JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.2

प्रश्न 1.
ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, h = 14 सेमी और A = 88 सेमी²
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
⇒ 88 = 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 14, जहाँ r त्रिज्या है।
⇒ 2r = \(\frac{88 \times 7}{22 \times 14}\) सेमी
⇒ 2r = \(\frac{4 \times 7}{14}\) सेमी = \(\frac{28}{14}\) सेमी = 2 सेमी
∴ बेलन के आधार का व्यास = 2 सेमी।

प्रश्न 2.
धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊंची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
हल:
आधार का व्यास = 140 सेमी
= 1.40 मीटर
∴ आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.40}{2}\) = 0.70 मी.
बेलनाकार टंकी की ऊँचाई (h) = 1 मीटर

∴ टंकी के लिए आवश्यक चादर = बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7(0.7+ 1.0) सेमी²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 1.7
= 7.48 मीटर²
अतः टंकी के लिए आवश्यक चादर 7.48 मीटर²।

प्रश्न 3.
धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए :
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
दिया है, h = 77 सेमी
आन्तरिक व्यास (d₁) = 4 सेमी
∴ आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = \(\frac{4}{2}\) सेमी
= 2 सेमी
बाहरी व्यास (d₂) = 4.4 सेमी
∴ बाहरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{4.4}{2}\) सेमी = 2.2 सेमी
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr₁h
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2 × 77 सेमी²
= 968 सेमी²।
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr₂h
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.2 × 77 सेमी²।
= 1064.8 सेमी²।
(iii) … किनारे के एक भाग का क्षेत्रफल
= πr_2² – πr_1² = π(r_2² – r_1²)
∴ किनारे के दोनों भागों का क्षेत्रफल
= 2π(r_2² – r_1²) = 2π(2.2² – 2²) सेमी²
= 2π(4.84 – 4) सेमी²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.84 सेमी²।
= 44 × 0.84 सेमी²
= 44 × 0.12 सेमी² = 5.28 सेमी²
∴ पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों सिरों का क्षेत्रफल
= (968 + 1064.8 + 5.28) सेमी²
= 2038.08 सेमी²।

प्रश्न 4.
एक रोलर (roller) का व्यास 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का वर्ग मीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
रोलर का व्यास (2r) = 84 सेमी
तथा ऊँचाई (h) = 120 सेमी
रोलर का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= (2r) × π × h
= 84 × \(\frac{22}{7}\) ×120 सेमी²
= 12 × 22 × 120 सेमी²
= 31680 सेमी²
एक चक्कर में समतल हुआ क्षेत्र = रोलर का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 31680 सेमी²
500 चक्करों में समतल हुआ क्षेत्रफल
= 500 × 31680 वर्ग सेमी
= \(\frac{500 \times 31680}{10000}\) वर्ग मीटर
= 1584 मीटर²
∴ खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 1584 मीटर²।

प्रश्न 5.
किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी और ऊँचाई 3.5 मी है। ₹ 12.50 प्रति मीटर² की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेण्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
स्तम्भ का व्यास (2r) = 50 सेमी = 0.5 मीटर
स्तम्भ की ऊँचाई (h) = 3.5 मीटर
∴ स्तम्भ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= (2r) × π × h
= 0.5 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 मीटर²
= \(\frac{5}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10}=\frac{11}{2}\) मीटर²
= 5.5 मीटर²
स्तम्भ पर पैंट कराने का व्यय = पृष्ठीय क्षेत्रफल × दर
= ₹ 12.50 × 5.5
= ₹ 68.75

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मीटर² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 मीटर²
∴ 2πrh = 4.4
⇒ 2× \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × h = 4.4
∴ h = \(\frac{4.4 \times 7}{2 \times 22 \times 0.7}\) मीटर
= \(\frac{44 \times 7 \times 10}{2 \times 22 \times 7 \times 10}\) मीटर
= 1 मीटर
अतः बेलन की ऊँचाई = 1 मीटर

प्रश्न 7.
किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 मीटर और यह 10 मीटर गहरा है ज्ञात कीजिए :
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) ₹ 40 रुपये प्रति मीटर की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल:
कुएँ का आन्तरिक व्यास (2r) = 3.5 मीटर
कुएँ की गहराई (h) = 10 मीटर
(i) कुएँ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= (2r) × π × h
= 3.5 × \(\frac{22}{7}\) × 10 = \(\frac{35 \times 22}{7}\) मीटर²
= 5 × 22 = 110 मीटर²।

(ii) प्लास्टर कराने का व्यय = कुएँ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल × दर
= ₹ 40 × 110
= ₹ 4,400

प्रश्न 8.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 मीटर लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है ?
हल:
पाइप का व्यास (2r) = 5 सेमी
= \(\frac{5}{100}\) मीटर = \(\frac{1}{20}\) मीटर
पाइप की लम्बाई (h) = 28 मीटर
पाइप का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = (2r) πh
= \(\frac{1}{20} \times \frac{22}{7}\) × 28
= \(\frac{22}{5}\) = 4.4 मीटर²
∴ कुल पृष्ठ = 4.4 मीटर²
अतः संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = 4.4 मीटर²।

प्रश्न 9.
ज्ञात कीजिए :
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मीटर और ऊँचाई 4.5 मीटर है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (Steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का \(\frac{1}{12}\) भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
हल:
(i) … बेलनाकार टंकी का व्यास = 4.2 मीटर
∴ टंकी की त्रिज्या (r) = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 मीटर
और टंकी की ऊँचाई (h) = 4.5 मीटर
अतः टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 4.5 वर्ग मीटर
= 59.4 वर्ग मीटर।

(ii) टंकी के दोनों सिरों के पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × (2.1)²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 = 27.72 वर्ग मीटर
∴ टंकी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = (59.4 + 27.72) वर्ग मीटर
= 87.12 वर्ग मीटर
माना टंकी को बनाने में वर्ग मीटर इस्पात लगा।
बनाने की क्रिया में नष्ट इस्पात = x का \(\frac{1}{12}\) = \(\frac{x}{12}\)
तब तैयार इस्पात का क्षेत्रफल = x – \(\frac{x}{12}=\frac{11 x}{12}\)
अतः \(\frac{11 x}{12}\) = 87.12
∴ x = \(\frac{87.12 \times 12}{11}\) = 95.04 वर्ग मीटर
अतः टंकी को बनाने में लगा इस्पात = 95.04 वर्ग मीटर

प्रश्न 10.
आकृति में, आप एक लैम्प शेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊंचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों और 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्प शेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी ?

हल:
… लैम्प शेड वृत्ताकार है
लैम्प शेड का व्यास (2r) = 20 सेमी
लैम्प शेड की त्रिज्या (r) = 10 सेमी
और लैम्प शेड की ऊँचाई = 30 सेमी
…. लैम्प शेड को सजाने में दोनों ओर 2.5 सेमी कपड़ा अतिरिक्त छोड़ा जाता है।
∴ अतिरिक्त कपड़े सहित कपड़े की ऊँचाई (h)
= (30 + 2.5 + 2.5) सेमी = 35 सेमी
आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल = 2πrh
= (2r) × π × h
= 20 × \(\frac{22}{7}\) × 35 सेमी²
= 2200 सेमी²
अतः आवश्यक कपड़ा = 2200 सेमी²।

प्रश्न 11.
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों के गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा ?
हल:
कलमदान की त्रिज्या (r) = 3 सेमी
और कलमदान की ऊँचाई (h) = 10.5 सेमी
∴ कलमदान का चक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2× \(\frac{22}{7}\) × 3 × 10.5
= 198 वर्ग सेमी
कलमदान के आधार का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 = \(\frac{198}{7}\) वर्ग सेमी
∴ कलमदान का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= \(\left(198+\frac{198}{7}\right)\) वर्ग सेमी
= \(\frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी
…. 1 कलमदान के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = \(\frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी
∴ 35 कलमदान के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 35 × \(\frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी
= 7920 वर्ग सेमी
अतः विद्यालय को 7920 वर्ग सेमी गत्ता खरीदना होगा।