14 – 4
⇒ a = 10
∵ a = 10, d = 4
तब n पदों का योग Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S51 = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1)4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 +200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
अतः दी गई A.P के प्रथम 51 पदों का योग = 5610

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।.
∵ प्रथम 7 पदों का योग
S7 = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d] = 49
[∵ सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] से]
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d ) = 49
⇒ a + 3d = \(\frac{49}{7}\)
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d …(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
S17 = 289
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2a + 16d] = \(\frac{289}{17}\)
⇒ a + 8d = 17
a का मान समीकरण (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
अब Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × [2n] = n × n = n2
अतः दी गई A.P. के प्रथम n पदों का योग n2 है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 10.
दर्शाइए किa1, a2, …, an, … से एक A. P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) an = 3 + 4n,
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है, an = 3 + 4n …(1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a1 = 3 + 4 (1) = 7
a2 = 3 + 4(2) = 11
a3 = 3 + 4(3) = 15, …
सार्वअन्तर (d) = a2 – a1 = 11 – 7 = 4
a3 – a2 = 15 – 11 = 4
∵ a2 – a1 = a3 – a2 = 4
अतः अनुक्रम 7, 11, 15, …. है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S15 = \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70 = 15 × 35 = 525
∴ S15 = 525

(ii) दिया है कि an = 9 – 5n …. (1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a1 = 9 – 5(1) = 4
a2 = 9 – 5(2) = -1
a3 = 9 – 5(3) = -6
सार्वअन्तर (d) = a2 – a1 = – 1 – 4 = -5
और a3 – a2 = – 6 + 1 = -5
∵ a2 – a1 = a3 – a2 = -5
अतः अनुक्रम 4, -1, -6 … है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 4, d = – 5 और n = 15
तब प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात करना है।
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S15 = \(\frac{15}{2}\) [2 × 4 + (15 – 1) × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 + 14 × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70]
\(\frac{15}{2}\) × (-62) = 15 × (-31) = -465
अत: S15 = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार, तीसरे 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A.P के प्रथम n पदों का योगफल
Sn = 4n – n2
n = 1 रखने पर,
S1 = 4 × 1 – 12= 3
∴ प्रथम पद a1 = S1 = 3
n = 2 रखने पर,
S2 = 4 × 2 – 22 = 8 – 4 = 4
द्वितीय पद a2 = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
n = 3 रखने पर,
S3 = 4 × 3 – 32 = 12 – 9 = 3
∴ तीसरा पद a3 = S3 – S2
[∵ an = Sn – Sn-1]
= 3 – 4 = -1
n = 9 रखने पर,
S9 = 4 × 9 – 92 = 36 – 81 = -45
∴ 10 रखने पर
S10 = 4 × 10 – 102
= 40 – 100 = -60
n = 10वीं पद a10 = S10 – S9
= -60 – (-45)
= -60 + 45 = -15
∵ Sn = 4n – n2
और Sn-1 = 4 (n – 1) – (n – 1)2
= (n – 1) {4 – n + 1}
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n2 – 5 + n
= 6n – n2 – 5
अब an = Sn – Sn-1
= (4n – n2) – (6 – n2 – 5)
= 4n – n2 – 6n + n2 + 5
= 5 – 2n
अतः S1 =3
प्रथम दो पदों का योग S2 = 4
दूसरा पद a2 = 1
तीसरा पद a3 = -1
10वीं पद a10 = -15
तथा n वाँ पद an = 5 – 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांकों की सूची :
6, 12, 18, 24, 30, …. 40 पदों तक
प्रथम पद a = 6 तथा सार्वअन्तर d = 12 – 6 = 6, n = 40
∵ प्रथम n पदों का योगफल Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ प्रथम 40 पदों का योगफल
S40 = \(\frac{40}{2}\)[2 × 6 + (40 – 1)6]
= 20[12 + 39 × 6]
= 20[12 + 234]
= 20 × 246 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के प्रथम 15 गुणजों की सूची :
8, 16, 24, 32… 15 पदों तक
∴ S = 8 + 16 + 24 + 32 + … + 120
= 8[1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15]
= 8 [\(\frac{15}{2}\)(1 + 15)] [सूत्र: Sn = [\(\frac{n}{2}\)(a + l)से]
= 8[\(\frac{15}{2}\) × 16]
= 8 × 120 = 960
अतः 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं की सूची:
1, 3, 5, 7, …., 49
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2, an = 49
∵ an = 49
∴ a(n – 1)d = 49
⇒ 1 + (n – 1)2 = 49
⇒ (n – 1)2 = 48
⇒ (n – 1) = 24
∴ n = 25
A.P. 1, 3, 5, 7, …. का 25 पदों तक योगफल
∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S25 = \(\frac{25}{2}\)[2 × 1 + (25 – 1) × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 24 × 2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300, इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
दिया है, पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है- ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अन्तर से बढ़ता जाता है :
∴ ₹ 200 ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350… यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुमनि की राशि = S30
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S30 = \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 – 1)50]
= 15[400 + 1450] = 15(1850) = 27750
अतः यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहला पुरस्कार ₹ a है।
∴ दूसरा पुरस्कार a2 = ₹ (a – 20)
तीसरा पुरस्कार a3 = ₹ a – 20 – 20
= ₹ (a – 40)
∴ समान्तर श्रेढी a, (a – 20) (a – 40), … है।
यहाँ प्रथम पद = a, सार्वअन्तर d = (a – 20) – a = – 20
पदों की संख्या n = 7 तथा 7 पदों का योगफल S7 = 700
तब, Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S7 = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) (-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a + 6(-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a – 120]
700 = \(\frac{7}{2}\)2(a – 60)
\(\frac{700}{7}\) = a – 60
a = 100 + 60
a = 160
पहला पुरस्कार = ₹ 160 शेष पुरस्कार क्रम से ₹20-20 कम हैं।
अतः पुरस्कार ₹ 160, ₹ 140 ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल:
प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 =3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 4 = 12
……………………………………………….
……………………………………………….
तब 3, 6, 9, 12, ……….. एक समान्तर श्रेढी बनती है।
यहाँ a = 3, सार्वअन्तर d = 6 – 3 = 3
तब कक्षा XII तक के कुल विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों का योगफल = S12
∵ Sn= \(\frac{n}{2}\)[2a – (n – 1)d]
∴ S12 = \(\frac{12}{2}\)[2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6[6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या 234 होगी,

प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm… वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है ? (लीजिए π = \(\frac{22}{7}\))
हल:
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 4
पहले अर्धवृत्त की त्रिज्या r1 = 0.5 सेमी
दूसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r2 = 1.0 सेमी
तीसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r3 = 1.5 सेमी
चौथे अर्धवृत्त की त्रिज्या r4 = 2.0 सेमी
………………………………………
………………………………………
13 वें अर्धवृत्त की त्रिज्या r13 = ?
प्रथम पद (r1) = r = 0.5 सेमी
सार्वअन्तर d = 1.0 – 0.5
= 0.5 सेमी
पदों की संख्या n = 13
∴ r13 = r + (n – 1)d
= 0.5 + (13 – 1) × 0.5
⇒ r13 = 0.5 + 12 × 0.5
= 0.5 + 6.0 = 6.5
∴ r13 = 6.5 सेमी
इन अर्धवृत्तों की वृत्तीय परिधियाँ:
πr1, πr2, πr3, …… πr13
∴ 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की लम्बाई
= πr1 + πr2 + πr3 + πr4 +…. + πr13
= π[r1 + r2 + r3 + r4 +…+ r13]
= π[0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 +…+ 6.5]
= π[\(\frac{13}{2}\)(0.5 + 6.5)] [सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से]
= π[\(\frac{13}{2}\) × 7.0] = \(\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7\) [π = \(\frac{22}{7}\)]
= 143
अतः सर्पिल की लम्बाई = 143 सेमी

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को णेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 5
हल:
यहाँ Sn = 200, a1 = 20, a2 = 19, a3 = 18
d = 19 – 20 = 18 – 19 = -1
माना पंक्तियों की संख्या = n
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) × d]
200 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 20 + (n – 1) × – 1]
⇒ 400 = n (40 – n + 1)
⇒ 400 = n(41 – n)
⇒ 400 = 41n – n2
⇒ n2 – 41n + 400 = 0
⇒ n2 – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25)(n – 16) = 0
∴ n = 25 या n = 16
अतः पंक्तियों की संख्या 25 या 16 होगी।
Q25 = a + (n – 1)d
= 20 + (24) × (-1) = -4, जो कि सम्भव नहीं है।
Q16 = a + (n – 1)d
= 20 + 15 × (-1) = 20 – 15 = 5
अतः 16 पंक्तियाँ है तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे रखे गये हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 6
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल:
पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 मीटर
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3) = 8 मीटर
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 मीटर
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 मीटर
∵ एक बार बाल्टी से चलकर आलू को उठाना पड़ता है और उसे फिर बाल्टी में वापस डालना पड़ता है।
∴ पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 5 = 10 मीटर
उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 मीटर
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 8 = 16 मीटर
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 11 = 22 मीटर
चौथा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 14 = 28 मीटर
और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A. P. बन जाती है।
10 मी., 16 मी., 22 मी., 28 मी., …… 10 पदों तक
∴ a = 10
d = 16 – 10 = 6
n = 10
प्रतियोगी को कुल दूरी दौड़नी पड़ेगी = S10
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S10 = \(\frac{10}{2}\)[2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5[20 + 9 × 6] = 5[20 + 54]
= 5 × 74 = 370 मीटर
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी = 370 मीटर।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a सार्वअन्तर d और nवाँ पद an है-
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 1
हल:
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a8 = 7 + (8 – 1)3
= 7 + 21 = 28
अत: a8 = 28

(ii) a = – 18, a = 10, an = 0
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a10 = -18 + (10 – 1)d
⇒ 0 = -18 + 9d
⇒ 9d = 18
∴ d = \(\frac{18}{9}\) = 2
अत: d = 2

(iii) d = -3, n = 18, an = -5
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a18 = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a – 51
∴ a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, an = 3.6
∵ an = a + (n – 1)d
∴ 3.6 = -18.9 + (n – 1) 2.5
⇒ 3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
⇒ (n – 1)2.5 = 22.5
⇒ n – 1 = \(\frac{22.5}{2.5}\) = 9
∴ n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ an = a + (n – 1)d
∴ an = 43.5 + (105 – 1)0
an = 3.5 + 0 = 3.5

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वीं पद है-
(A) 97 (B) 77 (C) – 77 (D) – 87
(ii) A.P. : -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48\(\frac{1}{2}\)
हल:
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वाँ पद
यहाँ a = 10, d = 7 – 10 = -3 तथा n = 30
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a30 = 10 + (30 – 1) × -3
= 10 + 29 × -3 = 10 – 87 = -77
अतः विकल्प (C) सही है।

(ii) A.P.: -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद
यहाँ a = – 3, d = –\(\frac{1}{2}\) – (-3) = –\(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
an = a + (n – 1)d
a11 = -3 + (11 – 1) × \(\frac{5}{2}\)
= – 3 + 10 × \(\frac{5}{2}\)
= -3 + 25 = 22
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 2
हल:
(i) पहला पद a = 2 तीसरा पद a3 = 26,
दूसरा पद a2 = ?
माना सार्वअन्तर है।
अब a3 = a + 2d
⇒ 26 = 2 + 2d
⇒ 2d = 26 – 2 = 24
⇒ d = 12
∴ दूसरा पद a2 = a + d = 2 + 12 = 14
अतः रिक्त बॉक्स का पद a2 = 14

(ii) पहला पद a = ?, दूसरा पद a2 = 13, तीसरा पद a3 = ?, चौथा पद d4 = 3
माना सार्वअन्तर d है a2 = a + d
⇒ 13 = a + d …(1)
तथा a4 = a + 3d
⇒ 3 = a + 3d …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
2d = – 10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) से, 13 = a + d
⇒ 13 = a – 5 ⇒ a = 18
∴ तीसरा पद a3 = a + 2d
= 18 + 2 × (-5)
⇒ a3 = 8
अतः रिक्त बॉक्सों के पद क्रमश: 18 व 8 हैं।

(iii) पहला पद a = 5, चौथा पद a4 = 9\(\frac{1}{2}\), दूसरा पद a2 = ? तीसरा पद a3 = ?
माना सार्वअन्तर d है।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 3
अतः रिक्त बाक्सों के पद क्रमशः 6\(\frac{1}{2}\) और 8 हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 4
∵ पहला पद a = -4 और माना सार्वअन्तर d है।
6वाँ पद = a + (6 – 1)d
= a + 5d
∵ a + 5d = 6
⇒ – 4 + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ 5d = 10
∴ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
तब दूसरा पद a2 = a + d = – 4 + 2 = – 2
तीसरा पद a3 = a2 + d = – 2 + 2 = 0
चौथा पद a4 = a3 + d = 0 + 2 = 2
पाँचवाँ पद a5 = a4 + d = 2 + 2 = 4
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 5
माना पहला पद a और सार्वअन्तर d है।
दूसरा पद = a + d = 38 …(i)
और छठवाँ पद = a + (6 – 1)d
⇒ a + 5d = -22 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = – 22 – 38
⇒ 5d – d = 60
⇒ 4d = 60
∴ d = \(\frac{-60}{4}\) = -15
∴ समीकरण (i) से,
a + d = 38
⇒ a + (-15) = 38
∴ a = 38 + 15 = 53
तब पहला पद a1 = 53
तीसरा पद a3 = a2 + d = 38 – 15 = 23
चौथा पद a4 = a3 + d = 23 – 15 = 8
पाँचवाँ पद a5 = a4 + d = 8 – 15 = – 7
अतः रिक्त बॉक्सों में क्रमिक प्रविष्टियाँ
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 6

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 4.
A.P. 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है ?
हल:
दी गई A. P. : 3, 8, 13, 18, ….
यहाँ a = 3
d = 8 – 3 = 5
माना पद 78 है।
∴ an = 78
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3+ (n – 1)5
⇒ 78 = 3 + 5n – 5
⇒ 78 = 5n – 2
⇒ 5n = 78 – 2
⇒ 5n = 80
∴ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
अतः 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेठी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, …., 205
(ii) 18, 15, 13, …., -47
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.) : 7, 13, 19, ….., 205
यहाँ a = 7 तथा d = 13 – 7 = 6
माना दी गई A. P. में n पद हैं
nवाँ पद an = 205
an = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 1 + 6n = 205
⇒ 6n = 205 – 1 = 204
∴ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
अतः दी गई A. P. में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.):
18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, …, – 47
यहाँ पहला पद a = 18
तथा सार्वअन्तर d = 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}\)
= \(-\frac{5}{2}\)
माना दी गई श्रेढी में पद हैं।
n पद an = -47
a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1) × \(\left(-\frac{5}{2}\right)\) = -47
\(-\frac{5(n-1)}{2}\) = -47 – 18 = -65
(n – 1) \(\frac{(-65) \times 2}{-5}\) = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2… का एक पद -150 है ? क्यों ?
हल:
दी गई A. P. : 11, 8, 5, 2 …
यहाँ पहला पद a = 11 तथा सार्वअन्तर d = 8 – 11
= -3
माना nवाँ पद (an) = -150 है।
⇒ an = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × (-3) = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = \(\frac{-161}{-3}\)
= 53.6 (लगभग)
∴ n = 53.6 + 1 = 54.6
⇒ n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P का कोई पद -150 नहीं है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 7.
उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 11वाँ पद a11 = 38
a + (11 – 1)d = 38
a + 10d = 38 …(i)
और 16वाँ पद a16 = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 383
⇒ a + 15d – a – 10d = 35
⇒ 5d = 35
∴ d = \(\frac{35}{5}\) = 7
समीकरण (i) में d का मान रखने पर,
⇒ a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
∴ a = 38 – 70 = -32
श्रेढी का 31वाँ पद
a31 = a + (31 – 1)d
= – 32 + 30 × 7
= – 32 + 210 = 178
अत: A.P का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है। दिया है कि,
तीसरा पद a3 = 12
a + (3 – 1)d = 12 [∵ an = a + (n – 1)d]
⇒ a + 2d = 12 ….(1)
और अन्तिम पद = a50 = 106
a + (50 – 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106 …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 7
d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
∴ a = 12 – 4 = 8
अब श्रेढी का 29वीं पद
a29 = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अत: A.P का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी A. P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा ?
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है।
दिया है, तीसरा पद a3 = 4
a + (3 – 1)d = 4 [an = a + (n – 1)d से]
⇒ a + 2d = 4 ….(1)
और a9 = – 8
a + (9 – 1)d = -8
a + 8d = -8 ….(2)
समीकरण (2) मैं से (1) को घटाने पर,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 8
d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 (-2) = 4
या a – 4 = 4
∴ a = 4 + 4 = 8
अब माना कि श्रेढी का व पद शून्य होगा, तब
nवाँ पद an = 0
∴ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ – 2 (n – 1) = – 8
⇒ (n – 1) = 4
∴ n = 5
अत: दी गई A. P. का 5वाँ पद शून्य होगा।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 17वाँ पद a17 = a + (17 – 1)d
= a + 16d
10वाँ पद a10 = a + (10 – 1)d
= a + 9d
∵17वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
a17 – a10 = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
∴ d = 1
अतः श्रेढी का सार्वअन्तर = 1

प्रश्न 11.
A. P. : 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा ?
हल:
माना अभीष्ट पद व पद है।
दी गई A. P.: 3, 15, 27, 39, …
प्रथम पद a = 3 तथा सार्वअन्तर d = 15 – 3 = 12
तब श्रेढी का 54वाँ पद a54 = a + (54 – 1)d
= 3 + 53 × 12
=3 + 636 = 639
⇒ nवाँ पद = 54वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132 = 771
nवाँ पद an = 771
⇒ a + (n – 1)d = 771
⇒ 3 + (n – 1) 12 = 771
⇒ (n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
∴ n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढी का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेडियों का सार्वअन्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा ?
हल:
माना पहली A.P का प्रथम पद तथा सार्वअन्तर d है और दूसरी A. P. का प्रथम पद 4 तथा सार्वअन्तर है क्योंकि सार्वअन्तर समान हैं।
पहली श्रेढी का 100वाँ पद = a + (100 – 1)d
= a + 99d
दूसरी श्री का 100वाँ पद = A + (100 – 1) d
= A + 99d
∴ दोनों श्रेढियों के 100वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d)
= A – a
प्रश्नानुसार, A – a = 100 …(1)
पहली श्रेढी का 1000वाँ पद = a +(1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढी का 1000वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
∴ दोनों श्रेढियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
∴ दोनों श्रेढियों के 1000वें पदों का अन्तर A – a = 100 (समी. 1 से)
अतः 1000वें पदों का अन्तर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
हल:
तीन अंकों की संख्याओं की सूची 100, 101, 102, ….., 999,
3 अंकों की 7 से विभाज्य प्रथम संख्या = 105 और अन्तिम संख्या = 994
तब 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची-
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7),… 994 = 105, 112, 119, …, 994
माना ऐसी कुल संख्याएँ n हैं।
प्रथम संख्या a = 105, सार्वअन्तर d = 7,
∴ nवाँ पद an = 994
⇒ a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1) × 7 = 994
⇒ (n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
⇒ (n – 1) = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाव्य तीन अंकों वाली संख्याएँ = 128

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?
हल:
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
∵ 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की श्रेढी निम्न होगी :
12, 16, 20, 24, ….., 248
माना गुणजों की संख्या n है।
पहला पद a = 12, सार्वअन्तर d = 16 – 12 = 4
तब nवाँ पद, an = 248
a + (n – 1)d = 248
12 + (n – 1)4 = 248
12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 + 4 – 12= 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेतियों 63, 65, 67,… और 3, 10, 17, … के वें पद बराबर होंगे ?
हल:
पहली समान्तर श्रेढी 63, 65, 67, ….
प्रथम पद a = 63, सार्वअन्तर d = 65 – 63 = 2
∴ श्रेढ़ी का nवाँ पद an = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढी = 3, 10, 17, …..
प्रथम पद a’ = 3, सार्वअन्तर d’ = 10 – 3 = -7
इस श्रेढी का nवाँ पद an‘ = a’ + (n – 1)d’
= 3 + (n – 1)7
-= 3 + 7n – 7 = 7n – 4
प्रश्नानुसार,
पहली A.P का nवाँ पद = दूसरी A.P का nवाँ पद
⇒ 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 2n – 7n = – 4 – 61
⇒ – 5n = -65
n = \(\frac{-65}{-5}\) = 13
अतः दोनों समान्तर श्रेढियों के 13वें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
दिया है a3 = 16
a + (3 – 1)d = 16
⇒ a + 2d = 16 …(1)
प्रश्न के अनुसार, a7 – a5 = 12
[a + (7 – 1)d] – [a + (5 – 1) d] = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
∴ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d का यह मानं समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2(6) = 16
∴ a = 16 – 12 = 4
A.P. = a, a + d, a + 2d,…
= 4, 4 + 6, 4 + 2 × 6,…
= 4, 10, 16,…
अतः वाँछित A. P. है, 4, 10, 16, 22….

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 17.
A. P. : 3, 8, 13, …, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई A. P.: 3, 8, 13, …., 253
प्रथम पद a = 3
सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद an = 253
समान्तर श्रेढी का nवाँ पद
an = a + (n – 1)d
253 = 3 + (n – 1) × 5
253 = 3 + 5n – 5
5n = 253 + 2
5n = 255
∴ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
समान्तर श्रेढी के अन्तिम पद से 20वाँ पद
= (पदों की संख्या) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1 = 32वाँ पद
∴ A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = आरम्भ से 32वाँ पद
∵ an = a + (n – 1)d
a32 = 3 + (32 – 1) × 5
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158
अत: A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = 158

द्वितीय विधि :
यहाँ प्रथम पद a = 3, सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद an = 253
सूत्र: अन्त rवाँ पद = an – (r – 1)d
अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1)5
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95 = 158
अत: A. P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद 158 है।

प्रश्न 18.
किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के ‘प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
∵ चौथा पद a4 + 8वाँ पद a8 = 24
⇒ [a + (4 – 1)d] + [a + (8 – 1)d] = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 …(1)
∵ 6वाँ पद a6 + दसवाँ पद a10 = 44
⇒ [a + (6 – 1)d] + [a + (10 – 1)d] = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 … (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ a + 7d – a – 5d = 10
⇒ 2d = 10 ⇒ d = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
∴ a = -13
अब श्रेढी का पहला पद a = -13
दूसरा पद a2 = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद a3 = a2 + d = – 8 + 5= -3
अतः वांछित A.P. के प्रथम तीन पद = -13, – 8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया ?
हल:
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रति मास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5000 + ₹ 200
= ₹ 5200 प्रति मास
तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5200 + ₹ 200
= ₹ 5400 प्रति मास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (रु. में) 5000, 5200, 5400…… एक समान्तर श्रेढी बनाते हैं,
जिसका प्रथम पद a = 5000 तथा सार्वअन्तर d = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब nवाँ पद = 7000
⇒ a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1)200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = \(\frac{2000}{200}\) = 10
∴ n = 10 + 1 = 11
अतः 11 वें वर्ष में अर्थात 2006 में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 होगा।

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प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बणाती गई। यदि वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = ₹ 1.75
यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है
प्रथम पद a = 5, d = 1.75
nवें सप्ताह में उसकी बचत an = 20.75
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) × 1.75
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 – 5 + 1.75
⇒ 1.75n = 17.5
n = \(\frac{17.5}{1.75}\) ⇒ n = 0
अतः 10वें सप्ताह में रामकली की बचत ₹ 20.75

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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बणती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) यदि टैक्सी का पहले किमी का किराया a1, दूसरे किमी का किराया a2 तथा वें किमी का किराया an से व्यक्त किया जाए तो
प्रश्नानुसार,
a1 = 15
a2 = 15 + 8 = 23
a3 = 23 + 8 = 31
अब सार्वअन्तर (d) = a2 – a1 = 23 – 15 = 8
और a3 – a2 = 31 – 23 = 8
∵ a3 – a2 = a2 – a1
अर्थात् सार्वअन्तर समान हैं।
∴ दी गई स्थिति A.P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(ii) माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को x मात्रक से तथा प्रत्येक पम्प के बाद हवा की शेष मात्रा को a2, a3, a4 से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 1
और आगे भी इसी प्रकार से….
अब सार्वअन्तर,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 2
यहाँ a3 – a2 ≠ a2 – a1
∵ सार्वअन्तर समान नहीं है।
∴ दी गई स्थिति A.P का रूप नहीं है।

(iii) माना कि एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को an से व्यक्त किया जाए तो.
प्रश्न के अनुसार, a1 = ₹ 150
a2 = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
a3 = ₹ (200 + 50) = ₹ 250
और आगे भी इसी प्रकार से…..
अब सार्वअन्तर
a3 – a2 = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a2 – a1 = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
यहाँ a3 – a2 = a2 – a1 = ₹ 50
सार्वअन्तर समान हैं।
अतः दी गई स्थिति A. P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन:
मूलधन P = ₹ 10000
ब्याज की दर R% = 8%
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 3
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 4
निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि
A2 – A1 ≠ A3 – A2
अतः मिश्रधन A.P. (समान्तर श्रेढी) में नहीं हैं।

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प्रश्न 2.
दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d = 10,
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3,
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल:
(i) दिया है, प्रथम पद (a) = 10
और सार्व अन्तर (d) = 10
∴ a1 = प्रथम पद (a) = 10
a2 = a + d = 10 + 10 = 20
a3 = a + 2d = 10 + 2 × 10 = 30
a4 = a + 3d = 10 + 3 × 10 = 40
अत: A.P के प्रथम चार पद 10, 20, 30, 40 हैं।

(ii) दिया हुआ है कि प्रथम पद (a) = 22
और सार्वअन्तर (d) = 0
∴ a1 = a = -2
a2 = a + d = 2 + 0 = 2
a3 = a + 2d = -2 + 2 × 0 = -2
a4 = a + 3d = 2 + 3 × 0 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -2, -2, -2, -2, हैं ।

(iii) दिया हुआ है, प्रथम पद (a) = 4
और सार्वअन्तर (d) = -3
∴ a1 = a = 4
a2 = a + d = 4 + (-3) = 1
a3 = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = -2
a4 = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = – 5
अत: A.P. के प्रथम चार पद 4, 1, 2, 5 हैं।

(iv) दिया है कि प्रथम पद a = -1
और सार्वअन्तर d = \(\frac{1}{2}\)
∴ a1 = a = -1
a2 = a + d
= \(-1+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}\)
a3 = a + 2d
= \(-1+2\left(\frac{1}{2}\right)\)
– 1 + 1 = 0
a4 = a + 3d
= \(-1+3\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\)
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\) हैं।

(v) दिया हैं कि प्रथम पद = a = -1.25
और सार्वअन्तर (d) = -0.25
∴ a1 = a = – 1.25
a2 = a + d = – 1.25 – 0.25 = -1.50
a3 = a + 2d = – 1.25 + 2(-0.25)
= -1.25 – 0.50 = -1.75
a4 = a + 3d = – 1.25 + 3(-0.25)
= – 1.25 – 0.75 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1.25, -1.50, 1.75, – 2. हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए:
(i) 3, 1, -1, -3,…
(ii) -5, 1, 3, 7,…
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
हल:
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3, …
यहाँ a1 = 3, a2 = 1
a3 = -1, a4 = -3
प्रथम पद a = a1 = 3
सार्वअन्तर d = a2 – a1 = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर = -2

(ii) दी गई A. P. = -5, -1, 3, 7, …
यहाँ a1 = -5
a2 = -1
a3 = 3
a4 = 7
प्रथम पद a1 = -5
सार्वन्तर d = a2 – a1 = – 1 – (-5) = – 1 + 5 = 4
अतः प्रथम पद = -5 तथा सार्वन्तर = 4

(iii) दी गई A.P. = \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
यहाँ a1 = \(\frac{1}{3}\),
a2 = \(\frac{5}{3}\),
a3 = \(\frac{9}{3}\),
a4 = \(\frac{13}{3}\)
प्रथम पद a = a1 = \(\frac{1}{3}\)
सार्वन्तर d = a2 – a1 = \(\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)\)
= \(\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)
अतः प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\) तथा सार्वअन्तर = \(\frac{4}{3}\)

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
a1 = 0.6, a2 = 1.7
a3 = 2.8, a4 = 3.9
प्रथम पद a = a1 = 0.6
सार्वअन्तर d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
अत: प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वअन्तर = 1.1

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं ? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए:
(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,
(iv) -10, -6, -2, 2,…
(v) 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,
(vii) 0, -4, -8, -12,…
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27, …
(x) a, 2a, 3a, 4a, …
(xi) a, a2, a3, a4, …
(xii) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\),…
(xiii) \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\),…
(xiv) 12, 32, 52, 72, …
(xv) 12, 52, 72, 73, …
हल:
(i) दिया हुआ अनुक्रम 2, 4, 8, 16, …
यहाँ a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 16
दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
d = a2 – a1 = 4 – 2 = 2
a3 – a2 = 8 – 4 = 4
a4 – a3 = 16 – 8 = 8
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है,
अर्थात् a2 – a1 ≠ a3 – a2 ≠ a4 – a3
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(ii) दिया गया अनुक्रम 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
यहाँ a1 = 2, a2 = \(\frac{5}{2}\), a3 = 3, a4 = \(\frac{7}{2}\)
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 5
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = \(\frac{1}{2}\) हैं।
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. है।
अगले तीन पद
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 6
अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 4, \(\frac{9}{2}\) और 5 हैं।

(iii) दिया गया अनुक्रम -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, …
यहाँ a1 = -1.2, a2 = -3.2, a3 = -5.2, a4 = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = – 3.2 – (-1.2) = – 2.0
a3 – a2 = -5.2 – (-3.2) = -2.0
a4 – a3 = -7.2 – (-5.2) = -2.0
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (-2.0) है।
∴ सार्वन्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
= -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद a7 = छठा पद a6 + सार्वअन्तर d
-11.2 + (-2) = -13.2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद -9.2, -11.2, -13.2 हैं।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम -10, 6, – 2, 2,…
यहाँ a1 = -10, a2 = -6, a3 = -2, a4 = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = -6 – (-10) = – 6 + 10 = 4
a3 – a2 = – 2 – (-6) = – 2 + 6 = 4
a4 – a3 = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (4) है।
∴ सार्वअन्तर d = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. हैं।
तब पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
= 2 + 4 = 6
छठा पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= 6 + 4 = 10
सातवाँ पद a7 = छठा पद a6 + सार्वअन्तर d
= 10 + 4 = 14
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 6, 10, 14 हैं।

(v) दिया हुआ अनुक्रम 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
यहाँ a1 = 3, a2 = 3 + \(\sqrt{2}\), a3 = 3 + 2\(\sqrt{2}\), a4 = 3 + 3\(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = (3+ \(\sqrt{2}\)) – 3 = \(\sqrt{2}\)
a3 – a2 = (3 + 2\(\sqrt{2}\)) – (3 + \(\sqrt{2}\)) = \(\sqrt{2}\)
a4 – a3 = (3 + 3\(\sqrt{2}\)) – (3 + 2\(\sqrt{2}\))= \(\sqrt{2}\)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
∴ सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) और दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
3 + 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(3 + 1) = 3 + 4\(\sqrt{2}\)
छठा पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= 3 + 4\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(4 + 1) = 3 + 5\(\sqrt{2}\)
सातवाँ पद a7 = छठा पद a6 + सार्वअन्तर d
= 3 + 5\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 3 + 6\(\sqrt{2}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद
3 + 4\(\sqrt{2}\), 3 + 5\(\sqrt{2}\), 3 + 6\(\sqrt{2}\) है।

(vi) दिया हुआ अनुक्रम
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
यहाँ a1 = 0.2, a2 = 0.22, a3 = 0.222, a4 = 0.2222,
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02
a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
a4 – a3 = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a2 – a1 ≠ a3 – a2 ≠ a4 – a3
अतः दिया गया अनुक्रम A. P. नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम 0, -4, -8, -12, ….
यहाँ a1 = 0, a2 = -4, a3 = -8, a4 = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर :
a2 – a1 = – 4 – 0 = -4
a3 – a2 = – 8 – (-4)
= – 8 + 4 = -4
a4 – a3 = – 12 – (-8)
= – 12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है सार्वअन्तर = -4 है। अतः दिया गया अनुक्रम A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
= – 12 + (-4) = -16
पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= – 16 + (-4) = -20
सातवाँ पद a7 = छठा पद a6 + सार्वअन्तर d
= -20 + (-4) = -24
अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद -16, -20 और -24 हैं।

(viii) दिया हुआ अनुक्रम \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)

a4 – a3 = \(-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
= \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 0
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = 0 है अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
छठा पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2} \)
सातवाँ पद a7 = छठा पद a6 + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) है।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम 1, 3, 9, 27,…
यहाँ a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 9 – 3 = 6
a4 – a3 = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a2 – a1 ≠ a3 – a2 ≠ a4 – a3
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम a, 2a, 3a, 4a…..
यहाँ a1 = a, a2 = 2a, a3 = 3a, a4 = 4a
दो क्रमागत पद का अन्तर d:
a2 – a1 = 2a – a = a
a3 – a2 = 3a – 2a = a
a4 – a3 = 4a – 3a = a
∵ दो क्रमागत पर्दों का अन्तर समान (a) है।
अतः सार्वन्तर d = a तथा दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर d
= 4a + a = 5a
छठा पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर d
= 5a + a = 6a
सातवाँ पद a7 = छटा पद a7 + सार्वअन्तर d
= 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 5a, 6a, 7a है।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम यहाँ a, a2, a3, a4, ….
यहाँ a1 = a, a2 = a2, a3 = a3‚ a4 = a4
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = a2 – a = a(a – 1)
a3 – a2 = a3 – a2 = a2(a – 1)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः दिया गया अनुक्रम एक A. P. नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\)……
यहाँ a1 = \(\sqrt{2}\), a2 = \(\sqrt{8}\), a3 = \(\sqrt{18}\), a4 = \(\sqrt{32}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = \(\sqrt{8}\) – \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{4}\) – 1)
= \(\sqrt{2}\) (2 – 1) = \(\sqrt{2}\)
a3 – a2 = \(\sqrt{18}\) – \(\sqrt{8}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{4}\))
= \(\sqrt{2}\)(3 – 2) = \(\sqrt{2}\)
a4 – a3 = \(\sqrt{32}\) – \(\sqrt{18}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{19}\) – \(\sqrt{9}\))
= \(\sqrt{2}\)(4 – 3) = \(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
अतः सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) तथा दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब 5वाँ पद a5 = 4वाँ पद + सार्वअन्तर d.
= \(\sqrt{32}\) + \(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{16}\) + 1) = \(\sqrt{2}\)(4 + 1)
= 5\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{25}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{50}\)
6वाँ पद a6 = 5वाँ पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{50}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{25}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 6\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{36}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{72}\)
7वाँ पद a7 = 6वीं पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{72}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{36}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(6 + 1) = 7\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{49}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{98}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{98}\) हैं।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\), …
a1 = \(\sqrt{3}\), a2 = \(\sqrt{6}\), a3 = \(\sqrt{9}\), a4 = \(\sqrt{12}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d
a2 – a1 = \(\sqrt{6}\) – \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{2}\) – 1) = 0.717
a3 – a2 = \(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{6}\) = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{2}\)) = 0.530
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम 12, 32, 52, 72, ….
a1 = 12, a2 = 32, a3 = 52, a4 = 72
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a2 – a1 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8
a3 – a2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
a4 – a3 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a2 – a1 ≠ a3 – a2 ≠ a4 – a3
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(xv) दिया गया अनुक्रम 12, 52, 72, 73, ….
यहाँ a1 = 12, a2 = 52, a3 = 72, a4 = 73
दो क्रमागत पर्दों का अन्तर d:
a2 – a1 = 52 – 12 = 25 – 1 = 24
a3 – a2 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24
a4 – a3 = 73 – 72 = 73 – 49 = 24
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है।
अतः सार्वअन्तर d = 24
तथा दिया गया अनुक्रम A.P. है।
पाँचवाँ पद a5 = चौथा पद a4 + सार्वअन्तर
= 73 + 24 = 97
छठवाँ पद a6 = पाँचवाँ पद a5 + सार्वअन्तर
= 97 + 24 = 121
छठवाँ पद a7 = छठवाँ पद a6 + सार्वअन्तर
= 121 + 24 = 145
अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 97, 121 और 145 हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 – 4\(\sqrt{3}\)x + 4 = 0
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
2x2 – 3x + 5 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = – 3 तथा c = 5
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (- 3)2 – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 < 0
अतः दी गई द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
3x2 – 4\(\sqrt{3}\)x + 4 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = – 4\(\sqrt{3}\), c = 4
∴ विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-4\(\sqrt{3}\))2 – 4 × 3 × 4
= 48 – 48 = 0
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से,
x = \(\frac{-b \pm 4 \sqrt{D}}{2 a}\)
= \(\frac{-(-4 \sqrt{3}) \pm \sqrt{0}}{2 \times 3}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}\)
= \(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{2 \times 3}{3 \times \sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) और \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है : 2x2 – 6x + 3 = 0 है।
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
∴ विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
a = 2, b = – 6, c =3
= (- 6)2 – 4 × 2 × 3
= 36 – 24 = 12 > 0
∴ दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न-भिन्न होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से समीकरण के मूल
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 1

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों :
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
2x2 +kx +3 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = k तथा c = 3
विविक्तकर D = b2 – 4ac
= k2 – 4 × 2 × 3
= k2 – 24
समीकरण के मूल बराबर तब होंगे, जब विविक्तकर
D = 0 हो
अर्थात् k2 – 24 = 0
⇒ k2 = 24
⇒ k = ±\(\sqrt{24}\) = ±2\(\sqrt{6}\)
अतः मूल बराबर होने के लिए ±2\(\sqrt{6}\) होना चाहिए।

(ii) दिया गया समीकरण
kx(x – 2) + 6 = 0
या kx2 – 2kx + 6 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = -2k तथा c = 6
विविक्तकर D =b2 – 4ac
= (-2k)2 – 4 × k × 6
= 4k2 – 24k
= 4k(k – 6)
समीकरण के मूल बराबर तब होंगे, जब विविक्तकर
D = 0 हो
अर्थात् 4k(k – 6) = 0
⇒ k = 0 या k – 6 = 0
⇒ k = 0 या k = 6
अतः समीकरण के बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी’ हो ? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार बगिया की चौड़ाई = x मी
आयताकार बगिया की लम्बाई = 2x मी
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= [2x × x] मी2
= 2x2 मी2
प्रश्नानुसार, 2x2 = 800
⇒ x2 = \(\frac{800}{2}\) = 400
⇒ x = ±\(\sqrt{400}\)
⇒ x = ±20
∵ आयताकार बगिया की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए हम x = – 20 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 20
∴ आयताकार बगिया की चौड़ाई = 20 मी
और आयताकार बगिया की लम्बाई = (2 × 20) मी
= 40 मी

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प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है ? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल 48 था।
हल:
माना कि पहले मित्र की आयु = x वर्ष
∵ दोनों की आयु का योग 20 वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
चार वर्ष पूर्व,
पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) वर्ष
= (16 – x) वर्ष
और उनका गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x2 – 64 + 4x
= – x + 20x – 64
प्रश्नानुसार,
-x2 + 20x – 64 = 48
⇒ -x2 + 20x – 64 – 48 = 0
⇒ -x2 + 20x – 112 = 0 …..(1)
इसकी मानक समीकरण ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = -1, b = 20, c = -112
∴ विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (20)2 – 4 × (1) × (-112)
=400 – 448 = -48 < 0
∵ मूल वास्तविक नहीं होंगे।
इसलिए x का कोई भी मान द्विघात समीकरण (1) को सन्तुष्ट नहीं कर सकता है।
अतः दी गई स्थिति सम्भव नहीं है।

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प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी2 के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार पार्क की लम्बाई = x मी
एवं चौड़ाई = y मी
∴ आयताकार पार्क का परिमाप = 2(x + y) मी
और आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = xy मी2
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
2 (x + y) = 80
⇒ x + y = \(\frac{80}{2}\)
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40 – x …..(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
xy = 400
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
x(40 – x) = 400
⇒ 40x – x2 = 400
⇒ x2 – 40x + 400 = 0
इसकी तुलना मानक समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 40, c = 400
विविक्तकर (D) = b2 – 4ac
= (-40)2 – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600 = 0
अतः इस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से, x = \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
∴ x = 20 मी
तथा y = 40 मी – 20 मी = 20 मी
∴ आयताकार पार्क की लम्बाई और चौड़ाई की माप बराबर अर्थात् 20 मीटर है।
अतः दिया गया आयताकार पार्क का अस्तित्व सम्भव है और यह एक वर्ग है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x – 4 = 0
(iii) 4x2 + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x2 – 7x + 3 = 0
x2 – \(\frac{7}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) = 0
[प्रत्येक पद में x2 के गुणांक से भाग देने पर]
\(\left[x^2-\frac{7}{2} x\right]+\frac{3}{2}=0\)
[वह भाग जिसे पूर्ण वर्ग बनाना है, अलग करने पर]
\(x^2-\frac{7}{2} x=-\frac{3}{2}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर :
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 1
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 2
अत: अभीष्ट मूल 3 और \(\frac{1}{2}\) होंगे।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x2 + x – 4 = 0
2x2 + x = 4
x2 + \(\frac{1}{2}\)x = \(\frac{4}{2}\)
x के गुणांक \(\frac{1}{2}\) के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 3
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 4

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है:
4x2 + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
⇒ 4x2 + 4\(\sqrt{3}\)x = -3
⇒ x2 + \(\frac{4 \sqrt{3}}{4} x\) = \(-\frac{3}{4}\)
x2 + \(\sqrt{3}\)x = \(-\frac{3}{4}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 5
x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अतः दी गई समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x2 + x + 4 = 0
x2 + \(\frac{1}{2}\)x + 2 = 0
[प्रत्येक पद को 2 से भाग देने पर]
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 6
जो कि एक काल्पनिक संख्या है,
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x2 – 7x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 7 तथा c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 7
अतः समीकरण के मूल 3, \(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है।
2x2 + x – 4 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = – 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 8
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) होंगे।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
4x2 + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = 4\(\sqrt{3}\), c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 9
\(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{8}\)
x = \(\frac{-4 \sqrt{3}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) है।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x2 + x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1, c = 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 10
∵ \(\sqrt{-31}\) एक काल्पनिक संख्या है।
अतः दिए गये समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) \(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
\(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
⇒ \(\frac{x^2-1}{x}\) = 3
⇒ x2 – 1 = 3x [वज्रगुणन से]
⇒ x2 – 3x – 1 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -3 तथा c = -1
द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 11
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 12

(ii) दिया गया समीकरण है:
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 13
[दोनों पक्षों को 11 से भाग देने पर]
⇒ x2 – 3x – 28 = -30
⇒ x2 – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ x2 – (2 + 1)x + 2 = 0
⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2)
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
या तो x – 2 = 0 या फिर x – 1 = 0
जब x – 2 = 0 तो x = 2
जब x – 1 = 0 तो x = 1
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और 2 है ।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac{1}{3}\) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 14
⇒ 6x + 6 = x2 + 2x – 15
⇒ x2 + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x2 – 4x – 21 = 0, जो कि x में द्विघात है।
इसकी तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 21
द्विघात सूत्र से
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 15
∵ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -3 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग 30 है।
तब अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x) अंक
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2) अंक मिलते और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3) या (27 – x) अंक मिलते तो अंकों का गुणनफल = (x + 2) (27 – x)
= 27x – x2 + 54 – 2x
= 25x – x2 + 54
परन्तु प्रश्नानुसार, अंकों का गुणनफल = 210
∴ 210 = 25x – x2 + 54
⇒ x2 – 25x – 54 + 210 = 0
⇒ x2 – 25x + 156 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -25 तथा c = 156
द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 16
तब शेफाली ने गणित में या तो 13 अंक प्राप्त किए या फिर 12 अंक प्राप्त किए।
यदि उसने गणित में 12 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 12) = 18 अंक प्राप्त किए और यदि उसने गणित में 13 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 13) = 17 प्राप्त किए।
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकणं उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार खेत की छोटी भुजा = AD = x मीटर
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 17
आयताकार खेत की लम्बी भुजा = AB = (x + 30) मीटर
और आयताकार खेत का विकर्ण = DB = (x + 60) मीटर
एक आयत में लम्बाई और चौड़ाई के बीच का कोण समकोण होता है।
∴ ∠DAB = 90°
समकोण त्रिभुज DAB में, पाइथागोरथ प्रमेय से,
(DB)2 = (AD)2 + (AB)2
(x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2
⇒ x2 + 3600 + 120x = x2 + x2 + 900 + 60x
⇒ x2 + 3600 + 120x – x2 – x2 – 900 – 60x = 0
⇒ -x2 + 60x + 2700 = 0
या, x2 – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = -60, c = -2700
द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 18
स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\)
⇒ x = 90
स्थिति (II) ऋणात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\)
⇒ x = -30
∴ x = 90 और -30
∵ किसी भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -30 को छोड़ देते हैं।
अत: x = 90 मीटर
आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा = (90 + 30) मीटर = 120 मीटर।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या = x
छोटी संख्या = y
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
x2 – y2 = 180 …..(i)
प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
y2 = 8x …..(ii)
समीकरण (ii) से y2 का मान समीकरण (i) में रखने पर
x2 – 8x = 180
= x2 – 8x – 180 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 8, c = -180
द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 19
स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) = 18
स्थिति (II)-ऋणात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = -10
अतः x = 18 और -10
जब x = 18 हो, तो समीकरण (ii) से,
y2 = 8 × 18 = 144
⇒ y = ±\(\sqrt{144}\)
⇒ y = ± 12
जब x = -10 हो, तो समीकरण (ii) से,
y2 = 8 × (-10)
⇒ y2 = -80
⇒ y = ±\(\sqrt{-80}\) (एक काल्पनिक संख्या)
इसे छोड़ देते हैं।
∴ y = +12
अर्थात् y = +12 और -12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 18 और 12 या 18, -12 होंगी।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/ घण्टा है।
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 20
यदि रेलगाड़ी की चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती अर्थात् चाल = (x + 5) किमी/घण्टा
∴ समय = \(\frac{360}{x+5}\) घण्टा
यह समय पहले समय से 1 घण्टा कम है (दिया है)
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 21
इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 5 तथा c = – 1800
तब द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 22
∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी / घण्टा।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac{3}{8}\) घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग-अलग हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = x घण्टे
कम व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = (x + 10) घण्टे
बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x}\) भाग
छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x+10}\) भाग
प्रश्नानुसार यदि दोनों नल एक साथ खुले हों तो 1 घण्टे में हौज भरेगा = \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}\right)\) भाग
दिया है, दोनों नल एक साथ हौज को भरने में 9\(\frac{3}{8}\) अर्थात् \(\frac{75}{8}\) घण्टे लेते हैं।
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 23
⇒ 150x + 750 = 8x2 + 80x
⇒ 8x2 + 80x – 150x – 750 = 0
⇒ 8x2 – 70x – 750 = 0
⇒ 2(4x2 – 35x – 375) = 0
⇒ 4x2 – 35x – 375 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = – 35, c = -375
द्विघात सूत्र से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 24
स्थिति (II)-ऋण चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{35-85}{8}\)
= \(\frac{-50}{8}=\frac{-25}{4}\) घण्टे
∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
∴ x = \(\frac{-25}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 15 घण्टे
अतः बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = 15 घण्टे
और छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = (15 + 10) घण्टे
= 25 घण्टे

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 10.
मैसूर और बंगलौर के बीच की 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारीगाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारीगाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/ घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी / घण्टा है।
∵ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की औसत चाल की अपेक्षा 11 किमी/ घण्टा अधिक है।
∴ एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 11) किमी / घण्टा
तब 132 किमी यात्रा में सवारीगाड़ी द्वारा लिया गया
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 25
⇒ x2 + 11x = 1452
⇒ x2 + 11x – 1452 = 0
इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = 11, c = -1452
श्रीधराचार्य से,
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 26
∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -44 अस्वीकार्य है।
अतः सवारीगाड़ी की औसत चाल = 33 किमी / घण्टा है।
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल (33 + 11) = 44 किमी / घण्टा है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना एक वर्ग की भुजा x मीटर है।
उस वर्ग का परिमाप = 4x मीटर
∵ दोनों परिमापों का अन्तर 24 मीटर है।
∴ दूसरे वर्ग का परिमाप = 4x + 24 मीटर
तब दूसरे वर्ग की भुजा = \(\frac{4 x+24}{4}\)
= \(\frac{4(x+6)}{4}\)
= (x + 6) मीटर
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x2 वर्ग मीटर
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (x + 6)2 वर्ग मीटर
= x2 + 12x + 36 वर्ग मीटर
∵ दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 वर्ग मीटर
∴ x2 + (x2 + 12x + 36) = 468
⇒ 2x2 + 12x + 36 – 468 = 0
⇒ 2x2 + 12x – 432 = 0
⇒ 2(x2 + 6x – 216) = 0
⇒ x2 + 6x – 216 = 0
⇒ x2 + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18 ) (x – 12) = 0
जब x + 18 = 0 हो, तो x = -18
या फिर x – 12 = 0 हो, तो x = 12
वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -18 को छोड़ने पर
∴ x = 12
छोटे वर्ग की भुजा = 12 मीटर
तथा बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 मीटर
अतः वर्गों की भुजाएँ क्रमश: 12 मीटर व 18 मीटर हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) \(\sqrt{2}\)x2 + 7x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
(iv) 2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
x2 – 3x – 10 = 0
⇒ x2 – (5 – 2)x – 10 = 0
⇒ x2 – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यहाँ या तो (x – 5) = 0 या फिर (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0 हो तो x = 5 और
यदि x + 2 = 0 हो तो x = – 2
अतः द्विघात समीकरण के मूल 5 या -2 है।

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x2 + x – 6 = 0
⇒ 2x2 + (4 – 3)x – 6 = 0
⇒ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यहाँ या तो (x + 2) = 0 या फिर (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = -2
यदि 2x – 3 = 0 हो, तो
⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल – 2 या \(\frac{3}{2}\) है।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
\(\sqrt{2}\)x2 + 7x + 5\(\sqrt{2}\) =0
\(\sqrt{2}\)x2 + (5 + 2)x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
\(\sqrt{2}\)x2 + 5x + 2x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
x(\(\sqrt{2}\)x + 5) + \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0
(\(\sqrt{2}\)x + 5) (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यहाँ या तो (\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0 या फिर (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यदि \(\sqrt{2}\)x + 5 = 0 हो, तो
\(\sqrt{2}\)x – 5 ⇒ x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
यदि x + \(\sqrt{2}\) = 0 हो, तो x = –\(\sqrt{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\) या –\(\sqrt{2}\) होंगे।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x2 – x – \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ \(\frac{16 x^2-8 x+1}{8}\) = 0
⇒ 16x2 – 8x + 1 = 0
⇒ 16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
अर्थात् 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{1}{4}\) या \(\frac{1}{4}\) अर्थात् दोनों मूल समान होंगे।

(v) दिया गया द्विघात समीकरण है:
100x2 – 20x + 1 = 0
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
अर्थात् 10x – 1 = 0 या फिर 10x – 1 = 0
या 10x = 1 या 10x = 1
या x = \(\frac{1}{10}\) या x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होंगे।
∴ x = \(\frac{1}{10}\) और \(\frac{1}{10}\)

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए:
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं। अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि प्रारम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे ?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में), 55 में से एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल:
(i) माना प्रारम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे थे।
∴ जीवंती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार,
जब जीवंती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष कंचों की संख्या
= (45 – x – 5) = (40 – x)
अब कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= – x2 + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार,
-x2 + 45x – 200 = 124
⇒ -x2 + 45x – 200 – 124 = 0
⇒ -x2 + 45x – 324 = 0
⇒ -(x2 – 45x + 324) = 0
⇒ x2 – 45x + 324 = 0
⇒ x2 – (36 + 9)x + 324 = 0
⇒ x2 – 36x – 9x + 324=0
⇒ x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
या तो x – 36 = 0 या फिर x – 9 = 0
यदि x – 36 = 0 तो x = 36
और यदि x – 9 = 0 तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9 तब स्पष्ट है कि
यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं, तो जीवंती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9)।

(ii) माना उस विशेष दिन x खिलौने निर्मित किए गए।
∴ प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
∴ उस दिन निर्मित सभी खिलौनों की लागत
= ₹ x(55 – x)
= ₹ (55x – x2)
परन्तु प्रश्नानुसार उस दिन की निर्माण लागत ₹ 750 थी।
⇒ 55x – x2 = 750
⇒ 55x – x2 – 750 = 0
⇒ x2 – 55x + 750 = 0
⇒ x2 – (30 + 25)x + 750 = 0
⇒ x2 – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30 ) – 25 (x – 30 ) = 0
⇒ (x – 30) (x – 25) = 0
अर्थात् x – 30 = 0 या फिर x – 25 = 0
∴ x = 30 या x = 25
x = 30 और 25
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 या 25 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल:
माना कि पहली संख्या x है।
दिया है, दोनों संख्याओं का योग 27 है।
∴ दूसरी संख्या = 27 – x
दिया है, संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x)
= 27x – x2
प्रश्नानुसार, 27x – x2 = 182
⇒ -x2 – 27x – 182 = 0
⇒ x2 – 27x + 182 = 0
⇒ x2 – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ (x – 13) – 14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13 ) (x – 14) = 0
अर्थात् या तो
x – 13 = 0 या फिर x – 14 = 0
∴ x = 13 या x = 14
∴ x = 13, 14
अतः दो संख्याएँ 13 और 14 हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना कि पहला धनात्मक पूर्णांक x है
तथा दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक (x + 1) होगा।
प्रश्नानुसार, (x2) + (x + 1 )2 = 365
⇒ x2 + x2 + 1 + 2x = 365
⇒ 2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x2 + 2x – 364 = 0
⇒ x2 + x – 182 = 0
⇒ x2 + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए x = -14 सम्भव नहीं है।
∴ x = 13
∴ दूसरा धनात्मक पूर्णांक = 13 + 1 = 14
अतः दो अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 है।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्णे 13 सेमी हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समकोण त्रिभुज का आधार = x सेमी
इसलिए, समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (x – 7 ) सेमी
दिया है, समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
(आधार)2 + (लम्ब)2 = (कर्ण)2
(x)2 + (x – 7)2 = (13)2
⇒ x2 + x2 + 49 – 14x = 169
⇒ 2x2 – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x2 – 14x – 120 = 0
⇒ 2[x2 – 7x – 60] = 0
⇒ x2 – 7x – 60= 0
⇒ x2 – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
∵ त्रिभुज की लम्बाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -5 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 12
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 सेमी
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (12 – 7) सेमी 5 सेमी।
अतः त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 5 सेमी और 12 सेमी हैं।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
∵ प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी।
∴ प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹ x × (2x + 3)
= ₹ (2x2 + 3x)
प्रश्नानुसार,
उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
∴ 2x2 + 3x = 90
⇒ 2x2 + 3x – 90 = 0
⇒ 2x2 + (15 – 12)x – 90 = 0
⇒ 2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
यदि 2x + 15 = 0 हो, तो 2x = -15 ⇒ x = –\(\frac{15}{2}\)
और यदि x – 6 = 0 हो, तो x = 6
∵ बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः x = –\(\frac{15}{2}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6 + 3)
= ₹ (12 + 3) = 15
अतः निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2(x – 3 )
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
(x + 1)2 = 2(x – 3)
[सूत्र (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से]
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण है:
x2 – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x2 – 2x = – 6 + 2x
⇒ x2 – 2x – 2x + 6 = 0
⇒ x2 – 4x + 6 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2 (x + 1) = x (x + 3) – 1 (x + 3)
⇒ x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
⇒ x2 + x – 2x – 2 – x2 – 3x + x + 3 = 0
⇒ 3x + 1 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः समीकरण, द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
⇒ 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
⇒ x2 – 10x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
x2 – 11x + 8 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण
x2 + 3x + = (x – 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 + 4 – 4x
⇒ x2 + 3x + 1 – x2 – 4 + 4x = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण
(x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
⇒ x3 + (2)3 + 3 × x × 2 (x + 2) = 2x3 – 2x
⇒ x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x = 0
⇒ x3 + 8 + 6x2 + 12x – 2x3 + 2x = 0
⇒ -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
∵ यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
अतः यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 – 3 × x × 2 (x – 2)
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x = 0
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 – x3 + 8 + 6x2 – 12x = 0
⇒ 2x2 – 13x + 9 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर 2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी हैं।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
∵ भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 मीटर अधिक है।
∴ भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x + 1)
= (2x + 1) मीटर
∵ आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = ल. × चौ.
= (2x + 1) × x
= (2x2 + x) वर्ग मीटर
दिया है भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
∴ 2x2 + x = 528
या 2x2 + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
2x2 + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक है तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक x + 1 है,
∴ पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x + 1) = x2 + x
प्रश्नानुसार, x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण:
x2 + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा उसकी माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है।
∴ रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
तथा तीन वर्ष बाद रोहन की माँ की आयु = (x + 26) + 3 = (x + 29) वर्ष
∴ रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x2 + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x2 + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x2 + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
x2 + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा है।
निर्धारित दूरी = 480 किमी
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 1
यदि रेलगाड़ी की चाल 8 किमी / घण्टा कम हो अर्थात् चाल (x – 8) किमी / घण्टा होती तो रेलगाड़ी द्वारा 480 किमी दूरी चलने में लगा समय
JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 2
⇒ 3x2 – 24x = 3840
⇒ 3x2 – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x2 – 8x – 1280) = 0
⇒ x2 – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण : x2 – 8x – 1280 = 0