JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बणती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) यदि टैक्सी का पहले किमी का किराया a₁, दूसरे किमी का किराया a₂ तथा वें किमी का किराया a_n से व्यक्त किया जाए तो
प्रश्नानुसार,
a₁ = 15
a₂ = 15 + 8 = 23
a₃ = 23 + 8 = 31
अब सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
और a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
∵ a₃ – a₂ = a₂ – a₁
अर्थात् सार्वअन्तर समान हैं।
∴ दी गई स्थिति A.P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(ii) माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को x मात्रक से तथा प्रत्येक पम्प के बाद हवा की शेष मात्रा को a₂, a₃, a₄ से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,

और आगे भी इसी प्रकार से….
अब सार्वअन्तर,

यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∵ सार्वअन्तर समान नहीं है।
∴ दी गई स्थिति A.P का रूप नहीं है।

(iii) माना कि एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को a_n से व्यक्त किया जाए तो.
प्रश्न के अनुसार, a₁ = ₹ 150
a₂ = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
a₃ = ₹ (200 + 50) = ₹ 250
और आगे भी इसी प्रकार से…..
अब सार्वअन्तर
a₃ – a₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a₂ – a₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
यहाँ a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = ₹ 50
सार्वअन्तर समान हैं।
अतः दी गई स्थिति A. P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन:
मूलधन P = ₹ 10000
ब्याज की दर R% = 8%


निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि
A₂ – A₁ ≠ A₃ – A₂
अतः मिश्रधन A.P. (समान्तर श्रेढी) में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d = 10,
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3,
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल:
(i) दिया है, प्रथम पद (a) = 10
और सार्व अन्तर (d) = 10
∴ a₁ = प्रथम पद (a) = 10
a₂ = a + d = 10 + 10 = 20
a₃ = a + 2d = 10 + 2 × 10 = 30
a₄ = a + 3d = 10 + 3 × 10 = 40
अत: A.P के प्रथम चार पद 10, 20, 30, 40 हैं।

(ii) दिया हुआ है कि प्रथम पद (a) = 22
और सार्वअन्तर (d) = 0
∴ a₁ = a = -2
a₂ = a + d = 2 + 0 = 2
a₃ = a + 2d = -2 + 2 × 0 = -2
a₄ = a + 3d = 2 + 3 × 0 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -2, -2, -2, -2, हैं ।

(iii) दिया हुआ है, प्रथम पद (a) = 4
और सार्वअन्तर (d) = -3
∴ a₁ = a = 4
a₂ = a + d = 4 + (-3) = 1
a₃ = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = -2
a₄ = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = – 5
अत: A.P. के प्रथम चार पद 4, 1, 2, 5 हैं।

(iv) दिया है कि प्रथम पद a = -1
और सार्वअन्तर d = \(\frac{1}{2}\)
∴ a₁ = a = -1
a₂ = a + d
= \(-1+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}\)
a₃ = a + 2d
= \(-1+2\left(\frac{1}{2}\right)\)
– 1 + 1 = 0
a₄ = a + 3d
= \(-1+3\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\)
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\) हैं।

(v) दिया हैं कि प्रथम पद = a = -1.25
और सार्वअन्तर (d) = -0.25
∴ a₁ = a = – 1.25
a₂ = a + d = – 1.25 – 0.25 = -1.50
a₃ = a + 2d = – 1.25 + 2(-0.25)
= -1.25 – 0.50 = -1.75
a₄ = a + 3d = – 1.25 + 3(-0.25)
= – 1.25 – 0.75 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1.25, -1.50, 1.75, – 2. हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए:
(i) 3, 1, -1, -3,…
(ii) -5, 1, 3, 7,…
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
हल:
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3, …
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 1
a₃ = -1, a₄ = -3
प्रथम पद a = a₁ = 3
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर = -2

(ii) दी गई A. P. = -5, -1, 3, 7, …
यहाँ a₁ = -5
a₂ = -1
a₃ = 3
a₄ = 7
प्रथम पद a₁ = -5
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = – 1 – (-5) = – 1 + 5 = 4
अतः प्रथम पद = -5 तथा सार्वन्तर = 4

(iii) दी गई A.P. = \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
यहाँ a₁ = \(\frac{1}{3}\),
a₂ = \(\frac{5}{3}\),
a₃ = \(\frac{9}{3}\),
a₄ = \(\frac{13}{3}\)
प्रथम पद a = a₁ = \(\frac{1}{3}\)
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = \(\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)\)
= \(\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)
अतः प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\) तथा सार्वअन्तर = \(\frac{4}{3}\)

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
a₁ = 0.6, a₂ = 1.7
a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद a = a₁ = 0.6
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
अत: प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वअन्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं ? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए:
(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,
(iv) -10, -6, -2, 2,…
(v) 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,
(vii) 0, -4, -8, -12,…
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27, …
(x) a, 2a, 3a, 4a, …
(xi) a, a², a³, a⁴, …
(xii) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\),…
(xiii) \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\),…
(xiv) 1², 3², 5², 7², …
(xv) 1², 5², 7², 7³, …
हल:
(i) दिया हुआ अनुक्रम 2, 4, 8, 16, …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
d = a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है,
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(ii) दिया गया अनुक्रम 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = \(\frac{5}{2}\), a₃ = 3, a₄ = \(\frac{7}{2}\)
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)

दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = \(\frac{1}{2}\) हैं।
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. है।
अगले तीन पद

अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 4, \(\frac{9}{2}\) और 5 हैं।

(iii) दिया गया अनुक्रम -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, …
यहाँ a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = – 3.2 – (-1.2) = – 2.0
a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -2.0
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (-2.0) है।
∴ सार्वन्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
-11.2 + (-2) = -13.2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद -9.2, -11.2, -13.2 हैं।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम -10, 6, – 2, 2,…
यहाँ a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = -6 – (-10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 – (-6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (4) है।
∴ सार्वअन्तर d = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. हैं।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 2 + 4 = 6
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 6 + 4 = 10
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 10 + 4 = 14
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 6, 10, 14 हैं।

(v) दिया हुआ अनुक्रम 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 3 + \(\sqrt{2}\), a₃ = 3 + 2\(\sqrt{2}\), a₄ = 3 + 3\(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = (3+ \(\sqrt{2}\)) – 3 = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = (3 + 2\(\sqrt{2}\)) – (3 + \(\sqrt{2}\)) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = (3 + 3\(\sqrt{2}\)) – (3 + 2\(\sqrt{2}\))= \(\sqrt{2}\)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
∴ सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) और दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
3 + 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(3 + 1) = 3 + 4\(\sqrt{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 3 + 4\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(4 + 1) = 3 + 5\(\sqrt{2}\)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 3 + 5\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 3 + 6\(\sqrt{2}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद
3 + 4\(\sqrt{2}\), 3 + 5\(\sqrt{2}\), 3 + 6\(\sqrt{2}\) है।

(vi) दिया हुआ अनुक्रम
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
यहाँ a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222,
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A. P. नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम 0, -4, -8, -12, ….
यहाँ a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर :
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = – 8 – (-4)
= – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (-8)
= – 12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है सार्वअन्तर = -4 है। अतः दिया गया अनुक्रम A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= – 12 + (-4) = -16
पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= – 16 + (-4) = -20
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= -20 + (-4) = -24
अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद -16, -20 और -24 हैं।

(viii) दिया हुआ अनुक्रम \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)

a₄ – a₃ = \(-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
= \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 0
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = 0 है अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2} \)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) है।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम 1, 3, 9, 27,…
यहाँ a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम a, 2a, 3a, 4a…..
यहाँ a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
दो क्रमागत पद का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
∵ दो क्रमागत पर्दों का अन्तर समान (a) है।
अतः सार्वन्तर d = a तथा दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 4a + a = 5a
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 5a + a = 6a
सातवाँ पद a₇ = छटा पद a₇ + सार्वअन्तर d
= 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 5a, 6a, 7a है।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम यहाँ a, a², a³, a⁴, ….
यहाँ a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³‚ a₄ = a⁴
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A. P. नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\)……
यहाँ a₁ = \(\sqrt{2}\), a₂ = \(\sqrt{8}\), a₃ = \(\sqrt{18}\), a₄ = \(\sqrt{32}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = \(\sqrt{8}\) – \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{4}\) – 1)
= \(\sqrt{2}\) (2 – 1) = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = \(\sqrt{18}\) – \(\sqrt{8}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{4}\))
= \(\sqrt{2}\)(3 – 2) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = \(\sqrt{32}\) – \(\sqrt{18}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{19}\) – \(\sqrt{9}\))
= \(\sqrt{2}\)(4 – 3) = \(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
अतः सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) तथा दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब 5वाँ पद a₅ = 4वाँ पद + सार्वअन्तर d.
= \(\sqrt{32}\) + \(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{16}\) + 1) = \(\sqrt{2}\)(4 + 1)
= 5\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{25}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{50}\)
6वाँ पद a₆ = 5वाँ पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{50}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{25}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 6\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{36}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{72}\)
7वाँ पद a₇ = 6वीं पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{72}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{36}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(6 + 1) = 7\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{49}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{98}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{98}\) हैं।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\), …
a₁ = \(\sqrt{3}\), a₂ = \(\sqrt{6}\), a₃ = \(\sqrt{9}\), a₄ = \(\sqrt{12}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d
a₂ – a₁ = \(\sqrt{6}\) – \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{2}\) – 1) = 0.717
a₃ – a₂ = \(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{6}\) = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{2}\)) = 0.530
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम 1², 3², 5², 7², ….
a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(xv) दिया गया अनुक्रम 1², 5², 7², 7³, ….
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 7³
दो क्रमागत पर्दों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 7³ – 7² = 73 – 49 = 24
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है।
अतः सार्वअन्तर d = 24
तथा दिया गया अनुक्रम A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर
= 73 + 24 = 97
छठवाँ पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर
= 97 + 24 = 121
छठवाँ पद a₇ = छठवाँ पद a₆ + सार्वअन्तर
= 121 + 24 = 145
अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 97, 121 और 145 हैं।