JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) \(\sqrt{2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – (5 – 2)x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यहाँ या तो (x – 5) = 0 या फिर (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0 हो तो x = 5 और
यदि x + 2 = 0 हो तो x = – 2
अतः द्विघात समीकरण के मूल 5 या -2 है।

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + (4 – 3)x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यहाँ या तो (x + 2) = 0 या फिर (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = -2
यदि 2x – 3 = 0 हो, तो
⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल – 2 या \(\frac{3}{2}\) है।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
\(\sqrt{2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt{2}\) =0
\(\sqrt{2}\)x² + (5 + 2)x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
\(\sqrt{2}\)x² + 5x + 2x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
x(\(\sqrt{2}\)x + 5) + \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0
(\(\sqrt{2}\)x + 5) (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यहाँ या तो (\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0 या फिर (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यदि \(\sqrt{2}\)x + 5 = 0 हो, तो
\(\sqrt{2}\)x – 5 ⇒ x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
यदि x + \(\sqrt{2}\) = 0 हो, तो x = –\(\sqrt{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\) या –\(\sqrt{2}\) होंगे।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² – x – \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ \(\frac{16 x^2-8 x+1}{8}\) = 0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
अर्थात् 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{1}{4}\) या \(\frac{1}{4}\) अर्थात् दोनों मूल समान होंगे।

(v) दिया गया द्विघात समीकरण है:
100x² – 20x + 1 = 0
100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
अर्थात् 10x – 1 = 0 या फिर 10x – 1 = 0
या 10x = 1 या 10x = 1
या x = \(\frac{1}{10}\) या x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होंगे।
∴ x = \(\frac{1}{10}\) और \(\frac{1}{10}\)

प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए:
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं। अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि प्रारम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे ?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में), 55 में से एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल:
(i) माना प्रारम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे थे।
∴ जीवंती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार,
जब जीवंती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष कंचों की संख्या
= (45 – x – 5) = (40 – x)
अब कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार,
-x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 200 – 124 = 0
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ -(x² – 45x + 324) = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – (36 + 9)x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324=0
⇒ x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
या तो x – 36 = 0 या फिर x – 9 = 0
यदि x – 36 = 0 तो x = 36
और यदि x – 9 = 0 तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9 तब स्पष्ट है कि
यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं, तो जीवंती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9)।

(ii) माना उस विशेष दिन x खिलौने निर्मित किए गए।
∴ प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
∴ उस दिन निर्मित सभी खिलौनों की लागत
= ₹ x(55 – x)
= ₹ (55x – x²)
परन्तु प्रश्नानुसार उस दिन की निर्माण लागत ₹ 750 थी।
⇒ 55x – x² = 750
⇒ 55x – x² – 750 = 0
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – (30 + 25)x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30 ) – 25 (x – 30 ) = 0
⇒ (x – 30) (x – 25) = 0
अर्थात् x – 30 = 0 या फिर x – 25 = 0
∴ x = 30 या x = 25
x = 30 और 25
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 या 25 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल:
माना कि पहली संख्या x है।
दिया है, दोनों संख्याओं का योग 27 है।
∴ दूसरी संख्या = 27 – x
दिया है, संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x)
= 27x – x²
प्रश्नानुसार, 27x – x² = 182
⇒ -x² – 27x – 182 = 0
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ (x – 13) – 14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13 ) (x – 14) = 0
अर्थात् या तो
x – 13 = 0 या फिर x – 14 = 0
∴ x = 13 या x = 14
∴ x = 13, 14
अतः दो संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना कि पहला धनात्मक पूर्णांक x है
तथा दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक (x + 1) होगा।
प्रश्नानुसार, (x²) + (x + 1 )² = 365
⇒ x² + x² + 1 + 2x = 365
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए x = -14 सम्भव नहीं है।
∴ x = 13
∴ दूसरा धनात्मक पूर्णांक = 13 + 1 = 14
अतः दो अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 है।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्णे 13 सेमी हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समकोण त्रिभुज का आधार = x सेमी
इसलिए, समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (x – 7 ) सेमी
दिया है, समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
(आधार)² + (लम्ब)² = (कर्ण)²
(x)² + (x – 7)² = (13)²
⇒ x² + x² + 49 – 14x = 169
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ 2[x² – 7x – 60] = 0
⇒ x² – 7x – 60= 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
∵ त्रिभुज की लम्बाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -5 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 12
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 सेमी
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (12 – 7) सेमी 5 सेमी।
अतः त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 5 सेमी और 12 सेमी हैं।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
∵ प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी।
∴ प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹ x × (2x + 3)
= ₹ (2x² + 3x)
प्रश्नानुसार,
उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
∴ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + (15 – 12)x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
यदि 2x + 15 = 0 हो, तो 2x = -15 ⇒ x = –\(\frac{15}{2}\)
और यदि x – 6 = 0 हो, तो x = 6
∵ बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः x = –\(\frac{15}{2}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6 + 3)
= ₹ (12 + 3) = 15
अतः निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।