JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
दी गई संख्याएँ = \(\frac{1}{2}\), 1, -2

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
अब p(1) = 2 (1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
∴ 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अब p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= 2 × -8 + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
∴ -2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = –\(\frac{1}{2}\)
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1 × (-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3 = –\(\frac{5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों की तुलना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से करने पर,
a = 2, b = 1, c = -5 और d = 2 यदि बहुपद के शून्यक α, β और γ हों तो,
शून्यकों का योग (α + β + γ) = –\(\frac{b}{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)
तथा αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(\frac{-2}{2}\) = -1
∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।

(ii) त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 दी गई संख्याएँ = 2, 1, 1
अब p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
अत: 2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
पुनः p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
अतः 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः स्पष्ट है कि बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक 2, 1 और 1 है।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 1 × 1 = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= ( 2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों की तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर a = 1, b = – 4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों, तो
शून्यकों का योग = (α + β + γ)
= \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}\) = 4
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग = (αβ + βγ + γα)
= \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}\) = 5
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(-\left(\frac{-2}{1}\right)\) = 2
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल:
माना बहुपद के शून्यक α, β और γ हों, तो
शून्यक का योग (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल αβγ = -14
∴ वांछित त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अतः अभीष्ट बहुपद x³ – 2x² – 7x + 14 है।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद x³ – 3x² + x + 1
दिए गए बहुपद की तुलना Ax³ + Bx² + Cx + D से करने पर A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1.
शून्यकों का योग = \(-\frac{B}{A}=-\left(\frac{-3}{1}\right)\) = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं।
∴ a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac{3}{3}\) = 1
शून्यकों का गुणनफल = \(-\frac{D}{A}=-\left(\frac{1}{1}\right)\) = -1
परन्तु शून्यकों का गुणनफल = (a – b) (a) (a + b)
= a(a² – b²)
तब a(a² – b²) = -1
∴ 1(1² – b²) = -1
⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 2 ⇒ b ± \(\sqrt{2}\)
अतः a = 1 और b ± \(\sqrt{2}\).

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt{3}\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि दो शून्यक (2 + \(\sqrt{3}\)) और (2 – \(\sqrt{3}\)) है।
∴ [x – (2 + \(\sqrt{3}\))] [x – (2 – \(\sqrt{3}\))]
= [(x – 2) – \(\sqrt{3}\)] [(x – 2) + \(\sqrt{3}\)]
= (x – 2)² – (\(\sqrt{3}\))2 = x² – 4x + 1
दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
पुन: x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 को x² – 4x + 1 से विभाजित करने पर

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर
∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1 ) [x² – (7 – 5)x – 35]
= (x² – 4x + 1 ) [x² – 7x + 5x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x(x – 7) + 5(x – 7)]
= (x² – 4x + 1)(x – 7)(x + 5)
अब बहुपद के अन्य शून्यकः
यदि x + 5 = 0 हो, तो x = -5
या फिर x – 7 = 0 हो, तो x = 7
अतः दिए गए चार घात वाले बहुपद के अन्य शून्यक -5 और 7 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k और a ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को x² – 2x + k से भाग देने पर शेषफल x + a आता है।

बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 = (x – 2x + k) [x² – 4x + (8 – k)] + [(-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
∴ भागफल = x² – 4x + (8 – k)
और शेषफल = (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
परन्तु शेषफल = x + a
∴ (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²) = x + a
समान गुणांकों की तुलना करने पर,
-9 + 2k = 1 तथा 10 – 8k + k² = a
या 2k = 1 + 9
या 2k = 10
या k = \(\frac{10}{2}\) = 5
अब k का मान 10 – 8k + k² = a में रखने पर,
10 – 8(5) + (5)² = a
या 10 – 40 + 25 = a
या -40 + 35 = a
या -5 = a
अर्थात् a = -5
अतः k = 5 और a = -5