JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.2

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए:

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए । केन्द्र से 10 सेमी दूर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा -युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापकर लिखिए।
हल :
दिया है : 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और उसके केन्द्र बिन्दु O से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P है।

रचना के चरण :

1. सर्वप्रथम बिन्दु O को केन्द्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त के केन्द्र O से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P लिया।
3. OP को मिलाया और OP की समद्विभाजक रेखा खींची जो OP को M बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ तथा T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया, जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : हम जानते हैं कि किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, उस बिन्दु पर त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
अब OT₁ और OT₂ को मिलाया, वृत्त OT₁PT₂ में OP व्यास है।
∴ ∠OT₁P अर्द्धवृत्त में बना कोण है।
∴ ∠OT₁P = 90°
इसी प्रकार ∠OT₂P = 90°
अत: PT₁ तथा PT₂ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा की लम्बाई नापने पर,
PT₁ = PT₂ = 8.0 सेमी

प्रश्न 2.
4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

दिया है: 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु P दिया है।
रचना के चरण :

1. 4 सेमी त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
2. केन्द्र O से 6 सेमी त्रिज्या पर एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु P लिया।
3.  रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को T₁ और T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।

औचित्य (उपपत्ति) : ∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
OT₁ तथा OT₂ को मिलाया, OP वृत्त का व्यास है ।
∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∴ ∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
∴ OT₁ ⊥ PT₁ तथा OT₂ ⊥ PT₂
अत: PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा की लम्बाई मापने पर,
PT₁ = PT₂ = 4.7 लगभग ।

प्रश्न 3.
3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु और 2 लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचिए ।
हल :
दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केन्द्र O है। AOB वृत का व्यास है जिसको इस प्रकार बिन्दुओं P व Q तक बढ़ाया गया है कि वृत्त के केन्द्र O से प्रत्येक बिन्दु P व Q की दूरियाँ OP व OQ, 7 सेमी हैं।
रचना के चरण :

1. O केन्द्र वाला 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का व्यास AB खींचकर इसे दोनों ओर क्रमशः P व Q तक इस प्रकार बढ़ाया कि OP = OQ = 7 सेमी ।
3. OP और OQ के लम्ब समद्विभाजिक खींचे जो OP को M₁ तथा OQ को M₂ पर काटते हैं।
4. बिन्दु M₁ को केन्द्र मानकर M₁O त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया ।
6. बिन्दु M₂ को केन्द्र मानकर M₂O त्रिज्या का वृत्त को खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को S₁ व S₂ पर काटता है।
7. QS₁ और QS₂ को मिलाया।

अत: PT₁, PT₂, QS₁ और QS₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : केन्द्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ OT₁, OT₂, OS₁ व OS₂ खींचीं।
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠OT₁P – ∠OT₂P = 90° तथा
∠OS₁Q = ∠OS₂Q = 90°
∵ केन्द्र M₁ वाले वृत्त में ∠OT₁P व ∠OT₂P अर्द्धवृत्तों में स्थित कोण है।
∴ ∠OT₁P व ∠OT₂P समकोण हैं जो क्रमश: त्रिज्याओं OT₁ OT₂ के सिरों T₁ व T₂ पर स्थित हैं।
∴ PT₁ व PT₂, केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसी प्रकार, QS₁ व QS₂ भी केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :
दिया है एक वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 5 सेमी है।
रचना के चरण :
1. O को केन्द्र मानकर 5 सैमी त्रिज्या का एक वृत खींचा।
2. वृत्त का व्यास AB खींचा।
3. बिन्दु O पर OB त्रिज्या से 60° का कोण बनाती हुई एक OP रेखा खींची जो वृत्त को P बिन्दु पर काटती है।
4. बिन्दु A पर OA से 90° कोण बनाती हुई AX स्पर्श रेखा खींची।

5. इसी प्रकार बिन्दु P से स्पर्श रेखा PY खींची।
AX तथा PY एक दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अत: PT और AT वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं
जो एक-दूसरे के साथ 60° का कोण बनाती हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : माना वृत्त का केन्द्र O है।
PT और AT वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण 60° है अर्थात्
∠PTA = 60°
परन्तु ∠POA + ∠PTA = 180° होता है।
∴ ∠POA = 180° – ∠PTA
= 180° – 60°
= 120°
∴ ∠POB = 180° – ∠POA
= 180° – 60°
= 120°
अत: PT तथा AT वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो 60° के कोण पर झुकी हैं।

प्रश्न 5.
8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए । A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए । प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए ।
हल :
दिया है रेखाखण्ड AB = 8.0 सेमी केन्द्र A से 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा गया है तथा केन्द्र B से 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचा गया है।
रचना के चरण :

1. रेखाखण्ड AB = 8 सेमी खींचा।
2. केन्द्र A से 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केन्द्र B से 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AB को M बिन्दु पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MB त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को S₁ व S₂ पर काटता है तथा B केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. S₁B व S₂B और T₁A व T₂ को मिलाया।

अत: S₁B और S₂B केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा T₁A और T₂A केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) :
∵ चूँकि हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠AS₁B = ∠AS₂B = 90°
तथा ∠BT₁A = ∠BT₂A = 90°
∵ केन्द्र बिन्दु M वाले वृत्त का व्यास AB है।
∴ ∠AS₁B = ∠AS₂B, ∠BT₁A व ∠BT₂A अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं। अत: प्रत्येक कोण समकोण है।
∴ AS₁ ⊥BS₁; AS₂ ⊥ BS₂ और BT₁ ⊥ AT₁ व BT₂ ⊥ AT₂
∴ S₁B व S₂B केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं और AT₁ व AT₂ केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C व D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :
दिया है : एक समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 सेमी तथा BC = 8 सेमी है। शीर्ष B से भुजा AC पर BD लम्ब खींचा गया है।
रचना के चरण :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड BC = 8 सेमी खींचा।
2. बिन्दु B पर 90° कोण बनाते हुए, AB रेखाखण्ड 6 सेमी खींचा।

3. AC को मिलाया। इस प्रकार समकोण ΔABC प्राप्त हुआ।
4. बिन्दु B से AC पर BD लम्ब खींचा जो AC को D बिन्दु पर काटता है।
5. अब ΔBCD की भुजाओं BD और CD के लम्ब समद्विभा जक किए जो परस्पर O बिन्दु पर काटते हैं।
6. O को केन्द्र मानकर OB त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो बिन्दुओं B, C D से होकर गुजरता है।
7. चूँकि AB स्वयं स्पर्श रेखा है। इसलिए A को केन्द्र मानकर AB त्रिज्या का चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर काटता है। AP को मिलाया।
अतः AP अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
औचित्य (उपपत्ति) :
∵ ∠ABC = 90° (रचना से)
स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠ABC = 90°
अत: AB रेखा स्पर्श रेखा है।
∵ AP = PB
अत: रेखा AB बिन्दु A पर खींची गई दूसरी स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचने का अर्थ है कि वृत्त का केन्द्र अज्ञात है। सर्वप्रथम हम केन्द्र ज्ञात करेंगे।
रचना के चरण :
1. चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचा। इस वृत्त का केन्द्रबिन्दु ज्ञात करने के लिए कोई दो जीवाएँ AB और CD खाँचते हैं।

2. जीवा AB और CD के लम्ब समद्विभाजक किए जो परस्पर बिन्दु पर काटते हैं।
बिन्दु O वृत्त का केन्द्र होगा।
[∵ OA = OB = OC = OD]
(वृत की त्रिज्याएँ हैं)
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया।
4. OP को मिलाकर लम्ब समद्विभाजक किया जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
5. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ पर काटता है।
6. PT₁ और PT₂ को मिलाया।
अत: PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : OT₁ को मिलाया।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∵ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
∵ OP वृत्त का व्यास है, ∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
अत: PT₁ और PT₂ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।