JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.6

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.6

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिन्दुओं पर समान कोण अन्तरित करती है।
हल:

दिया है:
वृत्त C (A, r) तथा वृत्त C’ (B, r’) एक दूसरे को C तथा D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है: ∠ACB = ∠ADB.
रचना: AB, AC, AD, BD तथा BC को मिलाया।
उपपत्ति: ΔACB तथा ΔADB में.
AC = AD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
BC = BD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ΔACB ≅ ΔADB (RSS प्रगुण)
∴ ∠ACB = ∠ADB. इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
एक वृत्त की 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बी दो जीवाएँ AB तथा CD समान्तर हैं और केन्द्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB तथा CD के बीच की दूरी 6 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त C (O, r) में जीवा AB = 5 सेमी तथा जीवा CD = 11 सेमी

रचना: OP ⊥ AB तथा OQ ⊥ CD खींचे। OA तथा OC को मिलाया, तो OA = OC = r.
∵ OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD
तथा AB || CD है, अत: बिन्दु P, O तथा Q सरेखीय हैं। इसलिए PQ = 6 सेमी।
माना OP = x, तब OQ = (6 – x) सेमी
∵ केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीजा को समद्विभाजित करता है।
∴ AP = PB = \(\frac{A B}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5 सेमी
तथा CQ = QD = \(\frac{C D}{2}=\frac{11}{2}\) = 5.5 सेमी
समकोण ΔOAP तथा ΔOCQ में,
OA² = OP² + AP²
तथा OC² = OQ² + CQ²
⇒ r² = x² + (2.5)² …..(i)
तथा r² = (6 – x)² + (5.5)² …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
⇒ x² + (2.5)² = (6 – x)² + (5.5)²
⇒ x² + 6.25 = 36 – 12x + x² + 30.25
⇒ 12x = 60 या x = 5
समीकरण (i) में x का मान रखने पर,
r² = 5² + (2.5)²
= 25 + 6.25 = 31.25
∴ r = \(\sqrt{31.25}\) = 5.6 (लगभग)
अतः वृत्त की त्रिज्या 5.6 सेमी (लगभग)।

प्रश्न 3.
किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी तथा 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है ?
हल:

वृत्त C (O, r) में जीवा AB || CD तथा AB = 6 सेमी व CD = 8 सेमी
माना वृत्त की त्रिज्या = r सेमी है।
OP ⊥ AB तथा OQ ⊥ CD डाला। चूँकि AB || CD तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD है, इसलिए बिन्दु O, Q तथा P सरेखीय हैं। स्पष्ट रूप से OP = 4 सेमी तथा P, Q क्रमश: AB तथा CD के मध्य बिन्दु हैं।
∴ AP = PB = \(\frac{1}{2}\)AB = 3 सेमी
तथा CQ = QD = \(\frac{1}{2}\) CD = 4 सेमी
समकोण ΔOPA में
OA² = OP² + AP²
⇒ r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
∴ r = 5 सेमी
समकोण ΔOCA में,
⇒ OC² = OQ² + CQ²
⇒ r² = OQ² + 4²
⇒ 25 = OQ² + 16
⇒ OQ² = 25 – 16
⇒ OQ² = 9
∴ OQ = 3 सेमी
अतः केन्द्र से बड़ी जीवा की दूरी 3 सेमी।

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि कोण ABC का एक शीर्ष B वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोणों के अन्तर का आधा है।
हल:
∵ त्रिभुज के बहिष्कोण का मान अभ्यन्तर अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।

ΔBDC में,
बहिष्कोण ∠ADC = ∠DBC + ∠DCB ……(i)
∴ ∠ADC = \(\frac{1}{2}\)∠AOC ……(ii)
⇒ ∠DCB = \(\frac{1}{2}\)∠DOE ……(iii)
(चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण)
समीकरण (i) में (ii) तथा (iii) से मान रखने पर,
\(\frac{1}{2}\)∠AOC = ∠ABC + \(\frac{1}{2}\)∠DOE
[∵ ∠DBC = ∠ABC]
⇒ ∠ABC = \(\frac{1}{2}\)(∠AOC – ∠DOE)
∴ ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण के अन्तर का आधा है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त, उसके विकण के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।
हल:
दिया है: समचतुर्भुज के विकर्ण AC तथा BD, O बिन्दु पर प्रतिच्छेदित है।
सिद्ध करना है: बिन्दु O, AB को व्यास मान कर खींचे गए वृत्त पर स्थित है।

उपपत्ति: ∵ ABCD एक समचतुर्भुज है जिसक विकर्ण AC और BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∴ ∠AOB = 90°.
∵ ΔAOB एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण AB है तब समकोण ΔAOB का ∠AOB अर्द्धवृत्त में स्थित होगा जिसका व्यास AB है।
अतः AB को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त बिन्दु O (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिन्दु) से होकर जाएगा।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो, तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
हल:

∵ ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠AED + ∠ABC = 180° …….(i)
∴ ∠ADE + ∠ADC = 180° (रैखिक कोण युग्म)
अत: CDE एक सीधी रेखा है।
[∵ ∠ADC और ∠ABC समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं अर्थात् ∠ADC = ∠ABC]
या ∠ADE + ∠ABC = 180° ….. (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
∠AED + ∠ABC = ∠ADE + ∠ABC
⇒ ∠AED = ∠ADE
∴ ΔAED में, ∠AED = ∠ADE
∴ AE = AD इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए:
(i) AC और BD व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।
हल:
दिया है: वृत्त C (O, r) में जीवा AB तथा CD परस्पर समद्विभाजित करती हैं।
सिद्ध करना है:
(i) AC और BD व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।

उपपत्ति: (i) जीवाएँ AC और BD एक-दूसरे को O बिन्दु पर समद्विभाजित करती हैं।
∴ OA = OB = OC = OD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
तब AC = OA + OC
= त्रिज्या + त्रिज्या
= 2 × त्रिज्या
= व्यास
अत: AC वृत्त का व्यास है।
∵ BD भी O बिन्दु से गुजरती है।
∴ BD भी वृत्त का व्यास होगा।

(ii) AC वृत्त का व्यास है।
∴ AC द्वारा अर्द्धवृत्त में बने कोण
∠ABC = ∠ADC = 90° होंगे।
इसी प्रकार BD व्यास द्वारा अर्द्धवृत्त में बने कोण ∠BAD = ∠BCD = 90° हैं।
अत: ☐ABCD के
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
⇒ ABCD एक आयत है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक उसके परिवृत्त को क्रमशः बिन्दुओं D, E और F पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि ADEF के कोण क्रमश:
90° – \(\frac{A}{2}\), 90° – \(\frac{B}{2}\) और 90° – \(\frac{C}{2}\) हैं।
हल:
दिया है: ΔABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक AD, BE व CF त्रिभुज के परिवृत्त को क्रमश: बिन्दुओं D, E व F पर काटते हैं। बिन्दुओं D, E व F से त्रिभुज DEF बनाया गया है।

सिद्ध करना है: ΔDEF में,
∠D = 90° – ∠\(\frac{A}{2}\), ∠E = 90° – ∠\(\frac{B}{2}\) और ∠F = 90° – ∠\(\frac{C}{2}\)
उपपत्ति: ∵ ∠ADE और ∠ABE एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।
∴ ∠ADE = ∠ABE
∴ \(\frac{1}{2}\)∠D = \(\frac{1}{2}\)∠B …..(1)
इसी प्रकार, ∠ADF और ∠ACF एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।
∴ ∠ADF = ∠ACF
∴ \(\frac{1}{2}\)∠D = \(\frac{1}{2}\)∠C ….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠D = \(\frac{1}{2}\)(∠B + ∠C)
(∵ ∠B + ∠C = 180° – ∠A)
⇒ ∠D = \(\frac{1}{2}\)(180° – ∠A)
∠D = 90° – \(\frac{\angle A}{2}\)
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि
∠E = 90° – \(\frac{\angle B}{2}\) तथा ∠F = 90° – \(\frac{\angle C}{2}\)
अतः ΔDEF के कोण क्रमशः
90° – \(\frac{\angle A}{2}\), 90° – \(\frac{\angle B}{2}\), 90° – \(\frac{\angle C}{2}\) हैं।

प्रश्न 9.
दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर A और B बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं से होकर कोई रेखाखण्ड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्त पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
हल:
माना तथा दो सर्वांगसम वृत्तों के केन्द्र हैं।
∴ AB इन वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है।

चाप ACB ≅ चाप ADB (सर्वागसम वृत्तों के चाप)
∠AOB = ∠AO’B (केन्द्र पर बने कोण)
ΔPBQ में
⇒ ∠BPA = ∠BQA (सर्वागसम वृत्तों की परिधि पर बने कोण)
∠P = ∠Q [∵ ∠BPA = ∠BQA]
⇒ BP = BQ
इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ΔABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
हल:
दिया है: ΔABC के आधार BC का लम्ब समद्विभाजक XY है। ABDC, ΔABC का परिवृत्त है। लम्ब समद्विभाजक XY परिवृत्त को D पर काटता है। XY, BC को M पर काटता है।

सिद्ध करना है: ∠A का समद्विभाजक भी बिन्दु D से होकर जाएगा।
रचना: DB तथा DC को मिलाया।
उपपत्ति: ∵ XY, BC का लम्ब समद्विभाजक है और यह परिवृत्त को बिन्दु D पर काटता है।
∴ बिन्दु D, परिवृत्त पर भी है और XY पर भी।
ΔBDM और ΔCDM में,
BM = CM
(XY, BC का लम्ब समद्विभाजक है)
MD = MD (उभयनिष्ठ भुजा है)
∠BMD = ∠CMD (∵ XY ⊥ BC)
ΔBDM ≅ ΔCDM (SAS नियम से)
∴ BD = CD
∵ बिन्दु D परिवृत्त पर भी स्थित है।
∴ परिवृत्त में, जीवा BD = जीवा CD
∴ भुजा BD = भुजा CD
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
किसी वृत्त की समान जीवाएँ समान चाप काटती हैं
∴ चाप BD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण = चाप CD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण
∴ ∠BAD = ∠CAD
∴ AD, ∠A का समद्विभाजक है।
अतः ∠A का समद्विभाजक AD भी बिन्दु D से होकर जाता है।