JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (1, 3)
(iii) (a, b ), (-a, -b)
हल:
(i) दिए गए बिन्दु: (2, 3), (4, 1)
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
दिए गए बिन्दु हैं :
A (0, 0) और B (36, 15)
अभीष्ट दूरी AB = \(\sqrt{(0-36)^2+(0-15)^2}\)
= \(\sqrt{1296+225}\)
= \(\sqrt{1521}\)
= 39 मात्रक
अनुच्छेद 7.2 के अनुसार,
दिए गए शहरों के कार्तीय निर्देशांक A(0, 0) और B(36, 15)

अतः बिन्दुओं के बीच की अभीष्ट दूरी 39 km है।

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, 11) संरेखी हैं?
हल:
माना दिए गए बिन्दु क्रमानुसार A(1, 5), B(2, 3) और C (-2, -11)

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि किन्हीं दो का योगफल तीसरे के बराबर नहीं है। अतः दिए गए बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं?
हल:
माना दिए गए बिन्दु क्रमानुसार A(5, -2), B(6, 4) और C(7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि AB = BC = \(\sqrt{37}\)
अत: दिए गए बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ? ‘चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

हल:
दी गई आकृति में बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमश: (3, 4), (6, 7), (9, 4) और (6, 1) हैं।


उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि
AB = BC = CD = DA = 3\(\sqrt{2}\) मात्रक
AC = BD = 65 मात्रक
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है तथा चंपा की सोच सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:
(1) (-1, -2), (1, 0), (1, 2), (3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल:
(i) दिए गए बिन्दु A(-1, 2), B(1, 0), C (-1, 2) और D(-3, 0) हैं।

यहाँ हम देखते हैं कि,
AB = BC = CA = DA
अब, AC = \(\sqrt{[-1-(-1)]^2+[2-(-2)]^2}\)
= \(\sqrt{(-1+1)^2+(4)^2}\)
= \(\sqrt{0+(4)^2}\) = 4 मात्रक
∵ AB² + BC² = (2\(\sqrt{2}\))² + (2\(\sqrt{2}\))²
8 + 8 = 16 = (4)² = AC²
∴ ∠B समकोण है।
अतः दिए गये बिन्दुओं से बना चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

(ii) दिए गए बिन्दु A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), और D(-1, -4) हैं।

अर्थात् A, B, C संरेखी हैं। अतः दिए गए बिन्दु चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।

(iii) दिए गए बिन्दु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) और D(1, 2) हैं।

= \(\sqrt{0+4}=\sqrt{4}\) = 2 मात्रक
BD = \(\sqrt{(1-7)^2+(2-6)^2}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\) मात्रक
उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि
AB = CD, BC = DA और AC ≠ BD अर्थात् दिए गए बिन्दुओं से बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं तथा वकर्ण AC ≠ BD हैं।
अतः चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल:
माना x-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है।
(x, 0) और (2, -5) के बीच की दूरी

(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ x² – 4x + 29 = x² + 4x + 85
⇒ -8x = 85 – 29
⇒ -8x = 56
⇒ x = \(\frac{56}{-8}\)
∴ x = -7
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7, 0) हैं।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल:
दिए हुए बिन्दु P(2, -3) तथा Q(10, y) है।
तब PQ = \(\sqrt{(10-2)^2+[y-(-3)]^2}\)
= \(\sqrt{(8)^2+(y+3)^2}\)
∵ दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक (दिया है)
∴ \(\sqrt{8^2+(y+3)^2}\) = 10
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
8² + (y + 3)² = 10²
(y + 3)² = 10² – 8²
(y + 3)² = 100 – 64
(y + 3)² = 36
(y + 3) = ±\(\sqrt{36}\)
(y + 3) = ±6
‘+’ चिहन् लेने पर,
y + 3 = 6
∴ y = 6 – 3 = 3
‘-‘ चिहन लेने पर,
y + 3 = – 6
y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान 3 और -9 हैं।

प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1); बिन्दुओं P(5, -3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
∵ Q(0, 1), P(5, -3) और R (x, 6)
∵ Q, P तथा R से समदूरस्थ है।
∴ PQ = QR
∴ \(\sqrt{(5-0)^2+(-3-1)^2}\)
= \(\sqrt{(0-x)^2+(1-6)^2}\)
\(\sqrt{(5)^2+(-4)^2}\)
⇒ \(\sqrt{x^2+(-5)^2}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ (5)² + (-4)² = x² + (-5)²
⇒ 25 + 16 = x² + 25
⇒ x² = 25 + 16 – 25
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
जब x = 4 हो, तो बिन्दु R के निर्देशांक (4, 6) होंगे।

PR = \(\sqrt{(-4-5)^2+(6+3)^2}\)
= \(\sqrt{81+81}=\sqrt{162}\)
= \(9 \sqrt{2}\)
अत: x = ±4, QR = \(\sqrt{41}\) और PR = \(\sqrt{82}\) या 9\(\sqrt{2}\)

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
अथवा
यदि बिन्दु A(x, y), B(3, 6) तथा C(-3, 4) संरेखी है, तो दर्शाइए कि x – 3y + 15 = 0.
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु P (x, y) है, जो कि दिए गए बिन्दु A(3, 6) और B(-3, 4) से समदूरस्थ है।
PA = PB
⇒ PA² = PB²
(x – 3)² + (y – 6)² = [x – (-3)]² + (y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = (x + 3)² + (y – 4)²
⇒ x² – y² – 6x – 12 y + 45 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ x² + y – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
⇒ – 6x – 12y = 6x – 8y + 25 – 45
⇒ – 6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ – 12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5
[(-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध 3x + y – 5 = 0 है।