JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्मों का निर्माण कीजिए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिलों और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
∴ कुल संख्या = x + y
प्रश्नानुसार, x + y = 10.
∵ लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है।
∴ x = y + 4 ⇒ x – y = 4
∴ रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 10 …(i)
x – y = 4 …(ii)
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण x + y = 10 से,
⇒ y = 10 – x
x = 3 रखने पर, y = 10 – 3 = 7
x = 7 रखने पर, y = 10 – 7 = 3
x = 8 रखने पर, y = 10 – 8 = 2
सारणी-I

x 3 7 8
y 7 3 2

पुन: समीकरण x – y = 4 से
⇒ y = x – 4
x = 2 रखने पर, y = 2 – 4 = -2
y = 7 रखने पर, y = 7 – 4 = 3
y = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
सारणी-II

x 2 7 4
y -2 3 0

बिन्दुओं (3, 7), (7, 3) तथा (8, 2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 10 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती है।
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पुन: बिन्दुओं (2, -2) (7, 3) तथा (4, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(7, 3) पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
∴ बिन्दु P(7, 3) आलेखीय स्थिति है।
अतः लड़कियों की संख्या (x) = 7
तथा लड़कों की संख्या (y) = 3
(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
प्रश्नानुसार, 5 पेंसिलों तथा 7 कलमों का मूल्य ₹ 50 है।
5x + 7y = 50
प्रश्नानुसार, 7 पेंसिलों तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है।
7x + 5y = 46
∴ रैखिक समीकरण युग्म
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण 5x + 7y = 50 से,
7y = 50 – 5x
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सारणी-I

x -4 3 10
y 10 5 0

पुन: समीकरण 7x + 5y = 46 से
⇒ 5y = 46 – 7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)
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सारणी-II

x -2 3 8
y 12 5 -2

बिन्दुओं (-4, 10) (3, 5) तथा (10, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती हैं। पुनः बिन्दुओं (-2, 12), (3, 5) तथा (8, -2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(3, 5) पर कांटती हैं।
दिए हुए समीकरण-युग्म का अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।
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अत: एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

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प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) दिए गए समीकरण युग्म :
5x – 4y + 8 = 0 …(1)
7x + 6y – 9 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8
a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9
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अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 9, b1 = 3, c1 = 12
a2 = 18, b2 = 6, c2 = 24
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अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
6x – 3y +10 = 0
और 2x – y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a2 = 2, b2 = 3, c2 = 9
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अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण के युग्म संगत हैं या असंगत हैं :
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण-युग्म है:
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0
और 2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5
a2 = 2, b2 = -3, c2 = -7
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∴ रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल।
अतः दिया हुआ रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8
या 2x – 3y – 8 = 0…(i)
और 4x – 6y = 9
या 4x – 6y – 9 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
a1 = 2, b1 = – 3, c1 = – 8
a2 = 4, b2 = – 6, c2 = – 9
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∴ दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0 …(i)
और 9x – 10y = 14
या 9x – 10y – 14 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = \(\frac{3}{2}\), b1 = \(\frac{5}{3}\), c1 = -7
a2 = 9, b2 = – 10, c2 = -14
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समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः दिया गया समीकरण युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरणं युग्म :
5x – 3y = 11
या 5x – 3y – 11 = 0 ….(i)
और -10x + 6y = -22
या -10x + 6y + 22 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 5, b1 = – 3, c1 = -11
a2 = -10, b2 = 6, c2 = 22
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समीकरण युग्म सम्पाती है।
दिए गए समीकरण युग्म के अनन्त हल है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
या \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 …..(i)
और 2x + 3y = 12
और 2x + 3y – 12 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक युग्म a1x + b1y + c = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
यहाँ a1 = \(\frac{4}{3}\), b1 = 2, c1 = -8
a2 = 2, b2 = 3, c2 = -12
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∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

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प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-से रैखिक समीकरणों के युग्म संगत/असंगत हैं ? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 20, 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 या x + y – 5 = 0 …(1)
2x + 2y = 10 या 2x + 2y – 10 = 0 … (2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 1, b1 = 1, c1 =-5
a2 = 2, b2 = 2, c2 = -10
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∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि:
समीकरण (1) से,
x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 2 रखने पर, y = 5 – 2 = 3
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-I

x 5 2 0
y 0 3 5

बिन्दुओं A (5, 0) B (2, 3) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण x + y = 5 को इंगित करती है।
समीकरण (2) से,
2x + 2y = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 3 रखने पर, y = 5 – 3 = 2
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-II

x 5 3 0
y 0 2 5

बिन्दुओं A(5, 0), B (3, 2) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण 2x + 2y = 10 को इंगित करती है।
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आलेख से यह स्पष्ट है कि दिया गया रैखिक समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः इनके अपरिमित रूप से अनेकों हल हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x – y = 8
या x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16
या 3x – 3y – 16 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 1, b1 = -1, c1 = – 8
a2 = 3, b2 = – 3, c2 = – 16
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∵ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 …(1)
4x – 2y – 4 = 0 …(2)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 2, b1 = 1, c1 = – 6
a2 = 4, b2 = – 2, c2 = -4
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∴ दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
अतः समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि : समीकरण (1) से,
2x + y – 6 = 0
⇒ y = 6 – 2x
x = 3 रखने पर, y = 6 – 2 × 3 = 6 – 6 = 0
x = 2 रखने पर, y = 6 – 2 × 2 = 6 – 4 = 2
x = 4 रखने पर, y = 6 – 2 × 4= 6 – 8 = -2
सारणी-I

x 3 2 4
y 0 2 -2

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2y = 4x – 4
⇒ y = \(\frac{4 x-4}{2}\) = 2x – 2
x = 1 रखने पर, y = 2 × 1 – 2 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 × 2 – 2 = 4 – 2 = 2
x = 0 रखने पर, y = 2 × 0 – 2 = 0 – 2 = -2
सारणी-II

x 1 2 0
y 0 2 -2

पुन: बिन्दुओं D(1, 0), B(2, 2), E(0, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
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आलेख से स्पष्ट है कि दिए गए समीकरण युग्म की दो सरल रेखाएँ बिन्दु B(2, 2) पर काटती हैं।
x = 2, y = 2
अतः दिए गए समीकरण युग्म के अद्वितीय हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:
2x – 2y – 2 = 0
और 4x – 4y – 5 = 0
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर,
a1 = 2, b1 = -2, c1 = – 2
a2 = 4, b2 = -4, c2 = -5
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∴ दिए गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

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प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर
और चौड़ाई y मीटर हैं।
दिया है, लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 या x – y = 4
आयताकार बाग का परिमाप = 2 (x + 1) मीटर
आयताकार बांग का अर्द्धपरिमाप = \(\frac{1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac{1}{2}\)× 2 (x + y)
= (x + y) मीटर
परन्तु दिया है अर्द्ध परिमाप = 36 मीटर
∴ x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4
और x + y = 36
ज्यामितीय विधि द्वारा हल :
समीकरण x – y = 4
⇒ y = x – 4
x = 0 रखने पर, y = 0 – 4 = -4
x = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
x = 20 रखने पर, y = 20 – 4 = 16
सारणी-I

x 0 4 20
y -4 0 16

पुन: समीकरण x + y = 36 से
⇒ y = 36 – x
x = 30 रखने पर, y = 36 – 30 = 6
x = 20 रखने पर, y = 36 – 20 = 16
x = 10 रखने पर, y = 36 – 10 = 26
सारणी-II

x 30 20 10
y 6 16 26

बिन्दुओं A(0, -4), B(4, 0) और P(20, 16) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख प्राप्त होता है। पुनः बिन्दुओं C(30, 6) P(20, 16 ) तथा D(10, 26) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।
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आलेख से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु P(20, 16) पर काटता है।
∴ x = 20, y = 16
अतः बाग की लम्बाई = 20 मीटर
बाग का चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि :
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण
2x + 3y – 8 = 0
व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 से तुलना करने पर,
a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 8
(i) जब समीकरण युग्म प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}\)
अर्थात् a2 का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b2 का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a2 ≠ 2 तथा b2 ≠ 3 और a2 ≠ 0, b2 ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y – 7 = 0 है।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है, तो शर्त
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अर्थात् a2 और b2 का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a2 = 2k तथा b2 = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।
∵ \(\frac{3}{b_2} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ \(\frac{3}{3 k} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ c2 ≠ -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – mk = 0; m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y – 12 = 0 है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{a_2}=\frac{3}{b_2}=\frac{-8}{c_2}=\frac{1}{k}\)
⇒ a2 = 2k, b2 = 3k और c2 = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 है।

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प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है :
x – y + 1 = 0 ….(1)
3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के ग्राफ के लिए
⇒ y = x + 1
x = – 1 रखने पर, y = -1 + 1 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 + 1 = 3
x = 0 रखने पर, y = 0 + 1 = 1
सारणी-I

x -1 2 0
y 0 3 1

बिन्दुओं A(-1, 0), B (2, 3), C(0, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 से
⇒ 2y = 12 – 3x
⇒ y = \(\frac{12-3 x}{2}\)
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x 4 2 0
y 0 3 6

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बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3) और E(0, 6) को आलेखित कर समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है। दोनों रेखाएँ बिन्दु B(2, 3) पर काटती हैं।
X-अक्ष पर ΔBAD छायांकित भाग प्राप्त होता है। जिसके शीर्ष B(2, 3), A(-1, 0) तथा D(4, 0) प्राप्त होते हैं।

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