JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Exercise 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
महिला बल्लेबाज द्वारा 30 गेंदें खेली गई।
∴ चौका मारे जाने के कुल सम्भावित परिणाम = 30
तथा चौका लगने के अनुकूल परिणाम = 6
अतः चौका मारे जाने की प्रायिकता

= \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
तब, चौका न मारे जाने की प्रायिकता
= 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
अतः महिला बल्लेबाज द्वारा चौका न मारे जाने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है।

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यादृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आँकड़े लिए गए है:

परिवार में लड़कियों की संख्या	परिवारों की संख्या
2	475
1	814
0	211

यादृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों, (ii) एक लड़की हो, (iii) कोई लड़की न हो।
साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल:
(i) कुल सम्भावित परिणाम परिवारों का कुल योग
= 475 + 814 + 211 = 1500
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 लड़कियों वाले परिवार
= 475
एक परिवार में दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता,

(ii) अनुकूल परिणामों की संख्या = एक लड़की वाले परिवार = 814.
अतः परिवार में लड़की होने की प्रायिकता
P(E₂) = \(\frac{814}{1500}=\frac{407}{750}\)
(iii) अनुकूल परिणामों की संख्या = 0 लड़कियों वाले परिवार = 211
अतः परिवार में लड़की न होने की प्रायिकता
P(E₃) = \(\frac{211}{1500}\)
सभी प्रायिकताओं का योग = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
= \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}\)
= \(\frac{475+814+211}{1500}=\frac{1500}{1500}\) = 1
अतः सभी प्रायिकताओं का योगफल 1 है।

प्रश्न 3.
अध्याय 14 अनुच्छेद 144 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
अध्याय 14 अनुच्छेद 14.4 पृष्ठ 296 पर उदाहरण 5 निम्न है।
आयत चित्र देखने से स्पष्ट है कि 40 विद्यार्थियों में से अगस्त में जन्म लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या 6 है।

अतः किसी विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये है:

परिणाम	बारम्बारता
3 चित	23
2 चित	72
1 चित	77
कोई भी चित नहीं	28

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाये, तो दो के चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 3 सिक्के एक साथ 200 बार उछाले जाते हैं, तो सम्भावित कुल परिणामों की संख्या = 200
तथा अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 चित आने के परिणाम = 72
2 चित आने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
एक कम्पनी ने यादृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आँकड़े सारणी में दिए गए हैं:

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय ₹ 10000-13000 रु. प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रतिमाह ₹ 16000 या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।
(iii) की आय ₹ 7000 प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय ₹ 13000-16000 प्रतिमाह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
हल:
(i) आय स्तर ₹ 10000-13000 प्रतिमाह के परिवार में वाहनों की संख्या 2 है। ऐसे परिवारों की संख्या = 29.
अतः प्रायिकता

(ii) जिनकी आय प्रतिमाह ₹ 16000 या अधिक है और उनमें 1 वाहन है। ऐसे परिवारों की संख्या = 579
परिवारों की कुल संख्या = 2400
अतः परिवार में 1 वाहन होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{579}{2400}\)

(iii) जिनकी आय ₹ 7000 से कम है जोकि वाहन रहित हैं। ऐसे परिवारों की संख्या = 10 है।
कुल परिवारों की संख्या = 2400
अतः परिवार में वाहन न होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{10}{2400}=\frac{1}{240}\)

(iv) ऐसे परिवारों की संख्या जिनकी प्रतिमाह आय ₹ 13000-16000 है और उन परिवारों में 2 से अधिक वाहन हैं = 25
परिवारों की कुल संख्या = 2400
अतः परिवार में दो से अधिक वाहन होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{25}{2400}=\frac{1}{96}\)

(v) ऐसे परिवार जिनके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है में वे परिवार भी सम्मिलित होंगे जिनके पास कोई भी वाहन नहीं हैं।
अतः एक से अधिक वाहन न होने के अनुकूल परिणाम
= 10 + 1 + 2 + 1 + 160 + 305 + 535 + 469 + 5 + 79 = 2062
अतः 1 से अधिक वाहन न होने की प्रायिकता
P(E) = \(\frac{2062}{2400}=\frac{1031}{1200}\)

प्रश्न 6.
निम्न सारणी में विद्यार्थियों के गणित में प्राप्तांक और उनकी संख्या दी गई है:

अंक	विद्यार्थियों की संख्या
0-20	7
20-30	10
30-40	10
40-50	20
50-60	20
60-70	15
70 से अधिक	8
कुल योग	90

अधिकतम अंक = 100
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = गणित में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 90.
(i) सारणी में, 20% अंकों से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 7.
P(20% से कम अंक) = \(\frac{7}{90}\)
(ii) दी गई सारणी में 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 15 + 8 = 23
∴ P (60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करना) = \(\frac{23}{90}\)

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:

मत	विद्यार्थियों की संख्या
पसन्द करते हैं	135
पसन्द नहीं करते हैं	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी : (i) सांख्यिकी पसन्द करता है (ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है।
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = विद्यार्थियों की कुल संख्या = 200
(i) अनुकूल परिणामों की संख्या सांख्यिकी पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 135
अतः चयनित छात्र के सांख्यिकी पसन्द करने की प्रायिकता,

(ii) तब सांख्यिकी न पसन्द करने की प्रायिकता,
P(E’) = 1 – P(E) = 1 – \(\frac{27}{40}=\frac{13}{40}\)

प्रश्न 8.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्यस्थल की दूरियाँ (किमी में) निम्नलिखित हैं :

इसकी आनुभाविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर:
(i) अपने कार्यस्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहते हैं ?
(ii) अपने कार्यस्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहते हैं ?
(ii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) किमी या इससे कम दूरी पर रहते हैं?
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = इंजीनियरों की कुल संख्या = 40
अनुकूल परिणामों की संख्या = कार्यस्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहने वाले इन्जीनियरों की संख्या
= 5, 3, 2, 3, 5, 3, 2, 6, 6
= 9
(i) अतः अभीष्ठ प्रायिकता

(ii) एक इंजीनियर के 7 किमी या अधिक दूर निवास करने की प्रायिकता = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{9}{40}=\frac{31}{40}\)

(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) किमी या कम दूरी पर निवास करने वाले इंजीनियरों की संख्या = शून्य
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac{0}{40}\) = शून्य

प्रश्न 9.
क्रियाकलाप-अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय अन्तराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की स्वयं प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
निम्न प्रारूप पर सूचना एकत्र कीजिए:

तब गुजरने वाले वाहन के दो पहिया होने की प्रायिकता = \(\frac{P}{N}\)

प्रश्न 10.
क्रियाकलाप आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को बादृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 3 से भाज्य हो।
हल:
तीन अंकों वाली संख्याएँ 100 से प्रारम्भ होकर 999 तक हैं। 100 से 999 तक के बीच कुल सम्भावित संख्याएँ 900 हैं। इन नौ सौ संख्याओं में प्रत्येक तीसरी संख्या 3 से विभाज्य होगी।
इस प्रकार 3 अंकों वाली कुल संख्याएँ = 900
3 से विभाज्य 3 अंकों वाली कुल संख्याएँ = \(\frac{900}{3}\)
अतः छात्र द्वारा लिखी गई संख्या 3 से विभाज्य होने की प्राविकता = \(\frac{300}{900}\) = \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 11.
आटे की उन ग्यारह थैलियों में जिन पर 5 किग्रा अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (किग्रा में) हैं:
4.97, 5,05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 किग्रा से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल:
कुल सम्भावित परिणाम = थैलियों की संख्या = 11
अनुकूल परिणामों की संख्या = (5 किग्रा से अधिक वजन वाली थैलियों की संख्या) = 07
∴ चुनी गई थैली के 5 किग्रा से अधिक होने की
प्रायिकता,

प्रश्न 12.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [Parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आंकड़े ये हैं:

किसी एक दिन वर्ग अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइऑक्साइड के सान्दण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्ग-अन्तराल 0.12-0.16 के अन्तर्गत प्रविष्टियाँ = 0.12, 0.13 = 02
∴ चुने गए दिन के लिए सल्फर डाइऑक्साइड के सान्द्रण के कुल सम्भावित परिणाम = 30
और अनुकूल परिणाम = 02
अत: सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रता 0.12 – 0.16 ppm होने की प्रायिकता,

प्रश्न 13.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं:
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O,
कक्षा से यादृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
सम्भावित परिणाम कुल विद्यार्थियों की संख्या = 30
अनुकूल परिणाम = रक्त समूह AB वाले विद्यार्थियों की संख्या = 3
अतः चुने गये विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता,