Bhagya

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

भूमिका :
पिछली कक्षाओं में हमने समान्तर चतुर्भुअत : समचतुर्भुज तथा वर्ग के परिमाप तथा क्षेत्रफल के बारे में पढ़ा था। इस अध्याय में हम प्रारम्भ में वृत्त के परिमाप तथा क्षेत्रफल का पुनरावलोकन करेंगे तथा त्रिज्यखण्ड, वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बारे में सीखेंगे। हम वृत्तों के भागों तथा वृत्तों से सम्बद्ध समतल आकृतियों के कुछ संयाजनों के क्षेत्रफलों के बारे में भी अध्ययन करेंगे।
→ वृत्त (Circle) : वृत्त एक ऐसे बिन्दु का बिन्दु पथ है जो एक समतल में एक नियत बिन्दु से सदैव समान (अचर) दूरी पर गति करता है।
→ केन्द्र (Centre) : निश्चित बिन्दु को वृत्त का केन्द्र (O) कहते हैं।
→ त्रिज्या (Radius) : एक रेखाखण्ड जो वृत्त पर एक बिन्दु तथा इसके केन्द्र को जोड़ती है. त्रिज्या कहलाती है।
→ व्यास (Diameter) : केन्द्र से होकर गुजरने वाली जीवा जिसके अन्तः बिन्दु वृत्त पर होते हैं, वृत्त का व्यास कहलाता है।
व्यास = 2 × त्रिज्या
→ जीवा (Chord) : वृत्त पर दो बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को वृत्त की जीवा कहते हैं।
→ चाप (Arc) : वृत्त पर दो बिन्दुओं के बीच की दूरी को वृत्त का चाप कहते हैं।
→ वृत्तीय क्षेत्र (Circular region) : वह क्षेत्र जिसमें सभी बिन्दु या तो वृत्त पर या वृत्त के अन्दर स्थित होते हैं वृत्तीय क्षेत्र कहलाता है।
→ अर्द्धवृत्तीय क्षेत्र (Semi circular region) : जब दो चाप बराबर होते हैं तब प्रत्येक एक अर्द्धवृत्त होता है तथा दोनों वृत्तखण्ड व त्रिज्यखण्ड बराबर होते हैं और प्रत्येक को अर्द्धवृत्तीय क्षेत्र से जाना जाता है।
→ संकेन्द्रीय वृत्त (Concentric Circles) : ऐसे दो या दो से ज्यादा वृत्त जिनका केन्द्र समान हो तथा त्रिज्याएँ विभिन्न हों, संकेन्द्रीय वृत्त कहलाते हैं।

वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल – एक समीक्षा
वृत्त की परिधि (Circumference of Circle) :
वृत्त का एक चक्कर लगाने पर तय की गई दूरी को वृत्त का परिमाप या परिधि कहते हैं। किसी भी वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात एक निश्चित अचर राशि होती है। इस अनुपात की अचर राशि को ग्रीक अक्षर π द्वारा प्रदिर्शित करते हैं।

अतः π = परिधि / व्यास
परिधि = π × व्यास
= π × 2 = 2πr
वृत्त की परिधि = 2πr
व्यवहार में π का मान प्रायः \(\frac{22}{7}\) अथवा 3.14 लिया जाता है परन्तु π एक अपरिमेय संख्या है जिससे इसका दशमलव अनावर्ती और असान्त है। आर्यभट्ट ने इसका मान 3.1416 ज्ञात किया था जो दशमलव के 4 स्थानों तक शुद्ध है।

वृत्त का क्षेत्रफल (Area of Circle) :

वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × r × (वृत्त की परिधि)
= \(\frac{1}{2}\) × r × (2πr) = πr²
अतः वृत्त का क्षेत्रफल = π(त्रिज्या)²
वृत्त का व्यास वृत्त को दो समान भागों में विभाजित करता है। अतः
अर्द्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²

वलयिका का क्षेत्रफल (Area of an Annullus) :

चित्र में, एक वलयिका का केन्द्र O है और जिसकी बाह्य और अन्तः त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ (r₁ > r₂) हैं।
वलयिका का क्षेत्रफल = दोनों वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल
= बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
= πr₁² – πr₂²
= π(r₁² – r₂²)
= π × (त्रिज्याओं के वर्गों का अन्तर)
अतः वलयिका का क्षेत्रफल = π(r₁² – r₂²)

त्रिज्यरखण्ड और वृत्तरखण्ड के क्षेत्रफल :
वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (Area of a Sector of a Circle) :
किसी भी वृत्त की दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरे हुए क्षेत्र को वृत्त का त्रिज्यखण्ड (Sector) कहते हैं।
चित्र में, वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड AOB है। माना कि ∠AOB = θ है और θ < 180° जब कोण 6 का मान बढ़ता है तो चाप AB की लम्बाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है। जब कोई चाप वृत्त के केन्द्र पर 180° का कोण अन्तरित करता है, तो

चाप की लम्बाई = अर्द्धवृत्त के चाप की लम्बाई
= πr
∵ केन्द्र पर 180° कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई = πr
∴ केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई = \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}=2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}\)
इसी प्रकार, जब कोई चाप वृत्त के केन्द्र पर 180° का कोण अन्तरित करता है, तो उसके संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2}{2}\)
∴ वृत्त के केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करने पर बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{2 \times 180^{\circ}}\)
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}=\pi r^2 \times \frac{\theta}{360^{\circ}}\)
यदि r त्रिज्या के वृत्त में कोण θ के त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई L और क्षेत्रफल A है, तो
L = \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}=2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}\)
और A = \(\frac{\pi r^2 \theta}{360}=\pi r^2 \times \frac{\theta}{360^{\circ}}\)
चाप की लम्बाई (L) और त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल (A) में सम्बन्ध :
A = \(\frac{1}{2}\)Lr
यहाँ कोण θ को डिग्री में लेते हैं।

वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल (Area of Segment of a Circle) :
वृत्त की प्रत्येक जीवा वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है। इससे बने प्रत्येक भाग को वृत्तखण्ड कहते हैं। छोटे भाग को लघु वृत्तखण्ड तथा बड़े भाग को दीर्घ वृत्तखण्ड कहते हैं।
चित्र में, वृत्त का केन्द्र O हैं और इसकी त्रिज्या r है। जीवा PQ वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है। हमें लघु वृत खण्ड PRQ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

माना ∠POQ = θ
ΔΡΟΜ ≅ ΔQΟΜ (RHS सर्वांगसमता नियम से)
∠POM = ∠QOM = \(\frac{\theta}{2}\)
त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल = लघु वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल + ΔPOQ का क्षेत्रफल
∴ लघु वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल – ΔPOQ का क्षेत्रफल

यदि हम दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहें, तो वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल घटाकर ज्ञात कर सकते हैं।
अतः दीर्घ वृत्तखण्ड PSQ का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल
= πr² – \(\left[\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}-\frac{r^2}{2} \sin \theta\right]\)
∴ दीर्घ वृत्तखण्ड PSQ का क्षेत्रफल = πr² – \(\frac{r^2}{2}\left[\frac{\pi \theta}{180^{\circ}}-\sin \theta\right]\)

समतल आकृतियों के संयोजन के क्षेत्रफल (Areas of Combinations of Plane Figures) :
समतल आकृतियों के छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्रों की आवश्यकता होगी :

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.1

प्रश्न 1.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल:
समकोण ΔABC में,
∠B = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49 = 625
AC = 25 सेमी

(i) समकोण ΔABC में,
sin A = \(\frac{A B}{A C}=\frac{7}{25}\)
और cos A = \(\frac{B C}{A C}=\frac{24}{25}\)

(ii) समकोण ΔABC में,
sin C = \(\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\)
और cos C = \(\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\)

प्रश्न 2.
चित्र में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
समकोण ΔPQR में, पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = QR² + PQ²
⇒ (13)² = QR² + (12)²
⇒ 169 = QR² + 144
⇒ QR² = 169 – 144
⇒ QR² = 25
⇒ QR = 5
tan P = \(\frac{Q R}{P Q}=\frac{5}{12}\)
और cot R = \(\frac{Q R}{P Q}=\frac{5}{12}\)
तब tan P – cot R = \(\frac{5}{12}-\frac{5}{12}\) = 0

प्रश्न 3.
sin A = \(\frac{3}{4}\) तो cos A और tan A के मान परिकलित कीजिए।
हल:
माना कि ABC एक समकोण Δ है जिसमें
∠B = 90°

∠A के लिए,
आधार = AB, लम्ब = BC तथा कर्ण = AC

माना कि BC = 3k तथा AC = 4k
समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ (4k)² = AB² + (3k)²
⇒ 16k² = AB² + 9k²
⇒ AB² = 16k² – 9k²
⇒ AB² = 7k²
AB² = 7k²
AB = k\(\sqrt{7}\)


अतः cos A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) तथा tan A = \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)

प्रश्न 4.
यदि 15 cot A = 8 हो, तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि ABC एक समकोण Δ है, जिसमें ∠B = 90°.

∠A के लिए,
आधार = AB, लम्ब = BC तथा कर्ण = AC
15 cot A = 8 (दिया है)
⇒ cot A = \(\frac{8}{15}\)

माना कि AB = 8k
तथा BC = 15k
समकोण ΔABC में,
AC² = AB² + BC²
= (8k)² + (15k)²
= 64k² + 225k²
= 289k²
AC = \(\sqrt{289 k^2}\)
∴ AC = 17k

प्रश्न 5.
यदि sec θ = \(\frac{13}{12}\) हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल:
माना कि ABC एक समकोण Δ है, जिसमें ∠B = 90° और ∠A = θ है।
∠θ के लिए,
आधार = AB, लम्ब = BC तथा कर्ण = AC

माना कि AC = 13k और AB = 12k
समकोण ΔABC में,
AC² = AB² + BC²
(13k)² = (12k)² + BC²
BC² = (13k)² – (12k)²
= 169k² – 144k² = 25k²
∴ BC = 5k

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
हल:
माना कि ABC एक समकोण Δ है, जिसमें कोण C = 90°, तब ∠A तथा ∠B न्यूनकोण होंगे।

दिया है : cos A = cos B
⇒ \(\frac{A C}{A B}=\frac{B C}{A B}\)
⇒ AC = BC
ABC में, AC = BC
∵ ΔABC एक समद्विबाहु Δ है और बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠A = ∠B

प्रश्न 7.
यदि cot θ = \(\frac{7}{8}\), तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ का मान निकालिए।
हल:
माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠B = 90° और ∠A = θ है।
आधार = AB, लम्ब = BC तथा कर्ण = AC

माना कि AB = 7k तथा BC = 8k
समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
= (7k)² + (8k)²
= 49k² + 64k² = 113k²
AC = ±\(\sqrt{113 k^2}\)
∴ AC = k\(\sqrt{113}\)
(∵ AC ≠ k\(\sqrt{113}\), क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है)

[सूत्रः (a + b) (a – b) = a² – b² से]

प्रश्न 8.
यदि 3 cot = A, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A}\) = cos² A – sin² A है या नहीं।
हल:
माना कि ABC एक समकोण Δ है, जिसमें कोण B समकोण है।
∠A के लिए,
आधार = AB, लम्ब = BC तथा कर्ण = AC
दिया है, 3 cot A = 4
cot A = \(\frac{4}{3}\)

माना कि AB = 4k, BC = 3k
समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
= (4k)² + (3k)²
= 16k² + 9k² = 25k²
⇒ AC = ±\(\sqrt{25 k^2}\)
∴ AC = 5k
[∵ AC ≠ -5k, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है]

R.H.S. = cos² A – sin² A
= \(\left(\frac{4}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
= \(\frac{16}{25}-\frac{9}{25}\)
= \(\frac{16-9}{25}=\frac{7}{25}\) …(2)
L.H.S. = R.H.S.
अर्थात् \(\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A}\) = cos² A – sin² A

प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल:
दिया है, एक ΔABC, जिसका कोण B समकोण

माना कि AB = \(\sqrt{3}\)k तथा BC = k
समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
= (\(\sqrt{3}\)k)² + (k)²
= 3k² + k² = 4k²
⇒ AC = ±2k
∴ AC = 2k
(AC ≠ -2k, क्योंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती)
∠A के लिए,
आधार = AB, लम्ब = BC, कर्ण = AC

प्रश्न 10.
ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी और PQ = 5 सेमी है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, ΔPQR में कोण Q समकोण है।

तथा PR + QR = 25 सेमी
PQ = 5 सेमी
माना कि QR = x सेमी
∴ PR = (25 – x) सेमी
अब समकोण ΔPQR में, पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = QR² + PQ²
(25 – x)² = (x)² + (5)²
625 – 50x + x² = x² + 25
– 50x = -600
x = \(\frac{-600}{-50}\) = 12 सेमी
∴ QR = 12 सेमी
PR = 25 – 12 = 13 सेमी

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac{12}{5}\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac{4}{3}\)
हल:
(I) ∵ tan A = लम्ब / आधार
tan A का मान 1 से कम तभी हो सकता है, जब लम्ब, आधार से छोटा हो।
परन्तु ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है।
अतः कथन असत्य है।

(ii) sec A = कर्ण / आधार = \(\frac{12}{5}\)
चूँकि sec A का मान सदैव 1 के बराबर या 1 से बड़ा होता है।
अतः कथन सत्य है।

(iii) ∵ cos A कोण A की cosine का संक्षिप्त रूप होता है, जबकि cosecant का अर्थ cosec A है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(iv) cot A का अर्थ ∠A के cotangent से है।
स्वतन्त्र रूप में cot का कोई अस्तित्व ही नहीं है। अतः cot और A का गुणनफल कभी भी cot A नहीं हो सकता है।
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(v) किसी समकोण त्रिभुज में कोण θ के लिए, यदि sin θ = \(\frac{4}{3}\), तो इसका अर्थ है कि θ की सम्मुख भुजा
और कर्ण का अनुपात 4 : 3 है।
परन्तु कर्ण, समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होती है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Exercise 1.2

Question 1.
Express each number as a product of its prime factors:
1. 140
2. 156
3. 3825
4. 5005
5. 7429
Solution:
1. Using factor tree method, we have

Thus, 140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5 × 7

2. Using factor tree method, we have

Thus, 156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × 3 × 13

3. Using factor tree method, we have

Thus, 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5² × 17

4. Using factor tree method, we have

Thus, 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

5. Using factor tree method, we have

Thus, 7429 = 17 × 19 × 23

Question 2.
Find the LCM and HCF of the following pairs of integers and verify that LCM × HCF = product of the two numbers:
1. 26 and 91
2. 510 and 92
3. 336 and 54
Solution:
1. Using factor tree method, we have

∴ 26 = 2 × 13 and 91 = 7 × 13
Then, LCM (26, 91) = 2 × 7 × 13 = 182 and HCF (26, 91) = 13
Now, LCM × HCF = 182 × 13 = 2366 and 26 × 91 = 2366.
Hence, LCM × HCF = product of the two numbers.

2. Using factor tree method, we have

∴ 510 = 2 × 3 × 5 × 17 and
92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23
Then,
LCM (510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 23
= 23,460
and HCF (510, 92) = 2
Now, LCM × HCF = 23,460 × 2 = 46,920
and 510 × 92 = 46,920
Hence, LCM × HCF = product of the two numbers.

3. Using factor tree method, we have

∴ 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
= 2⁴ × 3 × 7 and
54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³
Then, LCM (336, 54) = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024
and HCF (336, 54) = 2 × 3 = 6
Now, LCM × HCF = 3024 × 6 = 18,144 and
336 × 54 = 18,144.
Hence, LCM × HCF = product of the two numbers.

Question 3.
Find the LCM and HCF of the following integers by applying the prime factorisation method:
1. 12, 15 and 21
2. 17, 23 and 29
3. 8, 9 and 25
Solution:
1. Using factor tree method, we have

∴ 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3, 15 = 3 × 5 and 21 = 3 × 7
Then,
LCM (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420 and HCF (12, 15, 21) = 3.

2. 17 = 17 × 1, 23 = 23 × 1 and 29 = 29 × 1 as each of the given numbers is a prime.
Then, LCM (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29
= 11,339
and HCF (17, 23, 29) = 1.

3. Using factor tree method, we have

∴ 8 = 2 × 2 × 2 = 2³, 9 = 3 × 3 = 3²
and 25 = 5 × 5 = 5²
Then, LCM (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5²
= 1800
and HCF (8, 9, 25) = 1.

Question 4.
Given that HCF (306, 657) = 9 find LCM (306, 657).
Solution:
We know, LCM (a, b) =

Taking a = 306 and b = 657, we get
LCM (306, 657) = \(\frac{306 \times 657}{\mathrm{HCF}(306,657)}\)
= \(\frac{306 \times 657}{9}\)
= 34 × 657
= 22,338
Thus, LCM (306, 657) = 22,338.

Question 5.
Check whether 6ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.
Solution:
If a number ends with digit 0, it would be divisible by 5 as well as 2. Hence, any number ending with digit 0, must have 2 and 5 both in its prime factorisation.
Now, 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ for any natural number n. Thus, 6n has only two prime factors 2 and 3. So, the prime factorisation of 6ⁿ does not include 5 and hence 6ⁿ cannot end with digit 0 for any natural number n.

Question 6.
Explain why 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 are composite numbers.
Solution:
7 × 11 × 13 + 13 = 13 (7 × 11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 (78)
= 13 × 2 × 3 × 13
(∵ 78 = 2 × 3 × 13)
= 2 × 3 × 13²
Thus, 7 × 11 × 13 + 13 can be expressed as a product of primes. Hence, 7 × 11 × 13 + 13 is a composite number.
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 (1008 + 1)
= 5 × 1009
Thus, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 can be expressed as a product of primes. Hence, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 is a composite number.

Question 7.
There is a circular path around a sports field. Sonia takes 18 minutes to drive one round of the field, while Ravi takes 12 minutes for the same. Suppose they both start at the same point and at the same time, and go in the same direction. After how many minutes will they meet again at the starting point?
Solution:
Here, the LCM of the timings (in minutes) taken by Sonia and Ravi will answer the question satisfying all the conditions as mentioned in the question.
Now, 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3 and
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
Then, LCM (12, 18) = 2² × 3² = 36
Hence, after 36 minutes, Sonia and Ravi meet again at the starting point if they both start at the same point and at the same time and go in the same direction.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 11 रचनाएँ will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 11 रचनाएँ

भूमिका :
कक्षा IX में, हमने कुछ रचनाओं के बारे में सीखा था जैसे कि किसी रेखाखण्ड का लम्ब समभाजक खींचना, किसी कोण का समद्विभाजक खींचना, त्रिभुजों की रचनाएँ करना इत्यादि और उनका औचित्य भी दिया था। इस अध्याय में पिछली रचनाओं के ज्ञान का उपयोग करते हुए कुछ और रचनाओं के बारे में अध्ययन करेंगे। जैसे एक रेखाखण्ड का विभाजन, किसी त्रिभुज के समरूप दूसरे त्रिभुज की रचना, वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना इत्यादि।

→ रचना (Construction) : कल्पना करने और बनाने की कला।

→ समरूप आकृतियाँ (Similar figures) : ऐसी ज्यामितीय आकृतियाँ जिनका रूप (shape) समान है, परन्तु जरूरी नहीं कि आकार भी समान हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।

→ चाप (Arc) : वक्र रेखा पर दो बिन्दुओं के बीच की दूरी चाप कहलाता है।

→ स्पर्श रेखा (Tangent) : एक सीधी रेखा जो वृत्त को सिर्फ एक बिन्दु पर स्पर्श करती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।

→ स्पर्श बिन्दु (Point of Contact) : वह बिन्दु जिस पर स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिन्दु कहलाता है।

→ संकेन्द्रीय वृत्त (Concentric circles) : यदि दो वृत्तों का केन्द्र एक हो तथा विभिन्न त्रिज्याएँ हो, संकेन्द्रीय वृत्त कहलाते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल:
(i) ∵ sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 – cos² A

(ii) cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)
(iii) 1 + tan² = sec² A
⇒ tan²A = sec² A – 1
⇒ (tan A)² = sec² A – 1
अत: tan A = \(\sqrt{\sec ^2 A-1}\)

प्रश्न 3.
मान निकालिए:
(i) \(\frac{\sin ^2 63^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\cos ^2 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल:

= \(\frac{\cos ^2 27^{\circ}+\sin ^2 27^{\circ}}{\cos ^2 17^{\circ}+\sin ^2 17^{\circ}}\)
{∵ sin (90° – θ) = cos θ
और a cos (90° – θ) = sin θ}
= \(\frac{1}{1}\) = 1 = (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = sin 25° cos (90° – 25°) + cos 25° sin (90° – 25°)
= sin 25°.sin 25° + cos 25°.cos 25°
[∵ cos (90° – 25°) = sin 25°
और sin (90° – 25°) = cos 25°]
= sin² 25° + cos² 25°
= 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i) 9 sec² A – 9 tan² A बराबर है:
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
(ii) (1 + tan θ + see θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है:
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
(iv) \(\frac{1+\tan ^2 A}{1+\cot ^2 A}\) बराबर है:
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A
हल:
(i) 9 sec² A – 9 tan² A
= 9(sec² A – tan² A)
(∵ sec² A = 1 + tan² A)
= 9(1 + tan² A – tan² A)
= 9 × (1) = 9
अत: सही विकल्प (B) है।

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)


(∵ sin² θ + cos² θ = 1)
अत: सही विकल्प (C) है।

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A)

अत: सही विकल्प (D) है।

अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं, न्यूनकोण हैं:

हल:

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
L.H.S.
= (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A sec A)
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A × \(\frac{1}{\sin A}\)) + (cos² A + sec² A + 2 × cos A × \(\frac{1}{\cos A}\))
= (sin² A + cosec² A + 2) + (cos² A + sec² A + 2)
= sin² A + cosec² A + cos² A + sec² A + 4
= sin² A + cos² A + cosec² A + sec² A + 4
= 1 + cosec² A + sec² A + 4 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= cosec² A + sec² A + 5
= (1 + cot² A) + (1 + tan² A) + 5
[∵ cosec² θ = 1 + cot² θ]
sec² θ = 1 + tan² θ]
= tan² A + cot² A + 7 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

भूमिका :
हमने पिछली कक्षाओं में प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, परिमेय संख्याओं अपरिमेय संख्याओं व वास्तविक संख्याओं के विषय में पढ़ा है। हमने इनके गुणों के विषय में भी पढ़ा है स्मरण करें कि वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का समूह होती हैं।

इस अध्याय में हम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने, परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार, सांत आवर्ती दशमलवं प्रसार, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग, अंकगणित की आधारभूत प्रमेव यूक्लिड विभाजन प्रमेविका आदि के विषय में अध्ययन करेंगे।
→ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) : परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
जैसे 3, 5, \(\sqrt{7}\), \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) आदि।

→ परिमेय संख्याएँ (Rational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार सांत अथवा असांत आवर्ती होता परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे- \(\frac{2}{4}\), 3, \(\frac{1}{3}\) आदि।

→ अपरिमेय संख्याएँ (Irrational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है. अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt[3]{4}\), π आदि ।

→ पूर्णांक (Integers): शून्य प्राकृतिक संख्याओं एवम् ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं के समूह की पूणांक कहते हैं।
जैसे- -9, -8, 0, 5, 4, आदि।

→ सम संख्याएँ (Even numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं, सम संख्याएँ कहलाती है।
जैसे- 2, 4, 6, 8, 10 ….. (सम संख्याओं में इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 होता है।)

→ विषम संख्याएँ (Odd numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 1, 3, 5, 7, 9, …. (विषम संख्याओं में इकाई का अंक 1, 3, 5, 9 होता है।)

→ अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers): वे संख्याएँ जिनके सिर्फ दो गुणनखंड (1 व स्वयं) होते हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं अथवा वे संख्याएँ जो या स्वयं से विभाजित होती हैं, अभाज्य संख्या कहलाती हैं।
जैसे- 2, 5, 7, 11, 13, ….. ( सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 होती है।)

→ भाज्य संख्याएँ (Composite numbers): वे संख्याएँ जिनके और स्वयं के अलावा कम से कम एक और “गुणनखण्ड हो, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
महत्वपूर्ण बिन्दु: 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

→ सांत दशमलव प्रसार (Terminating decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2ⁿ × 5^m के रूप में होते हैं, उनके दशमलव प्रसार सांत होते हैं।
जैसे \(\frac{2}{4}\) = 0.5, \(\frac{1}{5}\), 0.2, \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = 0·4

→ असांत आवर्ती दशमलव प्रसार (Non-terminating recurring decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2ⁿ × 5^m के रूप में नहीं होते हैं, उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होते हैं।
जैसे \(\frac{1}{3}\) = 0.333, …. \(\frac{17}{6}\) = 2.8333…

→ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): दी गयी संख्याओं के छोटे से छोटे सार्वगुणज को लघुत्तम समापवर्त्य कहते हैं।

→ महत्तम समापवर्त्य (HCF): दी गयी संख्याओं के बड़े से बड़े सार्व गुणनखंड को महत्तम समापवर्तक कहते हैं।

पूर्णांकों की भाजकता तथा धनात्मक पूर्णांकों के दो महत्वपूर्ण गुण-
(i) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म ( कलन विधि) (Euclid’s Division Algorithm ): यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग इस अध्याय में दो धनात्मक पूर्णांकों के महत्तम समापवर्तक (HCF) परिकलित करने में करेंगे।
(ii) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic ): अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग दो अनुप्रयोगों में करेंगे:
(i) प्रथम अनुप्रयोग में कुछ संख्याओं जैसे \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने में करेंगे। (ii) किसी दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करने में करेंगे।

यूक्लिड विभाजन प्रमेविका :
यूक्लिड प्रथम यूनानी गणितज्ञ थे, जिन्होंने समतल ज्यामिति के अध्ययन हेतु एक नई विचारधारा को प्रारम्भ किया जिसमें से एक यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका है। इसके अनुसार एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर भागफल q और शेषफल r प्राप्त होता है तथा शेषफल r या तो शून्य होता है या भाजक b से छोटा होता है अर्थात् 0 ≤ r < b होता है।

यही यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका है।
इसे औपचारिक रूप से निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं तो दो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r विद्यमान होते हैं कि
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
ध्यान रहे कि या शून्य भी हो सकते हैं।
साधारण शब्दों में, भाज्य (a) = भाजक (b) × भागफल (q) + शेषफल (r)

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय :
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है अर्थात् इस पर कोई ध्यान दिए बिना कि अभाज्य गुणनखंड किस क्रम में आ रहे हैं।

उदाहरण के लिए :
44 एक भाज्य संख्या है। इसे 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यदि हम 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के क्रम पर ध्यान नहीं देते अर्थात् यदि 2 × 2 × 11 और 11 × 2 × 2 में कोई अन्तर नहीं है, तो यह गुणनखण्ड अद्वितीय भी है।
दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. में सम्बन्ध- दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्
म.स. (H.C.F.) × ल.स. (L.C.M.) = एक संख्या (a) × दूसरी संख्या (b)
यदि दो संख्याएँ a और b हों, तो
H.C.F. × L.C.M. = a × b
इस मुख्य सम्बन्ध की सहायता से निम्नांकित सम्बन्ध भी लिखे जा सकते हैं-
(i) H.C.F. = \(\frac{a \times b}{\text { L.C.M }}\)
(ii) L.C.M. = \(\frac{a \times b}{\text { H.C.F. }}\)
(iii) a = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{b}\)
(iv) b = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{a}\)

अपरिमेय संख्याओं का पुनभ्रमण :
अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असान्त (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-repeating) हो, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; जहाँ p और q पूर्णांक है और q ≠ 0.
उदाहरण : \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{15}\), π, \(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\), 0.10110111011110…….. इत्यादि।
हम विरोधाभास विधि द्वारा संख्याओं की अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।

परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनभ्रमण :
कोई भी परिमेय संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत है, उसे हम एक ऐसी परिमेय संख्या के रूप में लिख सकते हैं जिसका हर 10 की कोई घात होती है अर्थात् कोई भी 10 की धनात्मक घात को 2 और 5 की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
जैसे 10ⁿ = (2 × 5)ⁿ ⇒ 2ⁿ × 5ⁿ
10² = 2² × 5²
10³ = 2³ × 5³ इत्यादि
अतः जिन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत होते हैं, उनके हर 2ⁿ × 5^m के रूप में होते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2

प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में DE || BC है। (i) में, EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।

अथवा
यदि ΔABC में DE || BC है, AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ΔABC में,
DE || BC (दिया है)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ \(\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}\)
⇒ EC = \(\frac{3}{1.5}\)
∴ EC = 2 सेमी

(ii) ΔABC में,
DE || BC (आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)

प्रश्न 2.
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी।
(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी।
(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी।
हल:
ΔPQR में दो बिन्दु E और F क्रमश: PQ और PR भुजाओं पर स्थित हैं।

(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी,

अत: EF, QR के समान्तर नहीं है।

(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी,
\(\frac{P E}{Q E}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\) …(1)
तथा \(\frac{P F}{R F}=\frac{8}{9}\) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
\(\frac{P E}{Q E}=\frac{P F}{R F}\)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
अत: EF || QR

(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी, PF = 0.36 सेमी
EQ = PQ – PE
= 1.28 – 0.18 = 1.10 सेमी
FR = PR – PF
= 2.56 – 0.36 = 2.20 सेमी

समीकरण (1) व (2) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
अत: EF || QR

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।

हल:
ΔABC में,
ML || BC (दिया है)
∴ \(\frac{A M}{M B}=\frac{A L}{L C}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
∴ पुन: ΔADC में,
LN || DC (दिया है)
\(\frac{A N}{N D}=\frac{A L}{L C}\) …(ii)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

प्रश्न 4.
निम्न चित्र में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) है।

हल:
दिया है : ΔABC में भुजा AB पर एक बिन्दु D हैं और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं। रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गये हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\)
उपपत्ति : ΔBCA में, DE || AC (दिया है)
∴ \(\frac{B E}{E C}=\frac{B D}{D A}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
पुन: ΔBEA में, DF || AE (दिया है)
∴ \(\frac{B F}{F E}=\frac{B D}{D A}\) …(ii)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{B F}{F E}=\frac{B E}{E C}\) इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
निम्न चित्र में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

हल:
दिया है दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ΔPOQ में,
DE || OQ
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) …(i)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेव से)
पुन: ΔPOR में,
DF || OR
\(\frac{P F}{F R}=\frac{P D}{D O}\) …(ii)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेव से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
अब ΔPQR में,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
(आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
∴ EF || QR इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
निम्न चित्र में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

हल:
दिया है : ΔPQR में बिन्दु A, B और C क्रमश: OP, OQ और OR पर इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ और AC || PR
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ΔPQO में,
AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O B}{B Q}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
पुन: ΔPRO में,
AC || PR
\(\frac{O A}{A P}=\frac{O C}{C R}\) …(ii)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से)
ΔCQR में, BC || QR. इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हल:
दिया है : ΔABC में; D, AB का मध्य- बिन्दु है अर्थात् AD = DB है।
BC के समान्तर रेखा l, AB व AC को क्रमश: D तथा E बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य- बिन्दु है।

उपपत्ति: ∵ D, AB का मध्य बिन्दु है (दिया है)
∴ AD = DB
\(\frac{A D}{B D}=1\) …(i)
ΔABC में DE || BC
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
\(1=\frac{A E}{E C}\)
[समी. (i) के प्रयोग से]
AE = EC
∴ E, AC का मध्यबिन्दु है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)
हल:
दिया है ΔABC में, AB तथा AC के मध्य-बिन्दु क्रमश: D और E हैं अर्थात् AD = BD और AE = EC हैं। D को E से मिलाया।

सिद्ध करना है: DE || BC
उपपत्ति D, AB का मध्य बिन्दु है
∴ AD = BD (दिया है)
⇒ \(\frac{A D}{B D}=1\) …(i)
E, AC का मध्य- बिन्दु है।
∴ AE = EC
⇒ \(\frac{A E}{E C}=1\) …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
⇒ \(\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
∴ DE || BC इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) हैं।

हल:
दिया है : समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसमें AC और BD दो विकर्ण हैं, जो परस्पर O बिन्दु पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
रचना : O से जाती हुई OE || CD खींची।
उपपत्ति: ΔADC में,
OE || DC
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) …(i)
(आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में,
AB || CD
∴ OE || CD (रचना से)
OE || AB
अब ΔADB में,
OE || AB
\(\frac{E D}{A E}=\frac{D O}{B O}\)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\) …(ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
⇒ AO × DO = BO × CO
⇒ \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर हिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।

हल:
दिया है ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्णं AC तथा BD बिन्दु O पर एक दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
रचना : O से OE || DC खींची।
उपपत्ति: ΔBDC में,
OE || DC
\(\frac{B O}{D O}=\frac{B E}{E C}\) …(i)
परन्तु दिया है, \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
⇒ \(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\) … (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B E}{E C}\)
⇒ \(\frac{C O}{A O}=\frac{E C}{B E}\)
∴ OE || AB
(आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम से)
इसी प्रकार, OE || CD
⇒ AB || CD
अत: ABCD एक समलम्ब है। इति सिद्धम्।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.2

प्रश्न सं. 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

प्रश्न 1.
एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा 2 की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 सेमी
(B) 12 सेमी
(C) 15 सेमी
(D) 24.5 सेमी
हल:
एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। बाह्य बिन्दु Q से स्पर्श रेखा PQ की लम्बाई 24 सेमी तथा Q की केन्द्र O से दूरी 25 सेमी है।
∴ ∠QPO = 90° [प्रमेय 10.1 से]

समकोण ΔQPO में,
OQ² = PQ² + OP²
⇒ (25)² = (24)² + OP²
⇒ OP² = (25)² – (24)²
⇒ OP² = 625 – 576
⇒ OP² = 49
⇒ OP = \(\sqrt{49}\)
∴ OP = 7 सेमी
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2.
चित्र में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110, तो ∠PTQ बराबर है:

(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल:
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
∴ ∠OPT = 90°
तथा ∠OQT = 90°
अब चतुर्भुज POQT में,
∠POQ + ∠OQT + ∠PTQ + ∠TPO = 360°
⇒ 110° + 90° + ZPTO + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ = 360° – 290°
∴ ∠PTQ = 70°
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
यदि एक बिन्दु से 0 केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA है:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल:
वृत्त का केन्द्र O है और बिन्दु P से PA व PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच ∠APB = 80° है।

OA तथा OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
चूँकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∠A = 90° और ∠B = 90°
∴ ∠AOB व ∠APB सम्पूरक हैं।
∠AOB + ∠APB = 180°
⇒ ∠AOB = 180° – ∠APB
⇒ ∠AOB = 180° – 80°
∴ ∠AOB = 100°
हम जानते हैं कि OP रेखा, ∠AOB को समद्विभाजित करती है।
∠POA = \(\frac{1}{2}\)∠AOB
= \(\frac{1}{2}\) × 100° = 50°
∠POA = 50°
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल:
दिया है एक वृत्त जिसका केन्द्र O तथा व्यास AB हैं। PQ और RS बिन्दु A व B पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध करना है: PQ || RS
उपपत्ति: ∵ OA त्रिज्या है और PQ स्पर्श रेखा, OA त्रिज्या पर लम्ब है।
[प्रमेय 10.1 से ]
∴ ∠1 = 90°
इसी प्रकार,
RS ⊥ OB
∴ ∠2 = 90°
अब ∴ ∠1 = ∠2
परन्तु यह दो समान्तर रेखाओं के एकान्तर कोण हैं, जब एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है।
∴ PQ || RS
अतः किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल:
दिया है: एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। AB इसकी स्पर्श रेखा है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है: लम्ब PQ वृत्त के केन्द्र O से जाता है।
उपपत्ति: यदि सम्भव हो, तो माना PQ, AB के लम्बवत् है, जो O से नहीं गुजरती है।
OP को मिलाया।

∵ वृत्त के बिन्दु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या के लम्बवत् होती है, इसलिए
AB ⊥ OP अर्थात् ∠OPB = 90°
तथा ∠QPB = 90° (रचना से)
∴ ∠QPB = ∠OPB, जो सम्भव नहीं है क्योंकि रेखाखण्ड OP रेखा PQ के बराबर नहीं हो सकता है।
यह हमारी कल्पना के विपरीत है।
अतः स्पर्श रेखा AB के स्पर्श बिन्दु P पर खींचा गया लम्ब PQ, वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
एक वृत्त जिसका केन्द्र ‘O’ है। वृत्त के बाहर इसके केन्द्र से 5 सेमी की दूरी पर कोई बिन्दु A है।
स्पर्श रेखा की लम्बाई = PA = 4 सेमी
∵ हम जानते हैं कि वृत्त पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OPA = 90°

समकोण ΔOPA में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OA² = OP² + PA²
(5)² = OP² + (4)²
⇒ OP² = 25 – 16
⇒ OP² = 9
⇒ OP = \(\sqrt{9}\) ⇒ OP = 3 सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।

प्रश्न 7.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल:
माना O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ OA तथा OP क्रमश: 5 सेमी व 3 सेमी हैं।
बड़े वृत्त की एक जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
∠OP ⊥ AB (प्रमेय 10.1 से)
∠OPA = 90°

∴ समकोण ΔOPA में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AP² + OP² = OA²
⇒ AP² + (3)² = (5)²
⇒ AP² = (5)² – (3)²
= 25 – 9 = 16
∴ AP = 4 सेमी
परन्तु बड़े वृत्त में, जीवा AB पर केन्द्र O से OP लम्ब है।
∴ बिन्दु P, जीवा AB को समद्विभाजित करता है।
AP = BP = 4 सेमी
जीवा AB की लम्बाई = AP + BP
= 4 + 4
= 8 सेमी
अतः बड़े वृत्त की जीवा की लम्बाई 8 सेमी।

प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए:
AB + CD = AD + BC
हल:
दिया है: O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD तथा DA वृत्त को क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं।

सिद्ध करना है: AB + CD = AD + BC
उपपत्ति: हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
अब B, वृत्त के बाहर स्थित कोई बिन्दु है और BP, BQ वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ BP = BQ …..(1)
इसी प्रकार, AP = AS …..(2)
और DR = DS …..(3)
और CR = CQ …..(4)
समीकरण (1), (2), (3) व (4) को जोड़ने पर,
BP + AP + DR+ CR = BQ + AS + DS + CQ
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC

प्रश्न 9.
आकृति में, XY तथा XY’ 0 केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।

हल:
दिया है: XY तथा X’Y’, O केन्द्र वाले वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर एक अन्य स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। OA तथा OB को मिलाया।

सिद्ध करना है: ∠AOB = 90°
रचना: OC मिलाया।
उपपत्ति: XY और X’Y’ वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं, जो वृत्त को P और Q पर स्पर्श करती हैं। बिन्दु C से वृत्त की स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X’Y’ को B पर काटती है।
∴ बिन्दु A से वृत्त पर AP व AC स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ AP = AC
ΔOPA तथा ΔOCA में,
OP = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)
AP = AC (बाह्य बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा)
∴ ΔOPA ≅ ΔOCA (SSS सर्वांगसमता गुणधर्म से )
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।
∠POA = ∠AOC …..(1)
इसी प्रकार बिन्दु B से वृत्त पर BQ और BC स्पर्श रेखाएँ हैं।
अतः BQ = BC
ΔOQB तथा ΔOBC में,
OQ = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)
BQ = BC (बिन्दु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)
OB = OB (उभयनिष्ठ भुजा)
∴ ΔOQB ≅ ΔOCB
⇒ ∠BOQ = ∠COB …..(2)
∵ ∠POA + ∠AOC + ∠COB + ∠BOQ = 180°
समीकरण (1) व (2) से,
⇒ ∠AOC + ∠AOC + ∠COB + ∠COB = 180°
⇒ 2(∠AOC + ∠COB) = 180°
⇒ ∠AOC + ∠COB = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
∴ ∠AOB = 90°

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल:
दिया है: एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु P से PQ और PR दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध करना है: ∠ROQ + ∠QPR = 180°
उपपत्ति : OQ त्रिज्या है तथा बिन्दु P से PQ स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु Q पर स्पर्श करती है।
∠OQP = 90°
[∵ स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है]
इसी प्रकार, ∠ORP = 90°
अब चतुर्भुज ROQP में,
∠ROQ + ∠PRO + ∠OQP + ∠QPR = 360°
⇒ ∠ROQ + 90° + 90° + ∠QPR = 360°
⇒ ∠ROQ + ∠QPR = 360° – 180°
⇒ ∠ROQ + ∠QPR = 180°
अत: ∠QPR, ∠ROQ का सम्पूरक है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
हल:
दिया है: केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत एक समान्तर चतुर्भुज ABCD खींचा जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमश: E, F, G, H बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।

सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: ∵ बाहरी बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
अब वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु B से BE और BF वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ BE = BF …..(1)
इसी प्रकार, AE = AH …..(2)
CG = CF …..(3)
तथा DG = DH …..(4)
समीकरण (1), (2), (3) व (4) को जोड़ने पर,
(BE + AE) + (CG + DG) = (BF + CF) + (AH+DH)
⇒ AB + CD = BC + AD …..(5)
∵ दिया है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB = CD
और BC = AD …..(6)
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ
समीकरण (5) व (6) से,
AB + AB = BC + BC
⇒ 2AB = 2BC
⇒ AB = BC
∴ AB = BC = CD = AD
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 12.
4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

हल:
4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक ΔABC खींचा गया है। त्रिभुज की भुजाएँ BC, CA, AB वृत्त को क्रमश: D, E F बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
∵ किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
∴ AE = AF = x सेमी (माना)
CE = CD = 6 सेमी
और BF = BD = 8 सेमी
OF, OE, OA, OB तथा OC को मिलाया।

हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB
ΔABC में, b = AC = (x + 6) सेमी
a = CB
= (6 + 8) सेमी = 14 सेमी
c = BA(8 + x) सेमी

ΔOBC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 4
= 28 सेमी² …..(2)
ΔBOA का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × (8 + x) × 4
= ( 16 + 2x ) सेमी² …..(3)
ΔAOC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × (6 + x) × 4
= (12 + 2x) सोमी² …(4)
ΔABC का क्षेत्रफल = ΔOBC का क्षेत्रफल + ΔBOA का क्षेत्रफल + ΔAOC का क्षेत्रफल
\(\sqrt{48 x^2+672 x}\) = 28 + 16 + 2x + 12 + 2x
⇒ \(\sqrt{48 x^2+672 x}\) = 4x + 56
⇒ \(\sqrt{48 x^2+672 x}\) = 4(x + 14)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
48x² + 672x = 16(x + 14)²
⇒ 48x(x + 14 ) = 16(x + 14)²
⇒ 3x = x + 14
⇒ 2x = 14
⇒ x = \(\frac{14}{2}\) = 7
∴ AC = (x + 6) सेमी
= (7 + 6) = 13 सेमी
और AB = (x + 8 ) सेमी
= (7 + 8) = 15 सेमी
अतः AB = 15 सेमी
और AC = 13 सेमी।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल:
दिया है: केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज PQRS जिसकी भुजाएँ PQ, QR, RS और SP वृत्त को क्रमश: L, M, N, T बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।

सिद्ध करना है: ∠POQ + ∠SOR = 180°
और ∠SOP + ∠ROQ = 180°
रचना: वृत्त के केन्द्र O से P, Q, R, S, L, M, N तथा T को मिलाया।
उपपत्ति: OL, OM, ON तथा OT वृत्त की त्रिज्याएँ हैं तथा QL, MQ, RN तथा ST वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
QL ⊥ OL, QM ⊥ OM, RN ⊥ ON तथा ST ⊥ OT (प्रमेय 10.1 से)।
अब समकोण ΔOMQ तथा समकोण ΔOLQ में
∠OMQ = ∠OLQ (प्रत्येक 90° है)
कर्ण OQ = कर्ण OQ (उभयनिष्ठ भुजा)
तथा OM = OL (वृत्त की समान त्रिज्याएँ)
∴ ΔΟΜQ ≅ ΔΟLQ (RHS सर्वागसमता गुणधर्म से)
⇒ ∠3 = ∠2 (CPCT)
इसी प्रकार, ∠4 = ∠5
∠6 = ∠7 तथा ∠8 = ∠1
∵ वृत्त के केन्द्र बिन्दु पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है।
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠5 + ∠5 + ∠6 + ∠6 + ∠1 = 360°
⇒ 2(∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°
⇒ (∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = 180°
∠POQ + ∠SOR = 180°
[∵ ∠1 + ∠2 = ∠POQ तथा ∠5 + ∠6 = ∠SOR]
इसी प्रकार ∠SOP + ∠ROQ = 180°
अतः वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
हल:
(i) sin 18° = sin (90° – 72°)
= cos 72°
[∵ sin (90° – θ) = cos θ]
∴ \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=1\)

(ii) tan 26° = tan (90° – 64°)
= cot 64°
[∵ tan (90° – θ) = cot θ]
∴ \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=1\)

(iii) cos 48° – sin 42°
= cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42°- sin 42°
[∵ cos (90° – θ) = sin θ]
= 0

(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ]

प्रश्न 2.
दिखाइए कि:
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल:
(i) L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan 48° tan 23° cot 48° cot 23° [∵ tan (90° – θ) = cot θ)
= tan 48° tan 23° × \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}} \times \frac{1}{\tan 23^{\circ}}\)
= 1 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S.= cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos (90° – 52°) cos (90° – 38°) – sin 38° sin 52°
= sin 52°.sin 38° – sin 38°.sin 52°
= 0 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : tan 2A = cot (A – 18°)
A का मान ज्ञात करने के लिए हमें दोनों ओर या तो cot θ या tan θ चाहिए।
[∵ cot (90° – θ) = tan θ]
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A – 18°
3A = 108°
∴ A = 36°

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल:
∵ tan A = cot B
⇒ tan A = tan (90° – B)
[∵ cot θ = tan (90° – θ)]
⇒ A = 90° – B
∴ A + B = 90°
अत: tan A = cot B होने पर A + B = 90° होगा।

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, sec 4A = cosec (A – 20°)
A का मान ज्ञात करने के लिए हमें दोनों ओर sec θ या cosec θ चाहिए।
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ]
90° – 4A = A – 20°
5A = 110°
A = 22°

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि
\(\sin \frac{(B+C)}{2}=\cos \frac{A}{2}\)
हल:
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्त:कोण हो तो त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग
A + B + C = 180°
या B + C = 180° – A

[∵ sin (90° – θ) = cos θ]

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
{∵ sin (90° – θ) = cos θ
और cos (90° – θ) = sin θ}

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी

लघूत्तरात्मक/निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :

हल:
बहुलक के लिए, दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 61 है।
इसका संगत वर्ग-अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग = 60 – 80
l = 60, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38, h = 20

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यम 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल:

परन्तु बारम्बारता का योग Σf_i = N = 80 है। अंतिम संचयी बारम्बारताओं के योग के बराबर होता है।
∴ 45 + x + y = 80
⇒ x + y = 80 – 45
⇒ x + y = 35 ……(1)
अब \(\frac{N}{2}=\frac{80}{2}=40\)
तथा बंटन का माध्यक = 28.5 है।
जोकि वर्ग अंतराल 20 – 30 में स्थिति है।
माध्यम वर्ग = 20 – 30
l = 20, f = 20, c = 5 + x और h = 10

57 = 75 – x
x = 18
x का मान समी. (1) में रखने पर 18 + y = 35
अतः y = 17

प्रश्न 3.
नीचे दिए गए बंटन का माध्य 50 हो तो x व y के मान ज्ञात कीजिए :

हल:
संचयी बारम्बारता सारणी

परन्तु बारम्बारताओं का योग Σf_i = N = 120 है अंतिम संचयी बारम्बारता वर्ग बारम्बारताओं के योग के बराबर होता है।
68 + x + y = 120
x + y = 120 – 68
x + y = 52 …..(1)
अब \(\frac{N}{2}=\frac{120}{2}=60\)
तथा बंटन का माध्यक = 50 है।
जोकि वर्ग अन्तराल 40 – 60 में स्थिति है।
माध्यक वर्ग = 40 – 60
l = 40, f = 32, c = 17 + x और h = 20

⇒ 50 = 320 + 215 – 5x
⇒ 400 – 535 = -5x ⇒ 5x = 135 ⇒ x = 27
x का मान समीकरण (1) में रखने पर
27 + y = 52
y = 25

प्रश्न 4.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है : Σ(f) = N = 100
अतः 76 + x + y = 100 ⇒ x + y = 100 – 76 = 24 …..(1)
माध्यक 525 है जो वर्ग 500 – 600 में स्थित है।
∴ l = 500; ƒ = 20, C = 36 + x, h = 100

x = 14 – 5
∴ x = 9
समीकरण (1) से, 9 + y = 24
⇒ y = 24 – 9
∴ y = 15
अतः x = 9 और y = 15

प्रश्न 5.
गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नलिखित है :

इन आँकड़ों से कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए एवम् बहुलक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि कंल्पित माध्य (A) = 47.5

समान्तर माध्य (x) = A + \(\frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}\) = 47.5 + \(\frac{435}{30}\)
= 47.5 + 14.5 = 62
दी गयी सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 7 है।
अतः 7 के संगत वर्ग अन्तराल 40 – 55 है। अतः बहुलक वर्ग 40 – 55 होगा।
l = 40, f₀ = 3, f₁ = 7, ƒ₂ = 6 तथा h = 15

अतः माध्य = 62 तथा बहुलक = 52

प्रश्न 6.
निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्यx ज्ञात कीजिए :

हल:

समान्तर माध्य (x) = A + \(\frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}\)
= 47.5 + \(\frac{465}{30}\)
= 47.5 + 15.5 = 63
दी गयी सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 7 है।

प्रश्न 7.
एक मेडिकल की प्रवेश परीक्षा में 400 विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्न सारणी में दर्शाये गए हैं :

उपर्युक्त बंटन को एक ‘से कम’ प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:
‘से कम’ प्रकार का संचयी बारम्बारता बंटन

(i) बिन्दुओं A(450, 30); B(500, 75); C(550, 135); D(600, 187); E(650, 241); F(700, 308); G(750, 353) और H(800, 400) को ग्राफ पेपर पर उचित पैमाना मानकर अंकित किया।
(ii) इन सभी बिन्दुओं को हाथ से जोड़कर ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचा।

अत: ABCDEFG ही अभीष्ट तोरण है।

प्रश्न 8.
कक्षा X के 60 विद्यार्थियों के अंक निम्नवत् हैं :

इस बंटन को ‘कम प्रकार’ के बंटन में बदलिए। तोरण वक्र खींचकर माध्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
‘कम प्रकार’ का संचयी बारम्बारता बंटन

अब बिन्दुओं A(10, 4), B(15, 12), C(20, 22), D(25, 42), E(30, 60) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया। अब सभी बिन्दुओं को हाथ से जोड़ते हुए तोरण खींचा।

माध्यक के लिए :
(i) Y-अक्ष पर 30 विद्यार्थियों पर एक बिन्दु अंकित किया।
(ii) इस बिन्दु से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींची जो वक्र को P बिन्दु पर काटती है।
(iii) बिन्दु P का भुज ज्ञात किया जो कि 22 है।
अतः माध्यक = 22 अंक।

प्रश्न 9.
किसी मोहल्ले के एक शॉपिंग कॉम्प्लेक्स (shopping complex) की 30 दुकानों द्वारा अर्जित किए गए वार्षिक लाभों से निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त होता है।

उपर्युक्त आँकड़ों से (i) ‘अधिक प्रकार’ का तोरण वक्र खींचिए।
(ii) एक ही अक्षों पर दोनों तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) बिन्दुओं A(5, 30); B(10, 28); C(15, 16); D(20, 14); E(25, 10); F(30, 7) और G(35, 3) को उचित पैमाना मानकर ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं। सभी बिन्दुओं को एक मुक्त हस्त से जोड़ते हुए तोरण खीचते है।
अत: A B C D E F G ही अभीष्ट तोरण है।

(ii) दिये गये बारम्बारता बंटन से, वर्ग-अन्तराल, संगत बारम्बारताएँ और संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।

अब बिन्दुओं (10, 2); (15, 14); (20, 16); (25, 20); (30, 23); (35, 27); (40, 30) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं। इन सभी बिन्दुओं को मुक्त हस्त से जोड़कर ‘कम प्रकार’ का तोरण खींचते हैं।
इस वक्र को ‘अधिक प्रकार’ के वक्र के साथ आलेखित करने से दोनों प्रकार के वक्र एक ही अक्ष पर प्राप्त हो जाते हैं।

दोनों तोरण के प्रतिच्छेद बिन्दु से क्षैतिज अक्ष पर लम्ब डालने पर प्राप्त लाभ माध्यक होगा।
अतः माध्यक = ₹ 17.5 लाख

प्रश्न 10.
निम्न बारंबारता का बहुलक 36 है। लुप्त बारंबारता (f) का मान ज्ञात कीजिए :

हल:
दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक 36 है, इसलिए बहुलक वर्ग 30-40 है।
∴ l = 30, f₀ = f, f₁ = 16, f₂ = 12 तथा h = 10

⇒ 6 × (20 – f) = (16 – f) × 10
⇒ 120 – 6f = 160 – 10f
⇒ 10f – 6f = 160 – 120
⇒ 4f = 40
⇒ f = 10
अतः लुप्त बारंबारता, f = 10.

प्रश्न 11.
निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

हल:

∵ अधिकतम बारंबारता = 12
∴ बहुलक वर्ग = 60 – 80
∴ l = 60, f₀ = 10, f₁ = 12, f₂ = 6, h = 20
अब बहुलक = \(60+\left(\frac{12-10}{2 \times 2-10-6}\right) \times 20\)
= \(60+\frac{2}{8} \times 20\)
= 60 + 5 = 65

प्रश्न 12.
निम्न तालिका एक गाँव की 100 फार्मों में गेहूँ की प्रति हैक्टेयर (क्विंटलों में) उपज के आँकड़ें दर्शाता है :

उपरोक्त बंटन को ‘से अधिक’ प्रकार के बंटन में बदलकर उसका तोरण खींचिए।
हल:

अब तोरण बिन्दुओं को ग्राफ पर अंकित करके मुक्त हस्त से वक्र खींचते हैं जैसे कि निम्न आकृति में दर्शाया गया है।
इस प्रकार प्राप्त वक्र को “से अधिक प्रकार” का तोरण कहते हैं।

प्रश्न 13.
निम्न बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ अधिकतम वर्ग बारंबारता 16 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 30 – 40 है।
अतः बहुलक वर्ग 30 – 40 है।
अब बहुलक़ वर्ग = 30 – 40
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 30 तथा वर्ग माप (h) = 10
f₁ = 16, f₀ = 10 तथा f₂ = 12

प्रश्न 14.
नीचे दी गई सारणी में 280 लोगों का वेतन मान दर्शाया गया है :

उपर्युक्त आँकड़ों से माध्यक वेतन मान ज्ञात कीजिए।
हल:

\(\frac{N}{2}=\frac{280}{2}\) = 140
माध्यम वर्ग = 10 – 15
f = 133
c.f. = 49
h = 5

अतः लोगों का माध्यक वेतन ₹ 13.42 है।

प्रश्न 15.
निम्नलिखित बंटन को ‘से कम प्रकार’ के बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए :

हल:

अब तोरण बिन्दुओं को ग्राफ पर अंकित करके मुक्त-हस्त से वक्र खींचते हैं। जैसे कि निम्न आकृति में दर्शाया गया है। इस प्राकर प्राप्त वक्र को “से कम प्रकार” का तोरण कहते हैं।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).

1. ऐसे आँकड़े जिनका व्यवस्थितिकरण वर्गों के रूप में होता है, ……………… आँकड़े कहलाते हैं।
2. यदि कोई प्रेक्षण वर्ग की उच्च सीमा में आता है, तो उसे अगले ……………… में लेते हैं।
3. जिस प्रेक्षण की बारंबारता अधिकतम होती है वह उन प्रेक्षणों का ……………… कहलाता है।
4. 100 प्रेक्षणों वाले एक बंटन के ‘से कम प्रकार’ का तोरण तथा ‘से अधिक प्रकार’ का तोरण बिन्दु (58, 50) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बंटन का माध्यक ……………… है।
5. माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता ……………… से अधिक तथा समीपतय होती है।

उत्तर:

1. वर्गीकृत,
2. अन्तराल,
3. बहुलक,
4. 58,
5. \(\frac{n}{2}\)

निम्न में सत्य / असत्य बताइए :

प्रश्न (ख).

1. अधिकतम बारंबारता वाले वर्ग को माध्यिका वर्ग कहते हैं।
2. f₀ बहुलक वर्ग से ठीक अगले वर्ग की बारंबारता होती है।
3. संचयी बारंबारता दो प्रकार की होती है-‘से कम प्रकार’ तथा ‘से अधिक प्रकार’ की।
4. सभी प्रेक्षणों के योगफल को, प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग देने पर माध्यक प्राप्त होता है।
5. माध्यकं = 3 × बहुलक – 2 × बहुलक

उत्तर:

1. असत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. असत्य

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक बंटन का माध्य तथा माध्यक क्रमशः 14 तथा 15 है। अतः बहुलक का मान होगा :
(A) 16
(B) 17
(C) 17
(D) 13
हल:
बहुलक 3 × माध्यक – 2 × माध्य
= 3 × 15 – 2 × 14
= 45 – 28
= 17
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 2.
बारम्बारता बंटन के माध्य, मध्यिका तथा बहुलक के बीच निम्न सम्बन्ध है :
(A) बहुलक = 3 माध्य – 2 माध्यिका
(B) बहुलक = 3 मध्यिका – 2 माध्य
(C) बहुलक = 2 माध्यिका – 3 माध्य
(D) बहुलक = माध्यिका + 2 माध्य।
हल:
बारम्बारता बंटन के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच निम्नलिखित सम्बन्ध होता है-
बहुलक = 3 मध्यका – 2 माध्य
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
यदि x_i वर्गीकृत आँकड़ों के वर्गअन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, f_i इनकी संगत बारम्बारताएँ हैं तथा माध्य \(\bar{x}\) है, तो Σ(f_ix_i – \(\bar{x}\)) बराबर है :
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 2
हल:
सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 4.
वर्गीकृत आँकड़ों की ‘से कम प्रकार’ और ‘से अधिक प्रकार’ की संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के भुज से आँकड़ों का प्राप्त होना है :
(A) माध्य
(B) माध्यक
(C) बहुलक
(D) उपरोक्त सभी
हल:
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग होता है, ज्ञात करने में :
(A) माध्य
(B) बहुलक
(C) माध्यक
(D) सभी में।
हल:
संचयी बारम्बारता सारणी माध्यक ज्ञात करने के लिए सहायक होती है। अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
दिए गए सूत्र \(\bar{X}\) = a + h\(\bar{x}\) में, u_i का मान होगा :
(A) h(x_i – a)
(B) \(\frac{x_i-a}{h}\)
(C) \(\frac{a-x_i}{h}\)
(D) \(\frac{x_i+a}{h}\)
हल:
u_i = \(\frac{x_i-a}{h}\) होता है।
अत: सही विकल्प (B) होगा।

प्रश्न 7.
निम्न बंटन पर विचार कीजिए-

माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है :
(A) 15
(B) 25
(C) 30
(D) 35
हल:
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 20 है। इसके संगत वर्ग अन्तराल 15 – 20 है । अत: बहुलक वर्ग = 15 – 20 होगा।
माध्यक के लिए,

यहाँ N = 66 ⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{66}{2}\) = 33
33 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 37 के संगत वर्ग अन्तराल 10 – 55 है।
अतः माध्यक वर्ग = 10 – 15
अतः माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग 10 + 15 = 25
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 8.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या है :

(A) 8
(B) 6
(C) 17
(D) 25
हल:

अतः उपर्युक्त सारणी में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या 25 होगी।
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 9.
बंटन :

के लिए वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता है :
(A) 3
(B) 4
(C) 48
(D) 51
हल:
दी गयी संचयी बारम्बारता सारणी को सामान्य बारम्बारता सारणी में परिवर्तित करेंगे।

अतः वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता 3 है।
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 10.
यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो x का मान है :
(A) 11
(B) 15
(C) 18
(D) 16
हल:

⇒ 9 × 4 = 21 + x
⇒ 36 = 21 + x
∴ x = 36 – 21 = 15
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 11.
बंटन :

के लिए, माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है :
(A) 0
(B) 19
(C) 20
(D) 38
हल:
दिए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 20 है। इसके संगत वर्ग अन्तराल 125 – 145 है। अत: बहुलक वर्ग = 125 – 145 होगा।
माध्यक के लिए संचयी बारम्बारता सारणी

यहाँ N = 67 ⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{67}{2}\) = 33.5
33.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 42 के संगत वर्ग अन्तराल 125 – 145 है। अतः माध्यक वर्ग = 125 – 145.
∴ माध्यक वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर 145 – 125 = 20
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 12.
चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53, 75, 42, 70 हैं। उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है :
(A) 42
(B) 64
(C) 60
(D) 56
हल:

= \(\frac{240}{4}\)
= 60
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 13.
बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है :
(A) 7
(B) 4
(C) 3
(D) 1
हल:
ऊपर दी गई सारणी को देखने से स्पष्ट होता है कि 4 की बारम्बारता सबसे अधिक (3 बार है)। अतः इसका बहुलक 4 होगा।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 14.
किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है :

इसका बहुलक है :
(A) 41
(B) 12
(C) 3
(D) 17
हल:
ऊपर की सारणी से स्पष्ट होता है कि बारम्बारता 41 सबसे अधिक है तथा इसका संगत आयु वर्ग 12 है। अतः इसका बहुलक 12 होगा।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 15.
बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक होगा :
(A) 4
(B) 7
(C) 11
(D) 3.5
हल:
पदों को आरोही क्रम में रखने पर 1, 2, 3, 4, 5, 7
यहाँ पदों की संख्या N = 6 जो कि सम है, अतः


अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 16.
बंटन 1, 3, 2, 5, 9 का माध्यक होगा :
(A) 3
(B) 4
(C) 2
(D) 20
हल:
पदों को आरोही क्रम में रखने पर, 1, 2, 3, 5, 9
यहाँ पदों की संख्या (N) = 5 है जो कि विषम है।
माध्यक = \(\frac{1}{2}\) वें पद का मान = \(\frac{1}{2}\) वें पद का मान
= \(\frac{1}{2}\) वें पद का मान
= 3 वें पद का मान = 3
अत: सही विकल्प (A) है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.1

प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं ?
हल:
किसी वृत्त की परिधि पर स्थित प्रत्येक बिन्दु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। परन्तु वृत्त की परिधि पर असंख्य बिन्दु होते हैं। इसलिए वृत्त पर असंख्य (अनन्त) स्पर्श रेखाएं खींच सकते हैं।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ……………… बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ……………… कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की ……………… समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ………………. कहते हैं।
हल:
(i) केवल एक,
(ii) छेदक,
(iii) अधिकतम दो,
(iv) स्पर्श बिंदु

प्रश्न 3.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी, PQ की लम्ब है।
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) \(\sqrt{119}\) सेमी।
हल:
OQ = 12 सेमी
OP = 5 सेमी

∵ PQ एक स्पर्श रेखा है जो त्रिज्या OP पर लम्ब है।
समकोण ΔPOQ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
OQ² = PQ² + OP²
(12)² = PQ² + (5)²
⇒ PQ² = (12)² – (5)²
⇒ PQ² = 144 – 25
⇒ PQ² = 119
∴ PQ = \(\sqrt{119}\) सेमी
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
हल:
माना O केन्द्र का एक वृत्त है और PQ एक दी गई रेखा है। हमें PQ के समान्तर दो रेखाएँ (माना CD व AB) खींचनी हैं जिनमें CD स्पर्श रेखा और AB छेदक रेखा हो।

रचना विधि : (i) रेखा PQ पर केन्द्र बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो वृत्त को C पर काटे।
(ii) त्रिज्या OC के बिन्दु C पर लम्ब CD खींचा। CD स्पर्श रेखा है।
(iii) OC पर एक बिन्दु M से लम्ब AB खींचा। AB छेदक रेखा है।