JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.4

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A(2, -2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा 2x + y – 4 = 0, बिन्दुओं (2, -2) और B (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु C (x, y) पर k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
बिन्दु C के निर्देशांक
x = \(\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}\)
∴ x = \(\frac{k \times 3+1 \times 2}{k+1}\)
= \(\frac{3 k+2}{k+1}\)

9k – 2 = 0
9k = 2
k = \(\frac{2}{9}\)
k : 1 = 2 : 9
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है।

प्रश्न 2.
x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
हल:
माना कि दिए गए बिन्दु A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0) हैं।
यहाँ x₁ = x, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0
तीनों बिन्दु संरेखी होने के लिए ΔABC का क्षेत्रफल = 0 होता है।
\(\frac{1}{2}\)[ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[x(2 – 0) + 1(0 – y) + 7(x – 2)] = 0
⇒ 2x – y + 7y – 14 = 0
⇒ 2x + 6y – 14 = 0
⇒ 2(x + 3y – 7 ) = 0
अत: x + 3y – 7 = 0 अभीष्ट सम्बन्ध है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बिन्दु O(x, y) वृत्त का केन्द्र है तथा O केन्द्र वाला वृत्त बिन्दुओं P(6, -6), Q(3, – 7) और R (3, 3) से होकर गुजरता है।

∵ वृत्त की त्रिज्याएँ समान होती हैं।
∴ OP = OQ = OR
या OP² = OQ² = OR²
अब OP² = OQ²
(x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)²
⇒ x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49
⇒ – 12x + 6x + 12y – 14y + 72 – 58 = 0
⇒ – 6x – 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y – 7 = 0 …(i)
अब OQ² = OR²
(x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
⇒ (y + 7)² = (y – 3)²
⇒ y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
⇒ 20y = – 40
y = \(\frac{-40}{20}\) = -2
y के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3x – 2 – 7 = 0
⇒ 3x – 9 = 0
⇒ 3x = 9
⇒ x = \(\frac{9}{3}\)
∴ x = 3
अतः अभीष्ट केन्द्र (3, -2) हैं।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि वर्ग ABCD के दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) और C(3, 2) हैं तथा B के निर्देशांक (x, y) हैं।
∵ वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई समान होती है।

AB = BC
(AB)² = (BC)²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
⇒ (x + 1)² = (x – 3)²
⇒ x² + 1 + 2x = x² + 9 – 6x
⇒ 8x = 8
x = \(\frac{8}{8}\) = 1 …(1)
अब समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
(AB)² + (BC)² = (AC)²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)²
= (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y + x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y = 16
⇒ 2x² + 2y² – 4x – 8y + 2 = 0
⇒ x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) से x = 1 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
(1)² + y² – 2(1) – 4y + 1 = 0
⇒ y² – 4y = 0
⇒ y(y – 4) = 0
⇒ y = 0 या y – 4 = 0
⇒ y = 0 या y = 4
y = 0, 4
अतः वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) और (1, 4) है।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं:
(i) A को मूलविन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलविन्दु C हो, तो ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे ?
साथ ही उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं ?
हल:
चित्र में बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं।

यदि A मूलविन्दु हो तो त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक P(4, 6), Q(3, 2) तथा R( 6, 5) हैं।

जब C मूलबिन्दु हो तो त्रिभुज PQR के शीषों के निर्देशांक P(12, 2), Q(13, 6) तथा R(10, 3) हैं। CB तथा CD को निर्देशांक अक्षों के रूप में लेकर
(i) यदि 1 मूल बिन्दु हो, तो
ΔPQR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(2 – 5) + 3(5 – 6) + 6(6 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 × (-3) + 3 × (-1) + 6 × 4]
= \(\frac{1}{2}\)[- 12 – 3 + 24]
= \(\frac{1}{2}\) × 9 = \(\frac{9}{2}\) वर्ग इकाई

(ii) अब यदि मूल बिन्दु C हो तो ΔPQR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[12(6 – 3) + 13(3 – 2) + 10(2 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 × 3 + 13 × 1 + 10 × (4)]
= \(\frac{1}{2}\)[36 + 13 – 40]
= \(\frac{9}{2}\) वर्ग मात्रक
अतः दोनों स्थितियों में क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) है। ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
हल:
ΔABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं।

\(\frac{A D}{A B}=\frac{1}{4}\) ⇒ AB = 4 AD
⇒ AD + DB = 4 AD
⇒ BD = 3AD
⇒ \(\frac{A D}{D B}=\frac{1}{3}\)
⇒ AD : DB = 1 : 3
अत: बिन्दु D, AB को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना D के निर्देशांक यदि (x, y) हों, तो

बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)\)
इसी प्रकार,
\(\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) ⇒ AC = 4AE
⇒ AE + EC = 4AE
⇒ EC = 3AE
⇒ \(\frac{A E}{E C}=\frac{1}{3}\)
AE : EC = 1 : 3
अत: बिन्दु E, AC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना यदि E के निर्देशांक (x’, y’) हों तो

ΔADE का क्षेत्रफल

अब ΔABC में,
x₁ = 4, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = 6, y₂ = 5, y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(5 – 2) + 1(2 – 6) + 7(6 – 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 × 3 + 1 × – 4 + 7 × 1]
= \(\frac{1}{2}\)[12 – 4 + 7] = \(\frac{15}{2}\) वर्ग मात्रक

अत: ΔADE का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 16

प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट: वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनि हो, त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दु A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं।
(i) ∵ D, रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\)

(ii) माना AD पर स्थित विन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं।
दिया गया है कि बिन्दु P माध्यिका AD को 2 : 1 में विभाजित करता है।

अब B(6, 5) और E(\(\frac{5}{2}\), 3) हों तो BE को 2 : 1 में विभाजित करने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक

अब C (1, 4) और F(5, \(\frac{7}{2}\)) हों तो CF को 2 : 1 मैं विभाजित करने वाले बिन्दु R के निर्देशांक

(iv) हम देखते हैं कि P, Q और R के निर्देशांक एक समान हैं और एक बिन्दु पर संपाती हैं। इस बिन्दु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं जो कि माध्यिका को 2 : 1 में विभाजित करता है।
(v) यदि ΔABC के शीर्ष (x₁, y₁), B(x₂, y₂) व C(x₃, y₃) हों तो रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)\)
माना बिन्दु G, ΔABC का केन्द्रक है जो माध्यिका AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ बिन्दु G के निर्देशांक

प्रश्न 8.
बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है ? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दु A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) हैं।



चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS.
अत: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।