JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है ?
हल:
कल्पना कीजिए कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है, तब \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) होना चाहिए जहाँ q ≠ 0 तथा p व q सह अभाज्य पूर्णांक हैं।
अर्थात् p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
अब \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
⇒ p = \(\sqrt{5}\)q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
p² = 5q²
अतः 5, p² को विभाजित करता है।
∴ 5, p को विभाजित करेगा। [प्रमेय 1.3 के अनुसार]
माना कि p = 5r (r कोई पूर्णाक है)
p² = 25r²
5q² = 25r² (∵ p² = 5q²)
q²= 5p²
अत: 5, q² को विभाजित करता है।
∴ 5, q को विभाजित करता है। [प्रमेय 1.3 के अनुसार]
∵ p 5 से विभाज्य है और q भी 5 से विभाज्य है।
∴ 5, p और q का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो के अतिरिक्त है)।
यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी कल्पना के अनुसार p और q में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
∴ यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना “\(\sqrt{5}\) परिमेय संख्या है” गलत है।
अत: \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
माना कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
तब 3 + 2\(\sqrt{5}\) = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 और p और q पूर्णांक हैं।
अब \(\frac{p}{q}\) = 3 + 2\(\sqrt{5}\)
⇒ \(\left(\frac{p}{q}-3\right)=2 \sqrt{5}\)
⇒ \(\frac{p-3 q}{2 q}=\sqrt{5}\)
∵ p और q पूर्णांक है अतः
∴ \(\frac{p-3 q}{2 q}\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है, तब यहाँ विरोधाभास है।
इस विरोधाभास के कारण हमारी गलत कल्पना है।
अतः दी गई संख्या 3 + 2\(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7\(\sqrt{5}\)
(iii) 6 + \(\sqrt{2}\)
हल:
(i) माना \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय संख्या है।
हम ऐसे दो पूर्णांक 4 और b प्राप्त करते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\) (a जहाँ और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं, b ≠ 0)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{a^2}{b^2}\)
⇒ b² = 2a²
अतः b², 2 से विभाज्य है।
∴ b भी 2 से विभाज्य होगी। (प्रमेय 1.3 के अनुसार)
तब माना b = 2c [c कोई पूर्णांक है]
⇒ b² = (2c)²
⇒ b² = 4c²
⇒ 2a² = 4c² (∵ b² = 2a²)
⇒ a² = 2c²
अतः a², 2 से विभाज्य है।
∴ a, 2 से विभाज्य है।
अतः a और b दोनों 2 से विभाज्य हैं। परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और 6 मैं के अतिरिक्त 1 कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अतः हमारी कल्पना गलत है।
∴ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है।
(ii) माना कि 7\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि:
7\(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{b}\)
⇒ \(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{7 b}\)
∵ a, 7 और b सभी पूर्णांक हैं।
∴ \(\frac{a}{7 b}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ \(\sqrt{5}\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
जो इसका विरोध करता है कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः 7\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) माना कि 6 + \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि
6 + \(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\)
\(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\) – 6
\(\sqrt{2}\) = \(\frac{a-6 b}{b}\)
∵ a, b और 6 सभी पूर्णांक हैं।
∴ \(\frac{a-6 b}{b}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या होगी।
इससे इस तथ्य का विरोध होता है कि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः 6 + \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।