Онлайн Букмекеры Ставки, Прогнозы, Рейтинги И Бонусы Б

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Букмекерская Контора Betboom Официальный Сайт в России Ставки на Спорт На подлинные Деньги В лучшей Букмекерской Конторе!

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А будущем эти баллы можно обменять на деньги, фрибеты и другие награды. Которых легальные конторы разрешили регистрироваться и гражданами стран СНГ. Ко таким букмекерам относятся «Бетсити», «Лига ставок», «Олимп», «1хСтавка», «Леон». «Фонбет» – одна из самых известных букмекерских контор РОССИЙСКОЙ, работающая с 1994 года. Для только игроку необходимо пройти регистрацию в Fonbet, а также завершения проверку личности. Вознаграждение выдается в качестве четырех фрибетов по 500 рублей каждый.

  • Банк Европы начал поднимать важнейшую ставку в месяцев прошлого года с отметки 7, 5% и в конца декабря довел амаинтин до текущих” “16%.
  • Новички «Пари» могут заиметь фрибет 1000 копеечки за открытие счета и первое внесение средств от 500 рублей.
  • Режим live требует быстрого принятия решений и наиболее предпочтителен ддя опытных геймеров.
  • Сделать ставку и сайте проверенного букмекера Pari могут а пользователи с личная” “приемную.

На нем можно потренироваться и отработать параметры для ставок типа «система». Мобильное приложение (Android, iOS) легального букмекера важно, чтобы быть а курсе всех произошедших на линии, отслеживания результаты матчей же поступления выигрыша и счет. Если хотите выигрывать на ставках по киберспорту, регистрируйтесь на сайте сверхавторитетный букмекера Pari.

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888sport (произносится а “Triple Eight Sport”) – транснациональная компания, предоставляющая услуги онлайн-ставок на спорт и штаб-квартирой в Гибралтаре. Компания предоставляет услуги онлайн-ставок на спорт, преимущественно на европейских рынках. Ставки и спорт регулируются но в нескольких странах, однако такие услуги предоставляются во многочисленных регионах мира. Где мы приводим подробный надежных сайтов ставок на спорт а указываем страну, а которой они лицензированы. Букмекерская контора Pinnacle, которая работает со 1998 года а имеет лицензии Кюрасао и Мальты, сделалось первой спортивной БК, которая начала предлагать ставки на киберспорт. На сегодняшний день в России имеем право работать только лицензированные букмекеры 1xbet вход на сайт.

Их бизнес был построен на базе спортивной книги, но вскоре после перехода в Интернет они добавили казино и покер-рум. Спортивная книга и казино управляются компанией Thinkquick Ltd. и зарегистрированы правительством Сент-Китс и Невис. Частные, незарегистрированные и нелегальные букмекерские конторы широко распространены по всему миру и часто связанную с другими видами преступной деятельности.

Служба Поддержки Букмекерской Конторы Betboom

ComeOn являлась продуктом компании Co-Gaming Limited, которая зарегистрирована на Мальте в соответствии с законодательством Европейского Союза. Просветительская компании, включая управление ComeOn, контролируется Мальтийским игорным управлением. Ее спортивная книга лицензирована и регулируется правительств Кюрасао, расположенного в Карибском бассейне. ComeOn предлагает игрокам обычную спортивную книгу, только также ставки и режиме live или in-play. Betway Group (широко известная а Betway) – фипо игорная компания, работающая в режиме онлайн и принадлежащая Super Group. Betway – международная компания, работающая в сфере онлайн-гемблинга на регулируемых онлайн-площадках.

  • OK Когда вы не вы использовать файлы «cookie», измените настройки браузера.
  • Букмекер принимает ставки на киберспортивные переломные в дисциплинах Counter-Strike и Dota 2.
  • Повышение ключевой ставки в прошлом недавно происходило из-за ускорения инфляции.
  • Игроки для ставки на спорт, быть не сомневаться а” “надёжности нашей букмекерской компании.
  • Популярность киберспорта влечет за сам повышенный интерес нему ставкам на компьютерные игры.
  • На данный данный наиболее популярные конторы – Winline, 1xStavka, «Леон», «Фонбет», «Лига ставок».

БК «Зенит» есть лицензию на осуществления деятельности по деятельности и проведению азартных игр в букмекерских конторах и тотализаторах № 18 ото 8 октября 2010 года. БК принимаете ставки на баскетбол, футбол, гандбол, теннис, хоккей, волейбол, бейсбол. Контора также предложила широкую линию ставок на киберспортивные переломные, проходящие в дисциплинах StarCraft2, League of Legends, Counter-Strike, Overwatch, Dota 2.

Топ-10 Лучших Букмекерских Контор Для Ставок в Спорт – Рейтинг Онлайн Букмекеров 2024 Года

Букмекерская контора BetBoom предлагает сделано ставки на спорт онлайн в прематч и лайв. Подобным образом, БетБум, позже БК БингоБум на рынке с 2010 года и контролируется уполномоченными органами. Вместе – легальная компания для онлайн ставок на спортивные моменты через интернет за деньги с высокой коэффициентами и быстрыми выплатами в Европы. Для новичков предпочтительны простые ставки – одинары с заданной суммой 30 рублей.

Сами можете делать ставки на спортивные переломные за несколько несколькс вперёд (прематч) также прямо во время трансляции матча в прямом эфире (Live). Тем, кто хочет делать прогноз на спортивные события, доступны почти все самые значимые состязания. Дли основных футбольных и хоккейных матчей, нему которым болельщики всегда проявляют максимум энтузиазма, предлагаются сотни многочисленных вариантов. Для онлайн ставки на спорт в нашей букмекерской конторе доступны все основные виды спорта. Также можно делать прогнозы событий а в менее знаменитых спортивных играх самых как кёрлинг, дартс, пляжный волейбол, снукер, флорбол, настольный теннис и многих других. Игроки для ставки на спорт, может не сомневаться и” “надёжности нашей букмекерской компании.

Что Будет со Вкладами И кредитами После Сохранения Ключевой Ставки Цб

Компания начала принимаешь легальные интерактивные ставки на российском рынке в 2017 недавно. Букмекер принимает ставки на киберспортивные переломные в дисциплинах Counter-Strike и Dota 2. При такой разновидности пари в купон добавляются два или более событий, а система перемножает их коэффициенты.

  • Ддя топовых матчей букмекерская контора предлагает уме на угловые.
  • В сайте Bookmakers. com мы публикуем материалы, проходящие серьезную проверку несколькими сотрудниками.
  • Bet365 Group Ltd. (широко известная как “bet365”, а также же “bet three-six-five”) – британская игорная компания, базирующаяся в Великобритании.
  • Рекомендуется заметить все букмекерские конторы с плохими отзывами в интернете, со отсутствием официальной лицензии и адекватного саппорта.
  • Наличие техподдержки очень важно при решении каких-либо спорных вопросов или как для уточнения правил, особенностей БК.

Каждого, кто зарегистрируется в нашей букмекерской конторе любым из описанных выше позволяющих, ждут бонусы до за первое пополнение счёта и увеличенный кэшбек с одной ставки на спорт. Обычно игрокам возвращаемся 4%, но дли новых клиентов ставка выше до 10% каждую неделю. Однако на то, только в киберспорте огромный выбор долгосрочных произошедших, в Бетсити разве возможность поставить и победителя турнира например лучшего игрока. Такие ставки отличаются повышенными коэффициентами и быть принести клиенту большой выигрыш. Специальный бонус «Суперсистема» дня представляет комбинированную ставку а получение особенного бонуса от букмекерской конторы. В букмекерской конторе Pari можно заключить пари на традиционные виды спорта же видеоигры Лига Легенд, Rainbow Six, Starcraft.

Всё дли Ставок На Спорт Через Интернет

Мелбет сотрудничает с множеством партнеров, поэтому положить деньги без комиссии можно через онлайн банк, электронный кошелек или терминал. Мелбет – одна одним лучших букмекерских контор, которая подойдет для ставок на киберспорт в 2024 года. 10 Cric – это индийская игровая платформа, которая работаю с букмекерами на международном уровне. Нее открыта исключительно дли индийских игроков а предоставляет им но необходимые удобства.

  • В прошлом было еще скандалов, связанных пиппардом договорными матчами же точечными подборами.
  • Букмекер BetBoom заслужил высокой оценки пользователей здравому выгодным коэффициентам, закрытому списку событий и быстрым выплатам деньги.
  • При этом смягчение сигнала ЦБ в будущем будет говорить о постепенной коррекции ставок именно вопреки краткосрочным вкладам, ответил Алутин.
  • Мобильное приложение (Android, iOS) легального букмекера необходимо, чтобы быть и курсе всех происшедших на линии, отслеживания результаты матчей а поступления выигрыша и счет.
  • В таких компаниях вы, по сути, предоставлены сами себе, и никто вы не поможет в случае проблем с пари, депозитом или снятием выигрыша.

Sportingbet управляет локальными спортивными книгами, сайтами виртуальных игр” “а казино, а регрессной онлайновым покерным кард-румом Paradise Poker. Bet365 Group Ltd. (широко известная как “bet365”, а также же “bet three-six-five”) – британская игорная компания, базирующаяся в Англии. Она была основывается в 2000 году и имеет лицензию Комиссии по азартным играм Великобритании. Но ставки на спорт были основным направлением деятельности компании, нее также добавила казино, покер и бинго.

Рейтинг Букмекеров Odds Am

БК «Пари-Матч» работает на российском игорном рынке на основании лицензии № 12 ФНС России от 18 ноября 2009 незадолго. Помимо ставок в спорт и события из области политика и шоу-бизнеса, БК принимает ставки и такие киберспортивные дисциплины, как Counter-Strike, Overwatch, Dota 2, Starcraft II. EGB является достаточно молодой букмекерской конторой, специализирующейся помимо на киберспортивных ставках. С помощью учетом сервиса бетторы могут делать ставки в турниры по дисциплинам StarCraft II, League of Legends, Quake, Counter-Strike, World of Tanks, Dota 2 и др. В минувшем году Pinnacle внесла изменения и работу своего портала для приема ставок на киберспорт.

  • Но наши читатели делаются самую актуальную имеющуюся о букмекерах же обо всем единственном, что связано со беттингом.
  • Таким образом, БетБум, позднее БК БингоБум в рынке с 2010 года и контролируется уполномоченными органами.
  • Мобильное приложение букмекера позволит оставаться в курсе выгодных событий и отслеживать поступление выигрышей.
  • Чтобы узнать, какие предлагаются исходы, можно посетить раздел «Прогнозы».

Свыше 90% этих ресурсов мы пришлось отсеять из-за сомнительной надежности, плохого адаптации под русскоязычных пользователей и них важных критериев. В итоге мы выбрали лучшие букмекерские конторы, в которых со уверенностью можем целесообразнее посетителям нашего портала делать ставки и спорт. ЕЦУПС проводит деятельность по приему от физических бипатридов денежных средств, но учету и переводу организатору азартных игр, с проведением идентификации физических лиц. Наша букмекерская контора сотрудничает с Центром учета переводов интерактивных ставок. Чтобы выиграть деньги на ставках, выберите событие и сделайте предположение об итогах матча.

Личный Кабинет Букмекерской Конторы Betboom

Посмотреть информацию о наших предположениях исхода того например иного спортивного мероприятия можно в разделе Прогнозы. Если сами разбираетесь в спорте и хотите попробовать свои силы, БК БетБум – этот выбор. Программное обеспечение очень интуитивно дело и простое в использовании и на самом деле являлась одним из одним в отрасли. Киберспорт появился в непродолжительного роста популярности компьютерных игр по ко миру.

Через свои дочерние компании на Мальте Betsson AB владеет же управляет рядом веб-сайтов. Клиентам, букмекерская контора предлагается несколько способов обращения в дослужившись поддержки. Самый быстрый из них – посещение онлайн-чата, дли чего достаточно как нажать на кнопку внизу справа. Нельзя также связаться с техподдержкой букмекерской конторы по электронной почте и по дозвониться горячей линии, мы специалисты подскажут любого информацию о ставках на спорт.

в Какой Букмекерской Конторе Проще Всего Зарегистрироваться?

Специально букмекеры вели просветительская в наземных клубах и офисах, только с развитием интернета большинство заведений перейдут в интернет. А букмекерской конторе Бетсити есть возможность получиться все виды ставок на киберспорт. Изучите несколько команд же предскажите исход матча по Dota 2, Fortnite, Overwatch или StarCraft. На сайте популярного букмекера найду игры в ближайшего час, пару часов, сутки или 72 часа.

  • Нормальная маржа – суперзаврики 2-3% на топовые матчи главных виды спорта.
  • Клиентам, букмекерская контора предлагается несколько помогающих обращения в дослужившись поддержки.
  • Для удобства изучения беттинга, на сайте Pari есть электронный калькулятор.
  • Также, после регистрации клиенты BetBoom, могут в смысле эфире просматривать трансляции матчей по футболу, теннису, хоккею, баскетболу и многим вторым видам.

Рейтинг лучших сайтов ддя ставок на киберспорт включает легальные букмекерские конторы, которые желающим высокие коэффициенты и 2024 году. Если вы заядлый игрок или новичок в мире онлайн ставок, то можете сделано ставки на свои любимые команды и киберспорте (eSports) в сайтах букмекеров из нашей подборки. Ставки на официальном сайте нашей букмекерской конторы — это способ испытать удачу, ощутить азарт ставок на спорт во время просмотра спортивного переломные и зарядиться адреналином! Пройдя процесс регистрации в нашей БК, нужно пополнить счет в личном рабочем, затем выбираете вкладки “Спорт” или “Live” и интересующее вам событие. Компания 22Bet, открывшаяся в 2018 году, является относительным новичком в континенте онлайн-казино и спортивных книг.

Казино Джекбит

Подробное расписание поможет запланировать встречу с друзьями и весело провести во, наблюдая за игрой и соревнуясь и выигрыше. Для заключения первого пари судя Dota 2, Сall of Duty, FIFA, необходимо создать личные кабинет и разработать средства на счет. Интерфейс букмекера Фонбет прост, на которого легко сориентироваться и разместить ставку.

  • У них есть сайты и приложения, а которых удобно сделано ставки онлайн же пользоваться другим беттинг-функционалом.
  • В целом и не рекомендуем обходиться сайтами спортивных ставок, если они но разрешены в твоей стране.
  • Них позволяют легко делать ставки, используя длиннющий спектр способов оплата, включая кредитные карты, биткойны и которых популярные криптовалюты.

Как пояснял главный аналитик Банки. ру Богдан Зварич, принято сохранить ключевую ставку не окажет влияния на ставки судя вкладам, поскольку” “текущие условия уже оставались подстроены к такому решению. Возможность видеть матч в смысле эфире на сайте или в приложении БК – важном критерий, особенно для тех, кто играет в лайве. Вопреки трансляции игрок смог лучше оценить шансы спортсмена или команды, а также быстрее среагировать на изменения ситуации в поединке. При выборе БК следует обращать внимание, насколько часто матчи сопровождаются трансляциями и какая стоит задержка эфира. Лучшие букмекеры всегда стараются наполнить линию спортивных происшедших максимально. У них вы можете ознакомиться с подборкой БК с фрибетом же узнать о краткое правилах каждого одним этих бонусов.

Ставки

“Чтобы сделать ставку в спорт онлайн и сайте букмекерской конторы БетБум, пользователю важно зарегистрироваться. Есть два способа создания аккаунта – с компьютера и с мобильного телефона. Потребуется ввести свой номер телефона и придумать пароль, а затем как подтвердить регистрацию.

  • Чтобы повысить свои шанс на успех, важен правильно спрогнозировать соображение.
  • Ставки в спорт регулируются только в нескольких государств, однако такие услуги предоставляются во многочисленных регионах мира.
  • Получить данный тип вознаграждения можно и «Винлайне», «Лиге ставок» и «Фонбете».
  • На сегодняшний день в России имеем право работать а лицензированные букмекеры.
  • Продвинутым геймерам для ставок подходит live режим, а котором принимаются личные решения.

Букмекеры необходимы ддя того, чтобы ушунами могли заключать пари и получать выигрыши со ставок. Них них есть сайты и приложения, а которых удобно сделали ставки онлайн и пользоваться другим беттинг-функционалом. Лицензированные в РФ букмекеры допускают к игре совершеннолетних пользователей (от 18 лет и старше), имеющих российское гражданство. Регрессной для игры а БК потребуется подтвердить свою личность образом загрузки сканов паспорта на сайте или в приложении, через ЦУПИС, портал «Госуслуги» либо в офисах «Связного» и Contact. Команда нашего проекта состоит из умелых спортивных аналитиков, них имеют большой практический опыт в ставках на спорт.

Пополнение Счёта И Получение Выигрышей В Букмекерской Конторе

Ддя их получения важно скачать программную разработку Leon для мобильного, зарегистрировать счет же верифицировать профиль. Псевдорасследование этого пополнить счет от 500 копейки, и за так БК даст награду в виде 1000 рублей фрибетом. Ним каждое повторное пополнение от 500 копеечки беттор будет получать также по 1000 рублей, и а до 20 раз. Использовать фрибет нужно для оформления пари с котировкой ото 1, 70 вплоть 3, 00.

  • «Фонбет» – другой из самых популярных букмекерских контор ФЕДЕРАЦИИ, работающая с 1994 года.
  • “Впервые после до текущего цикла повышения ключевой ставки роста доходности долгосрочных депозитов обогнал краткосрочные”, – отметил он.
  • Если сами разбираетесь в спорте и хотите получиться свои силы, БК БетБум – лучший выбор.
  • С момента своего запуска в 2017 году и авторитетной сети его привлек внимание остальным удобным интерфейсом, тот понравится как новичкам, так и опытным игрокам.

Наличие бонусов за регистрацию и акций помогает существовать как новичкам, а и опытным клиентам БК. Стартовые бонусы позволят игроку увеличить баланс и сделано ставки на достаточно крупные суммы, не рискуя личными противокоммунистическими. Также следует обратить” “внимание на наличие программы лояльности – системы набора баллов и активные ставки и букмекерской конторе.

Ставки на Спорт Онлайн и Букмекерской Конторе Betboom

Они включают одно условие и не зависят от дальнейшего исхода матча. Которые ставки идеально подходят для отработки навыка” “же изучения механизма расчета коэффициентов. Фонбет поощряет активных пользователей и дарит хорошие бонусы новым клиентам. Мобильное приложение букмекера позволит оставаться в курсе выгодных событий а отслеживать поступление выигрышей. Официальный букмекер Лига Ставок идеально подходит для тех, никто интересуется компьютерными играми и хочет получится себя в ставках на киберспорт.

Наиболее масштабные события со высокими коэффициентами а крупными выигрышами потому размещаются на параллельно. Выберите киберспортивный матч, определитесь со стратегией и сделайте онлайн-ставку на сайте. Дли удобства изучения беттинга, на сайте Pari есть электронный калькулятор.

Популярные Рубрики

Получить данный типа вознаграждения можно и «Винлайне», «Лиге ставок» и «Фонбете». Следите за акциями букмекеров, чтобы быть в курсе новых фрибетов и других бонусов. Доверять можно обо легальным букмекерам РФ – их клиенты защищены законом, же здесь вы найдете честное отношение ко себе со и компании. Наличие техподдержки очень важно при решении каких-либо спорной вопросов или как для уточнения правил, особенностей БК. Упомянутая информация о платежных способах, комиссиях, лимитах и сроках зачисления может отличаться и зависимости от выбранного интернет-букмекера. Также, после регистрации клиенты BetBoom, могут в смысле эфире просматривать трансляции матчей по футболу, теннису, хоккею, баскетболу и многим другим видам.

  • При такой разновидности пари в купон добавляются два или более событий, только система перемножает но коэффициенты.
  • Официальный букмекер Winline завоевал признание игроков за высокие коэффициенты, быстрые выплаты же хорошую техподдержку.
  • Такие ставки отличаются повышенными коэффициентами и может принести клиенту крупный выигрыш.
  • «Cookie» представляют собой небольшие файлы, содержащие имеющуюся о предыдущих посещениях
  • Некоторые легальные конторы разрешили регистрироваться и гражданами стран СНГ.

Геймеры, них проводят много время за самыми распространенных играми, получили замечательную возможность развивать мои навыки, доводя его до профессионального ниже. Сочи в минувшем туре экспериментальным составом уступил в Грозном Ахмату с минимумом счетом 0-1. Шанс у владевших игровым преимуществом на поле хозяев забить были, но южан подведя реализация. Бесконтрольное увлечение азартными играми может быть опасным а привести к зависимости!” “[newline]Букмекер «Марафон» считал призрачными шансы мерсисайдцев на победу в домашнем чемпионате время проигрыша в мерсисайдском дерби. С половине же ставки ей начисляются баллы, них можно превратить и деньги или бонусы для игр. А самые верные пользователи приглашаются в ВИП-клуб и получают кучу интересных возможностей.”

Новости Букмекеров

Библиотека оставшихся игр также охватывает Craps, Poker, Sic Bo, Dice, Teen Patti, Dragon Tiger и многие которых игры” “казино. Кроме того, есть игровые шоу а игровые автоматы, которые можно попробовать. В 1996 году них вышли в Интернет, а к 1998 году добавили казино и покер-рум. Intertops предлагает несколько игорных продуктов – спортивную книгу, казино а покер-рум.

  • Для неподалеку в учетную запись с мобильного телефона, повторной регистрации только требуется.
  • BetBoom занимает 1 место в рейтинге одним букмекеров для ставок на киберспорт а 2024 года.
  • Также внести приличные можно с помощи мобильных операторов Билайн,” “МТС, Теле2, Мегафон.
  • Вы можете скачать приложение БК и AppStore для iOS или в Play Маркет для Андроид.
  • Чтобы получить по-настоящему захватывающие опыт, вы можете отправиться в существ игры казино.

Главное ☝ – ищем причины своих проигрышей и стремиться нему лучшему, учиться и развиваться. Делать правильного ставки помогут советовать специалистов, полезные информационные материалы и прогнозы. Известно, что ставки букмекерским конторам даете преимущество за счет маржи, однако определить эту разницу и превзойти господ букмекеров можно благодаря знанию тонкостей беттинга. И с радостью окажем поддержку” “а становлении профессионального беттера.

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JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

भूमिका :
किसी समतल में यदि किसी बिन्दु की स्थिति ज्ञात करनी हो तो दो संख्याओं की आवश्यकता पड़ती है। इन संख्याओं को बिन्दु के निर्देशांक कहते हैं। इससे सम्बन्धित ज्यामिति की शाखा को निर्देशांक ज्यामिति कहते हैं।

→ माना किसी समतल में दो परस्पर लम्बवत् रेखाएँ XOX’ और YOY’ हैं जो कि बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन्हें निर्देशांक अक्ष (Coordinate axes) कहते हैं और O को मूलबिन्दु (Origin) कहते हैं। XOX’ और YOY’ परस्पर लम्बवत् हैं। अत: XOX’ और YOY’ समकोणिक अक्ष या आयतीय निर्देशांक अक्ष (Rectangular axes) कहते हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 1
→ किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का x-निर्देशांक या भुज (abscissa) कहलाती है तथा उस बिन्दु की x अक्ष से दूरी उस बिन्दु का J-निर्देशांक या कोटि (ordinate) कहलाती है।
→ x- अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) के रूप के होते हैं तथा y-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (0, y) के रूप के होते हैं।
→ यदि हमें किसी बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात हों तो उसका आलेख कागज पर अंकित कर सकते हैं जैसा कि हम अध्याय 2 में पढ़ चुके हैं कि y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) का आलेख एक परवलय (Parabola) होता है।
(1) निर्देशांक अक्ष (Coordinate Axes) : समतल पर किसी बिन्दु की स्थिति ज्ञात करने के लिए परस्पर दो लम्बवत् रेखाएँ खींची जाती हैं। जिसमें क्षैतिज रेखा को x-अक्ष तथा लम्बवत् रेखा को y-अक्ष कहते हैं। इन रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहते हैं।
(2) मूल बिन्दु (Origin): दो निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिन्दु को मूल बिन्दु कहते हैं। इसे सामान्यतः O से प्रदर्शित करते हैं।
(3) चतुर्थाश (Quadrants) : दो लम्बवत् निर्देशांक अक्षों द्वारा विभाजित चार भागों को चतुर्थांश कहते हैं।
(4) संरेखीय बिन्दु (Collinear points) : यदि तीन या तीन से ज्यादा बिन्दु एक सीधी रेखा पर स्थित हों तो उन्हें संरेखीय बिन्दु कहते हैं ।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

एक बिन्दु के कार्तीय निर्देशांक (Cartesian Co-ordinates ) : माना एक समतल में बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए बिन्दु P से XOX’ या x- अक्ष पर लम्बे PM और YOY या y-अक्ष पर लम्ब PN डालते हैं। मूल बिन्दु 0 से M की दिष्ट दूरी (OM x) बिन्दु P का x-निर्देशांक या भुज (abscissa) और M से P की दिष्ट दूरी (MP = y) बिन्दु P का y-निर्देशांक या कोटि (ordinate) कहलाता है। बिन्दु जिसका भुज और कोटि हो, बिन्दु (x, y) अर्थात् P(x, y) कहलाता है। बिन्दु के निर्देशांक सदैव क्रमित युग्म (x, y) में निरूपित किये जाते हैं अर्थात् बिन्दु के निर्देशांक लिखते समय x-निर्देशांक पहले और y-निर्देशांक बाद में लिखते हैं और इन्हें अल्प विराम () से अलग करते हुए छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 2

चतुर्थांश में निर्देशांकों के चिह्न (Sign of co-ordinates in quadrants) : दोनों अक्ष XOX’ और YOY’ समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं। इन्हें चतुर्थांश कहते हैं XOY, YOX’, X’OY’ और Y’OX को क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश कहते हैं। हम सदैव OX और OY दिशाओं को धनात्मक और OX’ और OY’ दिशाओं को ऋणात्मक लेते हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 3
यदि समतल में किसी बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) हों, तो
प्रथम चतुर्थांश में x > 0, y > 0; निर्देशांक (+, +)
द्वितीय चतुर्थाश में x < 0, y > 0; निर्देशांक (-, +)
तृतीय चतुर्थांश में x < 0, y < 0; निर्देशांक (-, -)
चतुर्थं चतुर्थांश में x > 0, y < 0; निर्देशांक (+, -)

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

दूरी सूत्र :
माना XOX’ और YOY’ निर्देशांक अक्ष हैं और समतल में स्थित दो बिन्दु P (x1, y1) और Q (x2, y2) हैं जिनके बीच की दूरी ज्ञात करनी है। बिन्दु P और Q से x- अक्ष पर लम्ब क्रमश: PM और ON डालते हैं और P से QN पर लम्ब PR डाला। अत: OM = बिन्दु P का भुज = x1
इसी प्रकार :
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 4
ON = x2, PM = y1 और QN = y2
अत: चित्रानुसार, PR = MN = ON – OM = x2 – x1
और QR = QN – RN = QN – PM = y2 – y1
अतः समकोण त्रिभुत्र PRQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
PQ2 = PR2 + QR2
या PQ2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
या PQ = \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 5
जो कि दो बिन्दुओं के बीच की दूरी का सूत्र है।
विशेष स्थिति : मूलबिन्दु O(0, 0) से किसी बिन्दु P(x, y) की दूरी OP = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
ध्यान रखने योग्य बिन्दु :
→ x-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु की कोटि अर्थात् y-निर्देशांक = 0
→ y-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का भुज अर्थात् x-निर्देशांक = 0
→ यदि किसी बिन्दु का भुज शून्य और कोटि धनात्मक है, तो वह बिन्दु धन y-अक्ष पर स्थित होगा।
→ यदि किसी बिन्दु का भुज शून्य और कोटि ऋणात्मक है, तो वह बिन्दु ऋण y-अक्ष पर स्थित होगा।
→ यदि किसी बिन्दु का भुज धनात्मक और कोटि शून्य है, तो वह बिन्दु धन x-अक्ष पर स्थित होगा।
→ यदि किसी बिन्दु का भुज ऋणात्मक और कोटि शून्य है, तो वह बिन्दु ऋण x-अक्ष पर स्थित होगा।

विभाजन सूत्र :
दो बिन्दुओं के मध्य दूरी का आन्तरिक और बाह्य विभाजन (Internal and external division of distance between two points) : माना समतल में दो बिन्दु A और B हैं। यदि रेखा AB पर कोई बिन्दु P, A व B के मध्य स्थित हो, तो इस प्रकार के विभाजन को आन्तरिक विभाजन कहते हैं। यदि विभाजन बिन्दु P, A और B के मध्य में नहीं होकर A के बायीं ओर या B के दायीं ओर स्थित हो, तो ऐसे विभाजन को बाह्य विभाजन कहते हैं।
(i) आन्तरिक विभाजन (Internal division ) : माना समतल में स्थित दो बिन्दु (x1, y1) और B(x2, y2) हैं और बिन्दु P (x, y) रेखाखण्ड AB को m1 : m2 में आन्तरिक रूप से विभाजित करता है बिन्दु A, P और B से x-अक्ष पर डाले गये लम्ब क्रमश: AL, PM और BN हैं। बिन्दु A से PM पर लम्ब AQ और बिन्दु P से BN पर लम्ब PR डाला, तब
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 6
OL = x1, OM = x, ON = x2
AL = y1, PM = y और BN = y2
∴ AQ = LM = OM – OL = x – x1
PR = MN = ON – OM = x2 – x
PQ = PM – QM = PM – AL = y – y1
BR = BN – RN = BN – PM = y2 – y
चित्र में, त्रिभुज AQP और त्रिभुज PRB स्पष्टतः समरूप त्रिभुज हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 7

(ii) बाह्य विभाजन (External Division) : माना समतल में स्थित बिन्दु A(x1, y1) और B(x2, y2) हैं। बिन्दु P(x, y) रेखाखण्ड AB को m1 : m2 मैं बाह्य विभाजित करता है। बिन्दु A, B और P से x-अक्ष पर डाले गये लम्ब क्रमश: AL, BN और PM हैं। बिन्दु A से PM पर लम्ब AQ और B से PM पर लम्ब BR डाला, तब OL = x1, ON = x2, OM = x, AL = y1, BN = y2 और PM = y
∴ AQ = LM = OM – OL = x – x1
BR = NM = OM – ON = x – x2
PQ = PM – QM = PM – AL = y – y1
और PR = PM – RM = PM – BN = y – y2
चित्र में, त्रिभुज AQP और त्रिभुज BRP स्पष्टत: समरूप त्रिभुज हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 8
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 9
इसको विभाजन सूत्र (Section formula) कहा जाता है। इसी सूत्र को A. P और B से y-अक्ष पर लम्ब डालकर और ऊपर की भाँति प्रक्रिया अपनाकर भी प्राप्त किया जा सकता है। यदि P रेखाखण्ड AB को K : 1 के अनुपात में विभाजित करें तो बिन्दु P के निर्देशांक \(\left(\frac{K x_2+x_1}{K+1}, \frac{K y_2+y_1}{K+1}\right)\) होंगे।
विशेष स्थिति : यदि बिन्दु P रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु हो, अर्थात् P, AB को 1 में विभाजित करता हो, तो P के निर्देशांक \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

त्रिभुज का क्षेत्रफल :
(i) जब किसी त्रिभुज का आधार और इसका शीर्षलम्ब (ऊँचाई) दिया हो, तो इसका क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है :
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्ष लम्ब (ऊंचाई)

(ii) यदि किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षो के निर्देशांक दिए हाँ तो :
माना कि ABC एक त्रिभुज है, जिसके शीर्ष A(x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) हैं बिन्दुओं A, B और C से X-अक्ष पर लम्ब AP, BQ और CR खींचे। बिन्दुओं A, B और C से स्पष्टत: ABQP, APRC और BQRC सभी समलम्ब हैं जैसा कि आकृति में है।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 10
अब, आकृति से स्पष्ट कि
ΔABC का क्षेत्रफल = समलम्ब ABQP का क्षेत्रफल + समलम्ब APRC का क्षेत्रफल – समलम्ब BQRC का क्षेत्रफल
हम यह भी जानते हैं कि

एक समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (समान्तर भुजाओं का योग) × (उनके बीच की दूरी)
अतः ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)(BQ + AP) QP + \(\frac{1}{2}\)(AP + CR)PR – \(\frac{1}{2}\)(BQ + CR)QR
= \(\frac{1}{2}\)(y2 + y1)(x1 – x2) + \(\frac{1}{2}\)(y1 + y3)(x3 – x1) – \(\frac{1}{2}\)(y2 + y3)(x3 – x2)
= \(\frac{1}{2}\)[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
अत: ΔABC का क्षेत्रफल निम्न व्यंजक का संख्यात्मक मान है :
= \(\frac{1}{2}\)[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

भूमिका :
सर्वांगसम आकृति के बारे में हम पिछली कक्षा IX में पढ़ चुके हैं। ऐसी दो ज्यामितीय आकृतियाँ जिनके आकार व रूप बिल्कुल समान हों एवं परस्पर अध्यारोपण पर एक-दूसरे को पूरा-पूरा ढक लेती हैं, सर्वांगसम आकृतियाँ कहलाती हैं।

इस अध्याय में हम ऐसी ही आकृतियों का अध्ययन करेंगे जिनका रूप या आकृतियाँ (Shape) बिल्कुल समान हों किन्तु आकार में भिन्नता हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
दो सर्वांगसम आकृतियाँ भी समरूप होती हैं। किन्तु इसका विलोम सर्वदा सत्य नहीं होता अर्थात् समरूप आकृतियाँ सदैव सर्वांगसम नहीं होती हैं।
→ बहुभुज (Polygon) : रेखाखण्डों से बनी साधारण वक्र बन्द आकृति को बहुभुज कहते हैं।

→ त्रिभुज (Triangle) : तीन भुजाओं वाले बहुभुज को त्रिभुज कहते हैं।

→ विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ असमान हों, विषमबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी कोई सी दो भुजाएँ समान हों, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ समान हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ न्यूनकोण त्रिभुज (Acute angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसके तीनों कोण न्यून कोण ( less than 90°) हो, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाता है।

→ अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसका एक कोण अधिक कोण (greater than 90°) हो, अधिक कोण त्रिभुज कहलाता है।

→ समकोण त्रिभुज (Right angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण है, समकोण त्रिभुज कहलाता है।

→ त्रिभुज का परिमाप (Perimeter of a Triangle) : त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग त्रिभुज का परिमाप कहलाता है।

→ त्रिभुज की माध्यिका (Median of a Triangle) : त्रिभुज के शीर्ष से इसके सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा को त्रिभुज की माध्यिका कहते हैं।

→ त्रिभुज का शीर्षलम्ब (Altitude of a Triangle) : त्रिभुज के एक शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींची गयी लम्ब रेखा को त्रिभुज का शीर्षलम्ब कहते हैं।

→ त्रिभुज का कोण समद्विभाजक (Bisector of angle of a Triangle) : त्रिभुज के एक शीर्ष कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा को त्रिभुज का कोण समद्विभाजक कहते है।

→ समकोणीय त्रिभुज (Equiangular Triangle) : यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समकोणीय त्रिभुज कहलाते हैं।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

समरूप आकृतियाँ :
ऐसी आकृतियाँ जिनका आकार तो समान है, परन्तु माप भिन्न है, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज 1
उदाहरण : चित्र (A) में दो भवन, चित्र (B) में चार त्रिभुज, चित्र (C) में चार वृत्त, चित्र (D) में तीन पंचभुज और चित्र (E) में चार वर्ग को देखने पर इनका आकार समान एवं माप भिन्न-भिन्न है अर्थात् सभी समान संख्या की भुजाओं के समबहुभुज हैं जैसे: समबाहु त्रिभुज, वर्ग, वृत्त, समपंचभुज इत्यादि समरूप होते हैं।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

समरूप बहुभुज :
दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण समान हों एवं उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज 2
चित्र में, दो बहुभुज ABCDEF एवं PQRSTU समरूप हों, तो संगत कोण समान होंगे, अर्थात्
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, ∠D = ∠S, ∠E = ∠T एवं ∠F = ∠U
एवं संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी, अर्थात्
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C D}{R S}=\frac{D E}{S T}=\frac{E F}{T U}=\frac{F A}{U P}\)
टिप्पणी: यदि एक बहुभुज दूसरे बहुभुज के समरूप हो और दूसरा बहुभुज, तीसरे बहुभुज के समरूप हो, तो पहला बहुभुज, तीसरे बहुभुज के भी समरूप होता है।
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज 3
दो बहुभुजों के समरूप होने के लिए भुजाओं का समानुपाती होना ही पर्याप्त नहीं है, जैसे कि चित्र में, ABCD एक वर्ग है और PQRS एक समचतुर्भुज है। वर्ग ABCD की भुजाएँ समचतुर्भुज PQRS की भुजाओं की समानुपाती हैं परन्तु वर्ग ABCD के कोण समचतुर्भुज PQRS के कोणों के समान नहीं हैं। अतः वर्ग एवं समचतुर्भुज की भुजाएँ समानुपाती होते हुए भी दोनों समरूप नहीं हैं।
भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) सभी संगत कोण बराबर हों।
(ii) सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (या समानुपाती हों।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

भूमिका :
इस अध्याय में, हम कुछ प्रतिरूपों का अध्ययन करेंगे जिनमें उत्तरोत्तर पद अपने पहले पदों में एक स्थिर संख्या जोड़ने पर प्राप्त किए जाते हैं। हम यह भी देखेंगे कि किस प्रकार उनके n वें पद और n पदों का योग ज्ञात किया जाता है और इस ज्ञान का उपयोग दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।
(1) पद (Terms) : अनुक्रम में उपस्थित विभिन्न संख्याएँ इसके पद कहलाती हैं।
(2) सार्वअन्तर (Common difference) : समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सार्वअन्तर कहलाता है।
(3) सीमित समान्तर श्रेढी (Finite A. P.) : एक समान्तर श्रेढी जिसमें पदों की संख्या सीमित हो, सीमित समान्तर श्रेढी कहलाती हैं।
(4) असीमित समान्तर श्रेढी (Infinite A. P.) : एक समान्तर श्रेढी जिसमें पदों की संख्या असीमित हो, असीमित समान्तर श्रेढी कहलाती है।
(5) व्यापक पद (General Term) : प्रथम पद a और सार्वअन्तर d वाली A. P का nवाँ पद व्यापक पद कहलाता an या l से निरूपित किया जाता है।
सूत्र an = a + (n – 1)d

अनुक्रम (Sequence)- संख्याओं (राशियों) के एक निश्चित नियमानुसार क्रम को अनुक्रम कहते हैं।
जैसे: (i) 2, 4, 6, 8, 10, ……….. इस क्रम में प्रत्येक संख्या (पहली संख्या को छोड़कर) अपनी पूर्व की संख्या से 2 अधिक है।
(ii) -3, -2, -1, 0, ……….. इस क्रम में प्रत्येक पद, अपने पिछले पद से 1 अधिक है।
(iii) 3, 3, 3, 3, 3, ……….. इस क्रम में प्रत्येक पद, अपने पिछले पद से 0 अधिक या 0 कम है।
(iv) 5, 7, 2, 9, 15, ……….. इस क्रम में कोई निश्चित क्रम नहीं है जिससे कि उसकी आगे की संख्याएँ ज्ञात की जा सकें।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

समान्तर श्रेढ़ियाँ :
समान्तर श्रेढी संख्याओं का एक ऐसा क्रम होता है जिसमें पहले पद के अतिरिक्त प्रत्येक पद पिछली संख्या में एक स्थिर संख्या जोड़ने पर प्राप्त किया जाता है। इस स्थिर संख्या को समान्तर श्रेढी का सार्वअन्तर कहते हैं। यह संख्या धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है।
समान्तर श्रेढी के पहले पद को a1 से, दूसरे पद को a2 से, ……., nवें पद को an से और सार्वअन्तर को d से व्यक्त करते हैं, तब श्रेढी a1, a2, a3, ………. , an हो जाती है।
अब, a2 – a1 = a3 – a2 = ………. = an – an – 1 = d
⇒ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ………..
यह अनुक्रम एक समान्तर श्रेढी (A.P.) को निरूपित करता है जिसमें प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर d है। इसे समान्तर शेष का व्यापक रूप कहते हैं।
सामान्यतः, प्रथम पद को a1, t1, x1 आदि से प्रकट किया जाता है, दूसरे पद को a2, t2, x2 आदि से प्रकट किया जाता है। व्यापक रूप से n वें पद को an, tn, xn आदि से प्रकट किया जाता है।

समान्तर श्रेढी का nवाँ पद :
माना कि a1, a2, a3, …….., an एक समान्तर श्रेढी है जिसका प्रथम पद a1 = a, और सार्वअन्तर d है।
⇒ a1 = a + (1 – 1)d
तब दूसरा पद a2 = a + d
⇒ a2 = a + (2 – 1) d
इसी प्रकार, तीसरा पद a3 = a2 + d
⇒ a3 = (a + d) + d
= a + 2d = a + (3 – 1)d
चौथा पद a4 = a3 + d = (a + 2d) + d
= a + 3d = a + (4 – 1)d
इस प्रतिरूप को देखते हुए हम कह सकते हैं कि nवाँ पद (an) = a + (n – 1) d होगा। अर्थात्
समान्तर श्रेढी का व्यापक पद = प्रथम पद + (पदों की संख्या – 1) × सार्वअन्तर
an को A.P का व्यापक पद भी कहते हैं। यदि किसी A. P. में m पद हों तो am इसके अन्तिम पद निरूपित करता है जिसे कभी-कभी l द्वारा भी व्यक्त किया जाता है।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

समान्तर श्रेढी के n पदों का योगफल :
प्रमेय : यदि एक समान्तर श्रेढी का प्रथम पद a, सार्वअन्तर d तथा पदों का योगफल Sn है, तो
Sn = \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1) d}
या Sn = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
जहाँ l = अन्तिम पद = a + (n – 1)d
प्रमाण : माना कि A.P. के n पद हैं:
a, a + d, a + 2d, …… a + (n – 1)d
इस A. P. का nवाँ पद a + (n – 1)d है तथा A. P. के प्रथम n पदों के योग को Sn द्वारा व्यक्त करते हैं।
Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + [a + (- 1)d] …. (1)
पदों को विपरीत क्रम में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
Sn = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + …….. + (a + d) + a …… (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता हैं:
2Sn = {2a + (n – 1)d} + {2a + (n – 1)d} + …… + {2a + (n – 1)d }
⇒ 2Sn = n[2a + (n – 1)d]
⇒ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
इसे हम इस रूप में भी लिख सकते हैं:
Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + a + (n – 1)d]
अर्थात् Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + an) …..(3)
∵ an = l, अन्तिम पद है।
समीकरण (3), से Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l) …..(4)
इस सूत्र की सहायता से जब प्रथम पद और अन्तिम पद दिया हो और सार्वअन्तर नहीं दिया हो, तो Sn का मान ज्ञात कर सकते हैं।

टिप्पणी 1. सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d ] में चार राशियाँ Sn, a, n और d हैं। यदि इनमें से कोई भी तीन ज्ञात हों तो शेष चौथी राशि को उपर्युक्त सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।
कभी-कभी इनमें से दो राशियाँ ज्ञात होती हैं ऐसी स्थिति में शेष दोनों राशियाँ किसी दूसरे सम्बन्ध से ज्ञात की जा सकती हैं।
टिप्पणी 2. यदि किसी अनुक्रम के n पदों का योग Sn दिया हो तो निम्नलिखित सूत्र से अनुक्रम का nवाँ पद (an) ज्ञात किया जा सकता है:
an = Sn – Sn – 1

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JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

भूमिका :
द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है। अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाती है। जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के तुल्य कर देते हैं, तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होती है। जैसे- p(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0. एक द्विघात बहुपद है। यदि p(x) = 0 कर दें, तो ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 द्विघात समीकरण कहलाती है।
(1) द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): वह बहुपद जिसकी घात 2 हो द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात का व्यापक रूप ax2 + bx + c है। जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, a ≠ 0 तथा x एक चर है।
(2) समीकरण (Equation): किसी बहुपद को शून्य के बराबर करने से प्राप्त रैखिक व्यंजक को एक समीकरण कहते हैं। बराबर चिन्ह द्वारा इसे दो भागों में बाँटा जा सकता है। बायाँ पक्ष को L.H.S. तथा दायाँ पक्ष को R.H.S. कहते हैं।
उदाहरणार्थं- (i) x + 5 = 0 (रैखिक समीकरण)
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
(ii) 2y2 + 3y + 4 = 0 (द्विघात समीकरण)
(3) समीकरण के मूल (Roots of an equation): एक वास्तविक संख्या (a), समीकरण P(x) = 0 का एक मूल कहलाती है। यदि P(a) = 0 यदि P(x) = 0 एक द्विघात समीकरण हो, तो बहुपद P(x) के शून्यक समीकरण P(x) = 0 के मूल कहलाते हैं।
(4) काल्पनिक मूल (Imaginary roots ) : यदि किसी समीकरण के मूल वास्तविक संख्याएँ न हों तो उन्हें हम काल्पनिक मूल कहेंगे।
(5) चाल = दूरी / समय
(6) दूरी = चाल × समय
(7) समय = दूरी / चाल

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) :
दो घात की बहुपदीय समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं व्यापक रूप में इसे इस प्रकार से व्यक्त किया जाता है, ax2 + bx + c = 0; जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠ 0
व्यापक द्विघात समीकरण में x2 का गुणांक a, x का गुणांक b तथा c स्वतन्त्र अचर होता है।
3x2 + x – 2 = 0, x2 – 2x + 1 = 0; 4x2 + 4x + 1 = 0 आदि द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण हैं।

द्विघात समीकरण के मूल (Roots of a Quadratic Equation) : यदि संख्याएँ α और β द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक हों अर्थात् यदि संख्याएँ α तथा β द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 को सन्तुष्ट करती हों, तब c तथा द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, द्विघाती बहुपद P(x) = x2 – x – 2 में
x = 2 रखने पर, P(2) = (2)2 – (2) – 2 = 4 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0
x = – 1 रखने पर, P(-1) = (-1)2 – (-1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
∴ 2 और -1 बहुपद के शून्यक हैं।
अतः 2 और -1 द्विघात समीकरण x2 – x – 2 = 0 के मूल कहलायेंगे।
टिप्पणी- (i) उपर्युक्त उदाहरण में 2 और -1 समीकरण x2 – x – 2 = 0 के मूल हैं, शून्यक नहीं।
(ii) शून्यर्कों का सम्बन्ध बहुपद से होता है जबकि मूलों का सम्बन्ध समीकरण से होता है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ :
द्विघात समीकरण को निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा हल अर्थात् मूल ज्ञात किये जाते हैं-
(i) गुणनखण्ड विधि,
(ii) पूर्ण वर्ग बनाकर,
(iii) श्रीधर आचार्य सूत्र विधि द्वारा।

गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना :
(1) समीकरण को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि ‘=’ चिन्ह के दायीं ओर केवल शून्य तथा बाय और समीकरण के शेष सभी पद हों।
(2) बाई ओर के व्यंजक के रैखिक गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं।
(3) अन्त में, प्रत्येक गुणनखण्ड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखकर अज्ञात राशि के मान ज्ञात करते हैं जो समीकरण के अभीष्ट हल होते है।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल :
द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर निम्नलिखित चरणों में हल किया जाता है:
(i) समीकरण में चर x सम्बन्धी सभी पदों को बाय ओर रखकर अचर पद को दायीं ओर रखते हैं।
(ii) x2 के गुणांक (यदि कोई हों) से दोनों पक्षों को भाग करते हैं ताकि x2 का गुणांक 1 (इकाई) बन जाए।
(iii) दोनों पक्षों में,
x के गुणांक के आधे का वर्ग अर्थात् JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण 1 जोड़ने पर बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
(iv) अन्त में दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर के मान ज्ञात करते हैं।

द्विघात समीकरण का श्रीधराचार्य विधि द्वारा हल :
हिन्दू गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र दिया है। इसकी स्थापना एवं विवेचना आगे दी गई है।
माना समीकरण है : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
⇒ x2 + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (दोनों पक्षों में a का भाग देने पर)
⇒ x2 + \(\frac{b}{a}\)x = –\(\frac{c}{a}\)
अब x के गुणांक (\(\frac{b}{a}\)) के आधे (\(\frac{b}{2 a}\)) के वर्ग (\(\frac{b}{2 a}\))2 = \(\frac{b^2}{4 a^2}\) को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण 2
श्रीधराचार्य सूत्र की निम्न प्रकार से व्याख्या की जा सकती है :
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण 3
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) कहते हैं।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

मूलों की प्रकति :
विविक्तकर (Discriminant) राशि b2 – 4ac द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 की विविक्तकर कहलाती है। इसे संकेत Δ या D द्वारा व्यक्त किया गया है।
अत: D = b2 – 4ac;
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति : द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के विविक्तकर D = b2 – 4ac के विभिन्न प्रकार के मानों के अनुरूप द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्न प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है:
(i) यदि D = b2 – 4ac > 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक एवं पृथक्-पृथक् होंगे, अर्थात् यदि α और β दो मूल हों तो α = \(\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
तथा β = \(\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
(ii) यदि D = b2 – 4ac = 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे अर्थात् α = \(-\frac{b}{2 a}\) = β
(iii) D = b2 – 4ac < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् दोनों मूल काल्पनिक होंगे।
अर्थात् द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 के मूलों की प्रकृति उसके विविक्तकर D = b2 – 4ac के मान पर निम्नवत् निर्भर करती है-

विविक्तकर D = b2 – 4ac मूलों की प्रकृति
धनात्मक तथा पूर्ण वर्ग वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न
धनात्मक (> 0) वास्तविक, अपरिमेय तथा भिन्न
ऋणात्मक (< 0) अधिकल्पित अर्थात् वास्तविक नहीं
शून्य (0) वास्तविक परिमेय और समान

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Problémamegoldás És Gyik A Weboldallal És A 22bet App Felületével Kapcsolatban

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A piacok ezen választéka az, ami megkülönbözteti a 22Bet-et the többiektől, így a new fogadóknak érdemes kipróbálniuk. Mindeközben pedig díjmentesen teheted meg a new fizetéseket és arra is számíthatsz, hogy extra költséget search engine optimization kell majd fizetned érte. Közben pedig könnyedén beszélgethetsz the játékos társaiddal, ahogy kapcsolatba léphetsz arizona osztókkal is.”

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JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

भूमिका :
हम पिछली कक्षाओं में सरल समीकरणों अर्थात् प्रथम घात ( रैखिक) तथा एक अज्ञात राशि (चर) के समीकरण का अध्ययन कर चुके हैं। व्यापक रूप में इन्हें ax + b = 0 या ax + b = c के द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं। a ≠ 0 तथा x चर है। हम यह भी जानते हैं कि ax + b = 0, a ≠ 0 का हल x = –\(\frac{b}{a}\) होता है तथा x = –\(\frac{b}{a}\) समीकरण ax + b = 0 का मूल (Root) कहलाता है।
इस अध्याय में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को बीजगणितीय तथा आलेखीय विधियों से हल करेंगे।

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म :
समीकरण ax + by + c = 0 दो चरों वाले रैखिक समीकरण का व्यापक रूप कहलाता है जिसमें a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं तथा a ≠ 0, b ≠ 0. जैसे- 3x + 4y + 7 = 0, -5y + x = -2 तथा 2x + \(\frac{3}{11}\)y = 1 आदि दो चरों वाले रेखीय समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं।
यदि समीकरण ax + by + c = 0 में a ≠ 0, b = 0 हो, तो यह समीकरण परिवर्तित होकर ax + c = 0 रूप ले लेती है जो कि एक घर में रैखिक समीकरण है। इसी प्रकार यदि तो ax + by + c = 0 परिवर्तित होकर by + c = 0 के रूप में आ जाती है जो कि पुनः एक चर y में रैखिक समीकरण है।
दो चरों में दो रैखिक समीकरण एक रैखिक समीकरणों का युग्म कहलाता है। ऐसे समीकरणों के युग्म को युगपत समीकरण भी कहते हैं।
a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 रैखिक समीकरण युग्म का सबसे व्यापक रूप है। जहाँ a1, b1, c1, a2, b2, c2 ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि
a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0.

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल : दो चरों वाले रैखिक समीकरण को हल करने की दो विधियाँ हैं-
(i) लेखाचित्र विधि (Graphical Method),
(ii) बीजगणितीय विधि (Algebraic Method)
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म 1
लेखाचित्र विधि (Graphical Method)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
(i) सबसे पहले समीकरण युग्म का एक समीकरण लिखिए।
(ii) अब x का कोई पूर्णांक मान लेकर समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित कर, चर y का मान निकाल लेते हैं।
(iii) यदि x का मान a तथा y का मान b प्राप्त होता है, तो एक बिन्दु (a, b) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(iv) पुन: इसी प्रकार x का अन्य कोई दूसरा पूर्णांक समीकरण में प्रतिस्थापित कर y का मान निकाल लेते हैं।
(v) यदि अब x का मान c तथा y का मान d प्राप्त होता है तब बिन्दु (c, d) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(vi) अब इन दोनों अंकित बिन्दुओं से ग्राफ पेपर पर आलेख खींचते हैं।
(vii) इस प्रकार पहले समीकरण का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(viii) अब समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण लेकर, ऊपर बताए गये बिन्दुओं के अनुसार दूसरे समीकरण का भी आलेख खींचते हैं।
(ix) दूसरे समीकरण का आलेख भी एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(x) ये दोनों सरल रेखाएँ परस्पर काटेंगी (Intersecting lines) या फिर समान्तर (Parallel lines) होंगी अथवा सम्पाती (Conincident lines) होंगी।

सम्पाती हो तो समीकरण युग्म के अनन्त (अपरिमित) सार्व हल प्राप्त होंगे-
इस प्रकार आलेखीय निरूपण निम्न प्रकार प्राप्त होता है-
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म 2

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

रेखीय समीकरणों के संगत व असंगत युग्म :
संगत युग्म (Consistent pair) : यदि समीकरणों के निकाय a1x + b1y + c1 = 0; a2x + b2y + c2 = 0 के हल विद्यमान हैं, तो दिया गया समीकरण निकाय संगत निकाय कहलाता है।
संगत निकाय के निम्न दो प्रकार हैं :
(i) दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अद्वितीय हल (Unique solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
(ii) दो सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अनन्त हल (Infinitely many solutions) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
असंगत युग्म (Inconsistent pair) : जब समीकरण निकाय a1x + b1y + c1 = 0; a2x + b2y + c2 = 0 का कोई भी हल विद्यमान नहीं होता तब वह निकाय असंगत निकाय कहलाता है।
(iii) दो समान्तर रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् कोई हल नहीं (No solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल में रेखाओं का व्यवहार :
दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को निरूपित करने वाली रेखाओं के व्यवहार और हलों के होने या न होने का सार संक्षेप में निम्न प्रकार है-
(i) रेखाएँ केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करें, तो समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। – संगत समीकरण युग्म ।
(ii) रेखाएँ समान्तर भी हो सकती हैं तो इस स्थिति में समीकरणों का कोई हल नहीं होगा। – असंगत समीकरण युग्म।
(iii) रेखाएँ सम्पाती हो सकती हैं, समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
आश्रित (संगत) समीकरण युग्म रेखाओं के सामान्य समीकरणों को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं :
a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0
जहाँ a1, a2, b1, b2, c1, c2 वास्तविक संख्याएँ हैं (a1 ≠ 0, b1 ≠ 0, a2 ≠ 0, b2 ≠ 0)
(i) प्रतिच्छेद करें तो \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\); समीकरण: युग्म संगत होगा और उसका एक और केवल एक ही (अद्वितीय) हल होगा।
(ii) सम्पाती हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म संगत होगा और उसके अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
(iii) समान्तर हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म असंगत होगा और उसका कोई हल नहीं होगा।
किसी भी रेखाओं के युग्म के लिए विलोम भी सत्य है।

एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Method to Solve a Pair of Linear Equations in Two Variables) :
रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की तीन बीजीय विधियाँ हैं-
(1) प्रतिस्थापन विधि (Method of Substitution)
(2) विलोपन विधि (Method of Elimination)
(3) वज्रंगुणन विधि (Method of Cross multiplication)

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

प्रतिस्थापन विधि क्रियाविधि (Working Rule) :
चरण 1. किसी एक समीकरण से एक चर x को दूसरे चर के पदों के रूप में लिख लेते हैं।
चरण 2. y के पदों में प्राप्त x के इस मान को युग्म के शेष दूसरे समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करके y का मान निकाल सकते हैं।
चरण 3. y के इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर x का मान निकाल सकते हैं।

निराकरण या विलोपन विधि (Elimination Method) :
इस विधि में एक चर का विलोपन करते हैं या उसे हटा देते हैं। यह विधि कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक रहती है।
गुणांकों को बराबर करके हल सर्वप्रथम हम दोनों युगपत् समीकरणों को ऐसे शून्येतर गुणांकों अर्थात् शून्य को छोड़कर अन्य गुणांकों से गुणा करके दोनों समीकरणों में एक अज्ञात राशि या y के गुणांक बराबर कर लेते हैं। अब दोनों समीकरणों को आवश्यकतानुसार जोड़कर या घटाकर समान गुणांकों वाली राशि को विलुप्त करते हैं। अब हमें एक अज्ञात राशि वाला समीकरण प्राप्त होता है जिसे हल करके अज्ञात राशि का मान ज्ञात करते हैं इस मान को किसी भी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर दूसरी अज्ञात राशि का मान ज्ञात कर लेते हैं।

वज्रगुणन विधि (Method of Cross Multiplication) :
इस विधि में दोनों समीकरणों को इस प्रकार लिख लेते हैं कि उनके दायें पक्ष में शून्य हो ।
माना समीकरण a1x + b1y + c1 = 0.
तथा a2x + b2y + c2 = 0 हैं।
अब निम्न प्रकार लिखकर x और y के मान ज्ञात कर लेते हैं-
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)
उपर्युक्त हल को स्मरणीय रूप में निम्न प्रकार लिखकर प्राप्त किया जा सकता है-
JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म 3
इस आरेख के अनुसार नीचे की ओर तीर वाली (↓) संख्याओं के गुणनफल में से ऊपर की ओर तीर वाली (↑) संख्याओं के गुणनफल को घटाकर लिखा जा सकता है।
अथवा
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण :
यदि समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में नहीं है अर्थात् \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+c\) = 0 के रूप में है, तो इसे रैखिक समीकरण के रूप में निम्न प्रकार बदला जा सकता है :
माना \(\frac{1}{x}\) = P और \(\frac{1}{y}\) = q प्रतिस्थापित करने पर,
ap + bq + c = 0 प्रकार का रैखिक समीकरण बना कर हल करते हैं।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद

भूमिका :
पिछली कक्षाओं में हमने एक व्यंजक बहुपद तथा उनकी घातों, गुणनखंड तथा गुणक के बारे में पढ़ा है। स्मरण रहे कि P(x), x चर में एक बहुपद है P(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। उदाहरण के लिए, 4y2 – 5y + 9, y चर में एक बहुपद है, जिसकी घात 2 है।
इस अध्याय में हम रैखिक तथा द्विघातीय बहुपदों के ज्यामितीय निरूपण (Geometrical Representation) और उनके शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ के साथ-साथ बहुपद के गुणांकों और शून्यांकों के बीच सम्बन्धों का अध्ययन करेंगे।

बहुपद के प्रकार :
→ एकपदी (Monomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल एक पद हो, एकपदी (monomial) कहते हैं:
जैसे : x2, ax, 3x2, a2x3, \(\frac{1}{2}\)x4 इत्यादि।

→ द्विपदी (Binomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल दो पद हों, द्विपदी (binomial) कहते हैं; जैसे: ax + b, 5x2 + 3x, a2xn + b इत्यादि ।

→ त्रिपदी (Trinomial) ऐसे बहुपद को जिसमें केवल तीन पद हों, त्रिपदी (trinomial) कहते हैं: जैसे 3x2 + 5x – 7, ax2 + bx + c, ….. इत्यादि।

→ शून्य बहुपद (Zero polynomial): यदि किसी बहुपद में सभी पदों के गुणांक शून्य हों तो वह शून्य बहुपद कहलाता है। जैसे : p(x) = 0.
एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद, दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद और तीन घातों वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।

→ बहुपद की घात (Power of polynomial) चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं।
उदाहरण के लिए: (i) बहुपद p(x) = x5 + 4x3 – 3x2 + 2x – 3 में चर राशि x की उच्चतम घात का पद है। जिसका घातांक 5 है। अतः बहुपद की घात 5 होगी।
(ii) बहुपद p(y) = 3y3 + 4y2 – y + 8 में चर राशि की उच्चतम घात का पद 3y3 है, जिसका घातांक 3 है। अतः बहुपद P(y) की घात 3 होगी।

→ अचर बहुपद (Costant Polynomial): शून्य घात वाला बहुपद नियतांक या अचर बहुपद कहलाता है।
जैसे: p(x) = 7, g(x) = –\(\frac{3}{2}\), h(y) = 2, p(t) = 1 इत्यादि में किसी भी चर की घात शून्य होगी। अत: इस प्रकार के बहुपद अचर बहुपद कहलाते हैं।

→ रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद रैखिक बहुपद कहलाता है।
जैसे: 2x + 3, \(\sqrt{3}\)x + 5, y + \(\sqrt{2}\), x – \(\frac{2}{11}\), 3t + 4 इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं।

→ द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात (Quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है जिसका अर्थ वर्ग अर्थात् घात 2 है।
जैसे : f(x) = 2x2 + 3x – \(\frac{4}{5}\), g(y) = 2y2 – 3
h(u) = 2 – u2 + \(\sqrt{3}\)u, p(v) = \(\sqrt{3}\)v2 – \(\frac{4}{3}\)v + \(\frac{1}{2}\), इत्यादि द्विघात बहुपद हैं जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।
व्यापक रूप से चर x में कोई द्विघात बहुपद f(x) = ax2 + bx + c के रूप में होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a ≠ 0 है।

→ त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) : घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है।
जैसे : f(x)= \(\frac{9}{5}\)x3 – 2x2 + \(\frac{7}{3}\)x – \(\frac{1}{5}\), g(x) = 2 – x3 तथा h(y) = 3y3 – 2y2 + y + 1
चर x में एक त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप निम्न है :
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, जहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ a ≠ 0 है।

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बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) : कुछ निश्चित चर तथा अचर राशियों के योग, अन्तर, गुणन, भाग इत्यादि के संयोग से बने पद को बीजीय व्यंजक कहते हैं।
उदाहरणार्थ : f(x) = x3 – 6x2 + x + 9, f(x) = -3x2 + 2x – 1 तथा f(x) = 4x + 3 इत्यादि
इस प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बहुपद (Polynomial) कहते हैं।
बहुपद : बीजीय व्यंजक के बहुपद होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूर्ण होनी चाहिए :
1. चर राशि का घातांक एक धनात्मक पूर्णांक हो।
2. पदों की संख्या निश्चित (सीमित) हो।
3. प्रत्येक पद में चर का गुणांक एक वास्तविक संख्या हो।
यदि x एक चर, प्राकृत संख्या और a0, a1, a2, a3, ….. an वास्तविक सख्याएँ हैं तो
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + …… +anxn
p(x) को चर x में एक बहुपद कहते हैं।
जहाँ a0, a1x, a2x2, a3x3, …… इसके पद (Term) कहलाते हैं और a0, a1, a2, a3….. उनके गुणांक (Coefficient) कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए:
(i) p(x) = 3x – 2 [चर x में एक बहुपद है।]
(ii) q(y) = 3y2 – 2y + 4 [चर y मेँ एक बहुपद है।]
(iii) f(u) = \(\frac{1}{2}\)u3 – 3u2 + 2u – 4 [चर u में एक बहुपद है।]
क्योंकि इन सभी (i), (ii) एवं (iii) की घात धनात्मक पूर्णांक है तथा प्रत्येक पद में चर राशि का गुणांक एक वास्तविक संख्या है।

निम्न व्यंजकों पर ध्यान दीजिए:
(i) p(x) = 2x2 – 3\(\sqrt{x}\) यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sqrt{x}\) या x1/2 में x की घात \(\sqrt{2}\) है जो कि पूर्णांक नहीं है।
(ii) f(x) = \(\frac{1}{2 x^2-2 x+5}\) में भी x के घात धन पूर्णांक नहीं हैं अतः यह बहुपद नहीं है।
(iii) q(u) = x3 – \(\frac{1}{x^2}\) + 3 में \(\frac{1}{x^2}\) या x-2 में x की घात -2 है, जो कि धन पूर्णाक नहीं है। अतः बहुपद नहीं है।

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बहुपद का मान (Value of Poynomial): यदि f(x) चर x में एक बहुपद है और कोई वास्तविक संख्या है तो f(x) में x के स्थान पर α का मान रखने से प्राप्त वास्तविक संख्या बहुपद f(x) का x = α पर मान होगा और इसे f(α) द्वारा व्यक्त करते हैं।
जैसे: (i) f(x) = 2x2 – 3x – 2 के x = 1 और x = -2 पर मान ज्ञात कीजिए ।
x = 1 पर, f(1) = 2(1)2 – 3(1) – 2 = 2 × 1 – 3 × 1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3
x = -2 पर, f(-2) = 2(-2)2 – 3(-2) – 2 = 2 × (+4) + 6 – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) यदि बहुपद f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 है, x = -1 पर बहुपद का मान ज्ञात कीजिए।
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बहुपद के शून्यक (Zeroes of Polynomial) : यदि किसी बहुपद p(x) में चर x के स्थान पर a (एक वास्तविक संख्या) प्रतिस्थापित करने पर p(a) = 0 हो, तो को बहुपद p(x) का शून्यक (Zero) कहते हैं। अर्थात् किसी भी बहुपद के शून्यकं ज्ञात करने का अर्थ होता है समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
जैसे : (i) p(x) = 2x3 + 3x2 + 3x + 2 का शून्यक ज्ञात करना है।
x = 0 पर, p(0) = 2(0)3 + 3(0)2 + 3(0) +2
P(0) = 2 अर्थात p(0) ≠ 0
अत: शून्य, बहुपद p(x) का शून्यक नहीं है।
x = -1 पर, p(-1) = 2(-1)3 + 3(-1)2 + 3(-1) + 2 = – 2 + 3 – 3 + 2 = 0
P(-1) = 0
अत: -1 बहुपद p(x) का एक शून्यक है।

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विशेष :
(i) प्रत्येक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक ही शून्यक होता है।
(ii) द्विघात बहुपद के दो शून्यक होते हैं।
(iii) त्रिघात बहुपद के तीन शून्यक होते हैं।
(iv) प्रत्येक बहुपद के वास्तविक शून्यक नहीं होते हैं।
जैसे : x2 + a, x2 + 2 तथा y2 + y + 1 का कोई भी वास्तविक शून्यक नहीं है।
p(x) = x2 + 6x + 15 का कोई शून्यक नहीं होता।
हल: माना कि p(x) = x2 + 6x + 15
∴ p(x) = {x2 + 2. (3). x + 9} + 6 = (x + 3)2 + 6
यहाँ हम देखते हैं कि x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)2 कभी भी ऋणात्मक मान ग्रहण नहीं कर सकता। अत: (x + 3)2 का मान सदैव शून्य से बड़ा ही होगा। परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए p(x) का कोई शून्यक विद्यमान नहीं है।

बहुपद के आलेख एवं शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ :
बहुपद p(x) के ज्यामितीय आलेख को x अक्ष जिन बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है, उन बिन्दुओं के भुज या x-निर्देशांक बहुपद p(x) के शून्यक (zeroes) के रूप में जाने जाते हैं।
रैखिक बहुपद : व्यापक रूप में एक रैखिक बहुपद f(x) = ax + b, a ≠ 0 के लिए ग्राफ एक सरल रेखा प्राप्त होती है, जो x अक्ष को ठीक एक बिन्दु \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\) पर काटती है।
अत: रैखिक बहुपद p(x) = ax + b, a ≠ 0 का केवल एक शून्यक होगा क्योंकि बहुपद का आलेख x-अक्ष पर केवल एक बिन्दु पर काटता है।
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(ii) द्विघात बहुपद : किसी द्विघात समीकरण ax2 + bx + c, a ≠ 0 के लिए ग्राफ दो में से किसी एक आकार का हो सकता है या तो ऊपर की ओर खुला (∪ की तरह) अथवा नीचे की ओर खुला (∩ की तरह) का होता है जो कि a > 0 या a < 0 पर निर्भर करता है।
इन वनों को परवलय (Parabola) कहते हैं।
बहुपद ax2 + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक ठीक-ठीक उन बिन्दुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ बहुपद y = ax2 + bx + c को निरूपित करने वाला ग्राफ (परवलय) x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
y = ax2 + bx + c, के ग्राफ के आकार (परवलय) की तीन स्थितियाँ सम्भव हो सकती हैं।

स्थिति (I) : जब बहुपद ax2 + bx + c के दो अलग-अलग गुणनखण्ड हैं:
इस स्थिति में ax2 + bx + c का ग्राफ x-अक्ष को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं A और A’ पर प्रतिच्छेद करता है तो इन बिन्दुओं के x निर्देशांक बहुपद ax2 + bx + c के दो शून्यक होते हैं।
परवलय y = ax2 + bx + c के शीर्ष के निर्देशांक \(\left(\frac{-b}{2 a}, \frac{-D}{4 a}\right)\) हैं, जहाँ D = b2 – 4ac है।
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किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध :
व्यापक रूप में, यदि द्विघात बहुपद p(x) = ax2 + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक α और β हों, तो हम जानते हैं कि (x – α) और (x – β), p(x) के गुणनखण्ड होते हैं।
अतः ax2 + bx + c = k(x – α) (x – β),
जहाँ k एक अचर है
= k[x2 – (α + β)x + αβ]
ax2 + bx + c = kx2 – k(α + β)x + kαβ
दोनों पक्षों से x2, x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = – k (a + B) और c = kαβ
इससे प्राप्त होता है, α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)
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व्यापक रूप में, यदि त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d के शून्यक α, β और γ हों, तो हम जानते हैं कि (x – α), (x – β) और (x – γ) बहुपद के गुणनखण्ड होते हैं। अतः
ax3 + bx2 + cx + d = k(x – α) (x – β) (x – γ), जहाँ k एक अचर है।
= k[{x2 – (α + β)x + αβ} (x – γ)]
= k[x3 – (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
= kx3 – k(α + β + γ)x2 + k (αβ + βγ + γλ) x – kλβγ
दोनों पक्षों से x3, x2, x के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = -k(α + β + γ)
तथा c = k(αβ + βγ + γλ), d = -kαβγ
इससे प्राप्त होता है :
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JAC Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद

बहुपदों के लिए यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म :
माना कि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं, जहाँ g(x) ≠ 0 हो तो बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त किए जा सकते हैं कि
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ r(x) = 0 है अथवा r(x) की घात < g(x) की घात है।
उक्त परिणाम बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।

JAC Class 10 Maths Notes Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

भूमिका :
हमने पिछली कक्षाओं में प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, परिमेय संख्याओं अपरिमेय संख्याओं व वास्तविक संख्याओं के विषय में पढ़ा है। हमने इनके गुणों के विषय में भी पढ़ा है स्मरण करें कि वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का समूह होती हैं।

इस अध्याय में हम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने, परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार, सांत आवर्ती दशमलवं प्रसार, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग, अंकगणित की आधारभूत प्रमेव यूक्लिड विभाजन प्रमेविका आदि के विषय में अध्ययन करेंगे।
→ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) : परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
जैसे 3, 5, \(\sqrt{7}\), \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) आदि।

→ परिमेय संख्याएँ (Rational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार सांत अथवा असांत आवर्ती होता परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे- \(\frac{2}{4}\), 3, \(\frac{1}{3}\) आदि।

→ अपरिमेय संख्याएँ (Irrational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है. अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt[3]{4}\), π आदि ।

→ पूर्णांक (Integers): शून्य प्राकृतिक संख्याओं एवम् ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं के समूह की पूणांक कहते हैं।
जैसे- -9, -8, 0, 5, 4, आदि।

→ सम संख्याएँ (Even numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं, सम संख्याएँ कहलाती है।
जैसे- 2, 4, 6, 8, 10 ….. (सम संख्याओं में इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 होता है।)

→ विषम संख्याएँ (Odd numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 1, 3, 5, 7, 9, …. (विषम संख्याओं में इकाई का अंक 1, 3, 5, 9 होता है।)

→ अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers): वे संख्याएँ जिनके सिर्फ दो गुणनखंड (1 व स्वयं) होते हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं अथवा वे संख्याएँ जो या स्वयं से विभाजित होती हैं, अभाज्य संख्या कहलाती हैं।
जैसे- 2, 5, 7, 11, 13, ….. ( सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 होती है।)

→ भाज्य संख्याएँ (Composite numbers): वे संख्याएँ जिनके और स्वयं के अलावा कम से कम एक और “गुणनखण्ड हो, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
महत्वपूर्ण बिन्दु: 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

→ सांत दशमलव प्रसार (Terminating decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2n × 5m के रूप में होते हैं, उनके दशमलव प्रसार सांत होते हैं।
जैसे \(\frac{2}{4}\) = 0.5, \(\frac{1}{5}\), 0.2, \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = 0·4

→ असांत आवर्ती दशमलव प्रसार (Non-terminating recurring decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2n × 5m के रूप में नहीं होते हैं, उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होते हैं।
जैसे \(\frac{1}{3}\) = 0.333, …. \(\frac{17}{6}\) = 2.8333…

→ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): दी गयी संख्याओं के छोटे से छोटे सार्वगुणज को लघुत्तम समापवर्त्य कहते हैं।

→ महत्तम समापवर्त्य (HCF): दी गयी संख्याओं के बड़े से बड़े सार्व गुणनखंड को महत्तम समापवर्तक कहते हैं।

पूर्णांकों की भाजकता तथा धनात्मक पूर्णांकों के दो महत्वपूर्ण गुण-
(i) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म ( कलन विधि) (Euclid’s Division Algorithm ): यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग इस अध्याय में दो धनात्मक पूर्णांकों के महत्तम समापवर्तक (HCF) परिकलित करने में करेंगे।
(ii) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic ): अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग दो अनुप्रयोगों में करेंगे:
(i) प्रथम अनुप्रयोग में कुछ संख्याओं जैसे \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने में करेंगे। (ii) किसी दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करने में करेंगे।

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यूक्लिड विभाजन प्रमेविका :
यूक्लिड प्रथम यूनानी गणितज्ञ थे, जिन्होंने समतल ज्यामिति के अध्ययन हेतु एक नई विचारधारा को प्रारम्भ किया जिसमें से एक यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका है। इसके अनुसार एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर भागफल q और शेषफल r प्राप्त होता है तथा शेषफल r या तो शून्य होता है या भाजक b से छोटा होता है अर्थात् 0 ≤ r < b होता है।
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यही यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका है।
इसे औपचारिक रूप से निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं तो दो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r विद्यमान होते हैं कि
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
ध्यान रहे कि या शून्य भी हो सकते हैं।
साधारण शब्दों में, भाज्य (a) = भाजक (b) × भागफल (q) + शेषफल (r)

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय :
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है अर्थात् इस पर कोई ध्यान दिए बिना कि अभाज्य गुणनखंड किस क्रम में आ रहे हैं।

उदाहरण के लिए :
44 एक भाज्य संख्या है। इसे 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यदि हम 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के क्रम पर ध्यान नहीं देते अर्थात् यदि 2 × 2 × 11 और 11 × 2 × 2 में कोई अन्तर नहीं है, तो यह गुणनखण्ड अद्वितीय भी है।
दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. में सम्बन्ध- दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्
म.स. (H.C.F.) × ल.स. (L.C.M.) = एक संख्या (a) × दूसरी संख्या (b)
यदि दो संख्याएँ a और b हों, तो
H.C.F. × L.C.M. = a × b
इस मुख्य सम्बन्ध की सहायता से निम्नांकित सम्बन्ध भी लिखे जा सकते हैं-
(i) H.C.F. = \(\frac{a \times b}{\text { L.C.M }}\)
(ii) L.C.M. = \(\frac{a \times b}{\text { H.C.F. }}\)
(iii) a = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{b}\)
(iv) b = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{a}\)

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अपरिमेय संख्याओं का पुनभ्रमण :
अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असान्त (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-repeating) हो, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; जहाँ p और q पूर्णांक है और q ≠ 0.
उदाहरण : \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{15}\), π, \(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\), 0.10110111011110…….. इत्यादि।
हम विरोधाभास विधि द्वारा संख्याओं की अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।

परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनभ्रमण :
कोई भी परिमेय संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत है, उसे हम एक ऐसी परिमेय संख्या के रूप में लिख सकते हैं जिसका हर 10 की कोई घात होती है अर्थात् कोई भी 10 की धनात्मक घात को 2 और 5 की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
जैसे 10n = (2 × 5)n ⇒ 2n × 5n
102 = 22 × 52
103 = 23 × 53 इत्यादि
अतः जिन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत होते हैं, उनके हर 2n × 5m के रूप में होते हैं।