JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.5

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Exercise 1.5

प्रश्न 1.
बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं:
(i) 2 – \(\sqrt{5}\),
(ii) (3 + \(\sqrt{23}\)) – \(\sqrt{23}\),
(iii) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(v) 2π.
हल:
(i) 2\(\sqrt{5}\), संख्या 2 परिमेय तथा \(\sqrt{5}\) अपरिमेय का अन्तर है। परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं का अन्तर अपरिमेय होता है।
∴ यह संख्या अपरिमेय होगी।
(ii) (3 + \(\sqrt{23}\)) – \(\sqrt{23}\) = 3 + \(\sqrt{23}\) – \(\sqrt{23}\) = 3, परिमेय संख्या है।
(iii) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}=\frac{2}{7}\), एक परिमेय संख्या है।
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∵ परिमेय और अपरिमेय का भागफल अपरिमेय होता है।
∴ यह संख्या अपरिमेय है।
(v) 2π
यहाँ संख्या 2 परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय आता है।
∴ 2π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए:
(i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\)),
(ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\)),
(iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))2,
(iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\)).
हल:
(i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\))
= 3 × 2 + \(\sqrt{3}\) × 2 + 3 × \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{2}\)
= 6 + 2\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{6}\)

(ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\)) = (3)2 – (\(\sqrt{3}\))²
[(∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
= 9 – 3 = 6.

(iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))²
= (\(\sqrt{5}\))² + 2 × \(\sqrt{5}\) × \(\sqrt{2}\) + (\(\sqrt{2}\))²
= 5 + 2\(\sqrt{10}\) + 2 = 7 + 2\(\sqrt{10}\)

(iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{2}\))² = 5 – 2 = 3

प्रश्न 3.
आपको याद होगा कि को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है अर्थात् π = \(\frac{c}{d}\) है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?
हल:
हम जब कभी भी स्केल से या अन्य किसी युक्ति से लम्बाई नापते हैं, तब हमको केवल एक सन्निकट परिमेय मान प्राप्त होता है अतः हम यह अनुभव नहीं कर पाते कि c या d अपरिमेय हैं।
अतः π के अपरिमेय होने में कोई भी विरोधाभास नहीं है चाहे और d का मान कुछ भी हो।

प्रश्न 4.
संख्या रेखा पर \(\sqrt{9.3}\) को निरूपित कीजिए।
हल:
(1) रेखाखण्ड AB = 9.3 सेमी खींचा।
(2) इसे किसी बिन्दु X तक आगे बढ़ाया और BX पर एक बिन्दु इस प्रकार लिया कि BC = 1 सेमी।
(3) AC का मध्यबिन्दु M ज्ञात किया और व्यास AC का अर्द्धवृत्त खींचा।
(4) AC के बिन्दु B से AC पर लम्ब BD खींचा जो अर्द्धवृत्त को D पर मिलता है।

(5) केन्द्र B से BD त्रिज्या का चाप खींचा जो BX को बिन्दु पर काटता है।
(6) बिन्दु P. संख्या रेखा पर \(\sqrt{9.3}\) को निरूपित करता है।
⇒ \(\sqrt{9.3}\) = BP = 3.049 या लगभग 3.05.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:

हाल: