Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Exercise 5.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तरों के लिए कारण भी दीजिए:
(i) एक बिन्दु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति में, यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB = XY होगा ।
हल:
(i) असत्य ।
एक कागज पर कोई बिन्दु X लें पेंसिल व पैमाने से X से जाने वाली कोई रेखा mi बनाइये। एक ओर रेखा X से गुजरती हुई बनाइये। इसी प्रक्रिया को करते हुए हम जितनी चाहें उतनी रेखाएँ X से बना सकते हैं।
(ii) असत्य ।
एक कागज पर दो बिन्दु X तथा Y लें। अब कागज को इस प्रकार मोड़े कि कागज बिन्दुओं X तथा Y से होकर मुड़े पुनः प्रयास करते हुए कागज को अन्य प्रकार से मोड़े कि मोड़ X-Y बिन्दुओं पर हो यह असंभव है।
अतः स्पष्ट है कि दो बिन्दुओं से केवल एक रेखा खींची जा सकती है।
(iii) सत्य ।
ज्यामिति में सांत रेखा ही रेखाखण्ड कहलाता है। रेखा को सिरों पर तीन बनाकर प्रदर्शित किया जाता है, किन्तु सांत रेखा (रेखाखण्ड) दो बिन्दुओं के मध्य की दूरी होती है जिसे
दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
(iv) सत्य ।
बराबर (क्षेत्रफल) वाले वृत्त संपाती होते हैं।
अतः उनके केन्द्र से परिधि तक की दूरी बराबर होती है अर्थात् उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) सत्य ।
ऐसी दो भिन्न वस्तुएँ किसी अन्य वस्तु के पूर्णत: बराबर हों, तो वे आपस में भी बराबर होती हैं। अतः दी गई आकृति में AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY होगा। अतः दिया हुआ कथन सत्य है।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित करेंगे ?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखण्ड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग।
हल:
(i) समान्तर रेखाएँ एक ही तल में स्थित इस प्रकार की दो सरल रेखाएँ जो आपस में एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं।
समान्तर रेखाएँ आपस में बराबर दूरी पर रहती हैं अर्थात् दो समान्तर रेखाओं के प्रत्येक बिन्दु पर लम्बवत् दूरी सदैव बराबर रहती है।
समान्तर रेखाओं के लिए संकेत ‘||’ का प्रयोग किया जाता है जिसका तात्पर्य ‘समान्तर’ है।
चित्र में रेखा AB, रेखा CB के समान्तर है जिसे AB || CD द्वारा व्यक्त करते हैं।
(ii) लम्ब रेखाएँ एक ही तल में स्थित दो सरल रेखाएँ जो एक-दूसरे के साथ समकोण बनाती हैं। लम्ब रेखाएँ कहलाती हैं। हम लिखते हैं ABCD.
(iii) रेखाखण्ड: सरल रेखा का एक निश्चित भाग जो दो निश्चित बिन्दुओं के मध्य स्थित होता है। रेखाखण्ड कहलाता है। चित्र में AB या BA रेखाखण्ड है।
AB रेखाखण्ड में प्रारम्भिक बिन्दु 4 और अन्तिम बिन्दु B है।
(iv) वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केन्द्र से वृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिन्दु के बीच की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं। चित्र में OA वृत्त की त्रिज्या है।
(v) वर्ग वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हाँ तथा प्रत्येक कोण समकोण हो, वर्ग कहलाता है। चित्र में ABCD वर्ग है।
∠A – ∠B – ∠C – ∠D = 90°
तथा AB = BC = CD = DA.
प्रश्न 3.
नीचे दी गई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए:
(i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिये रहने पर, एक तीसरा बिन्दु C ऐसा विद्यमान है, जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं। इस स्थिति में बिन्दु A, B, C सरेखीय कहलाते हैं।
क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द है ? क्या ये अभिधारणाएँ अवरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं ? स्पष्ट कीजिए।
हल:
यहाँ पर बहुत सारे अपरिभाषित पद हैं,
(i) दो बिन्दु तथा B दिये गये हैं, जहाँ बिन्दु C उनके बीच खींची गयी रेखा पर स्थित है।
(ii) बिन्दु तथा B दिये गये हैं। हम एक बिन्दु C ले सकते हैं, जो A तथा B से होकर गुजरती हुई रेखा पर स्थित नहीं है। इस स्थिति में यदि बिन्दुओं तथा B को C से मिलाया जाता है तो एक त्रिभुज की रचना होती है।
यह अभिगृहीत यूक्लिड के अभिगृहीतों पर आधारित नहीं है। हालाँकि ये अभिगृहीतों का अनुसरण करते हैं, क्योंकि दो दिए हुए विभिन्न बिन्दुओं से केवल एक ही रेखा गुजर सकती है।
प्रश्न 4.
दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = \(\frac{1}{2}\)AB है। एक आकृति खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए।
हल:
दिया हैं बिन्दु C जो बिन्दुओं तथा B के बीच में इस प्रकार स्थित है कि
AC = BC.
दोनों ओर AC जोड़ने पर,
AC + AC = AC + BC
या 2AC = AB
[∵ AC + CB, AB के बराबर है]
AC = \(\frac{1}{2}\)AB
प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में, बिन्दु C रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है।
हल:
माना AB का D एक और मध्य- बिन्दु है।
∴ AD = DB ……(i)
लेकिन दिया गया है कि C, AB का मध्य बिन्दु है।
∴ AC = CB ….. (ii)
समी (i) को (ii) में से घटाने पर,
AC – AD = CB – DB
या DC = DC
या 2DC = 0 ∴ DC = 0
अतः C व D सम्पाती हैं। इति सिद्धम् ।
प्रश्न 6.
आकृति में, यदि AC BD है, तो सिद्ध कीजिए कि ABCD है।
हल:
दिया है AC = BD …(i)
तथा AC = AB + BC …(ii)
[∵ बिन्दु B, A तथा C के बीच में स्थित है]
और BD = BC + CD. …..(iii)
[∵ बिन्दु C B तथा D के बीच में स्थित है]
AC और BD का मान समीकरण (ii) और (iii) से समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
AB + BC = BC + CD
यां AB + BC – BC = BC + CD – BC
[दोनों पक्षों में से BC घटाने पर]
अतः AB = CD. इति सिद्धम् ।
प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है ? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से सम्बन्धित नहीं है।)
हल:
यह सार्वभौमिक सत्य है कि कोई भी सम्पूर्ण वस्तु अपने किसी भी भाग (अंश) से बड़ी होती है।
अतः यह “पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।” यह सदैव सत्य है।