JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बेर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 सेमी³ = 1 लीटर)
हल:
माना आधार की त्रिज्या r सेमी और बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h सेमी है।
आधार की परिधि = 132 सेमी
⇒ 2πr = 132
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
r = \(\left(\frac{132 \times 7}{2 \times 22}\right)\) सेमी = 21 सेमी
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr²h
= (\(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 25 ) सेमी³
= 34650 सेमी³
∴ पात्र में जल आ सकता है = \(\left(\frac{34650}{1000}\right)\) लीटर
= 34.65 लीटर जल।

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 सेमी³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल:
पाइप का आन्तरिक व्यास = 24 सेमी
∴ आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = \(\frac{24}{2}\) सेमी = 12 सेमी
पाइप का बाहरी व्यास = 28 सेमी
∴ बाहरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{28}{2}\) सेमी = 14 सेमी
तथा पाइप की ऊँचाई (h) = 35 सेमी
प्रयुक्त लकड़ी का आतयन = पाईप का बाहरी आयतन – पाईप का भीतरी आवतन
= πr₂²h – πr₁²h
= πh (r₂² – r₁²)
= πh (r₂ – r₁)(r₂ + r₁)
= \(\frac{22}{7}\) × 35(14 – 12)(14 + 12)
= 22 × 5 × 2 × 26 = 5720 सेमी³
∴ लकड़ी की आयतन = (21560 – 15840) सेमी³
= 5720 सेमी³
∵ 1 सेमी³ लकड़ी की द्रव्यमान = 0.6 ग्राम
∴ 5720 सेमी लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 g
= 3432 ग्राम
= \(\frac{3432}{1000}\) किग्रा = 3.432 किग्रा।
(∵ 1000 ग्राम = 1 किग्रा)

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है: (i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊंचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊंचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
हल:
(i) टीन के डिब्बे की लम्बाई (l) = 5 सेमी
चौड़ाई (b) = 4 सेमी और ऊँचाई (h) = 15 सेमी
∴ टीन के डिब्बे का आयतन = lbh
= 5 × 4 × 15 घन सेमी
= 300 घन सेमी
∴ टीन के डिब्बे की धारिता = 300 घन सेमी

(ii) वृत्तीय आधार वाले डिब्बे का व्यास = 7 सेमी
∴ वृत्तीय आधार वाले डिब्बे की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\)सेमी
डिब्बे की ऊँचाई (h’) = 10 सेमी
∴ बेलनाकार डिब्बे का आयतन = πr²h’
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10\) घन सेमी
= 385 घन सेमी
∴ बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 385 घन सेमी।
अतः स्पष्ट है कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 385 – 300 = 85 घन सेमी अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी² है और उसकी ऊंचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल:
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 सेमी²
(i) 2πrh = 94.2 सेमी²
⇒ 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2
⇒ r = \(\frac{94.2}{2 \times 3.14 \times 5}\) सेमी
∴ आधार की त्रिज्या = 3 सेमी।

(ii) बेलन का आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 सेमी³
= 141.3 सेमी³।

प्रश्न 5.
10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय ₹ 2,200 है। यदि पेंट कराने की दर ₹20 प्रति मीटर है, तो निम्न ज्ञात कीजिए:
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
हल:
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) माना वर्तन के आधार की त्रिज्या = r मीटर
और ऊँचाई = h मीटर
∴ 2πrh = 110
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
r = \(\frac{110 \times 7}{2 \times 22 \times 10}=\frac{7}{4}\) = 1.75
अतः बर्तन के आधार की त्रिज्या = 1.75 मीटर

(iii) बर्तन की धारिता = πr²h
= \(\left(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 10\right)\) मीटर³
= 96.25 मीटर³।

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 मी वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ?
हल:
बेलनाकार बर्तन की धारिता = 15.4 लीटर
= \(\left(15.4 \times \frac{1}{1000}\right)\) मीटर³
= 0.0154 मीटर³
माना आधार की त्रिज्या मीटर और बर्तन की ऊँचाई h मीटर है, तब
आयतन = πr²h = πr² × 1 = πr²
[∵ h = 1 मीटर]
⇒ πr² = 0.0154
⇒ \(\frac{22}{7}\) × r² = 0.0154
⇒ r² = \(\frac{0.0154 \times 7}{22}\)
= 0.0049
∴ r = \(\sqrt{0.0049}\) = 0.07 मीटर
इस प्रकार, बर्तन के आधार की त्रिज्या = 0.07 मीटर
वर्तन के निर्माण के लिए आवश्यक धातु की शीट = बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + πr2 = 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07 (1 + 0.07) मीटर2
= 44 × 0.01 × 1.07 मीटर2
= 0.4708 मीटर2

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
ग्रेफाइट का व्यास = 1 मिमी
ग्रेफाइट की त्रिज्या (r) = \(\frac{1}{2}\) मिमी
= \(\frac{1}{2 \times 10}\) सेमी = \(\frac{1}{20}\) सेमी
और ग्रेफाइट की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
∴ ग्रेफाइट का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{20} \times \frac{1}{20} \times 14\) सेमी³
= \(\frac{11}{110}\) सेमी³ = 0.11 सेमी³
पेंसिल का व्यास = 7 मिमी
∴ पेंसिल की त्रिज्या (R) = \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{7}{20}\) सेमी
तथा पेंसिल की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
∴ पेंसिल का आयतन = πR²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{20} \times \frac{7}{20} \times 14\) सेमी³
= \(\frac{539}{100}\) सेमी³ = 5.39 सेमी²
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) सेमी³ = 5.28 सेमी³।

प्रश्न 8.
एक अस्पताल के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि कटोरा सूप से 4 सेमी ऊंचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल:
बर्तन का व्यास = 7 सेमी
बर्तन की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) सेमी
बर्तन में सूप की ऊँचाई (h) = 4 सेमी
बर्तन में सूप का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4\) सेमी³
= 22 × 7 सेमी³ = 154 सेमी³
अस्पताल में दिए जाने वाले सूप की मात्रा = एक रोगी को प्राप्त सूप × रोगियों की संख्या
= 154 × 250 = 38500 घन सेमी.
(∵ 1000 घन सेमी = 1 लीटर)
= \(\frac{38500}{1000}\) ली. = 38.5 ली.।