JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Exercise 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ……………. है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती है। ऐसी घटना ………. कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ………. है। ऐसी घटना ………….. कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ………….. है ।
5. किसी घटना की प्रायिकता ………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ……….. से छोटी या उसके बराबर होती है।

हल :

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती, शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक होता है।
5. किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा एक से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए।

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
4. एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

हल :

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रत्यत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की प्रायिकता भी उतनी ही है जितनी कि उसके गलत होने की। अतः यह प्रयोग समप्रायिक है।
4. एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़के या लड़की होने की सम्भावनाएँ समान हैं, अतः प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है ?
हल :
क्योंकि जब सिक्के को उछाला जाता है तो केवल दो ही सम्भावनाएँ होती हैं अर्थात् सिक्का सममित होने के कारण यह समप्रायिक है एवं उसकी उछाल (Tossing) निष्पक्ष (Unbiased) होती है ।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) \(\frac {2}{3}\)
(B) – 1.5
(C) 15%
(D) 0.7
हल :
प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक कभी नहीं होती हैं।
अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक (Negative) संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है ?
हल :
∵ ‘E’ नहीं’ की प्रायिकता = 1 – P(E)
= 1 – 0.05 = 0.95
अतः घटना ‘E’ नहीं’ की प्रायिकता = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है ?
(ii) नींबू की महक वाली है ?
हल :
∵ थैले में केवल नींबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यादृच्छया (Randomly) एक गोली निकाल ली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली है, इसकी प्रायिकता शून्य होगी।

(ii) सभी गोलियों में नींबू की महक है।
∵ नींबू की महक वाली गोली निकलने की घटना निश्चित है।
अतः इसकी प्रायिकता होगी।
अत: (i) सन्तरे की महक वाली गोलियों की प्रायिकता = 0
(ii) नींबू की महक वाली गोलियों की प्रायिकता = 1

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल :
यदि 3 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने और एक ही दिन न होने की घटनाएँ परस्पर पूरक घटनाएँ हैं।
2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की P(E) = 0.992
अतः दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता P(E) = 1 – 0.992 = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो ? (ii) लाल नहीं हो ?
हल :
थैले में गेंदों की कुल संख्या
= 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेद यादृच्छया निकालने पर, कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 8
(i) गेंद लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
गेंद लाल होने की प्रायिकता
P(R) = घटना (R) के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {3}{8}\)
अतः गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac {3}{8}\)

(ii) तब गेंद लाल न होने की प्रायिकता
= 1 – गेंद लाल होने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{3}{8}=\frac{5}{8}\)
अत: (i) गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac {3}{8}\)
(ii) गेंद लाल न हो इसकी प्रायिकता = \(\frac {5}{8}\)

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है ?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा निकाला जाता है, तो सम्भावित कुल परिणामों की संख्या = 17

(i) निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
अतः निकाला गया कंचा लाल हो, इसकी प्रायिकता
P(R) = घटना (R) के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {5}{17}\)

(ii) निकाला गया कंचा सफेद (W) हो, इसके अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
अतः निकाला गया कंचा सफेद होने की प्रायिकता = घटना (W) के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {8}{17}\)

(iii) निकाला गया कंचा हरा न G’ होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5 + 8 = 13
अतः निकाला गया कंचा हरा न होने की प्रायिकता
P(G’) = घटना G’ के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {13}{17}\)

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹1 के पचास सिक्के, ₹2 के बीस सिक्के और ₹5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा ? (ii) ₹5 का नहीं होगा
हल :
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
₹1 के सिक्कों की संख्या = 50
₹2 के सिक्कों की संख्या = 20
₹5 के सिक्कों की संख्या = 10
सिक्कों की कुल संख्या
= 100 + 50 + 20 + 10 = 180
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 180

(i) ∵ 50 पैसे के 100 सिक्के हैं।
∴ 50 पैसे के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता
= अनुकूल परिणामों की संख्या. / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {100}{180}\)
P(50 पैसे के सिक्के) = \(\frac {5}{9}\)

(ii) ∵ ₹5 के सिक्कों की संख्या = 10
∴ 5 रु. के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता
= अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
⇒ P (5 रु. के सिक्के) = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
₹5 के सिक्के प्राप्त न करने की प्रायिकता = 1 – P (₹5 के सिक्क)
P (₹5 के सिक्के न हो) = 1 – \(\frac{1}{18}=\frac{18-1}{18}=\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है।

हल :
नर मछलियों की संख्या = 5
मादा मछलियों की संख्या = 8
जल -जीव कुण्ड में मछलियों की कुल संख्या = 5 + 8 = 13
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 13
नर मछली प्राप्त करने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
P (नर मछली) = \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। ( आकृति देखिए) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित –

(i) 8 को करेगा ?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हल :
संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है। तो तीर के विश्राम में आने पर इंगित कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = 8
(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
∴ तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने की प्रायिकता = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {1}{8}\)

(ii) तीर द्वारा अंकित विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7
तीर द्वारा एक विषम संख्या अंकित करने के परिणामों की संख्या = 4
∴ विषम संख्या इंगित होने की प्रायिकता = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) 2 से बड़ी संख्या को इंगित करने की घटना के कुल अनुकूल परिणाम = 3, 4, 5, 6, 7, 8
2 से बड़ी संख्या को इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ 2 से बड़ी संख्या को इंगित करने की प्रायिकता = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
अतः 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac {3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
∴ 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्याएँ
= \(\frac {8}{8}\)
= 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या
हल :
एक पासे को यादृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव परिणाम = 1, 2, 3, 4, 5, 6
अत: एक पासे को यादृच्छया फेंके जाने पर कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 6
(i) यहाँ अभाज्य संख्याएँ – 2, 3, 5
अभाज्य संख्या प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = 3, 4, 5
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ 2 और 6 के बीच स्थित संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5
विषम संख्या प्राप्त करने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फैटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम ।
हल :
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
(i) माना लाल रंग का बादशाह होने की घटना (R) हैं:
∵ गड्डी में कुल 4 बादशाह होते हैं जिनमें पान तथा ईंट के बादशाह 2 होते हैं।
∴ लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
घटना R की प्रायिकता
⇒ P(R) = घटना R के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

(ii) माना एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (E) है।
∵ प्रत्येक समूह में 3 फेस कार्ड्स (बादशाह, बेगम व गुलाम) होते हैं।
∴ गड्डी में कुल फेस कार्डों की संख्या = 3 × 4 = 12
∴ घटना (E) के अनुकूल परिणामों की संख्या = 12
∴ घटना (E) की प्रायिकता
⇒ P(E) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\)

(iii) माना लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (A) है।
∵ कुल फेस कार्ड्स = 12
∴ लाल रंग के तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
तब घटना (A) के अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ घटना (A) की प्रायिकता
⇒ P(A) = घटना 4 के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac{6}{52}=\frac{3}{26}\)

(iv) माना पान का गुलाम होने की घटना (B) है।
∵ गड्डी में पान का एक ही गुलाम होता है।
∴ घटना B के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
∴ घटना (B) की प्रायिकता
⇒ P(B) = घटना B के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {1}{52}\)

(v) माना हुकुम का पत्ता होने की घटना (C) है :
∵ गड्डी में हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
∴ घटना C के अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
∴ घटना (C) की प्रायिकता = \(\frac {13}{52}\)
⇒ P(C) = \(\frac {1}{4}\)

(vi) माना ईंट की बेगम होने की घटना (D) है।
∵ गड्डी में ईंट की केवल एक ही बेगम होती है।
∴ घटना D के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
घटना (D) की प्रायिकता
घटना (D) के घटित होने के अनुकूल
⇒ P(D) = परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है ?
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
ताश के पाँच पत्तों में ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया है, फिर इसमें से एक पत्ता निकाला जाता है।
इसके कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 5
(i) यदि निकाला गया पत्ता बेगम हो तो इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac {1}{5}\)

(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और शेष पत्तों में से फिर एक पत्ता निकाला जाता है।
तब कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) दूसरा पत्ता इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = \(\frac {1}{4}\)

(b) दूसरा पुत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = शून्य, क्योंकि इन पत्तों में बेगम हैं ही नहीं ।
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac {0}{4}\) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
हल :
खराब पेनों की संख्या 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
पेनों की कुल संख्या = 12 + 132 = 144
अच्छा पेन निकलने की प्राथकिता
= अच्छा पेन निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
अतः अच्छा पेन प्राप्त होने की प्रायिकता = अच्छा पेन प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac {11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा ?
हल :
समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है तो
(i) बल्ब खराब होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 20
अतः बल्ब खराब होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है तो इसे पुनः बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है।
शेष बल्बों में से एक बल्ब निकाला जाता है।
∴ कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 19
खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
बल्ब खराब निकलने की प्रायिकता = \(\frac {4}{19}\)
∴ बल्ब खराब न होने की प्राय कता = 1 – \(\frac{4}{19}=\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या ।
हल :
डिस्कों की कुल संख्या = 90
∴ कुल सम्भव परिणाम ( 1, 2, 3, 4, 5, ……….90)
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 90
यदि एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो :

(i) दो अंकों की एक संख्या अंकित होने की प्रायिकता :
∵ दो अर्को की संख्याएँ = (10, 11, 12, 13, …,90) = 81
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 81
अत: डिस्क पर दो अंकों की संख्या अंकित होने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भावित परिणामों की संख्या
= \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
अत: डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ (5, 10, 15, 20, 25, 30, ……..90)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं :

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो ? (ii) D प्राप्त हो ?
हल :
पासे के फलकों की संख्या = 6
∴ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 6
(i) ∵ दो फलकों पर A अक्षर अंकित है।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
अतः पासे पर A आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ∵ केवल एक फलक पर D अक्षर अंकित है।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
पासे पर D आने की प्रायिकता = \(\frac {1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 मीटर व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?

हल :
आयत की लम्बाई (l) = 3 मीटर
आयत की चौड़ाई (b) = 2 मीटर
∴ आयत का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 वर्ग मीटर
वृत्त का व्यास = 1 मीटर
वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac {1}{2}\)मीटर
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × (\(\frac {1}{2}\))²
= \(\frac {π}{4}\) वर्ग मीटर
जब एक पासा यादृच्छया फेंका जाता है तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा ।
तब, पासे की वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता
= वृत्त का क्षेत्रफल / आयत का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi}{\frac{\pi}{6}}\)
= \(\frac {π}{24}\)
अतः पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता
= \(\frac {π}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) आप वह पेन खरीदेंगे ? (ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
हल :
समूह में बॉल पेनों की संख्या = 144
खराब पेनों की संख्या = 20
ठीक पेनों की संख्या 144 – 20
= 124
(i) माना पेन खरीदने की प्रायिकता A है।
∵ हम ठीक बॉल पेन खरीदना चाहेंगे।
∴ बॉल पेन ठीक होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 124
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 144
∴ P(A) = \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)

(ii) माना पेन नहीं खरीदने की प्रायिकता A’ हो, तो
P (A’) = 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{31}{36}=\frac{36-31}{36}\)
P(A’) = \(\frac {5}{36}\)

प्रश्न 22.
एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए:

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac {1}{11}\) है।’ क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) जब एक सलेटी और एक नीले रंग के दो पासों को एक साथ फेंका जाता है तो दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अग्र हो सकते हैं-

(ii) विद्यार्थी का तर्क गलत है, क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बधित परिणामों की प्रायिकता भिन्न-भिन्न है। अतः विद्यार्थी का तर्क असंगत है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए ।
हल :
जब एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यदि चित H तथा पट को T से व्यक्त करे तो
सम्भावित परिणाम निम्न हैं-
HHH    HHT   HTH    HTT
THH     THT    TTH    TTT
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 8 हैं।.
तीनों परिणाम समान होने अर्थात् जीतने की प्रायिकता माना A है।
तीनों परिणाम समान होने के अनुकूल परिणाम [HHH, TTT]
तीनों परिणाम समान होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
अतः हनीफ के खेल में जीत जाने की प्रायिकता
∴ P(A) = \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
माना, हार जाने की प्रायिकता A’ हो तो
P(A’) = 1 – P(A)
∴ P(A’) = 1 – \(\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
अतः हनीफ के हारने की प्रायिकता = \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल :
जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्न होंगे–

कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 36
परिणामों की संख्या जिनमें 5 आता है = 11
वे परिणाम जिनमें 5 कभी न आता है = 36 – 11 = 25

(i) 5 न आने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 25
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 36
घटना की प्रायिकता = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल सम्भव परिणामों की संख्या
= \(\frac {25}{36}\)

(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 36
अतः 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता = \(\frac {25}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac {1}{3}\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या हूँ। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac {1}{2}\) है।
हल :
(i) जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। तथा पट को T से व्यक्त करने पर चार सम्भव परिणाम होंगे।
HH, HT, TH, TT
दो चित होने की प्रायिकता = \(\frac {1}{4}\)
P(HH) = \(\frac {1}{4}\)
दो पट होने की प्रायिकता = \(\frac {1}{4}\)
P(TT) = \(\frac {1}{4}\)
एक चित और एक पट होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
अतः दिया गया तर्क असत्य है।

(ii) जब पासे को फेंका जाता है तो सम्भव परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 6
सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (2, 4, 6)
सम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (1, 3, 5)
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्य = 3
विषम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः छात्र का तर्क सत्य है।