JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्मों का निर्माण कीजिए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिलों और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
∴ कुल संख्या = x + y
प्रश्नानुसार, x + y = 10.
∵ लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है।
∴ x = y + 4 ⇒ x – y = 4
∴ रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 10 …(i)
x – y = 4 …(ii)
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण x + y = 10 से,
⇒ y = 10 – x
x = 3 रखने पर, y = 10 – 3 = 7
x = 7 रखने पर, y = 10 – 7 = 3
x = 8 रखने पर, y = 10 – 8 = 2
सारणी-I

x	3	7	8
y	7	3	2

पुन: समीकरण x – y = 4 से
⇒ y = x – 4
x = 2 रखने पर, y = 2 – 4 = -2
y = 7 रखने पर, y = 7 – 4 = 3
y = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
सारणी-II

x	2	7	4
y	-2	3	0

बिन्दुओं (3, 7), (7, 3) तथा (8, 2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 10 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती है।

पुन: बिन्दुओं (2, -2) (7, 3) तथा (4, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(7, 3) पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
∴ बिन्दु P(7, 3) आलेखीय स्थिति है।
अतः लड़कियों की संख्या (x) = 7
तथा लड़कों की संख्या (y) = 3
(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
प्रश्नानुसार, 5 पेंसिलों तथा 7 कलमों का मूल्य ₹ 50 है।
5x + 7y = 50
प्रश्नानुसार, 7 पेंसिलों तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है।
7x + 5y = 46
∴ रैखिक समीकरण युग्म
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण 5x + 7y = 50 से,
7y = 50 – 5x

सारणी-I

x	-4	3	10
y	10	5	0

पुन: समीकरण 7x + 5y = 46 से
⇒ 5y = 46 – 7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

सारणी-II

x	-2	3	8
y	12	5	-2

बिन्दुओं (-4, 10) (3, 5) तथा (10, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती हैं। पुनः बिन्दुओं (-2, 12), (3, 5) तथा (8, -2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(3, 5) पर कांटती हैं।
दिए हुए समीकरण-युग्म का अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।

अत: एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) दिए गए समीकरण युग्म :
5x – 4y + 8 = 0 …(1)
7x + 6y – 9 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c2 = 0 से करने पर,
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
6x – 3y +10 = 0
और 2x – y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण के युग्म संगत हैं या असंगत हैं :
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण-युग्म है:
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0
और 2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7

∴ रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल।
अतः दिया हुआ रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8
या 2x – 3y – 8 = 0…(i)
और 4x – 6y = 9
या 4x – 6y – 9 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
a₁ = 2, b₁ = – 3, c₁ = – 8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = – 9

∴ दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0 …(i)
और 9x – 10y = 14
या 9x – 10y – 14 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = -14

समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः दिया गया समीकरण युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरणं युग्म :
5x – 3y = 11
या 5x – 3y – 11 = 0 ….(i)
और -10x + 6y = -22
या -10x + 6y + 22 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = -11
a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = 22

समीकरण युग्म सम्पाती है।
दिए गए समीकरण युग्म के अनन्त हल है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
या \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 …..(i)
और 2x + 3y = 12
और 2x + 3y – 12 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक युग्म a₁x + b₁y + c = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
यहाँ a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = -8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-से रैखिक समीकरणों के युग्म संगत/असंगत हैं ? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 20, 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 या x + y – 5 = 0 …(1)
2x + 2y = 10 या 2x + 2y – 10 = 0 … (2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ =-5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि:
समीकरण (1) से,
x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 2 रखने पर, y = 5 – 2 = 3
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-I

x	5	2	0
y	0	3	5

बिन्दुओं A (5, 0) B (2, 3) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण x + y = 5 को इंगित करती है।
समीकरण (2) से,
2x + 2y = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 3 रखने पर, y = 5 – 3 = 2
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-II

x	5	3	0
y	0	2	5

बिन्दुओं A(5, 0), B (3, 2) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण 2x + 2y = 10 को इंगित करती है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दिया गया रैखिक समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः इनके अपरिमित रूप से अनेकों हल हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x – y = 8
या x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16
या 3x – 3y – 16 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16

∵ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 …(1)
4x – 2y – 4 = 0 …(2)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 6
a₂ = 4, b₂ = – 2, c₂ = -4

∴ दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
अतः समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि : समीकरण (1) से,
2x + y – 6 = 0
⇒ y = 6 – 2x
x = 3 रखने पर, y = 6 – 2 × 3 = 6 – 6 = 0
x = 2 रखने पर, y = 6 – 2 × 2 = 6 – 4 = 2
x = 4 रखने पर, y = 6 – 2 × 4= 6 – 8 = -2
सारणी-I

x	3	2	4
y	0	2	-2

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2y = 4x – 4
⇒ y = \(\frac{4 x-4}{2}\) = 2x – 2
x = 1 रखने पर, y = 2 × 1 – 2 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 × 2 – 2 = 4 – 2 = 2
x = 0 रखने पर, y = 2 × 0 – 2 = 0 – 2 = -2
सारणी-II

x	1	2	0
y	0	2	-2

पुन: बिन्दुओं D(1, 0), B(2, 2), E(0, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि दिए गए समीकरण युग्म की दो सरल रेखाएँ बिन्दु B(2, 2) पर काटती हैं।
x = 2, y = 2
अतः दिए गए समीकरण युग्म के अद्वितीय हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:
2x – 2y – 2 = 0
और 4x – 4y – 5 = 0
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = – 2
a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

∴ दिए गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर
और चौड़ाई y मीटर हैं।
दिया है, लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 या x – y = 4
आयताकार बाग का परिमाप = 2 (x + 1) मीटर
आयताकार बांग का अर्द्धपरिमाप = \(\frac{1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac{1}{2}\)× 2 (x + y)
= (x + y) मीटर
परन्तु दिया है अर्द्ध परिमाप = 36 मीटर
∴ x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4
और x + y = 36
ज्यामितीय विधि द्वारा हल :
समीकरण x – y = 4
⇒ y = x – 4
x = 0 रखने पर, y = 0 – 4 = -4
x = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
x = 20 रखने पर, y = 20 – 4 = 16
सारणी-I

x	0	4	20
y	-4	0	16

पुन: समीकरण x + y = 36 से
⇒ y = 36 – x
x = 30 रखने पर, y = 36 – 30 = 6
x = 20 रखने पर, y = 36 – 20 = 16
x = 10 रखने पर, y = 36 – 10 = 26
सारणी-II

x	30	20	10
y	6	16	26

बिन्दुओं A(0, -4), B(4, 0) और P(20, 16) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख प्राप्त होता है। पुनः बिन्दुओं C(30, 6) P(20, 16 ) तथा D(10, 26) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु P(20, 16) पर काटता है।
∴ x = 20, y = 16
अतः बाग की लम्बाई = 20 मीटर
बाग का चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि :
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण
2x + 3y – 8 = 0
व्यापक रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तुलना करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 8
(i) जब समीकरण युग्म प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}\)
अर्थात् a₂ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b₂ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a₂ ≠ 2 तथा b₂ ≠ 3 और a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y – 7 = 0 है।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है, तो शर्त

अर्थात् a₂ और b₂ का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a₂ = 2k तथा b₂ = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।
∵ \(\frac{3}{b_2} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ \(\frac{3}{3 k} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ c₂ ≠ -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – mk = 0; m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y – 12 = 0 है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{a_2}=\frac{3}{b_2}=\frac{-8}{c_2}=\frac{1}{k}\)
⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 है।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है :
x – y + 1 = 0 ….(1)
3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के ग्राफ के लिए
⇒ y = x + 1
x = – 1 रखने पर, y = -1 + 1 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 + 1 = 3
x = 0 रखने पर, y = 0 + 1 = 1
सारणी-I

x	-1	2	0
y	0	3	1

बिन्दुओं A(-1, 0), B (2, 3), C(0, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 से
⇒ 2y = 12 – 3x
⇒ y = \(\frac{12-3 x}{2}\)

x	4	2	0
y	0	3	6

बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3) और E(0, 6) को आलेखित कर समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है। दोनों रेखाएँ बिन्दु B(2, 3) पर काटती हैं।
X-अक्ष पर ΔBAD छायांकित भाग प्राप्त होता है। जिसके शीर्ष B(2, 3), A(-1, 0) तथा D(4, 0) प्राप्त होते हैं।