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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ

प्रश्न 1.
7.5 सेमी. रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिए। केवल चित्र बनाइए।
हल:
AP : PB = 2 : 3 होगा।

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें BC = 12 सेमी., AB = 5 सेमी. और ∠B = 90° है। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक \(\frac{2}{3}\) हो। क्या नया त्रिभुज भी क त्रिभुज है।
हल:
रचना के चरण :

• BC = 12 सेमी. की एक रेखा खींची।
• BC के बिन्दु B से 90° का कोण बनाती हुई BX रेखाखण्ड खींची।
• रेखाखण्ड BX से AB = 5 सेमी. काटा तथा AC को मिलाया। इस प्रकार ABC प्राप्त हुआ।
• रेखाखण्ड BC के नीचे की ओर B बिन्दु से न्यून कोण बनाती हुई BY किरण खींची।
• किरण BY के तीन बराबर भाग इस प्रकार किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃।
• B₃ को C से मिलाया।
• B₂ से B₃C के समान्तर रेखा B₂B’ खींची जो BC को B’ पर मिलती है।
• B’ से AB के समान्तर रेखा A’B’ खींची जो AC से A’ पर मिलती है।

इस प्रकार ΔA’B’C, अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

औचित्य (उपपत्ति) : ΔBB’B₂ तथा ΔBCB₃ में
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BB₂B’ = ∠BB₃C (रचना से)
ΔBB’B₂ ~ ΔBCB₃ (AA समरूपता कसौटी से)
\(\frac{B B^{\prime}}{B C}=\frac{B B_2}{B B_3}\)
(समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है)

∠A’BC = ∠ABC = 90° (रचना से)
अतः ΔA’B’C की भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) गुनी होंगी तथा ΔA’B’ C समकोण Δ होगी।

प्रश्न 3.
3 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 5 सेमी. त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी विन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए।
हल:
दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु माना P दिया गया है।

रचना के चरण :

• 3 सेमी त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
• केन्द्र O से 5 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु P लिया।
• रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
• बिन्दु M को लेकर MP त्रिज्या का एक वृत खींचा जो केन्द्र O के 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को T₁ और T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
• PT₁ और PT₂ को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

उपपत्ति: हम जानते हैं स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
OT₁ तथा OT₂ को मिलाया, OP वृत्त का व्यास है।
∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
OT1 ⊥ PT1 तथा OT2 ⊥ PT2
अत: PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
लम्बाई मापने पर-
परिकलन : स्पर्श रेखा

प्रश्न 4.
8 सेमी. लम्बी एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या पर एक वृत्त बनाइये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्मों की रचना कीजिए एवम् उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल:
रचना के चरण :

• 8 सेमी. लम्बाई का AB रेखाखण्ड खींचा।
• AB के A बिन्दु से 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
• AB का समद्विभाजक खींचा तथा समद्विभाजक बिन्दु को M अंकित किया।
• M को केन्द्र मानकर MA त्रिज्या का वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को T₁ तथा T₂ पर काटता है।
• BT₁ तथा BT₂ को मिलाया BT₁ तथा BT₂ अभीष्ट रेखाएँ हैं। नापने पर स्पर्श रेखाओं की लम्बाई = 6.93 सेमी।

औचित्य (उपपत्ति) : AT₁ तथा AT₂ को मिलाया।
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अत: ∠AT₁B = ∠AT₂B = 90°
AB, M केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है।
∠AT₁B = ∠AT₂B = 90°
(अर्द्धवृत्त में बनी कोण समकोण होता है)
अत: BT₁ तथा BT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 5.
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिये गये त्रिभुज की संगत भुजा की \(\frac{3}{5}\) गुनी हो।
हल:
माना ΔABC है जिसमें AB = 5 सेमी, AC = 4 सेमी, BC = 6 सेमी।

रचना के चरण :

• एक रेखाखण्ड BC 6 सेमी खींचा।
• B को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाया।
• C को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो पहले चाप को A बिन्दु पर काटता है।
• AB और AC को मिलाया ΔABC वांछित त्रिभुज है।
• आधार BC के नीचे की ओर कोई न्यून कोण बनाती BX किरण खींची।
• BX किरण के पाँच बराबर भाग इस प्रकार किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅
• B₅C को मिलाया। B₃ से B5C के समान्तर B₃C’ रेखा खींची जो B₃ से C’ पर मिलती है।
• C’ से AC के समान्तर A’C’ रेखा खींची जो AB को A’ पर मिलती है।

अतः A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज होगा।

औचित्य (उपपत्ति) : ΔBB₃C तथा BB₅C में
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BB₃C’ = ∠BB₅C (रचना से)
ΔBB₃C’ ~ ΔBB₅C (AA समरूपता कसौटी से)
\(\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_3}{B B_5}\)
[समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं]

A’B = \(\frac{3}{5}\)AB, A’C’ = \(\frac{3}{5}\)AC तथा BC’ = \(\frac{3}{5}\)BC
अत: ΔA’BC’ की भुजाएँ ABC की संगत भुजाओं \(\frac{3}{5}\) की हुँ गुनी होंगी।

प्रश्न 6.
त्रिज्या 5 सेमी का वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 13 सेमी दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएं खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापिए तथा गणना करो व औचित्य भी दीजिए।
हल:
रचना के चरण :

• सर्वप्रथम 5 सेमी का वृत्त खींचा जिसका केन्द्र O है।
• बिन्दु ‘O’ से 13 सेमी दूरी पर बिन्दु P लिया, OP को मिलाया।
• PO को सम द्विभाजित किया सम द्विभाजक को M अंकित है।
• M केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को A और B बिन्दुओं पर काटता है।
• PA और PB को मिलाया अतः PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श रेखा को नापने पर लम्बाई = 12 सेमी हैं।

गणना द्वारा लम्बाई ज्ञात करना : ΔPOA में,
∠PAO = 90° (प्रमेय 10.1 से)
अत: ΔPOA एक समकोण त्रिभुज है, अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
PO² = AO² + PA²
PA² = PO² + AO²
= (13)² – (5)²
= 169 – 25
PA = 144
PA = \(\sqrt{144}\)
= 12 सेमी
अतः नापने और गणना द्वारा स्पर्श रेखाओं की लम्बाई 12 सेमी।

औचित्य (उपपत्ति) :
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती हैं।
अतः ∠PAO = 90° तथा ∠PBO = 90°
∵ OA, OB की मिलाया, OP वृत्त का व्यास हैं।
∠PAO व ∠PBO अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠PAO = 90°, ∠PBO = 90°
अत: PA व PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 7.
4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस पर स्पर्श रेखाओं के ऐसे युग्म की रचना कीजिए कि इनके बीच का कोण 60° हो। रचना का औचित्य भी दीजिए। वृत्त के केन्द्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के बीच की दूरी को मापिये।
हल:
रचना के चरण :

• O को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या वाला वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचा।
• त्रिज्या AO के बिन्दु O पर 60° का कोण बनाती हुई एक रेखा OC खींची जो वृत्त को C बिन्दु पर काटती है।
• OC रेखाखण्ड के बिन्दु C से 90° का कोण बनाती हुई स्पर्श रेखा खींची।
• OB के बिन्दु B से 90° का कोण बनाती हुई दूसरी स्पर्श रेखा खींची जो पहली स्पर्श रेखा को D बिन्दु पर मिलती है।

अत: CD तथा BD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ 60″ का कोण बनाती है। मापने पर केन्द्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के बीच की दूरी = 8 सेमी.।
औचित्य (उपपत्ति) :
∠AOC + ∠BOC = 180° (रैखिक समीकरण युग्म)
⇒ 60° + ∠BOC = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 60° = 120°
∵ OB तथा OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं तथा CD व BD वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠OCD = ∠OBD = 90° (प्रमेय 10.1 से)
अब ∠BOC + ∠OCD + ∠BDC + ∠OBD = 360°
⇒ 120° + 90° + ∠BDC + 90° = 360°
⇒ 300° + ∠BDC = 360°
⇒ ∠BDC = 360° – 300°
= 60°
अंतः CD व BD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 8.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त की रचना कीजिए। वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से केन्द्र का उपयोग किए बिना वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए तथा औचित्य भी दीजिए।
हल:
दिया है : एक वृत्त और इसका बाह्य बिन्द P हैं। वृत का केन्द्र अज्ञात है।
रचना के चरण :

•  वृत्त की छेदक रेखा PAB खींची।
• PB को समद्विभाजित किया और इसके मध्य-बिन्दु M से MP = MB त्रिज्या का अर्द्धवृत खींचा।
• बिन्दु A पर लम्ब AC खींचा जो अर्द्ध वृत्त को C बिन्दु पर मिलता है।
• P को केन्द्र मानकर PC त्रिज्या के चाप खींचे जो वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• PR और PQ को मिलाया। अब PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : PB को व्यास मानकर अर्द्धवृत PCB खींचा और PB के बिन्दु A पर AC ⊥ PB पर,
PC² = PA.PB
(∵ PC त्रिज्या के चाप R व Q हैं)
∴ PR² = PA.PB (PC = PR = PQ)
PQ² = PA.PB
अत: PR और PQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 9.
4.5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएं खींचिए जो परस्पर 45° का कोण बनाती हों। औचित्य भी दीजिए।
हल:
रचना के चरण :

• O को केन्द्र मानकर 4.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचा।
• बिन्दु O पर OA से 45° का कोण बनाती हुई एक रेखा OC खींची जो वृत्त को C बिन्दु पर काटती है।
• बिन्दु B पर OB के लम्बवत् रेखा खींची तथा विन्दु C पर OC के लम्बवत् एक रेखा खींची। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को P बिन्दु पर काटती हैं।

अत: PB और PC वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक-दूसरे से 45° का कोण बनाती हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : माना वृत्त का केन्द्र O है। PB व PC स्पर्श रेखाएँ हैं।
इनके बीच का कोण BPC = 45° है।
∠BOC = 180° – 45° = 135°
∠AOC = 180° – ∠BOC (रैखिक समीकरण युग्म से)
= 180° – 135°
= 45°.

प्रश्न 10.
8.5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल:
केन्द्र A से 5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा गया है तथा B को केन्द्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा गया है।
रचना के चरण :

• सर्वप्रथम AB रेखाखण्ड 8.5 सेमी खींचा।
• A को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केन्द्र B से 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
• रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक किया जो कि AB को M बिन्दु पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर MA त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो 4 केन्द्र वाले वृत्त को S वT बिन्दुओं पर तथा B केन्द्र वाले वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर काटता है।
• SB, TB, PA व QA को मिलाया।

अत: SB और TB केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा PA और QA केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : ∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∠ASB = ∠ATB = 90°
और ∠APB = ∠AQB = 90°
M केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB है।
∠ASB, ∠ATB अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠ASB = 90°, ∠ATB = 90°.
∴ SB और TB केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसी प्रकार ∠APB और ∠AQB अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠APB = 90°, ∠AQB = 90°,
∴ PA और QA केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 11.
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) की गुनी हों।
हल:
रचना के चरण :

• एक रेखाखण्ड BC = 5 सेमी खींचिए।
• बिन्दु B को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या लेकर लगाइए।
• इसी प्रकार, बिन्दु C को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या एक अन्य चाप लगाइए, जो बिन्दु B से लगे चाप के है। यह प्रतिच्छेदित बिन्दु A है।
• A से C को मिलाइये। अतः एक समबाहु त्रिभुज BC रचना हो गई।
• BC से शीर्ष A के दूसरी ओर न्यूनकोण बनाती किरण XY खींचिए।
• 3 बिन्दु B₁, B₂, B₃ किरण BY पर इस प्रकार कीजिए कि BB₁ = BB₂ = B₂B₃ है।
• B₃ को C से मिलाइए।
• बिन्दु B₂ से, B₂D || B₃C खींचिए।
• बिन्दु D से, DE || CA खींचिए।
  तब ΔEBD अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) की गुनी है।

प्रश्न 12.
2 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर 5 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्री वृत्त खींचिए। बाह्य वृत्त पर लिए गए एक बिन्दु P में छोटे वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए। PA की लम्बाई मापिए।
हल:
रचना के चरण :

• एक 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। अब इस O से एक 5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
• बाह्य वृत्त पर बिन्दु P लेकर उसे केन्द्र O से मिलाइये।
• अब OP का लम्ब अर्द्धक खींचिए, जो OP को M पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर तथा OM त्रिज्या से वृत्त खींचिए जो अंतः वृत्त को बिन्दु A व B परकाटता है।
• बिन्दु A व B को बिन्दु P से मिलाइए। PA तथा PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। PA = 4.5 सेमी।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें भुजा BC = 6 सेमी ∠B = 45° तथा ∠A = 105° हो, तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों।
हल:
रचना के चरण :
(1) एक रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचिए।
(2) बिन्दु B पर ∠B 45° बनाया।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 150°
∠C = 30°
(3) बिन्दु C पर ∠C = 30° बनाया। दोनों किरणें 4 पर काटती हैं। इस प्रकार ΔABC प्राप्त होता है।
(4) BC पर न्यून कोण बनाती एक किरण BX खींचिए।
(5) बिन्दुओं B₁, B₂, B₃ और B₄ को इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = BB₂ = B₂B₃ = B₃B₄

(6) B₂C को मिलाइए।
(7) B₄ में होती हुई रेखा B₄C || B₃ खींचिए।
(∠BB₃C = ∠BB₄C
(8) C में होती हुई रेखा C₄‘A’ || AC खींचिए।
(∠BCA = ∠BC’A)
अत: ΔA’BC’ एक अभीष्ट त्रिभुज हैं।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें भूजा BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो। तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों।
हल:
BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105°
∠C = 180° – ( ∠B + ∠A)
= 180° – (45° + 105°)
= 180° – 150°
= 30°
रचना के चरण :

• BC = 7 सेमी की रेखा खींचे।
• बिंदु B पर 45° तथा बिंदु C पर 30° का कोण बनाएँ। यह एक दूसरे को पर काटते हैं।
• बिंदु B पर एक न्यून कोण बनाएँ।
• कोण किरण को चार सामान भागों B₁, B₂, B₃ और B₄ पर विभाजित किया।
• B₄ को C पर मिलाएँ।
• बिंदु B₃ मैं रेखा B₄C के समानान्तर रेखा बनाये जो BC को C’ पर काटती है।
• C से AC के समानान्तर CA’ रेखा खींची जो AB को A’ पर काटती है।
• ΔA’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है। जिसमें A’B = \(\frac{3}{4}\)AB.

प्रश्न 15.
आधार 5 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं का \(\frac{2}{3}\) गुना हो।
हल:
रचना के चरण :

• BC = 8 सेमी खींचें।
• BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक XY खींचा जां BC को M पर काटता है।
• XM पर MA = 4 सेमी काटा, तब BA और CA को मिलाया जिसमें ΔABC प्राप्त हुआ।
• बिन्दु B पर एक न्यूनकोण बनाया तथा उस पर तीन चाप B₁, B₂ और B₃ बनाए।
• B₃C मिलाया और B₂ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जी BC को C’ पर काटती है।
• C’ से A’C’ || AC खींची।
• अत: A’C’B अभीष्ट त्रिभुज है।

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

भूमिका :
द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है। अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाती है। जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के तुल्य कर देते हैं, तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होती है। जैसे- p(x) = ax² + bx + c; a ≠ 0. एक द्विघात बहुपद है। यदि p(x) = 0 कर दें, तो ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 द्विघात समीकरण कहलाती है।
(1) द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): वह बहुपद जिसकी घात 2 हो द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात का व्यापक रूप ax² + bx + c है। जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, a ≠ 0 तथा x एक चर है।
(2) समीकरण (Equation): किसी बहुपद को शून्य के बराबर करने से प्राप्त रैखिक व्यंजक को एक समीकरण कहते हैं। बराबर चिन्ह द्वारा इसे दो भागों में बाँटा जा सकता है। बायाँ पक्ष को L.H.S. तथा दायाँ पक्ष को R.H.S. कहते हैं।
उदाहरणार्थं- (i) x + 5 = 0 (रैखिक समीकरण)
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
(ii) 2y² + 3y + 4 = 0 (द्विघात समीकरण)
(3) समीकरण के मूल (Roots of an equation): एक वास्तविक संख्या (a), समीकरण P(x) = 0 का एक मूल कहलाती है। यदि P(a) = 0 यदि P(x) = 0 एक द्विघात समीकरण हो, तो बहुपद P(x) के शून्यक समीकरण P(x) = 0 के मूल कहलाते हैं।
(4) काल्पनिक मूल (Imaginary roots ) : यदि किसी समीकरण के मूल वास्तविक संख्याएँ न हों तो उन्हें हम काल्पनिक मूल कहेंगे।
(5) चाल = दूरी / समय
(6) दूरी = चाल × समय
(7) समय = दूरी / चाल

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) :
दो घात की बहुपदीय समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं व्यापक रूप में इसे इस प्रकार से व्यक्त किया जाता है, ax² + bx + c = 0; जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠ 0
व्यापक द्विघात समीकरण में x² का गुणांक a, x का गुणांक b तथा c स्वतन्त्र अचर होता है।
3x² + x – 2 = 0, x² – 2x + 1 = 0; 4x² + 4x + 1 = 0 आदि द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण हैं।

द्विघात समीकरण के मूल (Roots of a Quadratic Equation) : यदि संख्याएँ α और β द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक हों अर्थात् यदि संख्याएँ α तथा β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को सन्तुष्ट करती हों, तब c तथा द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, द्विघाती बहुपद P(x) = x² – x – 2 में
x = 2 रखने पर, P(2) = (2)² – (2) – 2 = 4 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0
x = – 1 रखने पर, P(-1) = (-1)² – (-1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
∴ 2 और -1 बहुपद के शून्यक हैं।
अतः 2 और -1 द्विघात समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल कहलायेंगे।
टिप्पणी- (i) उपर्युक्त उदाहरण में 2 और -1 समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल हैं, शून्यक नहीं।
(ii) शून्यर्कों का सम्बन्ध बहुपद से होता है जबकि मूलों का सम्बन्ध समीकरण से होता है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ :
द्विघात समीकरण को निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा हल अर्थात् मूल ज्ञात किये जाते हैं-
(i) गुणनखण्ड विधि,
(ii) पूर्ण वर्ग बनाकर,
(iii) श्रीधर आचार्य सूत्र विधि द्वारा।

गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना :
(1) समीकरण को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि ‘=’ चिन्ह के दायीं ओर केवल शून्य तथा बाय और समीकरण के शेष सभी पद हों।
(2) बाई ओर के व्यंजक के रैखिक गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं।
(3) अन्त में, प्रत्येक गुणनखण्ड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखकर अज्ञात राशि के मान ज्ञात करते हैं जो समीकरण के अभीष्ट हल होते है।

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल :
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर निम्नलिखित चरणों में हल किया जाता है:
(i) समीकरण में चर x सम्बन्धी सभी पदों को बाय ओर रखकर अचर पद को दायीं ओर रखते हैं।
(ii) x² के गुणांक (यदि कोई हों) से दोनों पक्षों को भाग करते हैं ताकि x² का गुणांक 1 (इकाई) बन जाए।
(iii) दोनों पक्षों में,
x के गुणांक के आधे का वर्ग अर्थात् जोड़ने पर बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
(iv) अन्त में दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर के मान ज्ञात करते हैं।

द्विघात समीकरण का श्रीधराचार्य विधि द्वारा हल :
हिन्दू गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र दिया है। इसकी स्थापना एवं विवेचना आगे दी गई है।
माना समीकरण है : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (दोनों पक्षों में a का भाग देने पर)
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x = –\(\frac{c}{a}\)
अब x के गुणांक (\(\frac{b}{a}\)) के आधे (\(\frac{b}{2 a}\)) के वर्ग (\(\frac{b}{2 a}\))² = \(\frac{b^2}{4 a^2}\) को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

श्रीधराचार्य सूत्र की निम्न प्रकार से व्याख्या की जा सकती है :

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) कहते हैं।

मूलों की प्रकति :
विविक्तकर (Discriminant) राशि b² – 4ac द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 की विविक्तकर कहलाती है। इसे संकेत Δ या D द्वारा व्यक्त किया गया है।
अत: D = b² – 4ac;
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति : द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के विविक्तकर D = b² – 4ac के विभिन्न प्रकार के मानों के अनुरूप द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्न प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है:
(i) यदि D = b² – 4ac > 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक एवं पृथक्-पृथक् होंगे, अर्थात् यदि α और β दो मूल हों तो α = \(\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
तथा β = \(\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
(ii) यदि D = b² – 4ac = 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे अर्थात् α = \(-\frac{b}{2 a}\) = β
(iii) D = b² – 4ac < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् दोनों मूल काल्पनिक होंगे।
अर्थात् द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 के मूलों की प्रकृति उसके विविक्तकर D = b² – 4ac के मान पर निम्नवत् निर्भर करती है-

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.3

Question 1.
Solve the following pair of linear equations by the substitution method:
1. x + y = 14
x – y = 4
2. s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
3. 3x – y = 3
9x – 3y = 9
4. 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5 y = 2.3
5. \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)3y = 0
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0
6. \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
Solution:
1. x + y = 14 ……….(1)
x – y = 4 ……..(2)
From equation (1), we get y = 14 – x.
Substituting y = 14 – x in equation (2).
we get
x – (14 – x) = 4
∴ x – 14 + x = 4
∴ 2x = 4 + 14
∴ 2x = 18
∴ x = 9
Substituting x = 9 in equation (1), we get
9 + y = 14
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 9, y = 5.
Verification: x + y = 9 + 5 = 14 and x – y = 9 – 5 = 4.
Hence, the solution is verified.

2. s – t = 3 ……….(1)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\) ……..(2)
From equation (1), we get s = t + 3.
Substituting s = t + 3 in equation (2),
we get
\(\frac{t+3}{3}+\frac{t}{2}=6\)
∴ 2 (t + 3) + 3t = 36 (Multiplying by 6)
∴ 2t + 6 + 3t = 36
∴ 5t = 30
∴ t = 6
Substituting t = 6 in equation (1), we get s – 6 = 3
∴ s = 9
Thus, the solution of the given pair of linear equations is s = 9, t = 6.
Verification: s – t = 9 – 6 = 3 and
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=\frac{9}{3}+\frac{6}{2}=6\)
Hence, the solution is verified.

3. 3x – y = 3 ……….(1)
9x – 3y = 9 ……….(2)
From equation (1), we get y = 3x – 3.
Substituting y = 3x – 3 in equation (2).
we get
9x – 3(3x – 3) = 9
∴ 9x – 9x + 9 = 9
∴ 9 = 9
Here, we do not get the value of x, but we get a true statement 9 = 9.
Hence, the given pair of linear equations has infinitely many solutions given by y = 3x – 3, where x is any real number.

4. 0.2x + 0.3y = 1.3 ……….(1)
0.4x + 0.5y = 2.3 ……….(2)
Not mandatory, but for convenience we multiply both the equations by 10 and get equations with integer coefficients as:
2x + 3y = 13 ……(3)
4x + 5y = 23 ……..(4)
From equation (3), we get x = \(\frac{13-3 y}{2}\).
Substituting x = \(\frac{13-3 y}{2}\) in equation (4),
we get
4(\(\frac{13-3 y}{2}\)) + 5y = 23
∴ 26 – 6y + 5y = 23
∴ -y = -3
∴ y = 3
Substituting y = 3 in x = \(\frac{13-3 y}{2}\)
x = \(\frac{13-3(3)}{2}\)
∴ x = \(\frac{4}{2}\)
∴ x = 2
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 3.
Verification:
0.2x + 0.3y = (0.2) (2) + (0.3) (3) = 1.3 and
0.4x + 0.5y = (0.4) (2) = (0.5) (3) = 2.3.
Hence, the solution is verified.

5. \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)y = 0 ……….(1)
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y.
Substituting x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y in equation (1),
we get
\(\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} y\right)+\sqrt{3} y=0\)
∴ \(\frac{4}{\sqrt{3}} y+\sqrt{3} y=0\)
∴ \(y\left(\frac{4}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)=0\)
∴ y = 0
Substituting y = 0 in x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y, we get
x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)(0)
∴ x = 0
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 0, y = 0.

6. \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\) ……….(1)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\) ……….(2)
Not mandatory, but for convenience we multiply both the equations by 6 and get
9x – 10y = – 12 ……….(3)
2x + 3y = 13 ……….(4)
From equation (3), we get x = \(\frac{10 y-12}{9}\).
Substituting x = \(\frac{10 y-12}{9}\) in equation (4).
we get
2(\(\frac{10 y-12}{9}\)) + 3y = 13
∴ 2(10y – 12) + 27y = 117 (Multiplying by 9)
∴ 20y – 24 + 27y = 117
∴ 47y = 141
∴ y = 3
Substituting y = 3 in x = \(\frac{10 y-12}{9}\), we get
x = \(\frac{10(3)-12}{9}\)
∴ x = \(\frac{18}{9}\)
∴ x = 2
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 3.

Question 2.
Solve 2x + 3y = 11 and 2x – 4y = -24 and hence find the value of ‘m’ for which y = mx +3.
Solution:
2x + 3y = 11 …..(1)
2x – 4y = -24 …..(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{4 y-24}{2}\) = 2y – 12.
Substituting x = 2y – 12 in equation (1), we get
2 (2y – 12) + 3y = 11
∴ 4y – 24 + 3y = 11
∴ 7y = 35
∴ y = 5
Substituting y = 5 in x = 2y – 12, we get
x = 2(5) – 12
∴ x = 10 – 12
∴ x = -2
Now, for x = -2 and y = 5, y = mx + 3 gives
5 = m(-2) + 3
∴ 5 = -2m + 3
∴ 2m = 3 – 5
∴ 2m = -2
∴ m = -1
Thus, the solution of the given pair of equations is x = -2, y = 5 and m = -1 satisfies y = mx +3.

Form the pair of linear equations for the following problems and find their solution by substitution method:

Question 1.
The difference between two numbers is 26 and one number is three times the other. Find them.
Solution:
Let the greater number be x and the smaller number be y
Then, from the given information, we get the following pair of linear equations:
x – y = 26 ……….(1)
x = 3y ………….(2)
Substituting x = 3y in equation (1).
we get
3y – y = 26
∴ 2y = 26
∴ y = 13
Then, x = 3y gives x = 3 × 13 = 39.
Thus, the required numbers are 39 and 13.
Verification: The difference of numbers = 39 – 13 = 26 and 39 = three times 13.

Question 2.
The larger of two supplementary angles exceeds the smaller by 18 degrees. Find them.
Solution:
Let the measure (in degrees) of the greater angle be x and that of the smaller angle be y.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
x + y = 180 ……….(1)
x – y = 18 ………….(2)
From equation (2), we get x = y + 18.
Substituting x = y + 18 in equation (1).
we get
y + 18 + y = 180
∴ 2y = 162
∴ y = 81
Substituting y = 81 in equation (2), we get
x – 81 = 18
∴ x = 99
Thus, the measures (in degrees) of the given angles are 99 and 81.
Verification: Larger angle-Smaller angle = 99° – 81° = 18° and Larger angle + Smaller angle = 99° + 81° = 180°, i.e., the angles are supplementary angles.

Question 3.
The coach of a cricket team buys 7 bats and 6 balls for ₹ 3800. Later, she buys 3 bats and 5 balls for ₹ 1750. Find the cost of each bat and each ball.
Solution:
Let the cost of each bat be ₹ x and the cost of each ball be ₹ y.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
7x + 6y = 3800 ……….(1)
3x + 5y = 1750 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{1750-5 y}{3}\)
Substituting x = \(\frac{1750-5 y}{3}\) in equation (1) we get
7(\(\frac{1750-5 y}{3}\)) + 6y = 3800
∴ 7(1750 – 5y) + 18y = 11400 (Multiplying by 3)
∴ 12250 – 35y + 18y = 11400
∴ -17y = 11400 – 12250
∴ -17y = -850
∴ 17y = 850
∴ y = 50
Substituting y = 50 in x = \(\frac{1750-5 y}{3}\), we get
x = \(\frac{1750-5(50)}{3}\)
∴ x = \(\frac{1500}{3}\)
∴ x = 500
Thus, the cost of each bat is ₹ 500 and the cost of each ball is ₹ 50.
Verification:
Cost of 7 bats and 6 balls = 7 × 500 + 6 × 50 = ₹ 3800
Cost of 3 bats and 5 balls = 3 × 500 + 5 × 50 = ₹ 1750

Question 4.
The taxi charges in a city consist of a fixed charge together with the charge for the distance covered. For a distance of 10 km, the charge paid is ₹ 105 and for a journey of 15 km. the charge paid is ₹ 155. What are the fixed charges and the charge per km? How much does a person have to pay for travelling a distance of 25 km?
Solution:
Let the fixed charge be ₹ x and the charge for the distance covered be ₹ y per km.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
x + 10y = 105 ……….(1)
x + 15y = 155 ……….(2)
From equation (1), we get x = 105 – 10y.
Substituting x = 105 – 10y in equation (2), we get
(105 – 10y) + 15y = 155
∴ 105 + 5y = 155
∴ 5y = 50
∴ y = 10
Substituting y = 10 in x = 105 – 10y.
we get
x = 105 – 10(10)
∴ x = 5
Thus, the fixed charge is ₹ 5 and the charge for the distance covered is ₹ 10 per km.
So, the total charge a person has to pay for travelling d km, is given by
Total charge = ₹(5 + 10d)
∴ Total charge to be paid for travelling 25 km = ₹ (5 + 10 × 25) = ₹ 255.

Question 5.
A fraction becomes \(\frac{9}{11}\), if 2 is added to both the numerator and the denominator. If, 3 is added to both the numerator and the denominator it becomes \(\frac{5}{6}\). Find the fraction.
Solution:
Let the numerator of the fraction be x and the denominator of the fraction be y.
Then, the required fraction is \(\frac{x}{y}\)
Then, from the given data, we get the following pair of equations:
\(\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}\)
∴ 11(x + 2) = 9(y + 2)
∴ 11x + 22 = 9y + 18
∴ 11x – 9y = -4 is the first linear equation derived from the data.
Similarly, \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}\)
∴ 6x + 18 = 5y + 15
∴ 6x – 5y = -3 is the second linear equation derived from the data.
Hence, required pair of linear equations is as follows:
11x – 9y = -4 ……….(1)
6x – 5y = -3 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{5 y-3}{6}\)
Substituting x = \(\frac{5 y-3}{6}\) in equation (1),
we get
11(\(\frac{5 y-3}{6}\)) – 9y = -4
∴ 11 (5y – 3) – 54y = -24 (Multiplying by 6)
∴ 55y – 33 – 54y = -24
∴ y = 9
Substituting y = 9 in x = \(\frac{5 y-3}{6}\), we get
x = \(\frac{5(9)-3}{6}\)
∴ x = \(\frac{42}{6}\)
∴ x = 7
Thus, the required fraction is \(\frac{7}{9}\)
Verification:
\(\frac{7+2}{9+2}=\frac{9}{11}\) and \(\frac{7+3}{9+3}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)

Question 6.
Five years hence, the age of Jacob will be three times that of his son. Five years ago, Jacob’s age was seven times that of his son. What are their present ages?
Solution:
Let the present age of Jacob be x years and the present age of his son be y years.
∴ Five years hence, the age of Jacob will be (x + 5) years and the age of his son will be (y + 5) years.
Then, from the given data,
(x + 5) = 3(y + 5)
∴ x + 5 = 3y + 15
∴ x – 3y = 10
Again, five years ago, the age of Jacob was (x – 5) years and the age of his son was (y – 5) years.
Then, from the given data,
(x – 5) = 7(y – 5)
∴ x – 5 = 7y – 35
∴ x – 7y = -30
Hence, the required pair of linear equations is as follows:
x – 3y = 10 ……….(1)
x – 7y = -30 ……….(2)
From equation (2), we get x = 7y – 30.
Substituting x = 7y – 30 in equation (1).
we get
7y – 30 – 3y = 10
∴ 4y = 40
∴ y = 10
Substituting y = 10 in x = 7y – 30, we get
x = 7(10) – 30
∴ x = 40
Thus, the present ages of Jacob and his son are 40 years and 10 years respectively.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Exercise 2.2

Question 1.
Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients :
1. x² – 2x – 8
2. 4s² – 4s + 1
3. 6x² – 3 – 7x
4. 4u² + 8u
5. t² – 15
6. 3x² – x – 4
Solution:
1. x² – 2x – 8 = x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4) + 2(x – 4)
= (x – 4)(x + 2)
So, the value of x² – 2x – 8 is zero, when
x – 4 = 0 or x + 2 = 0, i.e., when x = 4 or x = -2.
Hence, the zeroes of polynomial x² – 2x – 8 are 4 and -2.
Now,
Sum of zeroes = 4 + (-2)
= 2
= \(\frac{-(-2)}{1}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } x)}{\text { Coefficient of } x^2}\)
and Product of zeroes = (4) (-2)
= -8
= \(\frac{-8}{1}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^2}\)

2. 4s² – 4s + 1 = 4s² – 2s – 2s + 1
= 2s (2s – 1) -1 (2s – 1)
= (2s – 1)(2s – 1)
So, the value of 4s² – 4s + 1 is zero, when \(\frac{1}{2}\) or
s = \(\frac{1}{2}\)
2s – 1 = 0 or 2s – 1 = 0, i.e., when s = 2
Hence, the zeroes of polynomial 4s² – 4s + 1 are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{2}\) (both equal).
Now,

3. 6x² – 3 – 7x = 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3)(3x + 1)
So, 6x² – 3 – 7x = 0 when 2x – 3 = 0 or 3x + 1 = 0,
i.e., when x = \(\frac{3}{2}\) or x = –\(\frac{1}{3}\).
Hence, the zeroes of polynomial 6x² – 3 – 7x are \(\frac{3}{2}\) and –\(\frac{1}{3}\).
Now,

4. 4u² + 8u = 4u (u + 2)
So, 4u² + 8u = 0 when 4u = 0 or u + 2 = 0,
i.e., when u = 0 or u = -2.
Hence, the zeroes of polynomial 4u² + 8u are 0 and -2.
Now,
Sum of zeroes = 0 + (-2)
= -2
= \(\frac{-(8)}{4}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } u)}{\text { Coefficient of } u^2}\)
and
Product of zeroes = (0)(-2) = 0
= \(\frac{0}{4}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } u^2}\)
Note: In polynomial
4u² + 8u = 4u² + 8u + 0, the constant term is 0.

5. t² – 15 = (t)² – (\(\sqrt{15}\))²
= (t + \(\sqrt{15}\)) (t – \(\sqrt{15}\))
So, t² – 15 = 0 when t + \(\sqrt{15}\) = 0 or
t – 15 = 0, i.e., when t = –\(\sqrt{15}\) or t = \(\sqrt{15}\).
Hence, the zeroes of polynomial t² – 15 are –\(\sqrt{15}\) and \(\sqrt{15}\).
Now,
Sum of zeroes = (\(-\sqrt{15}\)) + (\(\sqrt{15}\))
= 0
= \(\frac{-0}{1}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } t)}{\text { Coefficient of } t^2}\)
and
Product of zeroes = (\(\sqrt{15}\)) (\(\sqrt{15}\))
= -15
= \(\frac{-15}{1}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } t^2}\)
Note: In polynomial t² – 15 = t² + 0t – 15, the coefficient of t is 0.

6. 3x² – x – 4 = 3x² + 3x – 4x – 4
= 3x(x + 1) – 4(x + 1)
= (x + 1)(3x – 4)
So, 3x² – x – 4 = 0 when x + 1 = 0 or 3x – 4 = 0, i.e., when x = -1 or x = \(\frac{4}{3}\)
Hence. -1 and \(\frac{4}{3}\) are the zeroes of polynomial 3x² – x – 4.
Now,

Question 2.
Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively:
1. \(\frac{1}{4}\), -1
2. \(\sqrt{2}\), \(\frac{1}{3}\)
3. 0, \(\sqrt{5}\)
4. 1, 1
5. \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
6. 4, 1
Solution:
1. \(\frac{1}{4}\), -1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = -1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 4, then b = -1 and c = -4.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 4x² – x – 4.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(4x² – x – 4), where k is a non-zero real number.

2. \(\sqrt{2}\), \(\frac{1}{3}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(\sqrt{2}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 3, then b = -3\(\sqrt{2}\) and c = 1
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 3x² – 3\(\sqrt{2}\)x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(3x² – 3\(\sqrt{2}\)x + 1).
where k is a non-zero real number.

3. 0, \(\sqrt{5}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given, α + β = 0 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\sqrt{5}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = 0 and c = \(\sqrt{5}\).
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² + \(\sqrt{5}\).
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² + \(\sqrt{5}\)), where k is a non-zero real number.

4. 1, 1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given.
α + β = 1 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = -1 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² – x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² – x + 1), where k is a non-zero real number.

5. \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(-\frac{1}{4}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 4, then b = 1 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 4x² + x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(4x² + x + 1), where k is a non-zero real number.

6. 4, 1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given.
α + β = 4 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = -4 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² – 4x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² – 4x + 1), where k is a non-zero real number.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.1

Question 1.
Aftab tells his daughter, “Seven years ago, I was seven times as old as you were then. Also, three years from now, I shall be three times as old as you will be.” (Isn’t this interesting ?) Represent this situation algebraically and graphically.
Solution:
Let the present age of Aftab be x years and the present age of his daughter be y years. Then, seven years ago, the age of Aftab was x – 7 years and the age of his daughter was y – 7 years.
So, from the given data.
x – 7 = 7(y – 7)
∴ x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 …….. (1)
Similarly, three years from now, the age of Aftab will be x + 3 years and the age of his daughter will be y + 3 year.
So, according to the given data,
x + 3 = 3(y + 3)
∴ x + 3 = 3y + 9
∴ x – 3y – 6 = 0 ….. (2)
Thus, the equations x – 7y + 42 = 0 and x – 3y – 6 = 0 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation graphically. we draw the graphs of both the equations.
x – 7y + 42 = 0
∴ y = \(\frac{42+x}{7}\)

x – 3y – 6 = 0
∴ y = \(\frac{x-6}{3}\)

The above graph represents the situation graphically.
We observe that the lines intersect at point (42, 12).

Question 2.
The coach of a cricket team buys 3 bats and 6 balls for ₹ 3900. Later, she buys another bat and 3 more balls of the same kind for ₹ 1300. Represent this situation algebraically and geometrically.
Solution:
Let the cost of one bat be ₹ x and the cost of one ball be ₹ y.
Then, the total cost of 3 bats is ₹ 3x and that of 6 balls is ₹ 6y. From the data, the total cost is ₹ 3900.
∴ 3x + 6y = 3900
∴ x + 2y = 1300
Similarly, the cost of 1 bat is ₹ x and the total cost of 3 balls is ₹ 3y. From the data, the total cost is ₹ 1300.
∴ x + 3y = 1300
Thus, the equations x + 2y = 1300 and x + 3y = 1300 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation geometrically. we draw the graphs of both the equations.
x + 2y = 1300

x + 3y = 1300

The above graph represents the situation geometrically.
We observe that the lines intersect at point (1300, 0).

Question 3.
The cost of 2 kg of apples and 1 kg of grapes on a day was found to be After a month, the cost of 4 kg of apples and 2 kg of grapes is 300. Represent the situation algebraically and geometrically.
Solution:
Let the cost of 1 kg of apples be ₹ x and the cost of 1 kg of grapes be ₹ y.
Then, from the given data, 2x + y = 160 and 4x + 2y = 300.
Thus, the equations 2x + y = 160 and 4x + 2y = 300 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation geometrically. we draw the graphs of both the equations.
2x + y = 160

4x + 2y = 300

The above graph represents the situation geometrically.
We observe that the lines are parallel.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

लयूतरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
14 सेमी. व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
वृत्त का व्यास = 14 सेमी.
हम जानते हैं,
त्रिज्या r = \(\frac{14}{2}\) = 7 सेमी
वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7
= 44 सेमी.।

प्रश्न 2.
त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :
वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 सेमी.
माना कि चाप AB केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है।
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण
(θ) = 360° – 60°
= 300°

संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21^2 \times 300^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22 \times 3 \times 21 \times 5}{6}\)
= 11 × 21 × 5
= 1155 सेमी.²
अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 1155 सेमी.² ।

प्रश्न 3.
आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि AB = 5 सेमी., AC = 12 सेमी. और O वृत्त का केन्द्र है।

हल:
स्पष्टत: ∠BAC अर्द्धवृत्त में बना कोण है।
इसलिए यह समकोण Δ है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² + AC²
BC² = 5² + 12²
= 25 + 144
BC² = 169
∴ BC = 13 सेमी.
वृत्त की त्रिज्या R = \(\frac{13}{2}\) सेमी.
अब छायांकित भाग का क्षे. = अर्द्धवृत्त का क्षे. – ΔABC का क्षे.

प्रश्न 4.
चित्र में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है बड़े अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी
बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(14)^2\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\)
= 308 वर्ग सेमी
प्रत्येक छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(7)^2\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
= 77 वर्ग सेमी
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (308 + 77 +77) वर्ग सेमी
= 462 वर्ग सेमी
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 462 सेमी²

प्रश्न 5.
एक 6 सेमी त्रिज्या के वृत्त का व्यास PQRS इस प्रकार है कि PQ, QR और RS बराबर हैं। चित्रानुसार PQ और QS को व्यास मानकर अर्द्धवृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है : वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी
∴ वृत्त का व्यास PS = 12 सेमी
PQ = QR = RS = \(\frac{12}{3}\) = 4 सेमी
QS = QR + RS = (4 + 4) = 8 सेमी
अतः अभीष्ट परिमाप = 6 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप + 4 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप + 2 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप
= [π × 6 + π × 4 + π × 2] सेमी
= 12π सेमी
और अभीष्ट क्षेत्रफल = PS व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल + PQ व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – QS व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 37.71 सेमी2।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, एक वृत्त के चतुथांश OAQB के अन्तर्गत एक वर्ग OPQR बना हुआ है। यदि वृत्त की त्रिज्या 6\(\sqrt{2}\) सेमी है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
∵ OPQR एक वर्ग है।
माना OP = PQ = QR = OR = x सेमी
दिया है, OR = 6\(\sqrt{2}\) सेमी
समकोण त्रिभुज OPQ में,
OQ² = OP² + PQ² (पाइथागोरस प्रमेय से)

(6\(\sqrt{2}\))² = x² + x²
72 = 2x²
x² = 36
x = 6 सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 90°
चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{(6 \sqrt{2})^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{396}{7}\) सेमी²
वर्ग OABC का क्षेत्रफल = 6 × 6 = 36 सेमी.²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्थाश OPBQ का क्षेत्रफल – वर्ग OABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{396}{7}\) – 36
= 20.5 सेमी.²
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 20.5 सेमी.²

प्रश्न 7.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि केन्द्र O पर संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 21 सेमी तथा 42 सेमी तथा ∠AOC = 60° है।

हल:
दिया है,
त्रिज्यखण्ड AOC की त्रिज्या (r₁) = 42 सेमी
त्रिज्यखंड BOD की त्रिज्या (r₂) = 21 सेमी
तथा त्रिज्यखंड कोण (θ) = 60°
क्षेत्र ABDC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOC का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड BOD का क्षेत्रफल

गोलाकार रिंग का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\) × (42)² – \(\frac{22}{7}\) × (21)²
= \(\frac{22}{7}\) × [1764 – 441]
= \(\frac{22}{7}\) × 1323 = 4158 सेमी²
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 4158 – 693
= 3465 सेमी²
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 3465 सेमी²

प्रश्न 8.
एक डार्टबोर्ड की प्रथम रिंग (ring I) के अन्तः तथा बाह्य व्यास क्रमश: 32 सेमी तथा 34 सेमी और दूसरी रिंग (ring II) के अन्तः तथा बाह्य व्यास क्रमशः 19 सेमी तथा 21 सेमी हैं। इन दोनों रिगों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है,
रिंग के व्यास क्रमशः 34 सेमी तथा 32 सेमी.
अतः रिंग की त्रिज्याएँ होगी R = \(\frac{34}{2}\) = 17 सेमी,
r = \(\frac{32}{2}\) = 16 सेमी.
रिंग II के व्यास क्रमश: 21 सेमी तथा 19 सेमी.
अतः रिंग II की त्रिज्याएँ होगी r₁ = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 सेमी r₂ = \(\frac{19}{2}\) = 9.5 सेमी.
प्रथम रिंग का क्षेत्रफल = πR² – πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (17)² – \(\frac{22}{7}\)(16)²
= \(\frac{22}{7}\)(17² – 16²)
= \(\frac{22}{7}\) × 33 सेमी²
दूसरी रिंग का क्षेत्रफल = πr₁² – πr₂²
= \(\frac{22}{7}\) × (10.5)² – \(\frac{22}{7}\) × (9.5)²
= \(\frac{22}{7}\) × [(10.5)² – (9.5)²]
= \(\frac{22}{7}\) × 20 सेमी²
अतः दोनों रिंगों का कुल क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\) × 33 + \(\frac{22}{7}\) × 20
= \(\frac{22}{7}\) × (33 + 20)
= \(\frac{22}{7}\) × 53 = 166.57 सेमी²
अतः दोनों रिंगों का कुल क्षेत्रफल = 166.57 सेमी²।

प्रश्न 9.
एक कागज आयत ABCD आकार का है जिसमें AB = 40 सेमी तथा AD = 28 सेमी है। यदि इसमें से BC व्यास का एक अर्द्ध वृत्ताकार भाग काट लिया जाता है तो शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत ABCD की लम्बाई AB = 40 सेमी और चौड़ाई AD = 28 सेमी
∴ आयत ABCD का क्षेत्रफल = AB × AD
= 40 × 28
= 1120 सेमी²
अर्द्धवृत्त का व्यास AD = 28 सेमी
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी

आयत ABCD से काटे गये अर्द्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr² = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\)
= 22 × 14 = 308 सेमी²
∴ शेष भाग का क्षेत्रफल
= आयत ABCD का क्षेत्रफल – अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= 1120 – 308 वर्ग सेमी
= 812 वर्ग सेमी
अत: शेष भाग का क्षेत्रफल = 812 सेमी²

प्रश्न 10.
14 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी.
मूल बिन्दु O से जीवा AB द्वारा बना कोण 60° है।
अब वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 14²
= 616 सेमी²

त्रिज्यखण्ड AOB का क्षे. = πr² × \(\frac{60}{360}\)
= 616 × \(\frac{1}{6}\)
= 102.67 सेमी.² (लगभग)
ΔOAB में,
AO = OB (वृत्त की त्रिज्या)
∴ ∠OBA = ∠OAB
(त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ 2∠OAB = 180° – 60° – 120° [∵ ∠OBA = ∠OAB]
⇒ ∠OAB = 60°
इस प्रकार ΔAOB समबाहु त्रिभुज है।
∴ ΔAOB का है. = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)OA²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(14)²
= 196 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 84.87 सेमी.² (लगभग)
लघु वृत्त खण्ड का क्षेत्रफल = AOB का क्षे. – ΔAOB का क्षे.
= 102.67 – 84.87
= 17.8 सेमी² (लगभग)
अब दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षे. – लघु खण्ड का क्षे.
= 616 – 17.8
= 598.2 सेमी² (लगभग)।

प्रश्न 11.
56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे ABCD के AB व CD भुजा पर दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गई हैं। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्द्र बगीचे के विकणों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है, तो बगीचे और क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, वर्ग की भुजा 56 मी.
∵ AC और BD वर्ग के विकर्ण है तथा हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं तथा बराबर होते हैं।

∠AOB = 90°
माना कि AO = OB = x मी. [∵ \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)BD]
समकोण त्रिभुज AOB में,
AB² = AO² + OB² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ 56² = x² + x²
⇒ 56² = 2x²
⇒ x² = \(\frac{56 \times 56}{2}\)
⇒ x² = 28 × 56
⇒ x = \(\sqrt{28 \times 56}\) मी.
अब त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या = \(\sqrt{28 \times 56}\) मी.
तथा त्रिज्यखण्ड कोण (θ) = 90°.
वृत्ताकार क्यारी AB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल – समकोण ΔAOB का क्षेत्रफल

= 22 × 56 – 28 × 28
= 1232 – 784 = 448 मी.²
इसी प्रकार वृत्ताकार क्यारी CD का क्षेत्रफल = 448 मी.²
वर्गाकार बगीचे ABCD का क्षेत्रफल
= 56 × 56 = 3136 मी.²
अब वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल + वृत्ताकार क्यारियों का क्षेत्रफल
= 3136 + 448 + 448
= 4032 वर्ग मीटर
अत: वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल व वृत्ताकार क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग = 4032 वर्ग मीटर।

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में, दर्शाए गए वृत्त खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी हैं तथा ∠AOB = 120° है। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]

हल:
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAYB का क्षेत्रफल – ΔOAB का क्षेत्रफल

अब, त्रिज्यखण्ड OAYB का क्षेत्रफल
= \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\) × π × 21 × 21
= \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21
= 462 सेमी² …..(i)
अब, OM ⊥ AB खींचिए

ΔAMO तथा ΔBMO में,
OM = OM (उभयनिष्ठ) (S)
∠AMO = ∠BMO = 90° (A)
∠MOA = ∠MOB = 60° (A)
अतः AAS सर्वांगसमता द्वारा
∠AMO = ∠BMO
माना OM = x सेमी है।
इसीलिए ΔOMA में,
\(\frac{O M}{O A}\) = cos 60°
\(\frac{x}{21}=\frac{1}{2}\)
x = \(\frac{21}{2}\)
अत: OM = \(\frac{21}{2}\) सेमी

इसलिए वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल = \(\left(462-\frac{441}{4} \sqrt{3}\right)\)
= \(\frac{21}{4}\)(88 – 21\(\sqrt{3}\)) सेमी²

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वर्ग ABCD के शीर्षों A, B, C तथा D को केन्द्र मानकर खींची गई चायें भुजाओं AB, BC, CD तथ DA के मध्य बिन्दुओं क्रमश: P, Q, R तथा S पर दो-दो के जोड़ों में काटती हैं तथा वर्ग की भुजा 12 सेमी है। [π = 3.14 लीजिए]

हल:
ज्ञात है ABCD एक वर्ग हैं तथा P, Q, R व S वर्ग को भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं।

त्रिज्याखण्ड की त्रिज्या, r = \(\frac{a}{2}\)
= \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग में क्षेत्रफल – 4 × त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
= (a)² – 4 × \(\frac{1}{4}\)πr²
= (12)² – 3.14 × (6)²
= 144 – 11.04 = 30.96 सेमी²

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 सेमी व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 सेमी व्यास का एक वृत्त तथा 4.5 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त बनाए गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है, बड़े अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 4.5 सेमी
बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πR²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7}\) × 4.5 × 4.5
आन्तरिक वृत्त का व्यास = 4.5 सेमी
⇒ r = \(\frac{4.5}{2}\) सेमी
आन्तरिक वृत्त का व्यास = πr²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{4.5}{2} \times \frac{4.5}{2}\)
छोटे अर्द्धवृत्त का व्यास = 3 सेमी
⇒ r = \(\frac{3}{2}\) सेमी
छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल + पहले छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – अन्तः वृत्त का क्षेत्रफल – दो छोटे अर्द्धवृत्तों पर क्षेत्रफल

= \(\frac{11}{7} \times \frac{90}{4}-\frac{22}{7} \times \frac{29.25}{4}\)
= \(\frac{990-643.5}{28}\)
= 12.37 सेमी² (लगभग)

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, ABCD एक आयत हैं जिसकी विमाएँ 21 सेमी × 14 सेमी हैं। BC की व्यास मान का एक अर्द्ध खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अद्यतन का क्षेत्रफल – अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= l × b – \(\frac{1}{2}\)πr²
= 21 × 14 – \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 294 – 77
= 217 सेमी²
छायांकित भाग का परिमाप = 2l + b + πr
= 2 × 21 + 14 + \(\frac{22}{7}\) × 7
= 42 + 14 + 22
= 78 सेमी

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° है। AB, AC व BC की व्यास मानकर अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² + BC²
= (3)² + (4)²
= 9 + 16 = 25
BC = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी

व्यास BC से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \pi\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{8} \pi\) सेमी²
व्यास AB से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \pi\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{8} \pi\) सेमी²
व्यास AC से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \pi\left(\frac{4}{2}\right)^2=\frac{16}{8} \pi\) सेमी²
समकोण ΔBAC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 सेमी²
बिन्दुपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल = (\(\frac{25}{8}\)π – 6) सेमी²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac{16}{8} \pi+\frac{9}{8} \pi-\left(\frac{25}{8} \pi-6\right)\)
= \(\frac{16}{8} \pi+\frac{9}{8} \pi-\frac{25}{8} \pi+6\)
= 6 सेमी²

प्रश्न 16.
22 सेमी लम्बी एक तार को एक वृत्त की चाप के रस में इस प्रकार मोड़ा गया कि वह वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
माना त्रिज्या r सेमी है।
चाप की लम्बाई = 22 सेमी

⇒ \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}=22\)
⇒ \(\frac{22 \times r \times 60^{\circ}}{7 \times 180^{\circ}}=22\)
⇒ r = \(\frac{22 \times 180 \times 7}{22 \times 60}=21\) सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या = 21 सेमी

प्रश्न 17.
वृत्त के एक तिज्यखंड को परिधि 16.4 सेमी है। यदि त्रिज्या 5.2 सेमी है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
r = 5.2 सेमी
त्रिज्यखण्ड की परिधि = 16.4 सेमी

⇒ r + r + चाप AB की लम्बाई = 16.4
⇒ 5.2 + 5.2 + l = 16.4
⇒ l = 16.4 – 10.46 = 6 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)lr
= \(\frac{1}{2}\) × 5.2 × 6 = 15.6 सेमी²

प्रश्न 18.
निम्न आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। भुजा AB को व्यास तथा बिन्दु O को केन्द्र मानते हुए एक अर्धवृत्त खींचा गया है जो D से होकर गुजरता है यदि AB = 12 सेमी तथा OD ⊥ AB, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल:
दिया है, समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB = 12 सेमी
∵ OD ⊥ AB
तथा O, AB का मध्यबिन्दु है।
∴ AO = OB = \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी
∵ OD = OA = 6 सेमी
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB × OD
= 12 × 6 सेमी
= 72 वर्ग सेमी
चतुर्थांश BOD का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times(6)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 28.26 सेमी
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल – चतुर्थाश OBD का क्षेत्रफल
= (72 – 28.26) सेमी²
= 43.64 सेमी²

प्रश्न 19.
एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप 31 सेमी है। यदि वृत्त की त्रिज्या 6.5 सेमी है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 6.5 सेमी
वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप = 31 सेमी

⇒ l + 2r = 31

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).
1. नियति बिंदु को वृत्त पर ……………… कहते हैं।
2. वृत्त की परिधि पर स्थित किन्ही दो बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड को वृत्त की …………………. कहते हैं।
3. वृत्त के केन्द्र से होकर जाने वाली जीवा, वृत्त का ………………. कहलाती है।
4. वृत्त की परिधि पर किसी सतत् भाग को वृत्त का ………………. कहते हैं।
5. वृत्त के एक-चौथाई भाग को वृत्त का ………………. कहते हैं।
उत्तर:
1. केन्द्र,
2. जीवा,
3. व्यास,
4, चाप,
5. चतुर्थांश।

निम्न में सत्य / असत्य बताइए :

प्रश्न (ख).
1. किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अंतरित कोण को चाप का केन्द्रीय कोण कहते हैं।
2. किसी वृत्त का पूरा एक चक्कर चलने में तय की दूरी उसका क्षेत्रफल कहलाती है।
3. किसी वृत्त की त्रिज्या उस वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
4. ऐसी रेखा को, जो वृत्त के किन्हीं दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की छेदक रेखा कहते हैं।
5. लघुचाप से घिरे त्रिज्यखण्ड को लघु त्रिज्यखण्ड कहते हैं।
उत्तर:
1. सत्य,
2. असत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण अंतरित करती है, जो जीवा की लम्बाई है :
(A) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
(B) 5\(\sqrt{2}\)
(C) 10\(\sqrt{2}\)
(D) 10\(\sqrt{3}\)
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 10 सेमी
तथा ∠AOB = 90°

समकोण ΔAOB में,
AB² = OA² + OB²
= (10)² + (10)²
= 100 + 100 = 200
AB = \(\sqrt{100 \times 2}\) = 10\(\sqrt{2}\) सेमी
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की परिधि और एक वर्ग का परिमाप बराबर है, तो-
(A) वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
(B) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
(C) वृत्त का क्षेत्रफल < वर्ग का क्षेत्रफल
(D) वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों के बीच के संबंध में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता।
हल:
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
वृत्त के चतुर्थाश का परिमाप क्या होगा यदि वृत्त की त्रिज्या r हो :
(A) \(\frac{\pi+2 r}{r}\)
(B) πr + 2r
(C) \(\frac{\pi r+r}{r}\)
(D) \(\frac{\pi r+4 r}{2}\)
हल:
सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है इस वृत्त के 9 सेमी लम्बाई के चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है:
(A) 45 वर्ग सेमी
(B) 22.5 वर्ग सेमी
(C) 67.5 वर्ग सेमी
(D) 2.25 वर्ग सेमी
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 5 सेमी
वृत्त के चाप की लम्बाई (l) = 9 सेमी
हम जानते हैं, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
A = \(\frac{1}{2}\) × l × r
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 5 = \(\frac{45}{2}\)
= 22.5 वर्ग सेमी
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
एक वृत्त की परिधि 22 सेमी. है। उसके चतुर्थांश का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी. में) है-
(A) \(\frac{77}{2}\)
(B) \(\frac{77}{4}\)
(C) \(\frac{77}{8}\)
(D) \(\frac{77}{16}\)
हल:
दिया है,
वृत्त की परिधि = 22 सेमी.
⇒ 2πr = 22 [जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{22}{2 \pi}=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) सेमी.
वृत्त के चतुर्थाश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4}\)πr²
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= \(\frac{77}{8}\) वर्ग सेमी.
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 6.
चित्र में वृत्त का केन्द्र O है। वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है तथा ∠AOB = 30° है, तो लघु चाप AB की लम्बाई है :

(A) 2π
(B) 3π
(C) 6π
(D) 4π
हल:
दिया है : वृत्त की त्रिज्या (r) = 18 सेमी
∠AOB = θ = 30°
हम जानते हैं कि लघु चाप की लम्बाई = \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}\)
= \(\frac{\pi \times 18 \times 30^{\circ}}{180^{\circ}}\)
= \(\frac{\pi \times 18}{6}=3 \pi\)
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 7.
आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थाश है। यदि OD = 2 सेमी हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात, कीजिए:

(A) 6.485 सेमी²
(B) 5.485 सेमी²
(C) 4.485 सेमी²
(D) 3.485 सेमी²
हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4}\)π(R² – r²)
जहाँ R = बाहरी त्रिज्या r = आन्तरिक त्रिज्या है।
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7}\) [(3.5)² – (2)²]
= \(\frac{22}{28}\)[12.25 – 4]
= \(\frac{22}{28}\) × 8.25
= \(\frac{181.5}{28}\) सेमी²
= 6.482 सेमी²
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 8.
यदि वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल का \(\frac{1}{12}\) वाँ भाग हो तो त्रिज्यखण्ड का कोण होगा :
(A) 20°
(B) 30°
(C) 40°
(D) 50°
हल:
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
प्रश्नानुसार,
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{12}\) (वृत्त का क्षेत्रफल)
⇒ \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}=\frac{1}{12} \pi r^2\)
⇒ \(\frac{\theta}{360^{\circ}}=\frac{1}{12}\)
⇒ θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\)
∴ θ = 30°
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 9.
भुजा 6 सेमी. वाले एक वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रफल है-
(A) 36π सेमी.²
(B) 18π सेमी.²
(C) 12π सेमी.²
(D) 9π सेमी.²
हाल:
दिया है :
वर्ग ABCD की भुजा = 6 सेमी.

वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{6}{2}\) = 3 सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= π × (3)²
= 9π सेमी.²
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 10.
त्रिज्या 8 सेमी वाले एक वृत्त के अन्तर्गत खींचा जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल है-
(A) 256 सेमी²
(B) 128 सेमी²
(C) 64\(\sqrt{2}\) सेमी²
(D) 64 सेमी²
हल:
दिया है :
वृत्त की त्रिज्या (r) = 8 सेमी.
∴ वृत्त का व्यास = 2 × 8 = 16. सेमी.

∵ हम जानते हैं कि वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग के विकर्ण वृत्त के केन्द्र पर समद्विभाजित करते हैं।
अत: AC = 16 सेमी.
माना कि वर्ग की भुजा = x सेमी.
समकोण त्रिभुज ABC मैं
AB² + BC² = AC² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ x² + x² = 16²
⇒ 2x² = 256
⇒ x² = \(\frac{256}{2}\) = 128
x = \(\sqrt{128}\) = \(\sqrt{8 \times 8 \times 2}\)
x = 8\(\sqrt{2}\) सेमी.
वर्ग का क्षेत्रफल = 8\(\sqrt{2}\) × 8\(\sqrt{2}\)
= 128 सेमी.²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 11.
यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, तो उसके क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 22 : 7
(B) 14 : 11
(C) 7 : 22
(D) 11 : 14
हल:
माना कि वृत्त की त्रिज्या r तथा वर्ग की भुजा x है।
दिया है :
वृत्त का परिमाप = वर्ग का परिमाप
⇒ 2πr = 4 × x

वृत्त का क्षेत्रफल : वर्ग का क्षेत्रफल = 14 : 11
आत विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
यदि π = \(\frac{22}{7}\) लें, तो 35 सेमी, व्यास वाले एक पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गयी दूरी (मीटर में) है-
(A) 2.2
(B) 1.1
(C) 9.625
(D) 96.25
हल:
दिया है :
पहिए का व्यास = 35 सेमी.
∴ पहिए की त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) सेमी.
पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गयी दूरी = पहिए की परिधि
= 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{2}\)
= 110 सेमी.
= 1.1 मीटर
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 13.
व्यासों 36 सेमी, और 20 सेमी वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले एक वृत्त की त्रिज्या है-
(A) 56 सेमी.
(B) 42 सेमी.
(C) 28 सेमी.
(D) 16 सेमी.
हल:
दिया है दो वृत्तों के व्यास 36 सेमी, 20 सेमी. है। अतः इनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = \(\frac{36}{2}\) = 18 सेमी., r₂ = \(\frac{20}{2}\) = 10 सेमी.।
माना वाँछित वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
प्रश्नानुसार
दिये गये वृत्तों की परिधियों का योग = बाँछित वृत्त की परिधि
⇒ 2πr₁ + 2πr₂ = 2πR
⇒ 2π(r₁ + r₂) = 2πR
⇒ (18 + 10) = \(\frac{2 \pi \times R}{2 \pi}\)
⇒ 28 = R
⇒ R = 28 सेमी.
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
AB वृत्त का व्यास है AC = 6 सेमी और BC = 8 सेमी। छायांकित भाग का क्षेत्रफल होगा :

(A) 54.2 सेमी²
(B) 54.3 सेमी²
(C) 54.4 सेमी²
(D) 54.57 सेमी²
हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= πr² – \(\frac{1}{2}\) × AC × BC
दिया है : AB वृत्त का व्यास है।
∵ ∠ACB अर्द्धवृत्त में बंना कोण है। ∠ACB = 90°
समकोण ΔACB में,
AB = \(\sqrt{A C^2+B C^2}\)
= \(\sqrt{6^2+8^2}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
∴ AB (व्यास) = 10 सेमी
अतः त्रिज्या (r) = \(\frac{10}{2}\) = 5 सेमी
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – समकोण ΔABC का क्षेत्रफल
= πr² – \(\frac{1}{2}\) × AC × BC
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 – \(\frac{1}{2}\) × 6 × 8
= \(\frac{550}{7}-\frac{24}{1}\)
= 78.57 – 24
= 54.57 सेमी²
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 15.
त्रिज्याओं 24 सेमी और 7 सेमी. वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का व्यास है-
(A) 31 सेमी.
(B) 25 सेमी.
(C) 62 सेमी.
(D) 50 सेमी.
हल:
दिया है,
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 24 सेमी., r₂ = 7 सेमी.
माना कि वाँछित वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
प्रश्नानुसार,
दिए गए दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = वाँछित वृत्त का क्षेत्रफल
= πr₁² + πr₂² = πR
= π(r₁² + r₂²) = πR2
(24² + 7²) = \(\frac{\pi R^2}{\pi}\)
576 + 49 = R2
R² = 625
R = \(\sqrt{625}\)
= 25 सेमी.
अतः वाँछित वृत्त का व्यास = 2 × 25
= 50 सेमी.
अत: विकल्प (D) सही है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.5

Question 1.
Which of the following pairs of linear equations has a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. In case there is a unique solution, find it by using cross-multiplication method:
1. x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
2. 2x + y = 5
3x + 2y = 8
3. 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
4. x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
Solution:
1. x – 3y – 3 = 0 and 3x – 9y – 2 = 0
Here, a₁ = 1; a₂ = 3; b₁ = -3; b₂ = -9; c₁ = -3 and c₂ = -2.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has no solution.

2. 2x + y – 5 = 0 and 3x + 2y – 8 = 0
Here, a₁ = 2; a₂ = 3; b₁ = 1; b₂ = 2; c₁ = -5 and c₂ = -8.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}\)
Here, \(\frac{1}{2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,


Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 1.

3. 3x – 5y – 20 = 0 and 6x – 10y – 40 = 0
Here, a₁ = 3, a₂ = 6, b₁ = -5, b₂ = -10, c₁ = -20 and c₂ = -40.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has infinitely many solutions.

4. x – 3y – 7 = 0 and 3x – 3y – 15 = 0
Here, a₁ = 1, a₂ = 3, b₁ = -3, b₂ = -3, c₁ = -7 and c₂ = -15.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-3}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-7}{-15}=\frac{7}{15}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,

Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 4, y = -1.

Question 2.
1. For which values of a and b does the following pair of linear equations have an infinite number of solutions?
2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
2. For which value of k will the following pair of linear equations have no solution ?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1) y = 2k + 1
Solution:
1. For the given pair of equations, we express them in the standard form as:
2x + 3y – 7 = 0 and
(a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0
Here, A₁ = 2; A₂ = a – b; B₁ = 3; B₂ = a + b; C₁ = -7 and C₂ = -(3a + b – 2)
Then, \(\frac{\mathrm{A}_1}{\mathrm{~A}_2}=\frac{2}{a-b}, \frac{\mathrm{B}_1}{\mathrm{~B}_2}=\frac{3}{a+b}\) and \(\frac{C_1}{C_2}=\frac{-7}{-(3 a+b-2)}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
For the pair of equations to have infinite number of solution, we must have

∴ 2(a + b) = 3(a – b)
∴ 2a + 2b = 3a – 3b
∴ 5b = a
∴ a = 5b ………..(1)
Again, \(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
∴ 3 (3a + b – 2) = 7(a + b)
∴ 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
∴ 2a – 4b = 6
∴ 2 (5b) – 4b = 6 [from (1), a = 5b]
∴ 6b = 6
∴ b = 1
Now, a = 5b
∴ a = 5(1)
∴ a = 5
Thus, for a = 5 and b = 1, the given pair of linear equations will have an infinite number of solutions.

2. We express the given equations in the standard form as:
3x + y – 1 = 0 and
(2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0.
Here, a₁ = 3; a₂ = 2k – 1; b₁ = 1; b₂ = k – 1; c₁ = -1 and c₂ = -(2k + 1).
Then, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2 k-1}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{k-1}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-(2 k+1)}=\frac{1}{2 k+1}\)
For the pair of equations to have not solution, we must have
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ \(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1} \neq \frac{1}{2 k+1}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
∴ 3(k – 1) = 2k – 1
∴ 3k – 3 = 2k – 1
∴ k = 2
For k = 2.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2(2)-1}=1\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2-1}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2(2)+1}=\frac{1}{5}\)
Thus, k = 2 satisfies \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Thus, for k = 2, the given pair of linear equations has no solution.

Question 3.
Solve the following pair of linear equations by the substitution and cross-multiplication methods:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Solution:
1. Substitution method:
8x + 5y = 9 ……….(1)
3x + 2y = 4 ……….(2)
From equation (2), we get y = \(\frac{4-3 x}{2}\)
Substituting y = \(\frac{4-3 x}{2}\) in equation (1).
we get
8x + 5(\(\frac{4-3 x}{2}\)) = 9
∴ 16x + 5(4 – 3x) = 18 (Multiplying by 2)
∴ 16x + 20 – 15x = 18
∴ x = -2
Substituting x = -2 in y = \(\frac{4-3 x}{2}\), we get
∴ y = \(\frac{4-3(-2)}{2}\)
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

2. Cross-multiplication method:
We express both the equations in the standard form as:
8x + 5y – 9 = 0 and 3x + 2y – 4 = 0
Here, a₁ = 8; b₁ = 5; c₁ = -9; a₂ = 3; b₂ = 2 and c₂ = -4.
Now, we arrange the coefficients as required in cross-multiplication method as:

Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

4. Form the pair of linear equations in the following problems and find their solutions. (if they exist) by any algebraic method:

Question 1.
A part of monthly hostel charges is fixed and the remaining depends on the number of days one has taken food in the mess. When a student A takes food for 20 days she has to pay ₹ 1000 as hostel charges whereas a student B, who takes food for 26 days, pays ₹ 1180 as hostel charges. Find the fixed charges and the cost of food per day.
Solution:
Let the fixed monthly charge be ₹ x and the cost of food per day be ₹ y.
Then, from the give data, we get the following pair of linear equations:
x + 20y = 1000 ……….(1)
x + 26y = 1180 ………..(2)
These equations in standard form are:
x + 20y – 1000 = 0 ……….(3)
x + 26y – 1180 = 0 ……….(4)
Now, we solve the equation by cross-multiplication method.

Thus, monthly fixed charge is ₹ 400 and the cost of food per day is ₹ 30.
Note: Here, the elimination method would be much easter, but we have solved. it by cross-multiplication method to show more applications of that method.

Question 2.
A fraction becomes \(\frac{1}{3}\) when 1 is subtracted from the numerator and it becomes \(\frac{1}{4}\) when 8 is added to its denominator. Find the fraction.
Solution:
Let the numerator and the denominator of the required fraction be x and y respectively.
Then, the required fraction = \(\frac{x}{y}\)
By the given data, we get
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
∴ 3x – 3 = y
∴ 3x – y = 3 ……….(1)
Also, \(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
∴ 4x = y +8
∴ 4x – y = 8 …………(2)
Subtracting equation (1) from equation (2),
we get
(4x – y) – (3x – y) = 8 – 3
∴ 4x – y – 3x + y = 5
∴ x = 5
Substituting x = 5 in equation (1),
we get
3(5) – y = 3
∴ 15 – 3 = y
∴ y = 12
Hence, the required fraction = \(\frac{x}{y}=\frac{5}{12}\)

Question 3.
Yash scored 40 marks in a test, getting 3 marks for each right answer and losing 1 mark for each wrong answer. Had 4 marks been awarded for each correct answer and 2 marks been deducted for each incorrect answer, then Yash would have scored 50 marks. How many questions were there in the test?
Solution:
Suppose Yash gave x right answers and y wrong answers.
Then, from the given data, we get
3x – y = 40 ………(1)
and 4x – 2y = 50, i.e.. 2x – y = 25 ……….(2)
We express the equations in the standard form as
3x – y – 40 = 0 ………(3)
2x – y – 25 = 0 ………(4)
Then,

Then, the total number of questions in the test = x + y = 15 + 5 = 20.
Thus, there were 20 questions in the test.

Question 4.
Places A and B are 100 km apart on a highway. One car starts from A and another from B at the same time. If the cars travel in the same direction at different speeds, they meet in 5 hours. If they travel towards each other, they meet in 1 hour. What are the speeds of the two cars?
Solution:
Let the speed of the car starting from A be x km/hour and the speed of the car starting from B be y km/hour such that x > y. If the cars travel in the same direction and meet, they should be travelling in the direction from A towards B as the car starting from A is faster than the car starting from B.

Suppose the cars meet at place P after 5 hours, when they travel in the same direction. Then, the distance travelled in 5 hours by the car starting from A= 5x km = AP (Distance = Speed × Time) Similarly, the distance travelled in 5 hours by the car starting from B = 5y km = BP.
Now, AB = 100 km
∴ AP – BP = 100
∴ 5x – 5y = 100
∴ x – y = 20 (Dividing by 5) ………(1)

Suppose the cars meet at place Q after 1 hour when they travel in opposite directions.
Then, distance travelled in 1 hour by the car starting from A = x km = AQ
Similarly, distance travelled in 1 hour by the car starting from B = y km = BQ.
Now, AB = 100 km
∴ AQ + BQ = 100
∴ x + y = 100 ………(2)
Adding equations (1) and (2), we get
(x – y) + (x + y) = 20 + 100
∴ 2x = 120
∴ x = 60
Substituting x = 60 in equation (2), we get
60 + y = 100
∴ y = 40
Thus, the speeds of the cars starting from A and B are 60 km/hour and 40 km/hour respectively under the assumption that x > y.

Question 5.
The area of a rectangle gets reduced by 9 square units, if its length is reduced by 5 units and breadth is increased by 3 units. If we increase the length by 3 units and the breadth by 2 units, the area increases by 67 square units. Find the dimensions of the rectangle.
Solution:
Let the length of the rectangle be x units and its breadth be units.
Area of a rectangle = Length × Breadth
∴ Area of given rectangle = xy square units
According to the first condition given,
new reduced length = (x – 5) units,
new increased breadth = (y + 3) units and new reduced area = (xy – 9) square units.
Then, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
∴ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
∴ 3x – 5y – 6 = 0 ……….(1)
Similarly, from the second condition given,
new increased length = (x + 3) units.
new increased breadth = (y + 2) units and
new increased area = (xy + 67) square units.
Again, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
∴ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
∴ 2x + 3y – 61 = 0 ………..(2)
We solve these equations (1) and (2) by cross-multiplication method.


∴ x = \(\frac{323}{19}\) and y = \(\frac{171}{19}\)
∴ x = 17 and y = 9
Thus, the length and the breadth of the given rectangle are 17 units and 9 units respectively.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

भूमिका (Introduction) :
पिछली कक्षाओं में हम ठोस आकृतियों जैसे घनाभ, घन, शंकु, बेलन और गोला के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन के बारे में अध्ययन कर चुके है। इस अध्याय में पिछले ज्ञान का उपयोग करते हुए दो या दो से अधिक ठोस आकृतियों के संयोजन से बनी आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन का अध्ययन करेंगे। हम ऐसी ठोस आकृतियों के बारे में भी अध्ययन करेंगे जो एक शंकु को उसके आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटने पर प्राप्त होते है। उदाहरण के लिए बाल्टी, ग्लास, फ्रिक्शन क्लच आदि।
→ ठोस (Solid) : वस्तुएँ जिनकी अन्तरिक्ष में तीन भुजाएँ अर्थात् (लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई) हों ठोस कहलाते हैं।
→ आयतन (Volume) : किसी ठोस द्वारा अन्तरिक्ष के घेरे गए स्थान के परिमाण को उसका आयतन कहते हैं।
→ पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area) : किसी ठोस के सभी पृष्ठों के क्षेत्रफलों के योग को उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
→ वक्त पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) : किसी ठोस के आधार क्षेत्रफलों को छोड़कर शेष बचे सभी पृष्ठों के क्षेत्रफलों के योग को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।
→ घनाभ (Cuboid): छ: आयताकार पृष्ठों से घिरी ठोस बन्द आकृति को घनाभ कहते हैं।
→ घन (Cube) : यदि घनाभ की प्रत्येक कोर लम्बाई में समान हो, तो उसे घन कहते हैं।
→ लम्ब वृत्तीय शंकु का छिन्नक (Frustum of a right circular cone) : यदि किसी लम्ब वृत्तीय शंकु को उसके आधार के समान्तर किसी तल द्वारा काटा जाये तो कटने वाले तल तथा आधार के बीच के भाग को शंकु का छिन्नक कहते हैं।

घन (Cube) और घनाभ (Cuboid) :
घनाभ (Cuboid) : यदि समान्तर षट्फलक का प्रत्येक फलक आयत हो, तो उसे घनाभ कहते हैं। घनाभ को आयतफलकी ठोस भी कहते हैं जैसे ईंट, सन्दूक, कमरा आदि घनाभ हैं घनाभ में छः पृष्ठ (फलक), 8 शीर्ष व 12 कोरें होती हैं।
चित्र से स्पष्ट है कि घनाभ के आमने-सामने के फलक परस्पर समान होते हैं।

1. घनाभ के फलक ABCD का क्षेत्रफल = फलक A’B’CD’ का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
2. घनाभ के फलक ADD’A’ का क्षेत्रफल = फलक BCC’B’ का क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई
3. घनाभ के फलक ABB’A’ का क्षेत्रफल = फलक DCC’D’ का क्षेत्रफल = ऊँचाई × ऊँचाई
4. घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई) वर्ग इकाई
5. घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × ऊँचाई (लम्बाई + चौड़ाई) वर्ग इकाई
अथवा
= (ऊँचाई × परिमाप) वर्ग इकाई।

घन (Cube) : यदि घनाभ का प्रत्येक फलक वर्गाकार हो, तो उसे घन कहते हैं। अर्थात् घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती हैं।
∴ घन का प्रत्येक पृष्ठ वर्गाकार होता है।
घन के एक पृष्ठ का क्षेत्रफल = (भुजा)²
∴ घन के 6 पृष्ठों का क्षेत्रफल = 6(भुजा)²
अतः घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(भुजा)² वर्ग इकाई

घन और घनाभ के विकर्ण (Diagonals of Cube and Cuboid)
घन या घनाभ के समान्तर फलक के दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाली रेखा विकर्ण कहलाती है अतः घन एवं मैं कुल 4 विकर्ण होते हैं।
1. घनाभ के विकर्ण की लम्बाई =
2. घन के विकर्ण की लम्बाई = भुजा \(\sqrt{3}\) इकाई
घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid)
प्रत्येक ठोस आकृति स्थान घेरती है। अतः ठोस आकृति द्वारा घेरे गये स्थान की माप को आयतन कहा जाता है।
घनाभ का आयतन = (लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई ) घन इकाई तथा घन का आयतन = (भुजा)³ घन इकाई।

लम्बवृत्तीय बेलन और शंकु :
लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) :
परिभाषा- किसी ‘आयत’ की एक भुजा को स्थिर रखकर उसके परित: आयत को घुमाने पर बने ठोस को लम्बवृत्तीय बेलन कहते हैं।
संलग्न चित्र में आयत OABC की भुजा OA को स्थिर मानकर उसके परितः आयत को घुमाने पर बने लभ्यवृत्तीय बेलन को दिखाया गया है।
स्थिर भुजा OA की लम्बाई को बेलन की ऊँचाई कहते हैं तथा बिन्दु O और A इसके वृत्तीय सिरों के केन्द्र कहलाते हैं। OC अथवा AB इसके वृत्तीय आधार की त्रिज्या हैं। आयत को उसकी किसी एक भुजा के परितः घुमाने पर लम्बवृत्तीय बेलन प्राप्त होता है।

लम्बवृत्तीय बेलन से सम्बन्धित सूत्र
1. बेलन के आधार का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल = πr² वर्ग इकाई
2. बेलन के आधार की लम्बाई = वृत्त की परिधि = 2πr इकाई
3. बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल (C.S.A.) = आधार की परिधि × ऊँचाई
= 2πrh वर्ग इकाई
4. बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) = वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल + दोनों वृत्तीय आधारों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr² = 2πr (h + r) वर्ग इकाई
5. बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = πr² × h = πr2h घन इकाई

खोखला बेलन (Hollow Cylinder)- यदि r₁ व r₂ खोखले बेलन की बाह्य और अन्तः त्रिज्याएँ हों तथा ऊँचाई h हो तो :
1. खोखले बेलन के प्रत्येक सिरे का क्षेत्रफल = π(r₁² – r₂²)
2. खोखले बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = बाह्य पृष्ठ का क्षेत्रफल + अन्तः पृष्ठ का क्षेत्रफल
= 2πr₁h + 2πr₂h = 2π(r₁ + r₂)h
3. खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल + 2 × (एक सिरे का क्षेत्रफल)
= 2π(r₁ + r₂)h + 2π(r₁² – r₂²)
= 2π(r₁ + r₂)h + 2π(r₁ + r2) (r₁ – r₂)
= 2π(r₁ + r₂) (h + r₁ – r₂)
4. खोखले बेलन का आयतन = बाह्य बेलन का आयतन – अन्तः बेलन का आयतन
= πr₁²h – πr₂²h = π(r₁² – r₂²)h

लम्बवृत्तीय शंकु (Right Circular Cone) :
परिभाषा- किसी समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली दो भुजाओं में से एक को स्थिर मानकर, त्रिभुज को उसके परितः घुमाने पर बने ठोस को लम्बवृत्तीय शंकु कहते हैं।
चित्र में समकोण ΔVOA को भुजा OV के परित: घुमाने पर प्राप्त लम्बवृत्तीय शंकु को दिखाया गया है, जिसका शीर्ष V तथा वृत्तीय आधार का केन्द्र O है।

यहाँ शंकु की ऊँचाई = OV = h
शंकु की तिरछी ऊँचाई = VA = l
शंकु के आधार की त्रिज्या = ∠OAP = α
शंकु का अर्द्ध-शीर्ष कोण
समकोण ΔVOA में, VA² = OV² + OA²
l² = h² + h²
l = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
शंकु की तिरछी ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)

लम्बवृत्तीय शंकु से सम्बन्धित सूत्र :
1. शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल (C.S.A.) = \(\frac{1}{2}\) × वृत्तीय आधार की परिधि × तिरछी ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 2πr × l = πrl
2. शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) = वक्र पृष्ठ + वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
= πrl + πr² = πr(l + r)
3. शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = \(\frac{1}{3}\)πr²h
यदि शंकु का अर्द्ध-शीर्ष कोण α हो तो उसकी :
(i) ऊँचाई (h) = r cot α
(ii) तिर्यक ऊँचाई (l) = r cosec α

गोला (Sphere) :
जब किसी वृत्त या अर्द्धवृत्त को उसके व्यास के सापेक्ष परिक्रमण कराया जाता है, तो एक ठोस आकृति प्राप्त होती है जिसे गोला कहते हैं। वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या और व्यास गोले के केन्द्र, त्रिज्या और व्यास होंगे।

यदि गोले की त्रिज्या r हो, तो
1. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
2. गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³

यदि अर्द्ध गोले की त्रिज्या r हो, तो
1. अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
2. अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²
3. अर्द्ध गोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\)πr³

गोलीय कोश (खोखला गोला) (Spherical shell)- दो संकेन्द्रीय गोलों से सीमाबद्ध आकृति को गोलीय कोश कहते हैं।
यदि गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या r₁ और अन्तः त्रिज्या r₂ हो, तो
1. गोलीय कोश का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r₁³ – r₂³)
2. गोलीय कोश की मोटाई = r₁ – r₂.

ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल :
निम्नांकित चित्रों में बनी आकृतियों पर ध्यान दीजिए:

चित्र (1) में दो घनों को संयुक्त करके एक आयतफलकी बनाया गया है।
चित्र (2) में दी गई आकृति एक बेलन के दोनों सिरों पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के दो शंकु जोड़कर बनाई गई है।
चित्र (3) में दी गई आकृति एक बेलन के दोनों सिरों पर समान परिच्छेद क्षेत्रफल के दो अर्द्धगोलों को संयुक्त कर बनाई गई है।
चित्र (4) में दी गई आकृति समान आधार वाले अर्द्धगोले पर शंकु के संयोजन से बनाई गई है।
नोट : (1) किसी संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (T.S.A.) उसके खण्डों के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग से कम होता है और क्षेत्रफल में यह कमी उस क्षेत्रफल के बराबर होती है जो खण्डित भागों को संयुक्त करने पर विलुप्त हो जाता है।
(2) यदि संयुक्त ठोस के सभी खण्ड वक्र संयुक्त पृष्ठीय हैं, तो
संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = संयुक्त ठोस के खण्डों के वक्र पृष्ठों के क्षेत्रफल का योग
तथा संयुक्त ठोस का आयतन = संयुक्त ठोस के खण्डों के आयतनों का योग।

ठोसों के संयोजन का आयतन :
दो ठोसों के संयोजन से बने ठोस आकृति का आयतन वास्तव में दोनों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
आयतन से सम्बन्धित सूत्र :
1. घनाभ का आयतन = ल. × चौ. × ॐ.
2. घन का आयतन = भुजा³
3. बेलन का आयतन = πr²h
4. शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h
5. खोखले बेलन का आयतन = π(r₁² – r₂²)h, जहाँ r₁ > r₂
6. गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
7. अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\)πr³
8. खोखले गोले (गोलीय कोश) का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r₁³ – r₂³), जहाँ r₁ > r₂

आयतन सम्बन्धी इकाइयाँ
1 लीटर = 1000 घन सेमी
1000 लीटर = 1 घन मीटर
1 किलो लीटर = 1 घन मीटर
1 घन सेमी = 10 × 10 × 10 = 1000 घन मिमी
1 घन मीटर = 100 × 100 × 100
= 1000000 घन सेमी

एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण :
इस खण्ड में हम एक ठोस को एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित करते हैं, तो इस पूरी स्थिति में दोनों आकारों का आयतन समान रहता है।
जैसे-जूस की एक बोतल को कुछ गिलासों में समान मात्रा में बाँट दें। अब हम गिलासों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
[जूस की बोतल का आयतन] = n[गिलासों का आयतन],
जहाँ गिलासों की संख्या है।

लम्बवृत्तीय शंकु का छिन्नक (Frustum of a Right Circular Cone) :
छिन्नक : यदि किसी लम्बवृत्तीय शंकु को उसके आधार के समान्तर तल द्वारा काटा जाता है, तो वह भाग जो शंकु के आधार तथा काटने वाले तल के बीच है, छिन्नक कहलाता है।

चित्र (i) में लम्बवृत्तीय शंकु VAB को उसके वृत्तीय आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटा जाता है जिसका केन्द्र O तथा व्यास AB है। शीर्ष / वाले भाग को हटा दिया जाता है, जैसा कि चित्र (ii) में दिखाया गया है। शेष हुआ भाग ABB ‘A’ चित्र (iii) में दिखाया गया है, यह शंकु VAB का छिन्नक है वृत्तीय पृष्ठ AOB तथा A’O’B’ छिन्नक के वृत्तीय सिरे कहलाते हैं।
अतः लम्बवृत्तीय शंकु के छिन्नक के दो असमान वृत्तीय आधार होते हैं और एक वक्र पृष्ठ होता है।
छिन्नक की ऊँचाई: छिन्नक की ऊँचाई या मोटाई दोनों वृत्तीय आधारों के बीच की लम्बीय दूरी होती है।
छिन्नक की ऊँचाई OO’ = VO – VO’ (चित्र iii)
छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई : छिन्नक के दोनों वृत्तीय आधारों पर एक ही दिशा में खींची समान्तर त्रिज्याओं के बाहरी बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड की लम्बाई को छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई कहते हैं।
चित्र में, छिन्नक ABA’B’ की तिर्यक ऊँचाई AA’ या BB’ हैं।
स्पष्ट है कि AA’ = VA – VA’
तथा BB’ = VB – VB’
अतः छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई शंकुओं VAB और VA’B’ की तिर्यक ऊँचाइयों के अन्तर के बराबर होती है।

लम्बवृत्तीय शंकु के छिन्नक का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल :
शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\)π(r₁² – r₁ r₂ + r₂²)h
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l

शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + वृत्तीय आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₁²
= π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]
शंकु के छिन्नक की (तिर्यक) ऊँचाई = \(\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}\)

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Exercise 1.1

Question 1.
Use Euclid’s division algorithm to find the of (1) 135 and 225 (2) 196 and 38220 (3) 867 and 255.
Solution:
1. 135 and 225
Here, 225 > 135
∴ 225 = 135 × 1 +90
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 135 and 90.
∴ 135 = 90 × 1 + 45
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 90 and 45.
∴ 90 = 45 × 2 + 0
Since remainder = 0, the divisor 45 is the HCF.
Hence, HCF (135, 225) = 45.

2. 196 and 38220
Here, 38220 > 196
∴ 38220 = 196 × 195 +0
Since remainder = 0, the divisor 196 is the HCF.
Hence, HCF (196, 38220) = 196.

3. 867 and 255
Here, 867 > 255
∴ 867 = 255 × 3 + 102
Since remainder ≠ 0, we apply division lemma to 255 and 102.
∴ 255 = 102 × 2 + 51
Since remainder ≠ 0. we apply division lemma to 102 and 51.
∴ 102 = 51 × 2 + 0
Since remainder = 0, the divisor 51 is the HCF.
Hence, HCF (867, 255) = 51

Question 2.
Show that any positive odd integer is of the form 6q + 1 or 6q + 3 or 6q + 5, where q is some integer.
Solution:
Let a be any positive integer and b = 6. Then. by Euclid’s division lemma, a = 6q + r, for some integer q ≥ 0 and r = 0, 1, 2, 3, 4 or 5. because 0 ≤ r < 6.
So, a = 6q or a = 6q + 1 or
a = 6q + 2 = 2(3q + 1) or a = 6q + 3 or
a = 6q + 4 = 2(3q + 2) or a = 6q + 5.
Since a is an odd integer, a cannot be 6q or 6q + 2 or 6q + 4 as they are all divisible by 2.
Therefore, any positive odd integer is of the form 6q + 1 or 6q + 3 or 6q + 5.

Question 3.
An army contingent of 616 members is to march behind an army band of 32 members in a parade. The two groups are to march in the same number of columns. What is the maximum number of columns in which they can march?
Solution:
To arrive at the answer, we have to find the HCF of 616 and 32.
Here, 616 > 32
∴ 616 = 32 × 19 + 8
∴ 32 = 8 × 4 + 0
Thus, HCF (616, 32)=8
Hence, the maximum number of columns in which they can march is 8 columns.

Question 4.
Use Euclid’s division lemma to show that the square of any positive integer is either of the form 3m or 3m + 1 for some integer m. [Hint: Let a be any positive integer then it is of the form 3q, 3q + 1 or 3q + 2. Now square each of these and show that they can be rewritten in the form 3m or 3m + 1.]
Solution:
Let a be any positive integer and b = 3. Then, by Euclid’s division lemma, a = 3q or a = 3q + 1 or a = 3q + 2; where q is a non- negative integer.
1. If a = 3q, then a² = (39)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, where m = 3q² is some integer.
2. If a = 3q + 1, then a² = (3q + 1)² = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m+ 1. where m = 3q² + 2q is some integer.
3. If a = 3q + 2, then a² = (3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3 (3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1, where m = 3q² + 4q + 1 is some integer.
Thus, in either case, the square of any positive integer is of the form 3m or 3m + 1.

Question 5.
Use Euclid’s division lemma to show that the cube of any positive integer is of the form 9m, 9m + 1 or 9m +8.
Solution:
Let a be any positive integer and b = 3. Then, by Euclid’s division lemma, a = 3q or a = 3q + 1 or a = 3q + 2; where q is negative integer.
1. If a = 3q, then
a³ = (39)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m,
where m = 3q³ is some integer.

2. If a = 3q + 1, then
a³ = (3q + 1)³
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 3q² + q) + 1
= 9m + 1.
where m = 3q³ + 3q² + q is some integer.

3. If a = 3q + 2, then
a³ = (3q + 2)³
= 27q + 54q² + 36q + 8
= 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
= 9m + 8,
where m = 3q³ + 6q² + 4q is some integer.
Thus, in either case, the cube of any positive integer is of the form 9m or 9m + 1 or 9m + 8.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 10 वृत्त will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 10 वृत्त

भूमिका :
कक्षा IX में हम वृत्त से सम्बन्धित अवधारणाएँ जैसे-जीवा, वृत्तखण्ड, त्रिज्यखण्ड, चाप आदि के बारे में पढ़ चुके हैं। इस अध्याय में हम समतल में स्थित एक वृत्त तथा एक रेखा की विभिन्न स्थितियों पर विचार करेंगे।
→ अभिलम्ब (Normal): किसी वृत्त के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब वह सरल रेखा है जो दिए गए बिन्दु से गुजरती है तथा उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा के लम्बवत होती है।
→ सम्पूरक कोण (Supplementary angles) : यदि दो कोणों का योग 180° हो, तो वे सम्पूरक कोण कहलाते हैं।
→ अन्तः कोण (Co-interior angles) : ऐसे कोण जो तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित होते हैं, अन्तः कोण कहलाते हैं।
→ समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram) : वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर व बराबर होती हैं, समान्तर चतुर्भुज कहलाता है।
→ समचतुर्भुज (Rhombus ) : वह चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, समचतुर्भुज कहलाता है।
→ परिवृत्त (Circumscribed circle) : बहुभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त परिवृत्त कहलाता है।
→ अन्तः वृत्त (Inscribed circle) : बहुभुज के अन्तर्गत खींचा जा सकने वाला वह बड़े से बड़ा वृत्त जो बहुभुज की प्रत्येक भुजा को एक बिन्दु पर छूता हो, अन्तः वृत्त कहलाता है।

छेदक रेखा और स्पर्श रेखा :
यदि एक समतल में एक वृत्त तथा कोई रेखा AB खींची जाए, तो वृत्त के सापेक्ष यह रेखा तीन स्थितियों में हो सकती है :
स्थिति I. अप्रतिच्छेदी रेखा (Non intersecting line) : रेखा AB वृत्त को स्पर्श नहीं करती है अर्थात् रेखा और वृत्त के मध्य कोई सम्बन्ध नहीं होता है। इस स्थिति में रेखा AB को वृत्त के सापेक्ष अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं। जैसा कि संलग्न चित्र में दर्शाया गया है।

स्थिति II. छेदक रेखा (Secant) रेखा AB वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, यह रेखा वृत्त को अधिकतम दो बिन्दुओं पर ही प्रतिच्छेद कर सकती है, क्योंकि वृत्त तीन या तीन से अधिक सरेखीय बिन्दुओं से नहीं गुजर सकता है। अतः एक ऐसी सरल रेखा जो एक वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, छेदक रेखा (Secant) कहलाती है। जैसा कि संलग्न चित्र में दर्शाया गया है।

स्थिति III. स्पर्श रेखा (Tangent) : रेखा AB वृत्त को दो सम्पाती बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, अर्थात् रेखा वृत्त को एक बिन्दु पर स्पर्श करती है। अतः एक सरल रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करे, वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) कहलाती है। वृत्त के समतल में स्पर्श रेखा और वृत्त में केवल एक बिन्दु उभयनिष्ठ होता है। यह उभयनिष्ठ बिन्दु स्पर्श बिन्दु (Point of contact) कहलाता है। जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है।

छेदक रेखा के समान्तर स्पर्श रेखा (Tangent Parallel to Secant) : एक छेदक रेखा के समान्तर वृत्त की अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

चित्र में l, m, n, o छेदक रेखाएँ हैं। AB तथा CD वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ जो वृत्त को क्रमश: P और Q बिन्दु पर स्पर्श करती हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
क्षैतिज तल पर किसी निश्चित बिन्दु से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। यदि प्रेक्षक 20 मीटर मीनार की ओर चलता है, तो मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 15° बढ़ जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करो ।
हल:
माना AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h मीटर है। बिन्दु C से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। बिन्दु C से 20 मीटर मीनार की तरफ चलने पर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 15° बढ़ जाता है।
अर्थात् ∠ACB = 30° तथा ∠ADB = 45°

समकोण ΔABD में,
tan 45° = \(\frac{A B}{B D}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{B D}\)
⇒ BD = h मी. …..(1)
समकोण ΔABC में tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+h}\)
[ समी. (1) से BD = h]
20 + h = \(\sqrt{3}\)h
20 = \(\sqrt{3}\)h – h
20 = h(\(\sqrt{3}\) – 1)
h = \(\frac{20}{\sqrt{3}-1}\)
h = \(\frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
h = \(\frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1}\)
h = 10(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 10 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर ।

प्रश्न 2.
एक झील में पानी के तल से 20 मीटर ऊंचे बिन्दु A से, एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का A से अवनमन कोण 60° हैं। A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि BD पानी का तल है। B से 20 मीटर ऊँचे बिन्दु A से एक बादल (P) का उन्नयन कोण 30° है। माना झील में बादल के प्रतिबिम्ब की स्थिति C है तथा प्रतिबिम्ब इस प्रकार है कि झील में बादल के प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण 60° है। माना कि PQ = h मी है।

अतः ∠PAQ = 30° तथा ∠QAC = 60°
QD = AB = 20 मी
CD = PD = (20 + h) मी
QC = 20 + h + 20
= (40 + h) मी
BD = AQ
समकोण ΔPAQ में
tan 30° = \(\frac{P Q}{A Q}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{A Q}\)
⇒ AQ = h\(\sqrt{3}\) मीटर …..(1)
समकोण ΔAQC में
tan 60° = \(\frac{Q C}{A Q}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{40+h}{h \sqrt{3}}\)
[समीकरण (1) का प्रयोग करने पर]
⇒ 3h = 40 + h
⇒ 3h – h=40
⇒ 2h = 40
⇒ h = \(\frac{40}{2}\) = 20 मी
पुन: समकोण ΔPAQ में,
sin 30° = \(\frac{P Q}{A P}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{h}{A Q}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{20}{A Q}\) मीटर
AQ = 20 × 2
अतः A से बादल की दूरी = 40 मीटर ।

प्रश्न 3.
4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दो वायुयान A और B हैं जिनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी AB = h मीटर
क्षैतिज तल पर स्थित बिन्दु D से इन वायुयानों A और B के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 450 हैं।
अर्थात् ∠ADC = 60° तथा ∠BDC = 45°
AC = 4000 मीटर
BC = AC – AB = (4000 – h) मीटर
समकोण ΔBCD में,
tan 45° = \(\frac{B C}{C D}\)

1 = \(\frac{4000-h}{x}\)
x = 4000 – h …..(i)
पुन: समकोण ΔACD में,
tan 60° = \(\frac{A C}{C D}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{4000}{x}\)
⇒ x\(\sqrt{3}\) = 4000
⇒ x = \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\) …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान रखने पर,
4000 – h = \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\)
⇒ h = 4000 – \(\frac{4000}{\sqrt{3}}\)
⇒ h = 4000\(\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
⇒ h = 4000\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)\)
⇒ h = 4000\(\frac{4000 \times 0.732}{1.732}\)
⇒ h = \(\frac{2928}{1.732}\) = 1690.53 मीटर
अतः दोनों वायुयानों के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी 1690.53 मीटर होगी।

प्रश्न 4.
धरातल के एक बिन्दु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदि हवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500\(\sqrt{3}\) मीटर पर उड़ रहा हो, तो हवाई-जहाज की गति किमी / घंटा में ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना P और Q हवाई जहाज की दो स्थितियाँ है। माना ABC एक क्षैतिज रेखा है जो A से जाती है।
दिया है कि स्थिति P और Q से, A बिन्दु से हवाई जहाज द्वारा बने उन्नयन कोण 30° तथा 60° है।
∴ ∠PAB = 60° और ∠QAC = 30°
इसी तरह, PB = QC = 1500\(\sqrt{3}\) मीटर

ΔABP में,
tan 60° = \(\frac{B P}{A B}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{A B}\)
AB = 1500 मीटर
ΔACQ में,
tan 30° = \(\frac{Q C}{A C}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500 \sqrt{3}}{A C}\)
⇒ AC = 1500 × 3 = 4500 मीटर
∴ BC = AC – AB = 4500 – 1500
= 3000 मीटर
इस प्रकार हवाई जहाज 15 सेकण्ड में 3000 मीटर की दूरी तय करता है।
∴ हवाई जहाज की चाल = \(\frac{3000}{15}\) = 200 मी/से
= \(\frac{200 \times 60 \times 60}{1000}\)
= 720 किमी/ घण्टा
अतः हवाई जहाज की चाल 720 किमी/घण्टा है।

प्रश्न 5.
10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक टॉवर है उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 10 मीटर है।
टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमश: 60° और 45° है।
अर्थात् ∠ACE = 60°
और ∠ECB = 45°
BD || CE, CD || BE
CD = BE = 10 मी.
अब समकोण त्रिभुज CBD में,
tan 45° = \(\frac{C D}{D B}\)
\(1=\frac{10}{D B}\)
DB = 10 मी.
CE = DB = 10 मी.
पुनः समकोण त्रिभुज AEC में,

tan 60° = \(\frac{A E}{C E}=\frac{A E}{10}\)
AE = 10\(\sqrt{3}\) मी
अतः टॉवर AB की ऊँचाई
= AE + EB = 10\(\sqrt{3}\) + 10
= 10 (\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर
अतः टॉवर AB की ऊँचाई = 10(\(\sqrt{3}\) + 1) मीटर

प्रश्न 6.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° है। यदि पुल किनारों से 4 मी की ऊँचाई पर है तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, नदी से पुल की ऊँचाई
AC = 4 मी
BC = x, CD = y

∴ समकोण ΔABC में,
\(\frac{A C}{B C}\) = tan 45°
⇒ \(\frac{4}{x}\) = 1 ⇒ x = 4 मी
पुन: समकोण ΔACD में,
\(\frac{A C}{C D}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{4}{y}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y = 4\(\sqrt{3}\) मी …..(ii)
समी. (i) व (ii) से,
∴ नदी की चौड़ाई (x + y)
= 4\(\sqrt{3}\) + 4
= 4(\(\sqrt{3}\) + 1)
= 10.92 मी ।

प्रश्न 7.
एक मीनार के पाद से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार के ऊँचाई 48 मी है तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक मीनार है जिसके ऊँचाई 48 मी है तथा CD एक भवन है जिसकी ऊँचाई h मी है। दिया है, मीनार के पाद से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° तथा भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है।
अर्थात् ∠CBD = 30°
तथा ∠ADB = 60°

समकोण ΔCDB में,
tan 30° = \(\frac{C D}{B D}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{B D}\)
⇒ BD = h\(\sqrt{3}\) मी
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B D}\)
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{48}{h \sqrt{3}}\)
h = \(\frac{48}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{48}{3}\)
= 16 मी
अतः भवन की ऊँचाई 16 मी है।

प्रश्न 8.
आँधी आने पर एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 60° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद- बिंदु की दूरी जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 3 मी है। पेड़ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BD है। आँधी के बाद पेड़ A स्थान से टूटकर पेड़ का शिखर जमीन पर C बिन्दु पर पड़ता है। टूटा हुआ भाग जमीन से 30° का कोण बनाता है।

∴ ∠ACB = 30°
समकोण ΔABC में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{3}\)
⇒ AB = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) मी
पुन: समकोण ΔABC में,
cos 30° = \(\frac{B C}{A C}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{A C}\)
⇒ AC = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) मी
पेड़ की कुल ऊँचाई = BD
= AB + AD
= AB + AC [∵ AD = AC]
= \(\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}\right)\) मी
= \(\frac{9}{\sqrt{3}}\) मी = \(\frac{9 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
= \(\frac{9 \sqrt{3}}{3}\) मी
= 3\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 9.
अमित जो कि समतल जमीन पर खड़ा है, अपने से 200 मी दूर उड़ते हुए पक्षी का उन्नयन कोण 30° पाता है। दीपक जो कि 50 मी ऊँचे भवन की छत पर खड़ा है, उसी पक्षी का उन्नयन कोण 45° पाता है। अमित और दीपक पक्षी के विपरीत दिशा में हैं। दीपक से पक्षी की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अमित बिन्दु C पर खड़ा है तथा AB चिड़िया की धरातल पर स्थित बिन्दु B से ऊँचाई है तथा माना दीपक बिन्दु D पर स्थित है, जहाँ DE भवन की ऊँचाई है।
दिया है, ∠ACB = 30°, ∠ADF = 45° तथा DE = 50 मी

अब, समकोण ΔABC में,
sin 30° = लम्ब / कर्ण
= \(\frac{A B}{A C}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{A B}{200}\)
AB = 100 मी
समकोण ΔAFD में,
sin 45° = लम्ब / कर्ण
= \(\frac{A F}{A D}\)
(AB = AF + BF
100 = AF + 50
AF = 50 मी)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{A D}\)
AD = 50\(\sqrt{2}\) मी
अतः दीपक की चिड़िया से दूरी 50\(\sqrt{2}\) मी है।

प्रश्न 10.
एक ऊर्ध्वार मीनार क्षैतिज तल पर खड़ी है तथा उसके ऊपर एक 6 मी ऊँचा झंडा लगा है। तल के किसी बिन्दु से झंडे के पाद तथा शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° तथा 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3}\) = 1.732 लीजिए)
हल:
माना AB एक मीनार है तथा BC झंडा है। अब माना कि P भूमि पर एक ऐसा बिन्दु है, जिसका मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠APB = 30° तथा मीनार पर स्थित झंडा का उन्नयन कोण ∠APC = 45° है तथा BC = 6 मी अब माना AB = h मी तथा PA = x मी

समकोण ΔPAB से,
cos 30° = \(\frac{P A}{P B}=\frac{x}{h}\)
\(\sqrt{3}=\frac{x}{h}\) (∵ cot 30° = \(\sqrt{3}\))
x = \(\sqrt{3}\)h …..(i)
समकोण ΔPAC से,
cot 45° = \(\frac{x}{h+6}=\frac{P A}{A C}\) (∵ cot 45° = 1)
x = h + 6 ….. (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\sqrt{3}\)h = h + 6
\(\sqrt{3}\)h – h = 6
= \(\frac{6}{\sqrt{3}-1}\)
= \(\frac{6}{1.732-1}\)
= \(\frac{6}{0.732}\)
= \(\frac{6000}{732}\)
= 8.19 मी
अतः मीनार की ऊँचाई 8.19 मी है।

प्रश्न 11.
100 मी ऊंचे एक लाइट हाउस से दूर एक नाव को ले जाता हुआ व्यक्ति 2 मिनट में लाइट हाउस में शिखर का उन्नयन कोण को 60° से 30° बढ़लता हुआ पाता है। मीटर प्रति मिनट में नाव की चाल ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3}\) = 1.732 लीजिए)
हल:
माना AB एक 100 मी ऊँचाई का लाइट हाउस है प्रारम्भ में व्यक्ति C बिन्दु पर था तथा 2 मिनट बाद D बिन्दु पर आता है।

यहाँ, ∠ACB = 60° तथा ∠ADB = 30° है। माना BC = x मी तथा BD = y मी है।
समकोण ΔABC में,
tan 60° = \(\frac{A B}{B C}\)
\(\sqrt{3}=\frac{100}{x}\)
x = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) ……..(i)
पुन: समकोण ΔABD में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{100}{B D}\)
BD = 100\(\sqrt{3}\)
BC + CD = 100\(\sqrt{3}\)
x + y = 100\(\sqrt{3}\) …..(ii)
समीकरण (i) से, x = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) समीकरण (ii) में रखने पर,
\(\frac{100}{\sqrt{3}}\) + y = 100\(\sqrt{3}\)
y = \(100 \sqrt{3}-\frac{100}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{300-100}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\) मी
बिन्दु C से D तक जाने मैं नाव द्वारा लगा समय 2 मिनट है।
तथा CD = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\)
अतः नाव को चाल = समय / दूरी
\(\frac{C D}{2}\) ⇒ \(\frac{y}{2}\)
= \(=\frac{200}{\sqrt{3} \times 2}\) (∵ y = \(\frac{200}{\sqrt{3}}\) मी)
= \(\frac{100}{\sqrt{3}}=\frac{100}{1.732}\)
= 57.73 मीटर / मिनट

प्रश्न 12.
एक मीनार के पाद से गुजरने वाली सीधी रेखा पर पाद से क्रमशः 4 मी तथा 16 मी की दूरियों पर दो बिंदु C व D स्थित हैं। यदि C व D से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हों, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर
ΔABC में, \(\frac{A B}{B C}\) = tan(90° – θ)
\(\frac{h}{4}\) = cot θ …..(i)

ΔABD में,
\(\frac{A B}{B D}\) = tan θ
\(\frac{h}{16}\) = tan θ …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) का गुणा करने पर,
\(\frac{h}{4} \times \frac{h}{16}\) = cot θ × tan θ
\(\frac{h^2}{64}=1\)
[∵ cot θ × tan θ = \(\frac{1}{\tan \theta}\) × tan θ = 1]
⇒ h² = 64
⇒ h = 8 मी
अतः मीनार की ऊँचाई 8 मीटर है।

प्रश्न 13.
एक हवाई जहाज भूतल से ऊपर 300 मी की ऊँचाई पर उड़ रहा है। इस ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज से एक नदी के दोनों किनारों पर परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिंदुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [\(\sqrt{3}\) = 1.732 प्रयोग कीजिए]
हल:
माना हवाई जहाज A बिंदु पर नदी से 300 मीटर ऊँचाई पर है। C व D नहीं के विपरीत किनारों पर है।

समकोण ΔABC में,
\(\frac{B C}{A B}\) = cot 60°
⇒ \(\frac{x}{300}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ x = \(\frac{300}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= 100\(\sqrt{3}\) मी
= 100 × 1.732 = 173.2 मी
समकोण ΔABD में,
⇒ \(\frac{B D}{A B}\) = cot 45°
⇒ \(\frac{y}{300}\) = 1
⇒ y = 300
नदी को चौड़ाई = x + y
= 173.2 + 300
= 473.2 मी

प्रश्न 14.
समुद्र तल से 75 मी. ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° तथा 45° है। यदि दोनों जहाज लाइट हाउस की विपरीत दिशाओं में हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB लाइट हाउस है।
जहाज क्रमश: बिन्दु C व D पर है।

समकोण ΔABC में,
⇒ \(\frac{A B}{B C}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{75}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ x = 75\(\sqrt{3}\) मी
समकोण ΔABD में,
⇒ \(\frac{A B}{B D}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{75}{y}\) = 1
y = 75 मी
जहाजों के बीच की दूरी = x + y
= (75\(\sqrt{3}\) + 75) मी
= 75(\(\sqrt{3}\) + 1) मी

प्रश्न 15.
एक झील के पानी की सतह में 60 मी ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु से बादल का उन्नयन कोण 30° है, तथा झील के पानी में बादल का परछाई का अवनमन कोण 60° है। बादल की झील के पानी की सतह से ऊँचाई प्राप्त कीजिए।
हल:
ΔCMP में,
tan 30° = \(\frac{C M}{P M}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{P M}\) या PM = \(\sqrt{3}\)h …….(i)

ΔPMC में,
tan 60° = \(\frac{C M}{P M}\)
= \(\frac{h+60+60}{P M}=\sqrt{3}\)
या PM = \(\frac{h+120}{\sqrt{3}}\) …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
\(\sqrt{3}\)h = \(\frac{h-120}{\sqrt{3}}\)
3h = h + 120
2h = 120 ⇒ h = 60 मी
पानी के तल से बादल की ऊँचाई = h + 60
= 60 + 60 = 120 मी

प्रश्न 16.
एक मीनार के एक ही ओर तथा इसके आध र से एक ही सरल रेखा में दो बिंदु A तथा B हैं। मीनार के शिखर से इन बिंदुओं अवनमन कोण क्रमश: 60° व 45° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 15 मी हो, तो इन बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना PT एक मीनार है।

समकोण ΔPTA में,
tan 60° = \(\frac{P T}{T A}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{15}{T A}\)
⇒ TA = \(\frac{15}{\sqrt{3}}\)
पुन: समकोण ΔPTB में,
tan 45° = \(\frac{P T}{T B}\)
⇒ 1 = \(\frac{15}{T B}\)
⇒ TB = 15 मी
बिन्दुओं A व B के बीच की दूरी
AB = TB – TA
= 15 – \(\frac{15}{\sqrt{3}}\) = 15\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)\) मी

प्रश्न 17.
एक नदी के एक किनारें पर खड़ा एक व्यक्ति, नदी के दूसरे किनारे पर खड़े एक वृक्ष के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाता है जब वह किनारे से 30 मी दूर जाता है, तो वह उन्नयन कोण 30° पाता है। वृक्ष की ऊँचाई तथा नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [\(\sqrt{3}\) = 1.732 प्रयोग कीजिए]
हल:
माना नदी के एक किनारे पर एक वृक्ष AB है तथा नदी के दूसरे किनारे पर व्यक्ति P बिंदु पर है। यहाँ AP नदी की चौड़ाई है।
जब व्यक्ति P से बिंदु M पर जाता है, तो उन्नयन कोण 60° से 30° हो जाता है।

समकोण ΔPAB में,
⇒ tan 60° = \(\frac{A B}{P A}\)
⇒ \(\sqrt{3}\) = \(\frac{A B}{P A}\)
⇒ AB = \(\sqrt{3}\)PA …..(i)
पुन: समकोण ΔMAB में,
tan 30° = \(\frac{A B}{M A}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{30+A P}\)
⇒ 30 + AP = \(\sqrt{3}\)AB
⇒ 30 + AP = \(\sqrt{3}\)(\(\sqrt{3}\)AP) [समी (i) से]
⇒ 30 + AP = 3AP
⇒ 2AP = 30
⇒ AP = 15 मी.
समीकरण (i) से,
AB = \(\sqrt{3}\) × 15 = 15\(\sqrt{3}\) मी
अतः नदी की चौड़ाई = 15 मी
तथा पेड़ की ऊँचाई = 15\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 18.
भूमि पर स्थित बिंदु A से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 10 सैकंड की उड़ान के बाद उसी ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज का उन्नयन कोण बिंदु A से 30° हो जाता है। यदि हवाई जाहज की औसत चाल 720 किमी / घंटा हो, तो हवाई जाहज की धरती से स्थिर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना P और Q हवाई जहाज की दो स्थितियाँ है। माना ABC एक क्षैतिज रेखा है जो A से जाती है।
∵ हवाई जाहज द्वारा 1 घंटे में तय दूरी,
PQ = 720 किमी

∵ हवाई जहाज द्वारा 1 सकण्ड में तय दूरी
= \(\frac{720 \times 1000}{60 \times 60}\) मी
= 200 मी
और 10 सेकंड में तय दूरी = 10 × 200 मी = 2000 मी
∴ PQ = 2000 मी
समकोण ΔABP में
tan 60° = \(\frac{P B}{A B}\)
⇒ \(\sqrt{3}=\frac{P B}{A B}\)
⇒ PB = \(\sqrt{3}\)AB …..(i)
⇒ tan 30° = \(\frac{Q C}{A C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q C}{A C}\)
⇒ AC = \(\sqrt{3}\)QC
⇒ AB + BC = \(\sqrt{3}\)PB [∵ QC = PB]
⇒ AB + 200 = \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\)AB
[∵ PQ = 2000
[तथा PB = \(\sqrt{3}\)AB]
⇒ AB + 2000 = 3AB
⇒ 2AB = 2000
⇒ AB = 1000 मी
समीकरण (i) से
PB = \(\sqrt{3}\) × 1000
= 1000\(\sqrt{3}\) मी
अतः हवाई जहाज की धरती से स्थिर ऊँचाई 1000\(\sqrt{3}\) मी है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).

1. यदि कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को देख रहा है, तो प्रेक्षक की आँख को उस वस्तु से मिलाने वाली क्षैतिज रेखा को ……………. रेखा कहते हैं।
2. वह रेखा, जो प्रेक्षक की आँख से सीधी भूमि के समांतर जाती है, ……………… रेखा कहलाती है।
3. जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को ऊपर उठाता है, तो वस्तु प्रेक्षक की आँख पर ………………. कोण बनाती है।
4. जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकता है, तो वस्तु की आँख पर कोण ……………… बनाती है।
5. उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण सदैव बराबर और ……………… कोण होते हैं।

उत्तर:

1. दृष्टि,
2. क्षैतिज,
3. उन्नयन,
4. अवनमन,
5. न्यून ।

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख).

1. अवनमन कोण को अवनति कोण भी कहते हैं।
2. उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण एकांतर कोण होते हैं।
3. उन्नयन कोण सदैव अधिक कोण होता है।
4. अवनमन कोण सदैव समकोण होता है।
5. त्रिकोणमिति की सहायता से दूरियों तथा ऊँचाइयों की गणना सरलता से की जा सकती है।

उत्तर:

1. सत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. असत्य,
5. सत्य ।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक सीधी खड़ी छड़ की लंबाई तथा उसकी परछाई में 1 : \(\sqrt{3}\) का अनुपात है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए:
(A) 30°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 90°
हल:
माना छड़ की लंबाई AB तथ उसकी परछाई BC है।
माना उन्नयन कोण θ है।
दिया है, BA : BC = 1 : \(\sqrt{3}\)
⇒ \(\frac{B A}{B C}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

समकोण ΔCAB में
sin θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ sin θ = sin 60°
⇒ θ = 60°
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 2.
निम्न आकृति में वस्तु 1 को बिंदुओं O₁ तथा O₂ से देखने पर बने अवनमन कोण क्रमश: हैं:
(A) 45°, 75°
(B) 60°, 90°
(C) 30°, 60°
(D) 45°, 30°
हल:
एक रेखा PO₁ इस प्रकार खींची कि PO₁ || AC
यहाँ ∠PO₁A + ∠AO₁C = 90°
⇒ ∠PO₁A + 60° = 90°

⇒ ∠PO₁A = 90° – 60° = 30°
अब ∠PO₂A = ∠O₂AB = 45° (एकान्तर कोण)
O₁ से अवनमन कोण = 30°
O₂ से अवनमन कोण = 45°
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में अच्छी तरह से तनी हुई एक 20 मी लम्बी रस्सी भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी है। यदि भूमि स्तर के साथ रस्सी द्वारा बनाया गया कोण 30° का है, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(A) 10 मी
(B) 20 मी
(C) 40 मी
(D) 50 मी
हल:
समकोण ΔBAC में.

sin 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{A B}{20}\)
⇒ \(\frac{20}{2}\) मी = 10 मी
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 4.
निम्न आकृति में, भूमि के एक बिन्दु C से, जो मीनार के पाद बिन्दु से 60 मी की दूरी पर है, मीनार AB के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है :
(A) 60\(\sqrt{3}\) मी.
(B) 60 मी
(C) 20\(\sqrt{3}\) मी
(D) 20 मी
हल:
समकोण ΔABC में,

tan 30° = \(\frac{A B}{B C}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{60}\)
AB = \(\frac{60}{\sqrt{3}}=\frac{60 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
\(\frac{60 \sqrt{3}}{3}\) = 20\(\sqrt{3}\) मी
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 5.
एक मीनार के आधार से 100 मीटर की दूरी पर स्थित बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है:
(A) 50 मीटर
(B) 100 मीटर
(C) \(\frac{100}{\sqrt{2}}\) मीटर
(D) \(\frac{100 \times \sqrt{3}}{2}\) मीटर
हल:
माना मीनार की ऊँचाई (BC)h मीटर है।
मीनार के आधार से 100 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। अर्थात् AB = 100 मी. तथा ∠CAB = 45°
समकोण ΔABC में,

tan 45° = \(\frac{B C}{A B}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{100}\)
∴ h = 100 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 100 मी.
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 6.
15 मी लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई है :
(A) 15\(\sqrt{3}\) मी.
(B) \(\frac{15 \sqrt{3}}{2}\) मी.
(C) \(\frac{15}{2}\) मी.
(D) 15 मी.
हल:
माना कि AB एक ऊर्ध्वाधर दीवार है जिसकी ऊँचाई 1⁄2 मी. है। माना कि AC एक सीढ़ी है जो दीवार के शिखर तक पहुँचती है तथा सीढ़ी की लम्बाई 15 मी. है। सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तब
∠ACB = 60° तथा AC = 15 मी.
समकोण ΔABC में,

sin 60° = \(\frac{A B}{A C}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{15}\)
h = \(\frac{15 \sqrt{3}}{2}\) मी.
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
6 मीटर ऊँचे एक खम्भे की छाया 2\(\sqrt{3}\) मीटर लम्बी हो तो सूर्य का उन्नतांश कोण है:
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 90°
हल:
माना कि AB एक खम्भा है जिसकी ऊँचाई 6 मीटर है।
खम्भे की छाया की लम्बाई (BC) = 2\(\sqrt{3}\) मीटर
माना कि सूर्य का उन्नतांश कोण (∠ACB) = θ
अत: समकोण ΔABC में

tan θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ tan θ = \(\frac{6}{2 \sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = \(\sqrt{3}\)
⇒ tan θ = tan 60°
⇒ θ = 60°
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 8.
किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°
हल:
माना BC कोई मीनार है, जिसकी ऊँचाई / मीटर है।

इसकी छाया AB, h मीटर होगी।
पुनः माना सूर्य का उन्नयन कोण ∠CAB = θ
समकोण ΔABC में,
tan θ = \(\frac{B C}{A B}=\frac{h}{h}\)
⇒ tan θ = 1
⇒ tan θ = tan 45°
∴ θ = 45°
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
10 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है:
(A) 10 \(\sqrt{3}\) मीटर
(B) \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) मीटर
(C) 10 मीटर
(D) 5\(\sqrt{3}\) मीटर
हल:
माना AC कोई मीनार है जिसकी ऊँचाई 10 मीटर है।

माना मीनार के आधार से बिन्दु की दूरी (BC) = x मीटर
मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है।
∴ ∠XAB = 30°
∠XAB = ∠ABC = 30° (एकान्तर कोण)
समकोण ΔACB में,
tan 30° = \(\frac{A C}{B C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}\)
∴ x = 10\(\sqrt{3}\) मीटर
अतः बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी 10\(\sqrt{3}\) मीटर होगी सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 10.
एक पतंग भूमि से 30 मी की ऊँचाई पर 60 मी लंबी डोरी की सहायता से उड़ रही है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है, पतंग का भूमि पर उन्नयन कोण है:
(A) 45°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 90°
हल:
माना कि भूमि से 30 मीटर की ऊँचाई पर पतंग की स्थिति है जोकि 60 मीटर लंबी डोरी (AC) की सहायता से उड़ रही है। माना कि पतंग की डोरी का क्षैतिज के साथ कोण θ है।
अर्थात् ∠ACB = θ
समकोण ΔABC में,

sin θ = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ sin θ = \(\frac{30}{60}\)
⇒ sin θ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ sin θ = sin 30°
⇒ θ = 30°
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 11.
एक नदी के ऊपर एक पुल नदी के तट के साथ 45° का कोण बनाता है। यदि नदी के ऊपर पुल की लम्बाई 150 मीटर है, तो नदी की चौड़ाई क्या होगी:
(A) 75\(\sqrt{2}\) मीटर
(B) 50\(\sqrt{2}\) मीटर
(C) 75 मीटर
(D) 150 मीटर
हल:
माना AC पुल है जिसकी लम्बाई 150 मीटर है
तथा BC नदी की चौड़ाई है। पुल नदी के साथ 45° का कोण बनाता है।
अर्थात् ∠CAB = 45°
समकोण ΔABC में,
sin 45° = \(\frac{B C}{A C}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{B C}{150}\)
BC = \(\frac{150}{\sqrt{2}}\)
BC = \(\frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\)
BC = 75\(\sqrt{2}\)
अतः नदी की चौड़ाई 75\(\sqrt{2}\) मीटर होगी।
सही विकल्प (A) है।