Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.1
प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
हल:
OA तथा OB विपरीत किरणें हैं। OC रेखा AB पर खड़ी है।
∴ ∠AOC + ∠COB = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
[∵ ∠COB = ∠COE + ∠BOE]
⇒ (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
⇒ 70° + ∠COE = 180°
[∵ ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिया है)]
⇒ ∠COE = 180°- 70° = 110°
∴ प्रतिवर्ती ∠COE = 360°- 110° = 250°
∵ OC तथा OD विपरीत किरणें हैं OE, CD रेखा पर खड़ी है।
∴ ∠COE + ∠EOD = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180°
⇒ 110° + ∠BOE + 40° = 180°
[∵ ∠COE = 110°, ∠BOD = 40° (दिया है)]
⇒ ZBOE = 180°- 110° – 40° = 30°
∴ ∠BOE = 30° तथा प्रतिवर्ती ∠COE = 250°.
प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो ज्ञात कीजिए ।
हल:
a : b = 2 : 3
तथा a + b = ∠POX = ∠POY = 90°
तथा अनुपातों का योग 2 + 3 = 5
∴ a = \(\frac{2}{5}\) × 90° = 2 × 18° – 36°
तथा b = \(\frac{3}{5}\) × 90° = 3 × 18° = 54°
OM और ON विपरीत किरणें हैं। इसलिए MN एक रेखा है।
किरण OX, MN पर स्थित है, इसलिए
∠MOX + ∠XON = 180°, [रैखिक युग्म]
⇒ b + c = 180° ⇒ c + 54° = 180°
⇒ c = 180° – 54°
∴ c = 126°.
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
हल:
QS और QR विपरीत किरणें हैं।
∵ QP, SR रेखा पर स्थित है।
∴ ∠PQS + ∠PQR = 180° [रैखिक युग्म] …(i)
पुन: RQ और RT विपरीत किरणें हैं।
∵ PR, QT रेखा पर स्थित है।
∴ ∠PRQ + ∠PRT = 180° [रैखिक युग्म] …(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT …(iii)
∠PQR = ∠PRQ. [दिया है]… (iv)
समीकरण (iv) समीकरण (iii) से,
∠PQS = ∠PRT इति सिद्धम् ।
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल:
चूँकि एक बिन्दु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है।
∴ (∠BOC + ∠COA) + (∠BOD + ∠AOD ) = 360°
⇒ (x + y ) + (w + z) = 360°
लेकिन x + y = w + z [दिया है]
∴ x + y = w + z = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
इसलिए ∠BOC तथा ∠COA, ∠BOD तथा ∠AOD रैखिक युग्म बनाते हैं। परिणामस्वरूप OA और OB दो विपरीत किरण हैं। इसलिए AOB एक सीधी रेखा है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए:
∠ROS = \(\frac{1}{2}\)(∠QOS – ∠POS).
हल:
∵ OR रेखा PQ पर लम्ब है।
∠POR = ∠ROQ.
[∵ प्रत्येक = 90°]
⇒ ∠POS + ∠ROS = ∠QOS – ∠ROS
⇒ 2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
⇒ ∠ROS = \(\frac{1}{2}\)(∠QOS – ∠POS). इति सिद्धम् ।
प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी गई सूचना से यह एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को सम-द्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ XY को बिन्दु P तक बढ़ाया। इसलिए XP एक सीधी रेखा है।
∵ YZ, XP पर स्थित है।
∴ ∠XYZ + ∠ZYP = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
⇒ ∠ZYP = 180° – 64° = 116°
∵ किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
∴ ∠QYP = ∠ZYQ = \(\frac{116^{\circ}}{2}\) = 58°
अब ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
= 64° + 58° = 122°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58° = 302°.