Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.4
प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को विलोपन विधि और प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 और x – \(\frac{y}{3}\) = 3
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 …..(i)
2x – 3y = 4 …..(ii)
विलोपन विधि : समीकरण (i) व (ii) में x का गुणांक समान करने के लिए समीकरण (i) में 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 …..(iii)
अब समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाने पर
अत: समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\) है।
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (i) से,
⇒ y = 5 – x …..(iii)
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
2x – 3(5 – x) = 4
⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 4 + 15 = 19
x = \(\frac{19}{5}\)
x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
y = \(5-\frac{19}{5}\)
= \(\frac{25-19}{5}=\frac{6}{5}\)
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल
x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\)
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x + 4y = 10 …..(i)
2x – 2y = 2 …..(ii)
विलोपन विधि: समी. (i) को 2 से तथा समी. (ii) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 8y = 20 …..(iii)
6x – 6y = 6 …..(iv)
अब समी. (iii) मैं से समी. (iv) को घटाने पर,
समीकरण (i) मैं y = 1 रखने पर,
3x + 4(1) = 10
⇒ 3x = 10 – 4 = 6
x = \(\frac{6}{3}\)
∴ x = 2
अतः रैखिक समीकरणं युग्म का हल :
x = 2 तथा y = 1
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
⇒ 2x = 2 + 2y
⇒ 2x = 2(1 + y)
⇒ x = 1 + y …..(iii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
∴ 3(1 + y) + 4y = 10
⇒ 3 + 3y + 4y = 10
⇒ 3 + 7y = 10
⇒ 7y =10 – 3
⇒ 7y = 7
y = \(\frac{7}{7}\) = 1
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = 1 + 1
⇒ x = 2
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = 2 और y = 1
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
(iii) दिया हुआ समीकरण युग्म :
3x – 5y – 4 = 0
और 9x = 2y + 7
या 3x – 5y = 4 …..(i)
और 9x – 2y = 7 …..(ii)
विलोपन विधि: समीकरण (i) में 2 से तथा समी.
(ii) में 5 से गुणा कर घटाने पर,
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) और y = –\(\frac{5}{13}\)
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
x = \(\frac{2 y+7}{9}\) ……(iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ -13y + 7 = 12
⇒ -13y = 12 – 7
⇒ -13y = 5
⇒ y = \(\frac{-5}{13}\)
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) तथा y = \(\frac{-5}{13}\)
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
विलोपन विधि: समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
3x – (3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 9 – 3 = 6
∴ x = \(\frac{6}{3}\) = 2
x = 2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (ii) से,
y = 3x – 9
y का यह मान समी. (i) में प्रतिस्थापित करने पर
3x + 4 (3x – 9) = -6
⇒ 3x + 12x – 36 = -6
⇒ 15x = -6 + 36 = 30
x = \(\frac{30}{15}\) = 2
x का यह मान समी. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर :
3 × 2 – y = 9
6 – y = 9
y = 6 – 9
y = -3
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 हैं।
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
[नोट: यह निर्णय विद्यार्थी स्वयं कर लें कि कब कौन-सी विधि उनके लिए उपयुक्त होगी।]
प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हम हर में 1 जोड़ दें, तो यह \(\frac{1}{2}\) हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु वर्तमान आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने कितने नोट प्राप्त किए ?
(v) किराये पर पुस्तकें देने वाले किसी ‘पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।
अतः भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
यदि भिन्न के अंश में 1 जोड़ा जाए और हर में से 1 घटाया जाए तो भिन्न \(\frac{x+1}{y-1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
x + 1 = y – 1
⇒ x – y= – 1 – 1
⇒ x – y = – 2 …..(i)
यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा जाए तो भिन्न \(\frac{x}{y+1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
⇒ 2x – y = 1 …..(ii)
समीकरण (i) में 2 से गुणा करके समीकरण (ii) को घटाने पर,
y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
x – 5 = – 2
x = – 2 + 5 = 3
अतः भिन्न \(\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{3}{5}\)
(ii) माना कि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, x – 5 = 3 (y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = – 15 + 5
⇒ x – 3y = – 10 …..(i)
10 वर्ष बाद नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
और 10 वर्ष बाद सोनू की आयु = (y – 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2 (y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10
⇒ x – 2y = 10 …..(ii)
समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,
y का यह मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x – 2 × 20 = 10
⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 10 + 40
∴ x = 50
अत: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष
(iii) माना कि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = y
∴ अभीष्ट संख्या = 10y + x
पहली शर्त के अनुसार, x + y = 9 …..(i)
अंकों को पलटने पर,
इकाई का अंक = y
दहाई का अंक = x
∴ संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
संख्या का 9 गुना = अंकों के पलटने पर प्राप्त संख्या का दो गुना
∴ (10 + x) × 9 = (10x + y) × 2
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 90y + 9x – 20x – 2y = 0
⇒ 88y – 11x = 0
⇒ 11x = 88y
∴ x = 8y …..(ii)
समीकरण (ii) से प्राप्त x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
8y + y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = \(\frac{9}{9}\) = 1
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 8 × 1
⇒ x = 8
∴ संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 10 + 8 = 18
अत: अभीष्ट संख्या = 18
(iv) माना ₹ 50 मूल्य वाले नोटों की संख्या = x
तथा ₹ 100 मूल्य वाले नोटों की संख्या = y
प्रश्नानुसार, कुल नोटों की संख्या 25 है।
∴ x + y = 25 …..(i)
∵ 50 वाले नोटों का मूल्य = 50 × x = ₹ 50x
और ₹ 100 वाले नोटों का मूल्य = 100 × y = ₹ 100y
∴ कुल नोटों का मूल्य = ₹ 50x + 100y
= ₹ 50(x + 2y)
प्रश्नानुसार,
50 (x + 2y) = 2000
x + 2y = \(\frac{2000}{50}\) = 40 …(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
⇒ x + 2y – x – y = 15
∴ y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 15 = 25
∴ x = 25 – 15 = 10
अतः मीना ने ₹ 50 मूल्य वाले 10 नोट और ₹ 100 मूल्य वाले 15 नोट प्राप्त किए।
(v) माना प्रथम 3 दिनों तक पुस्तकालय का नियत किराया ₹ x है तथा इसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ y है।
7 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का किराया + 4 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ (x + 4y)
परन्तु सरिता ने 7 दिन का किराया ₹ 27 चुकाया
∴ x + 4y = 27 …..(i)
5 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 2 दिन का अतिरिक्त किराया
= ₹ (x + 2y)
परन्तु सूसी ने 5 दिन का किराया ₹ 21 चुकाया
∴ x + 2y = 21 …..(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
⇒ x + 4y – x – 2y = 6
⇒ 2y = 6
∴ y = \(\frac{6}{2}\) = 3
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
⇒ x + 2 × 3 = 21
⇒ x + 6 = 21
⇒ x = 21 – 6
∴ x = 15
अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन का नियत किराया = ₹ 15 और उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3 ।