Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.4
प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :
हल:
∵ हर में केवल अभाज्य गुणनखण्ड 5 ही है।
अर्थात् 2n × 5m के रूप का है।
अतः \(\frac{13}{3125}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \(\frac{17}{8}=\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^3 \times 5^0}\)
हर 2n × 5m के रूप का है अर्थात् हर में केवल अभाज्य गुणनखण्ड 2 ही है।
अतः \(\frac{17}{8}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \(\frac{64}{455}=\frac{64}{5 \times 7 \times 13}\)
हर 2n × 5m के रूप का नहीं है।
अर्थात् हर में 2 तथा 5 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्ड 7 और 13 भी हैं।
अतः \(\frac{64}{455}\) का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती हैं।
(iv) \(\frac{15}{1600}=\frac{15}{2^4 \times 100}\)
= \(\frac{15}{2^4 \times 2^2 \times 5^2}=\frac{15}{2^6 \times 5^2}\)
हर 2n × 5m के रूप का है।
अर्थात् हर में 2 और 5 ही अभाज्य गुणनखण्ड हैं।
अतः \(\frac{15}{1600}\)
(v) \(\frac{29}{343}=\frac{29}{7 \times 7 \times 7}\)
हर 2n × 5m के रूप का नहीं है।
अर्थात् हर के अभाग्य गुणनखण्डों में 2 और 5 नहीं हैं।
अत: \(\frac{29}{343}\) का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{(2)^3 .(5)^2}\) के हर में केवल अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही है अर्थात् 2n × 5m के रूप का है।
अतः \(\frac{23}{2^3 .5^2}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
(vii) \(\frac{129}{(2)^2 \cdot(5)^7 \cdot(7)^5}\) के हर में अभाज्य गुणनखण्ड 2, 5 व 7 हैं। गुणनखण्ड 7, (2 या 5) के अतिरिक्त हैं अर्थात् 2n × 5m के रूप का नहीं है।
अतः \(\frac{129}{2^2 \cdot 5^7 \cdot 7^5}\) का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती है।
(viii) \(\frac{6}{15}=\frac{3 \times 2}{3 \times 5}=\frac{2}{5}=\frac{2}{5 \times 2^0}\)
∵ हर में अभाज्य गुणनखण्ड केवल 5 है अर्थात् 2n × 5m के रूप का है।
अत: \(\frac{6}{15}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
(ix) \(\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{5 \times 5 \times 2}=\frac{7}{5 \times 2}\)
∵ हर में अभाज्य गुणनखण्ड केवल 5 व 2 हैं अर्थात् 2n × 5m के रूप का है।
अतः \(\frac{35}{50}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
(x) \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{7 \times 2 \times 3 \times 5}=\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
∵ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त गुणनखण्ड 3 भी है।
∴ यह 2n × 5m के रूप का नहीं है।
अतः \(\frac{77}{210}\) का दशमलव प्रसार असांत एवं आवर्ती है।
प्रश्न 2.
ऊपर दिये गये प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हल:
(i) \(\frac{13}{3125}=\frac{13}{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}\)
= \(\frac{13}{5^5}=\frac{13}{2^0 \times 5^5}\)
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
∴ \(\frac{13}{3125}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना :
हर को 10 की घात बनाने के लिए संख्या को (2)5 से गुणा और भाग करने पर:
अतः \(\frac{13}{3125}\) का दशमलव प्रसार 0.00416 है।
(ii) \(\frac{17}{8}=\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^3}\)
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
∴ \(\frac{17}{8}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव के रूप में व्यक्त करना :
हर को 10 की घात बनाने के लिए अंश और हर में 53 से गुणा करने पर-
हर के अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m के रूप में नहीं हैं।
अर्थात् हर के अभाज्य गुणनखण्डों में 5 के अतिरिक्त 7 और 13 भी हैं।
अत: \(\frac{64}{455}\) का दशमलव प्रसार असांत आवतीं है।
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
∴ \(\frac{15}{1600}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
हर को 10 की घात बनाने के लिए अंश व हर में (5)4 से गुणा करने पर,
\(\frac{15}{1600}=\frac{15 \times 5^4}{2^6 \times 5^2 \times 5^4}\)
= \(\frac{15 \times 625}{2^6 \times 5^6}\)
= \(\frac{9375}{(2 \times 5)^6}=\frac{9375}{10^6}=\frac{9375}{1000000}\)
= 0.009375
अतः \(\frac{15}{1600}\) का दशमलव प्रसार 0.009375 है।
(v) \(\frac{29}{343}=\frac{29}{7 \times 7 \times 7}=\frac{29}{7^3}\)
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 व 5 नहीं हैं।
अर्थात् 2n × 5m के रूप का नहीं है।
∴ \(\frac{29}{343}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{2^3 \cdot 5^2}\)
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
∴ \(\frac{23}{2^3 \cdot 5^2}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
हर को 10 की घात बनाने के लिए अंश व हर में 5 से गुणा करने पर,
अतः \(\frac{23}{2^3 \cdot 5^2}\) का दशमलव प्रसार 0.115 है।
(vii) \(\frac{129}{2^2 5^7 7^5}\)
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखण्ड में 2, 5 के अतिरिक्त 7 भी हैं।
अर्थात् हर के अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m के रूप में नहीं हैं।
∴ \(\frac{129}{2^2 5^7 7^5}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) \(\frac{6}{15}=\frac{2 \times 3}{3 \times 5}=\frac{2}{5}\)
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
अतः \(\frac{6}{15}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
हर को 10 की घात बनाने के लिए अंश और हर में 2 से गुणा करने पर,
\(\frac{2}{5}=\frac{2 \times 2}{2 \times 5}=\frac{4}{10}=0.4\)
अतः \(\frac{6}{15}\) का दशमलव प्रसार 0.4 है।
(ix) \(\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2 \times 5}\)
= \(\frac{7}{10}=0.7\)
∵ हर 2n × 5m के रूप का है।
अतः \(\frac{35}{50}\) का दशमलव प्रसार सांत है।
अतः \(\frac{35}{50}\) का सांत दशमलव प्रसार 0.7 है।
(x) \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{7 \times 30}\)
= \(\frac{11}{30}=\frac{11}{3 \times 2 \times 5}\)
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 व 5 के अतिरिक्त 3 भी है।
अर्थात् हर का अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m के रूप में नहीं है।
अतः \(\frac{77}{210}\) का दशमलव प्रसार असांत आवतीं है।
प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है \(\frac{p}{q}\) और के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000………
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
हल:
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{1000000000}\)
यह संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप की है।
∴ यह एक परिमेय संख्या है।
q = 1000000000
= (10)9 = (2 × 5)9 = 29 × 59
अत: q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 या दोनों हैं।
(ii) 1.120120012000120000………
इस संख्या का दशमलव प्रसार असांत एवं अनावर्ती है
और इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
∴ यह संख्या परिमेय नहीं है
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
= 43.123456789 123456789 123456789 …
इस संख्या का दशमलव प्रसार असांत एवं ओती है और इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखना सम्भव है।
∴ यह एक परिमेय संख्या है।
q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 के अतिरिक्त और भी अभाज्य धन पूर्णांक सम्भव हैं।
अतः दी गई संख्या परिमेय है और q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 के अतिरिक्त भी है।