JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Exercise 1.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव के रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है ?
(i) \(\frac{36}{100}\)
उत्तर:
\(\frac{36}{100}\) = 0.36, सांत।

(ii) \(\frac{1}{11}\)
उत्तर:
भाग विधि द्वारा :
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∴ \(\frac{1}{11}\) = 0.090909…..
= \(0 . \overline{09}\) असांत और आवृत्ति ।

(iii) 4\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{33}{8}\)
उत्तर:
भाग विधि द्वारा:
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∴ 4\(\frac{1}{8}\) = 4.125, सांत।

(iv) \(\frac{3}{13}\)
उत्तर:
भाग विधि द्वारा:
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\(\frac{3}{13}\) = 0.23076923….
= \(0 . \overline{230769}\), असांत और आवृत्ति (पुनरावृत्ति)।

(v) \(\frac{2}{11}\)
हल:
भाग विधि द्वारा :
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∴ \(\frac{2}{11}\) = 0.1818 = \(0 . \overline{18}\), असांत और पुनरावृत्ति ।

(vi) \(\frac{329}{400}\)
हल:
भाग विधि द्वारा:
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∴ \(\frac{329}{400}\) = 0.8225, सान्त।

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प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac{1}{7}\) = \(0 . \overline{142857}\) है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे ?
हल:
हाँ, उपर्युक्त सभी 1, 4, 2, 8, 5, 7 आवृत्ति (पुनरावृत्ति) दशमलव हैं।
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प्रश्न 3.
निम्नलिखित को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:
(i) \(0 . \overline{6}\), (ii) \(0.4 \overline{7}\), (iii) \(0 . \overline{001}\).
हल:
(i) माना x = \(0 . \overline{6}\)
x = 0.666…. …(1)
∵ यहाँ केवल एक आवृत्ति अंक है। इसलिए समीकरण (1) में 10 से गुणा करने पर,
10x = 10 × 0.666….
या 10x = 6.666…. …(2)
समी. (2) मैं से समी. (1) घटाने पर,
9x = 6
⇒ x = \(\frac{6}{9}\)
या x = \(\frac{2}{3}\)
अतः \(0 . \overline{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

(ii) प्रथम विधि : माना x = \(0.4 \overline{7}\) …(1)
∵ दशमलव बिन्दु के दायीं ओर बिना बार (रेखा) के एक अंक है।
∴ अतः दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर,
10x = 10 × \(0.4 \overline{7}\) ⇒ 10x = \(4 . \overline{7}\) ….. (ii)
पुन: समी. (i) के दोनों पक्षों में 100 से गुणा करने पर
100x = \(47 . \overline{7}\) ……..(iii)
समी. (iii) में से समी. (ii) घटाने पर,
90x = 43
⇒ x = \(\frac{43}{90}\)
अत: \(0.4 \overline{7}\) = \(\frac{43}{90}\)

(iii) \(0 . \overline{001}\)
माना x = \(0 . \overline{001}\)
⇒ x = 0.001001001…. …(1)
यहाँ दशमलव बिन्दु के बाद तीन आवृत्ति अंक हैं।
अत: समी. (1) को (10)3 = 1000 से गुणा करने पर,
1000x = 1.001001…. …(2)
समी. (2) में से समी. (1) को घटाने पर,
1000x – x = (1.001001…) – (0.001001….)
⇒ 999x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{999}\)
अतः \(0 . \overline{001}\) = \(\frac{1}{999}\)

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प्रश्न 4.
0.99999…. को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
माना x = 0.99999….. …..(1)
∵ यहाँ केवल एक आवृत्ति अंक है अतः समीकरण (1) में 10 से गुणा करने पर,
10x = 10 × 0.99999….
10x = 9.999…. …(2)
समी. (2) में से सभी (1) को घटाने पर,
⇒ 9x = 9
∴ x = 1
अतः 0.9999…. = 1
क्योंकि 0.9999…. अनन्त तक होगा। अतः 1 और 0.9999…. में कोई अन्तर नहीं है अतः ये लगभग समान हैं।

प्रश्न 5.
\(\frac{1}{17}\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
हल:
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अतः \(\frac{1}{17}\) = \(0 . \overline{0588235294117647}\)
\(\frac{1}{17}\) के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति अंकों की अधिकतम संख्या 16 है।

प्रश्न 6.
\(\frac{p}{q}\)(q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिसका सांत दशमलव (निरूपण) प्रसार है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि 9 को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए ?
हल:
\(\frac{p}{q}\)(q ≠ 0) के रूप में कुछ ऐसी परिमेय संख्याएँ लेते हैं जिसमें और पूर्णांक हों तथा जिनके के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो और सांत दशमलव हो।
माना \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{7}{8}, \frac{37}{25}, \frac{8}{125}, \frac{17}{20}, \frac{31}{16}\) आदि ऐसी परिमेय संख्याएँ हैं।
अब हर में ऐसी प्राकृत संख्या से गुणा करते हैं जिससे हर 10 या 10 की घात का प्राप्त हो।
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उपरोक्त परिमेय संख्याओं में प्रत्येक के हर का एक गुणनखण्ड 2 अथवा 5 है, तभी हर को 10 या 10 की किसी घात के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
यदि परिमेय संख्या जो मानक रूप में हो और हर में 2 और 5 के अलावा और कोई अभाज्य गुणनखण्ड न हो तब और केवल तब सांत दशमलव निरूपित होता है।

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प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएं लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
हल:
हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
अतः \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\)….. इत्यादि का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है।
ऐसी संख्या को सीधे दशमलव प्रसार के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
a = 0.04004000400004…..
b = 0.505005000500005…..
c = 0.007000700007…..

प्रश्न 8.
परिमेय संख्याओं \(\frac{5}{7}\) और \(\frac{9}{11}\) के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{5}{7}\) और \(\frac{9}{11}\)
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\(\frac{5}{7}\) और \(\frac{9}{11}\) के मध्य अनन्त अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं। इसमें से तीन अपरिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं :
0.75075007500075000075………
0.767076700767000767………
और 0.808008000800008………

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प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\sqrt{23}\)
(ii) \(\sqrt{225}\)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478…….
(v) 1·101001000100001………
हल:
(i) संख्या \(\sqrt{23}\) मे 23 पूर्ण वर्ग नहीं है।
\(\sqrt{23}\) अपरिमेय संख्या है।
(ii) \(\sqrt{225}\) = \(\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5}\)
= 3 × 5 = 15
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अतः \(\sqrt{225}\) = 15 एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796
सांत दशमलव संख्या है।
∴ 0.3796 एक परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478…..
एक आवृत्ति लेकिन पुनरावृत्ति है।
∴ यह परिमेय संख्या है।

(v) 1.101001000100001…..
यह एक आवृत्ति है लेकिन पुनरावृत्ति नहीं है।
∴ यह अपरिमेय संख्या है।

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