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JAC Board Class 9 Maths Notes Chapter 12 हीरोन सूत्र
प्रस्तावना (Introduction) : किसी समतल में बनी आकृति को समतलीय आकृति कहते हैं।
- यदि आकृति के शीर्ष मुक्त न हों तो उसे संवृत्त आकृति कहते हैं।
- यदि किसी समतलीय आकृति की सीमाएँ परस्पर प्रतिच्छेदित नहीं होती हैं तो वह सरल आकृति कहलाती है।
- यदि हम किसी समतलीय आकृति की भुजाओं पर चल कर एक पूरा चक्कर लगा लेते हैं, तो वह आकृति का परिमाप कहलाता है।
- आकृति की सीमाओं से घिरे हुए क्षेत्र को आकृति का क्षेत्रफल कहते हैं।
→ त्रिभुजों का क्षेत्रफल : त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
→ त्रिभुज का क्षेत्रफल : यदि किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ ज्ञात हों, तो हेरोन के सूत्र की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
जहाँ s = \(\frac{a+b+c}{2}\) त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप a, b एवं c उसकी भुजाओं की लम्बाइयाँ हैं।
हेरोन्स फार्मूला उन त्रिभुओं का क्षेत्रफल ज्ञात करने में अत्यन्त सहायक है, जिनकी ऊँचाई ज्ञात करना सुगम नहीं है।
→ हेरोन्स फार्मूले (हीरोन के सूत्र) द्वारा समस्त चतुर्भुजों का क्षेत्रफल सरलता से ज्ञात किया जा सकता है। इसके लिए चतुर्भुज के किन्हीं दो शीर्षों को मिलाकर विकर्ण द्वारा उसे दो त्रिभुआकार आकृतियों में विभक्त करके हेंरोन्स फार्मूले के द्वारा सम्पूर्ण आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
यही विधि अन्य बहुभुओं का क्षेत्रफल ज्ञात करने के हेतु भी अपनायी जाती है।
अन्य महत्त्वपूर्ण सूत्र :
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{b}{4} \sqrt{4 a^2-b^2}\), जहाँ a समान भुजा एवं b अन्य भुजा है।
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), जहाँ a भुजा है।
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
- चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × विकर्ण × (विकर्ण पर डाले गये लम्बों का योग)
- समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई