JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
बिन्दु (- 5, 4) की x – अक्ष से दूरी लिखिये ।
हल :
बिन्दु (- 5, 4) की x-अक्ष से दूरी = 4 इकाई ।

प्रश्न 2.
बिन्दु (3, – 2) की -अक्ष से दूरी लिखिए।
हल :
बिन्दु (3, – 2) की y-अक्ष से दूरी 3 इकाई है।

प्रश्न 3.
k के मान ज्ञात कीजिए जिनसे (1, – 1), (- 4, 2k) तथा (- k, – 5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई हो ।
हल :
माना A(1, – 1), B (- 4, 2k) तथा (- k, – 5) दिये गये ΔABC के शीर्ष हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[1(2k + 5) + (- 4) (- 5 + 1) + (-k) (- 1 – 2k)]
= \(\frac{1}{2}\)[2k + 5 + 16 + k + 2k²]
= \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] वर्ग इकाई
दिया है
ΔABC का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई
∴ \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] = 24
2k² + 3k + 21 = 48
2k² + 3k – 27 = 0
2k² + 9k bk – 27 = 0
k(2k + 9) – 3(2k + 9) (k – 3) (2k + 9) =0
तथा k = 3
अतः k के मान 3 और हैं।

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं 4 (6, 5) और B (- 4, 5) से समदूरस्थ है।
हल :
x- अक्ष पर किसी बिन्दु P के निर्देशांक (x, 0) हैं।
∴ बिन्दु P(x, 0) की बिन्दुओं A(6, 5) और B(- 4, 5) से दूरी समान होगी।
PA = PB
⇒ PA² = PB²
⇒ (x – 6)² + (0 – 5)² = (x + 4)² + (0 – 5)²
⇒ x² – 12x + 36 + 25 = x² + 8x + 16 + 25
⇒ – 12x + 36 = 8x + 16
⇒ – 12x – 8x = 16 – 36
⇒ – 20x = – 20
⇒ x = \(\frac{-20}{-20}\) = 1
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 0).

प्रश्न 5.
यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा 4 का निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना बिन्दु B के निर्देशांक (x, y) हैं।
दिया है (3, 4) तथा (x, y) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक (4, 5) है।
4 = \(\frac{3+x}{2}\) ⇒ 3 + x = 8
x = 8 – 3 = 5
तथा 5 = \(\frac{y+4}{2}\) ⇒ 10 = y + 4
y = 10 – 4 = 6
अत: B के निर्देशांक B(5, 6) है।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु 4(x, y), B (- 5, 7) तथा C (- 4, 5) सरेखीय हों तो x तथा में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि दिया गया बिन्दु (x, y), B(- 5, 7) और C(- 4, 5) है।
यहाँ x₁ = x, x₂ = – 5, x₃ = – 4
y₁ = y, y₂ = 7, y₃ = 5
तीन बिन्दु सरेखी होने के लिए ΔABC का क्षेत्रफल 0 होता है।
∴ \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[x(7 – 5) + (-5)(5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2x – 5(5 – y) – 4(y – 7)] = 0
⇒ 2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
⇒ 2x + y + 3 = 0
अत: 2x + y + 3 = 0 अभीष्ट सम्बन्ध हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A(2, – 1), B(3, 4), C (- 2, 3) तथा D(- 3, – 2) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु हैं। क्या ABCD एक वर्ग है?
हल :

= \(\sqrt{(-4)^2+(4)^2}\)
= \(\sqrt{16+16}\) = 4\(\sqrt{2}\)
∴ AB = BC = CD = AD
तथा विकर्ण AC ≠ विकर्ण BD
अत: ABCD वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
यही सिद्ध करना था ।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु A(1, – 2), B(2, 3), C(a, 2) और D (- 4, – 3) एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं। a का मान तथा AB को आधार मानते हुए चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु 4 (1 , 2), B(2, 3), C(a, 2) तथा D(- 4, – 3) दिए गए समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ विकर्ण AC के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक विकर्ण BD के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक

अत: बिन्दु C के निर्देशांक = (- 3, 2)
आधार AB पर लम्ब DM खींचा। त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(3 – 3) + 2(3 + 2) + (- 4) (- 2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 10 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) × 30
= 15 वर्ग इकाई
आधार (AB) की लम्बाई

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 7), B (P, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें B पर समकोण है। P का मान ज्ञात करो ।
हल :
समकोण ΔABC में,
AB² + BC² = AC² (पाइथागोरस प्रमेय से)

(3 – 7)² + (P – 4)² + (3 – 3)² + (7 – P)² = (3 – 7)² + (7 – 4)²
⇒ (P – 4)² + (7 – P)² = 9
⇒ P² + 16 – 8P + 49 + p² – 14P = 9
⇒ 2P² – 22P + 56 = 0
⇒ P² – 11P + 28 = 0
⇒ P² – 4P – 7P + 28 = 0
= P(P – 4) – 7(P – 4) = 0
= (P – 4) (P – 7) = 0
P = 4, 7
अत: P का मान 4, 7 है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु 4 (6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(x, y) क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो बिन्दु D(x, y) ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु 4 (6, 1), B(8, 2), C(9, 4) तथा D(x, y) दिए गए समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ विकर्ण AC के मध्य विन्दु के निर्देशांक = विकर्ण BD के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

⇒ 8 + x = 15 और 2 + y = 5
⇒ x = 15 – 8 और y = 5 – 2
⇒ x = 7 और y = 3
अतः बिन्दु D के निर्देशांक = (7, 3).

प्रश्न 11.
बिन्दुओं P(- 3, 4) और Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं P(- 3, 4) और Q( 4, 5) को जोड़ने वाले रेखा खण्ड को समत्रिभाजित करते हैं।

माना कि
PA = AB = QB = x
AQ = x + x = 2x
PB = x + x = 2x
\(\frac{PA}{AQ}=\frac{x}{2x}\) = \(\frac{1}{2}\) = 1 : 2
\(\frac{PB}{BQ}=\frac{2x}{x}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2 : 1
अर्थात् बिन्दु A, PQ को 1 : 2 के अनुपात में तथा बिन्दु B, PQ को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
बिन्दु A के लिए:

अतः A और B के निर्देशांक क्रमश (\(\frac{5}{3}\), \(\frac{14}{3}\)) तथा (\(\frac{-2}{3}\), \(\frac{13}{3}\)) है।
यही सिद्ध करना था ।

प्रश्न 12.
यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्यबिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) है।

तब बिन्दु P(x, y) तथा Q(2, 3) के मध्यबिन्दु K के निर्देशांक (5, 4).
5 = \(\frac{x+2}{2}\)
⇒ 10 = x + 2
⇒ x = 10 – 2 = 8
और 4 = \(\frac{y+3}{2}\)
⇒ 8 = y + 3
⇒ y = 8 – 3 = 5
P के निर्देशांक = (8, 5).

प्रश्न 13.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (- 3, – 2), (5, 2) और (5, 4) हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज हैं।
हल :
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(- 3, – 2), B (5, – 2) तथा C(5, 4) हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[- 3(- 2 – 4) + 5(4 + 2) + 5(- 2 + 2)]


∵ AB² + BC² = (8)² + (6)² = 100
= (10)² = CA²
⇒ AB² + BC² = CA²
अत: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
त्रिभुज ABC, जिसमें A(1, – 4) तथा A से जाने वाली भुजाओं के मध्य बिन्दु (2, – 1) तथा (0, – 1) है, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
माना ABC एक त्रिभुज है, जहाँ B (x, y) तथा C(z, 1) है।
दिया है, P, AB का मध्य-बिन्दु है।
(2, – 1) = (\(\frac{1+x}{2}\), \(\frac{-4+y}{2}\))

∴ C के निर्देशांक = (- 1, 2)
∴ ΔABC के शीषों के निर्देशांक A(1, – 4), B(3, 2) तथा C(1, – 2) हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 2) + 3(2 + 4) – 1(- 4 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(0) + 3(6) – 1(-6)]
= \(\frac{1}{2}\)[18 + 6] = 12 वर्ग इकाई

प्रश्न 15.
x – 3y = 0 बिन्दुओं (-2, -5) तथा (6, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा x – 3y = 0, बिन्दुओं (- 2, – 5) तथा (6, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को k : 1 अनुपात में विभाजित करती है।
यहाँ x₁ = – 2, x₂ = 6, y₁ = – 5, y₂ = 3, m = k तथा n = 1
∴ विभाजन सूत्र से,

अतः विभाजन बिन्दु (\(\frac{9}{2}\), \(\frac{3}{2}\)) तथा अभीष्ट अनुपात (\(\frac{13}{3}\) : 1) अथवा (13 : 3) है।

प्रश्न 16.
बिन्दु A, बिन्दुओं X(6, – 6) तथा Y(- 4, – 1) को मिलाने वाले रैखाखण्ड XY इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{5}\) है। यदि बिन्दु A रेखा 3x + k(y + 1) = 0 पर भी स्थित है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, \(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{5}\)

\(\frac{X A}{X A+A Y}\) = \(\frac{2}{5}\)
5XA = 2XA + 2AY
5XA = 2AY
\(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{3}\)
अत: बिन्दु A रेखाखण्ड XY को 2 : 3 अनुपात में विभाजित करता है।
यहाँ m₁ = 2, m₂ = 3
अतः A बिन्दु के निर्देशांक

इसलिए A बिन्दु के निर्देशांक (2, – 4) है।
चूँकि बिन्दु A, रेखा 3x + k(y + 1) = 0 पर भी स्थित है, अतः यह रेखा के समीकरण की संतुष्ट करेगा।
∴ x = 2 तथा y = – 4 रखने पर,
3(2) + k (- 4 + 1) = 0
6 + k (- 3) = 0
– 3k = – 6
k = 2

प्रश्न 17.
यदि A(- 2, 1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) एक समानान्तर चतुर्भुज ABCD एके शीर्ष बिन्दु हैं, तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए। अतः इस चतुर्भुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है, ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है।

विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करते हैं।


अत: चतुर्भुज ABCD की भुजाओं की लम्बाई
AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{10}\) इकाई

प्रश्न 18.
यदि बिन्दु A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3) तथा C(5k – 1, 5k) सरेख हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु A(k + 1, 2k), B (3k, 2k +3) और C(5k – 1, 5k) सरेख हैं। अतः त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 0
Δ = \(\frac{1}{2}\)[(k + 1)(2k + 3) – 6k² + 15k² – (5k – 1)(2k + 3) + 2k(5k – 1) – (k + 1)(5k)]
0 = \(\frac{1}{2}\)[2k² + 5k + 3 – 6k² + 15k² – 10k² – 13k + 3 + 10k² – 2k – 5k² – 5k]
0 = \(\frac{1}{2}\)[6k² – 15k + 6]
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 6k² – 12k – 3k + 6 = 0
⇒ 6k(k – 2) – 3 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (6k – 3) = 0
⇒ k = 2 या k = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि ΔABC जहाँ A(- 2, 0), B(2, 0) C(0, 2) तथा ΔPQR जहाँ P(- 4, 0), Q( 4, 0), R (0, 4) हैं, समरूप त्रिभुज है।
हल :
त्रिभुजों के शीर्षों के निर्देशांक है,
A (- 2, 0), B (2, 0), C(0, 2)
P(- 4, 0), Q(4, 0), R(0, 4)

यहाँ ΔPQR की भुजायें ΔABC को भुजाओं की दोगुनी हैं।
अत: दोनों त्रिभुज समरूप है। इति सिद्धम्

प्रश्न 20.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई है। इसके दो शीर्ष (2, 1) तथा (3, – 2) हैं। यदि तीसरा शीर्ष (\(\frac{7}{2}\), y), तो y का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, 4(2, 1), B(3, – 2) और C(\(\frac{7}{2}\), y)
अब, ΔMBC का क्षेत्रफल

प्रश्न 21.
निम्न आकृति में किसी कक्षा में रखे डेस्कों की व्यवस्था दर्शाइए गई है। आशिमा, भारती तथा आशा क्रमशः बिंदुओं A, B तथा C पर बैठी हैं। निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।
(i) ज्ञात कीजिए कि क्या तीनों लड़कियाँ एक ही रेखा में बैठी हैं।
(ii) यदि A, B तथा C सरेख हैं तो ज्ञात कीजिए कि बिंदु B रेखाखंड AC को किस अनुपात में विभाजित करता है।

हल :
आलेख से बिंदु A, B और C के निर्देशांक हैं :
A = (3, 1), B (6, 4) तथा C = (8, 6)
A, B, C के सरेख के लिए प्रतिबंध
x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂) = 0
∴ x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)
= 3(4 – 6) + 6(6 – 1) + 8(1 – 4)
= 3(-2) + 6(5) + 8(-3)
= – 6+ 30 – 24
= 0
∴ A, B और C सरेख है।
अतः तीनों लड़कियाँ एक ही रेखा में बैठी है।

(ii) माना B, रेखाखंड AC को m : n अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ 8m + 3n = 6m + 6n
⇒ 2m = 3n
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{3}{2}\)
⇒ m : n = 3 : 2
अत: B, AC को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 22.
कृष्णा के पास एक सेवों का बाग है जिसके साथ एक 10 मी × 10 मी साइज का एक किचन गार्डन है। उसने उसे एक 10 × 10 ग्रिड के बाँटकर उसमें मिट्टी तथा खाद डाली है। उसने बिंदु पर एक नींबू का पौधा, बिंदु B पर धनिए का पौधा, बिंदु C पर प्याज का पौधा तथा बिंदु D पर एक टमाटर का पौधा लगाया है। उसका पति राम किचन गार्डन को देखकर तारीफ़ करता है तथा कहलाता है A, B, C तथा D को मिलाने पर शायद एक समांतर चतुर्भुज बन जाएं। नीचे दिए गए चित्र को ध्यानपूर्वक देखकर निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :

(i) निर्देशांक अक्ष के रूप में 10 × 10 ग्रिड का उपयोग करते हुए बिंदुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) ज्ञात कीजिए कि क्या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं।
हल :
(i) चित्र से, A, B, C तथा D के निर्देशांक हैं :
A = (2, 2), B = (5, 4), C = (7, 7), D = (4, 5)

यहाँ AB = BC = CD = DA
लेकिन AC ≠ BD
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 23.
यदि A (- 5, 7), B (- 4, – 5), C(- 1, – 6) तथा D(4, 5) एक समानान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु हैं, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल कीजिए ।
हल :
चतुर्भुज ABCD का एक विकर्ण BD को मिलाया।

ΔABD के लिए शीर्ष A(- 5, 7), B(-4, -5), D(4, 5)
ΔABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₃)]
= \(\frac{1}{2}\)[- 5(- 5 – 5) + (- 4)(5 – 7) + 4(7 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[-5(-10) – 4(-2) + 4(12)]
= \(\frac{1}{2}\)[50 + 8 + 48]
= \(\frac{1}{2}\)[106]
= \(\frac{106}{2}\) = 53 वर्ग इकाई
ΔBCD के लिए शीर्ष
B(- 4, – 5), C(-1, – 6), D(4, 5)
ΔBCD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₃)]
= \(\frac{1}{2}\) [-4(- 6 – 5) + (-1)(5 + 5) + 4(-5 + 6)]
= \(\frac{1}{2}\) [-4(- 11) – 1(10) + 4(1)]
= \(\frac{1}{2}\) [44 – 10 + 4]
= \(\frac{1}{2}\) [38] = \(\frac{38}{2}\)
= 19 वर्ग इकाई
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 53 + 19
= 72 वर्ग इकाई

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क)

1. x निर्देशांक को ……….. भी कहते हैं।
2. y- निर्देशांक को ………….. भी कहते हैं।
3. AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष- बिंदु A(0, – 3), O(0, 0) एवं B (4, 0) हैं इसके विकर्ण की लंबाई …………… है।
4. बिन्दुओं (- 3, – 3) तथा (- 3, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु ………………. है।
5. बिंदुओं (- a, a) तथा (- a, – a) के बीच की दूरी ………………. है।

हल :

1. भुज,
2. कोटि,
3. 5 इकाई,
4. (- 3, 0),
5. 2a इकाई ।

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख)

1. यदि बिंदु (3, – 6) बिंदुओं (0, 0) तथा (x, y) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है, तो बिन्दु (x, y) का मान (6, – 12) होगा।
2. x – अक्ष पर स्थित वह बिंदु जो (2, 3) तथा (6, – 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है, के निर्देशांक (0, 3) है।
3. यदि बिंदुओं A(-3, b) तथा B (1, b + 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु P(- 1, 1) है, तो b का मान 2 है।
4. यदि एक वृत्त का केंद्र (3, 5) है तथा एक व्यास के अंत बिंदु (4, 7) तथा (2, y) हैं, तो y का मान 3 है।
5. बिंदुओं A(2, – 3) तथा B (5, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड x-अक्ष को 1 : 2 के अनुपात में बाँटता है।

हल :

1. सत्य,
2. असत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य ।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
बिंदुओं (a cos θ + b sin θ, 0) तथा (0, a sin θ – b sin θ) के बीच की दूरी है
(A) a² + b²
(B) a² – b²
(C) \(\sqrt{a^2+b^2}\)
(D) \(\sqrt{a^2-b^2}\)
हल :

अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
यदि बिंदु P(k, 0), बिंदुओं A(2, – 2) तथा B(- 7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो k का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) – 2
(D) 1
हल :
बिंदु P के निर्देशांक

⇒ P (k, 0) = (- 1, 0)
∴ k = – 1
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
p का वह मान जिसके लिए बिंदु 4 (3, 1), B (5, p) तथा C(7, – 5) सरेख हैं, है :
(A) – 2
(B) 2
(C) – 1
(D) 1
हल :
बिंदु A(3, 1), B(5, p) तथा C(7, – 5) सरेख होंगे यदि,
x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) = 0
⇒ 3 (p + 5) + 5 (- 5 – 1) + 7 (1 – p) = 0
⇒ 3p + 15 – 30 + 7 – 7p = 0
⇒ – 4p – 8 = 0
⇒ – 8 = 4p
⇒ p = \(\frac{-8}{4}\) = – 2
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर स्थित बिंदु P जो बिंदुओं B(5, 0) से समदूरस्थ है, हैं
(A) (2, 0)
(B) (0, 2)
(C) (3, 0)
(D) (2, 2)
हल :
माना x- अक्ष पद P(x, 0) कोई बिंदु है।
दिया है, PA = PB
⇒ PA² = PB²
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ (x + 1)² + (0 – 0)² = (x + 5)² + (0 – 0)²
⇒ x² + 1 + 2x = x² + 25 – 10x
⇒ 12x = 24
⇒ x = 2
∴ बिंदु (2, 0)
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 5.
उस बिंदु के निर्देशांक जो बिंदु (- 3, 5) का x- अक्ष में प्रक्षेप है, है:
(A) (3, 5)
(B) (3, – 5)
(C) (- 3, – 5)
(D) (- 3, 5)
हल :
P(-3, 5) का प्रेक्षप बिंदु P'(- 3, – 5) है ।

अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
यदि बिंदुओं A(10, – 6) तथा B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिन्दु (a, b) है, तथा a – 2b = 18 है, तो k का मान है:
(A) 30
(B) 22
(C) 4
(D) 40
हल :
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 7.
उस त्रिभुज जिसके शीर्ष बिंदु (0, 4), (0, 0) तथा (3, 0) है का परिमाप है।
(A) 7 + \(\sqrt{5}\)
(B) 5
(C) 10
(D) 12
हल :
माना ABC एक त्रिभुज है।

त्रिभुज ABC की परिमाप = AB + BC + CA
= 4 + 3 + 5 = 12 इकाई ।
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 8.
बिंदु P(3, 4) की x-अक्ष से दूरी है :
(A) 3 इकाई
(C) 5 इकाई
(B) 4 इकाई
(D) 1 इकाई
हल :
बिंदु P(3, 4) की x अक्ष से दूरी इस बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर होती है।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 9.
यदि बिंदुओं A(4, p) तथा B (1, 0) के बीच की दूरी 5 इकाई है, तो का मान है :
(A) केवल 4
(B) केवल – 4
(c) ± 4
(D) 0
हल :
∵ AB = 5
⇒ \(\sqrt{(4-1)^2+(p-0)^2}\) = 5
⇒ \(\sqrt{3^2+p^2}\) = 5
⇒ 3² + p² = 25
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ p² = 25 – 9
⇒ p² = 16
⇒ p = ± 4
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 10.
आयत AOBC के तीन शीर्ष A(0, 3), O(0, 0) तथा C(5, 0) है। इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(A) 5
(B) 3
(C) \(\sqrt{34}\)
(D) 6
हल :
आयत AOBC के तीन शीर्ष 4 (0, 3), O(0, 0) तथा C(5, 0) है।
आयत के विकर्ण (AC) की लम्बाई
= बिन्दु A(0, 3) तथा C(5, 0) के बीच की दूरी (AC)

अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 11.
यदि (a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(A) (a + b + c)²
(B) 0
(C) a + b + c
(D) abc
हल :
(a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु हैं।
यहाँ
x₁ = a,
x₂ = b,
x₃ = c
y₁ = b + c
y₂ = c + a
y₃ = a + b
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂))]
= \(\frac{1}{2}\)[a(c + a – a – b) + b(a + b – b – c) + c(b + c – c – a)]
= \(\frac{1}{2}\)[a(c – b) + b(a – c) + c(b – a)]
= \(\frac{1}{2}\)[ac – ab + ab – bc + bc – ac]
= \(\frac{1}{2}\) × 0 = 0
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
यदि एक चतुर्भुज के शीर्ष (1, 4), (- 5, 4), (- 5, – 3) और (1, – 3) हों, तो चतुर्भुज का प्रकार है:
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समान्तर चतुर्भुज
(D) समचतुर्भुज
हल :
माना कि चतुर्भुज के शीर्ष 4(1, 4), B(- 5, 4) तथा D(1, – 3) है तब

अतः AB = CD और BC = DA और
विकर्ण AC = विकर्ण BD

अत: दिये गये बिन्दु आयत के शीर्ष हैं।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (1, 2), O(0, 0) तथा C (a, b) संरेखी हैं, तब :
(A) a = b
(B) a = 2b
(C) 2a = b
(D) a = – b
हल :
यदि दिए गए बिन्दु A(1, 2), O(0, 0) तथा C(a, b) सरेखी हैं, तो इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा ।
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[1(0 – b) + 0(b – 2) + a(2 – 0)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[- b + 0 + 2a] = 0
⇒ 2a – b = 0
⇒ 2a = b
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A(- 2, – 1), B (a, 0), C(4, b) और D (1, 2) समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो a और b का मान होगा :
(A) 1, 3
(B) 2, 4
(C) 2, 3
(D) 1, 4
हल :
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सम- द्विभाजित करते हैं।
∴ विकर्ण AC का मध्य-बिन्दु = विकर्ण BD का मध्य बिन्दु

अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 15.
आकृति में बिन्दु P(5, – 3) तथा Q(3, y) बिन्दुओं A (7, – 2) तथा B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समनिभाजित करते हैं, तो y बराबर है-

(A) 2
(B) 4
(C) – 4
(D) \(\frac{-5}{2}\)
हल :
∵ बिन्दु P तथा Q, AB को समत्रिभाजित करते हैं।

∴ AP = PQ = BQ
AQ = AP + PQ = 2AP
∴ \(\frac{AQ}{BQ}=\frac{2AP}{AP}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2 : 1
बिन्दु Q का निर्देशांक है।

अतः विकल्प (C) सही है।