Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Exercise 9.3
प्रश्न 1.
आकृति में, AABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
ar (ΔABE) = ar (ΔACE).
हल:
दिया है: AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है और भुजा AD पर कोई बिन्दु है।
सिद्ध करना है :
ar (ΔABE) = ar (ΔACE).
उपपत्ति: ∵ AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
ar (ΔABD) = ar (ΔACD) …..(i)
साथ ही, ED त्रिभुज EBC की माध्यिका है।
ar (ΔBED) = ar (ΔCED) …..(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,
ar (ΔABD) – ar (ΔBED) = ar (ΔACD) – ar (ΔCED)
∴ ar (ΔABE) = ar (ΔACE). इति सिद्धम्।
प्रश्न 2.
ΔABC में, E, माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (ΔBED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
हल:
दिया है: ΔABC में माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु E है।
सिद्ध करना है: ar (ΔBED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
उपपत्ति: ∵ AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है और माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔADC)
[∵ ar (ΔABC) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC)]
ar (ΔABD) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC) …..(i)
ΔABD में BE माध्यिका है।
∴ ar (ΔBED) = ar (ΔBAE) …..(ii)
[∵ ar (ΔBAE) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABD)]
⇒ ar (ΔBED) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABD)
⇒ ar (ΔBED) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABC).
[समीकरण (i) से]
⇒ ar (ΔBED) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC), इति सिद्धम्।
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल:
दिया है: समान्तर चतुर्भुज ABCD
सिद्ध करना है:
विकर्ण AC और BD समान्तर चतुर्भुज ABCD को समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
रचना: BL ⊥ AC खींचा।
उपपत्ति: चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, अतः इसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को O बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AO = OC और BO = OD
अब ar (ΔAOB) = \(\frac{1}{2}\) × OA × BL
ar (ΔOBC) = \(\frac{1}{2}\) × OC × BL
किन्तु AO = OC
∴ ar(ΔAOB) = ar (ΔOBC) ……(1)
इसी प्रकार,
ar (ΔOBC) = ar (ΔOCD) ……(2)
ar (ΔOCD) = ar (ΔODA) ……(3)
ar (ΔODA) = ar (ΔOAB) ……(4)
समीकरण (1) (2) (3) वं (4) से,
ar (ΔOAB) = ar (ΔOBC) – (ΔOCD)
= ar (ΔOAD). इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB से बिन्दु पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि:
ar (ΔABC) = ar (ΔABD).
हल:
दिया है: ΔABC और ΔABD एक ही आधार AB पर इस प्रकार स्थित हैं कि बिन्दु C और D, AB के एक ही ओर स्थित नहीं हैं और CO = DO है।
सिद्ध करना है: ar (ΔABC) = ar (ΔADB).
रचना: बिन्दु C और D से आधार AB पर लम्ब CE और DF इस प्रकार खींचे कि वे आधार AB को क्रमश: E और F बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
उपपत्ति: ΔCOE तथा ΔDOF में,
अतः ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABD का क्षेत्रफल। इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
D, E और F क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। दर्शाइए कि :
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
(iii) ar (||gm BDEF) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC).
हल:
दिया है: D, E और F क्रमश: ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है : (i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
(iii) ar (||gm BDEF) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
उपपत्ति: (i) ΔABC में, EF || BC
[मध्य- बिन्दु प्रमेय द्वारा, चूँकि E और F क्रमश: AC और AB के मध्य-बिन्दु हैं।]
EF || BD ……(i)
इसी प्रकार, ED || AB
∴ ED || FB …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।
(ii) इसी प्रकार, FDCE और AFDE समान्तर चतुर्भुज
∴ ar (ΔFBD) = ar (ΔDEF) ……(iii)
[∵ FD समान्तर चतुर्भुज BDEF का एक विकर्ण है।]
ar (ΔDEC) = ar (ΔDEF) …..(iv)
इसी प्रकार,
ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) ….. (v)
[∵ EF समान्तर चतुर्भुज AFDE का एक विकर्ण है।]
समीकरण (iii), (iv) व (v) से,
ar (ΔFBD) = ar (ΔDEC) = ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF)
⇒ ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC).
इति सिद्धम्।
(iii) एवं ar (||gm BDEF) = 2 ar (ΔDEF)
[∵ ar (ΔDEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC) सिद्ध है। ]
= 2 × \(\frac{1}{4}\) ar (ΔABC)
= \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC) इति सिद्धम्।
प्रश्न 6.
आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करते हैं कि OB = OD। यदि AB = CD, तो दर्शाइए कि :
(i) ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)
(ii) ar (ΔDCB) = ar (ΔACB )
(iii) DA || CB या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल:
(i) DN ⊥ AC और BM ⊥ AC खींचा।
ΔDON और ΔBOM में,
∵ ∠DNO = ∠BMO [प्रत्येक 90°]
∠DON = ∠BOM [शीर्षाभिमुख कोण]
तथा OD = OB [दिया है]
ΔDON ≅ ΔBOM (AAS नियम)
∴ ar (ΔDON) = ar (ΔBOM) …..(i)
∴ DN = BM
अब ΔDCN और ΔBAM में,
∵ ∠DNC = ∠BMA [प्रत्येक 90°]
DC = AB [दिया है]
तथा DN = BM
[∵ ΔDON ≅ ΔBOM अत: DN = BM]
∴ ΔDCN ≅ ΔBAM (RHS नियम)
∴ ar(ΔDON) = ar (ΔBAM) ……(ii)
समीकरण (i) एवं (ii) को जोड़ने पर,
ar (ΔDON) + ar (ΔDCN) = ar (ΔBOM) + ar (ΔBAM)
या ar (ΔDOC) = ar (AOB) इति सिद्धम्।
(ii) ∵ ar (ΔDOC) = ar (ΔABO)
∴ ar (ΔDOC) + ar (ΔBOC) = ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC)
⇒ ar (ΔDCB) = ar (ΔACB) इति सिद्धम्।
(iii) ΔDCB और ΔACB के क्षेत्रफल और आधार समान हैं अतः उनके त्रिभुज समान समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित होंगे।
या DA || CB तथा DA = CB अर्थात् ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
बिन्दु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (ΔDBC) = ar (ΔEBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।
हल:
∵ ΔDBC और ΔEBC के क्षेत्रफल समान हैं और दोनों के आधार भी समान हैं।
∴ ΔDBC की D से ऊँचाई
= ΔEBC की E से ऊँचाई
या ΔDBC और ΔEBC समान समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित B हैं।
अतः DE || BC. इति सिद्धम्।
प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि :
ar (ΔABE) = ar (ΔACF).
हल:
दिया है: ΔABC में XY || BC, CF || AB तथा BE || AC
सिद्ध करना है: ar (ΔABE) = ar (ΔACF).
उपपत्ति: ∵ XY || BC और BE || AC.
∴ AEBC का एक समान्तर चतुर्भुज हैं,
∵ AB, समान्तर चतुर्भुज AEBC का विकर्ण है।
∴ ΔABE का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल … (1)
पुनः ∵ XY || BC और CF || AB
∴ ABCF एक समान्तर चतुर्भुज हैं।
∵ AC, समान्तर चतुर्भुज ABCF का विकर्ण है।
∴ ΔABC का क्षेत्रफल = ΔACF का क्षेत्रफल …….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
ΔABE का क्षेत्रफल = ΔACF का क्षेत्रफल
या ar (ΔABE) = ar (ΔACF). इति सिद्धम्।
प्रश्न 9.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को बिन्दु तक बढ़ाया गया है से होकर CP के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई रेखा CB को Q पर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति)। दिखाइए कि ar (||gm ABCD) = ar (||gm PBQR) है।
हल:
रचना: AC और PQ को मिलाया।
चूँकि AC और PQ क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD और समान्तर चतुर्भुज PBQR के विकर्ण हैं।
∴ ar (ΔABC) = \(\frac{1}{2}\)ar (||gm ABCD) …..(i)
तथा ar (ΔPBQ) = \(\frac{1}{2}\)ar (||gm PBQR) …. (ii)
अब, ΔACQ और ΔAQP समान आधार AQ पर और समान समान्तर रेखाओं AQ और CP के मध्य स्थित हैं।
ar (ΔACQ) = ar (ΔAQP) …..(iii)
समीकरण (iii) के दोनों पक्षों से ar (ΔABQ) घटाने पर,
ar (ΔACQ) – ar (ΔABQ) = ar (ΔAQP) – ar (ΔABQ)
⇒ ar (ΔABC) = ar (ΔBPQ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)ar (||gm ABCD) = \(\frac{1}{2}\)ar (||gm PBQR),
[समीकरण (i) एवं (ii) से]
⇒ ar (||gm ABCD) = ar (||gm PBQR).
इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
एक समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेदित करते हैं। दर्शाइए कि ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC) है।
हल:
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || DC है, तथा विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
∴ ΔABC और ΔABD समान आधार AB पर और समान समान्तर रेखाओं AB तथा DC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
[ar (ΔAOB) को दोनों पक्षों में से घटाने पर]
ar (ΔABD) – ar (ΔAOB) = ar (ΔABC) – ar (ΔAOB)
अत: ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC) इति सिद्धम्।
प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई रेखा DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि-
(i) ar (ΔACB) = ar (ΔACF)
(ii) ar (||gm AEDF) = ar (||gm ABCDE).
हल:
(i) ∵ ΔACB और ΔACF समान आधार AC पर और समान समान्तर रेखाओं AC और BF के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔACB) = ar (ΔACF) इति सिद्धम्।
(ii) ar (ΔACB) = ar (ΔACF)
दोनों पक्षों में ar (||gm ACDE) को जोड़ने पर,
ar (ΔACF) + ar (||gm ACDE) = ar (ΔACB) + ar (||gm ACDE)
⇒ ar (||gm AEDF) = ar (||gm ABCDE). इति सिद्धम्।
प्रश्न 12.
किसी गाँव के निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड था उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखण्ड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके । इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखण्ड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखण्ड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है ?
हल:
माना ABCD एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड है जिसके एक कोने से कुछ भाग लेकर समान क्षेत्रफल का दूसरा भाग देना है जो खेत से संलग्न भी हो और बचे खेत के साथ मिलकर पूर्ण भूखण्ड त्रिभुजाकार बन सके।
रचना: चतुर्भुजाकार खेत का विकर्ण AC खींचा। बिन्दु D से DE || AC खींचा जो बढ़ी हुई BC को E पर काटता है रेखाखण्ड AE खींचा जो CD रेखा को O पर काटता है।
अब ΔACD और ΔACE एक ही आधार AC पर और समान समान्तर रेखाओं AC व DE के बीच स्थित हैं।
ar (ΔACD) = ar (ΔACE)
दोनों पक्षों में ar (ΔAOC) जोड़ने पर
या ar (ΔAOD) + ar (ΔAOC) = ar (ΔAOC) + ar (ΔCOE)
या ar (ΔAOD) = ar (ΔCOE)
अत: ΔAOD क्षेत्र लेकर उसके बचे भूखण्ड के क्षेत्र में क्षेत्र (ΔCOE) जोड़कर दे देना चाहिए।
प्रश्न 13.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है। AC के समान्तर एक रेखा AB को X पर और BC को पर प्रतिच्छेदित करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ΔADX) = ar (ΔACY) है।
हल:
दिया है: समलम्ब ABCD में AB || DC और XY || AC है।
रचना: XC और DX को मिलाया।
ar (ΔACX) = ar (ΔACY) …..(i)
[∵ ΔACX और ΔACY का आधार समान है और समान समान्तर रेखाओं AC और XY के मध्य स्थित हैं।]
किन्तु ar (ΔACX) = ar (ΔADX) …..(ii)
[∵ ΔACX और ΔADX का आधार AX समान है और समान समान्तर रेखाओं AB और DC के मध्य स्थित हैं।]
समीकरण (i) एवं (ii) से,
ar (ΔADX) = ar (ΔACY). इति सिद्धम्।
प्रश्न 14.
दी गई आकृति में AP || BQ || CR। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR)।
हल:
दिया है: AP || BQ है और BQ || CR।
रेखाखण्ड AQ, CQ, BP और BR खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है: ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR).
उपपत्ति: ∵ AP || BQ; ΔABQ और ΔPBQ दोनों समान आधार BQ और समान समान्तर रेखाओं AP व BQ के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔABQ) = ar (ΔPBQ) …….(1)
इसी प्रकार, BQ || CR
ΔBCQ और ΔBQR समान आधार BQ पर तथा समान समान्तर रेखाओं BQ व CR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔBCQ) = ar (ΔBQR) …..(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (ΔABQ) + ar (ΔBCQ) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔBQR)
या ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR). इति सिद्धम्।
प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करते हैं कि ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल:
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करते हैं कि
ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC) …..(i)
ar (ΔODC) को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
ar (ΔAOD) + ar (ΔODC) = ar (ΔBOC) + ar (ΔODC)
⇒ ar (ΔADC) = ar (ΔBDC)
⇒ \(\frac{1}{2}\) × DC × AL = \(\frac{1}{2}\) × DC × BM
⇒ AL =BM
⇒ AB || DC
अत: ABCD एक समलम्ब है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 16.
दी गई आकृति में, ar (ΔDRC) = ar (ΔDPC) और ar (ΔBDP) = ar (ΔARC)। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलम्ब हैं।
हल:
दिया है: ΔDRC, ΔDPC, ΔBDP और ΔARC इस प्रकार हैं कि
ar (ΔDRC) = ar (ΔDPC)
और ar (ΔBDP) = ar (ΔARC).
सिद्ध करना है: चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR समलम्ब हैं।
उपपत्ति: दिया है :
ar ΔDRC = ar ΔDPC तथा दोनों एक ही आधार पर DC पर आधारित है।
∴ DC || RP …..(1)
अतः चतुर्भुज DCPR एक समलम्ब है।
∵ ar (ΔBDP) = ar (ΔARC) (दिया है)
∴ ar (ΔBDC) + ar (DPC) = ar (ΔDRC) + ar (ΔADC)
परन्तु ar (ΔDPC) = ar (ΔDRC)
∴ घटाने पर, ar (ΔBDC) = ar (ΔADC)
∵ ΔBDC और ΔADC के क्षेत्रफल बराबर हैं और उनका उभयनिष्ठ आधार DC है।
तब ΔBDC और ΔADC समान समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
∴ AB || DC ……(2)
चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है।
तब चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR दोनों ही समलम्ब हैं।
इति सिद्धम्।