Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में परिवर्तित करके हल कीजिए:
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:
समीकरण (i) को 2 से और (ii) को 3 से गुणा करके घटाने पर,
y के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने
3u + 2 × 3 = 12
⇒ 3u + 6 = 12
⇒ 3u = 12 – 6
⇒ 3u = 6
⇒ u = \(\frac{6}{3}\) = 2
क्योंकि u = \(\frac{1}{x}\)
इसलिए x = \(\frac{1}{2}\)
क्योंकि ν = \(\frac{1}{y}\)
इसलिए y = \(\frac{1}{3}\)
अतः x = \(\frac{1}{2}\) और y = \(\frac{1}{3}\)
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
2u + 3ν = 2 …..(i)
4u – 9ν = -1 …..(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर,
4u + 6ν = 4 …..(iii)
समीकरण (iii) में से समी. (ii) को घटाने पर,
ν के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर,
2u + 3 × \(\frac{1}{3}\) = 2
2u + 1 = 2
2u = 2 – 1
2u = 1
u = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\sqrt{y}\) = 3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
⇒ \((\sqrt{y})^2=(3)^2\) ⇒ y = 9
अतः x = 4 और y = 9
(iii) दिया गया रैखिक युग्म समीकरण है
\(\frac{4}{x}+3 y\) = 14
और \(\frac{3}{x}-4 y\)
माना \(\frac{1}{x}\) = u है, तब
4u + 3y = 14 …..(i)
3u – 4y = 23 …..(ii)
समीकरण (i) को 3 से और समीकरण (ii) को 4 से गुणा करके घटाने पर,
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
4u + 3 × – 2 = 14
⇒ 4u – 6 = 14
⇒ 4u = 14 + 6 = 20
तब 5u + ν =2 …..(i)
6u – 3ν = 1 …..(ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर,
15u + 3ν = 6
समीकरण (ii) व (iii) को जोड़ने पर,
6u – 3ν = 1
15u + 3ν = 6
21u = 7
u = \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\)
u के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
⇒ y – 2 = 3
y = 3 + 2 = 5
अंत: x = 4 और y = 5
(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
माना \(\frac{1}{x}\) = P और \(\frac{1}{y}\) = q रखने पर,
7q – 2p = 5 …..(i)
8q + 7p = 15 …..(ii)
समीकरण (i) को 7 से तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर,
49q – 14p = 35 …..(iii)
16g + 14p = 30 …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
q के इस मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
7 × 1 – 2p = 5
⇒ 7 – 2p = 5
⇒ – 2p = 5 – 7 = -2
⇒ p = 1
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 (∵ p = \(\frac{1}{2}\))
⇒ x = 1
अब q = 1
⇒ \(\frac{1}{y}\) = 1 (∵ q = \(\frac{1}{y}\))
⇒ y = 1
अतः x = 1 और y = 1
(vi) दिया हुआ समीकरण युग्म है :
6x + 3y = 6xy और 2x + 4y = 5xy
दोनों समीकरणों में xy का भाग देने पर,
माना \(\frac{1}{x}\) = q और \(\frac{1}{y}\) = p रखने पर,
6p + 3q = 6 …..(1)
और 2p + 4q = 5 …..(2)
समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर
6p + 12g = 15 …..(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
समीकरण (2) में q = 1 रखने पर,
⇒ 2p + 4 × 1 = 5
⇒ 2p = 5 – 4
⇒ 2p = 1
⇒ p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\) (∵ p = \(\frac{1}{y}\))
⇒ y = 2
अब q = 1
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 (∵ q = \(\frac{1}{x}\))
⇒ x = 1
अतः समीकरण युग्म के हल x = 1 और y = 2
(vii) दिया गया समीकरण युग्म है :
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4\)
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\)
माना \(\frac{1}{x+y}\) = u और \(\frac{1}{x-y}\) = ν को प्रतिस्थापित करने पर,
10u + 2ν = 4
⇒ 2(5u + ν) = 4
⇒ 5u + ν = 2 …..(1)
तथा 15u – 5ν = -2 …..(2)
समीकरण (1) में 5 से गुणा करने पर,
25u + 5ν = 10 …..(3)
समीकरण (3) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,
25u + 5ν = 10
15u – 5ν = -2
40u = 8
u = \(\frac{8}{40}=\frac{1}{5}\)
u के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
5(\(\frac{1}{5}\)) + ν = 2 ⇒ 1 + ν = 2
⇒ ν = 2 – 1 ⇒ ν = 1
x के इस मान को समीकरण (4) में रखने पर
3 + y = 5 ⇒ y = 5 – 3 ⇒ y = 2
अतः x = 3 तथा y = 2
(viii) दिया हुआ समीकरण युग्म
समीकरण (1) मैं A = \(\frac{1}{4}\) रखने पर,
x = 1 समीकरण (5) में रखने पर
3 × 1 – y = 2
⇒ 3 – y = 2
⇒ – y = 2 – 3 = -1
∴ y = 1
अतः दिए गए समीकरण के अभीष्ट हल :
x = 1 और y = 1
प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म में परिवर्तित कीजिए और उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 किमी तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदें के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसे 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। 1 महिला अकेले उस काम को कितने दिन में करेगी और 1 पुरुष अकेले उस काम को कितने दिन में करेगा ?
(iii) रितु अपने घर के लिए 300 किमी यात्रा कुछ दूरी रेलगाड़ी से और कुछ दूरी बस से तय करती है। यदि वह 60 किमी यात्रा रेलगाड़ी से और शेष बस द्वारा करे तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी रेलगाड़ी से और शेष बस से यात्रा करे तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी और बस की पृथक् पृथक् चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि स्थिर जल में रितु की चाल
= x किमी / घण्टा
तथा धारा की चाल = y किमी / घण्टा
नदी में रितु की धारा के विरुद्ध चाल = (x – y) किमी / घण्टा
तथा नदी में रितु की धारा की दिशा में चाल = (x + y) किमी / घण्टा
रितु द्वारा धारा की दिशा में 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय
= (x + y) × 2 किमी
पहली शर्त के अनुसार,
2 (x + y) = 20
⇒ x + y = 10 …..(1)
रितु द्वारा धारा के विरुद्ध 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय
= (x – y) × 2 किमी
दूसरी शर्त के अनुसार,
2 (x – y) = 4
⇒ x – y = 2 …..(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
अब x = 6 समीकरण (1) में रखने पर,
6 + y = 10
⇒ y = 10 – 6 ⇒ y = 4
अतः स्थिर जल में रितु के तैरने की चाल = 6 किमी / घण्टा
तथा धारा की चाल = 4 किमी / घण्टा
(ii) माना उस काम को 1 महिला x दिन में तथा 1 पुरुष y दिन में पूरा करता है।
महिला की दिन की कार्यक्षमता = \(\frac{1}{x}\) भाग
और पुरुष की 1 दिन की कार्यक्षमता = \(\frac{1}{y}\) भाग
अब 2 महिलाओं द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{8}{x}\)
और 5 पुष्पों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{20}{y}\)
∴ 2 महिलाओं और 5 पुरूषों द्वारा 4 दिन में किया गया कुल कार्य = \(\left(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\right)\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=1\) …..(1)
इसी प्रकार,
3 महिलाओं द्वारा 3 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{9}{x}\)
और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{18}{x}\)
∴ 3 महिलाओं और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया गया कुल कार्य = \(\left(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\right)\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}=1\) …..(2)
माना \(\frac{1}{x}\) = u तथा \(\frac{1}{y}\) = ν समीकरण (1) व (2) मैं प्रतिस्थापित करने पर
8u + 20ν = 1 …..(3)
तथा 9u + 18ν = 1 …..(4)
समीकरण (3) में 9 से तथा समीकरण (4) में 8 से गुणा करके घटाने पर
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{18}\) (∵ u = \(\frac{1}{x}\))
x = 18
अब ν = \(\frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1}{36}\) (∵ ν = \(\frac{1}{4}\))
y = 36
अतः एक महिला अकेले उस काम को 18 दिन में तथा एक पुरूष अकेला उसे 36 दिन में पूरा कर सकता है।
(iii) मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल = x किमी / घण्टा
तथा बस की चाल = y किमी / घण्टा
कुल दूरी = 300 किमी
स्थिति I:
रेलगाड़ी द्वारा 60 किमी दूरी तय करने में लगा समय
शेष दूरी = 300 – 60 = 240 किमी
बस द्वारा 240 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{240}{y}\) घण्टे
कुल समय = \(\left(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}\right)\) घण्टे
पहली शर्त के अनुसार,
\(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4\)
⇒ \(\frac{15}{x}+\frac{60}{y}=1\) …..(1)
स्थिति II:
रेलगाड़ी द्वारा 100 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{100}{x}\) घण्टे
शेष दूरी = 300 – 100 = 200 किमी
बस द्वारा 200 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{200}{y}\) घण्टे
∴ कुल समय = \(\left(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}\right)\) घण्टे
दूसरी शर्त के अनुसार,
\(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}\) = 4 घण्टे 10 मिनट
माना \(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = ν समीकरण (1) व (2) में रखने पर,
15u + 60ν = 1
15u + 60ν – 1 = 0 …..(3)
तथा 24u + 48ν = 1
24u + 48ν – 1 = 0 …..(4)
समीकरण (3) व (4) को बज्रगुणन विधि से हल करने पर
