JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.2

प्रश्न 1.
बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए जब:
(i) x = 0
(ii) x = -1
(iii) x = 2.
हल:
(i) बहुपद p(x) = 5x – 4x² + 3, x = 0
बहुपद (x) में x के स्थान पर 0 प्रतिस्थापित करने पर,
p(0) = 5 × 0 – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3
∴ p(0) = 3.

(ii) p(x) = 5x – 4x² + 3, x = -1
x के स्थान पर (-1) रखने पर,
p(-1) = 5(-1) – 4(-1)² + 3
= – 5 – 4 + 3
∴ p(-1) = -6.

(iii) p(x) = 5x – 4x² + 3, x = 2
x के स्थान पर (2) रखने पर,
∴ p(2) = 5 × 2 – 4(2)² + 3
= 10 – 16 + 3 = -3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:
(i) p(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) p(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1)(x + 1).
हल:
(i) p(y) = y² – y + 1
p(0) = (0)² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
p(2) = (2)² – 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
P(0) = 2 + 0 + 2 × 0² – 0³
= 2 + 0 + 0 – 0 – 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – (2)³
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4.

(iii) P(x) = x³
P(0) = (0)³ = 0
p(1) = (1)³ = 1
p(2) = (2)³ = 8.

(iv) p(x) = (x – 1)(x + 1)
p(x) = x² – 1
p(0) = (0)² – 1 = -1
p(1) = (1)² – 1 = 0
p(2) = (2)² – 1 = 4 – 1 = 3.

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:
(i) p(x) = 3x + 1; x = –\(\frac{1}{3}\)
(ii) p(x) = 5x – π; x = \(\frac{4}{5}\)
(iii) p(x) = x² – 1: x = 1, – 1
(iv) p(x) = (x + 1) (x – 2 ); x = -1, 2
(v) p(x) = x²; x = 0
(vi) p(x) = lx + m; x = \(-\frac{m}{l}\)
(vii) p(x) = 3x² – 1; x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(viii) p(x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{2}\)
हल:
(i) दिया है,
p(x) = 3x + 1; x = –\(\frac{1}{3}\)
P(-\(\frac{1}{3}\)) = 3 × (-\(\frac{1}{3}\)) + 1 = 0
अतः –\(\frac{1}{3}\). p(x) का शून्यक है।

(ii) दिया है, p(x) = 5x – π; x = \(\frac{4}{5}\)
p(\(\frac{4}{5}\)) = 5 × \(\frac{4}{5}\) – π = 4 – π
अतः \(\frac{4}{5}\), p(x) का शून्यक नहीं है।

(iii) दिया है p(x) = x² – 1; x = 1, -1
x = 1 रखने पर,
p(1) = 1² – 1 = 0
x = -1 रखने पर,
P(-1) = (-1)² – 1 = 1 – 1 = 0
अतः 1, -1; p(x) के शून्यक हैं।

(iv) दिया है,
p(x) = (x + 1) (x – 2 ) x = -1, 2
x = -1 रखने पर,
p(-1) = (-1 + 1) (-1 – 2 ) = 0 × (- 3 ) = 0
x = 2 रखने पर,
p(2) = (2 + 1) (2 – 2) = 3 × 0 = 0
अत: -1 और 2 पद p(x) के शून्यक हैं।

(v) fear it,
p(x) = x²; x = 0
x = 0 रखने पर, p(0) = (0)² = 0
अतः 0 पद p(x) का शून्यक है।

(vi) दिया है, p(x) = lx + m; x = \(-\frac{m}{l}\)
x = \(-\frac{m}{l}\) रखने पर
P(\(-\frac{m}{l}\)) = 1 × (\(-\frac{m}{l}\)) + m
⇒ \(-\frac{m}{l}\) पद p(x) का शून्यक है।

(vii) दिया है, p(x) = 3x² – 1; x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) रखने पर,
p(\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)) = 3 × (\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)) – 1 = 3 × \(\frac{1}{3}\) – 1 = 0
x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
P(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) = 3 × (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) – 1 = 3 × \(\frac{4}{3}\) – 1 = 3
अतः \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) पद p(x) का शून्यक है किन्तु \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) पद p(x) का शून्यक नहीं है।

(viii) दिया है, p(x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{2}\)
x = \(\frac{1}{2}\) रखने पर
P(\(\frac{1}{2}\)) = 2 × \(\frac{1}{2}\) + 1 = 1 + 1 = 2
अतः \(\frac{1}{2}\) पद p(x) का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x + 5
(ii) p(x) = x – 5
(iii) p(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) p(x) = ax; a ≠ 0
(vii) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ है।
हल:
(i) p(x) = x + 5
p(x) = 0 ∴ 0 = x + 5 ⇒ x = -5
अतः बहुपद x + 5 का शून्यक = -5 है।

(ii) p(x) = x – 5
हमें ज्ञात है: p(x) = 0 ∴ x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अतः बहुपद x – 5 का शून्यक = 5

(iii) p(x) = 2x + 5
p(x) = 0
∴ 2x + 5 = 0 ⇒ 2x = -5 ⇒ x = –\(\frac{5}{2}\)
अत: p(x) का शून्यक = –\(\frac{5}{2}\) है।

(iv) p(x) = 3x – 2
p(x) = 0
∴ 3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
अत: p(x) का शून्यक = \(\frac{2}{3}\) है।

(v) p(x) = 3x
p(x) = 0
∴ 3x = 0 ⇒ x = 0
अतः बहुपद 3x का शून्यक = 0 है।

(vi) p(x) = ax; a ≠ o
p(x) = 0
∴ ax = 0 ⇒ x = 0
बहुपद ax का शून्यक = 0 है।

(vii) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d
p(x) = 0
∴ cx + d = 0 ⇒ cx = -d ⇒ x = \(-\frac{d}{c}\)
∴ p(x) का शून्यक = \(-\frac{d}{c}\) है।