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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Exercise 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना कि खम्भे की ऊँचाई AB = h मीटर
तथा डोरी की लम्बाई AC = 20 मीटर
भूमि स्तर के साथ डोरी द्वारा बनाया गया कोण 30° है,
अर्थात् ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
sin 30° = लम्ब / कर्ण = \(\frac{A B}{A C}\)
[∵ लम्ब व कर्ण में त्रिकोणमितीय अनुपात sin θ का होता है ]
\(\frac{1}{2}=\frac{h}{20}\)
⇒ 2h = 20
∴ h = \(\frac{20}{2}\) = 10 मीटर
अतः खम्भे की ऊँचाई 10 मीटर है।

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BD है।
आँधी के पश्चात् पेड़ A स्थान से टूटकर पेड़ का शिखर जमीन पर C बिन्दु पर पड़ता है।

अर्थात् AD = AC = h₂ मीटर (माना)
और AB = h₁ मीटर (माना)
BC = 8 मीटर
टूटा हुआ भाग जमीन से 30° का कोण बनाता है।
अत : ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h_1}{8}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h1 = 8
∴ h1 = \(\frac{8}{\sqrt{3}}\) मीटर
पुन: समकोण ΔABC में,
cos 30° = \(\frac{B C}{A C}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{h_2}\)
⇒ h2\(\sqrt{3}\) = 16
⇒ h2 = \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) मीटर
पेड़ की कुल लम्बाई (BD) = AB + AD

= 8\(\sqrt{3}\) = 8 × 1.732
= 13.86 मीटर
अतः पेड़ की ऊँचाई 13.86 मीटर या 8\(\sqrt{3}\) मीटर है।

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मीटर की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मीटर की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:
स्थिति I. जब ठेकेदार 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है तो उसकी ऊँचाई AB = 1.5 मीटर तथा फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण ACB = 30° है।
माना फिसलनपट्टी की लम्बाई AC मीटर है।

समकोण ΔABC में,
sin 30° = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{1.5}{x}\)
⇒ x = 1.5 × 2
∴ AC = 3 मीटर
स्थिति II. जब ठेकेदार 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है, तो उसकी ऊँचाई PQ = 3 मीटर होती है और फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण 60° है अर्थात् ∠PRQ = 60°

माना फिसलनपट्टी की लम्बाई (PR) y मीटर है।
समकोण ΔPQR में,

अत: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 3 मीटर तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 2\(\sqrt{2}\) मीटर

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई BC h मीटर है। मीनार के आधार B से 30 मीटर दूर भूमि पर स्थित बिन्दु A है अर्थात् AB = 30 मीटर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। अर्थात् ∠BAC = 30°

समकोण ΔABC में,

= 10 × 1.732
∴ h = 17.32 m (लगभग)
अतः मीनार की ऊँचाई 10\(\sqrt{3}\) मीटर या 17.32 मीटर

प्रश्न 5.
भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AX एक क्षैतिज रेखा है। रेखा पर स्थित बिन्दु C से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग B उड़ रही है यह पतंग B भूमि पर स्थित एक बिन्दु A से तनी हुई डोरी AB द्वारा बँधी हुई है। डोरी AB का भूमि के साथ कोण CAB = 60° है।

समकोण ΔACB में,
sin 60° = \(\frac{B C}{A B}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{60}{A B}\)
\(\sqrt{3}\)AB = 60 × 2
AB = \(\frac{120}{\sqrt{3}}\)
AB = \(\frac{120}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{120}{3} \sqrt{3}\)
= 40\(\sqrt{3}\) मीटर
= 40 × 1.732 मीटर
= 69.28 मीटर
अतः डोरी की लम्बाई = 40\(\sqrt{3}\) मीटर या 69.28 मीटर।

प्रश्न 6.
1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
हल:
माना PQ एक भवन है जिसकी ऊँचाई 30 मीटर हैं। भवन के आधार Q से x मीटर की दूरी पर बिन्दु R पर एक लड़का OR खड़ा है जिसकी ऊँचाई OR 1.5 मीटर है।
तब OS || RQ तथा OR || SQ
∴ SQ = OR = 1.5 मीटर
∴ PS = PQ – SQ
= 30 – 1.5 = 28.5 मीटर

लड़के की आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तथा लड़का भवन की ओर कुछ दूरी चलता है, तो भवन के शिखर का उन्नयन कोण 60° हो जाता है, तब
∠POS = 30° तथा ∠PTS = 60°
तब समकोण ΔPSO से,
tan 30° = \(\frac{P S}{O S}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{O S}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x}\) (∵ OS = RQ = x मीटर)
⇒ x = 28.5\(\sqrt{3}\)
अतः OS = 28.5\(\sqrt{3}\)
माना लड़का कुछ दूरी चलकर बिन्दु 7 पर पहुँचता है जहाँ से उसकी आँख का कोण PTS, 60° हो जाता है। तब समकोण ΔPTS में,

अतः लड़के द्वारा भवन की ओर तय की गई दूरी 19\(\sqrt{3}\) मीटर है।

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि BC एक भवन है, जिसकी ऊँचाई 20 मीटर है।

भवन के शिखर बिन्दु C पर एक संचार मीनार CD है।
संचार मीनार के तल C और शिखर D से उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं।
अर्थात् ∠CAB = 45° और ∠DAB = 60°
समकोण ΔABC में,
tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{20}{A B}\)
∴ AB = 20 मीटर
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{B D}{A B}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{B D}{20}\)
∴ BD = 20\(\sqrt{3}\) मीटर
संचार मीनार की ऊँचाई CD = BD – BC
= 20\(\sqrt{3}\) – 20 = 20 (\(\sqrt{3}\) – 1)
= 20 (1.732 – 1)
= 20 × 0.732 = 14.64 मीटर
अतः संचार मीनार की ऊँचाई = 20 (\(\sqrt{3}\) – 1) मीटर या 14.64 मीटर है।

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेडस्टल की ऊँचाई BC = h मीटर
दिया है: मूर्ति की ऊँचाई CD = 1.6 मीटर है।
क्षैतिज भूमि पर स्थित बिन्दु A से मूर्ति के शिखर D का उन्नयन कोण BAD = 60° तथा पेडस्टल के शिखर C का उन्नयन कोण BAC = 45° है।

समकोण ΔABC में,
tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{A B}\)
∴ AB = h मीटर
पुनः समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{B D}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{B C+C D}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h+1.6}{h}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h = h + 1.6
⇒ \(\sqrt{3}\)h – h = 1.6
⇒ h (\(\sqrt{3}\) – 1) = 1.6
∴ h = \(\frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\)
\(\frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{3-1}\)
∴ h = \(\frac{1.6}{2}(\sqrt{3}+1)\)
= 0.8 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः पेडस्टल की ऊँचाई = 0.8 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर।

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि AB कोई मीनार है जिसकी ऊँचाई 50 मीटर है।
मीनार के पाद बिन्दु B से भवन की चोटी D का उन्नयन कोण 30° है जबकि भवन के आधार बिन्दु C से मीनार की चोटी 4 का उन्नयन कोण 60° है।
अर्थात् ∠CBD = 30° और ∠ACB = 60°

माना भवन की ऊँचाई CD = h मीटर
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{50}{B C}\)
∴ BC = \(\frac{50}{\sqrt{3}}\)
पुन: समकोण ΔBCD में,
tan 30° = \(\frac{C D}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{\frac{50}{\sqrt{3}}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} h}{50}\)
⇒ \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\)h = 50
⇒ 3h = 50
h = \(\frac{50}{3}=16 \frac{2}{3}\) मीटर
अतः भवन की ऊँचाई 16\(\frac{2}{3}\) मीटर है।

प्रश्न 10.
एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना BC और DE दो बराबर ऊँचाई के खम्भे हैं जिनकी ऊँचाई / मीटर है। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क BD पर एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° है।

अर्थात् ∠CAB = 60° और ∠DAE = 30°
BC = DE = h मीटर (माना)
BD = 80 मीटर
DA = x मीटर (माना)
∴ AB = BD – DA
AB = (80 – x) मीटर
समकोण ΔADE में,
tan 30° = \(\frac{E D}{D A}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x}\)
h = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) मीटर ….(i)
पुन: समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{h}{80-x}\)
h = (80 – x)\(\sqrt{3}\) …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\(\frac{x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(80-x)\)
⇒ x = \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) (80 – x)
⇒ x = 3(80 – x)
⇒ x = 240 – 3x
⇒ x + 3x = 240
⇒ 4x = 240
∴ x = \(\frac{240}{4}\) = 60 मीटर
AD = 60 मीटर
और AB = 80 – 60 = 20 मीटर
समीकरण (i) से,
h = \(\frac{60}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{60}{3} \sqrt{3}\)
= 20\(\sqrt{3}\)
अर्थात् h = 20 × 1.732
= 34.64 मीटर।
अतः खम्भे की ऊँचाई 34.64 मीटर है बिन्दु की खम्भों से दूरी क्रमश: 20 मीटर और 60 मीटर है।

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरत: खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 मी दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (देखिए आकृति)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना नहर की चौड़ाई BC = x मीटर है।
तथा टीवी टॉवर की ऊँचाई AB = h मीटर है।
भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h}{x}\)
∴ h = x\(\sqrt{3}\) मीटर …(i)
पुनः समकोण ΔABD में,
⇒ tan 30° = \(\frac{A B}{B D}=\frac{A B}{D C+B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+x}\)
⇒ \(\sqrt{3}\)h = 20 + x
⇒ \(\sqrt{3}\) × x\(\sqrt{3}\) = 20 + x [समीकरण (i) से]
⇒ 3x = 20 + x
⇒ 3x – x = 20
⇒ 2x = 20
∴ x = \(\frac{20}{2}\)
अत: BC = 10 मीटर
समी. (i) में x का मान प्रतिस्थापन करने पर,
h = 10\(\sqrt{3}\)
h = 10 × 1.732 = 17.32 मीटर
AB = 17.32 मीटर
अतः टावर की ऊँचाई = 17.32 मीटर
तथा नहर की चौड़ाई = 10 मीटर

प्रश्न 12.
7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक केबल टॉवर है। उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 7 मीटर है।
केबल टॉवर के शिखर को उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमश: 60° और 45° हैं।

अर्थात ∠ACE = 60°
और ∠ECB = 45°
BD || CE, CD || BE
∴ CD = BE = 7 मीटर
अब समकोण त्रिभुज CBD में,
tan 45° = \(\frac{C D}{D B}\)
⇒ 1 = \(\frac{7}{D B}\)
∴ DB = 7 मीटर
CE = DB = 7 मीटर
पुन: समकोण त्रिभुज AEC में,
tan 60° = \(\frac{A E}{C E}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{A E}{7}\)
∴ AE = 7\(\sqrt{3}\) मीटर
तब टॉवर AB की ऊँचाई = AE + EB
= 7\(\sqrt{3}\) + 7
= 7\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः केबल टॉवर की ऊँचाई = 7(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर ।

प्रश्न 13.
समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 75 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ PQ के शिखर P से, A और B जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।
∴ ∠SPA = 30° = ∠PAQ (एकान्तर कोण)
तथा ∠SPB = 45° = ∠PBQ (एकान्तर कोण)

माना जहाजों के बीच की दूरी AB = x मीटर
समकोण ΔPQB में,
tan 45° = \(\frac{P Q}{B Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{75}{B Q}\)
∴ BQ = 75 मीटर
पुन: समकोण ΔPQA में,
tan 30° = \(\frac{P Q}{A Q}=\frac{P Q}{A B+B Q}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75}{x+75}\)
⇒ x + 75 = 75\(\sqrt{3}\)
x = 75\(\sqrt{3}\) – 75
= 75 (\(\sqrt{3}\) – 1) मीटर
= 75 × 0.732 = 54.90 मीटर
अतः दो जहाजों के बीच की दूरी 75 (\(\sqrt{3}\) – 1) या 54.90 मीटर है।

प्रश्न 14.
1.2 मीटर लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।

हल:
माना 1.2 मीटर लम्बी लड़की की आँख ‘A’ है। भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे गुब्बारे की विभिन्न दूरियों पर उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं।

∠BAE = 60° और ∠DAC = 30°
BE = CD = 88.2 – 1.2 = 87 मीटर
समकोण ΔABE में,
tan 60° = \(\frac{B E}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{87}{x}\)
⇒ x = \(\frac{87}{\sqrt{3}}\) ….(1)
पुन: समकोण ΔACD में,
tan 30° = \(\frac{C D}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{x+y}\)
⇒ x + y = 87\(\sqrt{3}\)
⇒ x = 87\(\sqrt{3}\) – y ….(2)
समीकरण (1) व (2) से
\(\frac{87}{\sqrt{3}}\) = 87\(\sqrt{3}\) – y
87 = 87 × 3 – \(\sqrt{3}\)y
\(\sqrt{3}\)y = 87 × 3 – 87
\(\sqrt{3}\)y = 261 – 87
\(\sqrt{3}\)y = 174
y = \(\frac{174}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{174}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{174 \sqrt{3}}{3}\)
y = 58\(\sqrt{3}\) मीटर
अतः गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58\(\sqrt{3}\) मीटर

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाती है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना BCD एक सीधा राजमार्ग है जिसके बिन्दु D पर, AD मीनार खड़ी है जिसकी ऊँचाई h मीटर है। मीनार के शिखर 4 से एक कार B का अवनमन कोण 30° है। 6 सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है।
∵ 6 सेकण्ड में कार द्वारा तय की गई दूरी = BC समकोण ΔABD से,
tan 30° = \(\frac{A D}{B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{B D}\)
BD = \(\sqrt{3}\)h …..(i)

पुन: समकोण ΔACD में,
tan 60° = \(\frac{A D}{C D}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{h}{C D}\)
∴ h = \(\sqrt{3}\)CD …(ii)
समी (i) मैं h का मान रखने पर
BD = \(\sqrt{3}\) · \(\sqrt{3}\)CD
⇒ BD = 3CD (∵ BD = BC + CD)
⇒ BC + CD = 3CD
⇒ BC = 3CD – CD
⇒ BC = 2CD
⇒ CD = \(\frac{1}{2}\)BC
चूँकि कार एक समान चाल से चल रही है तथा CD दूरी BC की आधी है।
अत: CD दूरी चलने में लगा समय = \(\frac{1}{2}\) × BC दूरी चलने में लगा समय
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 सेकण्ड
अतः कार को मीनार के पाद तक पहुँचने में लगा समय = 3 सेकण्ड ।

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
हल:
माना CD एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मीटर है।

मीनार के आधार से 4 मीटर दूरी पर बिन्दु B है तथा 9 मीटर दूरी पर बिन्दु A है।
माना ∠DBC = 6 है तो
इसका पूरक ∠DAB = 90° – 6 होगा।
समकोण ΔDCB में,
tan θ = \(\frac{D C}{B C}\)
⇒ tan θ = \(\frac{h}{4}\) …(i)
पुन: समकोण ΔDCA में,
tan (90° – θ) = \(\frac{D C}{A C}\)
⇒ cot θ = \(\frac{h}{9}\)
\(\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{9}\) …(ii)
समी (i) व (ii) का गुणा करने पर
tan θ × \(\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{4} \times \frac{h}{9}\)
⇒ \(1=\frac{h^2}{36}\)
⇒ h₂ = 36
⇒ h = \(\sqrt{36}\)
∴ h = 6 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 6 मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए:
(i) 7 सेमी, 24 सेमी 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
हल:
(i) माना कि ΔABC में,
AB = 7 सेमी
BC = 24 सेमी
और AC = 25 सेमी
अब AB² + BC² = (7)² + (24)²
= 49 + 576
= 625
तथा AC² = (25)² = 625
∴ AB² + BC² = AC²
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से ΔABC समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B समकोण है तथा कर्ण की लम्बाई = 25 सेमी।

(ii) माना कि ΔABC में,
AB = 3 सेमी
BC = 6 सेमी
और AC = 8 सेमी
AB² + BC² = (3)² + (6)²
= 9 + 36 = 45
जबकि AC² = (8)² = 64
∵ AB² + BC² ≠ AC²
अत: ΔABC समकोण Δ नहीं है।

(iii) माना कि ΔMNP में
MN = 50 सेमी
NP = 80 सेमी
और MP = 100 सेमी
MN² + NP² = (50)² + (80)²
= 2500 + 6400 = 8900
जबकि MP² = (100)² = 10000
अत: MN² + NP² ≠ MP²
अत: ΔMNP समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) माना कि ΔPQR में,
PQ = 13 सेमी
QR = 12 सेमी
PR = 5 सेमी
(PR)² + (QR)² = (5)² + (12)² = 25 + 144
= 169
PQ² = (13)² = 169
∵ PR² + QR² = PQ²
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠R समकोण है और कर्ण की लम्बाई = 13 सेमी।

प्रश्न 2.
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM.MR है।
हल:
दिया है: समकोण ΔPQR में कोण P समकोण है तथा PM ⊥ QR है।
सिद्ध करना है: PM² = QM.MR

उपपत्ति: ∵ ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है तथा PM कर्ण QR पर लम्ब है।
अतः प्रमेय 6.7 के अनुसार,
ΔQPM ~ ΔPRM
⇒ \(\frac{P M}{R M}=\frac{Q M}{P M}\)
(∵ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।)
PM² = RM × QM.

प्रश्न 3.
आकृति में, ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि:

(i) AB² = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD
हल:
दिया है: ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A समकोण है तथा AC ⊥ BD है।
सिद्ध करना है:
(i) AB² = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD
उपपत्ति: (i) ∵ ΔABD एक समकोण त्रिभुज है तथा AC कर्ण BD पर लम्ब है।
अतः प्रमेय 6.7 के अनुसार,
ΔDAB ~ ΔACB
⇒ \(\frac{A B}{C B}=\frac{B D}{A B}\)
⇒ AB² = BC × BD

(ii) प्रमेय 6.7 के अनुसार,
ΔDCA ~ ΔACB
⇒ \(\frac{D C}{A C}=\frac{A C}{B C}\)
[दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं]
⇒ AC² = BC × DC

(iii) प्रमेय 6.7 के अनुसार,
ΔDAB ~ ΔDCA
⇒ \(\frac{D A}{D C}=\frac{D B}{A D}\)
AD² = DB × DC

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।
हल:
दिया है: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है।
सिद्ध करना है: AB² = 2AC²

उपपत्ति: ΔACB में,
∠C = 90°
∴ पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AC² + BC²
= AC² + AC² (∵ AC = BC)
∴ AB² = 2AC²

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ACB एक समकोण त्रिभुज है।
हल:
दिया है: ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC तथा AB² = 2AC² है।
सिद्ध करना है: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।
उपपत्ति: AB² = 2AC² (दिया है)
AB² = AC² + AC²
AB² = AC² + BC² (∵ AC = BC)

∴ पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,
ΔACB एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 2a है।
AB = AC = BC = 2a
AD ⊥ BC
BD = CD = \(\frac{2a}{2}\) = a

अब समकोण ΔADB में,
AB² = AD² + BD²
(2a)² = (AD)² + (a)²
4a² = (AD)²2 + a²
(AD)² = 4a² – a
(AD)² = 3a²
AD = \(\sqrt{3}\)a या a\(\sqrt{3}\)
अतः शीर्ष लम्ब की लम्बाई = a\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है: समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है:
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²
उपपत्ति: हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अतः समकोण ΔAOB में,
OA² + OB² = AB² …(1)
इसी प्रकर ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में क्रमश:
OB² + OC² = BC² …(2)
OC² + OD² = CD²2 …(3)
और OA² + OD² = AD² …(4)
अत: समीकरण (1), (2) (3) और (4) को जोड़ने पर,
AB² + BC² + CD² + AD² = 2(OA² + OC² + OB² + OD²)
यहाँ OA = OC = \(\frac{A C}{2}\) और OB = OD = \(\frac{B D}{2}\)
अत: AB² + BC² + CD² + AD² = \(2\left[\frac{A C^2}{4}+\frac{A C^2}{4}+\frac{B D^2}{4}+\frac{B D^2}{4}\right]\)
⇒ AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

प्रश्न 8.
आकृति में, ΔABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि:

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
हल:
दिया है: ΔABC के अन्दर एक बिन्दु O है जिससे भुजाओं BC, CA तथा AD पर क्रमश: OD, OE, और OF लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है:
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
रचना : रेखाखण्ड OA, OB तथा OC को मिलाया।

उपपत्ति: (i) समकोण ΔAFO में,
AF² + OF² = OA² …(1)
समकोण ΔODB में,
BD² + OD² = OB² …(2)
समकोण ΔOEC में,
CE² + OE² = OC² …(3)
समीकरण (1), (2) व (3) को जोड़ने पर,
AF² + BD² + CE² + OF² + OD² + OE² = OA² + OB² + OC²
⇒ AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²
⇒ OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) समकोण ΔODB में,
OD² + BD² = OB² …(4)
समकोण ΔODC मैं,
OD² + CD² = OC² …(5)
समीकरण (4) में से (5) को घटाने पर,
BD² – CD² = OB² – OC² …(6)
इसी प्रकार समकोण ΔOEC तथा ΔOEA में,
CE² – AE² = OC² – OA² …(7)
और समकोण ΔOFA तथा ΔOFB में,
AF² – BF² = OA² – OB² …(8)
समीकरण (6), (7) व (8) को जोड़ने पर,
BD² + CE² + AF² – CD² – AE² – BF² = 0
⇒ AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
द्वितीय विधि: समीकरण (1) से
पुन: AF² + BD² + CE² = (OA² – OE²) + (OC² – OD²) + (OB² – OF²)
= AE² + CD² + BF²
{∵ AE² = AO² – OE²
CD² = OC² – OD²
BF² = OB² – OF²}

प्रश्न 9.
10 मी. लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. की ऊंचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खिड़की की धरती से ऊँचाई (AB) = 8 मीटर

तथा AC एक सीढ़ी है।
सीढ़ी की लम्बाई (AC) = 10 मीटर
सीढ़ी के निचले सिरे और दीवार के आधार के बीच की दूरी (BC) = ?
समकोण ΔABC में,
AC² = AB² +BC² ( पाइथागोरस प्रमेय से )
(10)² = (8)² + BC²
⇒ BC² = 10² – 8² = 100 – 64 = 36
BC = 6 मीटर
अतः सीढ़ी के निचले सिरे और दीवार के आधार के बीच की दूरी = 6 मीटर।

प्रश्न 10.
18 मीटर ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूंटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूंटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे, जबकि तार की लम्बाई 24 मीटर है।
हल:
माना खम्भे की ऊँचाई (AB) = 18 मीटर
तथा तार की लम्बाई (AC) = 24 मीटर

माना खूँटे की स्थिति C है। इसकी खम्भे के आधार से दूरी (BC) = ?
समकोण ΔABC में,
AC² = AB² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय से)
(24)² = (18)² + (BC)²
⇒ (BC)² = (24)² – (18)²
⇒ (BC)² = 576 – 324
⇒ BC = \(\sqrt{252}\)
∴ BC = 6\(\sqrt{7}\) मीटर
अतः खम्भे के आधार से खूँट की दूरी = 6\(\sqrt{7}\) मीटर या 15.87 मीटर।

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी / घण्टा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी/घण्टा की चाल से उड़ता है। 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी ?
हल:
माना कि O बिन्दु हवाई अड्डे को दर्शाता है।
पहले हवाई जहाज की चाल = 1000 किमी / घण्टा

पहले हवाई जहाज द्वारा O बिन्दु से उत्तर की और 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में तय की गई दूरी,
OA = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
[∵ दूरी चाल × समय]
∴ OA = 1000 × \(\frac{3}{2}\) = 1500 किमी
दूसरे हवाई जहाज की चाल = 1200 किमी / घण्टा
दूसरे हवाई जहाज द्वारा बिन्दु O से पश्चिम की ओर 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे में तय की गई दूरी,
OB = 1200 × 1\(\frac{1}{2}\)
∴ OB = 1200 × \(\frac{3}{2}\) = 1800 किमी
समकोण ΔAOB में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = OA² + OB²
= (1500)² + (1800)²
= 2250000 + 3240000
= 5490000
∴ AB = \(\sqrt{5490000}\)
= 300\(\sqrt{61}\)
अतः दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी (AB) = 300\(\sqrt{61}\) किमी।

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मीटर और 11 मीटर हैं, समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मी है, तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक खम्भे की ऊँचाई (AB) = 11 मीटर
तथा दूसरे खम्भे की ऊँचाई (CD) = 6 मीटर

खम्भों के आधारों के बीच की दूरी (BD) = 12 मीटर C से AB पर CE लम्ब खींचते हैं अर्थात् CE ⊥ AB
BE = DC = 6 मीटर
AE = AB – BE = 11 – 6
∴ AE = 5 मीटर
तथा CE = BD = 12 मीटर
समकोण ΔAEC में,
AC² = AE² + CE²
AC² = (5)² + (12)²
= 25 + 144 = 169
AC = \(\sqrt{169}\)
∴ AC = 13 मीटर
अतः खम्भों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 मीटर

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिन्दु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE²
हल:
दिया है: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C समकोण है तथा भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिन्दु D और E स्थित हैं।
सिद्ध करना है: AE² + BD² = AB² + DE²

उपपत्ति: समकोण ΔBCA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = BC² + CA² …(1)
समकोण ΔECD में,
DE² = EC² + DC² …(2)
(पाइथागोरस प्रमेय से)
समकोण ΔACE में,
AE² = AC² + CE² …(3)
समकोण ΔBCD में,
BD² = BC² + CD² …(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर,
AE² + BD² = AC² + CE² + BC² + CD²
= (AC² + BC²) + (CE² + CD²)
= AB² + DE² [समीकरण (1) व (2) से]
अतः AE² + BD² = AB² + DE²

प्रश्न 14.
किसी ΔABC के शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करता है कि DB = 3 CD है। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।
हल:
दिया है: ΔABC में आधार BC पर शीर्ष A से AD लम्ब इस प्रकार डाला गया है कि BD = 3CD
सिद्ध करना है: 2AB² = 2AC² + BC²

उपपत्ति: समकोण ΔADC में,
AC² = AD² + CD² …(i)
समकोण ΔADB में,
AB² = AD² + BD²
दोनों ओर 2 से गुणा करने पर,
2AB² = 2AD² + 2BD²
2AB² = 2(AC² – CD²) + 2(3CD)²
[∵AD² = AC² – CD²; BD = 3CD]
⇒ 2AB² = 2AC² – 2CD² + 18 CD²
= 2AC² + 16CD²
= 2AC² + (4CD)²
= 2AC² + (CD + 3CD)
= 2AC² + (CD + BD)² (∵ 3CD = BD)
= 2AC² + BC² (∵BC = CD + BD)
अत : 2AB² = 2AC² + BC²

प्रश्न 15.
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac{1}{3}\)BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD = 7AB² है।
हल:
दिया है: ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके आधार BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि
BD = \(\frac{1}{3}\)BC
सिद्ध करना है: 9AD² = 7AB²

रचना : A से BC पर AE लम्ब खींचा अर्थात् AE ⊥ BC है।
उपपत्ति: समबाहु त्रिभुज ABC में,
AE ⊥ BC
BE = CE = \(\frac{1}{2}\)BC
BE = \(\frac{1}{2}\)AB …(1)
(∵ AB = BC)
समकोण त्रिभुज AEB में,
AB² = BE² + AE²
⇒ AB² = \(\left(\frac{1}{2} A B\right)^2\) + AE²
⇒ AB² = \(\frac{1}{2}\)AB² + AE²
AB² – \(\frac{1}{4}\)AB² = AE²
\(\frac{3}{4}\)AB² = AE² …(2)
समकोण त्रिभुज AED में,
AE² + DE² = AD²
⇒ AE² = AD² – DE² …(3)
BD = \(\frac{1}{3}\)BC (दिया है)
⇒ BD = \(\frac{1}{3}\)AB …(4)
समीकरण (1) में से (4) को घटाने पर,
⇒ BE – BD = \(\frac{1}{2}\)AB – \(\frac{1}{3}\)AB
⇒ DE = \(\frac{1}{6}\)AB …(5)
समीकरण (2) तथा (3) से,
\(\frac{3}{4}\)AB² = AD² – DE²
⇒ \(\frac{3}{4}\)AB² = AD² – (\(\frac{1}{6}\)AB)²
⇒ \(\frac{3}{4}\)AB² = AD² – \(\frac{1}{36}\)AB²
⇒ \(\frac{3}{4}\)AB² + \(\frac{1}{36}\)AB² = AD²
⇒ \(\frac{27 A B^2+A B^2}{36}\) = AD²
⇒ 28AB² = 36AD²
⇒ 7AB² = 9AD²
अतः 9AD² = 7AB²

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल:
दिया है: ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = BC = CA तथा AD ⊥ DC है।

सिद्ध करना है: 3AB² = 4AD²
उपपत्ति: ΔABC में,
माना कि AB = BC = CA = 2a
∵ AD ⊥ BC
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\) × 2a = a
समकोण ΔABD में,
AB² = AD² + BD²
(2a)² = AD² + (a)²
⇒ (AD)² = 4a² – a²
⇒ AD² = 3a²
[∵ AB = 2a
a = \(\frac{AB}{2}\)]
⇒ AD² = 3 × \(\left[\frac{A B}{2}\right]^2\)
⇒ AD² = \(\frac{3 A B^2}{4}\)
∴ AD² = 3AB²
अर्थात् 3AB² = 4AD²

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए:
ΔABC में, AB = 6\(\sqrt{3}\) सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी है। कोण B है:
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
हल:
AC = 12 सेमी
AB = 6\(\sqrt{3}\) सेमी
BC = 6 सेमी
⇒ AB² + BC² = (6\(\sqrt{3}\))² + (6)²
= 108 + 36
= 144 = (12)² = AC²
अतः AB² + BC² = AC²
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, ΔABC में,
∠B = 90°
अत: सही विकल्प (C) है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्न आकृतियों में दए गए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।


हल:
(i) ΔABC तथा ΔPQR में,
∠A = ∠P (प्रत्येक 60°)
∠B = ∠Q (प्रत्येक 80°)
∠C = ∠R (प्रत्येक 40°)
A-A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR

(ii) ΔABC तथा ΔQRP में,

S-S-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔQRP

(iii) ΔLMP तथा ΔDEF में,
\(\frac{M P}{D E}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{P L}{D F}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{L M}{E F}=\frac{2.7}{5}=\frac{27}{50}\)
यहाँ \(\frac{M P}{D E}=\frac{P L}{D F} \neq \frac{L M}{E F}\)
∵ दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में नहीं हैं।
∴ दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv) ΔMNL तथा ΔQPR में,
\(\frac{M L}{Q R}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
∠M = ∠Q = 70°
\(\frac{M N}{P Q}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔMNL ~ ΔQPR

(v) ΔABC तथा ΔDEF में,
\(\frac{A B}{D F}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{B C}{E F}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
∠B ≠ ∠F [∵ ∠B अज्ञात है]
अतः दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(vi) ΔDEF में,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∵ ∠D + ∠E + ∠F = 180°
∴ 70° + 80° + ∠F = 180°
⇒ ∠F = 180° – 70° – 80°
∴ ∠F = 30°
ΔPQR में, ∠Q = 80°, ∠R = 30°
∵ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 80° – 30°
∴ ∠P = 70°
ΔDEF एवं ΔPQR से,
∠D = ∠P (प्रत्येक 70°)
∠E = ∠Q (प्रत्येक 80°)
∠F = ∠R (प्रत्येक 30°)
A-A-A समरूपता कसौटी में,
ΔDEF ~ ΔPQR.

प्रश्न 2.
निम्न आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल:
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
∵ DOB एक सरल रेखा है।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180°
⇒ ∠DOC = ∠180° – ∠COB
⇒ ∠DOC = 180° – 125°
∴ ∠DOC = 55°
अतः ∠DOC = ∠AOB = 55° (शीर्षाभिमुख कोण)

ΔDCO में,
∠D + ∠O + ∠C = 180°
⇒ 70° + 55° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 70° – 55°
∴ ∠C = 55°
अर्थात् ∠DCO = 55°
∵ ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
∴ ∠DCO = ∠OAB
(∵ दो समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं)
∠OAB = 55°
अतः ∠DOC = 55°
∠DCO = 55°
और ∠OAB = 55°

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) है।

हल:
दिया है: ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD तथा उसके विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
उपपत्ति: AB || CD और AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD (एकान्तर कोण युग्म)
और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अब ΔAOB और ΔCOD में,
∠OAB = ∠OCD तथा ∠AOB = ∠COD
त्रिभुजों की समरूपता के उपगुणधर्म A-A से,
ΔAOB ~ ΔCOD
∴ \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
(भुजाओं की आनुपातिकता से) इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
आकृति में \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

हल:
दिया है: दी गई आकृति में,
\(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2
सिद्ध करना है: ΔPQS ~ ΔTQR
उपपत्ति: ΔPQR में,
∠1 = ∠2 (दिया है)
∴ PR = PQ
(बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔPQS ~ ΔTQR इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
ΔPQR की भुजाओं PR और OR पर क्रमशः बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है।

हल:
दिया है: ΔPQR की भुजाओं PR और OR पर क्रमश: S तथा T बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है।
सिद्ध करना है: ΔRPQ ~ ΔRTS
उपपत्ति: ΔRPQ और ΔRTS में,
∠P = ∠RTS
तथा ∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
त्रिभुजों की समरूपता के उपगुणधर्म AA से
ΔRPQ ~ ΔRTS इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।

हल:
दिया है: दी गई आकृति में ΔABE ≅ ΔACD है।
सिद्ध करना है: ΔADE ~ ΔABC
उपपत्ति: ΔABE ≅ ΔACD (दिया है)
AB = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
और AE = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
\(\frac{A B}{A C}=1\) …(i)
तथा \(\frac{A D}{A E}=1\) …(ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से,
\(\frac{A B}{A C}=\frac{A D}{A E}\) ⇒ \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\)
ΔADE और ΔABC में,
\(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔADE ~ ΔABC इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
आकृति में, ΔABC के शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं दर्शाइए कि :

(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC
हल:
दिया है: ΔABC में AD और CE शीर्ष लम्ब हैं, जो बिन्दु P पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: (i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC
उपपत्ति: (i) ΔAEP और ΔCDP में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔAEP ~ ΔCDP

(ii) ΔABD और ΔCBE में,
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABD ~ ΔCBE

(iii) ΔAEP और ΔADB में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔAEP ~ ΔADB

(iv) ΔPDC और ΔBEC में,
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔPDC ~ ΔBEC इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।
हल:
दिया है: समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु हैं तथा BE भुजा CD को F बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: ΔABE ~ ΔCFB

उपपत्ति: ΔABE और ΔCFB में,
∠A = ∠C
(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∵ AE || BC
तथा BE तिर्यक् रेखा है।
∠AEB = ∠CBF (एकान्तर कोण)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABE ~ ΔCFB इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
निम्न आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल:
दिया है:
ΔABC और ΔAMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं।
सिद्ध करना है:
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
उपपत्ति: (i) ΔABC और ΔAMP में,
∠A = ∠A (उभनिष्ठ)
∠B = ∠M (प्रत्येक 90°)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔAMP

(ii) ∵ ΔABC और ΔAMP समरूप त्रिभुज है।
∴ \(\frac{A C}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
(यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
अतः \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\) इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमश: ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ΔABC और ΔEFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :

(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGE
हल:
दिया है: ΔABC तथा ΔFEG में, ZACB तथा ZEGF के समद्विभाजक CD तथा GH इस प्रकार है कि D, AB पर तथा H, FE पर स्थित है।
तथा ΔABC ~ ΔFEG
(i) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠CAB = ∠GEF
⇒ ∠CAD = ∠GFH …(i)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
⇒ ∠ACD = ∠FGH …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
ΔACD ~ ΔFGH (AA समरूपता से)
∵ दो समरूप त्रिभुजों की संगत गुजाएँ समानुपात में होती हैं।
अतः \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)

(ii) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠ABC = ∠FEG
⇒ ∠DBC = ∠HEG …(iii)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
ΔDCB = ΔHGE … (iv)
समीकरण (iii) और (iv) से,
ΔDCB ~ ΔHGE (AA समरूपता से)

(iii) ∵ ΔABC ~ ΔFEG
∴ ∠CAB = ∠GFE
⇒ ∠CAD = ∠GFH
⇒ ∠DAC = ∠HFG ….(v)
और ∠ACB = ∠FGE
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
⇒ ∠DCA = ∠HGF …(vi)
समीकरण (v) और (vi) से,
ΔDCA ~ ΔHGF (AA समरूपता से)

प्रश्न 11.
निम्न आकृति में, AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है।

हल:
दिया है: एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है, जिसमें AB = AC है तथा CB को E बिन्दु तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि EF ⊥ AC और AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है: ΔABD ~ ΔECF
उपपत्ति: ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (दिया है)
∴ AB = AC
तथा ∠B = ∠C
(त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब ΔABD और ΔECF में,
∠ABD = ∠ECF (ऊपर सिद्ध किया है)
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∴ A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABD ~ ΔECF इति सिद्धम्।

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं ΔABC ~ ΔPQR है।

हल:
दिया है:
ΔABC तथा ΔPQR दो त्रिभुज हैं जिनमें AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अर्थात् BD =\(\frac{1}{2}\)BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\)QR
तथा \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\) है …(i)
सिद्ध करना है: ΔABC और ΔPQR समरूप हैं।
उपपत्ति: \(\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\) (दिया है)
\(\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{A D}{P M}\)
[∵ BD = \(\frac{1}{2}\)BC तथा QM = \(\frac{1}{2}\)QR]
\(\frac{B D}{Q M}=\frac{A D}{P M}\) … (ii)
अब ΔABD तथा PQM में,
समी. (i) व (ii) से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}=\frac{A D}{P M}\)
ΔABD ~ ΔPQM
∴ ∠B = ∠Q
ΔABC तथा ΔPQR में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समी. (i) से]
∠B = ∠Q
∴ S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।

हल:
दिया है: ΔABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है: CA² = CB × CD
उपपत्ति: ΔABC और ΔDAC में,
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
∠BAC = ∠ADC (दिया है)
∴ A-A समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔDAC
\(\frac{A C}{D C}=\frac{B C}{\dot{A C}}\)
(यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
∴ AC² = BC.DC
या AC² = CB.CD इति सिद्धम्।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

हल:
दिया है: दो त्रिभुज ABC और POR में, D, BC का मध्य-बिन्दु है और QR का मध्य- बिन्दु M है।
तथा \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\) …(i)
सिद्ध करना है:
ΔABC ~ ΔPQR
रचना: AD को E तक इस प्रकार बढ़ाया कि AD = DE हो। BE और CE को मिलाया तथा PM को N तक इस प्रकार बढ़ाया कि PM = MN हो। QN और NR को मिलाया।
उपपत्ति: चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC परस्पर D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ चतुर्भुज ABEC एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ BE = AC …(ii)
इसी प्रकार PQNR भी एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ QN = PR …(iii)
समीकरण (ii) को (iii) से विभाजित करने पर,
\(\frac{B E}{Q N}=\frac{A C}{P R}\) …(iv)
अब \(\frac{A D}{P M}=\frac{2 A D}{2 P M}=\frac{A D}{P M}=\frac{A E}{P N}\) …(v)
समीकरण (i), (iv) और (v) में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B E}{Q N}=\frac{A E}{P N}\)
अत: ΔABE और ΔPQN मैं,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B E}{Q N}=\frac{A E}{P N}\)
∴ ΔABE ~ ΔPQN (SSS से)
∴ ∠BAE = ∠QPN …(vi)
इसी प्रकार,
ΔAEC ~ ΔPNR
∴ ∠EAC = ∠NPR …(vii)
समीकरण (vi) व (vii) को जोड़ने पर,
∠BAE + ∠EAC = ∠QPN + ∠NPR
⇒ ∠BAC = ∠QPR
अब ΔABC और ∠PQR में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}\) [समी. (i) से]
∠A = ∠P
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔABC ~ ΔPQR इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
6 मीटर लम्बाई वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: 6 मीटर लम्बे स्तम्भ CD की छाया DE = 4 मीटर प्राप्त होती है। उसी समय एक मीनार AB जिसकी ऊँचाई माना h मीटर है की छाया BE = 28 मीटर प्राप्त होती है।
ज्ञात करना है: मीनार AB की ऊँचाई (h)।

गणना : ΔABE और ΔCDE समरूप हैं।
∴ \(\frac{A B}{C D}=\frac{B E}{D E}\)
⇒ \(\frac{h}{6}=\frac{28}{4}\)
⇒ h = \(\frac{28}{4}\) × 6
∴ h = 42 मीटर
अत: मीनार की ऊँचाई = 42 मीटर

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है।
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल:
दिया है: ΔABC और ΔPQR समरूप त्रिभुज हैं जिनमें AD और PM क्रमश: ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं।

सिद्ध करना है: \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
उपपत्ति: ΔABC और ΔPQR समरूप हैं।
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) …(i)
∠Q = ∠B (ΔABC ~ ΔPQR)
∵ AD, ΔABC की माध्यिका है।
∴ BD = \(\frac{1}{2}\)BC ⇒ BC = 2BD
तथा PM, ΔPQR की माध्यिका है।
∴ QM = \(\frac{1}{2}\)QR ⇒ QR = 2QM
समीकरण (i) से,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}\)
⇒ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) …(ii)
अब ΔABD और ΔPQM की तुलना करने पर,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\)
∠B = ∠Q
∴ S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔΑΒD ~ ΔΡQΜ
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)
(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपातिक होती हैं) इति सिद्धम्।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.6

प्रश्न 1.
आकृति में, PS कोण QPR का सम-द्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\) है।
हल:
दिया है : ΔPQR में, PS कोण QPR का सम-द्विभाजक है अर्थात् ∠1 = ∠2 है।

सिद्ध करना है :
\(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)
रचना: R से एक रेखा PS के समान्तर खींचते हैं जो OP को बढ़ाने पर T पर मिलती है।
उपपत्ति: ΔQRT में,
PS || TR

∠2 = ∠3, (एकान्तर कोण)
∠1 = ∠4, (संगत कोण)
परन्तु ∠1 = ∠2, (दिया है)
∴ ∠3 = ∠4
ΔPRT में. ∠3 = ∠4, (ऊपर सिद्ध किया है)
PT = PR (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
ΔQRT में, PS || TR
\(\frac{Q P}{P T}=\frac{Q S}{S R}\) (आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से)
\(\frac{Q P}{P R}=\frac{Q S}{S R}\) (∵ PT = PR)
या \(\frac{P Q}{P R}=\frac{Q S}{S R}\)

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में D, ΔABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जिसमें BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि:

(i) DM² = DN × MC
(ii) DN² = DM × AN
हल:
दिया है: समकोण ΔABC में ∠ABC = 90°, BD ⊥ AC, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB
सिद्ध करना है:
(i) DM² = DN × MC
(ii) DN² = DM × AN
उपपत्ति: समकोण ΔABC में,
BD ⊥ AC
∴ ΔBDC ~ ΔABC और ΔADB ~ ΔABC
∴ ΔBDC ~ ΔADB (प्रमेय 6.7 से)
तथा ΔBDC और ΔADB समकोणिक त्रिभुज हैं।
(i) ∵ समकोण ΔBDC में,
DM ⊥ BC (दिया है)
ΔDMC ~ ΔBMD (प्रमेय 6.7 से)
⇒ \(\frac{M C}{D M}=\frac{D M}{B M}\)
(∵ दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
⇒ DM² = BM × MC …(1)
∵ चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
∴ चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BM = DN …(2)
समीकरण (1) व (2) से
DM² = DN × MC

(ii) ∵ समकोण ΔADB में,
DN ⊥ AB
ΔAND ~ ΔDNB (प्रमेयं 6.7 से)
\(\frac{D N}{B N}=\frac{A N}{D N}\)
(∵ दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
DN² = BN × AN …(3)
∵ चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BN = DM …(4)
समीकरण (3) व (4) से,
DN² = DM × AN

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC.BD है।

हल:
दिया है: ΔABC में, ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है।
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC² + 2BC.BD
उपपत्ति: समकोण ΔADB में,
AB² = AD² + BD² …(1)
पुन: समकोण ΔADC में,
AC² = AD² + DC²
⇒ AC² = AD² + (BD + BC)²
(∵ DC = BD + BC)
⇒ AC² = AD² + BD² + BC² + 2BD.BC
समीकरण (1) से, AD² + BD² का मान रखने पर,
अतः AC² = AB² + BC² + 2BD.BC

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2BC.BD हैं।

हल:
दिया है: त्रिभुज ABC जिसमें ∠ABC < 90° तथा AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC² – 2BC.BD
उपपत्ति: ∵ AD ⊥ BC
∴ ΔADB और ΔADC समकोणीय त्रिभुज हैं।
समकोण ΔADB में,
AB² = AD² + BD² …(1)
समकोण ΔADC में,
AC² = AD² + DC² …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
AC² – AB² = DC² – BD²
= (DC + BD) (DC – BD)
= BC (DC – BD)
{∵ DC + BD = BC}
= BC (BC – BD – BD) {∵ DC BC-BD}
= BC (BC – 2BD)
⇒ AC² – AB² = BC² – 2BC × BD
⇒ AC² = AB² + BC² – 2BC.BD

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि :

(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\)
(iii) AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC2
दिया है: ΔABC, जिसमें BC का मध्यबिन्दु D है क्योंकि AD माध्यिका है। AM, BC पर लम्ब हैं और AC > AB.
सिद्ध करना है :
(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\)
(iii) AC² + AB²= 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
उपपत्ति: (i) समकोण ΔAMD में,
AD² = AM² + DM²
AM² = AD² – DM² …(1)
समकोण ΔAMC में,
AC² = AM² + MC² …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से
AC² = (AD² – DM²) + MC²
⇒ AC² = (AD² – DM²) + (DM + DC)²
(∵ MC = DM + DC)
⇒ AC² = AD² – DM² + DM² + DC² + 2DM.DC
⇒ AC² = AD² + DC² + 2DM.DC,

(ii) समकोण ΔAMB में,
AB² = AM² + BM²
= (AD² – DM²) + BM²
[समी. (1) का प्रयोग करने पर]
= (AD² – DM²) + (BD – DM)²
= AD² – DM² + BD² + DM² – 2BD.DM
= AD² + BD² – 2BD.DM

∴ AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\)
अत: AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^2\) …(4)

(iii) समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर,
AB² + AC² = 2AD² + 2 × \(\frac{1}{4}\)BC²
= 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
अतः AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है :
AC² + BD² = AB² + BC²2 + CD² + DA²
रचना: A से BD पर AE तथा C से BD पर CF लम्ब खींचे।

उपपत्ति: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC तथा BD उसके विकर्ण हैं जो परस्पर O बिन्दु पर काटते हैं।
∴ AO = OC और OB = OD और AB = CD
समकोण ΔAEB में,
AB² = AE² + BE²
= AE² + (OB – OE)²
= AE² + (\(\frac{1}{2}\)BD – OE)²
= AE² + BD² + OE² – 2 × \(\frac{1}{2}\)BD.OE
= \(\frac{1}{4}\)BD² + (AE² + OE²) – BD.OE
∵ ΔAOE समकोण त्रिभुज है
∴ AE² + OE² = AO² = \(\left(\frac{1}{2} A C\right)^2\)
= \(\frac{1}{4}\)BD² + \(\left(\frac{1}{2} A C\right)^2\) – BD.OE
⇒ AB² = \(\frac{1}{4}\)BD² + \(\frac{1}{4}\)AC² – BD.OE …(1)
पुन: समकोण ΔAED में,
DA² = AE² + ED²
= AE² + (OD + OE)²
= AE² + \(\left(\frac{1}{2} BD+O E\right)^2\)
= AE² + \(\frac{1}{4}\)BD² + OE² + 2·\(\frac{1}{2}\)BD.OE
= (AE² + OE²) + \(\frac{1}{4}\)BD² + BD.OE,
(∵ AE² + OE² = AO² ΔAEO समकोण Δ है)
= AO² + \(\frac{1}{4}\)BD² + BD.OE
= \(\left(\frac{1}{2} A C\right)^2\) + \(\frac{1}{4}\)BD² + BD.OE
(∵ OA = \(\frac{1}{2}\)AC)
⇒ DA² = \(\frac{1}{4}\)BD² + \(\frac{1}{4}\)AC² + BD.OE …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
AB² + DA² = \(\frac{1}{4}\)BD² + \(\frac{1}{4}\)BD² + \(\frac{1}{4}\)AC² + \(\frac{1}{4}\)AC²
⇒ AB² + DA² = \(\frac{2}{4}\)BD² + \(\frac{2}{4}\)AC²
⇒ AB² + DA² = \(\frac{1}{2}\)BD² + \(\frac{1}{2}\)AC²
= AB² + DA² = \(\frac{1}{4}\)(BD² + AC²) …(3)
समीकरण (3) में AB = CD और DA = BC रखने पर
CD² + BC² = \(\frac{1}{2}\)(BD² + AC²) …(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर,
AB² + BC² + CD² + DA² = \(\frac{1}{2}\)(BD² + AC²) + \(\frac{1}{2}\)(BD² + AC²)
अत: AB² + BC² + CD² + DA² = BD² + AC²

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सिद्ध कीजिए कि:
(i) ΔAPC ~ ΔDPB
(ii) AP. PB = CP. DP
हल:
दिया है: एक वृत्त की AB व CD दो जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है:
(i) ΔAPC ~ ΔDPB.
(ii) AP.PB = CP.DP

उपपत्ति: (i) ΔAPC और ΔDPB में,
∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∠3 =∠4 (एक ही वृत्तखण्ड के कोण )
∴ A-A समरूपता कसौटी से, ΔAPC ~ ΔDPB

(ii) ΔAPC ~ ΔDPB, (ऊपर प्रमाणित )
⇒ \(\frac{A P}{D P}=\frac{P C}{P B}\)
(यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
⇒ AP.PB = PC.DP

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि :

(i) ΔPAC ~ ΔPDB
(ii) PA.PB = PC.PD
हल:
दिया है: AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर एक-दूसरे को वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है:
(i) ΔPAC ~ ΔPDB
(ii) PA.PB = PC.PD

रचना : रेखाखण्ड AC व BD को मिलाया।
उपपत्ति: (i) ΔPAC और ΔPDB में,
∠P = ∠P (उभयनिष्ठ)
∠PAC = ∠PDB (∵ चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अन्तः सम्मुख कोण के बराबर होता है।)
A-A समरूपता कसौटी से,
ΔPAC ~ ΔPDB

(ii) ΔPAC ~ ΔPDB (ऊपर सिद्ध किया है)
\(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\)
(यदि दो Δ समरूप हैं तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
PA.PB = PC.PD

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

हल:
दिया है: ΔABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D ऐसा है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) है।

सिद्ध करना है AD, ∠BAC का समद्विभाजक है अर्थात् ∠1 = ∠2
रचना: BA को उसकी सीध में E तक इतना बढ़ाया कि AE = AC हो।
उपपत्ति: आकृति में
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) (दिया है)
परन्तु AC = AE (रचना से)
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E}\)
⇒ AD || EC
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
⇒ ∠1 = ∠3 (संगत कोण)
∠2 = ∠4 (एकांतर कोण)
परन्तु ∠3 = ∠4 (∵ AC = AE)
⇒ ∠1 = ∠2
⇒ AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।

प्रश्न 10.
नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है। (देखिए आकृति) यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी ?
हल:
समकोण ΔABC में,
AB = 1.8m
BC = 2.4m
∠B = 90°

पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (1.8)² + (2.4)²
⇒ AC² = 3.24 + 5.76
∴ AC = 3 मीटर
बाहर वाली डोरी की लम्बाई = 3 मी

12 सेकण्ड में 5 सेमी/से. की दर से खींची गई डोरी की लम्बाई
= (5 × 12) सेमी.
= 60 सेमी = 0.60 मीटर
∴ शेष बची डोरी की लम्बाई = (3 – 0.6) मी. = 2.4 मी.
दूसरी अवस्था में PB ज्ञात करने के लिए,

PB² = PA² – BA²
= (2.4)² – (1.8)²
= 5.76 – 3.24 = 2.52
⇒ PB = \(\sqrt{2.52}\) = 1.59 (लगभग)
अतः 12 सेकण्ड बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी = (1.59 + 1.2) मी.
= 2.79 मी. (लगभग)
अतः डोरी की लम्बाई और 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी क्रमश: 3 मीटर और 2.79 मीटर है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (5, 1), (3, 5), (5, 2)
हल:
(i) माना कि ΔABC के शीर्ष A(2, 3); B(-1, 0) और C(2, -4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2
y₁ = 3, y₂ = 0, y₃ = -4
∴ ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (0 + 4) + (-1) (- 4 – 3) + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 + 7 + 6]
= \(\frac{21}{2}\)
= 10.5 वर्ग मात्रक

(ii) माना कि ΔABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3, -5) और C(5, 2) हैं।
यहाँ x₁ = -5, x₂ = 3, x₃ = 5
y₁ = -1, y₂ = -5, y₃ = 2
∴ ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[-5(- 5 – 2) + 3(2 + 1) + 5(- 1 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[35 + 9 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 वर्ग मात्रक ।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों :
(i) (7, -2); (5, 1); (3, k)
(ii) (8, 1); (k, -4); (2, -5)
हल:
(i) माना कि दिए गए बिन्दु A(7, -2), B(5, 1) और C(3, k) हैं।
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3
y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k

∵ तीनों बिन्दु संरेखी हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होगा।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[(x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5(k + 2) + 3 (- 2 – 1)]
⇒ 0 = [7 – 7k + 5k + 10 – 6 – 3]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[-2k + 8]
⇒ 0 = -k + 4
∴ k = 4

(ii) माना कि दिए गए बिन्दु A(8, 1), B(k, -4 ) और C (2, -5) है।
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2
y₁ = 1, y₂ = – 4
y₃ = -5
∵ तीनों बिन्दु संरखी हैं, तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होता है।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[(x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
⇒ \(\frac{1}{2}\)[8 (- 4 + 5) + k(- 5 – 1) + 2(1 + 4)] = 0
⇒ 8 – 6k + 10 = 0
⇒ -6k = -18 ⇒ k = \(\frac{-18}{-6}\) = 3
अतः k = 3

प्रश्न 3.
शीघ्र (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3) हैं। त्रिभुज की भुजा AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E व F है।

मध्य- बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\)
= (1, 0)
मध्य-बिन्दु E के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)
= (1, 2)
मध्य- बिन्दु के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\)
= (0, 1)
ΔDEF में x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂ = 2, y₃ = 1
ΔDEF का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0(0 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 1 – 0] = \(\frac{1}{2}\) × 2 = 1 वर्ग मात्रक।
ΔABC में.
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0
y₁ = -1, y₂ = 1, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0(1 – 3) + 2(3 + 1) + 0(- 1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 8 + 0] = \(\frac{8}{2}\) =4 वर्ग मात्रक

अतः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (4, – 2); (-3, -5); (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल:
माना कि चतुर्भुज ABCD के शीर्षो के निर्देशांक A(-4, -2), B(-3, 5), C(3, -2) और D(2, 3) हैं।
AC को मिलाने पर चतुर्भुज ABCD, दो त्रिभुजों ABC और CDA में विभाजित हो जाता है।

ΔABC में, यहाँ
x₁ = – 4, x₂ = -3, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = -5, y₃ = -2
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4)(-5 + 2) + (-3)(-2 + 2) + 3(-2 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 + 0 + 9]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
ΔCDA में
x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = -4
y₁ = – 2, y₂ = 3, y₃ = -2
ΔCDA का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[3(3 + 2) + 2(-2 + 2) + (-4) (- 2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\)[15 + 0 + 20
= \(\frac{35}{2}\)वर्ग मात्रक
अब, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= (ΔABC का क्षेत्रफल) + (ΔCDA का क्षेत्रफल)
= \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{21+35}{2}=\frac{56}{2}\)
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल:
दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, -6), B(3, – 2) तथा C(5, 2) हैं।

∵ AD, ΔABC की माध्यिका है, इसलिए D भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
D के निर्देशांक हैं : \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) = (4, 0)
ΔADC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(0 – 2) + 4(2 + 6) + 5(- 6 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)(-8 + 32 – 30)
= \(\frac{1}{2}\) × (-6) = -3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)

ΔABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(- 2 – 0) + 3(0 + 6) + 4(- 6 + 2)
= \(\frac{1}{2}\)(- 8 + 18 – 16)
= \(\frac{1}{2}\)(-6) = -3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)
क्षेत्रफल (ΔADC) = क्षेत्रफल (ΔABD)
अतः त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.4

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A(2, -2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा 2x + y – 4 = 0, बिन्दुओं (2, -2) और B (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु C (x, y) पर k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
बिन्दु C के निर्देशांक
x = \(\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}\)
∴ x = \(\frac{k \times 3+1 \times 2}{k+1}\)
= \(\frac{3 k+2}{k+1}\)

9k – 2 = 0
9k = 2
k = \(\frac{2}{9}\)
k : 1 = 2 : 9
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है।

प्रश्न 2.
x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
हल:
माना कि दिए गए बिन्दु A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0) हैं।
यहाँ x₁ = x, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0
तीनों बिन्दु संरेखी होने के लिए ΔABC का क्षेत्रफल = 0 होता है।
\(\frac{1}{2}\)[ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[x(2 – 0) + 1(0 – y) + 7(x – 2)] = 0
⇒ 2x – y + 7y – 14 = 0
⇒ 2x + 6y – 14 = 0
⇒ 2(x + 3y – 7 ) = 0
अत: x + 3y – 7 = 0 अभीष्ट सम्बन्ध है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बिन्दु O(x, y) वृत्त का केन्द्र है तथा O केन्द्र वाला वृत्त बिन्दुओं P(6, -6), Q(3, – 7) और R (3, 3) से होकर गुजरता है।

∵ वृत्त की त्रिज्याएँ समान होती हैं।
∴ OP = OQ = OR
या OP² = OQ² = OR²
अब OP² = OQ²
(x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)²
⇒ x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49
⇒ – 12x + 6x + 12y – 14y + 72 – 58 = 0
⇒ – 6x – 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y – 7 = 0 …(i)
अब OQ² = OR²
(x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
⇒ (y + 7)² = (y – 3)²
⇒ y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
⇒ 20y = – 40
y = \(\frac{-40}{20}\) = -2
y के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3x – 2 – 7 = 0
⇒ 3x – 9 = 0
⇒ 3x = 9
⇒ x = \(\frac{9}{3}\)
∴ x = 3
अतः अभीष्ट केन्द्र (3, -2) हैं।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि वर्ग ABCD के दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) और C(3, 2) हैं तथा B के निर्देशांक (x, y) हैं।
∵ वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई समान होती है।

AB = BC
(AB)² = (BC)²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
⇒ (x + 1)² = (x – 3)²
⇒ x² + 1 + 2x = x² + 9 – 6x
⇒ 8x = 8
x = \(\frac{8}{8}\) = 1 …(1)
अब समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
(AB)² + (BC)² = (AC)²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)²
= (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y + x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y = 16
⇒ 2x² + 2y² – 4x – 8y + 2 = 0
⇒ x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) से x = 1 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
(1)² + y² – 2(1) – 4y + 1 = 0
⇒ y² – 4y = 0
⇒ y(y – 4) = 0
⇒ y = 0 या y – 4 = 0
⇒ y = 0 या y = 4
y = 0, 4
अतः वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) और (1, 4) है।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं:
(i) A को मूलविन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलविन्दु C हो, तो ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे ?
साथ ही उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं ?
हल:
चित्र में बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं।

यदि A मूलविन्दु हो तो त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक P(4, 6), Q(3, 2) तथा R( 6, 5) हैं।

जब C मूलबिन्दु हो तो त्रिभुज PQR के शीषों के निर्देशांक P(12, 2), Q(13, 6) तथा R(10, 3) हैं। CB तथा CD को निर्देशांक अक्षों के रूप में लेकर
(i) यदि 1 मूल बिन्दु हो, तो
ΔPQR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(2 – 5) + 3(5 – 6) + 6(6 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 × (-3) + 3 × (-1) + 6 × 4]
= \(\frac{1}{2}\)[- 12 – 3 + 24]
= \(\frac{1}{2}\) × 9 = \(\frac{9}{2}\) वर्ग इकाई

(ii) अब यदि मूल बिन्दु C हो तो ΔPQR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[12(6 – 3) + 13(3 – 2) + 10(2 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 × 3 + 13 × 1 + 10 × (4)]
= \(\frac{1}{2}\)[36 + 13 – 40]
= \(\frac{9}{2}\) वर्ग मात्रक
अतः दोनों स्थितियों में क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) है। ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
हल:
ΔABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं।

\(\frac{A D}{A B}=\frac{1}{4}\) ⇒ AB = 4 AD
⇒ AD + DB = 4 AD
⇒ BD = 3AD
⇒ \(\frac{A D}{D B}=\frac{1}{3}\)
⇒ AD : DB = 1 : 3
अत: बिन्दु D, AB को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना D के निर्देशांक यदि (x, y) हों, तो

बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)\)
इसी प्रकार,
\(\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) ⇒ AC = 4AE
⇒ AE + EC = 4AE
⇒ EC = 3AE
⇒ \(\frac{A E}{E C}=\frac{1}{3}\)
AE : EC = 1 : 3
अत: बिन्दु E, AC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना यदि E के निर्देशांक (x’, y’) हों तो

ΔADE का क्षेत्रफल

अब ΔABC में,
x₁ = 4, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = 6, y₂ = 5, y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(5 – 2) + 1(2 – 6) + 7(6 – 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 × 3 + 1 × – 4 + 7 × 1]
= \(\frac{1}{2}\)[12 – 4 + 7] = \(\frac{15}{2}\) वर्ग मात्रक

अत: ΔADE का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 16

प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट: वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनि हो, त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दु A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं।
(i) ∵ D, रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\)

(ii) माना AD पर स्थित विन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं।
दिया गया है कि बिन्दु P माध्यिका AD को 2 : 1 में विभाजित करता है।

अब B(6, 5) और E(\(\frac{5}{2}\), 3) हों तो BE को 2 : 1 में विभाजित करने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक

अब C (1, 4) और F(5, \(\frac{7}{2}\)) हों तो CF को 2 : 1 मैं विभाजित करने वाले बिन्दु R के निर्देशांक

(iv) हम देखते हैं कि P, Q और R के निर्देशांक एक समान हैं और एक बिन्दु पर संपाती हैं। इस बिन्दु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं जो कि माध्यिका को 2 : 1 में विभाजित करता है।
(v) यदि ΔABC के शीर्ष (x₁, y₁), B(x₂, y₂) व C(x₃, y₃) हों तो रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)\)
माना बिन्दु G, ΔABC का केन्द्रक है जो माध्यिका AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ बिन्दु G के निर्देशांक

प्रश्न 8.
बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है ? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दु A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) हैं।



चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS.
अत: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.2

प्रश्न 1.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं।

विभाजन सूत्र से:

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (1, 3) हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं A(4, -1) और B (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम त्रिभाजित करते हैं।
माना कि AP = PQ = BQ = x
∴ PB = x + x = 2x
तथा AQ = x + x = 2x
अब \(\frac{A P}{P B}=\frac{x}{2 x}=\frac{1}{2}\) = 1 : 2
तथा \(\frac{A Q}{B Q}=\frac{2 x}{x}=\frac{2}{1}\) = 2 : 1
अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात मैं तथा बिन्दु Q, AB को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


∴ अभीष्ट बिन्दु Q के निर्देशांक (2, –\(\frac{7}{3}\)) हैं।
अत: P और Q के अभीष्ट निर्देशांक (2, –\(\frac{5}{3}\)) और (0, –\(\frac{7}{3}\)) हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 मीटर की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 मीटर की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है।
(i) दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है ?
(ii) यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

हल:
(i) ∵ भुजा AD पर 1 मीटर की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं।
∴ AD = 100 मीटर
निहारिका के झण्डे की स्थिति = दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर दूरी
= \(\frac{1}{4}\) × 100 = 25 मीटर
∴ हरे झण्डे के निर्देशांक (2, 25) हैं।
प्रीत के झण्डे (लाल) की स्थिति = आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर दूरी
= \(\frac{1}{5}\) × 100 = 20 मीटर
∴ लाल झण्डे के निर्देशांक (8,20) हैं।
∴ हरे और लाल झण्डे के बीच की दूरी
= \(\sqrt{(8-2)^2+(20-25)^2}\)
= \(\sqrt{36+25}=\sqrt{61}\) मीटर

(ii) रश्मि को इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु पर नीला झण्डा गाड़ना है, तब मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
= \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right)\)
= \(\left(5, \frac{45}{2}\right)\)
= (5, 22.5)
अतः रश्मि को पाँचवीं पंक्ति में AD के अनुदिश 22.5 मीटर की दूरी पर झण्डा गाड़ना चाहिए।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-3,10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल:
माना बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6), K : 1 में विभाजित करता है, तब

⇒ – K – 1 = 6K – 3
⇒ – K – 6K = – 3 + 1
⇒ -7K = – 2
⇒ K = \(\frac{2}{7}\)
⇒ \(\frac{K}{1}\) = \(\frac{2}{7}\)
अत: अभीष्ट अनुपात K : 1 = 2 : 7

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु P (x, 0) है जो A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ 5K – 5 = 0
⇒ 5K = 5
⇒ K = \(\frac{5}{5}\) = 1
∴ K = 1
∴ बिन्दु P का अभीष्ट अनुपात = 1 : 1
अब बिन्दु P का x-निर्देशांक

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-\(\frac{3}{2}\), 0) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो x और ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि A(1, 2), B(4, y), C(x, 6) तथा D(3, 5) एकं समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर समदभीजित करते हैं।
AC के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = \(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{1+x}{2}, 4\right)\)
BD के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = \(\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)
∵ AC और BD परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AC का मध्यबिन्दु वही होगा जो BD का है।
∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 1 + x = 7 या x = 6
और \(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8 या y = 3
अत: x = 6, y = 3

प्रश्न 7.
बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल:
केन्द्र के निर्देशांक = (2, -3)
बिन्दु B के निर्देशांक = (1, 4)

माना बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं।
बिन्दु O, व्यास AB का मध्य-बिन्दु है।

⇒ 4 = x + 1 और -6 = y + 4
⇒ x = 4 – 1 और y = – 6 – 4
∴ x = 3 और y = -10
अतः अभीष्ट बिन्दु’ के निर्देशांक (3, -10) हैं।

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमश: (-2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु को निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\)AB हो, और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
हल:
माना कि अभीष्ट बिन्दु P (x, y) हैं।

दिया है:
AP = \(\frac{3}{2}\)AB …(i)
परन्तु PB = AB – AP
⇒ PB = AB – AP
⇒ PB = AB – \(\frac{3}{7}\)AB
PB = \(\frac{7 A B-3 A B}{7}\)
PB = \(\frac{4}{7}\)AB ….(ii)
समी. (i) व (ii) से,
∴ AP : PB = \(\frac{3}{7}\)AB : \(\frac{4}{7}\)AB
⇒ AP : PB = 3 : 4
∴ बिन्दुओं A और B को बिन्दु P, 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ बिन्दु P के निर्देशांक3

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि C, D और E अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं A(-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

अब D, A और B का मध्यबिन्दु है: C, A और D का मध्य- बिन्दु है E, D और B का मध्य बिन्दु है।
∴ AC = CD = DE = EB
अब A और B के मध्य बिन्दु D के निर्देशांक
= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)
= (0, 5)
A और D के मध्य बिन्दु C के निर्देशांक
= \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)\)
= \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)
D और B के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{8+5}{2}\right)\)
= \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
अतः AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक (0, 5), \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\) और \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।
हल:
माना समचतुर्भुज ABCD के शीर्षो के निर्देशांक A(3, 0), B (4, 5), C (-1, 4) और D (-2, -1) हैं।

समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × पहला विकर्ण × दूसरा विकर्ण
= \(\frac{1}{2}\) × 4\(\sqrt{2}\) × 6\(\sqrt{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) × 24 × 2 = 24 वर्ग मात्रक
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक ।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी² और 121 सेमी² हैं। यदि EF = 15.4 सेमी हो, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ ΔABC ~ ΔDEF (दिया गया है)
∴ Δ के क्षेत्रफलों का अनुपात = Δ की संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात

प्रश्न 2.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा AB = 2CD हैं।

ΔAOB और ΔCOD में,
∠1 = ∠2 (एकान्तर कोण)
∠4 = ∠3 (एकान्तर कोण)
∠6 = ∠5 (शीर्षाभिमुख कोण)
कोण-कोण-कोण समरूपता गुणधर्म से
ΔAOB ~ ΔCOD (AAA समरूपता से)

अतः ΔAOB का क्षेत्रफल : ΔCOD का क्षेत्रफल
= 4 : 1

प्रश्न 3.
आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेदित करे, तो दर्शाइए कि  है।
हल:
दिया है: ΔABC तथा ΔDBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।

सिद्ध करना है:

रचना: शीर्ष A से BC पर AE तथा शीर्ष D से BC पर DF लम्य खींचा।
उपपत्ति: शीर्ष A तथा D से BC पर AE तथा DF लम्ब खींचे।
∴ ∠AEO = ∠DFO = 90°
समकोण ΔAEO तथा ΔDFO में,
∠AEO = ∠DFO (प्रत्येक 90°)
∠AOE = ∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण)
A-A समरूपता गुणधर्म से,
ΔAEO ~ ΔDFO
⇒ \(\frac{A E}{D F}=\frac{A O}{D O}\) …(1)
अब ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)BC × AE
और ΔDBC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)BC × DF

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वागसम होते हैं।
हल:
दिया है: ΔABC तथा ΔDEF समरूप हैं और ΔABC का क्षेत्रफल = ΔDEF का क्षेत्रफल

सिद्ध करना है: ΔABC ≅ ΔDEF
उपपत्ति: ∵ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

⇒ BC² = EF²
⇒ BC = EF
अब ΔABC और ΔDEF में,
∠ABC = ∠DEF (∵ ΔABC ~ ΔDEF)
∠ACB = ∠DFE (∵ ΔABC ~ ΔDEF)
BC = EF (ऊपर सिद्ध किया है)
ΔABC ≅ ΔDEF (ASA सर्वांगसमता गुणधर्म से)

प्रश्न 5.
एक ΔABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं। ΔDEF और ΔABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: ΔABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E, F हैं जिनको मिलाने से ΔDEF बनता है।

ज्ञात करना है:
ΔDEF का क्षेत्रफल: ΔABC का क्षेत्रफल
उपपत्ति: D, E, F क्रमश: AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु हैं।
DE = \(\frac{1}{2}\)AC, DF = \(\frac{1}{2}\)BC तथा FE = \(\frac{1}{2}\)AB
⇒ \(\frac{D E}{A C}=\frac{D F}{B C}=\frac{E F}{A B}=\frac{1}{2}\)
ΔDEF ~ ΔABC (SSS समरूपता कसौटी से)

ΔDEF का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफलं
= 1 : 4

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल:
दिया है: दो समरूप ΔABC और ΔDEF हैं। तथा AX और DY क्रमश: भुजाओं BC और EF की माध्यिकाएँ हैं।


(∵ AX और DY माध्यिकाएँ हैं ∴ BC = 2BX, EF = 2EY)
⇒ \(\frac{A B}{D E}=\frac{B X}{E Y}\) …(1)
ΔABX और ΔDEY में,
∠B = ∠E (∵ ΔABC ~ ΔDEF)
\(\frac{A B}{D E}=\frac{B X}{E Y}\) (ऊपर सिद्ध किया है)
S-A-S समरूपता कसौटी से,
ΔABX ~ ΔDEY
\(\frac{A B}{D E}=\frac{A X}{D Y}\) …(2)
∵ दो समरूप त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हल:
दिया है: ABCD एक वर्ग है जिसकी एक भुजा AB तथा विकर्ण AC है। AB तथा AC भुजा पर समबाहु ΔABE तथा ΔACF बनाए गए हैं।

सिद्ध करना है: ΔABE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)ΔACF का क्षेत्रफल
उपपत्ति: समकोण त्रिभुज ABC में,
AC² = AB² + BC², (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ AC² = AB² + AB² (∵ BC = AB)
⇒ AC² = 2AB²
∴ AC = \(\sqrt{2}\)AB
भुजा AB पर बने समबाहु ΔABE का क्षेत्रफल = \(\frac{(A B)^2 \sqrt{3}}{4}\)
तथा विकर्ण AC पर बने समबाहु ΔACF का क्षेत्रफल = \(\frac{(A C)^2 \sqrt{3}}{4}\)

अतः ΔABE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)ΔACF का क्षेत्रफल

सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य- बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
हल:
ΔABC और ΔBDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य- बिन्दु है।
BD = \(\frac{1}{2}\)BC
या BC : BD = 2 : 1
⇒ AB : BD = 2 : 1
(∵ ΔABC एक समबाहु Δ है )
त्रिभुज ABC और त्रिभुज BDE में,
∠CAB = ∠DBE, ∠ABC = ∠BDE
तथा ∠ACB = ∠BED (प्रत्येक 60°)
∴ ΔABC ~ ΔBDE (AAA-समरूपता कसौटी)

अतः ΔABC का क्षेत्रफल : ΔBDE का क्षेत्रफल
= 4 : 1
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
हल:
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के वर्ग का अनुपात
= (4 : 9)²
= 16 : 81
सही विकल्प (D) है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में परिवर्तित करके हल कीजिए:


हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:

समीकरण (i) को 2 से और (ii) को 3 से गुणा करके घटाने पर,

y के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने
3u + 2 × 3 = 12
⇒ 3u + 6 = 12
⇒ 3u = 12 – 6
⇒ 3u = 6
⇒ u = \(\frac{6}{3}\) = 2
क्योंकि u = \(\frac{1}{x}\)
इसलिए x = \(\frac{1}{2}\)
क्योंकि ν = \(\frac{1}{y}\)
इसलिए y = \(\frac{1}{3}\)
अतः x = \(\frac{1}{2}\) और y = \(\frac{1}{3}\)

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:

2u + 3ν = 2 …..(i)
4u – 9ν = -1 …..(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर,
4u + 6ν = 4 …..(iii)
समीकरण (iii) में से समी. (ii) को घटाने पर,

ν के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर,
2u + 3 × \(\frac{1}{3}\) = 2
2u + 1 = 2
2u = 2 – 1
2u = 1
u = \(\frac{1}{2}\)

⇒ \(\sqrt{y}\) = 3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
⇒ \((\sqrt{y})^2=(3)^2\) ⇒ y = 9
अतः x = 4 और y = 9

(iii) दिया गया रैखिक युग्म समीकरण है
\(\frac{4}{x}+3 y\) = 14
और \(\frac{3}{x}-4 y\)
माना \(\frac{1}{x}\) = u है, तब
4u + 3y = 14 …..(i)
3u – 4y = 23 …..(ii)
समीकरण (i) को 3 से और समीकरण (ii) को 4 से गुणा करके घटाने पर,

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
4u + 3 × – 2 = 14
⇒ 4u – 6 = 14
⇒ 4u = 14 + 6 = 20

तब 5u + ν =2 …..(i)
6u – 3ν = 1 …..(ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर,
15u + 3ν = 6
समीकरण (ii) व (iii) को जोड़ने पर,
6u – 3ν = 1
15u + 3ν = 6
21u = 7
u = \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\)
u के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर

⇒ y – 2 = 3
y = 3 + 2 = 5
अंत: x = 4 और y = 5

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:

माना \(\frac{1}{x}\) = P और \(\frac{1}{y}\) = q रखने पर,
7q – 2p = 5 …..(i)
8q + 7p = 15 …..(ii)
समीकरण (i) को 7 से तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर,
49q – 14p = 35 …..(iii)
16g + 14p = 30 …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) को जोड़ने पर,

q के इस मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
7 × 1 – 2p = 5
⇒ 7 – 2p = 5
⇒ – 2p = 5 – 7 = -2
⇒ p = 1
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 (∵ p = \(\frac{1}{2}\))
⇒ x = 1
अब q = 1
⇒ \(\frac{1}{y}\) = 1 (∵ q = \(\frac{1}{y}\))
⇒ y = 1
अतः x = 1 और y = 1

(vi) दिया हुआ समीकरण युग्म है :
6x + 3y = 6xy और 2x + 4y = 5xy
दोनों समीकरणों में xy का भाग देने पर,

माना \(\frac{1}{x}\) = q और \(\frac{1}{y}\) = p रखने पर,
6p + 3q = 6 …..(1)
और 2p + 4q = 5 …..(2)
समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर
6p + 12g = 15 …..(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर,

समीकरण (2) में q = 1 रखने पर,
⇒ 2p + 4 × 1 = 5
⇒ 2p = 5 – 4
⇒ 2p = 1
⇒ p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\) (∵ p = \(\frac{1}{y}\))
⇒ y = 2
अब q = 1
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 (∵ q = \(\frac{1}{x}\))
⇒ x = 1
अतः समीकरण युग्म के हल x = 1 और y = 2

(vii) दिया गया समीकरण युग्म है :
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4\)
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\)
माना \(\frac{1}{x+y}\) = u और \(\frac{1}{x-y}\) = ν को प्रतिस्थापित करने पर,
10u + 2ν = 4
⇒ 2(5u + ν) = 4
⇒ 5u + ν = 2 …..(1)
तथा 15u – 5ν = -2 …..(2)
समीकरण (1) में 5 से गुणा करने पर,
25u + 5ν = 10 …..(3)
समीकरण (3) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,
25u + 5ν = 10
15u – 5ν = -2
40u = 8
u = \(\frac{8}{40}=\frac{1}{5}\)
u के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
5(\(\frac{1}{5}\)) + ν = 2 ⇒ 1 + ν = 2
⇒ ν = 2 – 1 ⇒ ν = 1

x के इस मान को समीकरण (4) में रखने पर
3 + y = 5 ⇒ y = 5 – 3 ⇒ y = 2
अतः x = 3 तथा y = 2

(viii) दिया हुआ समीकरण युग्म

समीकरण (1) मैं A = \(\frac{1}{4}\) रखने पर,

x = 1 समीकरण (5) में रखने पर
3 × 1 – y = 2
⇒ 3 – y = 2
⇒ – y = 2 – 3 = -1
∴ y = 1
अतः दिए गए समीकरण के अभीष्ट हल :
x = 1 और y = 1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म में परिवर्तित कीजिए और उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 किमी तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदें के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसे 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। 1 महिला अकेले उस काम को कितने दिन में करेगी और 1 पुरुष अकेले उस काम को कितने दिन में करेगा ?
(iii) रितु अपने घर के लिए 300 किमी यात्रा कुछ दूरी रेलगाड़ी से और कुछ दूरी बस से तय करती है। यदि वह 60 किमी यात्रा रेलगाड़ी से और शेष बस द्वारा करे तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी रेलगाड़ी से और शेष बस से यात्रा करे तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी और बस की पृथक् पृथक् चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि स्थिर जल में रितु की चाल
= x किमी / घण्टा
तथा धारा की चाल = y किमी / घण्टा
नदी में रितु की धारा के विरुद्ध चाल = (x – y) किमी / घण्टा
तथा नदी में रितु की धारा की दिशा में चाल = (x + y) किमी / घण्टा
रितु द्वारा धारा की दिशा में 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय
= (x + y) × 2 किमी
पहली शर्त के अनुसार,
2 (x + y) = 20
⇒ x + y = 10 …..(1)
रितु द्वारा धारा के विरुद्ध 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय
= (x – y) × 2 किमी
दूसरी शर्त के अनुसार,
2 (x – y) = 4
⇒ x – y = 2 …..(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,

अब x = 6 समीकरण (1) में रखने पर,
6 + y = 10
⇒ y = 10 – 6 ⇒ y = 4
अतः स्थिर जल में रितु के तैरने की चाल = 6 किमी / घण्टा
तथा धारा की चाल = 4 किमी / घण्टा

(ii) माना उस काम को 1 महिला x दिन में तथा 1 पुरुष y दिन में पूरा करता है।
महिला की दिन की कार्यक्षमता = \(\frac{1}{x}\) भाग
और पुरुष की 1 दिन की कार्यक्षमता = \(\frac{1}{y}\) भाग
अब 2 महिलाओं द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{8}{x}\)
और 5 पुष्पों द्वारा 4 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{20}{y}\)
∴ 2 महिलाओं और 5 पुरूषों द्वारा 4 दिन में किया गया कुल कार्य = \(\left(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\right)\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=1\) …..(1)
इसी प्रकार,
3 महिलाओं द्वारा 3 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{9}{x}\)
और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया गया कार्य = \(\frac{18}{x}\)
∴ 3 महिलाओं और 6 पुरुषों द्वारा 3 दिन में किया गया कुल कार्य = \(\left(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\right)\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}=1\) …..(2)
माना \(\frac{1}{x}\) = u तथा \(\frac{1}{y}\) = ν समीकरण (1) व (2) मैं प्रतिस्थापित करने पर
8u + 20ν = 1 …..(3)
तथा 9u + 18ν = 1 …..(4)
समीकरण (3) में 9 से तथा समीकरण (4) में 8 से गुणा करके घटाने पर

\(\frac{1}{x}=\frac{1}{18}\) (∵ u = \(\frac{1}{x}\))
x = 18
अब ν = \(\frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1}{36}\) (∵ ν = \(\frac{1}{4}\))
y = 36
अतः एक महिला अकेले उस काम को 18 दिन में तथा एक पुरूष अकेला उसे 36 दिन में पूरा कर सकता है।
(iii) मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल = x किमी / घण्टा
तथा बस की चाल = y किमी / घण्टा
कुल दूरी = 300 किमी
स्थिति I:
रेलगाड़ी द्वारा 60 किमी दूरी तय करने में लगा समय

शेष दूरी = 300 – 60 = 240 किमी
बस द्वारा 240 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{240}{y}\) घण्टे
कुल समय = \(\left(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}\right)\) घण्टे
पहली शर्त के अनुसार,
\(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4\)
⇒ \(\frac{15}{x}+\frac{60}{y}=1\) …..(1)

स्थिति II:
रेलगाड़ी द्वारा 100 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{100}{x}\) घण्टे
शेष दूरी = 300 – 100 = 200 किमी
बस द्वारा 200 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{200}{y}\) घण्टे
∴ कुल समय = \(\left(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}\right)\) घण्टे
दूसरी शर्त के अनुसार,
\(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}\) = 4 घण्टे 10 मिनट

माना \(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = ν समीकरण (1) व (2) में रखने पर,
15u + 60ν = 1
15u + 60ν – 1 = 0 …..(3)
तथा 24u + 48ν = 1
24u + 48ν – 1 = 0 …..(4)
समीकरण (3) व (4) को बज्रगुणन विधि से हल करने पर

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगनी है। कैथी और धरम की आयु में अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अनी की आयु = x वर्ष
तथा बीजू की आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार,
x – y = 3 …..(i)
या y – x = 3
⇒ -x + y = 3 …..(ii)
और अनी के पिता की आयु = 2 × अनी की आयु
= 2x वर्ष
बीजू की आयु = कैथी की आयु का दुगना

प्रश्नानुसार, धरम, कैथी से 30 वर्ष बड़ा है।
∴ \(2 x-\frac{y}{2}=30\)
⇒ \(\frac{4 x-y}{2}=30\)
⇒ 4x – y = 60 …..(iii)
समीकरण (i) में से समीकरण (iii) को घटाने पर,

x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
19 – y = 3
⇒ -y = 3 – 19
⇒ -y = – 16 ∴ y = 16
पुन: समीकरण (2) तथा समीकरण (3) को जोड़ने पर
-x + y = 3
4x – y = 60
3x = 63
⇒ x = \(\frac{63}{3}\) = 21
x का मान समी. (2) में रखने पर,
– 21 + y = 3 ⇒ y= 3 + 21 = 24
अनी की आयु 19 वर्ष और बीजू की आयु 16 वर्ष है या अनी की आयु 21 वर्ष तथा बीजू की आयु 24 वर्ष है।

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ रुपये दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है, ‘यदि आप मुझे दस रुपये दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा। बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं ?
हल:
माना A और B दो दोस्त हैं। A के पास ₹ x तथा B के पास रु. हैं।
का धन ₹ (x + 100)
प्रथम शर्तानुसार A का धन = ₹(x + 100)
B का धन = ₹(y – 100)
∵ A का धन = 2 × B का धन
x + 100 = 2 × (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = – 300 …..(i)
तथा द्वितीय शर्तानुसार,
B का धन = ₹ (y + 10),
A का धन = ₹ (x – 10)
B का धन = 6 × A का धन
y + 10 = 6 × (x – 10)
y + 10 = 6x – 60
6x – y = 60 + 10
6x – y = 70 …..(ii)
समीकरण (ii) में 2 से गुणा करने पर,
12x – 2y = 140 …..(iii)
समीकरण (iii) में से समी. (i) को घटाने पर,

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
40 – 2y = -300
– 2y = – 300 – 40
– 2y = – 340
2y = 340
y = \(\frac{340}{2}\) = ₹ 170
अतः पहले मित्र के पास धन = ₹ 40
और दूसरे मित्र के पास धन = ₹ 170

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से एक निश्चित दूरी तय करती है। यदि गाड़ी 10 किमी/घण्टा अधिक तेज चलती होती, तो इसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 किमी/ घण्टा धीमी चलती होती, तो इसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेलगाड़ी की चाल = x किमी / घण्टा
और रेलगाड़ी द्वारा लिया गया = y घण्टा
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = चाल × समय
= x × y
= xy किमी
रेलगाड़ी के तेज चलने पर चाल = (x + 10 ) किमी / घण्टा
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = (y – 2) घण्टे
दूरी = (x + 10 ) (y – 2)
⇒ xy = xy – 2x + 10y – 20
⇒ 2x – 10y = – 20 …..(i)
रेलगाड़ी के धीमी गति से चलने पर चाल = (x – 10) किमी / घण्टा
समय = (y + 3) घण्टे
दूरी = चाल × समय
⇒ xy = (x – 10) × (y + 3)
⇒ xy = xy + 3x – 10y – 30
⇒ 3x – 10y = 30 …..(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,

∴ x = 50
समीकरण (i) में x का मान रखने पर,
2 × 50 – 10y = -20
100 – 10y = – 20
-10y = -20 – 100
– 10y = -120
y = \(\frac{-120}{-10}\) = 12
अतः रेलगाड़ी की चाल = 50 किमी / घण्टा
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = 12 घण्टे
∴ रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = चाल × समय
= 50 × 12
= 600 किमी।

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या x है
तथा कुल पंक्तियों की संख्या y है
∴ कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
स्थिति I: यदि प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक हैं
तब इस स्थिति में पंक्तियों की संख्या (y – 1) हो जाती है।
xy = (x + 3) (y – 1)
⇒ xy = xy – x + 3y – 3
⇒ x – 3y = – 3 …..(i)
स्थिति II: यदि प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम हैं तब इस स्थिति में पंक्तियों की संख्या (y + 2) हो जाती है।
xy = (x – 3) (y + 2)
⇒ xy = xy + 2x – 3y – 6
⇒ 2x – 3y = 6 …..(ii)
समीकरण (i) में 2 से गुणा करने पर,
2x – 6y = – 6 …..(iii)
समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर,

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ x – 3y = – 3
⇒ x – 3 × 4 = -3
⇒ x – 12 = – 3
x = – 3 + 12
∴ x = 9
अतः कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 9 × 4 = 36

प्रश्न 5.
एक ΔABC में, ∠C = 3 ∠B = 2 (∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना त्रिभुज के कोण A, B तथा C हैं।
तब ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 180° – ∠C
∠C = 3∠B = 2 (∠A + ∠B)
∠C = 2 (∠A + ∠B)
⇒ ∠C = 2 (180° – ∠C)
[क्योंकि ∠A + ∠B = 180° – ∠C]
⇒ ∠C = 360° – 2∠C
⇒ ∠C + 2∠C = 360°
⇒ 3∠C = 360°
∴ C = \(\frac{360^{\circ}}{3}\) = 120°
अब ∠C = 3∠B
⇒ 3∠B = 120°
∴ ∠B = \(\frac{120^{\circ}}{3}\) = 40°
परन्तु ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 40° + 120° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 160°
∠A = 20°
अतः Δ के कोण ∠A = 20°
∠B = 40°
∠C = 120°

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष पर बने त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है
5x – y = 5 …..(i)
3x – y = 3 …..(ii)
समीकरण (i) से,
⇒ y = 5x – 5
x = 0 रखने पर, y = 5 × 0 – 5 = 0 – 5 = -5
x = 1 रखने पर, y = 5 × 1 – 5 = 0
x = 2 रखने पर, y = 5 × 2 – 5
= 10 – 5 = 5
x के विभिन्न मानों के लिए सारणी :

समीकरण (ii) से,
⇒ y = 3x – 3
x = 0 रखने पर, y = 3 × 0 – 3 = -3
x = 1 रखने पर, y = 3 × 1 – 3 = 0
x= 2 रखने पर, y = 3 × 2 – 3 = 3
x के विभिन्न मानों के लिए सारणी:

बिन्दुओं (0, -5), (1, 0) तथा (2, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने पर समीकरण 5x – y = 5 की एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
इसी प्रकार बिन्दुओं (0, -3), (1, 0) और (2, 3) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने पर समीकरण 3xy – 3 की सरल रेखा प्राप्त होती है।
इन रेखाओं से y-अक्ष पर बना छायांकित त्रिभुज ACD है जिसके निर्देशांक A(0, -5), C(0, -3) और D(1, 0) हैं।
माना x₁ = 0, y₁ = -5, x₂ = 0, y₂ = – 3
तथा x₃ = 1, y₃ = 0
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [0(- 3 – 0) + 0{0 – (-5)} + 1 {-5 – (-3)}]
= \(\frac{1}{2}\) [0 + 0 + 1(- 5 + 3)]
= \(\frac{1}{2}\) (-2) = -1 वर्ग मात्रक
त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक (1, 0), (0, -3), (0, -5) है।
∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक होगा।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए-
(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
ax + by = a² + b²
(iv) (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
px + qy = p – q …(1)
और qx – py = p + q …(2)

समीकरण (1) को से और समीकरण (2) को p से गुणा करने पर,

घटाने पर,
y के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर,
px + q(-1) = p – q
⇒ px – q = p – q
⇒ px= p – q + q
⇒ px = p
∴ x = 1
अतः x = 1 और y = -1

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
ax + by = c
⇒ ax + by – c = 0 …..(i)
तथा bx + ay = 1 + c
⇒ bx + ay – (1 + c) = 0 …..(ii)
वज्रगुणन विधि से समी. (i) एवं (ii) को हल करने पर

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
⇒ \(\frac{b x-a y}{a b}\) = 0
⇒ bx – ay = 0 …..(i)
और ax + by = a² + b²
⇒ ax + by – (a² + b²) = 0 …..(ii)
वज्रगुणन विधि से हल करने पर,

अतः समीकरण के अभीष्ट हल x = a और y = b हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
ax – bx + ay + by = a² – 2ab – b² …..(i)
और (a + b) (x + y) = a² + b²
⇒ ax + bx + ay + by = a² + b² …..(ii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर,

x के इस मान को समीकरण (i) में रखने पर,
(a – b) (a + b) + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ a² – b² + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ (a + b)y = a² – 2ab – b² – a² + b²
⇒ (a + b)y = -2ab
∴ y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)
अतः x = (a + b)
और y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)

(v) दिया गया समीकरण युग्म
152x – 378y = -74 …..(1)
-378x + 152y = -604 …..(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
-226x – 226y = -678
⇒ -226(x + y) = -678
⇒ x + y = \(\frac{-678}{-226}\)
∴ x + y = 3 …..(3)
समीकरण (1) मैं से समीकरण (2) को घटाने पर,
(152x – 378y) – (-378x + 152y) = – 74 – (-604)
⇒ 152x – 378y + 378x – 152y = – 74 + 604
⇒ 530x – 530y = 530
⇒ 530(x – y) = 530
∴ x – y = 1 …..(4)
समीकरण (3) व समीकरण (4) को जोड़ने पर,
x + y + x – y = 3 + 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = \(\frac{4}{2}\)
∴ x = 2
x = 2 समीकरण (3) में रखने पर,
⇒ 2 + y = 3
⇒ y = 3 – 2 ⇒ y = 1
अत: समीकरण के अभीष्ट हल x = 2 और y = 1 हैं।

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠A + ∠C = 180°
⇒ 4y + 20 + (- 4x ) = 180°
या – 4x + 4y = 180° – 20° = 160°
या x – y = – 40° …..(1)
और ∠B + ∠D = 180°
तो -7x + 5 + 3y – 5 = 180°
या -7x + 3y = 180°
या 7x – 3y = – 180° …..(2)
समीकरण (1) से y = x + 40 समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
7x – 3(x + 40) = – 180
⇒ 7x – 3x – 120 = -180
⇒ 4x = – 180 + 120
⇒ 4x = -60
∴ x = \(\frac{-60}{4}\) = -15
x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
– 15 – y = – 40
⇒ – y = -40 + 15
⇒ – y = – 25 ⇒ y = 25
तब ∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20 = 120°
∠B = – 7x + 5 = (-7) × (-15) + 5
= 110°
∠C = – 4x = – 4 × – 15 = 60°
∠D = 3y – 5 = 3 × 25 – 5 = 70°

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (1, 3)
(iii) (a, b ), (-a, -b)
हल:
(i) दिए गए बिन्दु: (2, 3), (4, 1)
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
दिए गए बिन्दु हैं :
A (0, 0) और B (36, 15)
अभीष्ट दूरी AB = \(\sqrt{(0-36)^2+(0-15)^2}\)
= \(\sqrt{1296+225}\)
= \(\sqrt{1521}\)
= 39 मात्रक
अनुच्छेद 7.2 के अनुसार,
दिए गए शहरों के कार्तीय निर्देशांक A(0, 0) और B(36, 15)

अतः बिन्दुओं के बीच की अभीष्ट दूरी 39 km है।

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, 11) संरेखी हैं?
हल:
माना दिए गए बिन्दु क्रमानुसार A(1, 5), B(2, 3) और C (-2, -11)

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि किन्हीं दो का योगफल तीसरे के बराबर नहीं है। अतः दिए गए बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं?
हल:
माना दिए गए बिन्दु क्रमानुसार A(5, -2), B(6, 4) और C(7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि AB = BC = \(\sqrt{37}\)
अत: दिए गए बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ? ‘चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

हल:
दी गई आकृति में बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमश: (3, 4), (6, 7), (9, 4) और (6, 1) हैं।


उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि
AB = BC = CD = DA = 3\(\sqrt{2}\) मात्रक
AC = BD = 65 मात्रक
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है तथा चंपा की सोच सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:
(1) (-1, -2), (1, 0), (1, 2), (3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल:
(i) दिए गए बिन्दु A(-1, 2), B(1, 0), C (-1, 2) और D(-3, 0) हैं।

यहाँ हम देखते हैं कि,
AB = BC = CA = DA
अब, AC = \(\sqrt{[-1-(-1)]^2+[2-(-2)]^2}\)
= \(\sqrt{(-1+1)^2+(4)^2}\)
= \(\sqrt{0+(4)^2}\) = 4 मात्रक
∵ AB² + BC² = (2\(\sqrt{2}\))² + (2\(\sqrt{2}\))²
8 + 8 = 16 = (4)² = AC²
∴ ∠B समकोण है।
अतः दिए गये बिन्दुओं से बना चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

(ii) दिए गए बिन्दु A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), और D(-1, -4) हैं।

अर्थात् A, B, C संरेखी हैं। अतः दिए गए बिन्दु चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।

(iii) दिए गए बिन्दु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) और D(1, 2) हैं।

= \(\sqrt{0+4}=\sqrt{4}\) = 2 मात्रक
BD = \(\sqrt{(1-7)^2+(2-6)^2}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\) मात्रक
उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि
AB = CD, BC = DA और AC ≠ BD अर्थात् दिए गए बिन्दुओं से बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं तथा वकर्ण AC ≠ BD हैं।
अतः चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल:
माना x-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है।
(x, 0) और (2, -5) के बीच की दूरी

(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ x² – 4x + 29 = x² + 4x + 85
⇒ -8x = 85 – 29
⇒ -8x = 56
⇒ x = \(\frac{56}{-8}\)
∴ x = -7
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7, 0) हैं।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल:
दिए हुए बिन्दु P(2, -3) तथा Q(10, y) है।
तब PQ = \(\sqrt{(10-2)^2+[y-(-3)]^2}\)
= \(\sqrt{(8)^2+(y+3)^2}\)
∵ दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक (दिया है)
∴ \(\sqrt{8^2+(y+3)^2}\) = 10
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
8² + (y + 3)² = 10²
(y + 3)² = 10² – 8²
(y + 3)² = 100 – 64
(y + 3)² = 36
(y + 3) = ±\(\sqrt{36}\)
(y + 3) = ±6
‘+’ चिहन् लेने पर,
y + 3 = 6
∴ y = 6 – 3 = 3
‘-‘ चिहन लेने पर,
y + 3 = – 6
y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान 3 और -9 हैं।

प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1); बिन्दुओं P(5, -3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
∵ Q(0, 1), P(5, -3) और R (x, 6)
∵ Q, P तथा R से समदूरस्थ है।
∴ PQ = QR
∴ \(\sqrt{(5-0)^2+(-3-1)^2}\)
= \(\sqrt{(0-x)^2+(1-6)^2}\)
\(\sqrt{(5)^2+(-4)^2}\)
⇒ \(\sqrt{x^2+(-5)^2}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ (5)² + (-4)² = x² + (-5)²
⇒ 25 + 16 = x² + 25
⇒ x² = 25 + 16 – 25
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
जब x = 4 हो, तो बिन्दु R के निर्देशांक (4, 6) होंगे।

PR = \(\sqrt{(-4-5)^2+(6+3)^2}\)
= \(\sqrt{81+81}=\sqrt{162}\)
= \(9 \sqrt{2}\)
अत: x = ±4, QR = \(\sqrt{41}\) और PR = \(\sqrt{82}\) या 9\(\sqrt{2}\)

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
अथवा
यदि बिन्दु A(x, y), B(3, 6) तथा C(-3, 4) संरेखी है, तो दर्शाइए कि x – 3y + 15 = 0.
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु P (x, y) है, जो कि दिए गए बिन्दु A(3, 6) और B(-3, 4) से समदूरस्थ है।
PA = PB
⇒ PA² = PB²
(x – 3)² + (y – 6)² = [x – (-3)]² + (y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = (x + 3)² + (y – 4)²
⇒ x² – y² – 6x – 12 y + 45 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ x² + y – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
⇒ – 6x – 12y = 6x – 8y + 25 – 45
⇒ – 6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ – 12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5
[(-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध 3x + y – 5 = 0 है।