JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में x और के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

हल:
माना तिर्यक रेखा PQ, AB और CD को क्रमशः
R और S पर काटती है।

∴ ∠x + 50° = 180° [रैखिक कोण युग्म]
∠x = 180° – 50° = 130°
चित्र से, ∠y = 130° [शीर्षाभिमुख कोण]
∠x = ∠y = 130°
एकान्तर कोण समान हैं।
अतः AB || CB

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि CD || EF तथा तिर्यक् रेखा PQ उनको क्रमश: S तथा T पर काटती है।
∴ ∠CST = ∠STF, [एकान्तर कोण]
⇒ 180° – y = z,
[∵ ∠y + ∠CST = 180° रैखिक युग्म]
⇒ y + z = 180°
दिया है, y : z = 3 : 7.
अतः अनुपातों का योग = 3 + 7 = 10
∴ y = \(\frac{3}{10}\) × 180°
= 3 × 18° = 54°
तथा z = \(\frac{7}{10}\) × 180°
= 7 × 18° = 126°
∵ AB || CD तथा तिर्यक् रेखा PQ, AB व CD को क्रमश: R तथा S पर काटती है।
∴ ∠ARS + ∠RSC = 180°,
[लगातार अभ्यंतर कोण सम्पूरक होते हैं]
⇒ x + y = 180°
x = 180° – y
180° – 54° = 126°, [∵ y = 54°]
अतः x = 126°.

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि AB || CD तथा तिर्यक रेखा GE उनको क्रमश: G तथा E पर काटती है।
∴ ∠AGE = ∠GED [एकान्तर कोण]
⇒ ∠AGE = 126° [∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
∠GEF = ∠GED – ∠FED
= 126° – 90° = 36°
तथा ∠FGE = ∠GEC [एकान्तर कोण]
⇒ ∠FGE = 90° – ∠GEF
= 90° – 36° = 54°
अत:, ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°.

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

हल:
PQ को M बिन्दु पर काटने के लिए SR तक बढ़ाया।
अब PM || ST तथा तिर्वक रेखा SM क्रमश: उनको M तथा R पर काटती है।

∴ ∠SMQ = ∠TSM, [एकान्तर कोण]
⇒ ∠SMQ = 130°
⇒ ∠QMR = 180° – 130° = 50°
[∵ ∠SMQ + ∠QMR = 180° एकान्तर युग्म]
चूँकि किरण RQ, PM को Q पर काटती है।
∴ ∠PQR+ ∠RQM = 180°
⇒ 110°+∠RQM = 180°°
⇒ ∠RQM = 180° – 110° = 70°
∴ ∠QRS = 180° – (70° + 50°) = 60°.
[∵ एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है]

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और ज्ञात कीजिए।

हल:
AB || CD जिन्हें तिर्यक रेखा PQ क्रमश: P तथा Q पर काटती है।
∴ ∠PQR = ∠APQ, [एकान्तर कोण]
⇒ x = 50° (दिया है)
∠x + ∠y = ∠PRD [बहिष्कोण]
⇒ 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50° = 77°
∴ x = 50° तथा y = 77°.

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (Incident Ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (Reflected Ray) पक्ष BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल:
दिया है दर्पण PQ || दर्पण RS
दर्पण PO पर आपतित किरण AB तथा परावर्तित किरण BC एवं दर्पण RS आपतित किरण BC और परावर्तित किरण CD.

रचना: बिन्दु B पर BP’ तथा बिन्दु C पर CQ’ लम्ब डाले।
सिद्ध करना है: AB || CD
उपपत्ति: BP, बिन्दु B पर अभिलम्ब है; और CQ, बिन्दु C पर अभिलम्ब है;
∵ PQ || RS
∴ उक्त तीनों तथ्यों से BP’ || CQ और BC तिर्यक रेखा है। इति सिद्धम् ।
∴ ∠P’BC = ∠Q’CB एकान्तर कोण
∴ ∠r₁ = ∠i₂ …(1)
परावर्तन के नियमों से,
∠i₁ = ∠r₁ …..(2)
तथा ∠i₂ = ∠r₂ …..(3)
समीकरण (1), (2) व (3) से, ∠i₁ = ∠r₂ ……(4)
समीकरण (1) व समीकरण (4) को जोड़ने पर,
∠(i₁ + r₁) = ∠(i₂ + r₂)
∴ ∠ABC = ∠BCD
परन्तु ये AB तथा CD को BC द्वारा प्रतिच्छेद करने से निर्मित समान एकान्तर कोण हैं।
अतः AB || CD. इति सिद्धम्