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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हैं या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल:
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है
x – 3y – 3 = 0 …..(1)
तथा 3x – 9y – 2 = 0 …..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अंत: दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है।
2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0
3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -8

अतः दिए गए समीकरणों का एक अद्वितीय हल है।
अब वज्रगुणन विधि से,

अतः समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 1 है।

(iii) दिए हुए समीकरण युग्म :
3x – 5y = 20.
6x – 10y = 40
इन समीकरणों को निम्न प्रकार लिख सकते हैं :
3x – 5y – 20 = 0
6x – 10y – 40 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = -20
a₂ = 6, b₂ = -10, c₂ = 40

अतः समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिया गया समीकरण युग्म :
x – 3y – 7 = 0 …..(i)
3x – 3y – 15 = 0 …..(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = – 7
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 15

अतः दिया गया समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब बज्रगुणन विधि से,

अतः दिए गए समीकरण के हल x = 4 और y = -1 है।

प्रश्न 2.
(i) a और 6 के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हाल होंगे ?
(i) 2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k +1
हल:
(i) दिया गया समीकरण युग्म है:
2x + 3y = 7
या 2x + 3y – 7 = 0 …..(i)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
या (a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 …..(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण
a₁x + b₁y + c₁ =0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (a+b), c₂ = -(3a + b – 2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए शर्त

⇒ 7(a – b) = 2(3a + b – 2)
⇒ 7a – 7b = 6a + 2b – 4
⇒ 7a – 6a – 7b – 2b = -4
⇒ a – 9b = -4 …..(iii)
और \(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
⇒ 7(a + b) = 3(3a + b – 2)
⇒ 7a + 7b = 9a + 3b – 6
⇒ 9a + 3b – 6 – 7a – 7b = 0
⇒ 2a – 4b = 6
⇒ 2(a – 2b) = 6
⇒ a – 2b = 3
⇒ a = 3 + 2b …..(iv)
समीकरण (iv) से a = 3 + 2b समीकरण (iii) में रखने पर,
⇒ 3 + 2b – 9b = -4
⇒ -7b = – 4 – 3
⇒ -7b = -7
b = \(\frac{-7}{-7}\) = 1
b के इस मान को समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 3 + 2 × 1
= 3 + 2 = 5
अतः रैखिक समीकरण युग्म के अभीष्ट हल a = 5 तथा b = 1 हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
3x + y = 1 ⇒ 3x + y -1 = 0 …..(i)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
⇒ (2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0 … (ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂x + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = (2k – 1), b₂ = (k – 1), c₂ = – (2k + 1)
कोई हल नहीं है के लिए शर्त

⇒ 6k + 3 ≠ 2k – 1
⇒ 6k – 2k ≠ – 1 – 3
⇒ 4k ≠ -4
⇒ k ≠ -1
और \(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
3(k – 1) = 2k – 1
3k – 3 = 2k – 1
3k – 2k = – 1 + 3
∴ k = 2
अतः k = 2 और k ≠ -1

प्रश्न 3.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन विधि और वज्रगुणन विधि द्वारा हल कीजिए।
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है:
8x + 5y = 9 …..(i)
3x + 2y = 4 …..(ii)
प्रतिस्थापन विधि से : समीकरण (ii) से,
2y = 4 – 3x
⇒ y = \(\frac{4-3 x}{2}\) …..(iii)
y के इस मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,

x + 20 = 18
⇒ x = 18 – 20
∴ x = – 2
x का यह मान समीकरण (3) में रखने पर,
y = \(\frac{4-3 \times-2}{2}=\frac{4+6}{2}\)
∴ y = \(\frac{10}{2}\) = 5
अत: x = – 2 और y = 5
वज्रगुणन विधि से-रैखिक युग्म समीकरण है-
8x + 5y – 9 = 0
और 3x + 2y – 4 = 0

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के हल x = -2 तथा y = 5 होंगे।

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है जब एक विद्यार्थी 4 को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न
हो जाती \(\frac{1}{3}\) है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा गलत उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते और गलत उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। यदि वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि छात्रावास में भोजन करने वाले छात्र के नियत व्यय = ₹ x तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।
20 दिन के भोजन के लिए किया गया भुगतान = नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ (x + 20y)
परन्तु विद्यार्थी A 20 दिन भोजन करने के ₹ 1000 चुकाता है।
∴ x + 20y = 1000 …..(i)
इसी प्रकार, 26 दिन के भोजन के लिए किया गया भुगतान = नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ (x + 26y)
परन्तु विद्यार्थी B 26 दिन भोजन करने के ₹ 1180 चुकाता है।
x + 26y = 1180 …..(ii)
∴ समीकरण (ii) मैं से समीकरण (i) को घटाने पर,

समीकरण (i) में y = 30 रखने पर
x + 20 (30) = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600
∴ x = 400
समीकरण युग्म के अभीष्ट हल x = 400 और y = 30 है।
अत: छात्रावास का नियत व्यय = ₹ 400
तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹ 30

(ii) माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
जब भिन्न के अंश में से 1 घटाया जाता है तो वह \(\frac{x-1}{y}\) हो जाती है।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3(x – 1) = y
⇒ y = 3x – 3 …..(i)
इसी प्रकार जब भिन्न के हर में 8 जोड़ा जाता है तो वह \(\frac{x}{y+8}\) हो जाती है।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
⇒ x = (y + 8) × 1 = x × 4
⇒ y + 8 = 4x …..(ii)
समीकरण (i) से समीकरण (ii) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ 3x – 3 + 8 = 4x
⇒ – 3 + 8 = 4x – 3x
⇒ 5 = x
∴ x = 5
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
y = 3x – 3
= 3 × 5 – 3
= 15 – 3 = 12
y = 12
अत: x = 5, y = 12
∴ अभीष्ट भिन्न = \(\frac{5}{12}\)

(iii) माना कि यश द्वारा हल किए गये सही प्रश्नों की संख्या x है और गलत हल किए गये प्रश्नों की संख्या y है।
पहली शर्त के अनुसार,
3x – y = 40
⇒ 3x – y – 40 = 0 …..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
4x – 2y = 50
⇒ 4x – 2y – 50 = 0 …..(2)
वज्रगुणन विधि से हल करने पर,

सही प्रश्नों की संख्या = 15
तथा गलत प्रश्नों की संख्या = 5
अत: प्रश्नों की कुल संख्या = [सही प्रश्नों की संख्या] + [गलत प्रश्नों की संख्या]
= 15 + 5
= 20

(iv) माना कि स्थान A से चलने वाली कार की चाल = x किमी./ घण्टा
और स्थान B से चलने वाली कार की चाल = y कि.मी./ घण्टा
स्थान A व स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में स्थान A तथा B से चलती हैं तो 5 घण्टे बाद P स्थान पर मिलती हैं।

∴ 5 घण्टे में स्थान A से चली दूरी – 5 घण्टे में स्थान B से चली दूरी = 100 किमी.
⇒ 5x – 5y = 100 [दूरी = चाल × समय]
⇒ x – y = 20 …..(1)
जब कारें विपरीत दिशा में स्थान A तथा B से चलकर Q स्थान पर मिलती हैं तो उन्हें 1 घण्टे में 100 किमी चलना होगा।

∴ 1 घण्टे में स्थान A से चली दूरी + 1 घण्टे में स्थान B से चली दूरी = 100 किमी
⇒ x + y = 100 ……(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर

x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
60 – y = 20 ⇒ y = 40
अतः कारों की चाल 60 किमी./ घण्टा और 40 किमी./ घण्टा है।

(v) माना कि आयत की लम्बाई = x मात्रक
और आयत की चौड़ाई = y मात्रक
∴ आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x × y
= xy वर्ग मात्रक
पहली शर्त के अनुसार,

अतः आयत की लम्बाई = 17 मात्रक
तथा आयत की चौड़ाई = 9 मात्रक

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी है। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
हल:
माचिस की डिब्बी की माप
∴ l = 4 सेमी, b = 2.5 सेमी तथा h = 1.5 सेमी
∴ माचिस की डिब्बी का आयतन = lbh
= 4 × 2.5 × 1.5 घन सेमी
= 15 घन सेमी
अतः 12 माचिसों के पैकेट का आयतन = 15 × 12
= 180 घन सेमी।

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मीटर लम्बी, 5 मीटर चौड़ी और 4.5 मीटर गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 घन मीटर = 1000 लीटर)
हल:
घनाभाकार टंकी की लम्बाई (l) = 6 मीटर,
चौड़ाई (b) = 5 मीटर और गहराई (h) = 4.5 मीटर।
∴ टंकी का आयतन = lbh
= 6 × 5 × 4.5 घन मीटर
= 135 घन मीटर
∴ टंकी में समाहित हो सकने वाले पानी का आयतन
= 135 घन मीटर
= 135 × 1000 लीटर
= 1,35,000 लीटर
अतः टंकी में 1,35,000 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 मीटर लम्बा और 8 मीटर चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
हल:
लम्बाई (l) = 10 मीटर, चौड़ाई (b) = 8 मीटर और आयतन = 380 मीटर³
माना बर्तन की ऊँचाई = h
बर्तन का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

प्रश्न 4.
8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति घन मीटर की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
घनाभाकार गड्ढे की लम्बाई (l) = 8 मीटर.
चौड़ाई (b) = 6 मीटर तथा गहराई (h) = 3 मीटर
∴ गड्ढे का आयतन = lbh
= 8 × 6 × 3 घन मीटर
= 144 घन मीटर
घनाभाकार गड्ढे को खुदवाने का व्यय = गड्डे का आयतन × दर = 30 × 144 = ₹ 4,320
अतः गड्ढा खुदवाने में होने वाला व्यय = ₹ 4,320

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार पानी की टंकी की धारिता 50,000 लीटर है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमश: 2.5 मीटर और 10 मीटर है तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना टंकी की चौड़ाई b मीटर है।
∵ टंकी की लम्बाई (l) = 2.5 मीटर और टंकी की गहराई (h) = 10 मीटर।
∴ घनाभाकार टंकी का आयतन = lbh
= 2.5 × b × 10 घन मीटर
= 256 घन मीटर
∴ टंकी की धारिता = 25b घन मीटर
= 25b × 1000 लीटर [∵ 1 घन मीटर 1000 लीटर]
प्रश्नानुसार
टंकी का आयतन = टंकी की धारिता
= 50,000 लीटर
∴ 25,000b = 50,000
∴ b = \(\frac{50,000}{25 \times 1000}\) = 2 मीटर
अतः टंकी की चौड़ाई 2 मीटर।

प्रश्न 6.
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा ?
हल:
गाँव की जनसंख्या = 4000
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर
∴ प्रतिदिन गाँव के लिए आवश्यक पानी की मात्रा = 4000 × 150 लीटर
= 6,00,000 लीटर
= 600 घन मीटर
(∵ 1000 लीटर = 1 घन मीटर)
टंकी का आयतन = 20 × 15 × 6 घन मीटर
= 1800 घन मीटर
जल की पर्याप्तता (दिनों में)

अतः टंकी का जल 3 दिन के लिए पर्याप्त होगा।

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की माप 40 मीटर × 25 मीटर × 15 मीटर है। इस गोदाम में 1.5 मीटर × 1.25 मीटर × 0.5 मीटर माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
हल:
गोदाम का आयतन (40 × 25 × 15) मीटर³
1 क्रेट का आयतन = (1.5 × 1.25 × 0.5 ) मीटर³
गोदाम में रखे जा सकने वाले क्रेटों की संख्या

प्रश्न 8.
12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नये घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
बड़े घन की भुजा = 12 सेमी
∴ आयतन = (भुजा)³ = (12)³ सेमी³
= 12 × 12 × 12 सेमी³
यह घन 8 बराबर आयतन के घनों में काटा जाता है।

अतः नये घन की भुजा \(\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6}\) सेमी
= 6 सेमी।
बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
= 6 × (12)² वर्ग सेमी
= 864 वर्ग सेमी
छोटे प्रत्येक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
= 6 × (6)² वर्ग सेमी
= 6 × 6 × 6 वर्ग सेमी
= 216 वर्ग सेमी
∴ दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = 864 : 216 = 4 : 1
अतः नये घन की भुजा 6 सेमी और दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = 4 : 1.

प्रश्न 9.
3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा ?
हल:
नदी की गहराई (h) = 3 मीटर और चौड़ाई (b) = 40 मीटर
∴ नदी का परिच्छेद क्षेत्रफल = लम्बाई × चौडाई
= 3 × 40
= 120 वर्ग मीटर
∵ नदी के पानी की चाल 2 किमी प्रति घण्टा है।
∴ 1 मिनट में नदी के विस्थापित पानी की लम्बाई = \(\frac{2 \times 1000}{60}\) मीटर
= \(\frac{100}{3}\) घन मीटर
∴ 1 मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = नदी के परिच्छेद का क्षेत्रफल × नदी की प्रति मिनट चाल
= 120 × \(\frac{100}{3}\) घन मीटर
= 4000 घन मीटर।
अतः 1 मिनट में समुद्र में 4000 घन मीटर पानी गिरेगा।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4\(\sqrt{3}\)x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
2x² – 3x + 5 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = – 3 तथा c = 5
विविक्तकर (D) = b² – 4ac
= (- 3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 < 0
अतः दी गई द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
3x² – 4\(\sqrt{3}\)x + 4 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = – 4\(\sqrt{3}\), c = 4
∴ विविक्तकर (D) = b² – 4ac
= (-4\(\sqrt{3}\))² – 4 × 3 × 4
= 48 – 48 = 0
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से,
x = \(\frac{-b \pm 4 \sqrt{D}}{2 a}\)
= \(\frac{-(-4 \sqrt{3}) \pm \sqrt{0}}{2 \times 3}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}\)
= \(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{2 \times 3}{3 \times \sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) और \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है : 2x² – 6x + 3 = 0 है।
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ विविक्तकर (D) = b² – 4ac
a = 2, b = – 6, c =3
= (- 6)² – 4 × 2 × 3
= 36 – 24 = 12 > 0
∴ दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न-भिन्न होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से समीकरण के मूल

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों :
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
2x² +kx +3 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = k तथा c = 3
विविक्तकर D = b² – 4ac
= k² – 4 × 2 × 3
= k² – 24
समीकरण के मूल बराबर तब होंगे, जब विविक्तकर
D = 0 हो
अर्थात् k² – 24 = 0
⇒ k² = 24
⇒ k = ±\(\sqrt{24}\) = ±2\(\sqrt{6}\)
अतः मूल बराबर होने के लिए ±2\(\sqrt{6}\) होना चाहिए।

(ii) दिया गया समीकरण
kx(x – 2) + 6 = 0
या kx² – 2kx + 6 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = -2k तथा c = 6
विविक्तकर D =b² – 4ac
= (-2k)² – 4 × k × 6
= 4k² – 24k
= 4k(k – 6)
समीकरण के मूल बराबर तब होंगे, जब विविक्तकर
D = 0 हो
अर्थात् 4k(k – 6) = 0
⇒ k = 0 या k – 6 = 0
⇒ k = 0 या k = 6
अतः समीकरण के बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी’ हो ? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार बगिया की चौड़ाई = x मी
आयताकार बगिया की लम्बाई = 2x मी
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= [2x × x] मी²
= 2x² मी²
प्रश्नानुसार, 2x² = 800
⇒ x² = \(\frac{800}{2}\) = 400
⇒ x = ±\(\sqrt{400}\)
⇒ x = ±20
∵ आयताकार बगिया की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए हम x = – 20 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 20
∴ आयताकार बगिया की चौड़ाई = 20 मी
और आयताकार बगिया की लम्बाई = (2 × 20) मी
= 40 मी

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है ? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल 48 था।
हल:
माना कि पहले मित्र की आयु = x वर्ष
∵ दोनों की आयु का योग 20 वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
चार वर्ष पूर्व,
पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) वर्ष
= (16 – x) वर्ष
और उनका गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= – x + 20x – 64
प्रश्नानुसार,
-x² + 20x – 64 = 48
⇒ -x² + 20x – 64 – 48 = 0
⇒ -x² + 20x – 112 = 0 …..(1)
इसकी मानक समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = -1, b = 20, c = -112
∴ विविक्तकर (D) = b² – 4ac
= (20)² – 4 × (1) × (-112)
=400 – 448 = -48 < 0
∵ मूल वास्तविक नहीं होंगे।
इसलिए x का कोई भी मान द्विघात समीकरण (1) को सन्तुष्ट नहीं कर सकता है।
अतः दी गई स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी² के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार पार्क की लम्बाई = x मी
एवं चौड़ाई = y मी
∴ आयताकार पार्क का परिमाप = 2(x + y) मी
और आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = xy मी²
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
2 (x + y) = 80
⇒ x + y = \(\frac{80}{2}\)
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40 – x …..(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
xy = 400
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
x(40 – x) = 400
⇒ 40x – x² = 400
⇒ x² – 40x + 400 = 0
इसकी तुलना मानक समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 40, c = 400
विविक्तकर (D) = b² – 4ac
= (-40)² – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600 = 0
अतः इस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
अब श्रीधराचार्य सूत्र से, x = \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
∴ x = 20 मी
तथा y = 40 मी – 20 मी = 20 मी
∴ आयताकार पार्क की लम्बाई और चौड़ाई की माप बराबर अर्थात् 20 मीटर है।
अतः दिया गया आयताकार पार्क का अस्तित्व सम्भव है और यह एक वर्ग है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए गए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) सभी वृत्त ……… होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी……… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण ………….. हों तथा (b) उनकी संगत भुजाएँ ………. हों । (बराबर, समानुपाती)
हल:
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर (b) समानुपाती।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप आकृतियाँ।
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल:
(i) 1. समबाहु त्रिभुजों का युग्म समरूप आकृतियाँ हैं।
2. वर्गों का युग्म समरूप आकृतियाँ हैं।

(ii) 1. एक त्रिभुज और एक चतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म बनाती हैं जो समरूप नहीं हैं।
2. एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियों का युग्म बनाती हैं जो समरूप नहीं हैं।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

हल:
दोनों चतुर्भुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)² = 2(x – 3 )
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
(x + 1)² = 2(x – 3)
[सूत्र (a + b)² = a² + 2ab + b² से]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण है:
x² – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x – 2x + 6 = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2 (x + 1) = x (x + 3) – 1 (x + 3)
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² + x – 2x – 2 – x² – 3x + x + 3 = 0
⇒ 3x + 1 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः समीकरण, द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
x² – 11x + 8 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण
x² + 3x + = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
⇒ x² + 3x + 1 – x² – 4 + 4x = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ x³ + (2)³ + 3 × x × 2 (x + 2) = 2x³ – 2x
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ – 2x = 0
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
∵ यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
अतः यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ – 3 × x × 2 (x – 2)
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x = 0
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
∵ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर 2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी हैं।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
∵ भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 मीटर अधिक है।
∴ भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x + 1)
= (2x + 1) मीटर
∵ आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = ल. × चौ.
= (2x + 1) × x
= (2x² + x) वर्ग मीटर
दिया है भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
∴ 2x² + x = 528
या 2x² + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
2x² + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक है तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक x + 1 है,
∴ पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x + 1) = x² + x
प्रश्नानुसार, x² + x = 306
x² + x – 306 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण:
x² + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा उसकी माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है।
∴ रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
तथा तीन वर्ष बाद रोहन की माँ की आयु = (x + 26) + 3 = (x + 29) वर्ष
∴ रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण :
x² + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा है।
निर्धारित दूरी = 480 किमी
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय

यदि रेलगाड़ी की चाल 8 किमी / घण्टा कम हो अर्थात् चाल (x – 8) किमी / घण्टा होती तो रेलगाड़ी द्वारा 480 किमी दूरी चलने में लगा समय

⇒ 3x² – 24x = 3840
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण : x² – 8x – 1280 = 0

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
A. P. 121, 117, 113, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
हल:
दी गई A. P. है : 121 117, 113, …
प्रथम पद a = a₁ = 121; a₂ = 117; a₃ = 113
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
सूत्र a_n = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
⇒ a_n = 121 + (n – 1 ) (- 4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
प्रश्नानुसार,
a_n < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > \(\frac{125}{4}\)
⇒ n > 31\(\frac{1}{4}\)
⇒ n > 31.25
⇒ n < 32
क्योंकि n एक पूर्णांक है।
अत: 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A. P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दी गई A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तीसरा पद a₃ = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद a₇ = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार,
तीसरे और सातवें पदों का योग = 6
या a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 …(1)
पुन: प्रश्नानुसार, a₃ × a₇ = 8
⇒ (a + 2d)(a + 6d) = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 …(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)² – (a² + 8ad + 12d²) = (3)² – 8
⇒ a² + 8ad + 16d² – a² – 8ad – 12d² = 9 – 8
4d² = 1
∴ d = ±\(\frac{1}{2}\)
तव a + 4d = 3 में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2
⇒ a + 2 = 3
∴ a = 1
पुन: a + 4d = 3 में d = –\(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4 × (-\(\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
∴ a = 5

स्थिति I. a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)
प्रथम 16 पदों का योग
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2a + (16 – 1)d]
= 8[2 + 15 × \(\frac{1}{2}\)]
= 8 × \(\frac{19}{2}\) = 4 × 19 = 76
अतः 16 पदों का योग = 76

स्थिति II. a = 5, d = –\(\frac{1}{2}\)
∴ प्रथम 16 पदों का योग

अतः 16 पर्दों का योगफल = 20.

प्रश्न 3.
एक सीणी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई 45 सेमी है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) मीटर है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी ?

हल:
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) मीटर = 250 सेमी
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 सेमी
∴ सीणी में डण्डों की संख्या

∵ प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 सेमी और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 सेमी
∴ 11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप
= 2\(\frac{1}{2}\)(a + l) = \(\frac{1}{2}\)(25 + 4)
\(\frac{11}{2}\) × 70 = 11 × 35
= 385 सेमी = 3.85 मीटर
अतः सीणी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 सेमी या 3.85 मीटर।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है किx से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों पर क्रमागत रूप से अंकित संख्याएँ :
1, 2, 3, 4, 5, 6, …… 47, 48, 49 है।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग
= x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वअन्तर d = 1 है।
तब से x – 1 तक की संख्याओं का योग, a = 1, n = x – 1

और x + 1 से 49 तक की संख्याओं का योग
= S₄₉ – S_x
(∵ S_x+1 नहीं होगा क्योंकि x के बाद ही x + 1 प्रारम्भ होगा)

अतः x का मान 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीणियाँ बनी हुई हैं। इन सीणियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 मीटर है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी हैं। प्रत्येक सीणी में \(\frac{1}{4}\) मीटर की बनाई है और \(\frac{1}{2}\) मीटर का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

हल:
प्रत्येक सौणी की लम्बाई 50 मीटर और चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) मीटर है सीणियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीणी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढी (A.P.) का अनुक्रम है-
\(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}, \frac{6}{4}, \ldots, \frac{15}{4}\)
अतः पहली सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{50}{8}\) घन मीटर
दूसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4}=\frac{100}{8}\) घन मीटर
तीसरी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
\(=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{150}{8}\) घन मीटर
चौथी सीणी में लगी कंक्रीट का आयतन
= \(50 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4}=\frac{200}{8}\) घन मीटर
अतः चबूतरा बनाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन

अतः चबूतरे में लगी कंक्रीट का कुल आयतन = 750 घन मीटर

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a सार्वअन्तर d और nवाँ पद a_n है-

हल:
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₈ = 7 + (8 – 1)3
= 7 + 21 = 28
अत: a₈ = 28

(ii) a = – 18, a = 10, a_n = 0
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₀ = -18 + (10 – 1)d
⇒ 0 = -18 + 9d
⇒ 9d = 18
∴ d = \(\frac{18}{9}\) = 2
अत: d = 2

(iii) d = -3, n = 18, a_n = -5
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₈ = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a – 51
∴ a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, a_n = 3.6
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ 3.6 = -18.9 + (n – 1) 2.5
⇒ 3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
⇒ (n – 1)2.5 = 22.5
⇒ n – 1 = \(\frac{22.5}{2.5}\) = 9
∴ n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a_n = 43.5 + (105 – 1)0
a_n = 3.5 + 0 = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वीं पद है-
(A) 97 (B) 77 (C) – 77 (D) – 87
(ii) A.P. : -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48\(\frac{1}{2}\)
हल:
(i) A.P. : 10, 7, 4, … का 30वाँ पद
यहाँ a = 10, d = 7 – 10 = -3 तथा n = 30
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₃₀ = 10 + (30 – 1) × -3
= 10 + 29 × -3 = 10 – 87 = -77
अतः विकल्प (C) सही है।

(ii) A.P.: -3, –\(\frac{1}{2}\), 2, … का 11वाँ पद
यहाँ a = – 3, d = –\(\frac{1}{2}\) – (-3) = –\(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
a_n = a + (n – 1)d
a₁₁ = -3 + (11 – 1) × \(\frac{5}{2}\)
= – 3 + 10 × \(\frac{5}{2}\)
= -3 + 25 = 22
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल:
(i) पहला पद a = 2 तीसरा पद a₃ = 26,
दूसरा पद a₂ = ?
माना सार्वअन्तर है।
अब a₃ = a + 2d
⇒ 26 = 2 + 2d
⇒ 2d = 26 – 2 = 24
⇒ d = 12
∴ दूसरा पद a₂ = a + d = 2 + 12 = 14
अतः रिक्त बॉक्स का पद a₂ = 14

(ii) पहला पद a = ?, दूसरा पद a₂ = 13, तीसरा पद a₃ = ?, चौथा पद d₄ = 3
माना सार्वअन्तर d है a₂ = a + d
⇒ 13 = a + d …(1)
तथा a₄ = a + 3d
⇒ 3 = a + 3d …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
2d = – 10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) से, 13 = a + d
⇒ 13 = a – 5 ⇒ a = 18
∴ तीसरा पद a₃ = a + 2d
= 18 + 2 × (-5)
⇒ a₃ = 8
अतः रिक्त बॉक्सों के पद क्रमश: 18 व 8 हैं।

(iii) पहला पद a = 5, चौथा पद a₄ = 9\(\frac{1}{2}\), दूसरा पद a₂ = ? तीसरा पद a₃ = ?
माना सार्वअन्तर d है।

अतः रिक्त बाक्सों के पद क्रमशः 6\(\frac{1}{2}\) और 8 हैं।

∵ पहला पद a = -4 और माना सार्वअन्तर d है।
6वाँ पद = a + (6 – 1)d
= a + 5d
∵ a + 5d = 6
⇒ – 4 + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ 5d = 10
∴ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
तब दूसरा पद a₂ = a + d = – 4 + 2 = – 2
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = – 2 + 2 = 0
चौथा पद a₄ = a₃ + d = 0 + 2 = 2
पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 2 + 2 = 4

माना पहला पद a और सार्वअन्तर d है।
दूसरा पद = a + d = 38 …(i)
और छठवाँ पद = a + (6 – 1)d
⇒ a + 5d = -22 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = – 22 – 38
⇒ 5d – d = 60
⇒ 4d = 60
∴ d = \(\frac{-60}{4}\) = -15
∴ समीकरण (i) से,
a + d = 38
⇒ a + (-15) = 38
∴ a = 38 + 15 = 53
तब पहला पद a₁ = 53
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = 38 – 15 = 23
चौथा पद a₄ = a₃ + d = 23 – 15 = 8
पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 8 – 15 = – 7
अतः रिक्त बॉक्सों में क्रमिक प्रविष्टियाँ

प्रश्न 4.
A.P. 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है ?
हल:
दी गई A. P. : 3, 8, 13, 18, ….
यहाँ a = 3
d = 8 – 3 = 5
माना पद 78 है।
∴ a_n = 78
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3+ (n – 1)5
⇒ 78 = 3 + 5n – 5
⇒ 78 = 5n – 2
⇒ 5n = 78 – 2
⇒ 5n = 80
∴ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
अतः 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेठी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, …., 205
(ii) 18, 15, 13, …., -47
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.) : 7, 13, 19, ….., 205
यहाँ a = 7 तथा d = 13 – 7 = 6
माना दी गई A. P. में n पद हैं
nवाँ पद a_n = 205
a_n = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 1 + 6n = 205
⇒ 6n = 205 – 1 = 204
∴ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
अतः दी गई A. P. में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी (A.P.):
18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, …, – 47
यहाँ पहला पद a = 18
तथा सार्वअन्तर d = 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}\)
= \(-\frac{5}{2}\)
माना दी गई श्रेढी में पद हैं।
n पद a_n = -47
a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1) × \(\left(-\frac{5}{2}\right)\) = -47
\(-\frac{5(n-1)}{2}\) = -47 – 18 = -65
(n – 1) \(\frac{(-65) \times 2}{-5}\) = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2… का एक पद -150 है ? क्यों ?
हल:
दी गई A. P. : 11, 8, 5, 2 …
यहाँ पहला पद a = 11 तथा सार्वअन्तर d = 8 – 11
= -3
माना nवाँ पद (a_n) = -150 है।
⇒ a_n = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × (-3) = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = \(\frac{-161}{-3}\)
= 53.6 (लगभग)
∴ n = 53.6 + 1 = 54.6
⇒ n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P का कोई पद -150 नहीं है।

प्रश्न 7.
उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 11वाँ पद a₁₁ = 38
a + (11 – 1)d = 38
a + 10d = 38 …(i)
और 16वाँ पद a₁₆ = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 383
⇒ a + 15d – a – 10d = 35
⇒ 5d = 35
∴ d = \(\frac{35}{5}\) = 7
समीकरण (i) में d का मान रखने पर,
⇒ a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
∴ a = 38 – 70 = -32
श्रेढी का 31वाँ पद
a₃₁ = a + (31 – 1)d
= – 32 + 30 × 7
= – 32 + 210 = 178
अत: A.P का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है। दिया है कि,
तीसरा पद a₃ = 12
a + (3 – 1)d = 12 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
⇒ a + 2d = 12 ….(1)
और अन्तिम पद = a50 = 106
a + (50 – 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106 …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,

d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
∴ a = 12 – 4 = 8
अब श्रेढी का 29वीं पद
a₂₉ = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अत: A.P का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी A. P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा ?
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है।
दिया है, तीसरा पद a₃ = 4
a + (3 – 1)d = 4 [a_n = a + (n – 1)d से]
⇒ a + 2d = 4 ….(1)
और a₉ = – 8
a + (9 – 1)d = -8
a + 8d = -8 ….(2)
समीकरण (2) मैं से (1) को घटाने पर,

d का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2 (-2) = 4
या a – 4 = 4
∴ a = 4 + 4 = 8
अब माना कि श्रेढी का व पद शून्य होगा, तब
nवाँ पद a_n = 0
∴ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ – 2 (n – 1) = – 8
⇒ (n – 1) = 4
∴ n = 5
अत: दी गई A. P. का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
तब 17वाँ पद a₁₇ = a + (17 – 1)d
= a + 16d
10वाँ पद a₁₀ = a + (10 – 1)d
= a + 9d
∵17वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
a₁₇ – a₁₀ = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
∴ d = 1
अतः श्रेढी का सार्वअन्तर = 1

प्रश्न 11.
A. P. : 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा ?
हल:
माना अभीष्ट पद व पद है।
दी गई A. P.: 3, 15, 27, 39, …
प्रथम पद a = 3 तथा सार्वअन्तर d = 15 – 3 = 12
तब श्रेढी का 54वाँ पद a₅₄ = a + (54 – 1)d
= 3 + 53 × 12
=3 + 636 = 639
⇒ nवाँ पद = 54वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132 = 771
nवाँ पद a_n = 771
⇒ a + (n – 1)d = 771
⇒ 3 + (n – 1) 12 = 771
⇒ (n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
∴ n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढी का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेडियों का सार्वअन्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा ?
हल:
माना पहली A.P का प्रथम पद तथा सार्वअन्तर d है और दूसरी A. P. का प्रथम पद 4 तथा सार्वअन्तर है क्योंकि सार्वअन्तर समान हैं।
पहली श्रेढी का 100वाँ पद = a + (100 – 1)d
= a + 99d
दूसरी श्री का 100वाँ पद = A + (100 – 1) d
= A + 99d
∴ दोनों श्रेढियों के 100वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d)
= A – a
प्रश्नानुसार, A – a = 100 …(1)
पहली श्रेढी का 1000वाँ पद = a +(1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढी का 1000वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
∴ दोनों श्रेढियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
∴ दोनों श्रेढियों के 1000वें पदों का अन्तर A – a = 100 (समी. 1 से)
अतः 1000वें पदों का अन्तर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
हल:
तीन अंकों की संख्याओं की सूची 100, 101, 102, ….., 999,
3 अंकों की 7 से विभाज्य प्रथम संख्या = 105 और अन्तिम संख्या = 994
तब 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची-
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7),… 994 = 105, 112, 119, …, 994
माना ऐसी कुल संख्याएँ n हैं।
प्रथम संख्या a = 105, सार्वअन्तर d = 7,
∴ nवाँ पद a_n = 994
⇒ a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1) × 7 = 994
⇒ (n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
⇒ (n – 1) = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाव्य तीन अंकों वाली संख्याएँ = 128

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?
हल:
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
∵ 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की श्रेढी निम्न होगी :
12, 16, 20, 24, ….., 248
माना गुणजों की संख्या n है।
पहला पद a = 12, सार्वअन्तर d = 16 – 12 = 4
तब nवाँ पद, a_n = 248
a + (n – 1)d = 248
12 + (n – 1)4 = 248
12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 + 4 – 12= 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेतियों 63, 65, 67,… और 3, 10, 17, … के वें पद बराबर होंगे ?
हल:
पहली समान्तर श्रेढी 63, 65, 67, ….
प्रथम पद a = 63, सार्वअन्तर d = 65 – 63 = 2
∴ श्रेढ़ी का nवाँ पद a_n = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढी = 3, 10, 17, …..
प्रथम पद a’ = 3, सार्वअन्तर d’ = 10 – 3 = -7
इस श्रेढी का nवाँ पद a_n‘ = a’ + (n – 1)d’
= 3 + (n – 1)7
-= 3 + 7n – 7 = 7n – 4
प्रश्नानुसार,
पहली A.P का nवाँ पद = दूसरी A.P का nवाँ पद
⇒ 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 2n – 7n = – 4 – 61
⇒ – 5n = -65
n = \(\frac{-65}{-5}\) = 13
अतः दोनों समान्तर श्रेढियों के 13वें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
माना कि A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
दिया है a₃ = 16
a + (3 – 1)d = 16
⇒ a + 2d = 16 …(1)
प्रश्न के अनुसार, a₇ – a₅ = 12
[a + (7 – 1)d] – [a + (5 – 1) d] = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
∴ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d का यह मानं समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 2(6) = 16
∴ a = 16 – 12 = 4
A.P. = a, a + d, a + 2d,…
= 4, 4 + 6, 4 + 2 × 6,…
= 4, 10, 16,…
अतः वाँछित A. P. है, 4, 10, 16, 22….

प्रश्न 17.
A. P. : 3, 8, 13, …, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई A. P.: 3, 8, 13, …., 253
प्रथम पद a = 3
सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद a_n = 253
समान्तर श्रेढी का nवाँ पद
an = a + (n – 1)d
253 = 3 + (n – 1) × 5
253 = 3 + 5n – 5
5n = 253 + 2
5n = 255
∴ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
समान्तर श्रेढी के अन्तिम पद से 20वाँ पद
= (पदों की संख्या) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1 = 32वाँ पद
∴ A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = आरम्भ से 32वाँ पद
∵ a_n = a + (n – 1)d
a₃₂ = 3 + (32 – 1) × 5
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158
अत: A.P के अन्तिम पद से 20वाँ पद = 158

द्वितीय विधि :
यहाँ प्रथम पद a = 3, सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद a_n = 253
सूत्र: अन्त rवाँ पद = a_n – (r – 1)d
अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1)5
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95 = 158
अत: A. P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद 158 है।

प्रश्न 18.
किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के ‘प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
∵ चौथा पद a₄ + 8वाँ पद a₈ = 24
⇒ [a + (4 – 1)d] + [a + (8 – 1)d] = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 …(1)
∵ 6वाँ पद a₆ + दसवाँ पद a₁₀ = 44
⇒ [a + (6 – 1)d] + [a + (10 – 1)d] = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 … (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ a + 7d – a – 5d = 10
⇒ 2d = 10 ⇒ d = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
∴ a = -13
अब श्रेढी का पहला पद a = -13
दूसरा पद a₂ = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = – 8 + 5= -3
अतः वांछित A.P. के प्रथम तीन पद = -13, – 8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया ?
हल:
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रति मास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5000 + ₹ 200
= ₹ 5200 प्रति मास
तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ 5200 + ₹ 200
= ₹ 5400 प्रति मास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (रु. में) 5000, 5200, 5400…… एक समान्तर श्रेढी बनाते हैं,
जिसका प्रथम पद a = 5000 तथा सार्वअन्तर d = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब nवाँ पद = 7000
⇒ a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1)200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = \(\frac{2000}{200}\) = 10
∴ n = 10 + 1 = 11
अतः 11 वें वर्ष में अर्थात 2006 में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बणाती गई। यदि वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = ₹ 1.75
यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है
प्रथम पद a = 5, d = 1.75
nवें सप्ताह में उसकी बचत a_n = 20.75
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) × 1.75
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 – 5 + 1.75
⇒ 1.75n = 17.5
n = \(\frac{17.5}{1.75}\) ⇒ n = 0
अतः 10वें सप्ताह में रामकली की बचत ₹ 20.75

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बणती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) यदि टैक्सी का पहले किमी का किराया a₁, दूसरे किमी का किराया a₂ तथा वें किमी का किराया a_n से व्यक्त किया जाए तो
प्रश्नानुसार,
a₁ = 15
a₂ = 15 + 8 = 23
a₃ = 23 + 8 = 31
अब सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
और a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
∵ a₃ – a₂ = a₂ – a₁
अर्थात् सार्वअन्तर समान हैं।
∴ दी गई स्थिति A.P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(ii) माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को x मात्रक से तथा प्रत्येक पम्प के बाद हवा की शेष मात्रा को a₂, a₃, a₄ से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,

और आगे भी इसी प्रकार से….
अब सार्वअन्तर,

यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∵ सार्वअन्तर समान नहीं है।
∴ दी गई स्थिति A.P का रूप नहीं है।

(iii) माना कि एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को a_n से व्यक्त किया जाए तो.
प्रश्न के अनुसार, a₁ = ₹ 150
a₂ = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
a₃ = ₹ (200 + 50) = ₹ 250
और आगे भी इसी प्रकार से…..
अब सार्वअन्तर
a₃ – a₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a₂ – a₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
यहाँ a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = ₹ 50
सार्वअन्तर समान हैं।
अतः दी गई स्थिति A. P. (समान्तर श्रेढी) के रूप की है।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन:
मूलधन P = ₹ 10000
ब्याज की दर R% = 8%


निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि
A₂ – A₁ ≠ A₃ – A₂
अतः मिश्रधन A.P. (समान्तर श्रेढी) में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d = 10,
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3,
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल:
(i) दिया है, प्रथम पद (a) = 10
और सार्व अन्तर (d) = 10
∴ a₁ = प्रथम पद (a) = 10
a₂ = a + d = 10 + 10 = 20
a₃ = a + 2d = 10 + 2 × 10 = 30
a₄ = a + 3d = 10 + 3 × 10 = 40
अत: A.P के प्रथम चार पद 10, 20, 30, 40 हैं।

(ii) दिया हुआ है कि प्रथम पद (a) = 22
और सार्वअन्तर (d) = 0
∴ a₁ = a = -2
a₂ = a + d = 2 + 0 = 2
a₃ = a + 2d = -2 + 2 × 0 = -2
a₄ = a + 3d = 2 + 3 × 0 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -2, -2, -2, -2, हैं ।

(iii) दिया हुआ है, प्रथम पद (a) = 4
और सार्वअन्तर (d) = -3
∴ a₁ = a = 4
a₂ = a + d = 4 + (-3) = 1
a₃ = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = -2
a₄ = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = – 5
अत: A.P. के प्रथम चार पद 4, 1, 2, 5 हैं।

(iv) दिया है कि प्रथम पद a = -1
और सार्वअन्तर d = \(\frac{1}{2}\)
∴ a₁ = a = -1
a₂ = a + d
= \(-1+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}\)
a₃ = a + 2d
= \(-1+2\left(\frac{1}{2}\right)\)
– 1 + 1 = 0
a₄ = a + 3d
= \(-1+3\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\)
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\) हैं।

(v) दिया हैं कि प्रथम पद = a = -1.25
और सार्वअन्तर (d) = -0.25
∴ a₁ = a = – 1.25
a₂ = a + d = – 1.25 – 0.25 = -1.50
a₃ = a + 2d = – 1.25 + 2(-0.25)
= -1.25 – 0.50 = -1.75
a₄ = a + 3d = – 1.25 + 3(-0.25)
= – 1.25 – 0.75 = -2
अत: A.P. के प्रथम चार पद -1.25, -1.50, 1.75, – 2. हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए:
(i) 3, 1, -1, -3,…
(ii) -5, 1, 3, 7,…
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
हल:
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3, …
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 1
a₃ = -1, a₄ = -3
प्रथम पद a = a₁ = 3
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर = -2

(ii) दी गई A. P. = -5, -1, 3, 7, …
यहाँ a₁ = -5
a₂ = -1
a₃ = 3
a₄ = 7
प्रथम पद a₁ = -5
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = – 1 – (-5) = – 1 + 5 = 4
अतः प्रथम पद = -5 तथा सार्वन्तर = 4

(iii) दी गई A.P. = \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots\)
यहाँ a₁ = \(\frac{1}{3}\),
a₂ = \(\frac{5}{3}\),
a₃ = \(\frac{9}{3}\),
a₄ = \(\frac{13}{3}\)
प्रथम पद a = a₁ = \(\frac{1}{3}\)
सार्वन्तर d = a₂ – a₁ = \(\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)\)
= \(\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)
अतः प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\) तथा सार्वअन्तर = \(\frac{4}{3}\)

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
a₁ = 0.6, a₂ = 1.7
a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद a = a₁ = 0.6
सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
अत: प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वअन्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं ? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए:
(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,
(iv) -10, -6, -2, 2,…
(v) 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,
(vii) 0, -4, -8, -12,…
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)
(ix) 1, 3, 9, 27, …
(x) a, 2a, 3a, 4a, …
(xi) a, a², a³, a⁴, …
(xii) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\),…
(xiii) \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\),…
(xiv) 1², 3², 5², 7², …
(xv) 1², 5², 7², 7³, …
हल:
(i) दिया हुआ अनुक्रम 2, 4, 8, 16, …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
d = a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है,
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(ii) दिया गया अनुक्रम 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = \(\frac{5}{2}\), a₃ = 3, a₄ = \(\frac{7}{2}\)
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)

दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = \(\frac{1}{2}\) हैं।
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. है।
अगले तीन पद

अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 4, \(\frac{9}{2}\) और 5 हैं।

(iii) दिया गया अनुक्रम -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, …
यहाँ a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = – 3.2 – (-1.2) = – 2.0
a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -2.0
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (-2.0) है।
∴ सार्वन्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
-11.2 + (-2) = -13.2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद -9.2, -11.2, -13.2 हैं।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम -10, 6, – 2, 2,…
यहाँ a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = -6 – (-10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 – (-6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (4) है।
∴ सार्वअन्तर d = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. हैं।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 2 + 4 = 6
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 6 + 4 = 10
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 10 + 4 = 14
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 6, 10, 14 हैं।

(v) दिया हुआ अनुक्रम 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),…
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 3 + \(\sqrt{2}\), a₃ = 3 + 2\(\sqrt{2}\), a₄ = 3 + 3\(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = (3+ \(\sqrt{2}\)) – 3 = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = (3 + 2\(\sqrt{2}\)) – (3 + \(\sqrt{2}\)) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = (3 + 3\(\sqrt{2}\)) – (3 + 2\(\sqrt{2}\))= \(\sqrt{2}\)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
∴ सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) और दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
3 + 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(3 + 1) = 3 + 4\(\sqrt{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 3 + 4\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(4 + 1) = 3 + 5\(\sqrt{2}\)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= 3 + 5\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= 3 + \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 3 + 6\(\sqrt{2}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद
3 + 4\(\sqrt{2}\), 3 + 5\(\sqrt{2}\), 3 + 6\(\sqrt{2}\) है।

(vi) दिया हुआ अनुक्रम
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
यहाँ a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222,
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A. P. नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम 0, -4, -8, -12, ….
यहाँ a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर :
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = – 8 – (-4)
= – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (-8)
= – 12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है सार्वअन्तर = -4 है। अतः दिया गया अनुक्रम A.P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= – 12 + (-4) = -16
पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= – 16 + (-4) = -20
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= -20 + (-4) = -24
अतः दिए गये अनुक्रम के अगले तीन पद -16, -20 और -24 हैं।

(viii) दिया हुआ अनुक्रम \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots\)

a₄ – a₃ = \(-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
= \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 0
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है। सार्वअन्तर = 0 है अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2} \)
सातवाँ पद a₇ = छठा पद a₆ + सार्वअन्तर d
= \(-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) है।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम 1, 3, 9, 27,…
यहाँ a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम a, 2a, 3a, 4a…..
यहाँ a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
दो क्रमागत पद का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
∵ दो क्रमागत पर्दों का अन्तर समान (a) है।
अतः सार्वन्तर d = a तथा दिया गया अनुक्रम एक A. P. है।
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d
= 4a + a = 5a
छठा पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर d
= 5a + a = 6a
सातवाँ पद a₇ = छटा पद a₇ + सार्वअन्तर d
= 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद 5a, 6a, 7a है।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम यहाँ a, a², a³, a⁴, ….
यहाँ a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³‚ a₄ = a⁴
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
∵ दो क्रमागत पद का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A. P. नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\)……
यहाँ a₁ = \(\sqrt{2}\), a₂ = \(\sqrt{8}\), a₃ = \(\sqrt{18}\), a₄ = \(\sqrt{32}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = \(\sqrt{8}\) – \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{4}\) – 1)
= \(\sqrt{2}\) (2 – 1) = \(\sqrt{2}\)
a₃ – a₂ = \(\sqrt{18}\) – \(\sqrt{8}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{4}\))
= \(\sqrt{2}\)(3 – 2) = \(\sqrt{2}\)
a₄ – a₃ = \(\sqrt{32}\) – \(\sqrt{18}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{19}\) – \(\sqrt{9}\))
= \(\sqrt{2}\)(4 – 3) = \(\sqrt{2}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (\(\sqrt{2}\)) है।
अतः सार्वअन्तर d = \(\sqrt{2}\) तथा दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब 5वाँ पद a₅ = 4वाँ पद + सार्वअन्तर d.
= \(\sqrt{32}\) + \(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{16}\) + 1) = \(\sqrt{2}\)(4 + 1)
= 5\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{25}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{50}\)
6वाँ पद a₆ = 5वाँ पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{50}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{25}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(5 + 1) = 6\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{36}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{72}\)
7वाँ पद a₇ = 6वीं पद + सार्वअन्तर d
= \(\sqrt{72}\) + \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{36}\) + 1)
= \(\sqrt{2}\)(6 + 1) = 7\(\sqrt{2}\)
= \(\sqrt{49}\) × \(\sqrt{2}\) = \(\sqrt{98}\)
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{98}\) हैं।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{12}\), …
a₁ = \(\sqrt{3}\), a₂ = \(\sqrt{6}\), a₃ = \(\sqrt{9}\), a₄ = \(\sqrt{12}\)
दो क्रमागत पदों का अन्तर d
a₂ – a₁ = \(\sqrt{6}\) – \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{2}\) – 1) = 0.717
a₃ – a₂ = \(\sqrt{9}\) – \(\sqrt{6}\) = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{2}\)) = 0.530
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम 1², 3², 5², 7², ….
a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

(xv) दिया गया अनुक्रम 1², 5², 7², 7³, ….
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 7³
दो क्रमागत पर्दों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 7³ – 7² = 73 – 49 = 24
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है।
अतः सार्वअन्तर d = 24
तथा दिया गया अनुक्रम A.P. है।
पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर
= 73 + 24 = 97
छठवाँ पद a₆ = पाँचवाँ पद a₅ + सार्वअन्तर
= 97 + 24 = 121
छठवाँ पद a₇ = छठवाँ पद a₆ + सार्वअन्तर
= 121 + 24 = 145
अत: दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 97, 121 और 145 हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक।
(ii) -37, -33, -29, …, 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots 11\) पदों तक।
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी = 2, 7, 12, ….. 10 पदों तक
प्रथम पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d = 7 – 2 = 5
पदों की संख्या n = 10
n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{5}\)[2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5[4 + 9 × 5]
= 5[4 + 45] = 5 × 49 = 245
अतः 10 पदों तक योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी = -37, -33, -29, …, 12 पदों तक
प्रथम पद a = -37
तथा सार्वअन्तर d = – 33 – (-37) = 4
और पदों की संख्या n = 12
∵ n पदों तक योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × (-37) + (12 – 1) × 4)
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30) = -180
अतः 12 पदों तक योग = -180

(iii) दी गई समान्तर श्रेढी = 0.6, 1.7, 2.8, …. 100
पदों तक
प्रथम पद a = 0.6
सार्वअन्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1
और पदों की संख्या n = 100
n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\)[2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
अतः 100 पदों तक योग = 5505

(iv) दी गई समान्तर श्रेढी = \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11\) पदों तक

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
(ii) 34 + 32 + 30 +…+ 10
(iii) -5 + (8) + (11) +…+ (-230)
हल:
(1) दिया गया है,
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद a = 7
सार्वअन्तर d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7
= \(\frac{21}{2}-7=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
दिया है, nवाँ पद a_n = 84
a + (n – 1)d = 84

∴ अनुक्रम में 23 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l) से
∴ 23 पदों का योगफल
⇒ S₂₃ = \(\frac{23}{2}\)(7 + 84)
= \(\frac{23}{2}\) × 91 = \(\frac{2093}{2}\)
= 1046\(\frac{1}{2}\)
अतः 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84 = 1046\(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया है: 34 + 32 + 30 + … + 10
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद = 34
और सार्वअन्तर d = 32 – 34 = -2
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
nवाँ पद a_n = 10
⇒ a + (n – 1)d = 10
⇒ 34 + (n – 1) × (-2) = 10
⇒ (n – 1) × (-2) = 10 – 34 = -24
⇒ (n – 1) = \(\frac{-24}{-2}\) = 12
⇒ n = 13
∴ अनुक्रम में कुल 13 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
13 पदों का योग S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) = (34 + 10)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
अत: 34 + 32 + 30 + … + 10 = 286

(iii) दिया गया है:
– 5 + (-8) + (-11) + … + (-230) स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = -5
तथा सार्वअन्तर d = (-8) – (-5)
= – 8 + 5 = -3
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
अनुक्रम का nवाँ पद a_n = -230
⇒ a + (n – 1)d = -230
⇒ -5 + (n – 1) × – 3 = -230
⇒ 5 + (n – 1)3 = 230
⇒ (n – 1)3 = 230 – 5 = 225
(n – 1) = \(\frac{225}{3}\) =75
∴ n = 75 + 1 = 76
तब n पदों तक योगफल
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 76 पदों तक योगफल
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)]
= \(\frac{76}{2}\) × (-235)
= 38 × (-235) = -8930
अत: -5 + (-8) + (-11) + … + (-230)
= -8930

प्रश्न 3.
एक A. P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S_n = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया है,
a = 5, d = 3 और अन्तिम पद (a_n) = 50
∵ अनुक्रम A. P. है और a_n = 50
⇒ a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1)3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50 ⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
∴ n = \(\frac{48}{3}\) = 16
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{16}{2}\)(5 + 50) = 8 × 55 = 440
अत: n = 16 तथा S_n = 440

(ii) दिया है: a = 7, a₁₃ = 35
a + (n – 1)d = 35
⇒ 7 + (13 – 1)d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से
अब S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35]
⇒ S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
अतः d = \(\frac{7}{3}\) तथा S₁₃ = 273

(iii) दिया है: a₁₂ = 37, d = 3
∵ a₁₂ = 37
a + (n – 1)d = 37
⇒ a + (12 – 1)3 = 37
⇒ a = 37 – 33 = 4
अब S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]से]
S₁₂ = 6 × 41 = 246
अतः a = 4 तथा S₁₂ = 246

(iv) दिया है: a₃ = 15, S₁₀ = 125
∵ a₃ = 15
⇒ a + (3 – 1)d = 15
⇒ a + 2d = 15 ….(1)
∵ दिया है S₁₀ = 125
\(\frac{10}{2}\)[2a + (10 – 1)d] = 125
⇒ 5[2a + 9d] = 125
⇒ 2a + 9d = \(\frac{125}{5}\)
⇒ 2a + 9d = 25 …(2)
समीकरण (1) से, a = 15 – 2d ….(3)
a का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(15 – 2d) + 9d = 25
⇒ 30 – 4d + 9d = 25
⇒ 5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
d का मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 15 – 2(-1)
⇒ a = 15 + 2 = 17
अब a₁₀ = 17 + (10 – 1) (-1)
[∵ a_n = a + (n – 1)d]
= 17 – 9 = 8
अत: d = -1 और a₁₀ = 8

(v) दिया है: d = 5 और S₉ = 75
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∵ S₉ = \(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1)5]
⇒ 75 = \(\frac{9}{2}\)[2a + 8 × 5] [∵ S₉ = 75]
⇒ \(\frac{75 \times 2}{9}\) = 2a + 40

(vi) दिया है: a = 2, d = 8 और S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
90 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1)8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[4 + 8n – 8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[8n – 4]
90 = \(\frac{n}{2}\) × 4(2n – 1)
90 = 2n(2n – 1)
\(\frac{90}{2}\) = n(2n – 1)
45 = 2n² – n
2n² – n – 45 = 0
2n² – (10 – 9) – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0
2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
n = 5 या –\(\frac{9}{2}\)
∵ n का मान सदैव धन पूर्णांक होता है।
∴ n = 5
तब a₅ = a + (5 – 1)d
= 2 + 4 × 8
= 2 + 32 = 34
अतः n = 5 तथा a_n = 34

(vii) दिया है: a = 8, a_n = 62
और S_n = 210
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + a_n)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\)(8 + 62)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\) × 70
⇒ \(\frac{210 \times 2}{70}\) = 6
∵ a_n = 62
⇒ a + (n – 1)d = 62
⇒ 8 + (6 – 1)d = 62
⇒ 8 + 5d = 62
⇒ 5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{2}\)
अत: n = 6 तथा d = \(\frac{54}{2}\)

(viii) दिया है: a_n = -4, d = 2 और S_n = -14
∵ a_n = 4
a + (n – 1)d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a + 2n = 6 …..(1)
∵ S_n = -14
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)2] = -14
n[a + n – 1] = – 14 ….(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n समीकरण (2) में a के
स्थान पर (6 – 2n) रखने पर,
n[6 – 2n + n – 1] = -14
∴ n[5 – n] = – 14
⇒ 5n – n² = -14
⇒ n² – 5n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = – 2
n का मान सदैव धनपूर्णांक होता है। इसलिए n = 7
तब a = 6 – 2n
= 6 – (2 × 7)
= 6 – 14 = -8
अतः a = -8 तथा n = 7

(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
परन्तु S_n = 192
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 192
⇒ \(\frac{8}{2}\)[2 × 3 + (8 – 1)d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
∴ d = \(\frac{168}{28}\) = 6
अतः d = 6

(x) दिया है: l = 28, S_n = 144 और कुल पदं n = 9
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
144 = \(\frac{9}{2}\)[a + 28]
288 = 9[a + 28]
288 = 9a + 252
9a = 288 – 252
9a = 36
∴ a = 4
अतः a = 4

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A. P. : 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए ?
हल:
दी गई A. P.: 9, 17, 25, …
प्रथम पद a = 9 सार्वअन्तर d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है।
S_n = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[18 + 8n – 8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n² + 5n = 636
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53 ) -12(4n + 53 ) = 0
⇒ (4n + 53 ) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या –\(\frac{53}{4}\)
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः n = –\(\frac{53}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ n = 12
अतः दी गई A.P के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A. P का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, प्रथम पद a = 5,
अन्तिम पद l = a_n = 45
और S_n = 400
∵ a_n = 45
a + (n – 1)d = 45
⇒ 5 + (n – 1)d = 45
⇒ (n – 1)d = 45 – 5
⇒ (n – 1)d = 40 ….(1)
और S_n = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + l] = 400
⇒ \(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
∴ n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(16 – 1)d = 40
⇒ 15d = 40
∴ d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अत: n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A. P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल:
दिया है,
प्रथम पद a = 17
अन्तिम पद l = a_n = 350
और सार्वअन्तर d = 9
∵ a_n = 350
a + (n – 1)d = 350
⇒ 17 + (n – 1)9 = 350
⇒ 9(n – 1) = 350 – 17 = 333
⇒ n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{38}{2}\)(17 + 350)
= 19 × 367 = 6973
अतः n = 38 और पदों का योग (S_n) = 6973

प्रश्न 7.
उस A. P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
d = 7, n = 22
∵ 22वाँ पद a₂₂ = 149
⇒ a + (22 – 1)d = 149
⇒ a + 21 × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
∴ a = 149 – 147 = 2
तब प्रथम 22 पदों का योग
S₂₂ = \(\frac{n}{2}\)(a + l) = \(\frac{22}{2}\)(2 + 149)
= 11 × 151 = 1661
अतः दी गई A.P के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

प्रश्न 8.
उस A. P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
A.P का दूसरा पद a₂ = 14
तथा तीसरा पद a₃ = 18
∴ सार्वअन्तर d = a₃ – a₂ = 18 – 14 = 4
∵ दूसरा पद = 14
∴ a + d = 14
⇒ a + 4 = 14
⇒ a = 14 – 4
⇒ a = 10
∵ a = 10, d = 4
तब n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1)4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 +200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
अतः दी गई A.P के प्रथम 51 पदों का योग = 5610

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।.
∵ प्रथम 7 पदों का योग
S₇ = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d] = 49
[∵ सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] से]
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d ) = 49
⇒ a + 3d = \(\frac{49}{7}\)
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d …(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2a + 16d] = \(\frac{289}{17}\)
⇒ a + 8d = 17
a का मान समीकरण (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × [2n] = n × n = n²
अतः दी गई A.P. के प्रथम n पदों का योग n² है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए किa₁, a₂, …, a_n, … से एक A. P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) a_n = 3 + 4n,
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है, a_n = 3 + 4n …(1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 3 + 4 (1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 15, …
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 4
अतः अनुक्रम 7, 11, 15, …. है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70 = 15 × 35 = 525
∴ S₁₅ = 525

(ii) दिया है कि a_n = 9 – 5n …. (1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 9 – 5(1) = 4
a₂ = 9 – 5(2) = -1
a₃ = 9 – 5(3) = -6
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = -5
और a₃ – a₂ = – 6 + 1 = -5
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -5
अतः अनुक्रम 4, -1, -6 … है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 4, d = – 5 और n = 15
तब प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात करना है।
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2 × 4 + (15 – 1) × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 + 14 × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70]
\(\frac{15}{2}\) × (-62) = 15 × (-31) = -465
अत: S₁₅ = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार, तीसरे 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A.P के प्रथम n पदों का योगफल
S_n = 4n – n²
n = 1 रखने पर,
S₁ = 4 × 1 – 1²= 3
∴ प्रथम पद a₁ = S₁ = 3
n = 2 रखने पर,
S₂ = 4 × 2 – 2² = 8 – 4 = 4
द्वितीय पद a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
n = 3 रखने पर,
S₃ = 4 × 3 – 3² = 12 – 9 = 3
∴ तीसरा पद a₃ = S₃ – S₂
[∵ a_n = S_n – S_n-1]
= 3 – 4 = -1
n = 9 रखने पर,
S₉ = 4 × 9 – 9² = 36 – 81 = -45
∴ 10 रखने पर
S₁₀ = 4 × 10 – 10²
= 40 – 100 = -60
n = 10वीं पद a₁₀ = S₁₀ – S₉
= -60 – (-45)
= -60 + 45 = -15
∵ S_n = 4n – n²
और S_n-1 = 4 (n – 1) – (n – 1)²
= (n – 1) {4 – n + 1}
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n² – 5 + n
= 6n – n² – 5
अब a_n = S_n – S_n-1
= (4n – n²) – (6 – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
= 5 – 2n
अतः S₁ =3
प्रथम दो पदों का योग S₂ = 4
दूसरा पद a₂ = 1
तीसरा पद a₃ = -1
10वीं पद a₁₀ = -15
तथा n वाँ पद a_n = 5 – 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांकों की सूची :
6, 12, 18, 24, 30, …. 40 पदों तक
प्रथम पद a = 6 तथा सार्वअन्तर d = 12 – 6 = 6, n = 40
∵ प्रथम n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ प्रथम 40 पदों का योगफल
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\)[2 × 6 + (40 – 1)6]
= 20[12 + 39 × 6]
= 20[12 + 234]
= 20 × 246 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के प्रथम 15 गुणजों की सूची :
8, 16, 24, 32… 15 पदों तक
∴ S = 8 + 16 + 24 + 32 + … + 120
= 8[1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15]
= 8 [\(\frac{15}{2}\)(1 + 15)] [सूत्र: S_n = [\(\frac{n}{2}\)(a + l)से]
= 8[\(\frac{15}{2}\) × 16]
= 8 × 120 = 960
अतः 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं की सूची:
1, 3, 5, 7, …., 49
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
∵ a_n = 49
∴ a(n – 1)d = 49
⇒ 1 + (n – 1)2 = 49
⇒ (n – 1)2 = 48
⇒ (n – 1) = 24
∴ n = 25
A.P. 1, 3, 5, 7, …. का 25 पदों तक योगफल
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)[2 × 1 + (25 – 1) × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 24 × 2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300, इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
दिया है, पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है- ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अन्तर से बढ़ता जाता है :
∴ ₹ 200 ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350… यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुमनि की राशि = S30
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₃₀ = \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 – 1)50]
= 15[400 + 1450] = 15(1850) = 27750
अतः यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहला पुरस्कार ₹ a है।
∴ दूसरा पुरस्कार a₂ = ₹ (a – 20)
तीसरा पुरस्कार a₃ = ₹ a – 20 – 20
= ₹ (a – 40)
∴ समान्तर श्रेढी a, (a – 20) (a – 40), … है।
यहाँ प्रथम पद = a, सार्वअन्तर d = (a – 20) – a = – 20
पदों की संख्या n = 7 तथा 7 पदों का योगफल S₇ = 700
तब, S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) (-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a + 6(-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a – 120]
700 = \(\frac{7}{2}\)2(a – 60)
\(\frac{700}{7}\) = a – 60
a = 100 + 60
a = 160
पहला पुरस्कार = ₹ 160 शेष पुरस्कार क्रम से ₹20-20 कम हैं।
अतः पुरस्कार ₹ 160, ₹ 140 ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल:
प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 =3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 4 = 12
……………………………………………….
……………………………………………….
तब 3, 6, 9, 12, ……….. एक समान्तर श्रेढी बनती है।
यहाँ a = 3, सार्वअन्तर d = 6 – 3 = 3
तब कक्षा XII तक के कुल विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों का योगफल = S₁₂
∵ S_n= \(\frac{n}{2}\)[2a – (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6[6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या 234 होगी,

प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm… वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है ? (लीजिए π = \(\frac{22}{7}\))
हल:

पहले अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁ = 0.5 सेमी
दूसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₂ = 1.0 सेमी
तीसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₃ = 1.5 सेमी
चौथे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₄ = 2.0 सेमी
………………………………………
………………………………………
13 वें अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁₃ = ?
प्रथम पद (r₁) = r = 0.5 सेमी
सार्वअन्तर d = 1.0 – 0.5
= 0.5 सेमी
पदों की संख्या n = 13
∴ r₁₃ = r + (n – 1)d
= 0.5 + (13 – 1) × 0.5
⇒ r₁₃ = 0.5 + 12 × 0.5
= 0.5 + 6.0 = 6.5
∴ r₁₃ = 6.5 सेमी
इन अर्धवृत्तों की वृत्तीय परिधियाँ:
πr₁, πr₂, πr₃, …… πr₁₃
∴ 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की लम्बाई
= πr₁ + πr₂ + πr₃ + πr₄ +…. + πr₁₃
= π[r₁ + r₂ + r₃ + r₄ +…+ r₁₃]
= π[0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 +…+ 6.5]
= π[\(\frac{13}{2}\)(0.5 + 6.5)] [सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से]
= π[\(\frac{13}{2}\) × 7.0] = \(\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7\) [π = \(\frac{22}{7}\)]
= 143
अतः सर्पिल की लम्बाई = 143 सेमी

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को णेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?

हल:
यहाँ S_n = 200, a₁ = 20, a₂ = 19, a₃ = 18
d = 19 – 20 = 18 – 19 = -1
माना पंक्तियों की संख्या = n
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) × d]
200 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 20 + (n – 1) × – 1]
⇒ 400 = n (40 – n + 1)
⇒ 400 = n(41 – n)
⇒ 400 = 41n – n²
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25)(n – 16) = 0
∴ n = 25 या n = 16
अतः पंक्तियों की संख्या 25 या 16 होगी।
Q₂₅ = a + (n – 1)d
= 20 + (24) × (-1) = -4, जो कि सम्भव नहीं है।
Q₁₆ = a + (n – 1)d
= 20 + 15 × (-1) = 20 – 15 = 5
अतः 16 पंक्तियाँ है तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे रखे गये हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल:
पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 मीटर
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3) = 8 मीटर
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 मीटर
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 मीटर
∵ एक बार बाल्टी से चलकर आलू को उठाना पड़ता है और उसे फिर बाल्टी में वापस डालना पड़ता है।
∴ पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 5 = 10 मीटर
उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 मीटर
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 8 = 16 मीटर
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 11 = 22 मीटर
चौथा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 14 = 28 मीटर
और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A. P. बन जाती है।
10 मी., 16 मी., 22 मी., 28 मी., …… 10 पदों तक
∴ a = 10
d = 16 – 10 = 6
n = 10
प्रतियोगी को कुल दूरी दौड़नी पड़ेगी = S₁₀
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5[20 + 9 × 6] = 5[20 + 54]
= 5 × 74 = 370 मीटर
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी = 370 मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
x² – \(\frac{7}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) = 0
[प्रत्येक पद में x² के गुणांक से भाग देने पर]
\(\left[x^2-\frac{7}{2} x\right]+\frac{3}{2}=0\)
[वह भाग जिसे पूर्ण वर्ग बनाना है, अलग करने पर]
\(x^2-\frac{7}{2} x=-\frac{3}{2}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर :

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

अत: अभीष्ट मूल 3 और \(\frac{1}{2}\) होंगे।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 4 = 0
2x² + x = 4
x² + \(\frac{1}{2}\)x = \(\frac{4}{2}\)
x के गुणांक \(\frac{1}{2}\) के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
⇒ 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x = -3
⇒ x² + \(\frac{4 \sqrt{3}}{4} x\) = \(-\frac{3}{4}\)
x² + \(\sqrt{3}\)x = \(-\frac{3}{4}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अतः दी गई समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
x² + \(\frac{1}{2}\)x + 2 = 0
[प्रत्येक पद को 2 से भाग देने पर]

जो कि एक काल्पनिक संख्या है,
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।

प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 7 तथा c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः समीकरण के मूल 3, \(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है।
2x² + x – 4 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = – 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) होंगे।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = 4\(\sqrt{3}\), c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

\(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{8}\)
x = \(\frac{-4 \sqrt{3}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) है।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1, c = 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

∵ \(\sqrt{-31}\) एक काल्पनिक संख्या है।
अतः दिए गये समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) \(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
\(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
⇒ \(\frac{x^2-1}{x}\) = 3
⇒ x² – 1 = 3x [वज्रगुणन से]
⇒ x² – 3x – 1 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -3 तथा c = -1
द्विघात सूत्र से,

(ii) दिया गया समीकरण है:

[दोनों पक्षों को 11 से भाग देने पर]
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2)
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
या तो x – 2 = 0 या फिर x – 1 = 0
जब x – 2 = 0 तो x = 2
जब x – 1 = 0 तो x = 1
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और 2 है ।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac{1}{3}\) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0, जो कि x में द्विघात है।
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 21
द्विघात सूत्र से

∵ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -3 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग 30 है।
तब अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x) अंक
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2) अंक मिलते और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3) या (27 – x) अंक मिलते तो अंकों का गुणनफल = (x + 2) (27 – x)
= 27x – x² + 54 – 2x
= 25x – x² + 54
परन्तु प्रश्नानुसार, अंकों का गुणनफल = 210
∴ 210 = 25x – x² + 54
⇒ x² – 25x – 54 + 210 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -25 तथा c = 156
द्विघात सूत्र से,

तब शेफाली ने गणित में या तो 13 अंक प्राप्त किए या फिर 12 अंक प्राप्त किए।
यदि उसने गणित में 12 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 12) = 18 अंक प्राप्त किए और यदि उसने गणित में 13 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 13) = 17 प्राप्त किए।
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकणं उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार खेत की छोटी भुजा = AD = x मीटर

आयताकार खेत की लम्बी भुजा = AB = (x + 30) मीटर
और आयताकार खेत का विकर्ण = DB = (x + 60) मीटर
एक आयत में लम्बाई और चौड़ाई के बीच का कोण समकोण होता है।
∴ ∠DAB = 90°
समकोण त्रिभुज DAB में, पाइथागोरथ प्रमेय से,
(DB)² = (AD)² + (AB)²
(x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
⇒ x² + 3600 + 120x = x² + x² + 900 + 60x
⇒ x² + 3600 + 120x – x² – x² – 900 – 60x = 0
⇒ -x² + 60x + 2700 = 0
या, x² – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = -60, c = -2700
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\)
⇒ x = 90
स्थिति (II) ऋणात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\)
⇒ x = -30
∴ x = 90 और -30
∵ किसी भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -30 को छोड़ देते हैं।
अत: x = 90 मीटर
आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा = (90 + 30) मीटर = 120 मीटर।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या = x
छोटी संख्या = y
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
x² – y² = 180 …..(i)
प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
y² = 8x …..(ii)
समीकरण (ii) से y² का मान समीकरण (i) में रखने पर
x² – 8x = 180
= x² – 8x – 180 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 8, c = -180
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) = 18
स्थिति (II)-ऋणात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = -10
अतः x = 18 और -10
जब x = 18 हो, तो समीकरण (ii) से,
y² = 8 × 18 = 144
⇒ y = ±\(\sqrt{144}\)
⇒ y = ± 12
जब x = -10 हो, तो समीकरण (ii) से,
y2 = 8 × (-10)
⇒ y2 = -80
⇒ y = ±\(\sqrt{-80}\) (एक काल्पनिक संख्या)
इसे छोड़ देते हैं।
∴ y = +12
अर्थात् y = +12 और -12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 18 और 12 या 18, -12 होंगी।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/ घण्टा है।
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय

यदि रेलगाड़ी की चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती अर्थात् चाल = (x + 5) किमी/घण्टा
∴ समय = \(\frac{360}{x+5}\) घण्टा
यह समय पहले समय से 1 घण्टा कम है (दिया है)

इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 5 तथा c = – 1800
तब द्विघात सूत्र से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी / घण्टा।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac{3}{8}\) घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग-अलग हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = x घण्टे
कम व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = (x + 10) घण्टे
बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x}\) भाग
छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x+10}\) भाग
प्रश्नानुसार यदि दोनों नल एक साथ खुले हों तो 1 घण्टे में हौज भरेगा = \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}\right)\) भाग
दिया है, दोनों नल एक साथ हौज को भरने में 9\(\frac{3}{8}\) अर्थात् \(\frac{75}{8}\) घण्टे लेते हैं।

⇒ 150x + 750 = 8x² + 80x
⇒ 8x² + 80x – 150x – 750 = 0
⇒ 8x² – 70x – 750 = 0
⇒ 2(4x² – 35x – 375) = 0
⇒ 4x² – 35x – 375 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = – 35, c = -375
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (II)-ऋण चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{35-85}{8}\)
= \(\frac{-50}{8}=\frac{-25}{4}\) घण्टे
∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
∴ x = \(\frac{-25}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 15 घण्टे
अतः बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = 15 घण्टे
और छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = (15 + 10) घण्टे
= 25 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बंगलौर के बीच की 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारीगाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारीगाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/ घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी / घण्टा है।
∵ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की औसत चाल की अपेक्षा 11 किमी/ घण्टा अधिक है।
∴ एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 11) किमी / घण्टा
तब 132 किमी यात्रा में सवारीगाड़ी द्वारा लिया गया

⇒ x² + 11x = 1452
⇒ x² + 11x – 1452 = 0
इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = 11, c = -1452
श्रीधराचार्य से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -44 अस्वीकार्य है।
अतः सवारीगाड़ी की औसत चाल = 33 किमी / घण्टा है।
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल (33 + 11) = 44 किमी / घण्टा है।

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना एक वर्ग की भुजा x मीटर है।
उस वर्ग का परिमाप = 4x मीटर
∵ दोनों परिमापों का अन्तर 24 मीटर है।
∴ दूसरे वर्ग का परिमाप = 4x + 24 मीटर
तब दूसरे वर्ग की भुजा = \(\frac{4 x+24}{4}\)
= \(\frac{4(x+6)}{4}\)
= (x + 6) मीटर
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² वर्ग मीटर
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (x + 6)² वर्ग मीटर
= x² + 12x + 36 वर्ग मीटर
∵ दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 वर्ग मीटर
∴ x² + (x² + 12x + 36) = 468
⇒ 2x² + 12x + 36 – 468 = 0
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ 2(x² + 6x – 216) = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18 ) (x – 12) = 0
जब x + 18 = 0 हो, तो x = -18
या फिर x – 12 = 0 हो, तो x = 12
वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -18 को छोड़ने पर
∴ x = 12
छोटे वर्ग की भुजा = 12 मीटर
तथा बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 मीटर
अतः वर्गों की भुजाएँ क्रमश: 12 मीटर व 18 मीटर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
दी गई संख्याएँ = \(\frac{1}{2}\), 1, -2

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
अब p(1) = 2 (1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
∴ 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अब p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= 2 × -8 + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
∴ -2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = –\(\frac{1}{2}\)
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1 × (-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3 = –\(\frac{5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों की तुलना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से करने पर,
a = 2, b = 1, c = -5 और d = 2 यदि बहुपद के शून्यक α, β और γ हों तो,
शून्यकों का योग (α + β + γ) = –\(\frac{b}{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)
तथा αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(\frac{-2}{2}\) = -1
∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।

(ii) त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 दी गई संख्याएँ = 2, 1, 1
अब p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
अत: 2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
पुनः p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
अतः 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः स्पष्ट है कि बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक 2, 1 और 1 है।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 1 × 1 = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= ( 2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों की तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर a = 1, b = – 4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों, तो
शून्यकों का योग = (α + β + γ)
= \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}\) = 4
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग = (αβ + βγ + γα)
= \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}\) = 5
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(-\left(\frac{-2}{1}\right)\) = 2
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल:
माना बहुपद के शून्यक α, β और γ हों, तो
शून्यक का योग (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल αβγ = -14
∴ वांछित त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अतः अभीष्ट बहुपद x³ – 2x² – 7x + 14 है।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद x³ – 3x² + x + 1
दिए गए बहुपद की तुलना Ax³ + Bx² + Cx + D से करने पर A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1.
शून्यकों का योग = \(-\frac{B}{A}=-\left(\frac{-3}{1}\right)\) = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं।
∴ a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac{3}{3}\) = 1
शून्यकों का गुणनफल = \(-\frac{D}{A}=-\left(\frac{1}{1}\right)\) = -1
परन्तु शून्यकों का गुणनफल = (a – b) (a) (a + b)
= a(a² – b²)
तब a(a² – b²) = -1
∴ 1(1² – b²) = -1
⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 2 ⇒ b ± \(\sqrt{2}\)
अतः a = 1 और b ± \(\sqrt{2}\).

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt{3}\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि दो शून्यक (2 + \(\sqrt{3}\)) और (2 – \(\sqrt{3}\)) है।
∴ [x – (2 + \(\sqrt{3}\))] [x – (2 – \(\sqrt{3}\))]
= [(x – 2) – \(\sqrt{3}\)] [(x – 2) + \(\sqrt{3}\)]
= (x – 2)² – (\(\sqrt{3}\))2 = x² – 4x + 1
दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
पुन: x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 को x² – 4x + 1 से विभाजित करने पर

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर
∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1 ) [x² – (7 – 5)x – 35]
= (x² – 4x + 1 ) [x² – 7x + 5x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x(x – 7) + 5(x – 7)]
= (x² – 4x + 1)(x – 7)(x + 5)
अब बहुपद के अन्य शून्यकः
यदि x + 5 = 0 हो, तो x = -5
या फिर x – 7 = 0 हो, तो x = 7
अतः दिए गए चार घात वाले बहुपद के अन्य शून्यक -5 और 7 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k और a ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को x² – 2x + k से भाग देने पर शेषफल x + a आता है।

बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 = (x – 2x + k) [x² – 4x + (8 – k)] + [(-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
∴ भागफल = x² – 4x + (8 – k)
और शेषफल = (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
परन्तु शेषफल = x + a
∴ (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²) = x + a
समान गुणांकों की तुलना करने पर,
-9 + 2k = 1 तथा 10 – 8k + k² = a
या 2k = 1 + 9
या 2k = 10
या k = \(\frac{10}{2}\) = 5
अब k का मान 10 – 8k + k² = a में रखने पर,
10 – 8(5) + (5)² = a
या 10 – 40 + 25 = a
या -40 + 35 = a
या -5 = a
अर्थात् a = -5
अतः k = 5 और a = -5