JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (5, 1), (3, 5), (5, 2)
हल:
(i) माना कि ΔABC के शीर्ष A(2, 3); B(-1, 0) और C(2, -4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2
y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -4
∴ ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (0 + 4) + (-1) (- 4 – 3) + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 + 7 + 6]
= \(\frac{21}{2}\)
= 10.5 वर्ग मात्रक

(ii) माना कि ΔABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3, -5) और C(5, 2) हैं।
यहाँ x₁ = -5, x₂ = 3, x₃ = 5
y₁ = -1, y₂ = -5, y₃ = 2
∴ ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[-5(- 5 – 2) + 3(2 + 1) + 5(- 1 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[35 + 9 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 वर्ग मात्रक ।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों :
(i) (7, -2); (5, 1); (3, k)
(ii) (8, 1); (k, -4); (2, -5)
हल:
(i) माना कि दिए गए बिन्दु A(7, -2), B(5, 1) और C(3, k) हैं।
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3
y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k

∵ तीनों बिन्दु संरेखी हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होगा।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[(x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5(k + 2) + 3 (- 2 – 1)]
⇒ 0 = [7 – 7k + 5k + 10 – 6 – 3]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[-2k + 8]
⇒ 0 = -k + 4
∴ k = 4

(ii) माना कि दिए गए बिन्दु A(8, 1), B(k, -4 ) और C (2, -5) है।
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2
y₁ = 1, y₂ = – 4
y₃ = -5
∵ तीनों बिन्दु संरखी हैं, तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होता है।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[(x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
⇒ \(\frac{1}{2}\)[8 (- 4 + 5) + k(- 5 – 1) + 2(1 + 4)] = 0
⇒ 8 – 6k + 10 = 0
⇒ -6k = -18 ⇒ k = \(\frac{-18}{-6}\) = 3
अतः k = 3

प्रश्न 3.
शीघ्र (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3) हैं। त्रिभुज की भुजा AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E व F है।

मध्य- बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\)
= (1, 0)
मध्य-बिन्दु E के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)
= (1, 2)
मध्य- बिन्दु के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\)
= (0, 1)
ΔDEF में x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂ = 2, y₃ = 1
ΔDEF का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0(0 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 1 – 0] = \(\frac{1}{2}\) × 2 = 1 वर्ग मात्रक।
ΔABC में.
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0
y₁ = -1, y₂ = 1, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0(1 – 3) + 2(3 + 1) + 0(- 1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 8 + 0] = \(\frac{8}{2}\) =4 वर्ग मात्रक

अतः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (4, – 2); (-3, -5); (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल:
माना कि चतुर्भुज ABCD के शीर्षो के निर्देशांक A(-4, -2), B(-3, 5), C(3, -2) और D(2, 3) हैं।
AC को मिलाने पर चतुर्भुज ABCD, दो त्रिभुजों ABC और CDA में विभाजित हो जाता है।

ΔABC में, यहाँ
x₁ = – 4, x₂ = -3, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = -5, y₃ = -2
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4)(-5 + 2) + (-3)(-2 + 2) + 3(-2 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 + 0 + 9]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
ΔCDA में
x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = -4
y₁ = – 2, y₂ = 3, y₃ = -2
ΔCDA का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[3(3 + 2) + 2(-2 + 2) + (-4) (- 2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\)[15 + 0 + 20
= \(\frac{35}{2}\)वर्ग मात्रक
अब, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= (ΔABC का क्षेत्रफल) + (ΔCDA का क्षेत्रफल)
= \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{21+35}{2}=\frac{56}{2}\)
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल:
दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, -6), B(3, – 2) तथा C(5, 2) हैं।

∵ AD, ΔABC की माध्यिका है, इसलिए D भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
D के निर्देशांक हैं : \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) = (4, 0)
ΔADC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(0 – 2) + 4(2 + 6) + 5(- 6 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)(-8 + 32 – 30)
= \(\frac{1}{2}\) × (-6) = -3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)

ΔABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(- 2 – 0) + 3(0 + 6) + 4(- 6 + 2)
= \(\frac{1}{2}\)(- 8 + 18 – 16)
= \(\frac{1}{2}\)(-6) = -3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)
क्षेत्रफल (ΔADC) = क्षेत्रफल (ΔABD)
अतः त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।