JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Exercise 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना कि खम्भे की ऊँचाई AB = h मीटर
तथा डोरी की लम्बाई AC = 20 मीटर
भूमि स्तर के साथ डोरी द्वारा बनाया गया कोण 30° है,
अर्थात् ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
sin 30° = लम्ब / कर्ण = \(\frac{A B}{A C}\)
[∵ लम्ब व कर्ण में त्रिकोणमितीय अनुपात sin θ का होता है ]
\(\frac{1}{2}=\frac{h}{20}\)
⇒ 2h = 20
∴ h = \(\frac{20}{2}\) = 10 मीटर
अतः खम्भे की ऊँचाई 10 मीटर है।

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BD है।
आँधी के पश्चात् पेड़ A स्थान से टूटकर पेड़ का शिखर जमीन पर C बिन्दु पर पड़ता है।

अर्थात् AD = AC = h₂ मीटर (माना)
और AB = h₁ मीटर (माना)
BC = 8 मीटर
टूटा हुआ भाग जमीन से 30° का कोण बनाता है।
अत : ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h_1}{8}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h1 = 8
∴ h1 = \(\frac{8}{\sqrt{3}}\) मीटर
पुन: समकोण ΔABC में,
cos 30° = \(\frac{B C}{A C}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{h_2}\)
⇒ h2\(\sqrt{3}\) = 16
⇒ h2 = \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) मीटर
पेड़ की कुल लम्बाई (BD) = AB + AD

= 8\(\sqrt{3}\) = 8 × 1.732
= 13.86 मीटर
अतः पेड़ की ऊँचाई 13.86 मीटर या 8\(\sqrt{3}\) मीटर है।

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मीटर की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मीटर की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:
स्थिति I. जब ठेकेदार 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है तो उसकी ऊँचाई AB = 1.5 मीटर तथा फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण ACB = 30° है।
माना फिसलनपट्टी की लम्बाई AC मीटर है।

समकोण ΔABC में,
sin 30° = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{1.5}{x}\)
⇒ x = 1.5 × 2
∴ AC = 3 मीटर
स्थिति II. जब ठेकेदार 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है, तो उसकी ऊँचाई PQ = 3 मीटर होती है और फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण 60° है अर्थात् ∠PRQ = 60°

माना फिसलनपट्टी की लम्बाई (PR) y मीटर है।
समकोण ΔPQR में,

अत: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 3 मीटर तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 2\(\sqrt{2}\) मीटर

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई BC h मीटर है। मीनार के आधार B से 30 मीटर दूर भूमि पर स्थित बिन्दु A है अर्थात् AB = 30 मीटर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। अर्थात् ∠BAC = 30°

समकोण ΔABC में,

= 10 × 1.732
∴ h = 17.32 m (लगभग)
अतः मीनार की ऊँचाई 10\(\sqrt{3}\) मीटर या 17.32 मीटर

प्रश्न 5.
भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AX एक क्षैतिज रेखा है। रेखा पर स्थित बिन्दु C से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग B उड़ रही है यह पतंग B भूमि पर स्थित एक बिन्दु A से तनी हुई डोरी AB द्वारा बँधी हुई है। डोरी AB का भूमि के साथ कोण CAB = 60° है।

समकोण ΔACB में,
sin 60° = \(\frac{B C}{A B}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{60}{A B}\)
\(\sqrt{3}\)AB = 60 × 2
AB = \(\frac{120}{\sqrt{3}}\)
AB = \(\frac{120}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{120}{3} \sqrt{3}\)
= 40\(\sqrt{3}\) मीटर
= 40 × 1.732 मीटर
= 69.28 मीटर
अतः डोरी की लम्बाई = 40\(\sqrt{3}\) मीटर या 69.28 मीटर।

प्रश्न 6.
1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
हल:
माना PQ एक भवन है जिसकी ऊँचाई 30 मीटर हैं। भवन के आधार Q से x मीटर की दूरी पर बिन्दु R पर एक लड़का OR खड़ा है जिसकी ऊँचाई OR 1.5 मीटर है।
तब OS || RQ तथा OR || SQ
∴ SQ = OR = 1.5 मीटर
∴ PS = PQ – SQ
= 30 – 1.5 = 28.5 मीटर

लड़के की आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तथा लड़का भवन की ओर कुछ दूरी चलता है, तो भवन के शिखर का उन्नयन कोण 60° हो जाता है, तब
∠POS = 30° तथा ∠PTS = 60°
तब समकोण ΔPSO से,
tan 30° = \(\frac{P S}{O S}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{O S}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x}\) (∵ OS = RQ = x मीटर)
⇒ x = 28.5\(\sqrt{3}\)
अतः OS = 28.5\(\sqrt{3}\)
माना लड़का कुछ दूरी चलकर बिन्दु 7 पर पहुँचता है जहाँ से उसकी आँख का कोण PTS, 60° हो जाता है। तब समकोण ΔPTS में,

अतः लड़के द्वारा भवन की ओर तय की गई दूरी 19\(\sqrt{3}\) मीटर है।

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि BC एक भवन है, जिसकी ऊँचाई 20 मीटर है।

भवन के शिखर बिन्दु C पर एक संचार मीनार CD है।
संचार मीनार के तल C और शिखर D से उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं।
अर्थात् ∠CAB = 45° और ∠DAB = 60°
समकोण ΔABC में,
tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{20}{A B}\)
∴ AB = 20 मीटर
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{B D}{A B}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{B D}{20}\)
∴ BD = 20\(\sqrt{3}\) मीटर
संचार मीनार की ऊँचाई CD = BD – BC
= 20\(\sqrt{3}\) – 20 = 20 (\(\sqrt{3}\) – 1)
= 20 (1.732 – 1)
= 20 × 0.732 = 14.64 मीटर
अतः संचार मीनार की ऊँचाई = 20 (\(\sqrt{3}\) – 1) मीटर या 14.64 मीटर है।

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेडस्टल की ऊँचाई BC = h मीटर
दिया है: मूर्ति की ऊँचाई CD = 1.6 मीटर है।
क्षैतिज भूमि पर स्थित बिन्दु A से मूर्ति के शिखर D का उन्नयन कोण BAD = 60° तथा पेडस्टल के शिखर C का उन्नयन कोण BAC = 45° है।

समकोण ΔABC में,
tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{A B}\)
∴ AB = h मीटर
पुनः समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{B D}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{B C+C D}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h+1.6}{h}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h = h + 1.6
⇒ \(\sqrt{3}\)h – h = 1.6
⇒ h (\(\sqrt{3}\) – 1) = 1.6
∴ h = \(\frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\)
\(\frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{3-1}\)
∴ h = \(\frac{1.6}{2}(\sqrt{3}+1)\)
= 0.8 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः पेडस्टल की ऊँचाई = 0.8 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर।

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि AB कोई मीनार है जिसकी ऊँचाई 50 मीटर है।
मीनार के पाद बिन्दु B से भवन की चोटी D का उन्नयन कोण 30° है जबकि भवन के आधार बिन्दु C से मीनार की चोटी 4 का उन्नयन कोण 60° है।
अर्थात् ∠CBD = 30° और ∠ACB = 60°

माना भवन की ऊँचाई CD = h मीटर
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{50}{B C}\)
∴ BC = \(\frac{50}{\sqrt{3}}\)
पुन: समकोण ΔBCD में,
tan 30° = \(\frac{C D}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{\frac{50}{\sqrt{3}}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} h}{50}\)
⇒ \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\)h = 50
⇒ 3h = 50
h = \(\frac{50}{3}=16 \frac{2}{3}\) मीटर
अतः भवन की ऊँचाई 16\(\frac{2}{3}\) मीटर है।

प्रश्न 10.
एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना BC और DE दो बराबर ऊँचाई के खम्भे हैं जिनकी ऊँचाई / मीटर है। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क BD पर एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° है।

अर्थात् ∠CAB = 60° और ∠DAE = 30°
BC = DE = h मीटर (माना)
BD = 80 मीटर
DA = x मीटर (माना)
∴ AB = BD – DA
AB = (80 – x) मीटर
समकोण ΔADE में,
tan 30° = \(\frac{E D}{D A}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x}\)
h = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) मीटर ….(i)
पुन: समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{h}{80-x}\)
h = (80 – x)\(\sqrt{3}\) …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\(\frac{x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(80-x)\)
⇒ x = \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) (80 – x)
⇒ x = 3(80 – x)
⇒ x = 240 – 3x
⇒ x + 3x = 240
⇒ 4x = 240
∴ x = \(\frac{240}{4}\) = 60 मीटर
AD = 60 मीटर
और AB = 80 – 60 = 20 मीटर
समीकरण (i) से,
h = \(\frac{60}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{60}{3} \sqrt{3}\)
= 20\(\sqrt{3}\)
अर्थात् h = 20 × 1.732
= 34.64 मीटर।
अतः खम्भे की ऊँचाई 34.64 मीटर है बिन्दु की खम्भों से दूरी क्रमश: 20 मीटर और 60 मीटर है।

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरत: खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 मी दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (देखिए आकृति)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना नहर की चौड़ाई BC = x मीटर है।
तथा टीवी टॉवर की ऊँचाई AB = h मीटर है।
भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h}{x}\)
∴ h = x\(\sqrt{3}\) मीटर …(i)
पुनः समकोण ΔABD में,
⇒ tan 30° = \(\frac{A B}{B D}=\frac{A B}{D C+B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+x}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h = 20 + x
⇒ \(\sqrt{3}\) × x\(\sqrt{3}\) = 20 + x [समीकरण (i) से]
⇒ 3x = 20 + x
⇒ 3x – x = 20
⇒ 2x = 20
∴ x = \(\frac{20}{2}\)
अत: BC = 10 मीटर
समी. (i) में x का मान प्रतिस्थापन करने पर,
h = 10\(\sqrt{3}\)
h = 10 × 1.732 = 17.32 मीटर
AB = 17.32 मीटर
अतः टावर की ऊँचाई = 17.32 मीटर
तथा नहर की चौड़ाई = 10 मीटर

प्रश्न 12.
7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक केबल टॉवर है। उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 7 मीटर है।
केबल टॉवर के शिखर को उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमश: 60° और 45° हैं।

अर्थात ∠ACE = 60°
और ∠ECB = 45°
BD || CE, CD || BE
∴ CD = BE = 7 मीटर
अब समकोण त्रिभुज CBD में,
tan 45° = \(\frac{C D}{D B}\)
⇒ 1 = \(\frac{7}{D B}\)
∴ DB = 7 मीटर
CE = DB = 7 मीटर
पुन: समकोण त्रिभुज AEC में,
tan 60° = \(\frac{A E}{C E}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{A E}{7}\)
∴ AE = 7\(\sqrt{3}\) मीटर
तब टॉवर AB की ऊँचाई = AE + EB
= 7\(\sqrt{3}\) + 7
= 7\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः केबल टॉवर की ऊँचाई = 7(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर ।

प्रश्न 13.
समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 75 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ PQ के शिखर P से, A और B जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।
∴ ∠SPA = 30° = ∠PAQ (एकान्तर कोण)
तथा ∠SPB = 45° = ∠PBQ (एकान्तर कोण)

माना जहाजों के बीच की दूरी AB = x मीटर
समकोण ΔPQB में,
tan 45° = \(\frac{P Q}{B Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{75}{B Q}\)
∴ BQ = 75 मीटर
पुन: समकोण ΔPQA में,
tan 30° = \(\frac{P Q}{A Q}=\frac{P Q}{A B+B Q}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75}{x+75}\)
⇒ x + 75 = 75\(\sqrt{3}\)
x = 75\(\sqrt{3}\) – 75
= 75 (\(\sqrt{3}\) – 1) मीटर
= 75 × 0.732 = 54.90 मीटर
अतः दो जहाजों के बीच की दूरी 75 (\(\sqrt{3}\) – 1) या 54.90 मीटर है।

प्रश्न 14.
1.2 मीटर लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।

हल:
माना 1.2 मीटर लम्बी लड़की की आँख ‘A’ है। भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे गुब्बारे की विभिन्न दूरियों पर उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं।

∠BAE = 60° और ∠DAC = 30°
BE = CD = 88.2 – 1.2 = 87 मीटर
समकोण ΔABE में,
tan 60° = \(\frac{B E}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{87}{x}\)
⇒ x = \(\frac{87}{\sqrt{3}}\) ….(1)
पुन: समकोण ΔACD में,
tan 30° = \(\frac{C D}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{x+y}\)
⇒ x + y = 87\(\sqrt{3}\)
⇒ x = 87\(\sqrt{3}\) – y ….(2)
समीकरण (1) व (2) से
\(\frac{87}{\sqrt{3}}\) = 87\(\sqrt{3}\) – y
87 = 87 × 3 – \(\sqrt{3}\)y
\(\sqrt{3}\)y = 87 × 3 – 87
\(\sqrt{3}\)y = 261 – 87
\(\sqrt{3}\)y = 174
y = \(\frac{174}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{174}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{174 \sqrt{3}}{3}\)
y = 58\(\sqrt{3}\) मीटर
अतः गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58\(\sqrt{3}\) मीटर

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाती है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना BCD एक सीधा राजमार्ग है जिसके बिन्दु D पर, AD मीनार खड़ी है जिसकी ऊँचाई h मीटर है। मीनार के शिखर 4 से एक कार B का अवनमन कोण 30° है। 6 सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है।
∵ 6 सेकण्ड में कार द्वारा तय की गई दूरी = BC समकोण ΔABD से,
tan 30° = \(\frac{A D}{B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{B D}\)
BD = \(\sqrt{3}\)h …..(i)

पुन: समकोण ΔACD में,
tan 60° = \(\frac{A D}{C D}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h}{C D}\)
∴ h = \(\sqrt{3}\)CD …(ii)
समी (i) मैं h का मान रखने पर
BD = \(\sqrt{3}\) · \(\sqrt{3}\)CD
⇒ BD = 3CD (∵ BD = BC + CD)
⇒ BC + CD = 3CD
⇒ BC = 3CD – CD
⇒ BC = 2CD
⇒ CD = \(\frac{1}{2}\)BC
चूँकि कार एक समान चाल से चल रही है तथा CD दूरी BC की आधी है।
अत: CD दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{1}{2}\) × BC दूरी चलने में लगा समय
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 सेकण्ड
अतः कार को मीनार के पाद तक पहुँचने में लगा समय = 3 सेकण्ड ।

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
हल:
माना CD एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मीटर है।

मीनार के आधार से 4 मीटर दूरी पर बिन्दु B है तथा 9 मीटर दूरी पर बिन्दु A है।
माना ∠DBC = 6 है तो
इसका पूरक ∠DAB = 90° – 6 होगा।
समकोण ΔDCB में,
tan θ = \(\frac{D C}{B C}\)
⇒ tan θ = \(\frac{h}{4}\) …(i)
पुन: समकोण ΔDCA में,
tan (90° – θ) = \(\frac{D C}{A C}\)
⇒ cot θ = \(\frac{h}{9}\)
\(\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{9}\) …(ii)
समी (i) व (ii) का गुणा करने पर
tan θ × \(\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{4} \times \frac{h}{9}\)
⇒ \(1=\frac{h^2}{36}\)
⇒ h₂ = 36
⇒ h = \(\sqrt{36}\)
∴ h = 6 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 6 मीटर।