Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.1
प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना कि आफताब की वर्तमान आयु वर्ष है
और आफताब की पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।
बीजगणितीय स्थिति :
प्रथत शर्त के अनुसार,
x – 7 = 7(y – 7) = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 3 = 3(y + 3) = 3y +9
⇒ x – 3y – 6 = 0
∴ दो चरों वाला रैखिक समीकरण युग्म
x – 7y + 42 = 0 ……..(i)
x – 3y – 6 = 0 ……..(ii)
ग्राफीय निरूपण
समीकरण (i) से,
x – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = x + 42
⇒ y = \(\frac{x+42}{7}\)
x = -7 रखने पर, y = \(\frac{-7+42}{7}\) = 5
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0+42}{7}\) = 6
x = 7 रखने पर, y = \(\frac{7+42}{7}\) = 7
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे:
| x | -7 | 0 | 7 |
| y | 5 | 6 | 7 |
समीकरण x – 3y – 6 = 0 से,
3y = x – 6
y = \(\frac{x-6}{3}\)
x = 6 रखने पर, y = \(\frac{6-6}{3}\) = 0
x = 3 रखने पर, y = \(\frac{3-6}{3}\) = -1
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0-6}{3}\) = -2
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे :
| x | 6 | 3 | 0 |
| y | 0 | -1 | -2 |
अब बिन्दुओं (-7, 5), (0, 6) और (7, 7) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 7y + 42 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा AB प्राप्त होती हैं।
पुन: बिन्दुओं (0, -2), (3, -1) और (6, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 3y – 6 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।
प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3,900 में 3 बल्ले (Bats) तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में, उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1,300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक बल्ले की कीमत ₹ x तथा एक गेंद की कीमत ₹ y है।
दिया है कि 3 बल्ले तथा 6 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 3900.
∴ 3x + 6y = 3900
या x + 2y = 1300
दिया है कि बल्ले तथा 3 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 1300
तब x + 3y = 1300
बीजगणितीय निरूपण :
x + 2y = 1300…(i)
तथा x + 3y = 1300…(ii)
आलेखीय निरूपण आलेखीय निरूपण करने के लिए हमें समीकरण युग्म के प्रत्येक समीकरण के कम-से-कम दो हल निकालने होंगे।
प्रथम समीकरण से,
x + 2y = 1300
y = \(\frac{1300-x}{2}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{2}=\frac{1200}{2}\) = 600
x = 300 रखने पर,
y = \(\frac{1300-300}{2}=\frac{1000}{2}\) = 500
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{2}=\frac{900}{2}\) = 450
सारणी-1
| x | 100 | 300 | 400 |
| y | 600 | 500 | 450 |
दूसरे समीकरण से:
x + 3y = 1300
⇒ 3y = 1300 – x
⇒ y = \(\frac{1300-x}{3}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{3}=\frac{1200}{3}\) = 400
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{3}=\frac{900}{3}\) = 300
x = 700 रखने पर,
y = \(\frac{1300-700}{3}=\frac{600}{3}\) = 200
सारणी-II
| x | 100 | 400 | 700 |
| y | 400 | 300 | 200 |
अब बिन्दुओं (100, 600), (300, 500) और (400, 450) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 2y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (100, 400), (400, 300) और (700, 200) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 3y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिन्दु P(1300, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रश्न 3.
2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक दिन किग्रा सेब का मूल्य ₹ x और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y था।
दिया है : 2 किग्रा सेब तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 है।
∴ 2x + y = 160
1 महीने बाद 4 किग्रा सेब तथा 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 है।
∴ 4x + 2y = 300
बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 …(1)
तथा 4x + 2y = 300 …(2)
ज्यामितीय निरूपण
समीकरण (1) से,
2x + y = 160
⇒ y = 160 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 160 – 2 × 0 = 160
x = 50 रखने पर, y = 160 – 2 × 50
= 160 – 100 = 60
x = 75 रखने पर, y = 160 – 2 × 75
= 160 – 150 = 10
सारणी I
| x | 0 | 50 | 75 |
| y | 160 | 60 | 10 |
समीकरण (2) से,
4x + 2y = 300
या 2(2x + y) = 300
या 2x + y = 150
या y = 150 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 150 – 2 × 0 = 150
x = 50 रखने पर, y = 150 – 2 × 50
= 150 – 100 = 50
x = 100 रखने पर y = 150 – 2 × 100
= 150 – 200 = -50
सारणी II
| x | 0 | 50 | 100 |
| y | 150 | 50 | -50 |
अब बिन्दुओं (0, 160), (50, 60) तथा (75, 10) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + y = 160 का आलेख एक सरल AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (0, 150), (50, 50) तथा (100, -50) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x + 2y = 300 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।
अत: सरल रेखाएँ AB व CD दिए गये कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप है। आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।