Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Exercise 7.2
प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC तथा ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करती है।
हल:
(i) ΔABC में, AB = AC
या ∠B = ∠C
[∵ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
या \(\frac{1}{2}\)∠B = \(\frac{1}{2}\)∠C
या ∠ABO = ∠ACO …(i)
⇒ ∠OBC = ∠OCB
∴ ∠OBC = \(\frac{1}{2}\)∠B
और ∠OCB = \(\frac{1}{2}\)∠C
या OB = OC …..(ii)
समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
इति सिद्धम्।
(ii) अब ΔABO तथा ΔACO में,
AB = AC [दिया है]
∠ABO = ∠ACO [समीकरण (i) से]
OB = OC [समीकरण (ii) से]
∴ ΔABO ≅ ΔACO (SAS नियम)
∠BAO = ∠CAO
या AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 2.
ΔABC में, AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
हल:
ΔABD तथा ΔACD में,
DB = DC [दिया है]
∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक 90°]
AD = AD [उभयनिष्ठ]
∴ ΔABD ≅ ΔACD [SAS नियम]
और AB = AC
अतः ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।
इति सिद्धम्।
प्रश्न 3.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर शीर्षलम्ब क्रमशः BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति) दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
हल:
दिया है समद्विबाहु ΔABC में BE ⊥ AC तथा CF ⊥ AB.
सिद्ध करना है: BE = CF
ΔABE तथा ΔACF में,
∠AEB =∠AFC [प्रत्येक 90°]
∠A = ∠A [उभयनिष्ठ]
तथा AB = AC [दिया है]
ΔABE ≅ ΔACF (ASA नियम)
BE = CF
अतः शीर्षलम्ब बराबर हैं।
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 4.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC, अर्थात् ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:
(i) ΔABE तथा ΔACF में,
∠AEB = ∠ACF [प्रत्येक 90°]
∠BAE = ∠CAF [उभयनिष्ठ]
तथा BE = CF [दिया है]
ΔABE ≅ ΔACF [AAS नियम ]
(ii) ∵ ΔABE ≅ ΔACF
∴ AB = AC
अत: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।
हल:
ABC में, AB = AC
∠ABC = ∠ACB …..(1)
[∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
ΔBCD में, BD = CD
∴ ∠DBC = ∠DCB …..(2)
[∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB
⇒ ∠ABD = ∠ACD. इति सिद्धम्।
प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
हल:
ΔABC में, AB = AC [दिया है]
∠ACB = ∠ABC …..(i)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
अब AB = AD [दिया है]
AD = AC [∵ AB = AC]
इसलिए ΔADC में,
AD = AC
∠ACD = ∠ADC
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
∠ACB + ∠ACD = ∠ABC + ∠ADC
⇒ ∠BCD = ∠ABC + ∠BDC
[∵∠ADC = ∠BDC]
⇒ ∠BCD + ∠BCD = ∠ABC + ∠BDC + ∠BCD
[∠BCD को दोनों पक्षों में जोड़ने पर
[∵∠ABC + ∠BDC + ∠BCD = 180°]
[त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 2∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 90°
अतः ∠BCD एक समकोण है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
ΔABC में, ∠A = 90°
AB = AC (दिया है)
∴ ∠B = ∠C
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
और ∠A + ∠B + ∠C = 180°,
[Δ के कोणों के योग का नियम]
⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180° [∵∠C = ∠B]
⇒ 90° + 2∠B = 180° [∵∠C = ∠B]
⇒ 2∠B = 180° – 90° = 90°
या ∠B = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
∴ ∠C = ∠B = 45°.
प्रश्न 8.
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
हल:
माना ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है अतः
AB = AC = BC
अब AB = AC
⇒ ∠B = ∠C…(i)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
तथा CB = CA
∠A = ∠B… (ii)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
समी. (i) व (ii) से,
∠A = ∠B = ∠C
तथा ∠A + ∠B + ∠C = 180°
[Δ के कोणों के योग का नियम]
∴ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
⇒ 3∠A = 180° ⇒ ∠A = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
अतः समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° के होते हैं।
इति सिद्धम्।