Month: October 2024

Students must go through these JAC Class 10 Science Notes Chapter 4 कार्बन एवं इसके यौगिक to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Science Notes Chapter 4 कार्बन एवं इसके यौगिक

→ कार्बन एक सर्वतोमुखी तत्त्व है जो सभी जीवों एवं हमारे उपयोग में आने वाली वस्तुओं का आधार है, जैसे- भोजन, दवा, कपड़े आदि।

→ कार्बनिक यौगिक कार्बन में बहुत बड़ी संख्या में यौगिक बनाने का गुण है। इन यौगिकों को कार्बनिक यौगिक कहते हैं। इनमें कार्बन तथा हाइड्रोजन के अतिरिक्त नाइट्रोजन ऑक्सीजन, हैलोजन और गंधक आदि भी हो सकते हैं।

→ अपररूपता-तत्त्वों का एक गुण जिसके द्वारा कोई तत्व ऐसे कई रूपों में पाया जाता है जिनके भौतिक गुण भिन्न-भिन्न हों और रासायनिक गुण समान हों, अपरूपता कहलाते हैं।

→ हाइड्रोकार्बन – कार्बन तथा हाइड्रोजन से बने यौगिकों को हाइड्रोकार्बन कहते हैं।

→ संतृप्त हाइड्रोकार्बन (ऐल्केन) – वे हाइड्रोकार्बन जिनमें कार्बन की चारों संयोजकताएँ एकल सहबंध द्वारा संतुष्ट होती हैं, संतृप्त हाइड्रोकार्बन कहलाते हैं। इनका सामान्य रासायनिक सूत्र C_nH_2n+2 है।

→ असंतृप्त हाइड्रोकार्बन-जिन हाइड्रोकार्बन में दो कार्बन परमाणुओं के मध्य द्विबंध अथवा त्रिबंध होता है, उन्हें असंतृप्त हाइड्रोकार्बन कहते हैं।

→ एल्कीन – इन असंतृप्त हाइड्रोकार्बन का सामान्य सूत्र C_nH_2n होता है। इनमें कार्बन के दो परमाणु के मध्य एक द्विबंध होता है।

→ एल्काइन – इन असंतृप्त हाइड्रोकार्बन का सामान्य रासायनिक सूत्र C₂H_2n-2 होता है। इनमें दो कार्बन परमाणुओं में एक त्रिबंध होता है।

→ सहसंयोजी आबंध – दो परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रॉन के एक युग्म की साझेदारी के द्वारा बनने वाले आबंध, सहसंयोजी आबंध कहलाते हैं।

→ कार्बन की चतुः संयोजकता एवं श्रृंखलन प्रकृति के कारण यह कई यौगिक बनाता है।

→ अपने-अपने बाहरी कोशों को पूर्ण रूप से भरने के लिए दो परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रॉनों की साझेदारी से सहसंयोजक आबंध बनता है।

→ ऐल्कोहॉल-वे कार्बन यौगिक होते हैं जिनमें एक या एक से अधिक हाइड्रॉक्सिल ग्रुप (OH) हो तथा जिनका सामान्य सूत्र C_n H_2n+1OH हों। इसमें Al- kane के ‘6’ के स्थान पर (ol) जोड़ देते हैं।

→ विषम परमाणु- यौगिकों में हाइड्रोजन प्रतिस्थापित करने वाले तत्त्वों को विषम परमाणु कहते हैं।

→ संकलन अभिक्रियाएँ वे क्रियाएँ जो कार्बन- कार्बन के बीच द्वि-आबंध या त्रि-आबंध होने पर वे अन्य अणुओं से क्रिया करके योगात्मक उत्पादक बनाता है तथा द्वि-आबंध या त्रि-आबंध एकल आबंध में परिवर्तित हो जाता है।

→ प्रतिस्थापन अभिक्रियाएँ – वे अभिक्रियाएँ हैं जिनमें किसी यौगिक के सभी परमाणु एक-एक करके अन्य परमाणुओं से विस्थापित हो जाते हैं।

→ समावयवता – वह घटना जिसमें दो या अधिक यौगिकों के अणुसूत्र तो एक ही हों लेकिन संरचना भिन्न होने के कारण गुण भिन्न हो जाते हैं।

→ प्रकार्यात्मक समूह (Functional Group):

• परमाणु या परमाणुओं का समूह जो कार्बनिक यौगिक की अभिक्रियाशीलता बताती है और उसके विशिष्ट गुणधर्मों (अथवा क्रियाओं) को सुनिश्चित करता है, प्रकार्यात्मक समूह कहलाते हैं।
• यौगिकों का विशिष्ट गुण कार्बन श्रृंखला की लम्बाई और प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है।

→ ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन एवं कार्बोक्सिलिक अम्ल जैसे समूह कार्बन यौगिकों अभिलाक्षणिक गुण प्रदान करते हैं।

→ कार्बन तथा उसके यौगिक हमारे ईंधन के प्रमुख स्रोत हैं।

→ कार्बनिक यौगिक एथेनॉल एवं एथेनॉइक अम्ल का हमारे दैनिक जीवन में काफी महत्त्व है।

→ साबुन एवं अपमार्जक की प्रक्रिया अणुओं में जलरागी तथा जलविरागी दोनों समूहों की उपस्थिति पर आधारित है। इसकी मदद से तैलीय मैल का पायस बनता है और बाहर निकलता है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)² = 2(x – 3 )
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
(x + 1)² = 2(x – 3)
[सूत्र (a + b)² = a² + 2ab + b² से]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण है:
x² – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x – 2x + 6 = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2 (x + 1) = x (x + 3) – 1 (x + 3)
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² + x – 2x – 2 – x² – 3x + x + 3 = 0
⇒ 3x + 1 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः समीकरण, द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
x² – 11x + 8 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण
x² + 3x + = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
⇒ x² + 3x + 1 – x² – 4 + 4x = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ x³ + (2)³ + 3 × x × 2 (x + 2) = 2x³ – 2x
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ – 2x = 0
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
∵ यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
अतः यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ – 3 × x × 2 (x – 2)
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x = 0
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर 2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी हैं।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
∵ भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 मीटर अधिक है।
∴ भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x + 1)
= (2x + 1) मीटर
∵ आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = ल. × चौ.
= (2x + 1) × x
= (2x² + x) वर्ग मीटर
दिया है भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
∴ 2x² + x = 528
या 2x² + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
2x² + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक है तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक x + 1 है,
∴ पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x + 1) = x² + x
प्रश्नानुसार, x² + x = 306
x² + x – 306 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण:
x² + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा उसकी माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है।
∴ रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
तथा तीन वर्ष बाद रोहन की माँ की आयु = (x + 26) + 3 = (x + 29) वर्ष
∴ रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
x² + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा है।
निर्धारित दूरी = 480 किमी
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय

यदि रेलगाड़ी की चाल 8 किमी / घण्टा कम हो अर्थात् चाल (x – 8) किमी / घण्टा होती तो रेलगाड़ी द्वारा 480 किमी दूरी चलने में लगा समय

⇒ 3x² – 24x = 3840
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² – 8x – 1280 = 0

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
A. P. 121, 117, 113, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
हल:
दी गई A. P. है : 121 117, 113, …
प्रथम पद a = a₁ = 121; a₂ = 117; a₃ = 113
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
सूत्र a_n = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
⇒ a_n = 121 + (n – 1 ) (- 4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
प्रश्नानुसार,
a_n < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > \(\frac{125}{4}\)
⇒ n > 31\(\frac{1}{4}\)
⇒ n > 31.25
⇒ n < 32
क्योंकि n एक पूर्णांक है।
अत: 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A. P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दी गई A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तीसरा पद a₃ = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद a₇ = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार,
तीसरे और सातवें पदों का योग = 6
या a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 …(1)
पुन: प्रश्नानुसार, a₃ × a₇ = 8
⇒ (a + 2d)(a + 6d) = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 …(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)² – (a² + 8ad + 12d²) = (3)² – 8
⇒ a² + 8ad + 16d² – a² – 8ad – 12d² = 9 – 8
4d² = 1
∴ d = ±\(\frac{1}{2}\)
तव a + 4d = 3 में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2
⇒ a + 2 = 3
∴ a = 1
पुन: a + 4d = 3 में d = –\(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × (-\(\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
∴ a = 5

स्थिति I. a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)
प्रथम 16 पदों का योग
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2a + (16 – 1)d]
= 8[2 + 15 × \(\frac{1}{2}\)]
= 8 × \(\frac{19}{2}\) = 4 × 19 = 76
अतः 16 पदों का योग = 76

स्थिति II. a = 5, d = –\(\frac{1}{2}\)
∴ प्रथम 16 पदों का योग

अतः 16 पर्दों का योगफल = 20.

प्रश्न 3.
एक सीणी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई 45 सेमी है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) मीटर है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी ?

हल:
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) मीटर = 250 सेमी
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 सेमी
∴ सीणी में डण्डों की संख्या

∵ प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 सेमी और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 सेमी
∴ 11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप
= 2\(\frac{1}{2}\)(a + l) = \(\frac{1}{2}\)(25 + 4)
\(\frac{11}{2}\) × 70 = 11 × 35
= 385 सेमी = 3.85 मीटर
अतः सीणी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 सेमी या 3.85 मीटर।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है किx से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों पर क्रमागत रूप से अंकित संख्याएँ :
1, 2, 3, 4, 5, 6, …… 47, 48, 49 है।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग
= x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वअन्तर d = 1 है।
तब से x – 1 तक की संख्याओं का योग, a = 1, n = x – 1

और x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
= S₄₉ – S_x
(∵ S_x+1 नहीं होगा क्योंकि x के बाद ही x + 1 प्रारम्भ होगा)

अतः x का मान 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीणियाँ बनी हुई हैं। इन सीणियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 मीटर है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी हैं। प्रत्येक सीणी में \(\frac{1}{4}\) मीटर की बनाई है और \(\frac{1}{2}\) मीटर का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

हल:
प्रत्येक सौणी की लम्बाई 50 मीटर और चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) मीटर है सीणियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीणी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढी (A.P.) का अनुक्रम है-
\(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}, \frac{6}{4}, \ldots, \frac{15}{4}\)
अतः पहली सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{50}{8}\) घन मीटर
दूसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4}=\frac{100}{8}\) घन मीटर
तीसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
\(=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{150}{8}\) घन मीटर
चौथी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4}=\frac{200}{8}\) घन मीटर
अतः चबूतरा बनाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन

अतः चबूतरे में लगी कंक्रीट का कुल आयतन = 750 घन मीटर

Jharkhand Board JAC Class 10 Science Important Questions Chapter 1 रासायनिक अभिक्रियाएँ एवं समीकरण Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Science Important Questions Chapter 1 रासायनिक अभिक्रियाएँ एवं समीकरण

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किस नियम पर, रासायनिक समीकरण का संतुलित करना आधारित है?
उत्तर:
रासायनिक समीकरण का संतुलित करना द्रव्यमान संरक्षण के नियम पर आधारित है।

प्रश्न 2.
रासायनिक समीकरण में प्रतीक (↓) एवं (↑) क्या प्रदर्शित करते हैं?
उत्तर:
प्रतीक (↑) गैसीय उत्पाद व प्रतीक (↓) अवक्षेप (ठोस) उत्पाद दर्शाता है।

प्रश्न 3.
जलीय अवस्था क्या है?
उत्तर:
किसी अभिकारक या उत्पाद का जल में विलयन उसकी जलीय अवस्था कहलाती है।

प्रश्न 4.
भोजन के पाचन में किस प्रकार की अभिक्रिया होती है?
उत्तर:
भोजन के पाचन में वियोजन अभिक्रिया होती है।

प्रश्न 5.
श्वसन में किस प्रकार की अभिक्रिया होती है?
उत्तर:
श्वसन में उपचयन एवं ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया होती है।

प्रश्न 6.
वियोजन अभिक्रियाओं में ऊर्जा किस रूप में ली जाती है?
उत्तर:
वियोजन अभिक्रियाओं में ऊर्जा ऊष्मा, प्रकाश या विद्युत के रूप में ली जाती है।

प्रश्न 7.
अभिकारक व उत्पाद क्या है?
उत्तर:
अभिकारक – ऐसे पदार्थ जो रासायनिक अभिक्रियाओं में भाग लेते हैं अभिकारक कहलाते हैं।

उत्पाद – ऐसे पदार्थ जो रासायनिक अभिक्रिया के फलस्वरूप प्राप्त होते हैं उत्पाद कहलाते हैं।

प्रश्न 8.
बिना बुझे हुए चूने का रासायनिक सूत्र लिखिए।
उत्तर:
CaO.

प्रश्न 9.
रासायनिक अभिक्रियाओं से क्या समझते हैं? उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
रासायनिक अभिक्रियाएँ- जब एक या एक से अधिक पदार्थ आपस में क्रिया करके नये पदार्थ का निर्माण करते हैं तो ऐसी अभिक्रियाओं को रासायनिक अभिक्रियाएँ कहते हैं।

उदाहरण – आयरन को सल्फर के साथ गर्म करने पर फेरस सल्फाइड बनता है।

प्रश्न 10.
एथिलीन पर हाइड्रोजन की क्रिया से एथेन बनता है, क्यों?
उत्तर:
एथिलीन एक असंतृप्त हाइड्रोकार्बन है जिसमें कार्बन परमाणु द्विआबन्ध द्वारा जुड़े होते हैं। जब ये हाइड्रोजन से क्रिया करते हैं तो इसका द्विआबन्ध टूट जाता है और नया एकल आबन्ध, आबन्ध द्वारा संतृप्त हाइड्रोजन एथेन बनाते हैं। यह योगशील अभिक्रिया के कारण होता है।

प्रश्न 11.
एकल विस्थापन अभिक्रिया किसे कहते हैं?
उत्तर:
एक विस्थापन अभिक्रिया – जब किसी यौगिक में उपस्थित एक तत्त्व या (एक परमाणु) को किसी दूसरे यौगिक के एक तत्त्व या (एक परमाणु), द्वारा हटाकर स्वयं उसका स्थान ले लेता है तो उसे एकल विस्थापन अभिक्रिया कहते हैं।
उदाहरण: CuSO₄ + Zn → ZnSO₄ + Cu

प्रश्न 12.
उपचयन व अपचयन अभिक्रियाओं को हम किस दूसरे नाम से जानते हैं?
उत्तर:
रेडॉक्स अभिक्रिया (Redox Reaction )।

प्रश्न 13.
उस अभिक्रिया का नाम बताइए जिसमें अविलेय लवण प्राप्त होता है?
उत्तर:
अवक्षेपण अभिक्रिया।

प्रश्न 14.
बेरियम सल्फेट तथा सोडियम क्लोराइड किन अभिकारकों से प्राप्त किये जा सकते हैं?
उत्तर:

1. Na₂SO₄ ( सोडियम सल्फेट)
2. BaCl₂ (बेरियम क्लोराइड)

प्रश्न 15.
अभिक्रिया की गति प्रभावित करने वाले प्रमुख कारक कौन से हैं?
उत्तर:

1. अभिकारकों की प्रकृति
2. ताप
3. सांद्रण
4. उत्प्रेरक।

प्रश्न 16.
ऊष्माक्षेपी अभिक्रियाएँ किन्हें कहते हैं?
उत्तर:
ऊष्माक्षेपी अभिक्रियाएँ – वे रासायनिक अभिक्रियाएँ जिसमें ऊष्मा उत्पन्न या उत्सर्जित होती है, ऊष्माक्षेपी अभिक्रियाएँ कहलाती हैं।
उदाहरण – 1 मोल कार्बन और 1 मोल ऑक्सीजन संयोग करती है तो 1 मोल कार्बन डाइऑक्साइड बनती है तथा 44.3 k cal. ऊष्मा उत्पन्न होती है।
C + O₂ → CO₂ + 44.3 kcal

प्रश्न 17.
उत्क्रमणीय अभिक्रिया किसे कहते हैं?
उत्तर:
उत्क्रमणीय अभिक्रियाएँ वे अभिक्रियाएँ जो समान परिस्थितियों में अग्र एवं पश्च दोनों दिशाओं में होती हैं और किसी भी दिशा में पूर्णता को नहीं पहुँचतीं उत्क्रमणीय अभिक्रियाएँ कहलाती हैं।

उदाहरण – जब फॉस्फोरस पेण्टाक्लोराइड को गर्म किया जाता है तब यह अपघटित होकर फ़ॉस्फोरस ट्राइ- इसे ठण्डा करने पर पुनः क्लोराइड तथा क्लोरीन देता है। फॉस्फोरस पेण्टाक्लोराइड प्राप्त हो जाता है।
PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
रासायनिक साम्य किसे कहते हैं? सिद्ध कीजिए कि इसकी प्रकृति गतिज होती है।
उत्तर:
रासायनिक साम्य- किसी उत्क्रमणीय अभिक्रिया की वह अवस्था जिसमें अग्र व विपरीत दोनों अभिक्रियाओं के वेग बराबर हो जाते हैं, रासायनिक साम्यावस्था कहलाती है।
एक परखनली में कैडमियम क्लोराइड (CaCl₂) के अम्लीय विलयन में H₂S प्रवाहित करने पर कैडमियम सल्फाइड (Cds) का पीला अवक्षेप प्राप्त होता है।

इस स्थिति में सान्द्र HCl की कुछ बूँदें मिलाने पर अवक्षेप घुल जाता है और साफ विलयन प्राप्त हो जाता है। प्राप्त विलयन में H₂S गैस प्रवाहित करने पर पुनः पीला अवक्षेप प्राप्त होता है। इस प्रयोग से सिद्ध होता है। कि रासायनिक साम्य की प्रकृति गतिज होती है।

प्रश्न 2.
ऊष्मीय वियोजन और आयनिक वियोजन में अन्तर लिखिए।
उत्तर:
ऊष्मीय वियोजन और आयनिक वियोजन में अन्तर

ऊष्मीय वियोजन	आयनिक वियोजन
1. ऊष्मीय वियोजन ऊष्मा के द्वारा होता है।	1. आयनिक वियोजन विलयन बनाने पर होता है।
2. ऊष्मीय वियोजन में उत्पाद उदासीन अणु होते हैं।	2. आयनिक वियोजन में उत्पाद आयन होते हैं।
3. ऊष्मीय वियोजन के लिये माध्यम आवश्यक नहीं है।	3. आयनिक वियोजन के लिए माध्यम आवश्यक नहीं है।
4. ऊष्मीय वियोजन में उत्पाद पृथक किये जा सकते हैं।	4. आयनिक वियोजन के उत्पाद पृथक नहीं किये जा सकते।
5. उदाहरण-	5. उदाहरण-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से कौन-से परिवर्तन ऊष्माशोषी और कौन-से ऊष्माक्षेपी प्रकृति के हैं-
(a) फेरस सल्फेट का अपघटन
(b) सल्फ्यूरिक अम्ल का तनुकरण
(c) सोडियम हाइड्रॉक्साइड का जल में विलीन होना
(d) अमोनियम क्लोराइड का जल में विलीन होना।
उत्तर:
(b) तथा (c) ऊष्माक्षेपी हैं क्योंकि इन परिवर्तनों में ऊष्मा मुक्त होती है।
(a) तथा (d) ऊष्माशोषी हैं, क्योंकि इन परिवर्तनों में ऊष्मा अवशोषित होती है।

प्रश्न 4.
‘X’ समूह 2 के एक तत्त्व का ऑक्साइड है जो सीमेंट उद्योग में बहुत अधिक उपयोग में आता है। यह तत्त्व हड्डियों में भी उपस्थित रहता है। जल में अभिकृत कराने पर यह ऑक्साइड एक विलयन बनाता है, जो लाल लिटमस को नीला कर देता है। ‘X’ को पहचानिए तथा सम्बन्धित रासायनिक अभिक्रियाओं को भी लिखिए।
उत्तर:
X = कैल्सियम ऑक्साइड (बिना बुझा हुआ चूना)

प्रश्न 5.
प्राकृतिक गैस का दहन किस प्रकार की अभिक्रिया है? रासायनिक समीकरण द्वारा स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
यह एक ऊष्माक्षेपी रासायनिक अभिक्रिया है, क्योंकि उत्पाद के निर्माण के साथ-साथ ऊष्मा भी उत्पन्न होती है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित अभिक्रियाओं में अपचायक को पहचानिए-
(a) Fe₂O₃ + 3CO → 2Fe + 3CO₂
(b) 4NH₃ + 5O₂ → 4NO + 6H₂O
उत्तर:
(a) कार्बन मोनॉक्साइड (CO)।
(b) अमोनिया (NH₃)।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित अभिक्रियाओं में किसका ऑक्सीकरण तथा किसका अपचयन हुआ है?
(a) MnO₂(aq) + 4HCl(aq) → MnCl₂ (aq) + 2H₂O(l) + Cl₂(g)
(b) CuO(s) + H₂(g) → Cu(s) + H₂O(l)
उपर्युक्त अभिक्रियाओं का क्या नाम है?
उत्तर:
(a) HCl का उपचयन (ऑक्सीकरण) तथा MnO₂ का अपचयन हुआ है।

(b) H₂ का उपचयन तथा CuO का अपचयन हुआ है।
इन अभिक्रियाओं को उपचयन- अपचयन अथवा रेडॉक्स अभिक्रियाएँ कहते हैं।

प्रश्न 8.
क्या होता है जब आयरन धातु के टुकड़े को कॉपर सल्फेट विलयन में डुबोया जाता है?
उत्तर:
लोहे के टुकड़े का रंग भूरा हो जाता है तथा विलयन का रंग हरा हो जाता है। अभिक्रिया इस प्रकार होती है-

प्रश्न 9.
क्या होता है जब एक टुकड़ा-
(a) जिंक धातु का कॉपर सल्फेट विलयन में डाला जाता है।
(b) ऐलुमिनियम धातु का तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल में डाला जाता है।
(c) सिल्वर धातु को कॉपर सल्फेट विलयन में डाला जाता है।
यदि अभिक्रिया सम्पन्न होती हो तो संतुलित रासायनिक समीकरण भी लिखिए।
उत्तर:
(a) चूँकि जिंक (Zn), कॉपर (Cu) से अधिक क्रियाशील धातु है इसलिए CuSO₄ से Cu को विस्थापित कर देता है तथा जिंक सल्फेट का विलयन प्राप्त होता है।

यह विस्थापन अभिक्रिया का एक उदाहरण है।

(b) इसी प्रकार Al, हाइड्रोजन (H₂) से अधिक क्रियाशील है, इसलिए तनु HCl से H₂ गैस मुक्त कर देता है।

(c) Ag(s) + CuSO₄ (aq) → कोई अभिक्रिया नहीं क्योंकि Ag, Cu से कम क्रियाशील धातु है अतः CuSO₄ से Cu को विस्थापित नहीं कर पाती है।

प्रश्न 10.
विलोपन अभिक्रिया से क्या तात्पर्य है? एक उदाहरण द्वारा समझाइये।
उत्तर:
विलोपन अभिक्रिया वह सहसंयोजक रासायनिक अभिक्रिया जिसमें किसी यौगिक के अणु से एक सरल अणु निष्कासित (विलोपित) होता है विलोपन अभिक्रिया कहलाती है।

उदाहरण – जब एथिल ब्रोमाइड पर ऐल्कोहॉलीय पोटैशियम हाइड्रॉक्साइड की क्रिया करते हैं तो एक सरल अणु जल निष्कासित होता है।

प्रश्न 11.
उत्क्रमणीय एवं अनुत्कमणीय अभिक्रियाओं में अन्तर बताइये।
उत्तर:
उत्क्रमणीय एवं अनुत्क्रमणीय अभिक्रियाओं में अन्तर

उत्क्रमणीय अभिक्रियाएँ	अनुत्क्रमणीय अभिक्रियाएँ
1. ये अभिक्रियाएँ अग्र एवं पश्च दोनों दिशाओं में होती हैं।	1. ये अभिक्रियाएँ एक ही दिशा में चलती हैं।
2. इन अभिक्रियाओं में उत्पाद पुन: संयोजित होकर क्रियाकारकों को बनाते हैं।	2. इन अभिक्रियाओं में उत्पाद पुनः संयोजित नहीं होते हैं।
3. ये अभिक्रियाएँ कभी पूर्ण नहीं होतीं।	3. ये अभिक्रियाएँ पूर्णता को प्राप्त होती हैं।
4. उदाहरण-	4. उदाहरण-

प्रश्न 12.
कारण स्पष्ट करते हुए बताइए कि निम्नांकित परिवर्तन भौतिक हैं अथवा रासायनिक-
(i) गर्म करने पर मोम का पिघलना
(ii) मोमबत्ती का जलना
(iii) भोजन का पाचन
(iv) विद्युत् धारा प्रवाहित होने से तार का गर्म होना
(v) विद्युत धारा प्रवाहित होने से जल का हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन में विघटन
(vi) शुष्क चूने को जल में मिलाने पर जल का गर्म हो जाना
(vii) शर्करा घोलने पर का कुछ ठण्डा हो जाना
(viii) कॉपर सल्फेट विलयन में लोहे के टुकड़े डालने पर उनके रंग का काले से लाल हो जाना।
उत्तर:
(i) गर्म करने पर मोम का पिघलना भौतिक परिवर्तन है, क्योंकि इसमें मोम की केवल भौतिक अवस्था
(ठोस → द्रव) बदलती है-मोम की आणविक संरचना में कोई परिवर्तन नहीं होता।

(ii) मोमबत्ती का जलना-रासायनिक परिवर्तन है. क्योंकि मोम की ऑक्सीजन के साथ रासायनिक अभिक्रिया से नये पदार्थ (CO₂ तथा H₂O) बनते हैं।

(iii) भोजन का पाचन – भोजन का पाचन रासायनिक परिवर्तन है, क्योंकि पाचन क्रिया में अनेक रासायनिक अभिक्रियाओं यौगिक नये यौगिकों में परिवर्तित हो जाते हैं।

(iv) विद्युत् धारा प्रवाहित होने से तार का गर्म होना – भौतिक परिवर्तन है, क्योंकि इससे तार की भौतिक में ही परिवर्तन होता है-तार की संरचना नहीं बदलती।

(v) विद्युत् धारा प्रवाहित होने से जल का हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन में विघटन- यह रासायनिक परिवर्तन है क्योंकि जल से नये पदार्थ हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन बनते हैं।

(vi) शुष्क चूने को जल में मिलाने पर जल का गर्म हो जाना – यह रासायनिक परिवर्तन है, क्योंकि चूना (CaO) तथा जल (H₂O) के रासायनिक संयोग से नया पदार्थ Ca(OH)₂ बनता है।

(vii) शर्करा घोलने पर जल का कुछ ठण्डा हो ना- भौतिक परिवर्तन है, क्योंकि विलयन बनने पर शर्करा एवं जल का मिश्रण बनता है, कोई नया पदार्थ नहीं।

(viii) कॉपर सल्फेट विलयन लोहे के टुकड़े डालने पर उसके रंग का काले से लाल हो जाना – रासायनिक परिवर्तन है, क्योंकि कॉपर सल्फेट के विघटन से नया पदार्थ कॉपर बनता है जो लोहे के टुकड़ों पर एकत्र हो जाता है।

प्रश्न 13.
कारण देते हुए निम्नांकित अभिक्रियाओं को ऊष्माक्षेपी एवं ऊष्माशोषी में वर्गीकृत कीजिए-
(i) 2NH₃ → N₂ + 3H₂ – 24 किलो कैलोरी
(ii) 2SO₂ + O₂ → 2SO₃ + 25 किलो कैलोरी
(iii) N₂ + O₂ + 45 किलो कैलोरी → 2NO
उत्तर:

उपर्युक्त अभिक्रिया को निम्नवत् लिखा जा सकता है-
2 NH₃ + 24 किलो कैलोरी N₂ + 3H₂
चूँकि अभिक्रिया सम्पन्न कराने हेतु NH₃ को 24 किलो कैलोरी ऊष्मा देना आवश्यक है अतः यह ऊष्माशोषी अभिक्रिया है।

(ii) 2SO₂ + O₂ → 2SO₃ + 25 किसी कॅलोरी अभिक्रिया में SO₃ के साथ 25 किलो कैलोरी ऊष्मा भी प्राप्त होती है अतः यह ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया है।

(iii) N₂ + O₂ + 45 किलो कैलोरी → NO
अभिक्रिया सम्पन्न होने के लिए N₂ तथा O₂ के साथ 45 किलो कैलोरी ऊष्मा भी देना आवश्यक है अतः यह ऊष्माशोषी अभिक्रिया है।

प्रश्न 14.
निम्नलिखित समीकरणों को संतुलित कीजिए-
(i) H₂ + Br₂ → HBr
(ii) Na + O₂ → Na₂O
(iii) P + O₂ → P₂O₅
(iv) CO + O₂ → CO₂
(v) NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + H₂O
उत्तर:
(i) H₂ + Br₂ → HBr
H तथा Br के परमाणुओं की संख्या दोनों ओर समान करने के लिए HBr में 2 से गुणा करने पर
H₂ + Br₂ → 2HBr

(i) Na + O₂ → Na₂O
O की संख्या समान करने के लिए दाहिनी ओर 2 का गुणा करने पर
Na + O₂ → 2 Na₂O
अब Na की संख्या समान करने के लिए Na में 4 का गुणा करने पर

O के 1 परमाणु से Na के दो परमाणु संयोग करके 1 अणु Na₂O बनाते हैं। अतः बायीं ओर O के 2 परमाणुओं से संयोग हेतु Na के 4 परमाणु चाहिए तथा इससे 2 अणु
Na₂O के बनेंगे।
अतः 4 Na + O₂ → 2Na₂O

(iii) P + O₂ → P₂O₅
P₂O₅ सूत्र के अनुसार P के 2 परमाणुओं परमाणु संयोग करते हैं। अतः P के 2 परमाणु लेने पर या O के 5 परमाणु 2 1/2 अणु लेने होंगे।
2P + 2 1/2 O₂ → P₂O₅
परन्तु 1/2 अणु का कोई अर्थ नहीं है-अतः पूरे समीकरण में 2 का गुणा करने पर
4P + 5O₂ → 2P₂O₅

(iv) CO + O₂ → CO₂
चूँकि O का एक परमाणु CO के एक अणु से संयोग करके CO₂ बनाता है, O के दो परमाणु (O₂), से CO के दो अणु संयोग करके 2 अणु CO₂ बनायेंगे। अतः
2CO + O₂ → 2CO₂

(v) NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + H₂O
Na परमाणुओं की संख्या के संतुलन हेतु बायीं ओर NaOH के 2 अणु होने चाहिए। तदनुसार
2 NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + H₂O
अब H परमाणुओं की संख्या के संतुलन हेतु दाहिनी ओर H₂O के दो अणु होने चाहिए – अतः
2NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2H₂O

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
‘रासायनिक अभिक्रिया’ से क्या तात्पर्य है? इसके विभिन्न प्रकारों को, प्रत्येक का एक उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
रासायनिक अभिक्रियाएँ (Chemical Reactions) जब कभी भी तत्त्व आपसी संयोग द्वारा यौगिकों का निर्माण करते हैं तब हम कह सकते हैं कि रासायनिक अभिक्रिया हुई। अथवा जब कभी भी भी यौगिक अपघ होकर दूसरे यौगिकों को बनाते हैं, तो रासायनिक अभिक्रियाएँ सम्पन्न होती हैं। अतः “ऐसी क्रियाएँ जिसमें एक या एक या एक से अधिक पदार्थों में उपस्थित परमाणुओं के पुनर्गठन के फलस्वरूप भिन्न पदार्थ या पदार्थों का निर्माण है, रासायनिक अभिक्रिया कहलाती है।”

उपर्युक्त परिभाषा से यह निष्कर्ष ष्कर्ष निकलता है कि रासायनिक अभिक्रिया ऐसी अभिक्रियाएँ हैं जिनके फलस्वरूप नये गुण वाले नये पदार्थ निर्मित होते हैं।

दूसरे शब्दों में “जब एक पदार्थ को किसी दूसरे पदार्थ के साथ क्रिया कराके अथवा कोई पदार्थ अकेले अपघटित होकर एक या एक से अधिक पदार्थ की रचना करता है तो यह क्रिया ही रासायनिक अभिक्रिया ही रासायनिक अभिक्रिया है।

उदाहरणस्वरूप, हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन के मिश्रण में जब चिनगारी की जाती है तब जल निर्मित होता है। इस प्रक्रिया में हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन के अणुओं में उपस्थित परमाणु पुनर्संगठित होकर जल के अणुओं की रचना करते हैं। इस अभिक्रिया को हम साधारणत: रासायनिक समीकरण के रूप में व्यक्त करते हैं।
हाइड्रोजन + ऑक्सीजन → जल
2H₂ + O₂ → 2H₂O
ऊपर व्यक्त अभिक्रिया में हाइड्रोजन एवं ऑक्सीजन अभिकारक हैं। तीर (→) का निशान यह सूचित कर रहा है कि अभिक्रिया हो रही है एवं निर्मित यौगिक जल को उत्पाद कहते हैं।

रासायनिक अभिक्रियाएँ मुख्यतः निम्नलिखित प्रकारों की होती हैं-

• योगात्मक रासायनिक अभिक्रिया (Addition Chemical Reaction)
• प्रतिस्थापन रासायनिक अभिक्रिया (Substitu-tion Chemical Reaction)
• वियोजन अभिक्रिया (Dissociation)
• अपघटन अभिक्रिया (Decomposition)
• उभय-अपघटन (Double Decomposition)

(1) योगात्मक रासायनिक अभिक्रिया (Addition Chemical Reaction) – जिस अभिक्रिया में दो या दो से अधिक पदार्थ आपस में संयोग करके केवल एक पदार्थ बनाते हैं तथा कोई भी अन्य पदार्थ नहीं बनता उसे योगात्मक रासायनिक अभिक्रिया कहते हैं।
उदाहरण-

(2) प्रतिस्थापन रासायनिक अभिक्रिया ( Substi tution Chemical Reaction) – जिस अभिक्रिया में किसी यौगिक के अणु के किसी एक परमाणु या समूह के स्थान पर कोई दूसरा परमाणु या समूह जाता है, उसे प्रतिस्थापन रासायनिक अभिक्रिया कहते हैं।
उदाहरण-

(3) वियोजन अभिक्रिया (Dissociation Reaction ) – ऐसी रासायनिक अभिक्रियाएँ, जिनमें कोई पदार्थ रासायनिक अभिक्रिया को प्रेरित करने वाले कारणों (जैसे – ताप, दाब आदि) में परिवर्तन करने से दो अथवा से अधिक पदार्थों में विभक्त हो जाता तथा उपर्युक्त कारण हटा देने से पुनः मूल पदार्थ बन जाता है, वियोजन कहलाती है। वियोजन एक उत्क्रमणीय (Reversible) अभिक्रिया है। वियोजन अभिक्रियाएँ मुख्यतः दो प्रकार की होती हैं-
(i) ऊष्मीय वियोजन (Thermal Disso- ciation)- जब किसी यौगिक को गर्म करने से उसके अणु दो अथवा दो से अधिक छोटे अणुओं में परिवर्तित हो जाते हैं और ठण्डा करने पर वे फिर से मिलकर मूल
यौगिक बनाते हैं तब इस अभिक्रिया को ऊष्मीय अथवा तापीय वियोजन कहते हैं।
उदाहरणार्थ-

(ii) आयनिक वियोजन (Ionic Dissocia- tion) – किसी विद्युत् अपघद्य (Electrolyte) अथवा विद्युत्-संयोजी यौगिक (Electrovalent COmpound) को जल में घोला जाता है अथवा उच्च ताप तक गर्म करके गलित किया जाता है तो अणुओं का धनात्मक तथा ऋणात्मक आयनों में वियोजन हो जाता है। ये आयन विलयन में या गलित अवस्था में भी पुन: संयोजित होकर अणु बनाते रहते हैं। इस क्रिया को आयनिक वियोजन कहते हैं।
उदाहरण-
NaCl ⇌ Na⁺ + cr^–
H₂SO₄ ⇌ 2.H⁺ + SO^—

(4) अपघटन अभिक्रिया (Decomposition Reaction) – इस प्रकार की अभिक्रिया में किसी पदार्थ का अणु दो या दो से अधिक छोटे अणुओं या परमाणुओं में स्थायी रूप से विभक्त हो जाता है। यह क्रिया मुख्यत: दो प्रकार से से होती है-
(i) ऊष्मीय अपघटन अभिक्रिया (Thermal Decomposition Reaction) – वह रासायनिक अभिक्रिया जिसमें किसी पदार्थ को गर्म करने पर दो या दो से अधिक अवयवों में टूट जाय, परन्तु ठण्डा करने पर पुनः मूल पदार्थ न उसे ऊष्मीय अपघटन अभिक्रिया कहा जाता है। जैसे-

पोटैशियम क्लोरेट पोटैशियम क्लोराइड ऑक्सीजन गैस

(∆ चिन्ह ‘गरम करने’ अथवा ‘ऊष्मा’ को व्यक्त करता है)

(ii) विद्युत्-अपघटन अभिक्रिया (Electrolytic Decomposition Reaction) – इस प्रकार की क्रिया किसी विद्युत अपघट्य के विलयन या गलित अवस्था में विद्युत्-धारा प्रवाहित करने से होती है।
उदाहरणतः

(5) उभय अपघटन (Double Decomposi tion Reaction) – जिस रासायनिक अभिक्रिया में यौगिकों के आयनों या अवयवों की आपस में अदला-बदली होकर नये यौगिक बनते हैं, उसे उभय-अपघटन अभिक्रिया कहते हैं।
उदाहरण-

ये अभिक्रियाएँ मुख्यतः ऐसे दो यौगिकों के जलीय विलयनों के मिलाने से होती हैं, जिनमें से एक धनात्मक तथा एक ऋणात्मक आयन मिलकर कोई अविलेय यौगिक बनाते हैं. हैं, जो अवक्षेप अवक्षेप (Precipitate) 1 के रूप में विलयन से अलग हो जाता है। समीकरण में ↓ का चिन्ह, अवक्षेप को व्यक्त करता है।

प्रश्न 2.
रासायनिक समीकरण’ क्या होता है? इससे क्या “क्या जानकारियाँ मिलती हैं? कोई एक उदाहरण देकर बताइए एवं इसकी कमियाँ बताइए।
उत्तर:
रासायनिक समीकरण (Chemical Equation):
किसी भी रासायनिक परिवर्तन में एक या एक से अधिक पदार्थ परस्पर क्रिया करके नये पदार्थ (एक या अधिक) बनाते हैं। ऐसे परिवर्तन को गणितीय समीकरणों की भाँति एक समीकरण से व्यक्त किया जा सकता है। किसी रासायनिक परिवर्तन को व्यक्त करने वाले ऐसे समीकरण को रासायनिक समीकरण कहते हैं।

अभिक्रिया लिखने की विधि (Method of Written Reaction) – अभिक्रिया करने वाले अभिकारक (Reactants) समीकरण के या चिन्ह के बायीं ओर तथा अभिक्रिया के फलस्वरूप बने परिणामी पदार्थ (उत्पाद – Products) चिन्ह के दायीं ओर लिखे जाते हैं।

धन (+) चिन्ह दो या दो से अधिक अभिकारकों के बीच लगाया जाता है तथा परिणामी पदार्थों के बीच भी इसका प्रयोग कहते हैं। समीकरण के दोनों ओर प्रत्येक तत्त्व के परमाणुओं की संख्या समान कर ली जाती है अर्थात् समीकरण को सन्तुलित कर लिया जाता है। गैसों को सदैव अणु के रूप में लिखा जाता है
जैसे – Cl₂, O₂, N₂, H₂ आदि।

इस विधि से सिल्वर नाइट्रेट और हाइड्रोक्लोरिक अम्ल (तनु) की क्रिया के समीकरण को निम्नलिखित ढंग से लिख सकते हैं-
AgNO₃ + HCl = AgCl + HNO₃
किसी रासायनिक समीकरण से निम्नलिखित जानकारी मिलती है-

• अभिकर्मक तत्त्वों तथा यौगिकों के नाम एवं संघटन
• उत्पादों के नाम एवं संघटन
• रासायनिक अभिक्रिया में अभिकर्मकों तथा उत्पादों का द्रव्यमानात्मक अनुपात
• अभिकर्मक गैसों तथा उत्पादित गैसों का (समान दाब तथा ताप पर) आयतनात्मक अनुपात।

उदाहरणतः समीकरण

से ज्ञात होता है कि-
(i) नाइट्रोजन गैस तथा हाइड्रोजन गैस संयोग करके अमोनिया (NH₃) गैस गैस बनाती हैं।

(ii) अमोनिया में नाइट्रोजन का 1 परमाणु तथा हाइड्रोजन के तीन परमाणु होते हैं।

(iii) रासायनिक क्रिया में द्रव्यमान के अनुसार नाइट्रोजन तथा हाइड्रोजन [2 × 14/6 × 1 = ] 14 : 3 के अनुपात में क्रिया करती है तथा इससे 17 भाग अमोनिया उत्पन्न होती है। [∵ नाइट्रोजन का परमाणु भार = 14 तथा हाइड्रोजन का परमाणु-भार = 1]

(iv) दोनों अभिकर्मक तथा उत्पाद गैसे हैं। आयतन , इनका अनुपात, इनके अणुओं की संख्या के अनुपात में होता है। अत: समान दाब तथा ताप पर अभिक्रिया में नाइट्रोजन, हाइड्रोजन तथा अमोनिया का अनुपात 1:3:2 होगा – अर्थात् 1 1 लीटर नाइट्रोजन तथा 3 लीटर हाइड्रोजन के संयोग से 2 लीटर अमोनिया बनेगी।

रासायनिक समीकरण की कमियाँ (Demerits of Chemical Equation) – रासायनिक समीकरण से यह ज्ञात नहीं होता कि-

• अभिकर्मकों की ली गयी तथा उत्पादों की उत्पन्न मात्राएँ क्या हैं।
• अभिक्रिया दाब एवं ताप की किन दशाओं में होती है।
• अभिक्रिया एकदिशीय (अनुत्क्रमणीय) है अथवा उत्क्रमणीय।
• अभिक्रिया में ऊर्जा अवशोषित होती है अथवा मुक्त।

प्रश्न 3.
संतुलित रासायनिक समीकरण की क्या पहचान है? किसी असंतुलित समीकरण को अनुमान विधि से संतुलित करने की क्रिया, एक सरल उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर:
संतुलित रासायनिक समीकरण (Balanced Chemical Equation) रासायनिक अभिक्रियाओं में न तो परमाणु नष्ट होते हैं, न नये परमाणु बनते हैं और न ही एक तत्त्व के परमाणु से किसी दूसरे तत्त्व का परमाणु बनता है। अतः रासायनिक समीकरण में उसके दोनों पक्षों में प्रत्येक तत्त्व के परमाणुओं की मात्रा समान होनी चाहिए। तभी वह समीकरण रासायनिक क्रिया को सही रूप में व्यक्त करता है। इस प्रकार के समीकरण को संतुलित समीकरण (Balanced Equation) कहते हैं।

उदाहरणतः हाइड्रोजन तथा ऑक्सीजन गैसों के संयोग से जल बनने की क्रिया को निम्नवत् लिखा जा सकता है-

उपर्युक्त समीकरण अभिक्रिया के अभिकर्मकों तथा उत्पाद को तो व्यक्त करता है परन्तु इसमें समीकरण के दोनों पक्षों में ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या समान नहीं है– अर्थात् यह समीकरण संतुलित नहीं है। संतुलित करने पर इसका स्वरूप निम्नवत् जाता है-
2H₂ + O₂ → 2H₂O
समीकरण सन्तुलन का उदाहरण (अनुमान विधि) (Examples of Equation Balance) – सरल रासायनिक समीकरणों को (जिनमें दो से अधिक अभिकर्मक न हों), तत्त्वों के परमाणुओं को गिनकर, संतुलित किया जा सकता है। इसे अनुमान विधि भी कहते हैं। यद्यपि इस विधि में भी परमाणुओं की संख्या का संतुलन अनुमान मैं नहीं, वरन् गणितीय विधि से ही किया जाता है।]
उदाहरण 1.
H₂ + O₂ → H₂O
(i) समीकरण के बाएँ पक्ष में दो 0 परमाणु हैं परन्तु दाहिने पक्ष में केवल एक, अतः दाहिने पक्ष में 2 अणु लेने से 0 परमाणुओं का संतुलन हो जाता है अर्थात्
H₂ + O₂ → 2H₂O

(ii) अब दाहिने पक्ष में H के कुल 4 परमाणु बाएँ पक्ष में केवल 2 अतः बायीं ओर H₂ में 2 का गुणा करने से H का संतुलन हो जाता है-
2H₂ + O₂ → 2H₂O
अत: यह संतुलित समीकरण है।

प्रश्न 4.
(क) ‘मन्द’ तथा ‘तीव्र’ अभिक्रिया से क्या तात्पर्य है? एक-एक उदाहरण देकर बताइए।
(ख) रासायनिक अभिक्रिया की गति को मुख्यतः कौन-से कारक प्रभावित करते हैं?
उत्तर:
(क) मन्द अभिक्रियाएँ (Slow Reae- tions) – कुछ रासायनिक अभिक्रियाओं के पूरा होने में अधिक समय लगता है जैसे लोहे की वस्तु पर ऑक्सीजन की क्रिया से जंग (Rust) लगना किसी लोहे की वस्तु के पूरी तरह जंग में परिवर्तित होने में अनेक वर्ष लग सकते हैं। ऐसी क्रियाओं को मन्द अभिक्रियाएँ (Slow Reactions) कहते हैं।

मन्द अभिक्रियाओं में अभिकर्मकों का उत्पादों में परिवर्तन धीरे-धीरे अर्थात् अधिक समय में होता है।

उदाहरण- सल्फ्यूरिक अम्ल (H₂SO₄) की उपस्थिति में एथिल ऐल्कोहॉल (C₂H₅OH) ऐसीटिक अम्ल (CH₃COOH) से क्रिया करके एथिल ऐसीटेट (CH₃COOC₂H₅) और जल (H₂O) बनाता है। इस अभिक्रिया को पूर्ण होने में अनेक मिनट लगते हैं। अतः यह एक मंद अभिक्रिया है।

तीव्र – अभिक्रियाएँ (Rapid Reactions ) – तीव्र अभिक्रियाएँ अत्यन्त कम समय में ही पूरी हो जाती हैं। अभिकर्मकों को मिलाने पर इनके पूरे होने का समय 106 सेकण्ड (माइक्रो सेकण्ड ) के कोटिमान का होता है। तीव्र अभिक्रियाएँ मुख्यतः आयनों अथवा आयनिक यौगिकों के बीच होती हैं।

उदाहरण – सिल्वर नाइट्रेट (AgNO₃) के विलयन को जब सोडियम क्लोराइड (NaCl) के विलयन में डालते तो सिल्वर क्लोराइड (AgCl) का तत्काल सफेद अवक्षेप (Precipitate) बनता है। यह एक तात्क्षणिक (Instan- taneous) अभिक्रिया है। अभिक्रिया है, क्योंकि आयनों के बीच होती है।

(ख) रासायनिक अभिक्रियाओं की गति को प्रभावित करने वाले प्रमुख कारक निम्नलिखित हैं- ताप, दाब, अभिकर्मकों की मात्राएँ तथा उत्प्रेरकों की उपस्थिति अथवा अनुपस्थिति। कुछ अभिक्रियाएँ नमी, प्रकाश आदि से भी प्रभावित होती हैं।

प्रश्न 5.
विस्थापन अभिक्रिया को उदाहरण सहित समझाइए।
अथवा
एकल विस्थापन अभिक्रिया एवं द्वि-विस्थापन अभिक्रिया को उदाहरण सहित समझाइये।
उत्तर:
विस्थापन अभिक्रिया – जब रासायनिक अभिक्रिया में एक तत्त्व (या पदार्थ) किसी दूसरे तत्त्व (या पदार्थ) को उसके यौगिक में से हटाकर स्वयं उसका स्थान ले लेता है तो उसे विस्थापन अभिक्रिया कहते हैं। ये दो प्रकार की होती हैं-
(i) एकल विस्थापन अभिक्रिया- किसी यौगिक में उपस्थित एक तत्त्व या (एक परमाणु) को इसके यौगिक के एक तत्त्व या (एक परमाणु) द्वारा हटाकर स्वयं उसका स्थान ले लेना एकल विस्थापन अभिक्रिया कहलाती है।

उदाहरण- कॉपर सल्फेट विलयन में जिंक धातु का टुकड़ा डालने पर जिंक द्वारा कॉपर का विस्थापन करके जिंक सल्फेट बनाता है।

द्वि-विस्थापन अभिक्रिया- ऐसी रासायनिक अभिक्रियाएँ जिसमें दो यौगिकों द्वारा परस्पर आयनों का विनिमय कर नये यौगिकों का निर्माण करते हैं तो इस क्रिया को द्वि-विस्थापन अभिक्रिया कहते हैं।

उदाहरण – जब सोडियम क्लोराइड के जलीय विलयन में सिल्वर नाइट्रेट विलयन मिलाते हैं तो आयनों का विनिमय कर सिल्वर क्लोराइड और सोडियम नाइट्रेट प्राप्त होता है।
Na⁺ Cl^– + Ag⁺ NO^–₃ → AgCl + NaNO₃

प्रश्न 6.
निम्नलिखित रासायनिक अभिक्रियाओं को परिभाषित कीजिए तथा एक-एक उदाहरण भी दीजिए-
(a) संयोजन अभिक्रिया
(b) वियोजन अभिक्रिया
(c) विस्थापन अभिक्रिया
(d) द्विविस्थापन अभिक्रिया
(e) उपचयन एवं अपचयन अभिक्रिया
उत्तर:
(a) संयोजन अभिक्रिया – ऐसी अभिक्रिया जिसमें या दो से अधिक अभिकारक मिलकर एक उत्पाद का निर्माण करते हैं, उसे संयोजन अभिक्रिया कहते हैं।
2Mg + O₂ → 2MgO

(b) वियोजन या अपघटन अभिक्रिया – इसमें एकल पदार्थ वियोजित होकर दो या दो से अधिक पदार्थ बनाते हैं। वियोजन के लिए ऊष्मा, प्रकाश या विद्युत ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(c) विस्थापन अभिक्रिया – ऐसी अभिक्रिया जिसमें अधिक क्रियाशील तत्त्व, कम क्रियाशील तत्त्व को उसके यौगिक से विस्थापित कर दे, विस्थापन अभिक्रिया कहलाती है।

यहाँ लेड (Pb), कॉपर (Cu) की अपेक्षा अधिक क्रियाशील तत्त्व है, जो Cu को CuCl₂ से हटा देता है।

(d) द्विविस्थापन अभिक्रिया – वे अभिक्रियाएँ जिसमें अभिकारकों के बीच आयनों का आदान-प्रदान होता है, उन्हें द्विविस्थापन अभिक्रियाएँ कहते हैं।
Na₂SO₄(aq) + BaCl₂(aq) → BaSO₄(s) + 2NaCl(aq)
यहाँ Ba²⁺+ तथा SO₄^2- आयनों की अभिक्रिया से BaSO₄ अवक्षेप का निर्माण होता है।

(e) उपचयन – अपचयन अभिक्रिया – ऑक्सीजन का योग या हाइड्रोजन का ह्रास ऑक्सीकरण या उपचयन कहलाता है जबकि ऑक्सीजन का ह्रास या हाइड्रोजन का योग अपचयन कहलाता है।

प्रश्न 7.
कारण देते हुए निम्नलिखित अभिक्रियाओं का प्रकार बताइए-
(i) Zn + 2 HCl → ZnCl₂ + H₂
(ii) N₂ + 3H₂ → 2NH₃
(iii) CaO + CO₂ → CaCO₃
(iv) HCl ⇌ H⁺ + Cl^–
(v) AgNO₃ + KCl → KNO₃ + AgCl
(vi) HNO₃ + NaOH → NaNO₃ + H₂O
(vii) 2CO + O₂ → 2CO₂
(viii) C₂H₅Br + NaOH → C₂H₅OH + NaBr

उत्तर:
(i) Zn + 2 HCl → ZnCl₂ + H₂
यह प्रतिस्थापन अभिक्रिया है- क्योंकि HCl अणु से Zn परमाणु H परमाणु को हटाकर उसका स्थान लेता है।

(ii) N₂ + 3H₂ → 2NH₃
योगात्मक अभिक्रिया है- क्योंकि N₂ तथा H₂ के संयोग से NH₃ अणु बनता है।

(iii) CaO + CO₂ → CaCO₃
योगात्मक अभिक्रिया है, जिसमें CaO अणु तथा CO₂ अणु का संयोजन होकर CaCO₃ अणु बनता है।

(iv) HCl ⇌ H⁺ + Cl^–
आयनिक- वियोजन की अभिक्रिया है, जिसमें HCl अणु का H⁺ तथा CH^– आयनों में विघटन तथा इनका पुनः संयोजन होता रहता है।

(v) AgNO₃ + KCl → KNO₃ + AgCl
उभय- अपघटन अभिक्रिया है, क्योंकि AgNO₃ तथा KCI के धनात्मक तथा ऋणात्मक आयनों के विनिमय से नये अण बनते हैं।

(vi) HNO₃ + NaOH → NaNO₃ + H₂O
उदासीनीकरण अभिक्रिया है क्योंकि अम्ल (HNO₃) तथा क्षार (NaOH) की पारस्परिक अभिक्रिया से जल तथा लवण (NaNO₃) बनते हैं।

(vii) 2CO + O₂ → 2CO₂
योगात्मक अभिक्रिया है जिसमें CO तथा O₂ के संयोग से CO₂ बनता है।

(viii) C₂H₅Br + NaOH → C₂H₅OH + NaBr
प्रतिस्थापन अभिक्रिया है जिसमें C₂H₅ Br अणु से Br का प्रतिस्थापन OH द्वारा होता है।

ऊष्मीय अपघटन है, क्योंकि ऊष्मा के प्रभाव से KNO₃ का अपघटन होता है तथा KNO₂ एवं O₂ बनते हैं।

ऊष्मीय वियोजन की अभिक्रिया है- क्योंकि ऊष्मा के प्रभाव से NH₄Cl का अणु NH₃ तथा HCl में विघटित होता है तथा ये परस्पर पुनः संयोजित होकर NH₄Cl बनाते रहते हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न

निर्देश- प्रत्येक प्रश्न में दिये गये वैकल्पिक उत्तरों में से सही विकल्प चुनिए-

1. नौसादर को गर्म करने पर यह अमोनिया और हाइड्रोजन क्लोराइड में टूट जाता है, ठण्डे में दोनों के संयोग से नौसादर बन जाता है। यह अभिक्रिया है-
(a) ऊष्मीय वियोजन
(c) ऊष्मीय अपघटन
(b) विस्थापन
(d) अपघटन
उत्तर:
(a) ऊष्मीय वियोजन

2. तप्त निकिल चूर्ण की उपस्थिति में ऐसिटिलीन तथा हाइड्रोजन की अभिक्रिया कहलाती है-
(a) विस्थापन अभिक्रिया
(b) योगात्मक अभिक्रिया
(c) वियोजन अभिक्रिया
(d) अपघटन अभिक्रिया
उत्तर:
(b) योगात्मक अभिक्रिया

3. क्यूप्रिक सल्फेट के विलयन में जब लोहे का टुकड़ा डाला जाता है तो आयरन, कॉपर हटाकर फेरस सल्फेट बनाता है। यह अभिक्रिया है-
(a) प्रतिस्थापन अभिक्रिया
(b) अपघटन अभिक्रिया
(c) योगात्मक अभिक्रिया
(d) वियोजन अभिक्रिया
उत्तर:
(a) प्रतिस्थापन अभिक्रिया

4. निम्नलिखित में ऊष्माशोषी अभिक्रिया है-
(a) H₂ + Cl₂ → 2HCl + 44.12 किलो कैलोरी
(b) S + O₂ → SO₂ + 71.0 किलो कैलोरी
(c) C + O₂ → CO₂ + 94.45 किलो कैलोरी
(d) H₂ + I₂ → 2Hl – 11.82 किलो कैलोरी
उत्तर:
(d) H₂ + I₂ → 2Hl – 11.82 किलो कैलोरी

5. निम्नलिखित में ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया है-
(a) C + O₂ → CO₂ + 94.45 किलो कैलोरी
(b) H₂ + I₂ → 2HI – 11.82 किलो कैलोरी
(c) N₂₊ + O₂ → 2NO – 43.2 किलो कैलोरी
(d) C + 2S → CS₂ – 15.4 किलो कैलोरी
उत्तर:
(a) C + O₂ → CO₂ + 94.45 किलो कैलोरी

6. NH₄Cl ⇌ NH₄⁺ + Cl^– अभिक्रिया है-
(a) ऊष्मीय अपघटन
(b) आयनिक वियोजन
(c) ऊष्मीय वियोजन
(d) विद्युत् अपघटन
उत्तर:
(c) ऊष्मीय वियोजन

7. निम्नलिखित में योगात्मक अभिक्रिया है-
(a) Zn + H₂SO₄ → ZnSO₄ + H₂
(b) 2KBr + Cl₂ → 2KCl + Br₂
(c) 2H₂ + O₂ → 2H₂O
(d) 2Hgo → 2Hg + O₂
उत्तर:
(c) 2H₂ + O₂ → 2H₂O

8. जिन अभिक्रियाओं में आयनों के विनिमय से नये यौगिक बनते हैं, उन्हें कहते हैं-
(a) प्रतिस्थापन अभिक्रिया
(b) उभय अपघटन
(c) योगात्मक अभिक्रिया
(d) वियोजन
उत्तर:
(b) उभय अपघटन

9. निम्न अभिक्रिया में किस पदार्थ का अपचयन हुआ है?
3MnO₂ + 4Al → 3Mn + 2AlO₃
(a) MnO₂
(b) Al
(c) AlO₃
(d) Mn
उत्तर:
(a) MnO₂

10. निम्न अभिक्रिया एक उदाहरण है-

(a) संयोजन अभिक्रिया
(b) वियोजन अभिक्रिया
(c) विस्थापन अभिक्रिया
(d) द्विविस्थापन अभिक्रिया
उत्तर:
(c) विस्थापन अभिक्रिया

11. अपघटन अभिक्रिया का उदाहरण है-
(a) 2KClO₃ → 2KCl (s) + 3O₂ (g)
(b) Zn + CuSO₄ → ZnSO₄ + Cu
(c) Mg + 2HCH → MgCl₂+ H₂
(d) CaO + H₂O → Ca(OH)₂
उत्तर:
(a) 2KClO₃ → 2KCl (s) + 3O₂ (g)

12. लेड (II) नाइट्रेट के घोल (विलयन) में पोटैशियम आयोडाइड का घोल मिलाने पर किस रंग का अवक्षेप प्राप्त होता है?
(a) पीला
(c) लाल
(b) नीला
(d) भूरा
उत्तर:
(a) पीला

13. जब कॉपर सल्फेट के घोल में लोहे की कील या पत्ती डुबोई जाए तो विलयन (घोल) किस रंग का हो जाता है?
(a) नीला
(b) रंगहीन
(c) नाल
(d) हरा
उत्तर:
(d) हरा

14. लेड मल्फेट का रासायनिक सूत्र है-
(a) Pb₂SO₄
(b) Pb(SO₄)₂
(c) PbSO₄
(d) Pb(SO₄)₃
उत्तर:
(c) PbSO₄

15. निम्नलिखित में से कौन-से ऊष्माशोषी प्रक्रिया हैं?
(i) सल्फ्यूरिक अम्ल का तनुकरण
(ii) शुष्क बर्फ का ऊर्ध्वपातन (सबलिमेशन)
(iii) जनवाप्प का संघनन
(iv) जल का जलवाष्प में बदलना।
(a) (i) और (iii)
(c) केवल (iii)
(b) केवल (ii)
(d) (ii) और (iv)
उत्तर:
(d) (ii) और (iv)

16. दी गई अभिक्रिया, SO₂ (g) + 2H₂S (g) → 2H₂O(g) + 3S(s), में अपचायक (Reducing agent) है-
(a) SO₂
(b) H₂O
(c) H₂S
(d) S
उत्तर:
(c) H₂S

17. मीथेन के दहन (Combustion) से प्राप्त होता है-
(a) CO₂
(b) H₂O
(c) CO₂ और H₂ O दोनों
(d) CO और H₂O दोनों
उत्तर:
(c) CO₂ और H₂ O दोनों

18. सिल्वर ब्रोमाइड (AgBr) का वियोजन किस ऊर्जा के कारण होता है?
(a) ऊष्मा
(b) प्रकाश
(c) विद्युत
(d) पवन
उत्तर:
(b) प्रकाश

19. दीवारों पर सफेदी करने के दो-तीन दिन बाद चमक आती है-
(a) क्योंकि CaO, H₂O से अभिक्रिया कर CO₂ बनाता है।
(b) क्योंकि Ca(OH)₂, CO₂ से अभिक्रिया कर CaCO₃ बनाता है।
(c) क्योंकि Ca(OH)₂, H₂O से अभिक्रिया कर CaCO₃ बनाता है।
(d) क्योंकि C, O₂ से अभिक्रिया कर CO₂ बनाता है।
उत्तर:
(b) क्योंकि Ca(OH)₂, CO₂ से अभिक्रिया कर CaCO₃ बनाता है।

20. निम्नलिखित अभिक्रियाओं में से द्विविस्थापन अभिक्रिया के उदाहरण हैं-
(i) Pb + CuCl₂ → PbCl₂ + Cu
(ii) Na₂SO₄ + BaCl₂ → BaSO₄ + 2NaCl
(iii) C + O₂ → CO₂
(iv) CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O
(a) (i) और (iv)
(b) केवल (ii)
(c) (i) और (ii)
(d) (iii) और (iv)
उत्तर:
(b) केवल (ii)

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. ऐसी अभिक्रिया जिसमें दो या दो से अधिक पदार्थ अभिक्रिया करके एक नया पदार्थ बनाते हैं, उसे …………… कहते हैं।
2. ऐसी अभिक्रिया जिसमें एक पदार्थ विघटित होकर दो या दो से अधिक सरल पदार्थ बनाता है, …………… कहलाता है।
3. जो पदार्थ गलित अवस्था में या विलयन में विद्युत-धारा का वहन करता है, …………… कहलाता है।
4. जिन अभिक्रियाओं में ऊष्मा मुक्त होती है, वे अभिक्रियाएँ …………… कहलाती हैं।
5. ऐसी अभिक्रिया जिसमें किसी यौगिक में उपस्थित एक तत्त्व दूसरे तत्त्व द्वारा विस्थापित होता है, …………… कहलाता है।

उत्तर:

1. संयोजन अभिक्रिया
2. विघटन अभिक्रिया
3. विद्युत अपघट्य
4. उत्क्रमणीय अभिक्रियाएँ
5. विस्थापन अभिक्रिया।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
8, 3, 7, 10, 5, 6, 14, 19, 21, 25 का परिसर है :
(A) 22
(B) 17
(C) 25
(D) 14
हल :
परिसर = आँकड़ो की उच्चतम सीमा – उनकी निम्नतम सीमा = 25 – 3 = 22
सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2.
आँकड़ों के आलेखीय निरूपण में चर प्रदर्शित किए जाते हैं।
(A) X- अक्ष पर
(B) Y-अक्ष पर
(C) क्रमश: दोनों अक्षों पर
(D) मूल बिन्दु पर
हल :
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
किसी वर्ग के अन्तर को कहते हैं :
(A) वर्ग की चौड़ाई
(B) वर्ग की माप
(C) वर्ग-अन्तराल
(D) ये सभी
उत्तर :
सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4.
किसी समस्या के 10 पदों में सबसे अन्तिम पद की संचयी आवृत्ति 60 है। तो N का मान होगा :
(A) 10
(B) 6
(C) 600
(D) 60
हल :
अन्तिम पद की संचयी बारम्बारता = समस्त बारंबारताओं का योग (N) = 60
सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
आँकड़ों में दिए गए 1 – 10, 11 – 20 …….. वर्गों की सतत बनाने के लिए :
(A) निम्न सीमा में से 0.5 घटाएगें
(B) निम्न सीमा में 0.5 जोड़ेंगे
(C) निम्न सीमा में से 0.5 घटाएगें और उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेगे,
(D) सतत बन ही नहीं सकता।
हल :
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
आयत चित्र में आयतों की ऊँचाइयाँ उन वर्गों की :
(A) बारम्बारताओं के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं.
(B) बारम्बारताओं के समानुपाती होती हैं
(C) वर्ग-अन्तराल के समानुपाती होती हैं।
(D) वर्ग-अन्तराल के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं।
हल :
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 7.
असमान वर्ग-अन्तराल की स्थिति में आयत चित्र बनाने के लिए वर्ग की बारम्बारता को पुनः निर्धारित करने का सूत्र है :
पुनः निर्धारित बारम्बारता = ?

हल :
सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 8.
वर्ग – चिह्न ज्ञात करने का सूत्र है :
(A) ऊपरी सीमा – निम्न सीमा / 2
(B) (ऊपरी सीमा ÷ निम्न सीमा) × बारम्बारता
(C) ऊपरी सीमा + निम्न सीमा / 2
(D) (ऊपरी सीमा + निम्न सीमा) ÷ बारम्बारता
हल :
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53, 75, 42, 70 हैं। उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है :
(A) 42
(B) 64
(C) 60
(D) 56.
हल :
समान्तर माध्य = प्राप्तांकों का योग / छात्रों की संख्या = \(\frac{53+75+42+70}{4}=\frac{240}{4}\) = 60
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 10.
यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो x का मान है :
(A) 11
(B) 15
(C) 18
(D) 16
हल :
समान्तर माध्य = आँकड़ों का योग / पदों की संख्या
9 = \(\frac{5+7+9+x}{4}=\frac{21+x}{4}\)
⇒ 9 × 4 = 21 + x
⇒ 36 = 21 + x
∴ x = 36 – 21 = 15
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 11.
बंटन 1, 3, 2, 5, 9 की माध्यिका है :
(A) 3
(B) 4
(C) 2
(D) 20.
हल :
सही विकल्प (A) है।
पदों को आरोही क्रम में रखने पर 1, 2, 3, 5, 9
यहाँ पदों की संख्या (N) = 5 है, जो कि विषम है।
अतः माध्यिका = (\(\frac{N+1}{2}\)) वें पद का मान = (\(\frac{5+1}{2}\)) वें पद का मान = (\(\frac {6}{2}\)) वें पद का मान
= 3 वें पद का मान = 3

प्रश्न 12.
बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है :
(A) 7
(B) 4
(C) 3
(D) 1.
हल :
सही विकल्प (B) है।
ऊपर दी गई सारणी को देखने से स्पष्ट होता है कि 4 की बारम्बारता सबसे अधिक (3 बार) है। अतः इसका बहुलक 4 होगा । अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 13.
माध्य के अन्य नाम हैं :
(A) समान्तर माध्य
(B) औसत
(C) मध्यमान
(D) ये सभी
हल :
सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 14.
प्रथम 7 विषम संख्याओं का माध्यक होगा :
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 5.
हल :
प्रथम 7 विषय संख्याएँ है: 1, 3, 5, 7, 8, 11, 13.
अत : माध्यक = \(\frac{N+1}{2}\) वाँ पद = 7.
सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 15.
प्रथम 11 पूर्ण संख्याओं का माध्य होगा :
(A) 11
(B) 10
(C) 5
(D) 55.
हल :
प्रथम 11 सपूर्ण संख्याएँ हैं 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
अतः \(\bar{x}\) = \(\frac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{11}\) = \(\frac {55}{11}\) = 5
सही विकल्प (C) है।

लघु एवं दीर्घ प्रश्नोत्तर :

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का परिसर ज्ञात कीजिए : 2.7, 27, 2.8, 21, 2.4, 3.2, 3.1, 2.8, 3.2.
हल :
बारम्बारता का अधिकतम मान = 3.2
बारम्बारता का न्यूनतम मान = 2.1
∴ परिसर (परास) = अधिकतम मान – न्यूनतम मान = 3.2 – 2.1 = 1.1

प्रश्न 2.
प्राथमिक आँकड़े क्या हैं?
हल :
सांख्यिकीय अन्वेषक जिन आँकड़ों का स्वयं या अपने कार्यकर्ताओं के द्वारा पहली बार संग्रहीत करता है, उन्हें प्राथमिक आँकड़े कहते हैं।

प्रश्न 3.
गौण आँकड़े अर्थात् द्वितीयक आँकड़े क्या हैं?
हल :
वे आँकड़े जिनका पूर्व में अन्य किसी व्यक्ति या संस्था द्वारा संकलन किया जा चुका हो, जो प्रकाशित या अप्रकाशित हो सकते हैं, ऐसे आँकड़ों को द्वितीयक आँकड़े कहते हैं ।

प्रश्न 4.
एक गाँव में जन्मे 30 बच्चों का भार (किग्रा में) निम्न प्रकार था :
3.4, 3.6, 3.0, 3.8, 3.6, 3.8, 2.9, 3.4, 2.9, 3.4, 3.0, 3.4, 3.2, 3.1, 3.2, 3.2, 3.1, 3.2, 3.4, 3.0, 3.1, 3.2,3.5, 3.7, 3.1, 3.0, 2.9, 3.0, 3.1, 3.2
उपर्युक्त को बारम्बारता बंटन सारणी में निरूपित कीजिए ।
हल :
बारम्बारता सारणी :

प्रश्न 5.
निम्नलिखित असतत बारम्बारता बंटन सारणी को सतत बारम्बारता बंटन सारणी में बदलिए, जिसमें एक कक्षा के 38 विद्यार्थियों के भार दिये गये हैं और यह भी बताइए कि 35.5 किग्रा तथा 40.5 किग्रा के भार वाले विद्यार्थी किस वर्ग-अन्तराल में रखे जायेंग ?

भार (किग्रा में)	विद्यार्थियों की संख्या
31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56 60 61-65 66-70 71-75	9 5 14 3 1 2 2 1 1
योग	38

हल :
वर्ग 31-35 और 36-40 से
वर्ग 36-40 की निम्न सीमा = 36
वर्ग 31-35 की ऊपरी सीमा = 35
न्यूनतम अन्तर (h) = 36 – 35 = 1
अन्तर का आधा (\(\frac {h}{2}\)) = \(\frac {1}{2}\) = 0.5
इस प्रकार प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा से 0.5 घटा कर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर सतत वर्ग-अन्तराल बनाते हैं।

भार (किग्रा में)	विद्यार्थियों की संख्या
30.5-35.5 35.5-40.5 40.5-45.5 45.5-50.5 50.5-55.5 55.5-60.5 60.5-65.5 65.5-70.5 70.5-75.5	9 5 14 3 1 2 21 1
योग	38

अतः 35.5 किग्रा भार को 35.5 – 40.5 वर्ग – अन्तराल में और 40.5 किग्रा भार को 40.5 – 45.5 वर्ग – अन्तराल में रखते हैं।

प्रश्न 6.
एक परिवार ने जिसकी मासिक आय ₹ 20,000 है। विभिन्न मदों के अन्तर्गत हर महीने होने वाले खर्च की योजना बनाई थी :

मद	खर्च
ग्रासरी (परचून का समा) किराया बच्चों की शिक्षा दवाइयाँ ईंधन मनोरंजन विविध	4000 5000 5000 2000 2000 1000 1000

ऊपर दिये गये आँकड़ों का दण्ड आलेख बनाइए ।
हल :
दण्ड आलेख बनाने की विधि :
(i) पहले X- अक्ष और Y – अक्ष खींचते हैं।
(ii) X-अक्ष पर अचर (मद) को निरूपित करते हैं। दो मदों के मध्य समान दूरी रखी जाती है ।
माना पैमानाः 1 सेमी = 1 मद
(iii) Y-अक्ष चर (विभिन्न ) पर खर्च को निरूपित करते हैं। पैमाना : 1 सेमी = ₹ 1,000 ।
(iv) अब दिये गये आँकड़ों के अनुसार तथा दो क्रमागत आयताकार दण्डों के बीच 1 सेमी का खाली स्थान छोड़कर (समान चौड़ाई) आयताकार दण्ड प्रदर्शित करते हैं।

प्रश्न 7.
निम्न बारम्बारता सारणी से आयत चित्र बनाइए :

हल :
यहाँ बारम्बारता बंटन वर्गीकृत एवं सतत है। वर्ग अन्तराल भी समान हैं।
(i) X- अक्ष पर पैमाना : 1 सेमी = 5 इकाई मानकर वर्ग-अन्तराल को निरूपित करते हैं जो आयत की चौड़ाई को व्यक्त करता है।
(ii) Y – अक्ष पर पैमानाः 1 सेमी = 2 इकाई मानकर बारम्बारता को अंकित करते हैं जो आयत की ऊँचाई को निरूपित करता है।

प्रश्न 8.
निम्न बारम्बारता बंटन के लिए बारम्बारता बहुभुज का निर्माण कीजिए :

हल :

X – अक्ष पर पैमाना (1 सेमी = 5 इकाई) लेकर विचर अंकित किये और Y – अक्ष पर पैमाना (1 सेमी = 2 इकाई) लेकर बारम्बारता अंकित कीं ।
अब बिन्दु (5, 2), (10, 6), (15, 4), (20, 1), (25, 5) और (30, 2) अंकित किये। प्रथम विचर से पहले विचर का मान शून्य आता है। अब बिन्दु (5, 2) को बिन्दु (0, 0) से मिलाया । इसी प्रकार अन्तिम विचर से आगे वाला विचर 35 है। अतः अंतिम बिन्दु (30, 2) को बिन्दु (35, 0) से मिलाया ।
इस प्रकार प्राप्त लेखाचित्र दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए बारम्बारता बहुभुज होगा ।

प्रश्न 9.
प्रथम दस विषम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।
हल :
प्रथम दस विषम संख्याएँ क्रमशः 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 हैं।
अतः समान्तर माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{1+3+5+7+9+11+13+15+17+19}{10}\) = \(\frac {100}{10}\) = 10

प्रश्न 10.
एक विद्यालय के सहायक कर्मचारियों का मासिक वेतन (रुपयों में) 1,720, 1,750, 1,760 तथा 1,710 है, तो समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।
हल :
समान्तर माध्य = कर्मचारियों के मासिक वेतन का योग / कर्मचारियों की संख्या
= \(\frac{1,720+1,750+1,760+1,710}{4}\) = \(\frac {6940}{4}\) = ₹ 1735
अतः समान्तर माध्य = ₹ 1735

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :

हल : 

x	f	fx
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6	30 60 20 40 10 50	3 12 6 16 5 30
	Σf = 210	Σfx = 72

अतः समान्तर माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac {Σfx}{Σf}\) = \(\frac {72}{210}\)
= 0.342.

प्रश्न 12.
निम्न आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए : 19, 25, 59, 48, 35, 31, 30, 32, 51.
हल :
दिये गये आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर,
19, 25, 30, 31, 32, 35, 48, 51, 59
यहाँ कुल पद (n) = 9, जो कि विषम पद है।
अतः माध्यिका = (\(\frac{n+1}{2}\)) वाँ पद = (\(\frac{9+1}{2}\))वाँ पद
= (\(\frac {10}{2}\))वाँ पद = 5वाँ पद = 32
अतः माध्यिका 32।

प्रश्न 13.
आरोही क्रम में व्यवस्थित चर मान (x) निम्नानुसार हैं : 8 11 12 16 16 + x 20 25 30 यदि माध्यिका 18 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ कुल चरों की संख्या 8 है जो कि समसंख्या है।

⇒ 32 + x = 36 ⇒ x = 36 – 32 = 4
अतः x का मान = 4.

प्रश्न 14.
एक कक्षा के 20 छात्रों की आयु (वर्षों में) निम्न प्रकार है :
15 16 13 14 14 13 15 14 13 13 14 12 15 14 16 13 14 14 13 15
इन्हें बारम्बारता बंटन सारणी में व्यक्त कर बहुलक ज्ञात कीजिए ।
हल :

सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 7, आयु 14 वर्ष की है।
अतः बहुलक 14 है।

प्रश्न 15.
कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक नीचे दिये हुए हैं, प्राप्तांकों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

हल :
सारणी से स्पष्ट है कि 40 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या सर्वाधिक 26 है
अत: बहुलक 40 है।

प्रश्न 16.
क्रिकेट के एक खिलाड़ी ने 10 पारियों में क्रमश: 60, 62, 56, 64, 0, 57, 33, 27, 9 और 71 रन बनाये । उनके इन पारियों के रनों का औसत ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 17.
यदि 3, 4, 8, 5, x, 3, 2, 1 अंकों का समान्तर माध्य 4 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
समान्तर माध्य (\(\bar{x}\)) = पदों का योग / पदों की संख्या
4 = \(\frac{3+4+8+5+x+3+2+1}{8}\)
⇒ 4 × 8 = 26 + x
⇒ 32 = 26 + x
∴ x = 32 – 26 = 6
अत: x = 6.

प्रश्न 18.
यदि 6, 9, 5, 8, x, 4 अंकों का समान्तर माध्य 7 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
चूँकि समान्तर माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{\Sigma x_i}{N}\)
\(\bar{x}\) = \(\frac{6+9+5+8+x+4}{6}\)
⇒ \(\bar{x}\) = \(\frac{32+x}{6}\) = 7 (∵ \(\bar{x}\) = 7)
⇒ 32 + x = 42
⇒ x = 42 – 32
∴ x = 10

प्रश्न 19.
किसी बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य 18.50 है तथा Σf = 20, तो Σfx का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
हम जानते है कि,
\(\bar{x}\) = \(\frac {Σfx}{Σf}\)
⇒ समान्तर माध्य, 18.50 = \(\frac {Σfx}{20}\)
⇒ Σfx = 18.50 × 20
∴ Σfx = 370

प्रश्न 20.
किसी फुटबाल खिलाड़ी ने कुछ मैचों में 3 गोल प्रति मैच की औसत से 39 गोल किए। खिलाड़ी द्वारा खेले गए मैचों की संख्या बताइए।
हल :
औसत \(\bar{x}\) = 8 तथा कुल गोल Σx = 39.
∴ \(\bar{x}\) = \(\frac {Σfx}{N}\)
⇒ 3 = \(\frac {39}{N}\)
⇒ 3 × N = 39
⇒ N = \(\frac {39}{N}\) = 13

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a सार्वअन्तर d और nवाँ पद a_n है-

हल:
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₈ = 7 + (8 – 1)3
= 7 + 21 = 28
अत: a₈ = 28

(ii) a = – 18, a = 10, a_n = 0
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₀ = -18 + (10 – 1)d
⇒ 0 = -18 + 9d
⇒ 9d = 18
∴ d = \(\frac{18}{9}\) = 2
अत: d = 2

(iii) d = -3, n = 18, a_n = -5
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₈ = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a – 51
∴ a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, a_n = 3.6
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ 3.6 = -18.9 + (n – 1) 2.5
⇒ 3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
⇒ (n – 1)2.5 = 22.5
⇒ n – 1 = \(\frac{22.5}{2.5}\) = 9
∴ n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a_n = 43.5 + (105 – 1)0
a_n = 3.5 + 0 = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वीं पद है-
(A) 97 (B) 77 (C) – 77 (D) – 87
(ii) A.P. : -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48\(\frac{1}{2}\)
हल:
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वाँ पद
यहाँ a = 10, d = 7 – 10 = -3 तथा n = 30
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₃₀ = 10 + (30 – 1) × -3
= 10 + 29 × -3 = 10 – 87 = -77
अतः विकल्प (C) सही है।

(ii) A.P.: -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद
यहाँ a = – 3, d = –\(\frac{1}{2}\) – (-3) = –\(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
a_n = a + (n – 1)d
a₁₁ = -3 + (11 – 1) × \(\frac{5}{2}\)
= – 3 + 10 × \(\frac{5}{2}\)
= -3 + 25 = 22
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल:
(i) पहला पद a = 2 तीसरा पद a₃ = 26,
दूसरा पद a₂ = ?
माना सार्वअन्तर है।
अब a₃ = a + 2d
⇒ 26 = 2 + 2d
⇒ 2d = 26 – 2 = 24
⇒ d = 12
∴ दूसरा पद a₂ = a + d = 2 + 12 = 14
अतः रिक्त बॉक्स का पद a₂ = 14

(ii) पहला पद a = ?, दूसरा पद a₂ = 13, तीसरा पद a₃ = ?, चौथा पद d₄ = 3
माना सार्वअन्तर d है a₂ = a + d
⇒ 13 = a + d …(1)
तथा a₄ = a + 3d
⇒ 3 = a + 3d …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
2d = – 10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) से, 13 = a + d
⇒ 13 = a – 5 ⇒ a = 18
∴ तीसरा पद a₃ = a + 2d
= 18 + 2 × (-5)
⇒ a₃ = 8
अतः रिक्त बॉक्सों के पद क्रमश: 18 व 8 हैं।

(iii) पहला पद a = 5, चौथा पद a₄ = 9\(\frac{1}{2}\), दूसरा पद a₂ = ? तीसरा पद a₃ = ?
माना सार्वअन्तर d है।

अतः रिक्त बाक्सों के पद क्रमशः 6\(\frac{1}{2}\) और 8 हैं।

∵ पहला पद a = -4 और माना सार्वअन्तर d है।
6वाँ पद = a + (6 – 1)d
= a + 5d
∵ a + 5d = 6
⇒ – 4 + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ 5d = 10
∴ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
तब दूसरा पद a₂ = a + d = – 4 + 2 = – 2
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = – 2 + 2 = 0
चौथा पद a₄ = a₃ + d = 0 + 2 = 2
पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 2 + 2 = 4

माना पहला पद a और सार्वअन्तर d है।
दूसरा पद = a + d = 38 …(i)
और छठवाँ पद = a + (6 – 1)d
⇒ a + 5d = -22 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = – 22 – 38
⇒ 5d – d = 60
⇒ 4d = 60
∴ d = \(\frac{-60}{4}\) = -15
∴ समीकरण (i) से,
a + d = 38
⇒ a + (-15) = 38
∴ a = 38 + 15 = 53
तब पहला पद a₁ = 53
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = 38 – 15 = 23
चौथा पद a₄ = a₃ + d = 23 – 15 = 8
पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 8 – 15 = – 7
अतः रिक्त बॉक्सों में क्रमिक प्रविष्टियाँ

प्रश्न 4.
A.P. 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है ?
हल:
दी गई A. P. : 3, 8, 13, 18, ….
यहाँ a = 3
d = 8 – 3 = 5
माना पद 78 है।
∴ a_n = 78
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3+ (n – 1)5
⇒ 78 = 3 + 5n – 5
⇒ 78 = 5n – 2
⇒ 5n = 78 – 2
⇒ 5n = 80
∴ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
अतः 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेठी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, …., 205
(ii) 18, 15, 13, …., -47
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.) : 7, 13, 19, ….., 205
यहाँ a = 7 तथा d = 13 – 7 = 6
माना दी गई A. P. में n पद हैं
nवाँ पद a_n = 205
a_n = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 1 + 6n = 205
⇒ 6n = 205 – 1 = 204
∴ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
अतः दी गई A. P. में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.):
18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, …, – 47
यहाँ पहला पद a = 18
तथा सार्वअन्तर d = 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}\)
= \(-\frac{5}{2}\)
माना दी गई श्रेढी में पद हैं।
n पद a_n = -47
a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1) × \(\left(-\frac{5}{2}\right)\) = -47
\(-\frac{5(n-1)}{2}\) = -47 – 18 = -65
(n – 1) \(\frac{(-65) \times 2}{-5}\) = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2… का एक पद -150 है ? क्यों ?
हल:
दी गई A. P. : 11, 8, 5, 2 …
यहाँ पहला पद a = 11 तथा सार्वअन्तर d = 8 – 11
= -3
माना nवाँ पद (a_n) = -150 है।
⇒ a_n = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × (-3) = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = \(\frac{-161}{-3}\)
= 53.6 (लगभग)
∴ n = 53.6 + 1 = 54.6
⇒ n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P का कोई पद -150 नहीं है।

प्रश्न 7.
उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 11वाँ पद a₁₁ = 38
a + (11 – 1)d = 38
a + 10d = 38 …(i)
और 16वाँ पद a₁₆ = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 383
⇒ a + 15d – a – 10d = 35
⇒ 5d = 35
∴ d = \(\frac{35}{5}\) = 7
समीकरण (i) में d का मान रखने पर,
⇒ a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
∴ a = 38 – 70 = -32
श्रेढी का 31वाँ पद
a₃₁ = a + (31 – 1)d
= – 32 + 30 × 7
= – 32 + 210 = 178
अत: A.P का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है। दिया है कि,
तीसरा पद a₃ = 12
a + (3 – 1)d = 12 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
⇒ a + 2d = 12 ….(1)
और अन्तिम पद = a50 = 106
a + (50 – 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106 …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,

d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
∴ a = 12 – 4 = 8
अब श्रेढी का 29वीं पद
a₂₉ = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अत: A.P का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी A. P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा ?
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है।
दिया है, तीसरा पद a₃ = 4
a + (3 – 1)d = 4 [a_n = a + (n – 1)d से]
⇒ a + 2d = 4 ….(1)
और a₉ = – 8
a + (9 – 1)d = -8
a + 8d = -8 ….(2)
समीकरण (2) मैं से (1) को घटाने पर,

d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 (-2) = 4
या a – 4 = 4
∴ a = 4 + 4 = 8
अब माना कि श्रेढी का व पद शून्य होगा, तब
nवाँ पद a_n = 0
∴ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ – 2 (n – 1) = – 8
⇒ (n – 1) = 4
∴ n = 5
अत: दी गई A. P. का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 17वाँ पद a₁₇ = a + (17 – 1)d
= a + 16d
10वाँ पद a₁₀ = a + (10 – 1)d
= a + 9d
∵17वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
a₁₇ – a₁₀ = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
∴ d = 1
अतः श्रेढी का सार्वअन्तर = 1

प्रश्न 11.
A. P. : 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा ?
हल:
माना अभीष्ट पद व पद है।
दी गई A. P.: 3, 15, 27, 39, …
प्रथम पद a = 3 तथा सार्वअन्तर d = 15 – 3 = 12
तब श्रेढी का 54वाँ पद a₅₄ = a + (54 – 1)d
= 3 + 53 × 12
=3 + 636 = 639
⇒ nवाँ पद = 54वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132 = 771
nवाँ पद a_n = 771
⇒ a + (n – 1)d = 771
⇒ 3 + (n – 1) 12 = 771
⇒ (n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
∴ n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढी का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेडियों का सार्वअन्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा ?
हल:
माना पहली A.P का प्रथम पद तथा सार्वअन्तर d है और दूसरी A. P. का प्रथम पद 4 तथा सार्वअन्तर है क्योंकि सार्वअन्तर समान हैं।
पहली श्रेढी का 100वाँ पद = a + (100 – 1)d
= a + 99d
दूसरी श्री का 100वाँ पद = A + (100 – 1) d
= A + 99d
∴ दोनों श्रेढियों के 100वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d)
= A – a
प्रश्नानुसार, A – a = 100 …(1)
पहली श्रेढी का 1000वाँ पद = a +(1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढी का 1000वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
∴ दोनों श्रेढियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
∴ दोनों श्रेढियों के 1000वें पदों का अन्तर A – a = 100 (समी. 1 से)
अतः 1000वें पदों का अन्तर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
हल:
तीन अंकों की संख्याओं की सूची 100, 101, 102, ….., 999,
3 अंकों की 7 से विभाज्य प्रथम संख्या = 105 और अन्तिम संख्या = 994
तब 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची-
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7),… 994 = 105, 112, 119, …, 994
माना ऐसी कुल संख्याएँ n हैं।
प्रथम संख्या a = 105, सार्वअन्तर d = 7,
∴ nवाँ पद a_n = 994
⇒ a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1) × 7 = 994
⇒ (n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
⇒ (n – 1) = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाव्य तीन अंकों वाली संख्याएँ = 128

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?
हल:
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
∵ 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की श्रेढी निम्न होगी :
12, 16, 20, 24, ….., 248
माना गुणजों की संख्या n है।
पहला पद a = 12, सार्वअन्तर d = 16 – 12 = 4
तब nवाँ पद, a_n = 248
a + (n – 1)d = 248
12 + (n – 1)4 = 248
12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 + 4 – 12= 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेतियों 63, 65, 67,… और 3, 10, 17, … के वें पद बराबर होंगे ?
हल:
पहली समान्तर श्रेढी 63, 65, 67, ….
प्रथम पद a = 63, सार्वअन्तर d = 65 – 63 = 2
∴ श्रेढ़ी का nवाँ पद a_n = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढी = 3, 10, 17, …..
प्रथम पद a’ = 3, सार्वअन्तर d’ = 10 – 3 = -7
इस श्रेढी का nवाँ पद a_n‘ = a’ + (n – 1)d’
= 3 + (n – 1)7
-= 3 + 7n – 7 = 7n – 4
प्रश्नानुसार,
पहली A.P का nवाँ पद = दूसरी A.P का nवाँ पद
⇒ 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 2n – 7n = – 4 – 61
⇒ – 5n = -65
n = \(\frac{-65}{-5}\) = 13
अतः दोनों समान्तर श्रेढियों के 13वें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
दिया है a₃ = 16
a + (3 – 1)d = 16
⇒ a + 2d = 16 …(1)
प्रश्न के अनुसार, a₇ – a₅ = 12
[a + (7 – 1)d] – [a + (5 – 1) d] = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
∴ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d का यह मानं समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2(6) = 16
∴ a = 16 – 12 = 4
A.P. = a, a + d, a + 2d,…
= 4, 4 + 6, 4 + 2 × 6,…
= 4, 10, 16,…
अतः वाँछित A. P. है, 4, 10, 16, 22….

प्रश्न 17.
A. P. : 3, 8, 13, …, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई A. P.: 3, 8, 13, …., 253
प्रथम पद a = 3
सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद a_n = 253
समान्तर श्रेढी का nवाँ पद
an = a + (n – 1)d
253 = 3 + (n – 1) × 5
253 = 3 + 5n – 5
5n = 253 + 2
5n = 255
∴ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
समान्तर श्रेढी के अन्तिम पद से 20वाँ पद
= (पदों की संख्या) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1 = 32वाँ पद
∴ A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = आरम्भ से 32वाँ पद
∵ a_n = a + (n – 1)d
a₃₂ = 3 + (32 – 1) × 5
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158
अत: A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = 158

द्वितीय विधि :
यहाँ प्रथम पद a = 3, सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद a_n = 253
सूत्र: अन्त rवाँ पद = a_n – (r – 1)d
अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1)5
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95 = 158
अत: A. P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद 158 है।

प्रश्न 18.
किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के ‘प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
∵ चौथा पद a₄ + 8वाँ पद a₈ = 24
⇒ [a + (4 – 1)d] + [a + (8 – 1)d] = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 …(1)
∵ 6वाँ पद a₆ + दसवाँ पद a₁₀ = 44
⇒ [a + (6 – 1)d] + [a + (10 – 1)d] = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 … (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ a + 7d – a – 5d = 10
⇒ 2d = 10 ⇒ d = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
∴ a = -13
अब श्रेढी का पहला पद a = -13
दूसरा पद a₂ = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = – 8 + 5= -3
अतः वांछित A.P. के प्रथम तीन पद = -13, – 8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया ?
हल:
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रति मास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5000 + ₹ 200
= ₹ 5200 प्रति मास
तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5200 + ₹ 200
= ₹ 5400 प्रति मास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (रु. में) 5000, 5200, 5400…… एक समान्तर श्रेढी बनाते हैं,
जिसका प्रथम पद a = 5000 तथा सार्वअन्तर d = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब nवाँ पद = 7000
⇒ a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1)200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = \(\frac{2000}{200}\) = 10
∴ n = 10 + 1 = 11
अतः 11 वें वर्ष में अर्थात 2006 में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बणाती गई। यदि वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = ₹ 1.75
यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है
प्रथम पद a = 5, d = 1.75
nवें सप्ताह में उसकी बचत a_n = 20.75
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) × 1.75
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 – 5 + 1.75
⇒ 1.75n = 17.5
n = \(\frac{17.5}{1.75}\) ⇒ n = 0
अतः 10वें सप्ताह में रामकली की बचत ₹ 20.75

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बणती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) यदि टैक्सी का पहले किमी का किराया a₁, दूसरे किमी का किराया a₂ तथा वें किमी का किराया a_n से व्यक्त किया जाए तो
प्रश्नानुसार,
a₁ = 15
a₂ = 15 + 8 = 23
a₃ = 23 + 8 = 31
अब सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
और a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
∵ a₃ – a₂ = a₂ – a₁
अर्थात् सार्वअन्तर समान हैं।
∴ दी गई स्थिति A.P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(ii) माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को x मात्रक से तथा प्रत्येक पम्प के बाद हवा की शेष मात्रा को a₂, a₃, a₄ से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,

और आगे भी इसी प्रकार से….
अब सार्वअन्तर,

यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∵ सार्वअन्तर समान नहीं है।
∴ दी गई स्थिति A.P का रूप नहीं है।

(iii) माना कि एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को a_n से व्यक्त किया जाए तो.
प्रश्न के अनुसार, a₁ = ₹ 150
a₂ = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
a₃ = ₹ (200 + 50) = ₹ 250
और आगे भी इसी प्रकार से…..
अब सार्वअन्तर
a₃ – a₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a₂ – a₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
यहाँ a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = ₹ 50
सार्वअन्तर समान हैं।
अतः दी गई स्थिति A. P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन:
मूलधन P = ₹ 10000
ब्याज की दर R% = 8%


निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि
A₂ – A₁ ≠ A₃ – A₂
अतः मिश्रधन A.P. (समान्तर श्रेढी) में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d = 10,
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3,
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल:
(i) दिया है, प्रथम पद (a) = 10
और सार्व अन्तर (d) = 10
∴ a₁ = प्रथम पद (a) = 10
a₂ = a + d = 10 + 10 = 20
a₃ = a + 2d = 10 + 2 × 10 = 30
a₄ = a + 3d = 10 + 3 × 10 = 40
अत: A.P के प्रथम चार पद 10, 20, 30, 40 हैं।

(ii) दिया हुआ है कि प्रथम पद (a) = 22
और सार्वअन्तर (d) = 0
∴ a₁ = a = -2
a₂ = a + d = 2 + 0 = 2
a₃ = a + 2d = -2 + 2 × 0 = -2
a₄ = a + 3d = 2 + 3 × 0 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -2, -2, -2, -2, हैं ।

(iii) दिया हुआ है, प्रथम पद (a) = 4
और सार्वअन्तर (d) = -3
∴ a₁ = a = 4
a₂ = a + d = 4 + (-3) = 1
a₃ = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = -2
a₄ = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = – 5
अत: A.P. के प्रथम चार पद 4, 1, 2, 5 हैं।

(iv) दिया है कि प्रथम पद a = -1
और सार्वअन्तर d = \(\frac{1}{2}\)
∴ a₁ = a = -1
a₂ = a + d
= \(-1+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}\)
a₃ = a + 2d
= \(-1+2\left(\frac{1}{2}\right)\)
– 1 + 1 = 0
a₄ = a + 3d
= \(-1+3\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\)
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\) हैं।

(v) दिया हैं कि प्रथम पद = a = -1.25
और सार्वअन्तर (d) = -0.25
∴ a₁ = a = – 1.25
a₂ = a + d = – 1.25 – 0.25 = -1.50
a₃ = a + 2d = – 1.25 + 2(-0.25)
= -1.25 – 0.50 = -1.75
a₄ = a + 3d = – 1.25 + 3(-0.25)
= – 1.25 – 0.75 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1.25, -1.50, 1.75, – 2. हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए:
(i) 3, 1, -1, -3,…
(ii) -5, 1, 3, 7,…
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
हल:
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3, …
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 1
a₃ = -1, a₄ = -3
प्रथम पद a = a₁ = 3
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर = -2

(ii) दी गई A. P. = -5, -1, 3, 7, …
यहाँ a₁ = -5
a₂ = -1
a₃ = 3
a₄ = 7
प्रथम पद a₁ = -5
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = – 1 – (-5) = – 1 + 5 = 4
अतः प्रथम पद = -5 तथा सार्वन्तर = 4

(iii) दी गई A.P. = \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
यहाँ a₁ = \(\frac{1}{3}\),
a₂ = \(\frac{5}{3}\),
a₃ = \(\frac{9}{3}\),
a₄ = \(\frac{13}{3}\)
प्रथम पद a = a₁ = \(\frac{1}{3}\)
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = \(\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)\)
= \(\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)
अतः प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\) तथा सार्वअन्तर = \(\frac{4}{3}\)

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
a₁ = 0.6, a₂ = 1.7
a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद a = a₁ = 0.6
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
अत: प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वअन्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं ? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए:
(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,
(iv) -10, -6, -2, 2,…
(v) 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,
(vii) 0, -4, -8, -12,…
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27, …
(x) a, 2a, 3a, 4a, …
(xi) a, a², a³, a⁴, …
(xii) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\),…
(xiii) \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\),…
(xiv) 1², 3², 5², 7², …
(xv) 1², 5², 7², 7³, …
हल:
(i) दिया हुआ अनुक्रम 2, 4, 8, 16, …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
d = a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है,
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(ii) दिया गया अनुक्रम 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = \(\frac{5}{2}\), a₃ = 3, a₄ = \(\frac{7}{2}\)
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)

दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = \(\frac{1}{2}\) हैं।
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. है।
अगले तीन पद

अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 4, \(\frac{9}{2}\) और 5 हैं।

(iii) दिया गया अनुक्रम -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, …
यहाँ a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = – 3.2 – (-1.2) = – 2.0
a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -2.0
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (-2.0) है।
∴ सार्वन्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
-11.2 + (-2) = -13.2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद -9.2, -11.2, -13.2 हैं।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम -10, 6, – 2, 2,…
यहाँ a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = -6 – (-10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 – (-6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (4) है।
∴ सार्वअन्तर d = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. हैं।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 2 + 4 = 6
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 6 + 4 = 10
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 10 + 4 = 14
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 6, 10, 14 हैं।

(v) दिया हुआ अनुक्रम 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 3 + \(\sqrt{2}\), a₃ = 3 + 2\(\sqrt{2}\), a₄ = 3 + 3\(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = (3+ \(\sqrt{2}\)) – 3 = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = (3 + 2\(\sqrt{2}\)) – (3 + \(\sqrt{2}\)) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = (3 + 3\(\sqrt{2}\)) – (3 + 2\(\sqrt{2}\))= \(\sqrt{2}\)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
∴ सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) और दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
3 + 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(3 + 1) = 3 + 4\(\sqrt{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 3 + 4\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(4 + 1) = 3 + 5\(\sqrt{2}\)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 3 + 5\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 3 + 6\(\sqrt{2}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद
3 + 4\(\sqrt{2}\), 3 + 5\(\sqrt{2}\), 3 + 6\(\sqrt{2}\) है।

(vi) दिया हुआ अनुक्रम
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
यहाँ a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222,
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A. P. नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम 0, -4, -8, -12, ….
यहाँ a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर :
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = – 8 – (-4)
= – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (-8)
= – 12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है सार्वअन्तर = -4 है। अतः दिया गया अनुक्रम A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= – 12 + (-4) = -16
पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= – 16 + (-4) = -20
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= -20 + (-4) = -24
अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद -16, -20 और -24 हैं।

(viii) दिया हुआ अनुक्रम \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)

a₄ – a₃ = \(-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
= \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 0
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = 0 है अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2} \)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) है।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम 1, 3, 9, 27,…
यहाँ a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम a, 2a, 3a, 4a…..
यहाँ a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
दो क्रमागत पद का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
∵ दो क्रमागत पर्दों का अन्तर समान (a) है।
अतः सार्वन्तर d = a तथा दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 4a + a = 5a
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 5a + a = 6a
सातवाँ पद a₇ = छटा पद a₇ + सार्वअन्तर d
= 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 5a, 6a, 7a है।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम यहाँ a, a², a³, a⁴, ….
यहाँ a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³‚ a₄ = a⁴
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A. P. नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\)……
यहाँ a₁ = \(\sqrt{2}\), a₂ = \(\sqrt{8}\), a₃ = \(\sqrt{18}\), a₄ = \(\sqrt{32}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = \(\sqrt{8}\) – \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{4}\) – 1)
= \(\sqrt{2}\) (2 – 1) = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = \(\sqrt{18}\) – \(\sqrt{8}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{4}\))
= \(\sqrt{2}\)(3 – 2) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = \(\sqrt{32}\) – \(\sqrt{18}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{19}\) – \(\sqrt{9}\))
= \(\sqrt{2}\)(4 – 3) = \(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
अतः सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) तथा दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब 5वाँ पद a₅ = 4वाँ पद + सार्वअन्तर d.
= \(\sqrt{32}\) + \(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{16}\) + 1) = \(\sqrt{2}\)(4 + 1)
= 5\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{25}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{50}\)
6वाँ पद a₆ = 5वाँ पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{50}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{25}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 6\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{36}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{72}\)
7वाँ पद a₇ = 6वीं पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{72}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{36}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(6 + 1) = 7\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{49}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{98}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{98}\) हैं।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\), …
a₁ = \(\sqrt{3}\), a₂ = \(\sqrt{6}\), a₃ = \(\sqrt{9}\), a₄ = \(\sqrt{12}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d
a₂ – a₁ = \(\sqrt{6}\) – \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{2}\) – 1) = 0.717
a₃ – a₂ = \(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{6}\) = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{2}\)) = 0.530
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम 1², 3², 5², 7², ….
a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(xv) दिया गया अनुक्रम 1², 5², 7², 7³, ….
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 7³
दो क्रमागत पर्दों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 7³ – 7² = 73 – 49 = 24
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है।
अतः सार्वअन्तर d = 24
तथा दिया गया अनुक्रम A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर
= 73 + 24 = 97
छठवाँ पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर
= 97 + 24 = 121
छठवाँ पद a₇ = छठवाँ पद a₆ + सार्वअन्तर
= 121 + 24 = 145
अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 97, 121 और 145 हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक।
(ii) -37, -33, -29, …, 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots 11\) पदों तक।
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी = 2, 7, 12, ….. 10 पदों तक
प्रथम पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d = 7 – 2 = 5
पदों की संख्या n = 10
n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{5}\)[2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5[4 + 9 × 5]
= 5[4 + 45] = 5 × 49 = 245
अतः 10 पदों तक योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी = -37, -33, -29, …, 12 पदों तक
प्रथम पद a = -37
तथा सार्वअन्तर d = – 33 – (-37) = 4
और पदों की संख्या n = 12
∵ n पदों तक योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × (-37) + (12 – 1) × 4)
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30) = -180
अतः 12 पदों तक योग = -180

(iii) दी गई समान्तर श्रेढी = 0.6, 1.7, 2.8, …. 100
पदों तक
प्रथम पद a = 0.6
सार्वअन्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1
और पदों की संख्या n = 100
n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\)[2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
अतः 100 पदों तक योग = 5505

(iv) दी गई समान्तर श्रेढी = \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11\) पदों तक

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
(ii) 34 + 32 + 30 +…+ 10
(iii) -5 + (8) + (11) +…+ (-230)
हल:
(1) दिया गया है,
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद a = 7
सार्वअन्तर d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7
= \(\frac{21}{2}-7=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
दिया है, nवाँ पद a_n = 84
a + (n – 1)d = 84

∴ अनुक्रम में 23 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l) से
∴ 23 पदों का योगफल
⇒ S₂₃ = \(\frac{23}{2}\)(7 + 84)
= \(\frac{23}{2}\) × 91 = \(\frac{2093}{2}\)
= 1046\(\frac{1}{2}\)
अतः 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84 = 1046\(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया है: 34 + 32 + 30 + … + 10
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद = 34
और सार्वअन्तर d = 32 – 34 = -2
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
nवाँ पद a_n = 10
⇒ a + (n – 1)d = 10
⇒ 34 + (n – 1) × (-2) = 10
⇒ (n – 1) × (-2) = 10 – 34 = -24
⇒ (n – 1) = \(\frac{-24}{-2}\) = 12
⇒ n = 13
∴ अनुक्रम में कुल 13 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
13 पदों का योग S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) = (34 + 10)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
अत: 34 + 32 + 30 + … + 10 = 286

(iii) दिया गया है:
– 5 + (-8) + (-11) + … + (-230) स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = -5
तथा सार्वअन्तर d = (-8) – (-5)
= – 8 + 5 = -3
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
अनुक्रम का nवाँ पद a_n = -230
⇒ a + (n – 1)d = -230
⇒ -5 + (n – 1) × – 3 = -230
⇒ 5 + (n – 1)3 = 230
⇒ (n – 1)3 = 230 – 5 = 225
(n – 1) = \(\frac{225}{3}\) =75
∴ n = 75 + 1 = 76
तब n पदों तक योगफल
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 76 पदों तक योगफल
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)]
= \(\frac{76}{2}\) × (-235)
= 38 × (-235) = -8930
अत: -5 + (-8) + (-11) + … + (-230)
= -8930

प्रश्न 3.
एक A. P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S_n = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया है,
a = 5, d = 3 और अन्तिम पद (a_n) = 50
∵ अनुक्रम A. P. है और a_n = 50
⇒ a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1)3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50 ⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
∴ n = \(\frac{48}{3}\) = 16
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{16}{2}\)(5 + 50) = 8 × 55 = 440
अत: n = 16 तथा S_n = 440

(ii) दिया है: a = 7, a₁₃ = 35
a + (n – 1)d = 35
⇒ 7 + (13 – 1)d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से
अब S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35]
⇒ S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
अतः d = \(\frac{7}{3}\) तथा S₁₃ = 273

(iii) दिया है: a₁₂ = 37, d = 3
∵ a₁₂ = 37
a + (n – 1)d = 37
⇒ a + (12 – 1)3 = 37
⇒ a = 37 – 33 = 4
अब S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]से]
S₁₂ = 6 × 41 = 246
अतः a = 4 तथा S₁₂ = 246

(iv) दिया है: a₃ = 15, S₁₀ = 125
∵ a₃ = 15
⇒ a + (3 – 1)d = 15
⇒ a + 2d = 15 ….(1)
∵ दिया है S₁₀ = 125
\(\frac{10}{2}\)[2a + (10 – 1)d] = 125
⇒ 5[2a + 9d] = 125
⇒ 2a + 9d = \(\frac{125}{5}\)
⇒ 2a + 9d = 25 …(2)
समीकरण (1) से, a = 15 – 2d ….(3)
a का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(15 – 2d) + 9d = 25
⇒ 30 – 4d + 9d = 25
⇒ 5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
d का मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 15 – 2(-1)
⇒ a = 15 + 2 = 17
अब a₁₀ = 17 + (10 – 1) (-1)
[∵ a_n = a + (n – 1)d]
= 17 – 9 = 8
अत: d = -1 और a₁₀ = 8

(v) दिया है: d = 5 और S₉ = 75
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∵ S₉ = \(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1)5]
⇒ 75 = \(\frac{9}{2}\)[2a + 8 × 5] [∵ S₉ = 75]
⇒ \(\frac{75 \times 2}{9}\) = 2a + 40

(vi) दिया है: a = 2, d = 8 और S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
90 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1)8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[4 + 8n – 8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[8n – 4]
90 = \(\frac{n}{2}\) × 4(2n – 1)
90 = 2n(2n – 1)
\(\frac{90}{2}\) = n(2n – 1)
45 = 2n² – n
2n² – n – 45 = 0
2n² – (10 – 9) – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0
2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
n = 5 या –\(\frac{9}{2}\)
∵ n का मान सदैव धन पूर्णांक होता है।
∴ n = 5
तब a₅ = a + (5 – 1)d
= 2 + 4 × 8
= 2 + 32 = 34
अतः n = 5 तथा a_n = 34

(vii) दिया है: a = 8, a_n = 62
और S_n = 210
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + a_n)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\)(8 + 62)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\) × 70
⇒ \(\frac{210 \times 2}{70}\) = 6
∵ a_n = 62
⇒ a + (n – 1)d = 62
⇒ 8 + (6 – 1)d = 62
⇒ 8 + 5d = 62
⇒ 5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{2}\)
अत: n = 6 तथा d = \(\frac{54}{2}\)

(viii) दिया है: a_n = -4, d = 2 और S_n = -14
∵ a_n = 4
a + (n – 1)d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a + 2n = 6 …..(1)
∵ S_n = -14
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)2] = -14
n[a + n – 1] = – 14 ….(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n समीकरण (2) में a के
स्थान पर (6 – 2n) रखने पर,
n[6 – 2n + n – 1] = -14
∴ n[5 – n] = – 14
⇒ 5n – n² = -14
⇒ n² – 5n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = – 2
n का मान सदैव धनपूर्णांक होता है। इसलिए n = 7
तब a = 6 – 2n
= 6 – (2 × 7)
= 6 – 14 = -8
अतः a = -8 तथा n = 7

(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
परन्तु S_n = 192
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 192
⇒ \(\frac{8}{2}\)[2 × 3 + (8 – 1)d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
∴ d = \(\frac{168}{28}\) = 6
अतः d = 6

(x) दिया है: l = 28, S_n = 144 और कुल पदं n = 9
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
144 = \(\frac{9}{2}\)[a + 28]
288 = 9[a + 28]
288 = 9a + 252
9a = 288 – 252
9a = 36
∴ a = 4
अतः a = 4

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A. P. : 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए ?
हल:
दी गई A. P.: 9, 17, 25, …
प्रथम पद a = 9 सार्वअन्तर d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है।
S_n = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[18 + 8n – 8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n² + 5n = 636
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53 ) -12(4n + 53 ) = 0
⇒ (4n + 53 ) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या –\(\frac{53}{4}\)
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः n = –\(\frac{53}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ n = 12
अतः दी गई A.P के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A. P का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, प्रथम पद a = 5,
अन्तिम पद l = a_n = 45
और S_n = 400
∵ a_n = 45
a + (n – 1)d = 45
⇒ 5 + (n – 1)d = 45
⇒ (n – 1)d = 45 – 5
⇒ (n – 1)d = 40 ….(1)
और S_n = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + l] = 400
⇒ \(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
∴ n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(16 – 1)d = 40
⇒ 15d = 40
∴ d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अत: n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A. P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल:
दिया है,
प्रथम पद a = 17
अन्तिम पद l = a_n = 350
और सार्वअन्तर d = 9
∵ a_n = 350
a + (n – 1)d = 350
⇒ 17 + (n – 1)9 = 350
⇒ 9(n – 1) = 350 – 17 = 333
⇒ n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{38}{2}\)(17 + 350)
= 19 × 367 = 6973
अतः n = 38 और पदों का योग (S_n) = 6973

प्रश्न 7.
उस A. P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
d = 7, n = 22
∵ 22वाँ पद a₂₂ = 149
⇒ a + (22 – 1)d = 149
⇒ a + 21 × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
∴ a = 149 – 147 = 2
तब प्रथम 22 पदों का योग
S₂₂ = \(\frac{n}{2}\)(a + l) = \(\frac{22}{2}\)(2 + 149)
= 11 × 151 = 1661
अतः दी गई A.P के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

प्रश्न 8.
उस A. P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
A.P का दूसरा पद a₂ = 14
तथा तीसरा पद a₃ = 18
∴ सार्वअन्तर d = a₃ – a₂ = 18 – 14 = 4
∵ दूसरा पद = 14
∴ a + d = 14
⇒ a + 4 = 14
⇒ a = 14 – 4
⇒ a = 10
∵ a = 10, d = 4
तब n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1)4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 +200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
अतः दी गई A.P के प्रथम 51 पदों का योग = 5610

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।.
∵ प्रथम 7 पदों का योग
S₇ = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d] = 49
[∵ सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] से]
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d ) = 49
⇒ a + 3d = \(\frac{49}{7}\)
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d …(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2a + 16d] = \(\frac{289}{17}\)
⇒ a + 8d = 17
a का मान समीकरण (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × [2n] = n × n = n²
अतः दी गई A.P. के प्रथम n पदों का योग n² है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए किa₁, a₂, …, a_n, … से एक A. P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) a_n = 3 + 4n,
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है, a_n = 3 + 4n …(1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 3 + 4 (1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 15, …
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 4
अतः अनुक्रम 7, 11, 15, …. है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70 = 15 × 35 = 525
∴ S₁₅ = 525

(ii) दिया है कि a_n = 9 – 5n …. (1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 9 – 5(1) = 4
a₂ = 9 – 5(2) = -1
a₃ = 9 – 5(3) = -6
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = -5
और a₃ – a₂ = – 6 + 1 = -5
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -5
अतः अनुक्रम 4, -1, -6 … है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 4, d = – 5 और n = 15
तब प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात करना है।
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2 × 4 + (15 – 1) × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 + 14 × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70]
\(\frac{15}{2}\) × (-62) = 15 × (-31) = -465
अत: S₁₅ = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार, तीसरे 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A.P के प्रथम n पदों का योगफल
S_n = 4n – n²
n = 1 रखने पर,
S₁ = 4 × 1 – 1²= 3
∴ प्रथम पद a₁ = S₁ = 3
n = 2 रखने पर,
S₂ = 4 × 2 – 2² = 8 – 4 = 4
द्वितीय पद a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
n = 3 रखने पर,
S₃ = 4 × 3 – 3² = 12 – 9 = 3
∴ तीसरा पद a₃ = S₃ – S₂
[∵ a_n = S_n – S_n-1]
= 3 – 4 = -1
n = 9 रखने पर,
S₉ = 4 × 9 – 9² = 36 – 81 = -45
∴ 10 रखने पर
S₁₀ = 4 × 10 – 10²
= 40 – 100 = -60
n = 10वीं पद a₁₀ = S₁₀ – S₉
= -60 – (-45)
= -60 + 45 = -15
∵ S_n = 4n – n²
और S_n-1 = 4 (n – 1) – (n – 1)²
= (n – 1) {4 – n + 1}
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n² – 5 + n
= 6n – n² – 5
अब a_n = S_n – S_n-1
= (4n – n²) – (6 – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
= 5 – 2n
अतः S₁ =3
प्रथम दो पदों का योग S₂ = 4
दूसरा पद a₂ = 1
तीसरा पद a₃ = -1
10वीं पद a₁₀ = -15
तथा n वाँ पद a_n = 5 – 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांकों की सूची :
6, 12, 18, 24, 30, …. 40 पदों तक
प्रथम पद a = 6 तथा सार्वअन्तर d = 12 – 6 = 6, n = 40
∵ प्रथम n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ प्रथम 40 पदों का योगफल
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\)[2 × 6 + (40 – 1)6]
= 20[12 + 39 × 6]
= 20[12 + 234]
= 20 × 246 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के प्रथम 15 गुणजों की सूची :
8, 16, 24, 32… 15 पदों तक
∴ S = 8 + 16 + 24 + 32 + … + 120
= 8[1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15]
= 8 [\(\frac{15}{2}\)(1 + 15)] [सूत्र: S_n = [\(\frac{n}{2}\)(a + l)से]
= 8[\(\frac{15}{2}\) × 16]
= 8 × 120 = 960
अतः 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं की सूची:
1, 3, 5, 7, …., 49
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
∵ a_n = 49
∴ a(n – 1)d = 49
⇒ 1 + (n – 1)2 = 49
⇒ (n – 1)2 = 48
⇒ (n – 1) = 24
∴ n = 25
A.P. 1, 3, 5, 7, …. का 25 पदों तक योगफल
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)[2 × 1 + (25 – 1) × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 24 × 2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300, इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
दिया है, पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है- ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अन्तर से बढ़ता जाता है :
∴ ₹ 200 ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350… यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुमनि की राशि = S30
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₃₀ = \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 – 1)50]
= 15[400 + 1450] = 15(1850) = 27750
अतः यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहला पुरस्कार ₹ a है।
∴ दूसरा पुरस्कार a₂ = ₹ (a – 20)
तीसरा पुरस्कार a₃ = ₹ a – 20 – 20
= ₹ (a – 40)
∴ समान्तर श्रेढी a, (a – 20) (a – 40), … है।
यहाँ प्रथम पद = a, सार्वअन्तर d = (a – 20) – a = – 20
पदों की संख्या n = 7 तथा 7 पदों का योगफल S₇ = 700
तब, S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) (-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a + 6(-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a – 120]
700 = \(\frac{7}{2}\)2(a – 60)
\(\frac{700}{7}\) = a – 60
a = 100 + 60
a = 160
पहला पुरस्कार = ₹ 160 शेष पुरस्कार क्रम से ₹20-20 कम हैं।
अतः पुरस्कार ₹ 160, ₹ 140 ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल:
प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 =3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 4 = 12
……………………………………………….
……………………………………………….
तब 3, 6, 9, 12, ……….. एक समान्तर श्रेढी बनती है।
यहाँ a = 3, सार्वअन्तर d = 6 – 3 = 3
तब कक्षा XII तक के कुल विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों का योगफल = S₁₂
∵ S_n= \(\frac{n}{2}\)[2a – (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6[6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या 234 होगी,

प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm… वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है ? (लीजिए π = \(\frac{22}{7}\))
हल:

पहले अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁ = 0.5 सेमी
दूसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₂ = 1.0 सेमी
तीसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₃ = 1.5 सेमी
चौथे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₄ = 2.0 सेमी
………………………………………
………………………………………
13 वें अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁₃ = ?
प्रथम पद (r₁) = r = 0.5 सेमी
सार्वअन्तर d = 1.0 – 0.5
= 0.5 सेमी
पदों की संख्या n = 13
∴ r₁₃ = r + (n – 1)d
= 0.5 + (13 – 1) × 0.5
⇒ r₁₃ = 0.5 + 12 × 0.5
= 0.5 + 6.0 = 6.5
∴ r₁₃ = 6.5 सेमी
इन अर्धवृत्तों की वृत्तीय परिधियाँ:
πr₁, πr₂, πr₃, …… πr₁₃
∴ 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की लम्बाई
= πr₁ + πr₂ + πr₃ + πr₄ +…. + πr₁₃
= π[r₁ + r₂ + r₃ + r₄ +…+ r₁₃]
= π[0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 +…+ 6.5]
= π[\(\frac{13}{2}\)(0.5 + 6.5)] [सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से]
= π[\(\frac{13}{2}\) × 7.0] = \(\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7\) [π = \(\frac{22}{7}\)]
= 143
अतः सर्पिल की लम्बाई = 143 सेमी

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को णेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?

हल:
यहाँ S_n = 200, a₁ = 20, a₂ = 19, a₃ = 18
d = 19 – 20 = 18 – 19 = -1
माना पंक्तियों की संख्या = n
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) × d]
200 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 20 + (n – 1) × – 1]
⇒ 400 = n (40 – n + 1)
⇒ 400 = n(41 – n)
⇒ 400 = 41n – n²
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25)(n – 16) = 0
∴ n = 25 या n = 16
अतः पंक्तियों की संख्या 25 या 16 होगी।
Q₂₅ = a + (n – 1)d
= 20 + (24) × (-1) = -4, जो कि सम्भव नहीं है।
Q₁₆ = a + (n – 1)d
= 20 + 15 × (-1) = 20 – 15 = 5
अतः 16 पंक्तियाँ है तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे रखे गये हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल:
पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 मीटर
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3) = 8 मीटर
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 मीटर
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 मीटर
∵ एक बार बाल्टी से चलकर आलू को उठाना पड़ता है और उसे फिर बाल्टी में वापस डालना पड़ता है।
∴ पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 5 = 10 मीटर
उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 मीटर
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 8 = 16 मीटर
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 11 = 22 मीटर
चौथा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 14 = 28 मीटर
और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A. P. बन जाती है।
10 मी., 16 मी., 22 मी., 28 मी., …… 10 पदों तक
∴ a = 10
d = 16 – 10 = 6
n = 10
प्रतियोगी को कुल दूरी दौड़नी पड़ेगी = S₁₀
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5[20 + 9 × 6] = 5[20 + 54]
= 5 × 74 = 370 मीटर
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी = 370 मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
x² – \(\frac{7}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) = 0
[प्रत्येक पद में x² के गुणांक से भाग देने पर]
\(\left[x^2-\frac{7}{2} x\right]+\frac{3}{2}=0\)
[वह भाग जिसे पूर्ण वर्ग बनाना है, अलग करने पर]
\(x^2-\frac{7}{2} x=-\frac{3}{2}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर :

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

अत: अभीष्ट मूल 3 और \(\frac{1}{2}\) होंगे।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 4 = 0
2x² + x = 4
x² + \(\frac{1}{2}\)x = \(\frac{4}{2}\)
x के गुणांक \(\frac{1}{2}\) के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
⇒ 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x = -3
⇒ x² + \(\frac{4 \sqrt{3}}{4} x\) = \(-\frac{3}{4}\)
x² + \(\sqrt{3}\)x = \(-\frac{3}{4}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अतः दी गई समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
x² + \(\frac{1}{2}\)x + 2 = 0
[प्रत्येक पद को 2 से भाग देने पर]

जो कि एक काल्पनिक संख्या है,
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।

प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 7 तथा c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः समीकरण के मूल 3, \(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है।
2x² + x – 4 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = – 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) होंगे।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = 4\(\sqrt{3}\), c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

\(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{8}\)
x = \(\frac{-4 \sqrt{3}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) है।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1, c = 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

∵ \(\sqrt{-31}\) एक काल्पनिक संख्या है।
अतः दिए गये समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) \(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
\(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
⇒ \(\frac{x^2-1}{x}\) = 3
⇒ x² – 1 = 3x [वज्रगुणन से]
⇒ x² – 3x – 1 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -3 तथा c = -1
द्विघात सूत्र से,

(ii) दिया गया समीकरण है:

[दोनों पक्षों को 11 से भाग देने पर]
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2)
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
या तो x – 2 = 0 या फिर x – 1 = 0
जब x – 2 = 0 तो x = 2
जब x – 1 = 0 तो x = 1
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और 2 है ।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac{1}{3}\) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0, जो कि x में द्विघात है।
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 21
द्विघात सूत्र से

∵ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -3 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग 30 है।
तब अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x) अंक
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2) अंक मिलते और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3) या (27 – x) अंक मिलते तो अंकों का गुणनफल = (x + 2) (27 – x)
= 27x – x² + 54 – 2x
= 25x – x² + 54
परन्तु प्रश्नानुसार, अंकों का गुणनफल = 210
∴ 210 = 25x – x² + 54
⇒ x² – 25x – 54 + 210 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -25 तथा c = 156
द्विघात सूत्र से,

तब शेफाली ने गणित में या तो 13 अंक प्राप्त किए या फिर 12 अंक प्राप्त किए।
यदि उसने गणित में 12 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 12) = 18 अंक प्राप्त किए और यदि उसने गणित में 13 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 13) = 17 प्राप्त किए।
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकणं उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार खेत की छोटी भुजा = AD = x मीटर

आयताकार खेत की लम्बी भुजा = AB = (x + 30) मीटर
और आयताकार खेत का विकर्ण = DB = (x + 60) मीटर
एक आयत में लम्बाई और चौड़ाई के बीच का कोण समकोण होता है।
∴ ∠DAB = 90°
समकोण त्रिभुज DAB में, पाइथागोरथ प्रमेय से,
(DB)² = (AD)² + (AB)²
(x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
⇒ x² + 3600 + 120x = x² + x² + 900 + 60x
⇒ x² + 3600 + 120x – x² – x² – 900 – 60x = 0
⇒ -x² + 60x + 2700 = 0
या, x² – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = -60, c = -2700
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\)
⇒ x = 90
स्थिति (II) ऋणात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\)
⇒ x = -30
∴ x = 90 और -30
∵ किसी भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -30 को छोड़ देते हैं।
अत: x = 90 मीटर
आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा = (90 + 30) मीटर = 120 मीटर।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या = x
छोटी संख्या = y
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
x² – y² = 180 …..(i)
प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
y² = 8x …..(ii)
समीकरण (ii) से y² का मान समीकरण (i) में रखने पर
x² – 8x = 180
= x² – 8x – 180 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 8, c = -180
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) = 18
स्थिति (II)-ऋणात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = -10
अतः x = 18 और -10
जब x = 18 हो, तो समीकरण (ii) से,
y² = 8 × 18 = 144
⇒ y = ±\(\sqrt{144}\)
⇒ y = ± 12
जब x = -10 हो, तो समीकरण (ii) से,
y2 = 8 × (-10)
⇒ y2 = -80
⇒ y = ±\(\sqrt{-80}\) (एक काल्पनिक संख्या)
इसे छोड़ देते हैं।
∴ y = +12
अर्थात् y = +12 और -12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 18 और 12 या 18, -12 होंगी।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/ घण्टा है।
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय

यदि रेलगाड़ी की चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती अर्थात् चाल = (x + 5) किमी/घण्टा
∴ समय = \(\frac{360}{x+5}\) घण्टा
यह समय पहले समय से 1 घण्टा कम है (दिया है)

इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 5 तथा c = – 1800
तब द्विघात सूत्र से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी / घण्टा।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac{3}{8}\) घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग-अलग हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = x घण्टे
कम व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = (x + 10) घण्टे
बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x}\) भाग
छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x+10}\) भाग
प्रश्नानुसार यदि दोनों नल एक साथ खुले हों तो 1 घण्टे में हौज भरेगा = \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}\right)\) भाग
दिया है, दोनों नल एक साथ हौज को भरने में 9\(\frac{3}{8}\) अर्थात् \(\frac{75}{8}\) घण्टे लेते हैं।

⇒ 150x + 750 = 8x² + 80x
⇒ 8x² + 80x – 150x – 750 = 0
⇒ 8x² – 70x – 750 = 0
⇒ 2(4x² – 35x – 375) = 0
⇒ 4x² – 35x – 375 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = – 35, c = -375
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (II)-ऋण चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{35-85}{8}\)
= \(\frac{-50}{8}=\frac{-25}{4}\) घण्टे
∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
∴ x = \(\frac{-25}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 15 घण्टे
अतः बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = 15 घण्टे
और छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = (15 + 10) घण्टे
= 25 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बंगलौर के बीच की 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारीगाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारीगाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/ घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी / घण्टा है।
∵ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की औसत चाल की अपेक्षा 11 किमी/ घण्टा अधिक है।
∴ एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 11) किमी / घण्टा
तब 132 किमी यात्रा में सवारीगाड़ी द्वारा लिया गया

⇒ x² + 11x = 1452
⇒ x² + 11x – 1452 = 0
इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = 11, c = -1452
श्रीधराचार्य से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -44 अस्वीकार्य है।
अतः सवारीगाड़ी की औसत चाल = 33 किमी / घण्टा है।
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल (33 + 11) = 44 किमी / घण्टा है।

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना एक वर्ग की भुजा x मीटर है।
उस वर्ग का परिमाप = 4x मीटर
∵ दोनों परिमापों का अन्तर 24 मीटर है।
∴ दूसरे वर्ग का परिमाप = 4x + 24 मीटर
तब दूसरे वर्ग की भुजा = \(\frac{4 x+24}{4}\)
= \(\frac{4(x+6)}{4}\)
= (x + 6) मीटर
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² वर्ग मीटर
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (x + 6)² वर्ग मीटर
= x² + 12x + 36 वर्ग मीटर
∵ दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 वर्ग मीटर
∴ x² + (x² + 12x + 36) = 468
⇒ 2x² + 12x + 36 – 468 = 0
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ 2(x² + 6x – 216) = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18 ) (x – 12) = 0
जब x + 18 = 0 हो, तो x = -18
या फिर x – 12 = 0 हो, तो x = 12
वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -18 को छोड़ने पर
∴ x = 12
छोटे वर्ग की भुजा = 12 मीटर
तथा बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 मीटर
अतः वर्गों की भुजाएँ क्रमश: 12 मीटर व 18 मीटर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल :
उपर्युक्त सारणी में पौधों की संख्या और घरों की संख्या के मान अत्यधिक कम होने के कारण प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करेंगे :

∴ माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
= \(\frac {162}{20}\) = 8.1
अतः प्रति घर में पौधों की माध्य संख्या = 8.1 पौधे ।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

∴ माध्य (\(\bar{x}\)) = \(\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
= \(\frac {27260}{50}\)
= ₹ 545.20
अतः श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी = ₹ 545.20

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च को दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए :

हल :


अतः लुप्त बारम्बारता f = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल :

∴ माध्य (\(\bar{x}\)) = A + \(\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
= 75.5 + \(\frac {12}{30}\) = 75.5 + 0.4 = 75.9
अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थी । पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल :
माना कल्पित माध्य (A) = 57, वर्ग माप (h) = 3
पद – विचलन विधि द्वारा :

माध्य (\(\bar{x}\)) = A + \(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\) × h
⇒ \(\bar{x}\) = 57 + \(\frac {25}{400}\) × 3 = 57 + (0.0625) × 3
= 57 + 0.1875 = 57.1875 = 57.19 (लगभग)
अतः पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या = 57.19 है। हमने पद विचलन विधि का प्रयोग किया है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना कल्पित माध्य (A) = 225, वर्ग माप (h) = 50
पद- विचलन विधि से :

माध्य (\(\bar{x}\)) = A + \(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\) × h
= 225 + \(\frac {-7}{25}\) × 50
= 225 + (-14) = 211
अतः प्रति परिवार भोजन पर होने वाला दैनिक व्यय का माध्य = ₹ 211

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाइ आक्साइड (SO₂) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए ।
हल :

अतः वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य = 0.099 भाग प्रति मिलियन

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल :

अतः एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य= 12.48 दिन है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

हल :
माना कल्पित माध्य (A) = 70
वर्ग माप (h) = 10
पद – विचलन विधि से :

माध्य (\(\bar{x}\)) = A + \(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\) × h
\(\bar{x}\) = 70 + \(\frac {-2}{35}\) × 10 = 70 + \(\frac {-20}{35}\)
= 70 + (-0.57) = 70 – 0.57 = 69.43
अतः माध्य साक्षरता दर = 69.43% है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 15 प्रायिकता Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 15 प्रायिकता

प्रश्न 1.
एक पाँसे को फेंकने पर 2 का अंक आने की प्रायिकता होगी:
(A) \(\frac {1}{6}\)
(B) \(\frac {2}{3}\)
(C) \(\frac {5}{6}\)
(D) \(\frac {1}{3}\)
हल :
पाँसे में 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक होते हैं।
कुल सम्भव परिणाम = 6
अंक 2 केवल 1 बार है।
∴ 2 अंक आने की अनुकूल परिणाम = 1
2 का अंक आने की प्रायिकता P(E) = \(\frac {1}{6}\)
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 2.
दो पाँसों को फेंकने पर अंकों का योग 5 आने की प्रायिकता होगी:
(A) \(\frac {1}{7}\)
(B) \(\frac {1}{6}\)
(C) \(\frac {1}{9}\)
(D) \(\frac {2}{9}\)
हल :
पाँसे में 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक होते हैं।
योग 5 आने के लिए अनुकूल परिणाम (1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2) = 4
दो पाँसे एकसाथ फेंकने पर सम्भावित परिणाम = 6 × 6 = 36
अतः योग 5 आने की प्रायिकता P(E) = \(\frac {4}{36}\)
= \(\frac {1}{9}\)
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 3.
ताश की एक गड्डी में से एक लाल पत्ता खींचने की प्रायिकता होगी :
(A) \(\frac {1}{52}\)
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {1}{26}\)
(D) \(\frac {25}{26}\)
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = 52
अनुकूल परिणाम = लाल रंग के पत्तों की संख्या = 26
अत: P(एक लाल रंग का पत्ता खींचने) की प्रायिकता = \(\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 4.
बारह टिकटों पर एक-एक संख्या 1 से 12 तक लिखी गई है। उनमें से एक टिकट का यादृच्छिक चयन किया जाए, तो इस पर लिखी गई संख्या के 3 के गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात करो :
(A) \(\frac {2}{3}\)
(B) \(\frac {1}{12}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac {1}{3}\)
हल :
1 से 12 तक की संख्याओं में 3 के गुणज वाली संख्याएँ 3, 6, 9, 12 हैं।
∴ संख्या 3 के गुणज की अनुकूल परिणाम = 4
कुल सम्भावित परिणाम = 12
अतः संख्या 3 के गुणज होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 5.
एक सिक्के को 1000 बार उछालने पर निम्न- लिखित बारम्बारताएँ प्राप्त होती हैं चित : 455 ; पट : 545 प्रत्येक घटना की प्रायिकता अभिकलित कीजिए ।
हल :
अभिप्रयोगों की कुल संख्या = 1000
चित आने की संख्या = 455

प्रश्न 6.
एक पाँसे के फेंकने पर सम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
हल :
एक पाँसे को फेंकने पर 6 अंक
(1, 2, 3, 4, 5, 6) आ सकते हैं।
सम अंकों की संख्या = 3 है।
∴ घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ = 3
सम अंक आने की प्रायिकता,
P(E) = अनुकूल स्थितियाँ / कुल संख्या
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 7.
एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात करो ।
हल :
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = 52
तथा ताश की गड्डी में इक्कों की संख्या = 4
∴ इक्का होने की अनुकूल परिस्थितियाँ = 4 होंगी।
∴ इक्का होने की प्रायिकता,
P(E) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

प्रश्न 8.
दो सिक्कों को एक साथ 500 बार उछालने पर हमें यह प्राप्त होता है:
दो खित : 105 बार
एक चित : 275 बार
कोई भी चित नहीं : 120 बार
उनमें से प्रत्येक घटना के घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना दो चित आने की घटना को E₁ से, एक चित आने की घटना को E₂ से और कोई भी चित न आने की घटना को E₃ से व्यक्त करें, तो
दो चित आने की प्रायिकता, P(E₁) = \(\frac {105}{500}\) = 0.21
एक चित आने की प्रायिकता, P(E₂) = \(\frac {275}{500}\) = 0·55
कोई भी चित न आने की प्रायिकता P(E₃) = \(\frac {120}{500}\) = 0·24

प्रश्न 9.
एक पाँसे को फेंकने पर 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
हल :
पाँसे में 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक होते हैं जिनमें 5 तथा 6 दोनों 4 से बड़े अंक हैं।
∴ कुल सम्भावित परिणाम = 6
4 से बड़ा अंक आने की अनुकूल परिस्थितियाँ = 2 हैं।
अतः 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

प्रश्न 10.
PEACE शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्दों में दोनों E के साथ न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
PEACE में कुल वर्ण = 5 हैं।
∴ कुल सम्भव स्थितियाँ = 5 होंगी।
PEACE में E अक्षर दो बार प्रयुक्त हुआ है।
∴ E अक्षर आने की अनुकूल स्थितियाँ = 2
दोनों E अक्षर एक साथ आने की प्रायिकता,
P(E) = \(\frac {2}{5}\)
अतः अक्षर न आने की प्रायिकता = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac {2}{5}\) = \(\frac {3}{5}\)

प्रश्न 11.
एक पौसे को 1000 बार फेंकने पर प्राप्त परिणाम निम्न प्रकार हैं:

परिणाम	बारम्बारता
1 2 3 4 5 6	179 150 157 149 175 190

प्रत्येक परिणाम के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
हल :
पाँसा फेंकने की कुल संख्या = 1000
माना परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 से घटना के घटित होने की प्रायिकता E₁, E₂, E₃, E₄, E₅ और E₆ है, तब

प्रश्न 12.
एक विद्यार्थी द्वारा मासिक यूनिट परीक्षा में प्राप्त किए गये अंकों का प्रतिशत निम्न प्रकार है :

मिट परीक्षा	प्राप्त अंकों का %
I II III IV V	69 71 73 68 74

इन आंकड़ों के आधार पर 70% से अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
ली गई यूनिट परिक्षाओं की कुल संख्या = 5
विद्यार्थी द्वारा 70% से अधिक अंक प्राप्त करने वाली यूनिट परिक्षाओं की संख्या = 3
∴ 70% से अधिक अंक प्राप्त करने की अनुकूल स्थितियाँ = 3
अतः 70% से अधिक अंक प्राप्त होने की प्रायिकता,
P(E) = अनुकूल स्थितियाँ / कुल यूनिट परीक्षाओं की संख्या
= \(\frac {3}{5}\)
= 0.6

प्रश्न 13.
बीजों के 5 थैलों में से प्रत्येक थैले से पचास बीज यदृच्छया चुने और उन्हें ऐसी मानवीकृत अवस्थाओं में रखा गया जो अंकुरण के अनुकूल हैं। 20 दिन बाद प्रत्येक संग्रह में अंकुरित हुए बीजों की संख्या नीचे दर्शाए अनुसार सारणी में लिखी गई हैं:

थैला	अंकुरित बीजों की संख्या
1 2 3 4 5	40 48 42 39 41

निम्नलिखित बीजों के अंकुरण की प्रायिकता क्या होगी ?
(i) एक थैले में 40 से अधिक बीज,
(ii) एक थैले में 49 बीज,
(iii) एक थैले में 35 से अधिक बीज हैं।
हल :
पैलों की कुल संख्या = 5
(i) 50 बीजों में से 40 बीज से अधिक बीज अंकुरित होने की अनुकूल स्थितियाँ = 3
अत: P (एक थैले में 40 से अधिक बीजों का अंकुरण )
= \(\frac {3}{5}\)
= 0.6

(ii) 49 बीज अंकुरित होने वाले थैलों की संख्या = 0
अत: P (एक थैले में 49 बीजों का अंकुरण) = \(\frac {0}{5}\)
= 0

(iii) उन बैलों की संख्या, जिनमें 35 से अधिक बीज अंकुरित हुए हैं, 5 है।
अतः अपेक्षित प्रायिकता = \(\frac {5}{5}\)
= 1.

प्रश्न 14.
एक टेलीफोन निर्देशिका के एक पृष्ठ पर 200 टेलीफोन नम्बर हैं। उनके इकाई स्थान वाले अंक का बारम्बारता बंटन निम्न सारणी में दिया गया है :

अंक (इकाई)	बारम्बारता
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	22 26 22 20 10 25 14 22 20 19

इकाई के स्थान पर 6 अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
टेलीफोन नम्बरों की कुल संख्या = 200
हल :
इकाई के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता,
P(E) = अंक 6 की बारम्बारता / टेलीफोन नम्बरों की कुल संख्या
= \(\frac {14}{200}\)
= 0.07.

प्रश्न 15.
एक पिता के तीन बच्चों में से कम से कम एक लड़का है। उसके दो लड़के तथा एक लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
लड़का और लड़की की संख्या की 3 निःशेष स्थितियाँ सम्भव हैं
एक लड़का व दो लड़कियाँ
एक लड़की व दो लड़के
तीनों लड़के व कोई लड़की नहीं
इनमें एक ही स्थिति अनुकूल है।
प्रायिकता (P) = \(\frac {1}{3}\)