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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.5

Question 1.
Which of the following pairs of linear equations has a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. In case there is a unique solution, find it by using cross-multiplication method:
1. x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
2. 2x + y = 5
3x + 2y = 8
3. 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
4. x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
Solution:
1. x – 3y – 3 = 0 and 3x – 9y – 2 = 0
Here, a₁ = 1; a₂ = 3; b₁ = -3; b₂ = -9; c₁ = -3 and c₂ = -2.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has no solution.

2. 2x + y – 5 = 0 and 3x + 2y – 8 = 0
Here, a₁ = 2; a₂ = 3; b₁ = 1; b₂ = 2; c₁ = -5 and c₂ = -8.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}\)
Here, \(\frac{1}{2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,


Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 1.

3. 3x – 5y – 20 = 0 and 6x – 10y – 40 = 0
Here, a₁ = 3, a₂ = 6, b₁ = -5, b₂ = -10, c₁ = -20 and c₂ = -40.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has infinitely many solutions.

4. x – 3y – 7 = 0 and 3x – 3y – 15 = 0
Here, a₁ = 1, a₂ = 3, b₁ = -3, b₂ = -3, c₁ = -7 and c₂ = -15.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-3}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-7}{-15}=\frac{7}{15}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,

Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 4, y = -1.

Question 2.
1. For which values of a and b does the following pair of linear equations have an infinite number of solutions?
2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
2. For which value of k will the following pair of linear equations have no solution ?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1) y = 2k + 1
Solution:
1. For the given pair of equations, we express them in the standard form as:
2x + 3y – 7 = 0 and
(a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0
Here, A₁ = 2; A₂ = a – b; B₁ = 3; B₂ = a + b; C₁ = -7 and C₂ = -(3a + b – 2)
Then, \(\frac{\mathrm{A}_1}{\mathrm{~A}_2}=\frac{2}{a-b}, \frac{\mathrm{B}_1}{\mathrm{~B}_2}=\frac{3}{a+b}\) and \(\frac{C_1}{C_2}=\frac{-7}{-(3 a+b-2)}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
For the pair of equations to have infinite number of solution, we must have

∴ 2(a + b) = 3(a – b)
∴ 2a + 2b = 3a – 3b
∴ 5b = a
∴ a = 5b ………..(1)
Again, \(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
∴ 3 (3a + b – 2) = 7(a + b)
∴ 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
∴ 2a – 4b = 6
∴ 2 (5b) – 4b = 6 [from (1), a = 5b]
∴ 6b = 6
∴ b = 1
Now, a = 5b
∴ a = 5(1)
∴ a = 5
Thus, for a = 5 and b = 1, the given pair of linear equations will have an infinite number of solutions.

2. We express the given equations in the standard form as:
3x + y – 1 = 0 and
(2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0.
Here, a₁ = 3; a₂ = 2k – 1; b₁ = 1; b₂ = k – 1; c₁ = -1 and c₂ = -(2k + 1).
Then, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2 k-1}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{k-1}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-(2 k+1)}=\frac{1}{2 k+1}\)
For the pair of equations to have not solution, we must have
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ \(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1} \neq \frac{1}{2 k+1}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
∴ 3(k – 1) = 2k – 1
∴ 3k – 3 = 2k – 1
∴ k = 2
For k = 2.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2(2)-1}=1\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2-1}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2(2)+1}=\frac{1}{5}\)
Thus, k = 2 satisfies \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Thus, for k = 2, the given pair of linear equations has no solution.

Question 3.
Solve the following pair of linear equations by the substitution and cross-multiplication methods:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Solution:
1. Substitution method:
8x + 5y = 9 ……….(1)
3x + 2y = 4 ……….(2)
From equation (2), we get y = \(\frac{4-3 x}{2}\)
Substituting y = \(\frac{4-3 x}{2}\) in equation (1).
we get
8x + 5(\(\frac{4-3 x}{2}\)) = 9
∴ 16x + 5(4 – 3x) = 18 (Multiplying by 2)
∴ 16x + 20 – 15x = 18
∴ x = -2
Substituting x = -2 in y = \(\frac{4-3 x}{2}\), we get
∴ y = \(\frac{4-3(-2)}{2}\)
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

2. Cross-multiplication method:
We express both the equations in the standard form as:
8x + 5y – 9 = 0 and 3x + 2y – 4 = 0
Here, a₁ = 8; b₁ = 5; c₁ = -9; a₂ = 3; b₂ = 2 and c₂ = -4.
Now, we arrange the coefficients as required in cross-multiplication method as:

Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

4. Form the pair of linear equations in the following problems and find their solutions. (if they exist) by any algebraic method:

Question 1.
A part of monthly hostel charges is fixed and the remaining depends on the number of days one has taken food in the mess. When a student A takes food for 20 days she has to pay ₹ 1000 as hostel charges whereas a student B, who takes food for 26 days, pays ₹ 1180 as hostel charges. Find the fixed charges and the cost of food per day.
Solution:
Let the fixed monthly charge be ₹ x and the cost of food per day be ₹ y.
Then, from the give data, we get the following pair of linear equations:
x + 20y = 1000 ……….(1)
x + 26y = 1180 ………..(2)
These equations in standard form are:
x + 20y – 1000 = 0 ……….(3)
x + 26y – 1180 = 0 ……….(4)
Now, we solve the equation by cross-multiplication method.

Thus, monthly fixed charge is ₹ 400 and the cost of food per day is ₹ 30.
Note: Here, the elimination method would be much easter, but we have solved. it by cross-multiplication method to show more applications of that method.

Question 2.
A fraction becomes \(\frac{1}{3}\) when 1 is subtracted from the numerator and it becomes \(\frac{1}{4}\) when 8 is added to its denominator. Find the fraction.
Solution:
Let the numerator and the denominator of the required fraction be x and y respectively.
Then, the required fraction = \(\frac{x}{y}\)
By the given data, we get
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
∴ 3x – 3 = y
∴ 3x – y = 3 ……….(1)
Also, \(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
∴ 4x = y +8
∴ 4x – y = 8 …………(2)
Subtracting equation (1) from equation (2),
we get
(4x – y) – (3x – y) = 8 – 3
∴ 4x – y – 3x + y = 5
∴ x = 5
Substituting x = 5 in equation (1),
we get
3(5) – y = 3
∴ 15 – 3 = y
∴ y = 12
Hence, the required fraction = \(\frac{x}{y}=\frac{5}{12}\)

Question 3.
Yash scored 40 marks in a test, getting 3 marks for each right answer and losing 1 mark for each wrong answer. Had 4 marks been awarded for each correct answer and 2 marks been deducted for each incorrect answer, then Yash would have scored 50 marks. How many questions were there in the test?
Solution:
Suppose Yash gave x right answers and y wrong answers.
Then, from the given data, we get
3x – y = 40 ………(1)
and 4x – 2y = 50, i.e.. 2x – y = 25 ……….(2)
We express the equations in the standard form as
3x – y – 40 = 0 ………(3)
2x – y – 25 = 0 ………(4)
Then,

Then, the total number of questions in the test = x + y = 15 + 5 = 20.
Thus, there were 20 questions in the test.

Question 4.
Places A and B are 100 km apart on a highway. One car starts from A and another from B at the same time. If the cars travel in the same direction at different speeds, they meet in 5 hours. If they travel towards each other, they meet in 1 hour. What are the speeds of the two cars?
Solution:
Let the speed of the car starting from A be x km/hour and the speed of the car starting from B be y km/hour such that x > y. If the cars travel in the same direction and meet, they should be travelling in the direction from A towards B as the car starting from A is faster than the car starting from B.

Suppose the cars meet at place P after 5 hours, when they travel in the same direction. Then, the distance travelled in 5 hours by the car starting from A= 5x km = AP (Distance = Speed × Time) Similarly, the distance travelled in 5 hours by the car starting from B = 5y km = BP.
Now, AB = 100 km
∴ AP – BP = 100
∴ 5x – 5y = 100
∴ x – y = 20 (Dividing by 5) ………(1)

Suppose the cars meet at place Q after 1 hour when they travel in opposite directions.
Then, distance travelled in 1 hour by the car starting from A = x km = AQ
Similarly, distance travelled in 1 hour by the car starting from B = y km = BQ.
Now, AB = 100 km
∴ AQ + BQ = 100
∴ x + y = 100 ………(2)
Adding equations (1) and (2), we get
(x – y) + (x + y) = 20 + 100
∴ 2x = 120
∴ x = 60
Substituting x = 60 in equation (2), we get
60 + y = 100
∴ y = 40
Thus, the speeds of the cars starting from A and B are 60 km/hour and 40 km/hour respectively under the assumption that x > y.

Question 5.
The area of a rectangle gets reduced by 9 square units, if its length is reduced by 5 units and breadth is increased by 3 units. If we increase the length by 3 units and the breadth by 2 units, the area increases by 67 square units. Find the dimensions of the rectangle.
Solution:
Let the length of the rectangle be x units and its breadth be units.
Area of a rectangle = Length × Breadth
∴ Area of given rectangle = xy square units
According to the first condition given,
new reduced length = (x – 5) units,
new increased breadth = (y + 3) units and new reduced area = (xy – 9) square units.
Then, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
∴ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
∴ 3x – 5y – 6 = 0 ……….(1)
Similarly, from the second condition given,
new increased length = (x + 3) units.
new increased breadth = (y + 2) units and
new increased area = (xy + 67) square units.
Again, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
∴ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
∴ 2x + 3y – 61 = 0 ………..(2)
We solve these equations (1) and (2) by cross-multiplication method.


∴ x = \(\frac{323}{19}\) and y = \(\frac{171}{19}\)
∴ x = 17 and y = 9
Thus, the length and the breadth of the given rectangle are 17 units and 9 units respectively.

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

भूमिका (Introduction) :
पिछली कक्षाओं में हम ठोस आकृतियों जैसे घनाभ, घन, शंकु, बेलन और गोला के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन के बारे में अध्ययन कर चुके है। इस अध्याय में पिछले ज्ञान का उपयोग करते हुए दो या दो से अधिक ठोस आकृतियों के संयोजन से बनी आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन का अध्ययन करेंगे। हम ऐसी ठोस आकृतियों के बारे में भी अध्ययन करेंगे जो एक शंकु को उसके आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटने पर प्राप्त होते है। उदाहरण के लिए बाल्टी, ग्लास, फ्रिक्शन क्लच आदि।
→ ठोस (Solid) : वस्तुएँ जिनकी अन्तरिक्ष में तीन भुजाएँ अर्थात् (लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई) हों ठोस कहलाते हैं।
→ आयतन (Volume) : किसी ठोस द्वारा अन्तरिक्ष के घेरे गए स्थान के परिमाण को उसका आयतन कहते हैं।
→ पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area) : किसी ठोस के सभी पृष्ठों के क्षेत्रफलों के योग को उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
→ वक्त पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) : किसी ठोस के आधार क्षेत्रफलों को छोड़कर शेष बचे सभी पृष्ठों के क्षेत्रफलों के योग को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
→ घनाभ (Cuboid): छ: आयताकार पृष्ठों से घिरी ठोस बन्द आकृति को घनाभ कहते हैं।
→ घन (Cube) : यदि घनाभ की प्रत्येक कोर लम्बाई में समान हो, तो उसे घन कहते हैं।
→ लम्ब वृत्तीय शंकु का छिन्नक (Frustum of a right circular cone) : यदि किसी लम्ब वृत्तीय शंकु को उसके आधार के समान्तर किसी तल द्वारा काटा जाये तो कटने वाले तल तथा आधार के बीच के भाग को शंकु का छिन्नक कहते हैं।

घन (Cube) और घनाभ (Cuboid) :
घनाभ (Cuboid) : यदि समान्तर षट्फलक का प्रत्येक फलक आयत हो, तो उसे घनाभ कहते हैं। घनाभ को आयतफलकी ठोस भी कहते हैं जैसे ईंट, सन्दूक, कमरा आदि घनाभ हैं घनाभ में छः पृष्ठ (फलक), 8 शीर्ष व 12 कोरें होती हैं।
चित्र से स्पष्ट है कि घनाभ के आमने-सामने के फलक परस्पर समान होते हैं।

1. घनाभ के फलक ABCD का क्षेत्रफल = फलक A’B’CD’ का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
2. घनाभ के फलक ADD’A’ का क्षेत्रफल = फलक BCC’B’ का क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई
3. घनाभ के फलक ABB’A’ का क्षेत्रफल = फलक DCC’D’ का क्षेत्रफल = ऊँचाई × ऊँचाई
4. घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई) वर्ग इकाई
5. घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × ऊँचाई (लम्बाई + चौड़ाई) वर्ग इकाई
अथवा
= (ऊँचाई × परिमाप) वर्ग इकाई।

घन (Cube) : यदि घनाभ का प्रत्येक फलक वर्गाकार हो, तो उसे घन कहते हैं। अर्थात् घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती हैं।
∴ घन का प्रत्येक पृष्ठ वर्गाकार होता है।
घन के एक पृष्ठ का क्षेत्रफल = (भुजा)²
∴ घन के 6 पृष्ठों का क्षेत्रफल = 6(भुजा)²
अतः घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(भुजा)² वर्ग इकाई

घन और घनाभ के विकर्ण (Diagonals of Cube and Cuboid)
घन या घनाभ के समान्तर फलक के दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाली रेखा विकर्ण कहलाती है अतः घन एवं मैं कुल 4 विकर्ण होते हैं।
1. घनाभ के विकर्ण की लम्बाई =
2. घन के विकर्ण की लम्बाई = भुजा \(\sqrt{3}\) इकाई
घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid)
प्रत्येक ठोस आकृति स्थान घेरती है। अतः ठोस आकृति द्वारा घेरे गये स्थान की माप को आयतन कहा जाता है।
घनाभ का आयतन = (लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई ) घन इकाई तथा घन का आयतन = (भुजा)³ घन इकाई।

लम्बवृत्तीय बेलन और शंकु :
लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) :
परिभाषा- किसी ‘आयत’ की एक भुजा को स्थिर रखकर उसके परित: आयत को घुमाने पर बने ठोस को लम्बवृत्तीय बेलन कहते हैं।
संलग्न चित्र में आयत OABC की भुजा OA को स्थिर मानकर उसके परितः आयत को घुमाने पर बने लभ्यवृत्तीय बेलन को दिखाया गया है।
स्थिर भुजा OA की लम्बाई को बेलन की ऊँचाई कहते हैं तथा बिन्दु O और A इसके वृत्तीय सिरों के केन्द्र कहलाते हैं। OC अथवा AB इसके वृत्तीय आधार की त्रिज्या हैं। आयत को उसकी किसी एक भुजा के परितः घुमाने पर लम्बवृत्तीय बेलन प्राप्त होता है।

लम्बवृत्तीय बेलन से सम्बन्धित सूत्र
1. बेलन के आधार का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल = πr² वर्ग इकाई
2. बेलन के आधार की लम्बाई = वृत्त की परिधि = 2πr इकाई
3. बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल (C.S.A.) = आधार की परिधि × ऊँचाई
= 2πrh वर्ग इकाई
4. बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) = वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल + दोनों वृत्तीय आधारों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr² = 2πr (h + r) वर्ग इकाई
5. बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = πr² × h = πr2h घन इकाई

खोखला बेलन (Hollow Cylinder)- यदि r₁ व r₂ खोखले बेलन की बाह्य और अन्तः त्रिज्याएँ हों तथा ऊँचाई h हो तो :
1. खोखले बेलन के प्रत्येक सिरे का क्षेत्रफल = π(r₁² – r₂²)
2. खोखले बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = बाह्य पृष्ठ का क्षेत्रफल + अन्तः पृष्ठ का क्षेत्रफल
= 2πr₁h + 2πr₂h = 2π(r₁ + r₂)h
3. खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल + 2 × (एक सिरे का क्षेत्रफल)
= 2π(r₁ + r₂)h + 2π(r₁² – r₂²)
= 2π(r₁ + r₂)h + 2π(r₁ + r2) (r₁ – r₂)
= 2π(r₁ + r₂) (h + r₁ – r₂)
4. खोखले बेलन का आयतन = बाह्य बेलन का आयतन – अन्तः बेलन का आयतन
= πr₁²h – πr₂²h = π(r₁² – r₂²)h

लम्बवृत्तीय शंकु (Right Circular Cone) :
परिभाषा- किसी समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली दो भुजाओं में से एक को स्थिर मानकर, त्रिभुज को उसके परितः घुमाने पर बने ठोस को लम्बवृत्तीय शंकु कहते हैं।
चित्र में समकोण ΔVOA को भुजा OV के परित: घुमाने पर प्राप्त लम्बवृत्तीय शंकु को दिखाया गया है, जिसका शीर्ष V तथा वृत्तीय आधार का केन्द्र O है।

यहाँ शंकु की ऊँचाई = OV = h
शंकु की तिरछी ऊँचाई = VA = l
शंकु के आधार की त्रिज्या = ∠OAP = α
शंकु का अर्द्ध-शीर्ष कोण
समकोण ΔVOA में, VA² = OV² + OA²
l² = h² + h²
l = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
शंकु की तिरछी ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)

लम्बवृत्तीय शंकु से सम्बन्धित सूत्र :
1. शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल (C.S.A.) = \(\frac{1}{2}\) × वृत्तीय आधार की परिधि × तिरछी ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 2πr × l = πrl
2. शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) = वक्र पृष्ठ + वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
= πrl + πr² = πr(l + r)
3. शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = \(\frac{1}{3}\)πr²h
यदि शंकु का अर्द्ध-शीर्ष कोण α हो तो उसकी :
(i) ऊँचाई (h) = r cot α
(ii) तिर्यक ऊँचाई (l) = r cosec α

गोला (Sphere) :
जब किसी वृत्त या अर्द्धवृत्त को उसके व्यास के सापेक्ष परिक्रमण कराया जाता है, तो एक ठोस आकृति प्राप्त होती है जिसे गोला कहते हैं। वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या और व्यास गोले के केन्द्र, त्रिज्या और व्यास होंगे।

यदि गोले की त्रिज्या r हो, तो
1. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
2. गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³

यदि अर्द्ध गोले की त्रिज्या r हो, तो
1. अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
2. अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²
3. अर्द्ध गोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\)πr³

गोलीय कोश (खोखला गोला) (Spherical shell)- दो संकेन्द्रीय गोलों से सीमाबद्ध आकृति को गोलीय कोश कहते हैं।
यदि गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या r₁ और अन्तः त्रिज्या r₂ हो, तो
1. गोलीय कोश का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r₁³ – r₂³)
2. गोलीय कोश की मोटाई = r₁ – r₂.

ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल :
निम्नांकित चित्रों में बनी आकृतियों पर ध्यान दीजिए:

चित्र (1) में दो घनों को संयुक्त करके एक आयतफलकी बनाया गया है।
चित्र (2) में दी गई आकृति एक बेलन के दोनों सिरों पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के दो शंकु जोड़कर बनाई गई है।
चित्र (3) में दी गई आकृति एक बेलन के दोनों सिरों पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के दो अर्द्धगोलों को संयुक्त कर बनाई गई है।
चित्र (4) में दी गई आकृति समान आधार वाले अर्द्धगोले पर शंकु के संयोजन से बनाई गई है।
नोट : (1) किसी संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) उसके खण्डों के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग से कम होता है और क्षेत्रफल में यह कमी उस क्षेत्रफल के बराबर होती है जो खण्डित भागों को संयुक्त करने पर विलुप्त हो जाता है।
(2) यदि संयुक्त ठोस के सभी खण्ड वक्र संयुक्त पृष्ठीय हैं, तो
संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = संयुक्त ठोस के खण्डों के वक्र पृष्ठों के क्षेत्रफल का योग
तथा संयुक्त ठोस का आयतन = संयुक्त ठोस के खण्डों के आयतनों का योग।

ठोसों के संयोजन का आयतन :
दो ठोसों के संयोजन से बने ठोस आकृति का आयतन वास्तव में दोनों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
आयतन से सम्बन्धित सूत्र :
1. घनाभ का आयतन = ल. × चौ. × ॐ.
2. घन का आयतन = भुजा³
3. बेलन का आयतन = πr²h
4. शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h
5. खोखले बेलन का आयतन = π(r₁² – r₂²)h, जहाँ r₁ > r₂
6. गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
7. अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\)πr³
8. खोखले गोले (गोलीय कोश) का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r₁³ – r₂³), जहाँ r₁ > r₂

आयतन सम्बन्धी इकाइयाँ
1 लीटर = 1000 घन सेमी
1000 लीटर = 1 घन मीटर
1 किलो लीटर = 1 घन मीटर
1 घन सेमी = 10 × 10 × 10 = 1000 घन मिमी
1 घन मीटर = 100 × 100 × 100
= 1000000 घन सेमी

एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण :
इस खण्ड में हम एक ठोस को एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित करते हैं, तो इस पूरी स्थिति में दोनों आकारों का आयतन समान रहता है।
जैसे-जूस की एक बोतल को कुछ गिलासों में समान मात्रा में बाँट दें। अब हम गिलासों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
[जूस की बोतल का आयतन] = n[गिलासों का आयतन],
जहाँ गिलासों की संख्या है।

लम्बवृत्तीय शंकु का छिन्नक (Frustum of a Right Circular Cone) :
छिन्नक : यदि किसी लम्बवृत्तीय शंकु को उसके आधार के समान्तर तल द्वारा काटा जाता है, तो वह भाग जो शंकु के आधार तथा काटने वाले तल के बीच है, छिन्नक कहलाता है।

चित्र (i) में लम्बवृत्तीय शंकु VAB को उसके वृत्तीय आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटा जाता है जिसका केन्द्र O तथा व्यास AB है। शीर्ष / वाले भाग को हटा दिया जाता है, जैसा कि चित्र (ii) में दिखाया गया है। शेष हुआ भाग ABB ‘A’ चित्र (iii) में दिखाया गया है, यह शंकु VAB का छिन्नक है वृत्तीय पृष्ठ AOB तथा A’O’B’ छिन्नक के वृत्तीय सिरे कहलाते हैं।
अतः लम्बवृत्तीय शंकु के छिन्नक के दो असमान वृत्तीय आधार होते हैं और एक वक्र पृष्ठ होता है।
छिन्नक की ऊँचाई: छिन्नक की ऊँचाई या मोटाई दोनों वृत्तीय आधारों के बीच की लम्बीय दूरी होती है।
छिन्नक की ऊँचाई OO’ = VO – VO’ (चित्र iii)
छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई : छिन्नक के दोनों वृत्तीय आधारों पर एक ही दिशा में खींची समान्तर त्रिज्याओं के बाहरी बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड की लम्बाई को छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई कहते हैं।
चित्र में, छिन्नक ABA’B’ की तिर्यक ऊँचाई AA’ या BB’ हैं।
स्पष्ट है कि AA’ = VA – VA’
तथा BB’ = VB – VB’
अतः छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई शंकुओं VAB और VA’B’ की तिर्यक ऊँचाइयों के अन्तर के बराबर होती है।

लम्बवृत्तीय शंकु के छिन्नक का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल :
शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\)π(r₁² – r₁ r₂ + r₂²)h
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l

शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + वृत्तीय आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₁²
= π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]
शंकु के छिन्नक की (तिर्यक) ऊँचाई = \(\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}\)

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Exercise 1.1

Question 1.
Use Euclid’s division algorithm to find the of (1) 135 and 225 (2) 196 and 38220 (3) 867 and 255.
Solution:
1. 135 and 225
Here, 225 > 135
∴ 225 = 135 × 1 +90
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 135 and 90.
∴ 135 = 90 × 1 + 45
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 90 and 45.
∴ 90 = 45 × 2 + 0
Since remainder = 0, the divisor 45 is the HCF.
Hence, HCF (135, 225) = 45.

2. 196 and 38220
Here, 38220 > 196
∴ 38220 = 196 × 195 +0
Since remainder = 0, the divisor 196 is the HCF.
Hence, HCF (196, 38220) = 196.

3. 867 and 255
Here, 867 > 255
∴ 867 = 255 × 3 + 102
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 255 and 102.
∴ 255 = 102 × 2 + 51
Since remainder ≠ 0. we apply division lemma to 102 and 51.
∴ 102 = 51 × 2 + 0
Since remainder = 0, the divisor 51 is the HCF.
Hence, HCF (867, 255) = 51

Question 2.
Show that any positive odd integer is of the form 6q + 1 or 6q + 3 or 6q + 5, where q is some integer.
Solution:
Let a be any positive integer and b = 6. Then. by Euclid’s division lemma, a = 6q + r, for some integer q ≥ 0 and r = 0, 1, 2, 3, 4 or 5. because 0 ≤ r < 6.
So, a = 6q or a = 6q + 1 or
a = 6q + 2 = 2(3q + 1) or a = 6q + 3 or
a = 6q + 4 = 2(3q + 2) or a = 6q + 5.
Since a is an odd integer, a cannot be 6q or 6q + 2 or 6q + 4 as they are all divisible by 2.
Therefore, any positive odd integer is of the form 6q + 1 or 6q + 3 or 6q + 5.

Question 3.
An army contingent of 616 members is to march behind an army band of 32 members in a parade. The two groups are to march in the same number of columns. What is the maximum number of columns in which they can march?
Solution:
To arrive at the answer, we have to find the HCF of 616 and 32.
Here, 616 > 32
∴ 616 = 32 × 19 + 8
∴ 32 = 8 × 4 + 0
Thus, HCF (616, 32)=8
Hence, the maximum number of columns in which they can march is 8 columns.

Question 4.
Use Euclid’s division lemma to show that the square of any positive integer is either of the form 3m or 3m + 1 for some integer m. [Hint: Let a be any positive integer then it is of the form 3q, 3q + 1 or 3q + 2. Now square each of these and show that they can be rewritten in the form 3m or 3m + 1.]
Solution:
Let a be any positive integer and b = 3. Then, by Euclid’s division lemma, a = 3q or a = 3q + 1 or a = 3q + 2; where q is a non- negative integer.
1. If a = 3q, then a² = (39)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, where m = 3q² is some integer.
2. If a = 3q + 1, then a² = (3q + 1)² = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m+ 1. where m = 3q² + 2q is some integer.
3. If a = 3q + 2, then a² = (3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3 (3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1, where m = 3q² + 4q + 1 is some integer.
Thus, in either case, the square of any positive integer is of the form 3m or 3m + 1.

Question 5.
Use Euclid’s division lemma to show that the cube of any positive integer is of the form 9m, 9m + 1 or 9m +8.
Solution:
Let a be any positive integer and b = 3. Then, by Euclid’s division lemma, a = 3q or a = 3q + 1 or a = 3q + 2; where q is negative integer.
1. If a = 3q, then
a³ = (39)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m,
where m = 3q³ is some integer.

2. If a = 3q + 1, then
a³ = (3q + 1)³
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 3q² + q) + 1
= 9m + 1.
where m = 3q³ + 3q² + q is some integer.

3. If a = 3q + 2, then
a³ = (3q + 2)³
= 27q + 54q² + 36q + 8
= 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
= 9m + 8,
where m = 3q³ + 6q² + 4q is some integer.
Thus, in either case, the cube of any positive integer is of the form 9m or 9m + 1 or 9m + 8.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 10 वृत्त will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 10 वृत्त

भूमिका :
कक्षा IX में हम वृत्त से सम्बन्धित अवधारणाएँ जैसे-जीवा, वृत्तखण्ड, त्रिज्यखण्ड, चाप आदि के बारे में पढ़ चुके हैं। इस अध्याय में हम समतल में स्थित एक वृत्त तथा एक रेखा की विभिन्न स्थितियों पर विचार करेंगे।
→ अभिलम्ब (Normal): किसी वृत्त के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब वह सरल रेखा है जो दिए गए बिन्दु से गुजरती है तथा उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा के लम्बवत होती है।
→ सम्पूरक कोण (Supplementary angles) : यदि दो कोणों का योग 180° हो, तो वे सम्पूरक कोण कहलाते हैं।
→ अन्तः कोण (Co-interior angles) : ऐसे कोण जो तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित होते हैं, अन्तः कोण कहलाते हैं।
→ समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram) : वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर व बराबर होती हैं, समान्तर चतुर्भुज कहलाता है।
→ समचतुर्भुज (Rhombus ) : वह चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, समचतुर्भुज कहलाता है।
→ परिवृत्त (Circumscribed circle) : बहुभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त परिवृत्त कहलाता है।
→ अन्तः वृत्त (Inscribed circle) : बहुभुज के अन्तर्गत खींचा जा सकने वाला वह बड़े से बड़ा वृत्त जो बहुभुज की प्रत्येक भुजा को एक बिन्दु पर छूता हो, अन्तः वृत्त कहलाता है।

छेदक रेखा और स्पर्श रेखा :
यदि एक समतल में एक वृत्त तथा कोई रेखा AB खींची जाए, तो वृत्त के सापेक्ष यह रेखा तीन स्थितियों में हो सकती है :
स्थिति I. अप्रतिच्छेदी रेखा (Non intersecting line) : रेखा AB वृत्त को स्पर्श नहीं करती है अर्थात् रेखा और वृत्त के मध्य कोई सम्बन्ध नहीं होता है। इस स्थिति में रेखा AB को वृत्त के सापेक्ष अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं। जैसा कि संलग्न चित्र में दर्शाया गया है।

स्थिति II. छेदक रेखा (Secant) रेखा AB वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, यह रेखा वृत्त को अधिकतम दो बिन्दुओं पर ही प्रतिच्छेद कर सकती है, क्योंकि वृत्त तीन या तीन से अधिक सरेखीय बिन्दुओं से नहीं गुजर सकता है। अतः एक ऐसी सरल रेखा जो एक वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, छेदक रेखा (Secant) कहलाती है। जैसा कि संलग्न चित्र में दर्शाया गया है।

स्थिति III. स्पर्श रेखा (Tangent) : रेखा AB वृत्त को दो सम्पाती बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, अर्थात् रेखा वृत्त को एक बिन्दु पर स्पर्श करती है। अतः एक सरल रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करे, वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) कहलाती है। वृत्त के समतल में स्पर्श रेखा और वृत्त में केवल एक बिन्दु उभयनिष्ठ होता है। यह उभयनिष्ठ बिन्दु स्पर्श बिन्दु (Point of contact) कहलाता है। जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है।

छेदक रेखा के समान्तर स्पर्श रेखा (Tangent Parallel to Secant) : एक छेदक रेखा के समान्तर वृत्त की अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

चित्र में l, m, n, o छेदक रेखाएँ हैं। AB तथा CD वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ जो वृत्त को क्रमश: P और Q बिन्दु पर स्पर्श करती हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
क्षैतिज तल पर किसी निश्चित बिन्दु से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। यदि प्रेक्षक 20 मीटर मीनार की ओर चलता है, तो मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 15° बढ़ जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो ।
हल:
माना AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मीटर है। बिन्दु C से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। बिन्दु C से 20 मीटर मीनार की तरफ चलने पर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 15° बढ़ जाता है।
अर्थात् ∠ACB = 30° तथा ∠ADB = 45°

समकोण ΔABD में,
tan 45° = \(\frac{A B}{B D}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{B D}\)
⇒ BD = h मी. …..(1)
समकोण ΔABC में tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+h}\)
[ समी. (1) से BD = h]
20 + h = \(\sqrt{3}\)h
20 = \(\sqrt{3}\)h – h
20 = h(\(\sqrt{3}\) – 1)
h = \(\frac{20}{\sqrt{3}-1}\)
h = \(\frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
h = \(\frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1}\)
h = 10(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 10 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर ।

प्रश्न 2.
एक झील में पानी के तल से 20 मीटर ऊंचे बिन्दु A से, एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का A से अवनमन कोण 60° हैं। A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि BD पानी का तल है। B से 20 मीटर ऊँचे बिन्दु A से एक बादल (P) का उन्नयन कोण 30° है। माना झील में बादल के प्रतिबिम्ब की स्थिति C है तथा प्रतिबिम्ब इस प्रकार है कि झील में बादल के प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण 60° है। माना कि PQ = h मी है।

अतः ∠PAQ = 30° तथा ∠QAC = 60°
QD = AB = 20 मी
CD = PD = (20 + h) मी
QC = 20 + h + 20
= (40 + h) मी
BD = AQ
समकोण ΔPAQ में
tan 30° = \(\frac{P Q}{A Q}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{A Q}\)
⇒ AQ = h\(\sqrt{3}\) मीटर …..(1)
समकोण ΔAQC में
tan 60° = \(\frac{Q C}{A Q}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{40+h}{h \sqrt{3}}\)
[समीकरण (1) का प्रयोग करने पर]
⇒ 3h = 40 + h
⇒ 3h – h=40
⇒ 2h = 40
⇒ h = \(\frac{40}{2}\) = 20 मी
पुन: समकोण ΔPAQ में,
sin 30° = \(\frac{P Q}{A P}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{h}{A Q}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{20}{A Q}\) मीटर
AQ = 20 × 2
अतः A से बादल की दूरी = 40 मीटर ।

प्रश्न 3.
4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दो वायुयान A और B हैं जिनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी AB = h मीटर
क्षैतिज तल पर स्थित बिन्दु D से इन वायुयानों A और B के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 450 हैं।
अर्थात् ∠ADC = 60° तथा ∠BDC = 45°
AC = 4000 मीटर
BC = AC – AB = (4000 – h) मीटर
समकोण ΔBCD में,
tan 45° = \(\frac{B C}{C D}\)

1 = \(\frac{4000-h}{x}\)
x = 4000 – h …..(i)
पुन: समकोण ΔACD में,
tan 60° = \(\frac{A C}{C D}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{4000}{x}\)
⇒ x\(\sqrt{3}\) = 4000
⇒ x = \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\) …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान रखने पर,
4000 – h = \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\)
⇒ h = 4000 – \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\)
⇒ h = 4000\(\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
⇒ h = 4000\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)\)
⇒ h = 4000\(\frac{4000 \times 0.732}{1.732}\)
⇒ h = \(\frac{2928}{1.732}\) = 1690.53 मीटर
अतः दोनों वायुयानों के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी 1690.53 मीटर होगी।

प्रश्न 4.
धरातल के एक बिन्दु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500\(\sqrt{3}\) मीटर पर उड़ रहा हो, तो हवाई-जहाज की गति किमी / घंटा में ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना P और Q हवाई जहाज की दो स्थितियाँ है। माना ABC एक क्षैतिज रेखा है जो A से जाती है।
दिया है कि स्थिति P और Q से, A बिन्दु से हवाई जहाज द्वारा बने उन्नयन कोण 30° तथा 60° है।
∴ ∠PAB = 60° और ∠QAC = 30°
इसी तरह, PB = QC = 1500\(\sqrt{3}\) मीटर

ΔABP में,
tan 60° = \(\frac{B P}{A B}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{A B}\)
AB = 1500 मीटर
ΔACQ में,
tan 30° = \(\frac{Q C}{A C}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500 \sqrt{3}}{A C}\)
⇒ AC = 1500 × 3 = 4500 मीटर
∴ BC = AC – AB = 4500 – 1500
= 3000 मीटर
इस प्रकार हवाई जहाज 15 सेकण्ड में 3000 मीटर की दूरी तय करता है।
∴ हवाई जहाज की चाल = \(\frac{3000}{15}\) = 200 मी/से
= \(\frac{200 \times 60 \times 60}{1000}\)
= 720 किमी/ घण्टा
अतः हवाई जहाज की चाल 720 किमी/घण्टा है।

प्रश्न 5.
10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक टॉवर है उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 10 मीटर है।
टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमश: 60° और 45° है।
अर्थात् ∠ACE = 60°
और ∠ECB = 45°
BD || CE, CD || BE
CD = BE = 10 मी.
अब समकोण त्रिभुज CBD में,
tan 45° = \(\frac{C D}{D B}\)
\(1=\frac{10}{D B}\)
DB = 10 मी.
CE = DB = 10 मी.
पुनः समकोण त्रिभुज AEC में,

tan 60° = \(\frac{A E}{C E}=\frac{A E}{10}\)
AE = 10\(\sqrt{3}\) मी
अतः टॉवर AB की ऊँचाई
= AE + EB = 10\(\sqrt{3}\) + 10
= 10 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः टॉवर AB की ऊँचाई = 10(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर

प्रश्न 6.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 4 मी की ऊँचाई पर है तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, नदी से पुल की ऊँचाई
AC = 4 मी
BC = x, CD = y

∴ समकोण ΔABC में,
\(\frac{A C}{B C}\) = tan 45°
⇒ \(\frac{4}{x}\) = 1 ⇒ x = 4 मी
पुन: समकोण ΔACD में,
\(\frac{A C}{C D}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{4}{y}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y = 4\(\sqrt{3}\) मी …..(ii)
समी. (i) व (ii) से,
∴ नदी की चौड़ाई (x + y)
= 4\(\sqrt{3}\) + 4
= 4(\(\sqrt{3}\) + 1)
= 10.92 मी ।

प्रश्न 7.
एक मीनार के पाद से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार के ऊँचाई 48 मी है तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक मीनार है जिसके ऊँचाई 48 मी है तथा CD एक भवन है जिसकी ऊँचाई h मी है। दिया है, मीनार के पाद से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° तथा भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है।
अर्थात् ∠CBD = 30°
तथा ∠ADB = 60°

समकोण ΔCDB में,
tan 30° = \(\frac{C D}{B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{B D}\)
⇒ BD = h\(\sqrt{3}\) मी
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B D}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{48}{h \sqrt{3}}\)
h = \(\frac{48}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{48}{3}\)
= 16 मी
अतः भवन की ऊँचाई 16 मी है।

प्रश्न 8.
आँधी आने पर एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 60° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद- बिंदु की दूरी जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 3 मी है। पेड़ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BD है। आँधी के बाद पेड़ A स्थान से टूटकर पेड़ का शिखर जमीन पर C बिन्दु पर पड़ता है। टूटा हुआ भाग जमीन से 30° का कोण बनाता है।

∴ ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{3}\)
⇒ AB = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) मी
पुन: समकोण ΔABC में,
cos 30° = \(\frac{B C}{A C}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{A C}\)
⇒ AC = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) मी
पेड़ की कुल ऊँचाई = BD
= AB + AD
= AB + AC [∵ AD = AC]
= \(\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}\right)\) मी
= \(\frac{9}{\sqrt{3}}\) मी = \(\frac{9 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
= \(\frac{9 \sqrt{3}}{3}\) मी
= 3\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 9.
अमित जो कि समतल जमीन पर खड़ा है, अपने से 200 मी दूर उड़ते हुए पक्षी का उन्नयन कोण 30° पाता है। दीपक जो कि 50 मी ऊँचे भवन की छत पर खड़ा है, उसी पक्षी का उन्नयन कोण 45° पाता है। अमित और दीपक पक्षी के विपरीत दिशा में हैं। दीपक से पक्षी की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अमित बिन्दु C पर खड़ा है तथा AB चिड़िया की धरातल पर स्थित बिन्दु B से ऊँचाई है तथा माना दीपक बिन्दु D पर स्थित है, जहाँ DE भवन की ऊँचाई है।
दिया है, ∠ACB = 30°, ∠ADF = 45° तथा DE = 50 मी

अब, समकोण ΔABC में,
sin 30° = लम्ब / कर्ण
= \(\frac{A B}{A C}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{A B}{200}\)
AB = 100 मी
समकोण ΔAFD में,
sin 45° = लम्ब / कर्ण
= \(\frac{A F}{A D}\)
(AB = AF + BF
100 = AF + 50
AF = 50 मी)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{A D}\)
AD = 50\(\sqrt{2}\) मी
अतः दीपक की चिड़िया से दूरी 50\(\sqrt{2}\) मी है।

प्रश्न 10.
एक ऊर्ध्वार मीनार क्षैतिज तल पर खड़ी है तथा उसके ऊपर एक 6 मी ऊँचा झंडा लगा है। तल के किसी बिन्दु से झंडे के पाद तथा शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° तथा 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3}\) = 1.732 लीजिए)
हल:
माना AB एक मीनार है तथा BC झंडा है। अब माना कि P भूमि पर एक ऐसा बिन्दु है, जिसका मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠APB = 30° तथा मीनार पर स्थित झंडा का उन्नयन कोण ∠APC = 45° है तथा BC = 6 मी अब माना AB = h मी तथा PA = x मी

समकोण ΔPAB से,
cos 30° = \(\frac{P A}{P B}=\frac{x}{h}\)
\(\sqrt{3}=\frac{x}{h}\) (∵ cot 30° = \(\sqrt{3}\))
x = \(\sqrt{3}\)h …..(i)
समकोण ΔPAC से,
cot 45° = \(\frac{x}{h+6}=\frac{P A}{A C}\) (∵ cot 45° = 1)
x = h + 6 ….. (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\sqrt{3}\)h = h + 6
\(\sqrt{3}\)h – h = 6
= \(\frac{6}{\sqrt{3}-1}\)
= \(\frac{6}{1.732-1}\)
= \(\frac{6}{0.732}\)
= \(\frac{6000}{732}\)
= 8.19 मी
अतः मीनार की ऊँचाई 8.19 मी है।

प्रश्न 11.
100 मी ऊंचे एक लाइट हाउस से दूर एक नाव को ले जाता हुआ व्यक्ति 2 मिनट में लाइट हाउस में शिखर का उन्नयन कोण को 60° से 30° बढ़लता हुआ पाता है। मीटर प्रति मिनट में नाव की चाल ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3}\) = 1.732 लीजिए)
हल:
माना AB एक 100 मी ऊँचाई का लाइट हाउस है प्रारम्भ में व्यक्ति C बिन्दु पर था तथा 2 मिनट बाद D बिन्दु पर आता है।

यहाँ, ∠ACB = 60° तथा ∠ADB = 30° है। माना BC = x मी तथा BD = y मी है।
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
\(\sqrt{3}=\frac{100}{x}\)
x = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) ……..(i)
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{100}{B D}\)
BD = 100\(\sqrt{3}\)
BC + CD = 100\(\sqrt{3}\)
x + y = 100\(\sqrt{3}\) …..(ii)
समीकरण (i) से, x = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) समीकरण (ii) में रखने पर,
\(\frac{100}{\sqrt{3}}\) + y = 100\(\sqrt{3}\)
y = \(100 \sqrt{3}-\frac{100}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{300-100}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\) मी
बिन्दु C से D तक जाने मैं नाव द्वारा लगा समय 2 मिनट है।
तथा CD = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\)
अतः नाव को चाल = समय / दूरी
\(\frac{C D}{2}\) ⇒ \(\frac{y}{2}\)
= \(=\frac{200}{\sqrt{3} \times 2}\) (∵ y = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\) मी)
= \(\frac{100}{\sqrt{3}}=\frac{100}{1.732}\)
= 57.73 मीटर / मिनट

प्रश्न 12.
एक मीनार के पाद से गुजरने वाली सीधी रेखा पर पाद से क्रमशः 4 मी तथा 16 मी की दूरियों पर दो बिंदु C व D स्थित हैं। यदि C व D से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हों, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर
ΔABC में, \(\frac{A B}{B C}\) = tan(90° – θ)
\(\frac{h}{4}\) = cot θ …..(i)

ΔABD में,
\(\frac{A B}{B D}\) = tan θ
\(\frac{h}{16}\) = tan θ …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) का गुणा करने पर,
\(\frac{h}{4} \times \frac{h}{16}\) = cot θ × tan θ
\(\frac{h^2}{64}=1\)
[∵ cot θ × tan θ = \(\frac{1}{\tan \theta}\) × tan θ = 1]
⇒ h² = 64
⇒ h = 8 मी
अतः मीनार की ऊँचाई 8 मीटर है।

प्रश्न 13.
एक हवाई जहाज भूतल से ऊपर 300 मी की ऊँचाई पर उड़ रहा है। इस ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज से एक नदी के दोनों किनारों पर परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिंदुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [\(\sqrt{3}\) = 1.732 प्रयोग कीजिए]
हल:
माना हवाई जहाज A बिंदु पर नदी से 300 मीटर ऊँचाई पर है। C व D नहीं के विपरीत किनारों पर है।

समकोण ΔABC में,
\(\frac{B C}{A B}\) = cot 60°
⇒ \(\frac{x}{300}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ x = \(\frac{300}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= 100\(\sqrt{3}\) मी
= 100 × 1.732 = 173.2 मी
समकोण ΔABD में,
⇒ \(\frac{B D}{A B}\) = cot 45°
⇒ \(\frac{y}{300}\) = 1
⇒ y = 300
नदी को चौड़ाई = x + y
= 173.2 + 300
= 473.2 मी

प्रश्न 14.
समुद्र तल से 75 मी. ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° तथा 45° है। यदि दोनों जहाज लाइट हाउस की विपरीत दिशाओं में हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB लाइट हाउस है।
जहाज क्रमश: बिन्दु C व D पर है।

समकोण ΔABC में,
⇒ \(\frac{A B}{B C}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{75}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ x = 75\(\sqrt{3}\) मी
समकोण ΔABD में,
⇒ \(\frac{A B}{B D}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{75}{y}\) = 1
y = 75 मी
जहाजों के बीच की दूरी = x + y
= (75\(\sqrt{3}\) + 75) मी
= 75(\(\sqrt{3}\) + 1) मी

प्रश्न 15.
एक झील के पानी की सतह में 60 मी ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु से बादल का उन्नयन कोण 30° है, तथा झील के पानी में बादल का परछाई का अवनमन कोण 60° है। बादल की झील के पानी की सतह से ऊँचाई प्राप्त कीजिए।
हल:
ΔCMP में,
tan 30° = \(\frac{C M}{P M}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{P M}\) या PM = \(\sqrt{3}\)h …….(i)

ΔPMC में,
tan 60° = \(\frac{C M}{P M}\)
= \(\frac{h+60+60}{P M}=\sqrt{3}\)
या PM = \(\frac{h+120}{\sqrt{3}}\) …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
\(\sqrt{3}\)h = \(\frac{h-120}{\sqrt{3}}\)
3h = h + 120
2h = 120 ⇒ h = 60 मी
पानी के तल से बादल की ऊँचाई = h + 60
= 60 + 60 = 120 मी

प्रश्न 16.
एक मीनार के एक ही ओर तथा इसके आध र से एक ही सरल रेखा में दो बिंदु A तथा B हैं। मीनार के शिखर से इन बिंदुओं अवनमन कोण क्रमश: 60° व 45° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 15 मी हो, तो इन बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना PT एक मीनार है।

समकोण ΔPTA में,
tan 60° = \(\frac{P T}{T A}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{15}{T A}\)
⇒ TA = \(\frac{15}{\sqrt{3}}\)
पुन: समकोण ΔPTB में,
tan 45° = \(\frac{P T}{T B}\)
⇒ 1 = \(\frac{15}{T B}\)
⇒ TB = 15 मी
बिन्दुओं A व B के बीच की दूरी
AB = TB – TA
= 15 – \(\frac{15}{\sqrt{3}}\) = 15\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)\) मी

प्रश्न 17.
एक नदी के एक किनारें पर खड़ा एक व्यक्ति, नदी के दूसरे किनारे पर खड़े एक वृक्ष के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाता है जब वह किनारे से 30 मी दूर जाता है, तो वह उन्नयन कोण 30° पाता है। वृक्ष की ऊँचाई तथा नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [\(\sqrt{3}\) = 1.732 प्रयोग कीजिए]
हल:
माना नदी के एक किनारे पर एक वृक्ष AB है तथा नदी के दूसरे किनारे पर व्यक्ति P बिंदु पर है। यहाँ AP नदी की चौड़ाई है।
जब व्यक्ति P से बिंदु M पर जाता है, तो उन्नयन कोण 60° से 30° हो जाता है।

समकोण ΔPAB में,
⇒ tan 60° = \(\frac{A B}{P A}\)
⇒ \(\sqrt{3}\) = \(\frac{A B}{P A}\)
⇒ AB = \(\sqrt{3}\)PA …..(i)
पुन: समकोण ΔMAB में,
tan 30° = \(\frac{A B}{M A}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{30+A P}\)
⇒ 30 + AP = \(\sqrt{3}\)AB
⇒ 30 + AP = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\)AP) [समी (i) से]
⇒ 30 + AP = 3AP
⇒ 2AP = 30
⇒ AP = 15 मी.
समीकरण (i) से,
AB = \(\sqrt{3}\) × 15 = 15\(\sqrt{3}\) मी
अतः नदी की चौड़ाई = 15 मी
तथा पेड़ की ऊँचाई = 15\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 18.
भूमि पर स्थित बिंदु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 10 सैकंड की उड़ान के बाद उसी ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज का उन्नयन कोण बिंदु A से 30° हो जाता है। यदि हवाई जाहज की औसत चाल 720 किमी / घंटा हो, तो हवाई जाहज की धरती से स्थिर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना P और Q हवाई जहाज की दो स्थितियाँ है। माना ABC एक क्षैतिज रेखा है जो A से जाती है।
∵ हवाई जाहज द्वारा 1 घंटे में तय दूरी,
PQ = 720 किमी

∵ हवाई जहाज द्वारा 1 सकण्ड में तय दूरी
= \(\frac{720 \times 1000}{60 \times 60}\) मी
= 200 मी
और 10 सेकंड में तय दूरी = 10 × 200 मी = 2000 मी
∴ PQ = 2000 मी
समकोण ΔABP में
tan 60° = \(\frac{P B}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{P B}{A B}\)
⇒ PB = \(\sqrt{3}\)AB …..(i)
⇒ tan 30° = \(\frac{Q C}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q C}{A C}\)
⇒ AC = \(\sqrt{3}\)QC
⇒ AB + BC = \(\sqrt{3}\)PB [∵ QC = PB]
⇒ AB + 200 = \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\)AB
[∵ PQ = 2000
[तथा PB = \(\sqrt{3}\)AB]
⇒ AB + 2000 = 3AB
⇒ 2AB = 2000
⇒ AB = 1000 मी
समीकरण (i) से
PB = \(\sqrt{3}\) × 1000
= 1000\(\sqrt{3}\) मी
अतः हवाई जहाज की धरती से स्थिर ऊँचाई 1000\(\sqrt{3}\) मी है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).

1. यदि कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को देख रहा है, तो प्रेक्षक की आँख को उस वस्तु से मिलाने वाली क्षैतिज रेखा को ……………. रेखा कहते हैं।
2. वह रेखा, जो प्रेक्षक की आँख से सीधी भूमि के समांतर जाती है, ……………… रेखा कहलाती है।
3. जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को ऊपर उठाता है, तो वस्तु प्रेक्षक की आँख पर ………………. कोण बनाती है।
4. जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकता है, तो वस्तु की आँख पर कोण ……………… बनाती है।
5. उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण सदैव बराबर और ……………… कोण होते हैं।

उत्तर:

1. दृष्टि,
2. क्षैतिज,
3. उन्नयन,
4. अवनमन,
5. न्यून ।

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख).

1. अवनमन कोण को अवनति कोण भी कहते हैं।
2. उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण एकांतर कोण होते हैं।
3. उन्नयन कोण सदैव अधिक कोण होता है।
4. अवनमन कोण सदैव समकोण होता है।
5. त्रिकोणमिति की सहायता से दूरियों तथा ऊँचाइयों की गणना सरलता से की जा सकती है।

उत्तर:

1. सत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. असत्य,
5. सत्य ।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक सीधी खड़ी छड़ की लंबाई तथा उसकी परछाई में 1 : \(\sqrt{3}\) का अनुपात है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए:
(A) 30°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 90°
हल:
माना छड़ की लंबाई AB तथ उसकी परछाई BC है।
माना उन्नयन कोण θ है।
दिया है, BA : BC = 1 : \(\sqrt{3}\)
⇒ \(\frac{B A}{B C}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

समकोण ΔCAB में
sin θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ sin θ = sin 60°
⇒ θ = 60°
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 2.
निम्न आकृति में वस्तु 1 को बिंदुओं O₁ तथा O₂ से देखने पर बने अवनमन कोण क्रमश: हैं:
(A) 45°, 75°
(B) 60°, 90°
(C) 30°, 60°
(D) 45°, 30°
हल:
एक रेखा PO₁ इस प्रकार खींची कि PO₁ || AC
यहाँ ∠PO₁A + ∠AO₁C = 90°
⇒ ∠PO₁A + 60° = 90°

⇒ ∠PO₁A = 90° – 60° = 30°
अब ∠PO₂A = ∠O₂AB = 45° (एकान्तर कोण)
O₁ से अवनमन कोण = 30°
O₂ से अवनमन कोण = 45°
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में अच्छी तरह से तनी हुई एक 20 मी लम्बी रस्सी भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी है। यदि भूमि स्तर के साथ रस्सी द्वारा बनाया गया कोण 30° का है, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(A) 10 मी
(B) 20 मी
(C) 40 मी
(D) 50 मी
हल:
समकोण ΔBAC में.

sin 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{A B}{20}\)
⇒ \(\frac{20}{2}\) मी = 10 मी
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 4.
निम्न आकृति में, भूमि के एक बिन्दु C से, जो मीनार के पाद बिन्दु से 60 मी की दूरी पर है, मीनार AB के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है :
(A) 60\(\sqrt{3}\) मी.
(B) 60 मी
(C) 20\(\sqrt{3}\) मी
(D) 20 मी
हल:
समकोण ΔABC में,

tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{60}\)
AB = \(\frac{60}{\sqrt{3}}=\frac{60 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
\(\frac{60 \sqrt{3}}{3}\) = 20\(\sqrt{3}\) मी
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 5.
एक मीनार के आधार से 100 मीटर की दूरी पर स्थित बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है:
(A) 50 मीटर
(B) 100 मीटर
(C) \(\frac{100}{\sqrt{2}}\) मीटर
(D) \(\frac{100 \times \sqrt{3}}{2}\) मीटर
हल:
माना मीनार की ऊँचाई (BC)h मीटर है।
मीनार के आधार से 100 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। अर्थात् AB = 100 मी. तथा ∠CAB = 45°
समकोण ΔABC में,

tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{100}\)
∴ h = 100 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 100 मी.
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 6.
15 मी लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई है :
(A) 15\(\sqrt{3}\) मी.
(B) \(\frac{15 \sqrt{3}}{2}\) मी.
(C) \(\frac{15}{2}\) मी.
(D) 15 मी.
हल:
माना कि AB एक ऊर्ध्वाधर दीवार है जिसकी ऊँचाई 1⁄2 मी. है। माना कि AC एक सीढ़ी है जो दीवार के शिखर तक पहुँचती है तथा सीढ़ी की लम्बाई 15 मी. है। सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तब
∠ACB = 60° तथा AC = 15 मी.
समकोण ΔABC में,

sin 60° = \(\frac{A B}{A C}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{15}\)
h = \(\frac{15 \sqrt{3}}{2}\) मी.
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
6 मीटर ऊँचे एक खम्भे की छाया 2\(\sqrt{3}\) मीटर लम्बी हो तो सूर्य का उन्नतांश कोण है:
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 90°
हल:
माना कि AB एक खम्भा है जिसकी ऊँचाई 6 मीटर है।
खम्भे की छाया की लम्बाई (BC) = 2\(\sqrt{3}\) मीटर
माना कि सूर्य का उन्नतांश कोण (∠ACB) = θ
अत: समकोण ΔABC में

tan θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ tan θ = \(\frac{6}{2 \sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = \(\sqrt{3}\)
⇒ tan θ = tan 60°
⇒ θ = 60°
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 8.
किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°
हल:
माना BC कोई मीनार है, जिसकी ऊँचाई / मीटर है।

इसकी छाया AB, h मीटर होगी।
पुनः माना सूर्य का उन्नयन कोण ∠CAB = θ
समकोण ΔABC में,
tan θ = \(\frac{B C}{A B}=\frac{h}{h}\)
⇒ tan θ = 1
⇒ tan θ = tan 45°
∴ θ = 45°
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
10 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है:
(A) 10 \(\sqrt{3}\) मीटर
(B) \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) मीटर
(C) 10 मीटर
(D) 5\(\sqrt{3}\) मीटर
हल:
माना AC कोई मीनार है जिसकी ऊँचाई 10 मीटर है।

माना मीनार के आधार से बिन्दु की दूरी (BC) = x मीटर
मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है।
∴ ∠XAB = 30°
∠XAB = ∠ABC = 30° (एकान्तर कोण)
समकोण ΔACB में,
tan 30° = \(\frac{A C}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}\)
∴ x = 10\(\sqrt{3}\) मीटर
अतः बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी 10\(\sqrt{3}\) मीटर होगी सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 10.
एक पतंग भूमि से 30 मी की ऊँचाई पर 60 मी लंबी डोरी की सहायता से उड़ रही है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है, पतंग का भूमि पर उन्नयन कोण है:
(A) 45°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 90°
हल:
माना कि भूमि से 30 मीटर की ऊँचाई पर पतंग की स्थिति है जोकि 60 मीटर लंबी डोरी (AC) की सहायता से उड़ रही है। माना कि पतंग की डोरी का क्षैतिज के साथ कोण θ है।
अर्थात् ∠ACB = θ
समकोण ΔABC में,

sin θ = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ sin θ = \(\frac{30}{60}\)
⇒ sin θ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ sin θ = sin 30°
⇒ θ = 30°
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 11.
एक नदी के ऊपर एक पुल नदी के तट के साथ 45° का कोण बनाता है। यदि नदी के ऊपर पुल की लम्बाई 150 मीटर है, तो नदी की चौड़ाई क्या होगी:
(A) 75\(\sqrt{2}\) मीटर
(B) 50\(\sqrt{2}\) मीटर
(C) 75 मीटर
(D) 150 मीटर
हल:
माना AC पुल है जिसकी लम्बाई 150 मीटर है
तथा BC नदी की चौड़ाई है। पुल नदी के साथ 45° का कोण बनाता है।
अर्थात् ∠CAB = 45°
समकोण ΔABC में,
sin 45° = \(\frac{B C}{A C}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{B C}{150}\)
BC = \(\frac{150}{\sqrt{2}}\)
BC = \(\frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\)
BC = 75\(\sqrt{2}\)
अतः नदी की चौड़ाई 75\(\sqrt{2}\) मीटर होगी।
सही विकल्प (A) है।

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

भूमिका :
इस अध्याय में हम उन विधियों के विषय में पढ़ेंगे जिनमें त्रिकोणमिति का प्रयोग हमारे आसपास के जीवन से जुड़ा होता है। त्रिकोणमिति की आवश्यकता रवगोलकी में पृथ्वी से ग्रहों और तारों की दूरियाँ परिकलित करने में होती थी। त्रिकोणमिती का प्रयोग भूगोल और नौचालन, मानचित्र बनाने और देशांतर और अक्षांश के सापेक्ष एक द्वीप की स्थिति ज्ञात करने में की जाती है।

इस अध्याय में हम अध्ययन करेंगे कि वास्तविक माप के बिना, त्रिकोणमिति का प्रयोग विभिन्न वस्तुओं की ऊँचाइयाँ और दूरियाँ ज्ञात करने में किया जाता है।

ऊंचाइयाँ और दूरियाँ :
दृष्टि रेखा (Line of sight) : प्रेक्षक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिन्दु को मिलाने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं, अथवा जब हम किसी वस्तु (object) को देखते हैं, तो हमारी आँख और वस्तु को जोड़ने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं।

चित्र में आँख बिन्दु पर है और वस्तु की स्थिति P है। अत: OP दृष्टि रेखा होगी।

पूरक कोण (Complimentary angles) : यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो ये कोण पूरक कोण कहलाते हैं।

आन्तरिक एकान्तर कोण (Alternate interior angles) : यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है तो दोनों रेखाओं के अन्दर तिर्यक रेखा के विपरीत दिशा में बने कोण एकान्तर कोण कहलाते हैं, यदि दोनों रेखाएँ परस्पर समान्तर हैं, तो बने आन्तरिक एकान्तर कोण बराबर होते हैं।

उन्नयन कोण (Angle of elevation): जब कोई वस्तु, आँख से ऊपर हो, तो दृष्टि रेखा, क्षैतिज के साथ जो कोण बनता है उसे उन्नयन या उन्नतांश या उन्नति कोण कहते हैं।

चित्र में आँख बिन्दु पर है और वस्तु (object) की स्थिति P है। अतः OP दृष्टि रेखा है जो क्षैतिज रेखा OX से कोण ∠XOP बनाती है। अतः उन्नयन कोण = ∠XOP

अवनमन कोण (Angle of depression) : जब कोई वस्तु, आँख से नीचे हो, तो दृष्टि रेखा, क्षैतिज के साथ जो कोण बनता है उसे अवनमन या अवनति कोण कहते हैं।

चित्र में आँख बिन्दु पर और वस्तु (object) की स्थिति P है अतः OP दृष्टि रेखा है जो क्षैतिज रेखा OX’ से कोण X’OP बनाती है। अतः अवनमन कोण = X’OP
ऊँचाई एवं दूरी की समस्याओं को हल करते समय निम्नलिखित बिन्दुओं को ध्यान में रखना चाहिए :
(i) सर्वप्रथम प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़ने के उपरान्त चित्र बनाकर समकोण त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
(ii) समकोण त्रिभुज में ज्ञात कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों (sine, cosine, tangent) आदि को ज्ञात भुजा के पदों में व्यक्त करते हैं।
(iii) चित्र में स्पष्ट है कि O का P के सापेक्ष उन्नयन कोण = P का O के सापेक्ष अवनमन कोण।

चित्र में वस्तुओं द्वारा प्रेक्षक की आंख पर अन्तरित अवनमन कोणों के उदाहरण :

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 6 त्रिभुज

भूमिका :
सर्वांगसम आकृति के बारे में हम पिछली कक्षा IX में पढ़ चुके हैं। ऐसी दो ज्यामितीय आकृतियाँ जिनके आकार व रूप बिल्कुल समान हों एवं परस्पर अध्यारोपण पर एक-दूसरे को पूरा-पूरा ढक लेती हैं, सर्वांगसम आकृतियाँ कहलाती हैं।

इस अध्याय में हम ऐसी ही आकृतियों का अध्ययन करेंगे जिनका रूप या आकृतियाँ (Shape) बिल्कुल समान हों किन्तु आकार में भिन्नता हो, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
दो सर्वांगसम आकृतियाँ भी समरूप होती हैं। किन्तु इसका विलोम सर्वदा सत्य नहीं होता अर्थात् समरूप आकृतियाँ सदैव सर्वांगसम नहीं होती हैं।
→ बहुभुज (Polygon) : रेखाखण्डों से बनी साधारण वक्र बन्द आकृति को बहुभुज कहते हैं।

→ त्रिभुज (Triangle) : तीन भुजाओं वाले बहुभुज को त्रिभुज कहते हैं।

→ विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ असमान हों, विषमबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी कोई सी दो भुजाएँ समान हों, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) : एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ समान हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

→ न्यूनकोण त्रिभुज (Acute angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसके तीनों कोण न्यून कोण ( less than 90°) हो, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाता है।

→ अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसका एक कोण अधिक कोण (greater than 90°) हो, अधिक कोण त्रिभुज कहलाता है।

→ समकोण त्रिभुज (Right angled Triangle) : एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण है, समकोण त्रिभुज कहलाता है।

→ त्रिभुज का परिमाप (Perimeter of a Triangle) : त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग त्रिभुज का परिमाप कहलाता है।

→ त्रिभुज की माध्यिका (Median of a Triangle) : त्रिभुज के शीर्ष से इसके सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा को त्रिभुज की माध्यिका कहते हैं।

→ त्रिभुज का शीर्षलम्ब (Altitude of a Triangle) : त्रिभुज के एक शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींची गयी लम्ब रेखा को त्रिभुज का शीर्षलम्ब कहते हैं।

→ त्रिभुज का कोण समद्विभाजक (Bisector of angle of a Triangle) : त्रिभुज के एक शीर्ष कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा को त्रिभुज का कोण समद्विभाजक कहते है।

→ समकोणीय त्रिभुज (Equiangular Triangle) : यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समकोणीय त्रिभुज कहलाते हैं।

समरूप आकृतियाँ :
ऐसी आकृतियाँ जिनका आकार तो समान है, परन्तु माप भिन्न है, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।

उदाहरण : चित्र (A) में दो भवन, चित्र (B) में चार त्रिभुज, चित्र (C) में चार वृत्त, चित्र (D) में तीन पंचभुज और चित्र (E) में चार वर्ग को देखने पर इनका आकार समान एवं माप भिन्न-भिन्न है अर्थात् सभी समान संख्या की भुजाओं के समबहुभुज हैं जैसे: समबाहु त्रिभुज, वर्ग, वृत्त, समपंचभुज इत्यादि समरूप होते हैं।

समरूप बहुभुज :
दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण समान हों एवं उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

चित्र में, दो बहुभुज ABCDEF एवं PQRSTU समरूप हों, तो संगत कोण समान होंगे, अर्थात्
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, ∠D = ∠S, ∠E = ∠T एवं ∠F = ∠U
एवं संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी, अर्थात्
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C D}{R S}=\frac{D E}{S T}=\frac{E F}{T U}=\frac{F A}{U P}\)
टिप्पणी: यदि एक बहुभुज दूसरे बहुभुज के समरूप हो और दूसरा बहुभुज, तीसरे बहुभुज के समरूप हो, तो पहला बहुभुज, तीसरे बहुभुज के भी समरूप होता है।

दो बहुभुजों के समरूप होने के लिए भुजाओं का समानुपाती होना ही पर्याप्त नहीं है, जैसे कि चित्र में, ABCD एक वर्ग है और PQRS एक समचतुर्भुज है। वर्ग ABCD की भुजाएँ समचतुर्भुज PQRS की भुजाओं की समानुपाती हैं परन्तु वर्ग ABCD के कोण समचतुर्भुज PQRS के कोणों के समान नहीं हैं। अतः वर्ग एवं समचतुर्भुज की भुजाएँ समानुपाती होते हुए भी दोनों समरूप नहीं हैं।
भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) सभी संगत कोण बराबर हों।
(ii) सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (या समानुपाती हों।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) =
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
(ii) \(\frac{1-\tan ^2 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) =
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30° 2tan 30°
(C) 45°
(D) 60°
(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}}\) बराबर है:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल:

अत: सही विकल्प (A) है।

(ii) \(\frac{1-\tan ^2 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}=\frac{1-1^2}{1+1^2}\)
= \(\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}\) = 0
अत: सही विकल्प (D) है।

(iii) sin 2A = 2 sin A
यदि A = 0 हो तो
बायाँ पक्ष = sin 2A = sin (2 × 0)
= sin 0° = 0
दायाँ पक्ष = 2 sin A = 2 sin 0° = 0
अत: सही विकल्प (A) है।

अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = \(\sqrt{3}\) और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan (A + B) = \(\sqrt{3}\)
tan (A + B) = tan 60°
A + B = 60° ….(1)
और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan (A – B) = tan 30°
A – B = 30° …(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर
A + B = 60°
A – B = 30°
2A = 90°
A = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (1) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45°
∴ B = 15°
अतः A = 45° और B = 15°.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin (A + B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) 6 में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल:
(i) माना कि
A = 30° तथा B = 60°
तो sin (A + B) = sin (30° + 60°)
= sin 90°
= 1
और sin A + sin B = sin 30° + sin 60°
= \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}=1\)
अतः sin (A + B) ≠ sin A + sin B
∴ दिया गया कथन असत्य है।

(ii) ∵ θ के मान 0°, 30°, 45°, 60°, 90° लेने पर,
sin 0° = 0, sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin 90° = 1
अतः θ का मान बढ़ने पर sin θ का मान बढ़ता है। परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
दिया गया कथन सत्य है।

(iii) ∵ cos 0° = 1 और cos 90° = 0
अतः θ का मान बढ़ाने पर cos θ के मान में वृद्धि नहीं होती।
∴ दिया गया कथन असत्य है।

(iv) ∵ sin θ = cos θ
θ = 30° लेने पर
sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ sin 30° ≠ cos 30°
∴ दिया गया कथन असत्य है।

(v) tan 0° = 0
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}\)
= \(\frac{1}{0}\) = अपरिभाषित
A = 0° पर cot A अपरिभाषित है।
∴ दिया गया कथन सत्य है।

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय

भूमिका :
त्रिकोणमिति के अंग्रेजी शब्द Trigonometry की व्युत्पत्ति ग्रीक शब्दों ‘tri’ (जिसका अर्थ है, तीन), ‘gon’ (जिसका अर्थ है, भुजा) और ‘metron’ (जिसका अर्थ है, माप) से हुई है। वस्तुत: त्रिकोणमिति में एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के सम्बन्धों का अध्ययन करते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) : “किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाओं के वर्गों का योग त्रिभुज के कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।”
(कर्ण)² = (समकोण बनाने वाली एक भुजा)² + (समकोण बनाने वाली दूसरी भुजा)²
चित्र में ΔABC समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠B = 90°, कर्ण = CA तथा समकोण बनाने वाली भुजाएँ क्रमश: AB और BC हैं।

∴ भुजाओं में सम्बन्ध :
(AC)² = (AB)² + (BC)²
यदि दो भुजाओं की माप ज्ञात हो, तो तीसरी भुजा की माप ज्ञात कर सकते हैं।
→ त्रिकोणमिति (Trigonometry): त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है, जिसके अन्तर्गत एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के सम्बन्धों का अध्ययन किया जाता है।
→ त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios): एक समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण के सापेक्ष भुजाओं के अनुपात का अध्ययन त्रिकोणमितीय अनुपात कहलाता है।
→ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities): एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों से सम्बन्धित समीकरण को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहते हैं। जबकि यह सम्बन्धित कोण (कोणों) के सभी मानों के लिए सत्य होता है।
→ पूरक कोण (Complimentary angles): यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो उन कोणों को परस्पर पूरक कोण कहते हैं।
→ sin θ : प्रतीक sin θ का प्रयोग कोण θ, के sinθ के संक्षिप्त रूप में किया गया है।
→ cos θ : प्रतीक cos θ का प्रयोग कोण θ, के cosinθ के संक्षिप्त रूप में किया गया है।
→ tan θ : प्रतीक tan θ का प्रयोग कोण θ के tangent के संक्षिप्त रूप में किया गया है।
→ cot θ : प्रतीक cot θ का प्रयोग कोण θ के, cotangent के संक्षिप्त रूप में किया गया है।
→ sec θ : प्रतीक sec θ का प्रयोग कोण θ के, secant के संक्षिप्त रूप में किया गया है।
→ cosec θ : प्रतीक cosec θ का प्रयोग कोण θ, के cosecant के संक्षिप्त रूप में किया गया है।

त्रिकोणमितीय अनुपात :
समकोण त्रिभुज ABC की भुजाओं के कुछ अनुपातों का उसके न्यूनकोणों के सापेक्ष अध्ययन को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते हैं।
समकोण त्रिभुज ABC में ∠B समकोण और न्यूनकोण A के सापेक्ष त्रिकोणमितीय अनुपातों को निम्नांकित प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं-


टिप्पणी : cosec A, sec A और cot A अनुपातों sin A, cos A और tan A के क्रमशः व्युत्क्रम हैं।

इसलिए, समकोण त्रिभुज के एक न्यूनकोण के त्रिकोणमितीय अनुपात, त्रिभुज के कोण और उसकी भुजाओं की लम्बाई के बीच के सम्बन्ध को व्यक्त करते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपातों में पारस्परिक सम्बन्ध (Relations among Trigonometric Ratios) :
(i) sin और cosec त्रिकोणमितीय अनुपात परस्पर व्युत्क्रम (Reciprocal) हैं।
(ii) cos और sec त्रिकोणमितीय अनुपात परस्पर व्युत्क्रम हैं।
(iii) tan और cot त्रिकोणमितीय अनुपात, परस्पर व्युत्क्रम हैं।

इन्हें निम्न प्रकार से भी व्यक्त किया जा सकता है :

sin² θ + cos² θ =1
sin² θ = 1 – cos² θ
cos² θ = 1 – sin² θ
sec² = 1 + tan² θ
sec² θ – tan² θ = 1
tan² θ = sec²2 θ – 1
cosec² θ = 1 – cot² θ
cosec² θ – 1 = cot² θ
cosec² θ – cot² θ = 1
अग्रांकित सारणी की सहायता से प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात को दूसरे त्रिकोणमितीय अनुपातों में परिवर्तित किया जा सकता है :

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात :
0° तथा 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात: यदि समकोण ΔABC में कर्ण AC तथा ΔABC’ में कर्ण AC’ बराबर लम्बाई के हैं। दोनों त्रिभुजों से हम देखते हैं कि θ का मान ज्यों-ज्यों बढ़ाते जाते हैं, त्यों-त्यों उसकी सम्मुख भुजा की लम्बाई बढ़ती जाती है। इसके विपरीत θ का मान कम करने पर उसकी सम्मुख भुजा की लम्बाई कम होती जाती है।

यदि θ का मान घटते घटते शून्य हो जाए, तो उस स्थिति में θ की सम्मुख भुजा BC शून्य और आधार भुजा AB = AC हो जाती है तथा बिन्दु C बिन्दु B के ठीक ऊपर होगा।
∴ sin 0° = \(\frac{B C}{A C}=\frac{0}{A C}\) = 0
तथा cos 0° = \(\frac{A B}{A C}=\frac{A C}{A C}\) = 1 (∵ AB = AC)
tan 0° = \(\frac{\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}=\frac{0}{1}\) = 0

sin 0° = 0
cos 0° = 1
tan 0° = 0
विलोमतः
cosec 0° = अपरिभाषित
sec 0° = 1
cot 0° = अपरिभाषित
यदि समकोण ΔABC में 6 का मान बढ़ाने पर ∠θ के सामने की भुजा BC की लम्बाई बढ़ती है और आधार भुजा घटती है। θ = 90° की स्थिति में BC भुजा, कर्ण AC के बराबर हो जाती है और बिन्दु के ठीक ऊपर होता है और भुजा AB शून्य हो जाती है।
sin 90° = \(\frac{B C}{A C}=\frac{A C}{A C}=1\)
(∵ 90° पर BC = AC)
तथा cos 90° = \(\frac{A B}{A C}=\frac{0}{A C}\)
tan 90° = \(\frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}}=\frac{1}{0}\) = ∞ (अपरिभाषित)
sin 90° = 1
cos 90° = 0
tan 90° = अपरिभाषित
cosec 90° = 1
विलोमत: sec 90° = अपरिभाषित
cot 90° = 0
30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात : एक समबाहु त्रिभुज ABC लेते हैं। जिसका प्रत्येक कोण 60° का होता है।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
शीर्ष A से भुजा BC पर लम्ब AD डालते हैं।

अर्थात् AD ⊥ BC
ΔABD ≅ ΔACD, (RHS सर्वांगसमता नियम से)
∴ BD = DC
∠BAD = ∠CAD (CPCT)
अत: ΔABD एक समकोण Δ है, जिसका कोण D समकोण है।
जहाँ ∠BAD = 30° और ∠ABD = 60°
माना AB = BC = CA = 2a
तब BD = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\) × 2a = a
समकोण ΔABD में,
AD² = AB² – BD²
= (2a)² – (a)²
= 4a² – a² = 3a²
AD = a\(\sqrt{3}\)
अब sin 30° = \(\frac{B D}{A B}=\frac{a}{2 a}=\frac{1}{2}\)
cosec 30° = \(\frac{1}{\sin 30^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

45° के त्रिकोणमितीय अनुपात : समकोण ΔABC में, जिसका ∠B = 90° है। यदि एक ∠A = 45°, तो दूसरा ∠B = 45° का होगा।

अर्थात्
∠A = ∠C = 45°
∴ AB = BC
माना AB = BC = a
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC² = a² + a²
⇒ AC² = 2a²
∴ AC = \(\sqrt{2}\)a.

विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी (Tables of Trigonometric Ratios of Particular Angles)

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trignometrical Ratios of Complementary Angles) :
यदि दो कोणों का योग 90° के बराबर हो, तो वे दोनों कोण एक-दूसरे के पूरक कहलाते हैं। एक समकोण ΔABC में ∠B समकोण है। इसलिए
∠A + ∠C = 90° ⇒ ∠C = 90° – A
अर्थात् ∠A व ∠C एक-दूसरे के पूरक हैं।

∠A के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात :
कर्ण = AC, लम्ब = BC, आधार = AB

अब ∠C = (90° – A) के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात :
कर्ण = AC, आधार = BC, लम्ब = AB
sin ( 90° – A) = लम्ब / कर्ण = \(\frac{A B}{A C}\)
cos (90° – A) = \(\frac{B C}{A C}\)
tan (90° – A) = \(\frac{A B}{B C}\)
cot (90° – A ) = \(\frac{B C}{A B}\)
sec (90° – A) = \(\frac{A C}{B C}\)
cosec (90° – A) = \(\frac{A C}{A B}\)
∠A और ∠C के त्रिकोणमितीय अनुपातों की तुलना करने पर,
sin ( 90° – A) = \(\frac{A B}{A C}\) = cos A
cos (90° – A) = \(\frac{B C}{A C}\) = sin A
tan (90° – A) = \(\frac{A B}{B C}\) = cot A
cot (90° – A ) = \(\frac{B C}{A B}\) = tan A
sec (90° – A) = \(\frac{A C}{B C}\) = cosec A
cosec (90° – A) = \(\frac{A C}{A B}\) = sec A

टिप्पणी : जब हम कोण को बदलेंगे, तो sin θ, cos θ, tan θ, cot θ, sec θ, cosec θ भी परिवर्तित हो जायेंगे। याद रखने के लिए ‘co’ को जोड़िए यदि यह नहीं है तो ‘co’ को हटाइए।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ :
एक समकोण ΔABC में ∠B समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = AC² …..(1)

समीकरण (1) के प्रत्येक पदों को AC² से विभाजित करने पर,
\(\frac{A B^2}{A C^2}+\frac{B C^2}{A C^2}=\frac{A C^2}{A C^2}\)
या \(\left(\frac{A B}{A C}\right)^2+\left(\frac{B C}{A C}\right)^2=1\)
या (cos A)² + (sin A)² = 1
अर्थात् cos² A + sin² A = 1, जहाँ 0° ≤ A ≤ 90°
sin² A + cos² A = 1 …..(2)
अब समीकरण (1) को AB² से विभाजित करने पर,
\(\frac{A B^2}{A B^2}+\frac{B C^2}{A B^2}=\frac{A C^2}{A B^2}\)
या \(\left(\frac{A B}{A B}\right)^2+\left(\frac{B C}{A B}\right)^2=\left(\frac{A C}{A B}\right)^2\)
अर्थात् 1 + tan² A = sec² A …..(3)
अब समीकरण (1) को BC2 से विभाजित करने पर,
\(\frac{A B^2}{B C^2}+\frac{B C^2}{B C^2}=\frac{A C^2}{B C^2}\)
⇒ \(\left(\frac{A B}{B C}\right)^2+\left(\frac{B C}{B C}\right)^2=\left(\frac{A C}{B C}\right)^2\)
⇒ cot² A + 1 = cosece² A ….( 4 )
इन सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात को, दूसरे त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कर सकते हैं,
sin² θ + cos² θ = 1
⇒ sin² θ = 1 – cos² θ
या cos² θ = 1 – sin² θ
1 + tan² θ = sec² θ
⇒ tan² = sec² θ – 1
या sec² θ – tan² θ = 1
cot² θ + 1 = cosec² θ
⇒ cot² θ = cosec² θ – 1
या cosec² θ – cot² θ = 1

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Exercise 2.1

Question 1.

Solution:
1. The number of zeroes is 0 as the graph being parallel to the x-axis does not intersect it.
2. The number of zeroes is 1 as the graph intersects the x-axis at one point only.
3. The number of zeroes is 3 as the graph intersects the x-axis at three points.
4. The number of zeroes is 2 as the graph intersects the x-axis at two points.
5. The number of zeroes is 4 as the graph intersects the x-axis at four points.
6. The number of zeroes is 3 as the graph intersects the x-axis at three points.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी

भूमिका :
पिछली कक्षाओं में आपने विभिन्न आलेखों जैसे कि दंड आलेख, आयत चित्र, बारम्बारता बहुभुज के माध्यम से दिए हुए आँकड़ों को अवर्गीकृत एवम् वर्गीकृत बारम्बारता बंटनों में व्यवस्थित करना सीखा था तथा अवर्गीकृत आँकड़ों की केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापें जैसे कि माध्य, माध्यक, बहुलक के बारे में भी अध्ययन किया था। इस अध्याय में हम वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक कैसे ज्ञात किया जाता है सीखेंगे और संचयी बारम्बारता, संचयी बारम्बारता वक्रों, जो तोरण कहलाती है, को किस प्रकार खींचा जाता है, सीखेंगे।
→ सांख्यिकी (Statistics) : सांख्यिकी वह विज्ञान है, जिसमें आँकड़ों का संग्रह तथा वर्गीकरण किया जाता है तथा उनका विश्लेषण करके उनकी व्याख्या की जाती है।
सांख्यिकी को लैटिन शब्द ‘स्टेट्स (Status) या जर्मन शब्द स्टे (Statistic ) या इटेलियन शब्द स्टेटिस्टा (Statista) से लिया गया है।
→ प्रेक्षण (Observation) : सांख्यिकीय आँकड़ों का प्रत्येक पद प्रेक्षण कहलाता है।
→ बारम्बारता (Frequency) : किसी सारणी में किसी पद की बारम्बारता कई बार हो, तो वह पद जितनी बार आता है उसे पद की बारम्बारता कहते हैं।
→ बारम्बारता सारणी (Frequency table) : वर्ग अन्तराल के अनुसार वर्गीकरण करके जो सारणी बनती है उसे बारम्बारता सारणी कहते हैं।
→ वर्ग की सीमाएँ (Class limits) : वर्ग को निश्चित करने के लिए दो संख्याएँ प्रयोग की जाती हैं, जो उस वर्ग की सीमाएँ कहलाती हैं।
पहली संख्या वर्ग की निम्न सीमा तथा दूसरी संख्या वर्ग की उच्च सीमा कहलाती है।
→ वर्ग अन्तराल (Class size) : किसी वर्ग की उच्च सीमा तथा निम्न सीमा का अन्तर वर्ग अन्तराल कहलाता है।
→ वर्ग चिह्न (Class marks) : एक वर्ग अन्तराल का मध्य बिन्दु या वर्ग चिह्न उसकी उच्च और निम्न सीमाओं का औसत मान होता है।

→ संचयी बारम्बारता (Cumulative Frequency) : किसी वर्ग की संचयी बारम्बारता उस वर्ग तथा उस वर्ग तक के सभी वर्गों की बारम्बारताओं के योग बराबर होती है।
(i) समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) : “वह मान है जो दिये हुए आँकड़ों के योगफल को, आँकड़ों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है।”
(ii) बहुलक (Mode) : सांख्यिकीय आँकड़ों में जिस पद की बारम्बारता सबसे अधिक होती है, बहुलक कहलाता है अथवा दिए गए आँकड़ों (प्रेक्षणों) में सबसे अधिक बार आने वाले आँकड़ों को बहुलक कहते हैं।
(iii) माध्यक (Median) : केन्द्रीय प्रवृत्ति का ऐसा मापक जो आँकड़ों में सबसे बीच के प्रेक्षण का मान देता है माध्यक कहलाता है।
केन्द्रीय प्रवृत्ति-“आँकड़ों में से किसी एक आँकड़े के पास जाने की उनकी प्रवृत्ति को केन्द्रीय प्रवृत्ति कहते हैं।”

1. प्राप्त आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात करना :
इस प्रकार यदि किसी चर राशि के n मान क्रमश: x₁, x₂, ……, x_n हों तो उनका
समान्तर माध्य = \(\frac{x_1+x_2+\ldots \ldots+x_n}{n}\) या \(\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\) [सूत्र रूप] …..(i)
प्रतीक : (i) Σ (सिग्मा) ग्रीक वर्णमाला का एक अक्षर है और गणित में इसको योग या संकलन (Summation) की प्रक्रिया दर्शाने के लिए प्रयोग में लाया जाता है।
\(\sum_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+\ldots \ldots \ldots+x_n\)
(ii) \(\bar{x}\) [x bar] द्वारा समान्तर माध्य प्रकट किया जाता है।
(iii) समान्तर माध्य को संक्षेप में माध्य भी कहते हैं।

2. यदि आँकड़े बारम्बारता सारणी के रूप में दिए हों तो माध्य का अवकलन निम्न प्रकार किया जाता है:
(i) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
(ii) कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) या संक्षेप विधि (Shortcut Method)
(iii) पद-विचलन विधि (Step-deviation Method)
अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य :
क्रिया पद (Working Steps) :
पद I : प्रत्येक विचर को उसकी बारम्बारता से गुणा (f_i × x_i) कीजिए।
पद II : ऐसे सभी गुणनफलों का योगफल ज्ञात कीजिए।
पद III : उपर्युक्त योगफल में बारम्बारता के योगफल का भाग दीजिए।
पद IV : इस प्रकार प्राप्त भागफल समान्तर माध्य होगा।
प्रत्यक्ष विधि में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
माध्य = \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)

वर्गीकृत आँकड़ों का समान्तर माध्य :
क्रिया पद (Working Steps) :
पद I : वर्गीकृत बंटन में प्रत्येक वर्ग के मध्यमानों को ज्ञात कर उन्हें विचर x से प्रदर्शित कीजिए।

पद II : प्रत्येक वर्ग के मध्यमान को उसकी संगत बारम्बारता से गुणा कीजिए। (किसी वर्ग का मध्यमान उस वर्ग की निम्न एवं उच्च, दोनों सीमाओं के योगफल का आधा होता है।)
पद III : उपर्युक्त सभी गुणनफलों के योगफल में बारम्बारताओं के योगफल का भाग दीजिए।
पद IV : यह भागफल ही समान्तर माध्य होगा।
प्रत्यक्ष विधि में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है :
माध्य x \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)

कल्पित माध्य विधि (Assumed mean method) या संक्षेप विधि (Short-cut method) :
समान्तर माध्य (\(\bar{x}\)) = \(A+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
जहाँ di = x_i – A, A = कल्पित माध्य
Σf_i = N = बारम्बारताओं का योग
नोट : सामान्यतः कल्पित माध्य विचर x का वह मान (अथवा मध्यमान) लिया जाता है जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो। ऐसा करने से गणितीय परिकलन सरल हो जाता है।

पद-विचलन विधि (Step-deviation method) : इस विधि में विचलनों d_i = x_i – A के सभी मानों को किसी एक उभयनिष्ठ संख्या (माना h) से भाग देते हैं। ऐसी स्थिति में इन सभी विचलनों को h से विभाजित करते हुए नये विचलन \(u_i=\frac{x_i-A}{h}\) के रूप में लेते हैं।

जहाँ \(u_i=\frac{x_i-A}{h}\)
A = कल्पित माध्य
h = वर्ग माप
Σf_i = N = बारम्बारताओं का योगे

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक :
आँकड़ों के किसी संग्रह या संकलन में जिस प्रेक्षण की बारम्बारता (आवृत्ति) अधिकतम होती है, उस प्रेक्षण के मान को बहुलक कहते हैं।
जैसे: (i) एक कक्षा के 20 छात्रों की आयु वर्षों में निम्न प्रकार हैं, इसका बहुलक ज्ञात करना है :
15 16 13 14 14 13 15 14 13 13
14 12 15 14 16 13 14 14 13 15
उक्त बंटन से स्पष्ट है कि आयु 14 वर्ष सबसे अधिक 7 बार आया है। इसकी बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक 14 होगा।
(ii) कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्न प्रकार हैं, इनका बहुलक ज्ञात करना है :

हल: यहाँ प्राप्तांक 34 की बारम्बारता सबसे अधिक 20 है।
अतः बहुलक = 34 अंक होगा।

वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से बहुलक :
(Mode from Grouped Frequency Distribution)
वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से बहुलक निकालने के लिए अग्र क्रिया पद हैं:
पद I. वर्गीकृत बारम्बारता बंटन के जिस वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक होती है, उसे बहुलक वर्ग (modal class) कहते हैं। सर्वप्रथम बहुलक वर्ग को ज्ञात करते हैं।
पद II. बहुलक वर्ग के माध्यम से निम्न सूत्र का प्रयोग करते हुए बहुलक ज्ञात करते हैं:
बहुलक = \(l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times h\)
जहाँ l = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
f₁ = बहुलक वर्ग की बारम्बारता
f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पूर्व वर्ग की बारम्बारता
f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता
h = बहुलक वर्ग का अन्तराल

माध्यिका या माध्यक (Median) :
1. अवर्गीकृत या व्यक्तिगत श्रेणी से माध्यिका (Median from Ungrouped or Individual Series) : यदि किसी चर राशि x के मानों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में रखा जाए, तो इस श्रेणी के मध्य (बीच) के पद को श्रेणी की माध्यिका या माध्यक (Median) कहते हैं।
(i) यदि पदों की संख्या विषम है, तो मध्य में एक ही पद \(\frac{n+1}{2}\) वाँ होगा।
माध्यक (M) = \(\frac{n+1}{2}\) वाँ होगा।
(ii) यदि पदों की संख्या सम है, तो

संचयी बारम्बारता बंटन का आलेखीय निरूपण (Graphical Representation of Cumulative Frequency) :
बारम्बारता बहुभुज तथा वक्र बनाने की दो विधियाँ हैं :
(1) ‘से कम’ विधि, (2) ‘से अधिक’ विधि।
(1) ‘से कम विधि’ (‘Less than’ method) : (i) वर्ग अन्तरालों की उच्च सीमा से प्रारम्भ करते हैं तथा वर्ग बारम्बारताओं को जोड़कर संचयी बारम्बारता (c.f.) बनाते हैं।
(ii) एक उचित पैमाना लेकर वर्गों की उच्च सीमा को X-अक्ष के अनुदिश निरूपित करते हैं।
(iii) एक उचित पैमाना लेकर संचयी बारम्बारताओं को Y-अक्ष के अनुदिश निरूपित करते हैं।
(iv) ग्राफ पर बिन्दुओं (x_i, f_i) को अंकित करते हैं, जहाँ x_i किसी वर्ग की उच्च सीमा तथा f_i संगत संचयी बारम्बारता है।
(v) चरण (iv) से प्राप्त बिन्दुओं को हाथ से वक्र के रूप में जोड़कर संचयी बारम्बारता वक्र अथवा तोरण प्राप्त करते है।

(2) से अधिक’ विधि (‘More than’ method) :
(i) वर्ग अन्तरालों की निम्न सीमा से प्रारम्भ करते हैं तथा बारम्बारताओं के योग में से प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता घटाकर संचयी बारम्बारता बंटन प्राप्त करते हैं।
(ii) एक उचित पैमाना लेकर वर्गों की निम्न सीमा को X-अक्ष के अनुदिश निरूपित करते हैं।
(iii) एक उचित पैमाना लेकर संचयी बारम्बारताओं को Y-अक्ष के अनुदिश निरूपित करते हैं।
(iv) ग्राफ पर बिन्दुओं (x_i, f_i) को अंकित करते हैं, जहाँ x_i किसी वर्ग की निम्न सीमा तथा fi संगत संचयी बारम्बारता हैं।
(v) चरण (iv) से प्राप्त बिन्दुओं को हाथ से वक्र से रूप में जोड़कर बारम्बारता वक्र अथवा तोरण प्राप्त करते हैं।

तोरण अथवा वक्र द्वारा माध्यक ज्ञात करने की विधि : (i) ग्राफ पेपर पर दो प्रकार के बारम्बारता वक्रों में से एक खींचते हैं।
(ii) \(\frac{N}{2}\)(N = Σf_i) ज्ञात कर, Y-अक्ष पर संगत बिन्दु अंकित करते हैं।
(iii) इस संगत बिन्दु से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींचते हैं जो वक्र को एक बिन्दु (माना P) पर काटती है।
(iv) यह बिन्दु P का भुज अर्थात् बिन्दु P का x-निर्देशांक माध्यिका होगी।