Bhagya

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है ?
हल:
कल्पना कीजिए कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है, तब \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) होना चाहिए जहाँ q ≠ 0 तथा p व q सह अभाज्य पूर्णांक हैं।
अर्थात् p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
अब \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
⇒ p = \(\sqrt{5}\)q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
p² = 5q²
अतः 5, p² को विभाजित करता है।
∴ 5, p को विभाजित करेगा। [प्रमेय 1.3 के अनुसार]
माना कि p = 5r (r कोई पूर्णाक है)
p² = 25r²
5q² = 25r² (∵ p² = 5q²)
q²= 5p²
अत: 5, q² को विभाजित करता है।
∴ 5, q को विभाजित करता है। [प्रमेय 1.3 के अनुसार]
∵ p 5 से विभाज्य है और q भी 5 से विभाज्य है।
∴ 5, p और q का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो के अतिरिक्त है)।
यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी कल्पना के अनुसार p और q में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
∴ यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना “\(\sqrt{5}\) परिमेय संख्या है” गलत है।
अत: \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
माना कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
तब 3 + 2\(\sqrt{5}\) = \(\frac{p}{q}\) होना चाहिए जबकि q ≠ 0 और p और q पूर्णांक हैं।
अब \(\frac{p}{q}\) = 3 + 2\(\sqrt{5}\)
⇒ \(\left(\frac{p}{q}-3\right)=2 \sqrt{5}\)
⇒ \(\frac{p-3 q}{2 q}=\sqrt{5}\)
∵ p और q पूर्णांक है अतः
∴ \(\frac{p-3 q}{2 q}\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है, तब यहाँ विरोधाभास है।
इस विरोधाभास के कारण हमारी गलत कल्पना है।
अतः दी गई संख्या 3 + 2\(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7\(\sqrt{5}\)
(iii) 6 + \(\sqrt{2}\)
हल:
(i) माना \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय संख्या है।
हम ऐसे दो पूर्णांक 4 और b प्राप्त करते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\) (a जहाँ और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं, b ≠ 0)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{a^2}{b^2}\)
⇒ b² = 2a²
अतः b², 2 से विभाज्य है।
∴ b भी 2 से विभाज्य होगी। (प्रमेय 1.3 के अनुसार)
तब माना b = 2c [c कोई पूर्णांक है]
⇒ b² = (2c)²
⇒ b² = 4c²
⇒ 2a² = 4c² (∵ b² = 2a²)
⇒ a² = 2c²
अतः a², 2 से विभाज्य है।
∴ a, 2 से विभाज्य है।
अतः a और b दोनों 2 से विभाज्य हैं। परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और 6 मैं के अतिरिक्त 1 कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अतः हमारी कल्पना गलत है।
∴ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है।
(ii) माना कि 7\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि:
7\(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{b}\)
⇒ \(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{7 b}\)
∵ a, 7 और b सभी पूर्णांक हैं।
∴ \(\frac{a}{7 b}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ \(\sqrt{5}\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
जो इसका विरोध करता है कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः 7\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) माना कि 6 + \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि
6 + \(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\)
\(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\) – 6
\(\sqrt{2}\) = \(\frac{a-6 b}{b}\)
∵ a, b और 6 सभी पूर्णांक हैं।
∴ \(\frac{a-6 b}{b}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या होगी।
इससे इस तथ्य का विरोध होता है कि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः 6 + \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
हल:
(i) दी गई पूर्णांक संख्या 140 है।

140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5 × 7

(ii) दी गई संख्या 156 है।

156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × 3 × 13

(iii) दी गई संख्या 3825 है।

∴ 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5² × 17

(iv) दी गई संख्या 5005 हैं।

∴ 5005 = 5 × 7 × 11 × 13.

(v) दी गई संख्या 7429 है।

∴ 7429 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के महत्तम समापवर्तक (H.C.F) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = H.C.F × L.C.M. है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल:
(i) दी गई संख्याएँ 26 और 91 हैं।

26 और 91 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = (13)¹ = 13
और 26 और 91 के अधिकतम घातांक में सभी अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल = 2 × 7 × 13 = 182
अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 13
तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 182
अब संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
और H.C.F. × L.C.M = 13 × 182 = 2366
अतः संख्याओं का गुणनफल H.C.F. × L.C.M

(ii) दी गई संख्याएँ 510, 92 हैं।
\(\begin{array}{l|l}
2 & 92 \\
\hline 2 & 46 \\
\hline & 23
\end{array}\)
∴ 92 = 2 × 2 × 23 = (2)² × (23)¹
\(\begin{array}{l|r}
2 & 510 \\
\hline 3 & 255 \\
\hline 5 & 85 \\
\hline & 17
\end{array}\)
510 = 2 × 3 × 5 × 17
= (2)¹ × (3)¹ × (5)¹ × (17)¹
92 और 510 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घाड़ों में) गुणनफल = (2)¹ = 2
अतः H.C.F. = 2
तथा 92 और 510 के अधिकतम घातांक में सभी अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल
= (2)² × (3)¹ × (5)¹ × (17)¹ × (23)¹
= 23460
अत: L.C.M. = 23460
अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F) = 2 तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L..C.M.) = 23460
अब संख्याओं का गुणनफल 92 × 510 = 46920
और H.C.F. × L.C.M. = 2 × 23460
= 46920
अतः संख्याओं का गुणनफलं = H.C.F. × L.C.M.

(iii) दी गई संख्याएँ 336 और 54 हैं।
\(\begin{array}{c|c}
2 & 336 \\
\hline 2 & 168 \\
\hline 2 & 84 \\
\hline 2 & 42 \\
\hline 3 & 21 \\
\hline & 7
\end{array}\)
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7= 2⁴ × 3¹ × 7¹
\(\begin{array}{c|r}
2 & 54 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline & 3
\end{array}\)
54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2¹ × 3³
अब दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाग्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल 2¹ × 3¹ = 6
∴ H.C.F. = 6
और दोनों संख्याओं के अधिकतम घातों में सभी अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल = 2⁴ × 3³ × 7
= 16 × 27 × 7
= 3024
∴ L.C.M. = 3024
अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 6
और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 3024
∵ संख्याओं का गुणनफल 54 × 336 = 18144
और H.C.F. × L.C.M. = 6 × 3024 = 18144
अतः संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के म. स. (H.C.F.) और ल. स. (L..C.M.) ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
हल:
(i) दी गई संख्याएँ 12, 15 और 21 हैं।
इनके अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
12 = 2 × 2 × 3 = (2)² × 3
15 = 3 × 5
तथा 21 = 3 × 7
तीनों संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल 3¹ = 3
∴ H.C.F. = 3
तथा तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल = 2² × 3 × 5 × 7
= 4 × 3 × 5 × 7 = 420
∴ L.C.M. = 420
अत: महत्तम समापवर्त (H.C.F) = 3
और लघुत्तम समापवर्त्य (L..C.M.) = 420

(ii) दी गई संख्याएँ 17, 23 और 29 हैं।
इनके अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
17 = 1 × 17, 23 = 1 × 23
तथा 29 = 1 × 29
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घार्तो में) गुणनफल = 1
∴ H.C.F. = 1
अभाग्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल = 17 × 23 × 29
= 11339
∴ L.C.M. = 11339
अत: H.CF. = 1 और L.C.M. = 11339

(iii) दी गई संख्याएँ 8, 9 और 25 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
25 = 5 × 5 = 5²
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = 1
∴ H.C.F. = 1
अभाज्य गुणनखण्डों का (अधिकतम घातों में) गुणनफल
= (2)³ × (3)² × (5)²
= 8 × 9 × 25 = 1800
∴ L.C.M. = 1800
अतः H.C.F. = 1 और L.C.M. = 1800.

प्रश्न 4.
यदि H.C.F. (306, 657) = 9 तो है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

= 34 × 657 = 22338
अत: L.C.M. (306, 657) = 22338

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल:
माना किसी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होती है।
तब 6ⁿ, 5 से विभाज्य होगा।
∴ 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ
अतः स्पष्ट है कि 6ⁿ के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 3 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
∴ 6ⁿ का कोई गुणनखण्ड 5 नहीं हो सकता है।
अतः 6ⁿ, अंक शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती है।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएं क्यों हैं ?
हल:
7 × 11 × 13 + 13 = 13[7 × 11 + 1]
= 13(77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 2 × 3 × 13
= 2 × 3 × 13 × 13
∵ 2, 3 और 13 अभाज्य संख्याएँ हैं। अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में गुणनखंडित की जा सकती है।
अतः यह एक भाज्य संख्या है।
इसी प्रकार
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5[7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1]
= 5(1008 + 1)
= 5 × 1009
∵ 5 और 1009 अभाज्य संख्याएँ हैं। अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार यह एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
हल:
सोनिया द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय = 18 मिनट
रवि द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय = 12 मिनट
वे पुन: प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे = L.C.M. (18, 12)
∴ 18 और 12 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं:
18 = 2 × 3 × 3
= 2 × (3)²
12 = 2 × 2 × 3
= (2)² × 3
L.C.M. (18, 12) = (2)² × (3)²
= 4 × 9 = 36
अतः सोनिया और रवि प्रारम्भिक स्थान पर 36 मिनट बाद मिलेंगे।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का H. C. F. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल:
(i) चरण 1. क्योंकि, संख्याएँ 135 और 225 इस प्रकार हैं कि
225 > 135

अत: 225 और 135 के लिए यूक्लिड
विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर
225 = 135 × 1 + 90
चरण 2. ∵ शेषफल शून्य नहीं है।
∴ 135 और 90 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्रयोग करने पर,

135 = 90 × 1 + 45

चरण 3. 90 और 45 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,

90 = 45 × 2 + 0
∵ शेषफल 0 प्राप्त हो गया।
∴ चरण 3 में भाजक 45 है।
अतः 135 और 225 का H.C.F. = 45

(ii) चरण 1. क्योंकि संख्याएँ 196 और 38220 इस प्रकार हैं कि
38220 > 196

अत: 38220 और 196 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर
38220 = 196 × 195 + 0
∵ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है। इस स्थिति में भाजक 196 है।
∴ 38220 और 196 का H.C.F. = 196

(iii) चरण 1. ∵ संख्याएँ 867 और 255 इस प्रकार हैं कि
867 > 255
अत: 867 और 255 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर

867 = 255 × 3 + 102

चरण 2. ∵ शेषफल 0 नहीं है।
∴ 102 और 255 पर पुन: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,

255 = 102 × 2 + 51

चरण 3. 51 और 102 पर पुनः यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,

102 = 51 × 2 +0
∵ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है।
∴ चरण 3 का भाजक 51 है।
अत: 867 और 255 का H.C.F = 51.

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ 9 कोई पूणांक है।
हल:
माना कि a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। और (b = 6) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
a = 6q + r, जहाँ 0 ≤ r < 6
∵ 0 ≤ r < 6 के लिए सम्भावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 और 5 हैं।
∴ a = 6q + 0 या a = 6q + 1
या a = 6q + 2 या a = 6q + 3
या a = 6q + 4 या a= 6q + 5
के रूप का हो सकता है।
जहाँ q = भागफल है तथा a = विषम पूर्णांक हैं।
∴ यह 6q, 6q + 2, 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता है। [सभी 2 से विभाज्य हैं।]
अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का हो सकता है।

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं ?
हल:
सेना के दो समूहों वाले बैण्ड की कुल संख्या 616 और 32 है।
∵ हमें स्तम्भों की अधिकतम संख्या ज्ञात करनी है।
∴ अधिकतम संख्या के लिए HCF निकालेंगे।
चरण 1. ∵ 616 > 32, ∴ 616 और 32 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,

616 = 32 × 19 + 8

चरण 2. ∵ शेषफल 0 नहीं है।
∴ 8 और 32 पर पुन: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,

32 = 8 × 4 + 0
यहाँ शेषफल 0 है।
∵ चरण 2 में भाजक 8 है।
∴ 616 और 32 का H.C.F. = 8
अतः मार्च करने के लिए अधिकतम स्तम्भों की संख्या = 8.

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है तब यह 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का होता है।
अतः इसकी तीन स्थितियाँ सम्भव हैं।
स्थिति I: जब a = 3q
⇒ (a)² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m (जहाँ 3q² = m है)
स्थिति II : a = 3q + 1
⇒ (a)² = (3q + 1)² = 9q² + 6q + 1
= 3q (3q + 2) + 1 = 3m + 1 [जहाँ m = q(3q + 2) है]
स्थिति III: 3q + 2
⇒ (a)² = 3q + 2
(a)² = (3q + 2)²
= 9q² + 12q + 4
= (9q² + 12q + 3) + 1
= 3 (q² + 4q + 1) + 1
= 3m + 1
[जहाँ m = q² + 4q + 1 है]
a² के सभी विस्तारों से स्पष्ट है कि a², 3 से विभाजित होता है और शेषफल या तो शून्य बचता है या 1 बचता है।
अतः किसी धन पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3b या 3b + 1 या 3b + 2 के रूप का होता है।
अतः इसकी तीन स्थितियाँ सम्भव हैं।
स्थिति I: जब a = 3b तो
(a)³ = (3b)³ = 27b³ = 9(3b³) = 9m ……(1)
[जहाँ m = 3b³ है।]
स्थिति II: जब a = 3b + 1 तो
a³ = (3b + 1)³
⇒ a³ = (3b)³ + 3.3b.1 (3b + 1) + (1)³
⇒ a³ = (27b³ + 27b² + 9b) + 1
⇒ a³ = 9[3b³ + 3b² + b] + 1.
a³ = 9m + 1 ……(2)
[जहाँ m = 3b³ + 3b² + b]
स्थिति III: जब a = 3b + 2 तो a³ = (3b + 2)³
⇒ a³ (3b)³ + 3.3b.2(3b+2) + (2)³
⇒ a³ = [27b³ + 18b(3b + 2)] + 8
⇒ a³ = 9[3b³ + 6b² + 4b] + 8
⇒ a³ = 9m + 8
[जहाँ m= 3b³ + 6b² + 4b] … (3)
समीकरण (1), (2) व (3) को देखने पर हम पाते हैं कि a³, 9 से भाग्य है।
तब इन्हें क्रमश: a³ = 9m
या a³ = 9m + 1
या a³ = 9m + 8 लिखा जा सकता है।
अतः किसी धन पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Exercise 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
महिला बल्लेबाज द्वारा 30 गेंदें खेली गई।
∴ चौका मारे जाने के कुल सम्भावित परिणाम = 30
तथा चौका लगने के अनुकूल परिणाम = 6
अतः चौका मारे जाने की प्रायिकता

= \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
तब, चौका न मारे जाने की प्रायिकता
= 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
अतः महिला बल्लेबाज द्वारा चौका न मारे जाने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है।

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यादृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आँकड़े लिए गए है:

परिवार में लड़कियों की संख्या	परिवारों की संख्या
2	475
1	814
0	211

यादृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों, (ii) एक लड़की हो, (iii) कोई लड़की न हो।
साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल:
(i) कुल सम्भावित परिणाम परिवारों का कुल योग
= 475 + 814 + 211 = 1500
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 लड़कियों वाले परिवार
= 475
एक परिवार में दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता,

(ii) अनुकूल परिणामों की संख्या = एक लड़की वाले परिवार = 814.
अतः परिवार में लड़की होने की प्रायिकता
P(E₂) = \(\frac{814}{1500}=\frac{407}{750}\)
(iii) अनुकूल परिणामों की संख्या = 0 लड़कियों वाले परिवार = 211
अतः परिवार में लड़की न होने की प्रायिकता
P(E₃) = \(\frac{211}{1500}\)
सभी प्रायिकताओं का योग = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
= \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}\)
= \(\frac{475+814+211}{1500}=\frac{1500}{1500}\) = 1
अतः सभी प्रायिकताओं का योगफल 1 है।

प्रश्न 3.
अध्याय 14 अनुच्छेद 144 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
अध्याय 14 अनुच्छेद 14.4 पृष्ठ 296 पर उदाहरण 5 निम्न है।
आयत चित्र देखने से स्पष्ट है कि 40 विद्यार्थियों में से अगस्त में जन्म लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या 6 है।

अतः किसी विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये है:

परिणाम	बारम्बारता
3 चित	23
2 चित	72
1 चित	77
कोई भी चित नहीं	28

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाये, तो दो के चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 3 सिक्के एक साथ 200 बार उछाले जाते हैं, तो सम्भावित कुल परिणामों की संख्या = 200
तथा अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 चित आने के परिणाम = 72
2 चित आने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
एक कम्पनी ने यादृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आँकड़े सारणी में दिए गए हैं:

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय ₹ 10000-13000 रु. प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रतिमाह ₹ 16000 या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।
(iii) की आय ₹ 7000 प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय ₹ 13000-16000 प्रतिमाह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
हल:
(i) आय स्तर ₹ 10000-13000 प्रतिमाह के परिवार में वाहनों की संख्या 2 है। ऐसे परिवारों की संख्या = 29.
अतः प्रायिकता

(ii) जिनकी आय प्रतिमाह ₹ 16000 या अधिक है और उनमें 1 वाहन है। ऐसे परिवारों की संख्या = 579
परिवारों की कुल संख्या = 2400
अतः परिवार में 1 वाहन होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{579}{2400}\)

(iii) जिनकी आय ₹ 7000 से कम है जोकि वाहन रहित हैं। ऐसे परिवारों की संख्या = 10 है।
कुल परिवारों की संख्या = 2400
अतः परिवार में वाहन न होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{10}{2400}=\frac{1}{240}\)

(iv) ऐसे परिवारों की संख्या जिनकी प्रतिमाह आय ₹ 13000-16000 है और उन परिवारों में 2 से अधिक वाहन हैं = 25
परिवारों की कुल संख्या = 2400
अतः परिवार में दो से अधिक वाहन होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{25}{2400}=\frac{1}{96}\)

(v) ऐसे परिवार जिनके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है में वे परिवार भी सम्मिलित होंगे जिनके पास कोई भी वाहन नहीं हैं।
अतः एक से अधिक वाहन न होने के अनुकूल परिणाम
= 10 + 1 + 2 + 1 + 160 + 305 + 535 + 469 + 5 + 79 = 2062
अतः 1 से अधिक वाहन न होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{2062}{2400}=\frac{1031}{1200}\)

प्रश्न 6.
निम्न सारणी में विद्यार्थियों के गणित में प्राप्तांक और उनकी संख्या दी गई है:

अंक	विद्यार्थियों की संख्या
0-20	7
20-30	10
30-40	10
40-50	20
50-60	20
60-70	15
70 से अधिक	8
कुल योग	90

अधिकतम अंक = 100
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = गणित में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 90.
(i) सारणी में, 20% अंकों से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 7.
P(20% से कम अंक) = \(\frac{7}{90}\)
(ii) दी गई सारणी में 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 15 + 8 = 23
∴ P (60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करना) = \(\frac{23}{90}\)

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:

मत	विद्यार्थियों की संख्या
पसन्द करते हैं	135
पसन्द नहीं करते हैं	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी : (i) सांख्यिकी पसन्द करता है (ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है।
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = विद्यार्थियों की कुल संख्या = 200
(i) अनुकूल परिणामों की संख्या सांख्यिकी पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 135
अतः चयनित छात्र के सांख्यिकी पसन्द करने की प्रायिकता,

(ii) तब सांख्यिकी न पसन्द करने की प्रायिकता,
P(E’) = 1 – P(E) = 1 – \(\frac{27}{40}=\frac{13}{40}\)

प्रश्न 8.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्यस्थल की दूरियाँ (किमी में) निम्नलिखित हैं :

इसकी आनुभाविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर:
(i) अपने कार्यस्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहते हैं ?
(ii) अपने कार्यस्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहते हैं ?
(ii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) किमी या इससे कम दूरी पर रहते हैं?
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = इंजीनियरों की कुल संख्या = 40
अनुकूल परिणामों की संख्या = कार्यस्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहने वाले इन्जीनियरों की संख्या
= 5, 3, 2, 3, 5, 3, 2, 6, 6
= 9
(i) अतः अभीष्ठ प्रायिकता

(ii) एक इंजीनियर के 7 किमी या अधिक दूर निवास करने की प्रायिकता = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{9}{40}=\frac{31}{40}\)

(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) किमी या कम दूरी पर निवास करने वाले इंजीनियरों की संख्या = शून्य
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac{0}{40}\) = शून्य

प्रश्न 9.
क्रियाकलाप-अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय अन्तराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की स्वयं प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
निम्न प्रारूप पर सूचना एकत्र कीजिए:

तब गुजरने वाले वाहन के दो पहिया होने की प्रायिकता = \(\frac{P}{N}\)

प्रश्न 10.
क्रियाकलाप आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को बादृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 3 से भाज्य हो।
हल:
तीन अंकों वाली संख्याएँ 100 से प्रारम्भ होकर 999 तक हैं। 100 से 999 तक के बीच कुल सम्भावित संख्याएँ 900 हैं। इन नौ सौ संख्याओं में प्रत्येक तीसरी संख्या 3 से विभाज्य होगी।
इस प्रकार 3 अंकों वाली कुल संख्याएँ = 900
3 से विभाज्य 3 अंकों वाली कुल संख्याएँ = \(\frac{900}{3}\)
अतः छात्र द्वारा लिखी गई संख्या 3 से विभाज्य होने की प्राविकता = \(\frac{300}{900}\) = \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 11.
आटे की उन ग्यारह थैलियों में जिन पर 5 किग्रा अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (किग्रा में) हैं:
4.97, 5,05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 किग्रा से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = थैलियों की संख्या = 11
अनुकूल परिणामों की संख्या = (5 किग्रा से अधिक वजन वाली थैलियों की संख्या) = 07
∴ चुनी गई थैली के 5 किग्रा से अधिक होने की
प्रायिकता,

प्रश्न 12.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [Parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आंकड़े ये हैं:

किसी एक दिन वर्ग अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइऑक्साइड के सान्दण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्ग-अन्तराल 0.12-0.16 के अन्तर्गत प्रविष्टियाँ = 0.12, 0.13 = 02
∴ चुने गए दिन के लिए सल्फर डाइऑक्साइड के सान्द्रण के कुल सम्भावित परिणाम = 30
और अनुकूल परिणाम = 02
अत: सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रता 0.12 – 0.16 ppm होने की प्रायिकता,

प्रश्न 13.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं:
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O,
कक्षा से यादृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
सम्भावित परिणाम कुल विद्यार्थियों की संख्या = 30
अनुकूल परिणाम = रक्त समूह AB वाले विद्यार्थियों की संख्या = 3
अतः चुने गये विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता,

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.4

प्रश्न 1.
एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए 2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3
इन गोलों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:

पुनः 3 का आँकड़ा सबसे अधिक अर्थात् 4 बार आया है। अतः बहुलक = 3.

प्रश्न 2.
गणित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए:
41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60
इन आँकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:

दिये गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर
39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98.
यहाँ N = 15 पद है, जो कि विषम है।
∴ माध्यिका = \(\frac{N+1}{2}\) वाँ पद = \(\frac{15+1}{2}\) वाँ पद = 8वाँ पद
अतः प्राप्तांकों का माध्यक = 8वें पद का मान = 52
प्राप्त आँकड़ों से स्पष्ट है कि सबसे प्राप्तांक 52, 3 छात्रों के हैं जो सर्वाधिक हैं।
∴ दिये गये आँकड़ों का बहुलक = 52.

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आँकड़ों का माध्यक 63 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए:
29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95
हल:
पदों की संख्या (N) = 10, सम संख्या हैं।


अत: x का मान 62 है।

प्रश्न 4.
आँकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:

सबसे अधिक बारम्बारता 4 है। इसके संगत चर का मान 14 है।
अत: बहुलक = 14.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी से एक फैक्ट्री में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात कीजिए :

वेतन (रुपयों मे)	कर्मचारियों की संख्या
3000	16
4000	12
5000	10
6000	8
7000	6
8000	4
9000	3
10000	1
कुल योग	60

हल:
माध्य वेतन की आगणन तालिका

वेतन रुपये में (x)	कर्मचारियों की संख्य (f)	(f × x)
3000	16	48000
4000	12	48000
5000	10	50000
6000	8	48000
7000	6	42000
8000	4	32000
9000	3	27000
10000	1	10000
येग	Σ f = 60	Σ fx = 305000

माध्य = \(\frac{\sum f x}{\sum f}\) = \(\frac{305000}{60}=\frac{15250}{3}\) = 5083.33
अतः फैक्ट्री के 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन = ₹ 5083.33 रु.।

प्रश्न 6.
निम्न स्थिति पर आधारित एक उदाहरण दीजिए:
(i) माध्य ही केन्द्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप है।
(ii) माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप नहीं है, जबकि माध्यक एक उपयुक्त माप है।
हल:
(i) माध्य सम्बन्धित आँकड़ों का औसत (Average) होता है। अतः यह केन्द्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप है;
जैसे : चार विद्यार्थियों के अंग्रेजी के टेस्ट में प्राप्तांक क्रमश: 6, 5, 4 और 9 है इनका माध्य = \(\frac{6+4+5+9}{4}=\frac{24}{4}\) = 6
जो कि यह प्रमाणित करता है कि यह सभी प्राप्तांकों के निकट है और उनका प्रतिनिधित्व करने में सक्षम है।
(ii) मान लिया किसी मिनी बस में किन्हीं 5 दिनों में क्रमश: 10, 16, 24, 20 और 13 यात्री यात्रा करते हैं, तब इसमें प्रतिदिन यात्रा करने वाले यात्रियों का माध्य = \(\frac{10+16+24+20+13}{5}=\frac{83}{5}\) = 16.6.
परन्तु 16.6 वास्तविक यात्रियों के किसी भी प्रेक्षण का प्रतिनिधित्व नहीं करता क्योंकि अपूर्ण यात्रियों की सम्भाव्यता ही परिकल्पना से परे है। इस प्रकार माध्य केन्द्रीय प्रवृत्ति की वास्तविक एवं उपयुक्त माप नहीं है।
अब यदि हम इनके माध्यक पर विचार करें, तो
आरोही क्रम में आँकड़ों को व्यवस्थित करने पर 10, 13, 16, 20, 24
n = 5, माध्यक पद = \(\frac{N+1}{2}=\frac{5+1}{2}\) = 3वाँ पद पद
∴ माध्यक = 3वें पद का मान = 16 यात्री
अतः माध्यक केन्द्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (% में) प्राप्त किए :

क्र.सं.	कारण	महिला मृत्यु दर
1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
2.	तंत्रिका मनोविकारी अवस्था	25.4
3.	क्षति	12.4
4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5.	श्वसन अवस्था	4.1
6.	अन्य कारण	22.0

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौन-सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?
(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए, जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।
हल:
(i) दी गई सूचनाओं का आलेखीय निरूपण :
बनाने की विधि :
(1) X-अक्ष पर विभिन्न बीमारी तथा मृत्यु के कारणों को सुविधानुसार समान अन्तराल पर प्रदर्शित किया जाता है। X-अक्ष पैमाना = 1 कारण = सेमी
(2) X- अक्ष पर बीमारी अथवा मृत्यु का प्रतिशत प्रदर्शित किया जाता है।
पैमाना = 1 सेमी = 2%

(ii) जनन स्वास्थ्य अवस्था का प्रतिशत (31.8) सर्वाधिक है। अतः यह पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्युं का सबसे बड़ा कारण है।
(iii) (a) पुनरुत्पादी स्वास्थ्य अवस्था (b) अपरिपक्व आयु में प्रजनन।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आँकड़े नीचे दिए गए हैं:

क्र. सं.	क्षेत्र	प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
1.	अनुसूचित जाति	940
2.	अनुसूचित जनजाति	970
3.	गैर-अनुसूचित जाति/जनजाति	920
4.	पिछड़े जिले	950
5.	गैर-पिछड़े जिले	920
6.	ग्रामीण	930
7.	शहरी	910

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दण्ड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
(i) दण्ड चित्र (आलेख) बनाने की विधि :
(1) X-अक्ष पर विभिन्न क्षेत्रों को प्रदर्शित करते हैं किन्हीं दो क्षेत्रों के मध्य समान अन्तराल रखा जाता है।
पैमाना, 1 क्षेत्र = 1 सेमी
(2) Y-अक्ष पर लड़कियों की संख्या को प्रदर्शित करते हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु O को 900 मानकर, पैमाना निर्धारित करते हैं। Y-अक्ष पर पैमाना, 1 सेमी = 10 लड़कियाँ इस प्रकार O से ऊपर प्रत्येक सेमी पर 910, 920……. आदि अंकित करते हैं।

(ii) आलेख के निष्कर्ष :
(1) अनुसूचित जनजाति में (प्रति हजार लड़कों पर) लड़कियों की संख्या सर्वाधिक है।
(2) गैर-पिछड़े जिलों की अपेक्षा पिछड़े जिलों में (प्रति हजार लड़कों पर) लड़कियों की संख्या अधिक है।
(3) शहरी क्षेत्रों की अपेक्षा ग्रामीण क्षेत्रों में (प्रति हजार लड़कों पर) लड़कियों की संख्या अधिक है।

प्रश्न 3.
एक राज्य की विधान सभा के चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं:

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनीतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?
हल:
(i) दण्ड आलेख बनाने की विधि :
(1) X- अक्ष पर विभिन्न राजनीतिक पार्टियों को प्रदर्शित करते हैं। दो पार्टियों के मध्य समान अन्तर रखते हैं।
X-अक्ष पर पैमाना, 1 पार्टी = 1 सेमी.
(2) Y-अक्ष पर जीती गयी सीटें प्रदर्शित की जाती हैं।
Y-अक्ष पर पैमाना, 10 सीटें = 1 सेमी.

(ii) A पार्टी द्वारा जीती गयी सीटों से सम्बन्धित आयत की ऊँचाई सर्वाधिक है।
अत: A पार्टी से अधिकतम सीटें जीती हैं।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है:

लम्बाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
118-126	3
127-135	5
136-144	9
145-153	12
154-162	5
163-171	4
172-180	2

(i) दिए हुए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।
(ii) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है ?
(iii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों ?
हल:
(i) आयत चित्र बनाने की विधि :
(1) दिये गये आँकड़ों के वर्ग असतत हैं। इसका सबसे बड़ा दोष यह है कि इसमें उन पौधों की लम्बाइयाँ शामिल नहीं हैं जिनकी लम्बाई पूर्णांक अर्थात् 126.5 मिमी अथवा 153.5 मिमी है। इस दोष के निवारण हम इन वर्गों को सतत वर्गों में बदलेंगे। एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का अन्तर है अर्थात् इस बारम्बारता वितरण को सतत बनाने के लिए हम प्रत्येक निम्न सीमा में से \(\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\) = 0.5 घटायेंगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।
(2) X-अक्ष व Y-अक्ष खींचते हैं।
(3) X-अक्ष पर पत्तियों की लम्बाइयाँ प्रदर्शित करते हैं। पैमाना, 1 सेमी = 9 मिमी दो क्रमागत वर्गों के बीच क् स्थान नहीं छोड़ते हैं।
(4) Y-अक्ष पर पत्तियों की संख्या प्रदर्शित करते हैं।
Y-अक्ष पर पैमाना = 1 सेमी = 1 पत्ती।

पत्तियों की लम्बाइयाँ		पत्तियों की संख्या (बारम्बारता)
असतत वर्ग	सतत वर्ग
118-126	117.5-126.5	3
127-135	126.5-135.5	5
136-144	135.5-144.5	9
145-153	144.5-153.5	12
154-162	153.5-162.5	5
163 – 171	162.5-171.5	4
172-180	171.5-180.5	1

(5) आयतों के ऊपरी सिरों पर सम्बन्धित वर्गों की बारम्बारताएँ अंकित करते हैं।

(ii) हाँ, इन आँकड़ों को बारम्बारता बहुभुज द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।
(iii) वर्ग अन्तराल (144.5-153.5) मिमी के अन्तर्गत 153 मिमी आता है; अतः इस वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक है। यह निष्कर्ष सही नहीं है क्योंकि 153 मिमी लम्बाई की पत्तियों की संख्या सर्वाधिक है तथा यह अधिकतम बारम्बारता पूरे वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है न कि मात्र 153 मिमी का।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 निऑन लैम्पों के जीवन काल दिए गए हैं:

जीवन काल (घण्टों में)	लैम्पों की संख्या
300-400	14
400-500	56
500-600	60
600-700	86
700-800	74
800-900	62
900-1000	48

(i) एक आयत चित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैम्पों के जीवन काल 700 घण्टों से अधिक हैं ?
हल:
(i) बनाने की विधि :
(1) X-अक्ष पर जीवन काल को प्रदर्शित करते हैं।
(2) Y-अक्ष पर लैम्पों की संख्या को प्रदर्शित करते हैं।
(3) वर्गों की चौड़ाई को आधार मानकर और लैम्पों की संख्या को ऊँचाई मानकर लिए गए पैमानों के सापेक्ष आयत चित्र आलेख बनाते हैं।

(ii) वर्ग (700-800), (800-900), व (900-1000), वर्गों के जीवन काल 700 से अधिक घण्टों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
∴ 700 घण्टों से अधिक जीवन-काल वाले लैम्पों की संख्या = सम्बन्धित वर्षों की बारम्बारताओं का योग
= 74 + 62 + 48
= 184 लैम्प।
उत्तर

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बण्टन दिया गया है:

दो बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों वनों के प्राप्तांक विरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।
हल:
बारम्बारता बहुभुज बनाने की विधि:
(1) X-अक्ष पर दिए हुए अंकों के वर्ग अन्तराल प्रदर्शित किए गए हैं।
यहाँ पैमाना सेमी = 10 अंक
(2) Y-अक्ष पर पैमाना : 1 सेण्टीमीटर = 2 विद्यार्थियों की संख्या (बारम्बारता प्रदर्शित की गयी है।)
(3) प्रत्येक बारम्बारता को y अक्ष के निर्धारित अंक के सामने तथा X-अक्ष के संगत वर्ग अन्तराल के मध्य में बिन्दु रूप में प्रदर्शित किया गया है।
(4) दोनों सेक्शनों से प्राप्त बिन्दुओं को क्रमशः मुक्त हस्त से मिलाने पर दो वक्र प्राप्त होते हैं जो X-अक्ष के साथ अभीष्ट बहुभुज प्राप्त होते हैं।
दोनों सेक्शन A हेतु बहुभुज = B C D E F
सेक्शन B हेतु बहुभुज = B’ C’ D’ E’ F’


दोनों आलेखों की तुलना :
दोनों आलेखों में सेक्शन A के उच्च स्तर के बिन्दु D, E, F तथा सेक्शन B के समान स्तरीय बिन्दु D’, E’, F’ से अधिक ऊँचाई पर हैं।
अत: सेक्शन A का परिणाम सेक्शन B की अपेक्षा उत्तम है।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन नीचे दिए गए हैं:

गेंदों की संख्या	टीम A	टीम B
1-6	2	5
7-12	1	6
13-18	8	2
19-24	9	10
25-30	4	5
31-36	5	6
37-42	6	3
43-48	10	4
49-54	6	8
55-60	2	10

बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आँकड़े निरूपित कीजिए।
हल:
बारम्बारता बहुभुज आलेख बनाने की विधि :
(1) दिए हुए वर्ग असतत हैं। प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और उपरी सीमा में 0.5 जोड़कर इन्हें सतत बना लेते हैं

(2) X- अक्ष पर गेंदों की संख्या को प्रदर्शित करते हैं। पैमाना 1 सेमी = 5 गेंद
(3) तालिका में दिए गए बिन्दुओं को B (3.5, 2), C, (9.1, 1)… आदि को अंकित करके मिलाने पर क्रमश:
बहुभुज
टीम A – B C D E F G H I J K तथा टीम B – B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’ I’ J’ K’ प्राप्त होते हैं।
(4) Y-अक्ष पर बनाए गए रनों को प्रदर्शित करते हैं। Y-अक्ष पर पैमाना 1 सेमी = 1 रन
(5) प्रथम वर्ग (0.5 – 6.5) के ठीक पूर्व एक कल्पित वर्ग लेकर उसका मध्य बिन्दु A ज्ञात किया।
(6) अन्तिम वर्ग (54.5 – 60.5) के ठीक पश्चात् एक कल्पित वर्ग लेकर उसका मध्य-बिन्दु L ज्ञात किया।

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए:

आयु (वर्षो में)	बच्चों की संख्या
1-2	5
2-3	3
3-5	6
5-7	12
7-10	9
10-15	10
15-17	4

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।
हल:
आयत चित्र बनाने की विधि:
(1) X-अक्ष पर उचित पैमाना लेकर आयु (वर्षो में) अंकित कर माना पैमाना, 1 सेमी = 1 वर्ष
(2) Y-अक्ष पर उचित पैमाना लेकर बच्चों की संख्या अंकित कर माना पैमाना 1 सेमी = 1 बच्चा
(3) वर्ग का अन्तराल भिन्न-भिन्न है। समायोजित बारम्बारता ज्ञात करनी होगी।

यहाँ न्यूनतम वर्ग का अन्तर = 2 – 1 = 1 है।
(5) वर्गों की चौड़ाई के सापेक्ष आयतों की लम्बाई के लिए एक सारणी निम्नवत् बनाई:

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारम्बारता बंटन प्राप्त किया गया :

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुल नामों की संख्या
1-4	6
4-6	30
6-8	44
8-12	16
12-20	4

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अन्तराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुल नाम हैं।
हल:
(i) बनाने की विधि :
(a) यहाँ वर्ग आकार अलग-अलग हैं इसलिए समायोजित बारम्बारता की गणना करेंगे।

इस प्रश्न में न्यूनतम वर्ग-अन्तराल = 6 – 4 = 2 है।
अतः हमें निम्नलिखित समायोजित बारम्बारता प्राप्त होगी।

(b) X-अक्ष पर पैमाना : 1 सेमी = 2 इकाई मानकर वर्ग अन्तराल को अंकित करते हैं।
(c) Y-अक्ष पर पैमाना : 1 सेमी = 4 इकाई मात्रक मानकर आयत लम्बाई (समायोजित बारम्बारता) को अंकित करते हैं।

(ii) अधिकतम कुलनाम वर्ग-अन्तराल 6-8 में पड़ते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O इन आँकड़ों को एक बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-स रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल:

सारणी से स्पष्ट है कि रक्त समूह O की बारम्बारता सर्वाधिक है अतः यह अधिक सामान्य है और रक्त समूह AB की बारम्बारता सबसे कम है, अतः यह विरलतम (कम) है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अन्तराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
हल:
इन आँकड़ों में न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ (किमी) क्रमशः 2 और 32 हैं। प्रश्न से स्पष्ट है कि प्रथम वर्ग अन्तराल 0-5 है और विस्तार समान है अतः समान आकार के वर्ग निम्न प्रकार से प्राप्त होते हैं:
0 – 5, 5 – 10, 10 – 15, 15 – 20, 20 – 25, 25 – 20 और 30 – 35
अतः बारम्बारता सारणी निम्नवत् है:

आँकड़ों की उच्चतम सीमा 35 इस वर्ग तालिका में शामिल नहीं है। इसी प्रकार तालिका से स्पष्ट हैं कि न्यूनतम दूरी भी आँकड़ों में सम्मिलित नहीं है अतः कोई भी इन्जीनियर कार्य स्थल पर निवास नहीं करता। अत: 0-5 किमी वर्ग में अपने काम पर जाने के लिए 5 किमी चली दूरी इस वर्ग में नहीं आयेगी। वह अपने वर्ग 5-10 में आयेगी। अतः निष्कर्ष यह निकलता है कि 40 में 27 इंजीनियरों का कार्यस्थल उनके घर से 15 किमी से अधिक नहीं है।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (% में) यह रही है:

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से सम्बन्धित हैं ?
(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सापेक्षिक आर्द्रता (% में) 84.9 और 99.2 है और वर्ग 84-86, 86-88,…. आदि समान आकार के हैं।
अतः बारम्बारता सारणी :

(ii) सापेक्षिक आर्द्रता अधिक है। अतः ये आँकड़े वर्षा ऋतु के हैं।
(iii) परिसर = अधिकतम आर्द्रता – न्यूनतम सापेक्ष आर्द्रता
= 99.2 – 84.9 = 14.3

प्रश्न 4.
निकटतम सेण्टीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ ये हैं:

(i) 160 – 165, 165 – 170 आदि का वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लम्बाइयों के सम्बन्ध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
(i) इन आँकड़ों में अधिकतम और न्यूनतम लम्बाई क्रमशः 150 सेमी और 173 सेमी दी गयी हैं। दो वर्गअन्तराल 160 – 165 एवं 165 – 170
दिए गए है जिनकी समान वर्ग माप 165 – 160 = 170 – 165 = 5 है।
अतः समान आकार के वर्ग 150 – 155,155 – 160,…… 170 – 175 हैं अतः बारम्बारता सारणी निम्न है :

(ii) इस सारणी से यह निष्कर्ष निकलता है कि 50% से अधिक छात्रों की लम्बाई 165 सेमी से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं :.

(i) 0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08 आदि का वर्ग अन्तराल लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाइऑक्साइड की सान्दता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सल्फर डाइऑक्साइड की सान्द्रता क्रमशः 0.01 और 0.22 है। वर्गमाप समान दी है तथा एक वर्ग 0.00 – 0.04 ज्ञात है।
अतः वर्ग समान आकार के होंगे जो निम्न हैं:
0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08,……, 0.20 – 0.24
अतः बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक सीमा वाले वर्ग और उनकी बारम्बारता :

अत: सल्फर डाइऑक्साइड का वायु में सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक 8 दिनों तक रहा।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न प्रकार है:

ऊपर दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
चित आने की न्यूनतम संख्या = 0 और अधिकतम संख्या = 3
बारम्बारता सारणी निम्न है :

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध का मान नीचे दिया गया है:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारम्बारता बंटन बनाइए ।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
हल:
(i) 0 से 9 तक के अंकों की बारम्बारता बंटन सारणी

(ii) सारणी से स्पष्ट है कि सबसे कम बार शून्य का अंक और सबसे अधिक बार 3 और 9 का अंक आया है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घण्टों तक टी. वी. प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं:

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अन्तराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा?
हल:
(i) सबसे कम तथा अधिक टी. वी. देखने का समय क्रमश: 1 घण्टा और 17 घण्टे हैं। वर्ग अन्तराल 5-10 ज्ञात है। अत: समान आकार के वर्ग अन्तराल होंगे : 0-5, 5-10, 10-15 और 15-20.
अतः वर्ग बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) 2 बच्चे सप्ताह में 15 या अधिक घण्टे टी. वी. देखते हैं।

प्रश्न 9.
एक कम्पनी एक विशेष प्रकार की कार बैटरी बनाती है। इस प्रकार की 40 बैटरियों के जीवन काल (वर्षो में) ये रहे हैं:

0.5 माप के वर्ग अन्तराल लेकर तथा अन्तराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
बैटरी का न्यूनतम तथा अधिकतम जीवन काल क्रमशः 2.2 वर्ष तथा 4.6 वर्ष है।
वर्गमाप 0.5 है अतः वर्ग-अन्तराल है 2.0-2.5, 2.5-3.0 3.0-3.5,….., 4.5-5.0
अतः बारंबारता सारणी निम्न है :

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दीजिए जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं।
हल:
उन आँकड़ों के उदाहरण जिन्हें हम दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं:

• हमारी कक्षा में छात्रों की संख्या।
• हमारे स्कूल में पंखों की संख्या।
• हमारे घर का पिछले दो साल का बिजली का बिल।
• टी. वी. और अखबार से प्राप्त मतदान परिणाम।
• शैक्षिक सर्वे से प्राप्त साक्षरता दर के आँकड़े आदि।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़ों या गौण आँकड़ों में वर्गीकृत कीजिए।
हल:
प्रश्न 1 में दिए गये प्रथम तीन उदाहरण (i), (ii) व (iii) प्राथमिक आँकड़ों के हैं, क्योंकि इनका संग्रह स्वयं किया गया है।
उदाहरण (iv) और (v) गौण आँकड़ों के हैं, क्योंकि इनका संग्रह स्वयं न करके किसी दूसरे स्रोतों से प्राप्त किया गया है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुक – शैल्फ की बाहरी विमाएँ निम्न हैं:
ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी (देखिए आकृति)।
प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेण्ट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी है और पेण्ट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है, तो इस बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेण्ट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

बुक शैल्फ समान लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई वाले तीन घनाभाकार बॉक्स से बनी है।
हमें प्रत्येक बॉक्स का अलग-अलग पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

बॉक्स की ऊँचाई:
शैल्फ की ऊँचाई = 110 सेमी तथा बीच में प्रत्येक 5 सेमी मोटाई के 4 तख्ते ऊँचाई में हैं।
तब बिना तख्तों के शैल्फ की ऊँचाई = (110 – 4 × 5 ) सेमी
= 90 सेमी
∴ बॉक्स की ऊँचाई = \(\frac{90}{3}\) सेमी = 30 सेमी

बॉक्स की लम्बाई :
इसी प्रकार शैल्फ की लम्बाई = 85 सेमी तथा दोनों ओर 2 तख्ते लम्बाई में हैं।
अतः बिना तख्तों के शैल्फ की लम्बाई = (85 – 2 × 5) सेमी = 75 सेमी
∴ प्रत्येक बॉक्स की लम्बाई = 75 सेमी

बॉक्स की चौड़ाई:
शैल्फ की चौड़ाई = 25 सेमी तथा इसमें केवल एक तख्ता है।
अतः बिना तख्ते के शैल्फ की चौड़ाई = (25 – 5) सेमी = 20 सेमी
∴ बॉक्स की चौड़ाई = 20 सेमी

बक्सों का पृष्ठीय क्षेत्रफल :
1 बॉक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl)
= 2 (75 × 20 + 20 × 30 + 30 × 75) सेमी²
= 2(1500 + 600 + 2250) सेमी²
= 2 × 4350 = 8700 सेमी²
इस घनाभाकार शैल्फ में सामने की ओर का खुला 1 फलक सम्मिलित नहीं है।
∴ फलक का क्षेत्रफल = l × h
= 75 सेमी × 30 सेमी = 2250 सेमी²
बॉक्स का वास्तविक पृष्ठीय क्षेत्रफल = (8700 – 2250) = 6450 सेमी²
3 बाक्सों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6450 = 19350 सेमी²
अतः आन्तरिक फलक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 19350 सेमी²
अतः 10 पैसे प्रति सेमी² की दर से पेण्ट करने का व्यय = 0.10 × 19350 = 1,935
सम्पूर्ण शैल्फ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (85 × 25 + 25 × 110 + 110 × 85 ) सेमी ²
= 2(2125 + 2750 + 9350) सेमी²
= 2 × 14225 = 28450 सेमी²
∴ शैल्फ सम्पूर्ण घनाभ न होकर सामने के तीन फलक खुले हुए हैं। इन तीन फलकों में से प्रत्येक फलक की लम्बाई 75 सेमी तथा चौड़ाई 30 सेमी है।
∴ 1 फलक का क्षेत्रफल = 75 × 30 सेमी²
= 2250 सेमी²
∴ 3 फलकों का क्षेत्रफल = 3 × 2250 सेमी²
= 6750 सेमी²
∴ शैल्फ का वास्तविक बाहरी क्षेत्रफल = (28450 – 6750) सेमी²
= 21700 सेमी²
20 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से शैल्फ पर पॉलिश का खर्च = ₹ 0.20 × 21700 = ₹ 4,340
अतः पॉलिश और पेण्ट में कुल खर्च = ₹ (4,340 + 1,935)
= ₹ 6,275

प्रश्न 2.
किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाता है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेण्ट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेण्ट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेण्ट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी है तथा काले रंग के पेण्ट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी² हो, तो पेण्ट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन की त्रिज्या (r) = 1.5 सेमी
तथा बेलन की ऊँचाई = 7 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1.5 × 7 सेमी² = 66 सेमी²

∴ 8 बेलनों का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 8 × 66 सेमी²
= 528 सेमी²
काले रंग का पेण्ट करने वाले भाग का क्षेत्रफल = 528 सेमी²
∴ काले रंग करने का व्यय = ₹ 0.05 × ₹ 528
= ₹ 26.40
लकड़ी के गोले का व्यास = 21 सेमी
लकड़ी के गोले की त्रिज्या = \(\frac{21}{2}\) सेमी
लकड़ी के एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\)
= 1386 सेमी²
बेलनाकार आधार का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 1.5 × 1.5 सेमी²
= \(\frac{49.50}{7}\) सेमी²
= 7.1 सेमी² (लगभग)।
पेण्ट कराने के लिए आवश्यक क्षेत्रफल = 1386 – 7.1 = 1378.9 सेमी²
तथा 8 गोलों का पेण्ट कराने का क्षेत्रफल = 8 × 1378.9 सेमी²
= 11031.2 सेमी²
∴ चाँदी के रंग के पेण्ट का व्यय = ₹ 0.25 × ₹ 11031.2 = 2757.80
कुल पेण्ट कराने का व्यय = ₹ (26.40 + 2757.80)
= ₹ 2,784.20

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल:
गोले का व्यास = 100 सेमी
∴ त्रिज्या = \(\frac{100}{2}\) सेमी = 50 सेमी
पहले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 50 × 50 सेमी²
= 10000π सेमी²
गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है।
∴ नये गोले का व्यास = 75 सेमी
∴ त्रिज्या = \(\frac{75}{2}\) सेमी
नवनिर्मित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × \(\frac{75}{2} \times \frac{75}{2}\)सेमी²
= 5625π सेमी²
∴ क्षेत्रफल में कमी (10000π = 5625π) सेमी²
= 4375π सेमी²
अतः क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी = \(\frac{4375 \pi}{10000 \pi} \times 100 \%\)
\(\frac{4375}{100} \%\) = 43.75%

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं :
(i) 7 सेमी,
(ii) 0.63 मीटर।
हल:
(i) गोले की त्रिज्या (r) = 7 सेमी

∴ गोले का आयतन = 1437.33 घन सेमी।

(ii) गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मीटर
∴ गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.63)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 घन मीटर
= 1.047816 घन मीटर।
= 1.05 घन मीटर लगभग
अतः गोले का आयतन = 1.05 घन मीटर (लगभग)।

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्नलिखित हैं:
(i) 28 सेमी,
(ii) 0.21 मीटर
हल:
(i) गोले का व्यास = 28 सेमी
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गोले का आयतन

अतः गोला पानी हटाएगा = 11,498.67 घन सेमी।

(ii) गोले का व्यास = 0.21 मीटर
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{0.21}{2}\) मीटर
= 0.105 मीटर
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन =
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.105)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.0011576 घन मीटर
= 0.004851 घन मीटर लगभग
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 घन मीटर लगभग।

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
गेंद का व्यास = 4.2 सेमी
∴ गेंद की त्रिज्या (r) = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 सेमी
∴ गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^3\) घन सेमी
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 4 × 22 × 0.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 38.808 घन सेमी
∴ गेंद का द्रव्यमान = गेंद का आयतन × गेंद की धातु का घनत्व
= 38.808 घन सेमी × 8.9 ग्राम/घन सेमी
= 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम लगभग
अतः गेंद का द्रव्यमान = 345.39 ग्राम (लगभग)।

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल:
माना पृथ्वी का व्यास 4D मीटर है।
∴ पृथ्वी की त्रिज्या (R) = 2D मीटर
प्रश्नानुसार, चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) पृथ्वी का व्यास
∴ चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) × 4D = D मीटर
∴ चन्द्रमा की त्रिज्या r = \(\frac{D}{2}\) मीटर

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्द्ध-गोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल:
कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी
∴ कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{10.5}{2}\) सेमी
= \(\frac{105}{20}\) सेमी = \(\frac{21}{4}\) सेमी
अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन

= 303.1875 घन सेमी = 303 घन सेमी
= \(\frac{303}{1000}\) लीटर (क्योंकि लीटर 1000 घन सेमी)
= 0.303 लीटर
अतः कटोरे में 0.303 लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अर्द्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या = R
तथा भीतरी त्रिज्या = r
R = (1 + 0.01) मी., (मोटाई = 1 सेमी = 0.01 मीटर)
= 1.01 मी.
और r = 1 मीटर
टंकी में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाहरी आयतन – भीतरी आयतन

अतः टंकी में लगे लोहे का आयतन = 0.06348 मीटर³।

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सेमी

अतः गोले का आयतन लगभग 179.67 घन सेमी

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल:
(i) ₹2 प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय = ₹ 498.96
∴ गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{498.96}{2}\) मी²
= 249.48 मीटर²।
(ii) अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= \(\frac{9 \times 7}{10}\) = \(\frac{63}{10}\)
अब गुम्बद का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10}\) मी³
= 523.908 मीटर2 523.9 लगभगं
अतः गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन = 523.9 मीटर³ (लगभग)।

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठ का क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल:
(i)… गोले की त्रिज्या और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तब
S = 4πr2 …..(1)
और गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\) πr³
∴ सभी 27 गोलों का आयतन (V’) = 27 × \(\frac{4}{3}\) πr³
= 36πr³
∴ नव निर्मित गोले का आयतन = 36πr³
∵ नव निर्मित गोले की त्रिज्या r’ है अतः इस गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr’³
तब, \(\frac{4}{3}\) πr’³ = 36πr³ ⇒ r’³ = 27r³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
अतः नव निर्मित गोले की त्रिज्या 3r है (जहाँ r गोलों की त्रिज्या है)।

(ii) नव निर्मित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ = 4πr’²
= 4π(3r)²
∴ S’ = 36πr² …..(2)
समीकरण (1) व (2) से.
अपेक्षित अनुपात = \(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
अपेक्षित अनुपात = 1 : 9.

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल:
कैपसूल का व्यास = 3.5 मिमी
∴ कैप्सूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मिमी
= \(\frac{35}{20}\) मिमी = \(\frac{7}{4}\) मिमी
∴ कैप्सूल का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) मिमी³
= \(\frac{539}{24}\) मिमी³
= 22.46 मिमी³ (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए दवाई की आवश्यकता होगी = 22.46 मिमी³।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी :
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
हल:
(i) लंम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सेमी तथा ऊँचाई (h) = 7 सेमी।
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^2 \times 7\) घन सेमी
= 264 घन सेमी।
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 264 घन सेमी।

(ii) लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी
= \(\frac{7}{2}\) सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12\) घन सेमी
= 154 घन सेमी
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन = 154 घन सेमी।

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी:
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊंचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 13 सेमी है।
हल:
(i) यहाँ, r = 7 सेमी और l = 25 सेमी
माना शंकु की ऊँचाई h सेमी है, तब
∴ l² = h² + r²
h² = l² – r² = 25² – 7²
= 625 – 49
= 576
∴ h = \(\sqrt{576}\) = 24 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24\right)\) सेमी³
= 1232 सेमी³
∴ बर्तन की धारिता (लीटर में)
= \(\left(\frac{1232}{1000}\right)\) लीटर = 1.232 लीटर।

(ii) यहाँ h= 12 सेमी और l = 13 सेमी
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
तब, r² = l² – h² = 13² – 12²
= 169 – 144 = 25
⇒ r = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12\right)\) सेमी³
= \(\frac{2200}{7}\) सेमी³
∴ लीटर में बर्तन की धारिता (आयतन) = \(\left(\frac{2200}{7} \times \frac{1}{1000}\right)\) लीटर
(∵ 1000 घन सेमी = 1 लीटर)
= \(\frac{11}{35}\) लीटर।

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल:
यहाँ, h = 15 सेमी और आयतन = 1570 सेमी³
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
आयतन = 1570 सेमी³
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570
\(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
r² = \(\frac{1570}{3.14 \times 5}\) = 100
∴ r = \(\sqrt{100}\) = 10
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 4.
यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48π सेमी है। इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
शंकु की ऊँचाई (h) = 9 सेमी
शंकु का आयतन = 48π सेमी³
\(\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\) = 48π सेमी³
\(\frac{1}{3}\) × πr² × 9 = 48π
r² = \(\frac{48 \pi \times 3}{\pi \times 9}\) सेमी²
= 16 सेमी²
∴ r = \(\sqrt{16}\) सेमी = 4 सेमी
⇒ 2r = 2 × 4 सेमी = 8 सेमी
अंतः शंकु के आधार का व्यास 8 सेमी।

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्डा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है ?
हल:
गड्ढे का ऊपरी व्यास = 3.5 मीटर
∴ गड्ढे की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मीटर
= \(\frac{35}{2 \times 10}\) मीटर = \(\frac{7}{4}\) मीटर
गड्ढे की ऊँचाई (h) = 12 मीटर
∴ गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12\) मीटर³ = \(\frac{154}{4}\) मीटर³
∵ 1 मी = 1000 लीटर = 1 किलो लीटर
∴ 38.5 मी³ = 38.5 किलो लीटर
अतः गढ्ढे की धारिता = 38.5 किलो लीटर

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) शंकु की ऊंचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) शंकु के आधार का व्यास 28 सेमी
∴ त्रिज्या = r = \(\frac{28}{2}\) सेमी
= 14 सेमी
शंकु का आयतन = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
⇒ h = \(\frac{9856 \times 3 \times 7}{22 \times 14 \times 14}\)
= 48 सेमी
अतः शंकु की ऊँचाई = 48 सेमी।

(ii) माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है, तब
l² = h² + r²
= 48² + 14²
= 2304 + 196 = 2500
∴ l = \(\sqrt{2500}\) = 50 सेमी
अतः शंकु की तिर्यक् ऊँचाई = 50 सेमी

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50
= 2,200 सेमी²।

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ ΔABC को 12 सेमी वाली भुजा AB के परित: घुमाए जाने पर प्राप्त निम्नलिखित शंक्वाकार ठोस आकृति प्राप्त होती हैं जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई AB = 12 सेमी
और शंकु की त्रिज्या CB = शंकु की दूसरी भुजा
= 5 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × (5)² × 12
= 100π घन सेमी।
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 100π घन सेमी।

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
…. ΔABC को 5 सेमी वाले भुजा के परितः घुमाए जाने पर निम्नांकित शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई (h) = 5 सेमी
और आधार की त्रिज्या (r) = दूसरी भुजा
= 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
\(\frac{1}{3}\) × π × (12)² × 5 घन सेमी
= 240π घन सेमी
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 240π घन सेमी।
तब प्रश्न 7 व प्रश्न 8 से प्राप्त ठोसों के आयतनों का अनुपात
= 100π : 240π
= 5 : 12.

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है इसका ‘आयतन ज्ञात कीजिए। इस बेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाता है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
गेहूँ की ढेरी से बने शंकु की ऊँचाई (h) = = 3 मीटर
तथा आधार का व्यास = 10.5 मीटर = \(\frac{21}{2}\) मीटर
∴ आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}=\frac{21}{4}\) मीटर
∴ गेहूँ की ढेरी (शंकु) का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr2h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\) घन मीटर
= \(\frac{693}{8}\) घन मीटर
= 86.625 घन मीटर।

∴ ढेरी को ढकने के लिए आवश्यक केनवास = गेहूँ की ढेरी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.05\)
= 99.825 वर्ग मीटर
अत: गेहूँ की ढेरी (शंकु) को ढकने के लिए आवश्यक केनवास का क्षेत्रफल
= 99.825 वर्ग मीटर।