JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल:
(i) ∵ sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 – cos² A

(ii) cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)
(iii) 1 + tan² = sec² A
⇒ tan²A = sec² A – 1
⇒ (tan A)² = sec² A – 1
अत: tan A = \(\sqrt{\sec ^2 A-1}\)

प्रश्न 3.
मान निकालिए:
(i) \(\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल:

= \(\frac{\cos ^2 27^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\sin ^2 17^{\circ}}\)
{∵ sin (90° – θ) = cos θ
और a cos (90° – θ) = sin θ}
= \(\frac{1}{1}\) = 1 = (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = sin 25° cos (90° – 25°) + cos 25° sin (90° – 25°)
= sin 25°.sin 25° + cos 25°.cos 25°
[∵ cos (90° – 25°) = sin 25°
और sin (90° – 25°) = cos 25°]
= sin² 25° + cos² 25°
= 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i) 9 sec² A – 9 tan² A बराबर है:
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
(ii) (1 + tan θ + see θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है:
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
(iv) \(\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}\) बराबर है:
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A
हल:
(i) 9 sec² A – 9 tan² A
= 9(sec² A – tan² A)
(∵ sec² A = 1 + tan² A)
= 9(1 + tan² A – tan² A)
= 9 × (1) = 9
अत: सही विकल्प (B) है।

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)


(∵ sin² θ + cos² θ = 1)
अत: सही विकल्प (C) है।

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A)

अत: सही विकल्प (D) है।

अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं, न्यूनकोण हैं:

हल:

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
L.H.S.
= (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A sec A)
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A × \(\frac{1}{\sin A}\)) + (cos² A + sec² A + 2 × cos A × \(\frac{1}{\cos A}\))
= (sin² A + cosec² A + 2) + (cos² A + sec² A + 2)
= sin² A + cosec² A + cos² A + sec² A + 4
= sin² A + cos² A + cosec² A + sec² A + 4
= 1 + cosec² A + sec² A + 4 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= cosec² A + sec² A + 5
= (1 + cot² A) + (1 + tan² A) + 5
[∵ cosec² θ = 1 + cot² θ]
sec² θ = 1 + tan² θ]
= tan² A + cot² A + 7 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)