Class 9

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Solutions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Solutions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा

Jharkhand Board Class 9 Science कार्य तथा ऊर्जा Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1.
निम्न सूचीबद्ध क्रियाकलापों को ध्यान से देखिए। अपनी कार्य शब्द की व्याख्या के आधार पर तर्क दीजिए कि इनमें कार्य हो रहा है अथवा नहीं।

1. सूमा एक तालाब में तैर रही है।
2. एक गधे ने अपनी पीठ पर बोझा उठा रखा है।
3. एक पवन चक्की (विंड मिल) कुएँ से पानी उठा रही है।
4. एक हरे पौधे में प्रकाश संश्लेषण की प्रक्रिया हो रही है।
5. एक इंजन ट्रेन को खींच रहा है।
6. अनाज के दाने सूर्य की धूप में सूख रहे हैं।
7. एक पाल नाव पवन ऊर्जा के कारण गतिशील है।

उत्तर:

1. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, किन्तु किया जा रहा कार्य ऋणात्मक है, क्योंकि बल पीछे की ओर लगाया जा रहा है, जबकि विस्थापन आगे की दिशा में हो रहा है।
2. इस स्थिति में कोई कार्य नहीं हो पा रहा है, क्योंकि बल नीचे की ओर लग रहा है, परंतु कोई विस्थापन नहीं हो रहा है।
3. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि बल ऊपर की ओर आरोपित किया जा रहा है तथा पानी भी ऊपर की ओर उठाया जा रहा है।
4. इस स्थिति में कोई कार्य नहीं हो रहा है, क्योंकि न तो कोई बल आरोपित किया जा रहा है और न ही वस्तु विस्थापित हो रही है।
5. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि इंजन द्वारा रेलगाड़ी पर बल आरोपित किया जा रहा है तथा रेलगाड़ी आरोपित बल की दिशा में विस्थापित हो रही है।
6. नहीं, इसमें कोई कार्य नहीं हो रहा है, क्योंकि यहाँ न तो कोई बल आरोपित हो रहा है और न कोई विस्थापन उत्पन्न हो रहा है।
7. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि पवन ऊर्जा द्वारा नाव पर बल आरोपित हो रहा है तथा नाव भी आरोपित बल की दिशा में गति कर रही है।

प्रश्न 2.
एक पिण्ड को धरती से किसी कोण पर फेंका जाता है। यह एक वक्र पथ पर चलता है और वापस धरती पर आ गिरता है। पिण्ड के पथ के प्रारम्भिक तथा अंतिम बिन्दु एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं। पिण्ड पर गुरुत्व बल द्वारा कितना कार्य किया गया?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य की मात्रा शून्य होगी, क्योंकि गुरुत्व बल के विरुद्ध किया गया कार्य mgh वस्तु का द्रव्यमान तथा गुरुत्वीय त्वरण तो स्थिर रहते हैं, किन्तु उसकी ऊँचाई शून्य हो जाती है। ऐसा पथ के आरंभिक तथा अंतिम बिन्दुओं के एक ही क्षैतिज तल में स्थित होने के कारण होता है।

प्रश्न 3.
एक बैटरी बल्ब जलाती है। इस प्रक्रम में होने वाले ऊर्जा परिवर्तनों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
बैटरी की रासायनिक ऊर्जा, विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित होती है। विद्युत ऊर्जा, ताप एवं प्रकाश ऊर्जा में परिवर्तित होती है।

प्रश्न 4.
20 kg द्रव्यमान पर लगने वाला कोई बल इसके वेग को 5ms^-1 से 2ms^-1 में परिवर्तित कर देता है। बल द्वारा किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m = 20 kg
आरंभिक वेग u = 5 m/s
अंतिम वेग v = 2m/s
समय t = 1 s
गति के पहले समीकरण से v = u + at
या, a = \(\frac{v-u}{t}=\frac{2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}-5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{1 \mathrm{~s}}\)
या, a = – 3 m/s²
गति के तीसरे समीकरण से,
v² – u² = 2as
(2m/s)² – (5m/s)² = 2 × (-3m/s²) x s
– 21 m²/s² = – 6m/s².s
s = \(\frac { -21 }{ -6 }\) = \(\frac { 7 }{ 2 }\) m
किया गया कार्य = F x s
W = m x a x s
= 20 kg × (- 3m/s²) x \(\frac { 7 }{ 2 }\)
= – 210 J

प्रश्न 5.
10 kg द्रव्यमान का एक पिण्ड मेज पर A बिन्दु पर रखा है। इसे B बिन्दु तक लाया जाता है। यदि A तथा B को मिलाने वाली रेखा क्षैतिज है तो पिण्ड पर गुरुत्व बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा। अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
उत्तर:
द्रव्यमान m = 10 kg
गुरुत्वीय त्वरण g = 10m/s²
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य = m x g x h
इस स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य की मात्रा शून्य होगी, क्योंकि बिन्दु A तथा B को जोड़ने वाली रेखा एक ही क्षैतिज तल अर्थात् वस्तु द्वारा प्राप्त ऊँचाई शून्य है। साथ ही, गुरुत्वाकर्षण बल का कोई भी घटक वस्तु के विस्थापन की दिशा में कार्य नहीं करता है।

प्रश्न 6.
मुक्त रूप से गिरते एक पिण्ड की स्थितिज ऊर्जा लगातार कम होती जाती है। क्या यह ऊर्जा संरक्षण नियम का उल्लंघन करती है? कारण बताओ।
उत्तर:
यह ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्त की उल्लंघन नहीं करती है, क्योंकि जिस अनुपात में वस्तु की स्थितिज ऊर्जा में कमी आती है, उसी अनुपात में उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि भी होती है अर्थात्, वस्तु की कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है।

प्रश्न 7.
जब आप साइकिल चलाते हैं तो कौन-कौन से ऊर्जा रूपांतरण होते हैं?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा से पेशीय ऊर्जा तथा पेशीय ऊर्जा से यान्त्रिक ऊर्जा में ऊर्जा का रूपान्तरण होता है।

प्रश्न 8.
जब आप अपनी सारी शक्ति लगाकर एक बड़ी चट्टान को धकेलना चाहते हैं और इसे हिलाने में असफल हो जाते हैं तो क्या इस अवस्था में ऊर्जा का स्थानांतरण होता है? आपके द्वारा व्यय की गई ऊर्जा कहाँ चली जाती है?
उत्तर:
नहीं, जब हम अपनी पूरी शक्ति से बड़ी चट्टान को धकेलने पर उसे हिला नहीं पाते हैं, तो ऊर्जा का स्थानांतरण नहीं होता है। जब हम चट्टान को धक्का लगाते हैं तो हमारी पेशियाँ तन जाती हैं तथा इन पेशियों की ओर रक्त बहुत तेजी से विस्थापित होता है और ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होती है। इन परिवर्तनों में ऊर्जा खपत होती है तथा हम थका हुआ अनुभव करते हैं।

प्रश्न 9.
किसी घर में एक महीने में ऊर्जा की 250 यूनिटें व्यय हुई। यह ऊर्जा जूल में कितनी होगी?
हल:
पूरे महीने के दौरान कुल ऊर्जा खपत = 250 यूनिट
1 यूनिट = 1 kWh
∴ 250 यूनिट = 250kWh
पुन:, 1kWh = 36,00,0003
∴ 250kWh = 250 × 36,00,000 J
= 90,00,00,000 J
= 9 x 10⁸ J

प्रश्न 10.
40 kg द्रव्यमान का एक पिण्ड धरती से 5 m की ऊँचाई तक उठाया जाता है। इसकी स्थितिज ऊर्जा कितनी है? यदि पिण्ड मुक्त रूप से गिरने दिया जाए तो जब पिण्ड ठीक आधे रास्ते पर है, उस समय इसकी गतिज ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (g = 10ms^-2)
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m = 40 kg
ऊँचाई h = 5m
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 ms^-2
स्थितिज ऊर्जा = m x g x h
= 40kg x 10ms^-2 x 5m
= 2000 J
जब वस्तु आधी ऊँचाई पर होती है
वस्तु का द्रव्यमान = 40kg
ऊँचाई h = 2.5m
गुरुत्वीय त्वरण g = 10ms^-2
आरंभिक वेग u = 0 m/s
तृतीय समीकरण के अनुसार,
v² – u² = 2as
v² = u² + 2as
v² = 0 + 2 × 10 ms^-2 x s = 20.s
गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 40 kg x 20 x 2.5 m²/s²
= 1000 J

प्रश्न 11.
पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए किसी उपग्रह पर गुरुत्व बल द्वारा कितना कार्य किया जाएगा? अपने उत्तर को तर्कसंगत बनाइए।
उत्तर:
पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए उपग्रह पर किये जाने वाले कार्य की मात्रा शून्य है।
उपग्रह अपनी वृत्तीय कक्षा में घूमता है, तो उसकी कक्षा की त्रिज्या के केन्द्र की ओर एक अभिकेन्द्रीय बल बल कार्य करता है तथा उपग्रह की दिशा कक्षा के लंबवत् होती है। इस तरह, बल तथा विस्थापन की दिशा एक-दूसरे के लंबवत् होती है।

किया गया कार्य = F x s x cos θ
W = Fs cos 90° = 0
एकसमान वृत्तीय गति की स्थिति में किया गया कुल कार्य शून्य होगा।

प्रश्न 12.
क्या किसी पिण्ड पर लगने वाले किसी भी बल की अनुपस्थिति में इसका विस्थापन हो सकता है? सोचिए। इस प्रश्न के बारे में अपने मित्रों तथा अध्यापकों से विचार-विमर्श कीजिए।
उत्तर:
जब वस्तु विरामावस्था में होती है, तो न्यूटन के गति के नियम के अनुसार, यह तब तक विरामावस्था में रहती है जब तक कि उस पर लगा बल उसकी इस अवस्था में परिवर्तन न ला दे। जब वस्तु गति अवस्था में होती है, जैसे चलती हुई बस, तो इसे रोकने के लिए बल की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में किसी कार्यकारी बल की अनुपस्थिति में भी बस में विस्थापन संभव है।

प्रश्न 13.
कोई मनुष्य भूसे के एक गट्ठर को अपने सिर पर 30 मिनट तक रखे रहता है और थक जाता है। क्या उसने कुछ कार्य किया या नहीं? अपने उत्तर को तर्कसंगत बनाइए।
उत्तर:
नहीं, व्यक्ति ने भूसे के गट्ठर पर कोई कार्य नहीं किया, क्योंकि गट्ठर में कोई विस्थापन नहीं होता है।

प्रश्न 14.
एक विद्युत्-हीटर (उष्मक) की घोषित शक्ति 1500 W है। 10 घंटे में यह कितनी ऊर्जा उपयोग करेगा?
हल:

प्रश्न 15.
जब हम किसी सरल लोलक के गोलक को एक ओर ले जाकर छोड़ते हैं तो यह दोलन करने लगता है। इसमें होने वाले ऊर्जा परिवर्तनों की चर्चा करते हुए ऊर्जा संरक्षण के नियम को स्पष्ट कीजिए। गोलक कुछ समय पश्चात् विराम अवस्था में क्यों आ जाता है? अंततः इसकी ऊर्जा का क्या होता है? क्या यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन है?
उत्तर:
(i) लोलक के गोलक की स्थितिज ऊर्जा उस समय सर्वाधिक होती है जब इसे एक तरफ खींचा जाता है। जब इसे दोलन के लिए छोड़ा जाता है, तो प्रत्येक अधिकतम विस्थापन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम तथा गतिज ऊर्जा शून्य होती है और माध्य की स्थिति में गतिज ऊर्जा अधिकतम हो जाती है जबकि स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। किन्तु कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है।

(ii) लोलक का गोलक अंत में रुक जाता है। ऐसा इसलिए होता है कि लोलक जिस बिन्दु से बंधा रहता है, उसके साथ घर्षण के कारण तथा दोलन करते हुए गोलक का हवा के साथ घर्षण के कारण होता है। इस घर्षण के कारण दोलन करते हुए गोलक की यांत्रिक ऊर्जा धीरे-धीरे ऊष्मा या ताप ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(iii) अंत में यह ताप ऊर्जा वातावरण में खो जाती है।

(iv) नहीं, यह ऊर्जा संरक्षण के सिद्धान्त का उल्लंघन नहीं है।

प्रश्न 16.
m द्रव्यमान का एक पिंड एक नियत वेग से गतिशील है। पिण्ड पर कितना कार्य करना चाहिए कि वह विराम अवस्था में आ जाए?
हल:
द्रव्यमान = m, स्थिर वेग = v
वस्तु की ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² (चूँकि वस्तु गति में है)
अतः वस्तु को विराम में लाने के लिए समान मात्रा में कार्य करने की आवश्यकता होगी।
अतः वस्तु पर किया जाने वाला कार्य = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²

प्रश्न 17.
1500 kg द्रव्यमान की कार को जो 60 km/b के वेग से चल रही है, रोकने के लिए किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
द्रव्यमान m = 1500 kg
वेग v = 60 km/h
= \(\frac { 60×1000m }{ 3600s }\) = 16.67 m/s
गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 1500 kg x (16.67m/s)²
= 208416.67 J

प्रश्न 18.
निम्न में से प्रत्येक स्थिति में m द्रव्यमान के एक पिण्ड पर एक बल F लग रहा है। विस्थापन की दिशा पश्चिम से पूर्व की ओर है जो एक लंबे तीर से प्रदर्शित की गई है। चित्रों को ध्यानपूर्वक देखिए और बताइए कि किया गया कार्य ऋणात्मक है, धनात्मक है या शून्य है।

उत्तर:
स्थिति (i) में किए गए कार्य की मात्रा शून्य है, क्योंकि बल विस्थापन के लम्बवत् कार्य कर रहा है।
θ कोण पर किया गया कार्य = F x s x cos θ
W = F x s x cos 90°
W = F × s × 0 = 0 J

स्थिति (ii) में किया गया कार्य धनात्मक है, क्योंकि वस्तु का विस्थापन आरोपित बल की दिशा में हो रहा है।

स्थिति (iii) में किया गया कार्य ऋणात्मक है, क्योंकि आरोपित बल की विपरीत दिशा में वस्तु का विस्थापन हो रहा है।

प्रश्न 19.
सोनी कहती है कि किसी वस्तु का त्वरण शून्य हो सकता है चाहे उस पर कई बल कार्य कर रहे हों। क्या आप उससे सहमत हैं? बताइए क्यों?
उत्तर:
हाँ, सोनी का कहना ठीक है, क्योंकि जब कोई वस्तु विरामावस्था में होती है तथा उसकी गति शून्य होती है, तब उसमें त्वरण भी शून्य होता है जब किसी वस्तु में एक साथ कई बल लगते हैं, तो वे एक-दूसरे को अप्रभावी कर देते हैं। जब वस्तु एकसमान वेग से गति में होती है, उसका त्वरण शून्य होता है। हाँ, क्योंकि इस स्थिति में भी वस्तु पर एक साथ कई संतुलनकारी बल कार्य कर सकते हैं।

प्रश्न 20.
चार युक्तियाँ, जिनमें प्रत्येक की शक्ति 500 W है 10 घंटे तक उपयोग में लाई जाती हैं इनके द्वारा व्यय की गई ऊर्जा kWh में परिकलित कीजिए।
हल:
कुल युक्तियाँ = 5
1 युक्ति की शक्ति = 500W
समय = 10 घंटे
कुल शक्ति = कुल युक्तियाँ – युक्ति की शक्ति
= 4 x 500 वाट = 2000 वाट 2kW
व्यय ऊर्जा = शक्ति x समय
= 2kW x 10 घंटे
= 20 kWh

प्रश्न 21.
मुक्त रूप से गिरता एक पिण्ड अंतत: धरती तक पहुँचने पर रुक जाता है इसकी गतिज ऊर्जा का क्या होती है?
उत्तर:
मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड की स्थितिज ऊर्जा धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा में बदलने लगती है। लेकिन जैसे ही पिण्ड पृथ्वी पर पहुँचता है तो यह रुक जाता है, जिससे इसका वेग शून्य हो जाता है।
अत: सूत्र गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² के अनुसार वेग शून्य हो जाने पर गतिज ऊर्जा भी शून्य हो जाएगी।
K.E. = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x m x 0² = 0
यह गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा, ध्वनि ऊर्जा आदि में रूपान्तरित हो जाती है।

Jharkhand Board Class 9 Science कार्य तथा ऊर्जा InText Questions and Answers

क्रियाकलाप 11.1. (पा. प. पृ. सं. 163)
उपर्युक्त उदाहरणों में दैनिक जीवन के क्रियाकलाप पर चर्चा हुई है। इनमें से प्रत्येक कार्यकलाप के लिए निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें-
(i) किस वस्तु पर कार्य किया गया?
(ii) वस्तु पर क्या घटित हो रहा है?
(iii) कार्य कौन (क्या) कर रहा है?
नोट: छात्र अध्यापक की सहायता से स्वयं करें।

क्रियाकलाप 11.2. (पा. पु. पृ. सं. 163 )
अपने दैनिक जीवन की कुछ स्थितियों पर विचार करके उन्हें सूचीबद्ध कीजिए जिनमें कार्य सम्मिलित हो। अपने मित्रों से विचार-विमर्श करके किए गए कार्य के बारे में जानिए।

क्रियाकलाप 11.3. (पा. पु. पृ. सं, 164)
कुछ ऐसी स्थितियों पर विचार करें जब वस्तु पर बल लगने के बावजूद भी उसमें विस्थापन न हो। इसी प्रकार ऐसी स्थिति पर भी विचार करें जब कोई वस्तु बल लगे बिना ही विस्थापित हो जाए। इन स्थितियों को सूचीबद्ध करें तथा मित्रों से विचार-विमर्श करें कि कार्य हुआ या नहीं।

क्रियाकलाप 11.4. (पा. पु. पृ. सं. 165)
किसी वस्तु को ऊपर उठाइए। आपके द्वारा वस्तु पर लगाए गए बल के द्वारा कार्य किया गया तथा आपके द्वारा आरोपित बल, विस्थापन की दिशा में है। इसके अतिरिक्त वस्तु पर गुरुत्वीय बल भी कार्यरत है। इनमें से कौन सा बल धनात्मक तथा कौन सा ऋणात्मक है? कारण सहित बताइए।

उदाहरण 11.2.
एक कुली 15k g का बोझ धरती से 1.5 m ऊपर उठाकर अपने सिर पर रखता है। उसके द्वारा बोझे पर किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
बोझ का द्रव्यमान m = 15kg तथा
विस्थापन s = 1.5 m
किया गया कार्य W = F x s = mg x s
∵ F = mg
= 15 × 10 × 1.5
= 225 N m
= 225 J
कुली द्वारा बोझे पर किया गया कार्य 225 J है।

खण्ड 11.1 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 165)

प्रश्न 1.
हम कब कहते हैं कि कार्य किया गया है?
उत्तर:
किसी वस्तु पर बल लगाने पर वस्तु विस्थापित हो जाती है तो कहा जाता है कि कार्य किया गया है।

प्रश्न 2
जब किसी वस्तु पर लगने वाला बल इसके विस्थापन की दिशा में हो तो किए गए कार्य का व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
जब बल विस्थापन की दिशा में ही लगता है तो कार्य = बल x बल की दिशा में विस्थापन।

प्रश्न 3.
1 J कार्य को परिभाषित कीजिए।
उत्तर:
जब किसी वस्तु पर एक न्यूटन का बल लगाने पर वस्तु में बल की दिशा में 1 मीटर का विस्थापन हो जाता है तो किया गया कार्य 1 J कहलाता है।
1 J = 1 N × 1 m

प्रश्न 4.
बैलों की एक जोड़ी खेत जोतते समय किसी हल पर 140 न्यूटन का बल लगाती है। जोता गया खेत 15 m लंबा है। खेत की लंबाई को जोतने में कितना कार्य किया गया?
हल:
बैलों द्वारा लगाया गया बल = 140 N
जोता गया खेत = 15 m
किया गया कार्य = बल x विस्थापन
= 140 N x 15 m
= 21000 N m या 2100 जूल

क्रियाकलाप 11.5. (पा. पु. पृ. सं. 166)
ऊर्जा के कुछ स्रोतों की सूची बनाइए। छोटे समूह में विचार-विमर्श कीजिए कि किस प्रकार ऊर्जा के कुछ स्रोत सूर्य के कारण हैं।

क्रियाकलाप 11.6. (पा.पु. पृ. सं. 167)
एक भारी गेंद लेकर इसे गीले रेत की मोटी परत पर गिराइए। गेंद को लगभग 30 सेमी की ऊँचाई से गिराकर हम पाते हैं कि रेत में एक गड्ढा हो जाता है । इसी क्रियाकलाप को 50 cm, 1 m तथा 1.5 m की ऊँचाइयों से गिराकर बने गड्ढों की तुलना करके सूचीबद्ध करें तथा देखें कि किसके कारण बड़ा गड्ढा बना।

अब उत्तर दें-

प्रश्न-
कौन सा गड्ढा सबसे अधिक गहरा है, क्यों?
उत्तर:
सबसे अधिक ऊँचाई (1.5 m) से गिरने पर बना गड्ढा सबसे अधिक गहरा होगा, क्योंकि अधिक ऊँचाई से गिरने के कारण उस गेंद में गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

क्रियाकलाप 11.7. (पा.पु. पृ. सं. 167)
चित्र 11.4 के अनुसार एक ज्ञात द्रव्यमान के लकड़ी के गुटके को ट्रॉली के सामने किसी सुविधाजनक निश्चित दूरी पर रखकर पलड़े पर एक साथ ज्ञात द्रव्यमान रखा जिससे कि ट्राली गतिमान हो जाए। गतिमान ट्रॉली लकड़ी के गुटके से टकराती है। मेज पर एक अवरोधक इस प्रकार लगाया जाए कि गुटके से टकराकर ट्राली वहीं रुक जाए, गुटका विस्थापित हो जाता है तथा गुटके के विस्थापन को मापकर सारणी में लिखिए। पलड़े के द्रव्यमान को बढ़ाकर इस प्रयोग को दोहराकर विस्थापन का मापन किया तथा उसे सारणीबद्ध किया।

अब उत्तर दें-

प्रश्न 1.
गतिशील ट्राली किस प्रकार कार्य करती है?
उत्तर:
गतिशील ट्राली में गतिज ऊर्जा निहित होती है जो कि लकड़ी के गुटके से टकराने पर उसमें स्थानान्तरित हो जाती है जिससे गुटका विस्थापित हो जाता है। ट्राली से बँधे पलड़े पर अधिक द्रव्यमान लटकाने पर उसमें अधिक गतिज ऊर्जा संचित हो जाती है जिसके कारण गुटका और अधिक विस्थापित हो जाता है।

अतः किसी वस्तु में उसकी गति के कारण जो ऊर्जा निहित रहती है उसे उस वस्तु की गतिज ऊर्जा कहते हैं। उदाहरण के लिए चलती हुई कार, फेंकी हुई गेंद, गिरता हुआ कोई पिण्ड तथा बन्दूक से निकली गोली इन सभी में गतिज ऊर्जा निहित रहती है।.

गतिज ऊर्जा की माप (Measurement of Kinetic Energy) – किसी गतिमान पिण्ड की गतिज ऊर्जा की माप कार्य की उस मात्रा से की जाती है, जो वह पिण्ड उसकी वर्तमान अवस्था से विरामावस्था तक लाए जाने में कर सकता है।
यदि m द्रव्यमान की किसी वस्तु पर जो कि विरामावस्था में है, एक बल F लगाया जाता है तब न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से
F = ma अत: a = \(\frac { F }{ m }\) … (i)
यदि वस्तु द्वारा चली गई दूरी हो तब वस्तु पर कृत
कार्य W = F x s … (ii)
गति के तृतीय समीकरण के अनुसार
v² = u² + 2 as [∵ u = 0)
v² = 0 + 2 as … (iii)
समीकरण (i) व (iii) से
v² = 2 x (\(\frac { F }{ m }\)) x s
या mv² = 2Fs या Fs = \(\frac { F }{ m }\) mv² … (iv)
समीकरण (ii) व (iv) की तुलना करने पर
W = Fs = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
यदि गतिज ऊर्जा को E_K से प्रदर्शित करें तब
वस्तु की गतिज ऊर्जा
W = E_K = Fs = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
अतः वस्तु की गतिज ऊर्जा
E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² x द्रव्यमान x (वेग)²
अतः वस्तु की गतिज ऊर्जा वस्तु के द्रव्यमान समानुपाती व वस्तु के वेग के वर्ग के समानुपाती होती है।

खंड 11.2 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा. पु. पू. सं. 169)

प्रश्न 1.
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा क्या होती है?
उत्तर:
गतिज ऊर्जा- किसी वस्तु में उसकी गति के कारण जो ऊर्जा निहित होती है, उसे वस्तु की गतिज ऊर्जा कहते हैं। किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा, उसे विरामावस्था से वर्तमान गति की अवस्था तक लाने में वस्तु पर किए गए कार्य के बराबर होती है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
यदि द्रव्यमान की कोई वस्तु वेग से गतिमान है तो वस्तु की गतिज ऊर्जा E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² होगी।

प्रश्न 3.
5 मीटर प्रति सेकण्ड के वेग से गतिशील किसी m द्रव्यमान की वस्तु की गतिज ऊर्जा 25 जूल है। यदि इसके वेग को दोगुना कर दिया जाए तो इसकी गतिज ऊर्जा कितनी हो जाएगी? यदि इसके वेग को तीन गुना बढ़ा दिया जाए तो इसकी गतिज ऊर्जा कितनी हो जाएगी?
हल:
प्रश्नानुसार, वेग v = 5 मीटर / सेकण्ड,
E_K = 25 जूल
सूत्र ∴ E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) से
25 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (5)² या 2 x 25 = m x 25
∵ वस्तु का द्रव्यमान m = 2 किग्रा
प्रथम दशा – जबकि वेग दुगना अर्थात् v₂ = 2 × 5 = 10
मीटर / सेकण्ड कर दिया जाता है तो
गतिज ऊर्जा E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv_v²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2 x (10)²
= 100 जूल।
दूसरी दशा- जबकि वेग तीन गुना अर्थात् v₃ = 3 x 5 = 15 मीटर / सेकण्ड कर दिया जाता है तो
गतिज ऊर्जा E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv₃²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2 किग्रा (15 मीटर / सेकण्ड )²
= 225 जूल

क्रियाकलाप 11.8. (पा.पु. पू. सं. 169)
एक रबड़ बैंड लेकर इसके एक सिरे को पकड़कर दूसरे सिरे से खींचने पर छल्ला खिंच जाता है तथा सिरे को छोड़ देने पर यह अपनी प्रारम्भिक लम्बाई को प्राप्त करने का प्रयत्न करता है। स्पष्ट है कि स्थिति विशेष के कारण रबड़ के छल्ले ने ऊर्जा संचित कर ली थी।

क्रियाकलाप 11.9. (पा.पु. पू. सं. 169)
चित्र 11.5 के अनुसार एक स्लिंकी (स्प्रिंग) लेकर इसके एक सिरे को पकड़िए तथा दूसरे सिरे को अपने मित्र से पकड़वाकर थोड़ा सा खींचिए। अब स्लिंकी को छोड़ दीजिए।

स्लिंकी ने किस प्रकार की ऊर्जा उपार्जित की तथा संपीडित करने पर भी क्या स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करेगी?

क्रियाकलाप 11.10. (पा.पु. पू. सं. 169)
एक खिलौना कार लेकर उसमें चाबी भरकर कार को जमीन पर रखिए यह चलने लगेगी। इसमें ऊर्जा कहाँ से आयी, सोचिए।

क्रियाकलाप 11.11. (पा.पु. पू. सं. 169)
किसी वस्तु को एक निश्चित ऊँचाई तक उठाकर इसे छोड़ने पर यह नीचे गिरने लगती है, और अधिक ऊँचा उठाने पर यह और अधिक कार्य कर सकती है। इसमें ऊर्जा कहाँ से आई? सोचिए तथा विचार-विमर्श कीजिए।

क्रियाकलाप 11.12. (पा.पु. पृ. सं. 170)
बाँस की खपच्ची लेकर इसका धनुष बनाकर एक हल्की डंडी लेकर इसका तीर बनाइए, डोरी को चित्रानुसार खींचिए और तीर को मुक्त कीजिए। तीर को धनुष दूर जाते देखिए।

धनुष की आकृति में परिवर्तन को नोट कीजिए धनुष की आकृति में परिवर्तन के से कारण उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा तीर को गतिज ऊर्जा प्रदान करती है जिससे तीर गतिमान होकर दूर तक जाता है।

अब उत्तर दें-

प्रश्न 1.
क्रियाकलाप 11.8 में रबड़ का छल्ला खींचने पर ऊर्जा किस प्रकार उपार्जित करता है?
उत्तर:
रबर बैंड में स्थितिज ऊर्जा संचित हो जाती है।

प्रश्न 2.
खींचने पर स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करती है। क्या संपीड़ित करने पर भी स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करेगी?
उत्तर:
छोड़ने पर स्लिंकी अपनी मूल अवस्था प्राप्त कर लेती है। खींचने के दौरान किए गए कार्य के कारण स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करती है। हाँ, स्लिंकी संपीडित करने पर भी स्थितिज ऊर्जा उपार्जित करेगी।

प्रश्न 3.
फर्श पर चाबी भरकर खिलौने को रखने पर यह चलता है। क्या उपार्जित ऊर्जा, चाबी द्वारा भरे गए लपेटनों की संख्या पर निर्भर है?
उत्तर:
कृत कार्य लपेटनों में, स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होती है। उपार्जित ऊर्जा, चाबी द्वारा भरे गए लपेटनों पर निर्भर करती है। लपेटनों की संख्या अधिक होने पर अधिक ऊर्जा संचित हो जाती है।

प्रश्न 4.
किसी वस्तु को अधिक ऊँचाई तक उठाने पर उसमें अधिक ऊर्जा समाहित हो जाती है। यह ऊर्जा कहाँ से प्राप्त होती है? विचार विमर्श कीजिए।
उत्तर:
निश्चित ऊँचाई तक उठाने में किसी वस्तु को गुरुत्वीय बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य वस्तु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित रहता है। वस्तु की पृथ्वी तल से ऊँचाई बढ़ने पर उसमें समाहित ऊर्जा बढ़ती जाती है।

प्रश्न 5.
बाँस की एक खपच्ची से बने धनुष और हल्की डंडी से बने तीर को धनुष की डोरी पर रखकर और डोरी को खींचकर तीर को छोड़िए तीर धनुष से दूर क्यों जा गिरता है?
उत्तर:
धनुष की आकृति में परिवर्तन के कारण उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है जिससे तीर गतिशील होकर दूर तक जाता है।

क्रियाकलाप 11.13.
छोटे समूहों में बैठकर प्रकृति में ऊर्जा रूपान्तरण की विभिन्न विधियों पर विचार करें तथा निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार-विमर्श करें –

• हरे पौधे खाना कैसे बनाते हैं?
• उन्हें ऊर्जा कहाँ से मिलती है?
• वायु एक स्थान से दूसरे स्थान को क्यों बहती है?
• कोयला तथा पेट्रोलियम कैसे बने?
• किस प्रकार के ऊर्जा रूपान्तरण जल चक्र को बनाए रखते हैं?

नोट:

• जब हमने गमले में लगे पौधे को अंधेरे कमरे में रखकर उसे पानी नहीं दिया तो वह सूख गया। इससे निष्कर्ष निकलता है कि हरे पौधे अपना भोजन प्रकाश एवं जल से बनाते हैं।
• उन्हें ऊर्जा सूर्य के प्रकाश (सौर ऊर्जा) से मिलती है।
• वायुदाब में अन्तर के कारण वायु के कणों पर बल आरोपित होता है जिससे वायु एक स्थान से दूसरे स्थान की ओर बहती है।
• करोड़ों वर्ष पूर्व पृथ्वी की गहराई में हरे पेड़-पौधे एवं जीव-जन्तुओं हलचल के कारण दब गए जो कालान्तर में आज  कोयला तथा पैट्रोलियम में बदल गए।
• रासायनिक ऊर्जा का ऊष्मीय ऊर्जा में रूपान्तरण।

क्रियाकलाप 11.14. (पा.पु. पृ. सं. 172)
अनेक मानव क्रियाकलापों तथा हमारे द्वारा उपयोग में लाए जाने वाले जुगतों में ऊर्जा रूपान्तरण सम्मिलित है। इस प्रकार के क्रियाकलापों तथा जुगतों की एक सूची बनाइए तथा पहचानिए कि किस प्रकार का ऊर्जा रूपान्तरण हो रहा है।

क्रियाकलाप 11.15. (पा.पु. पृ. सं. 172)
20 kg द्रव्यमान का कोई पिण्ड 4m की ऊँचाई से मुक्त रूप से गिराया जाता है। दी गई सारणी के अनुसार प्रत्येक स्थिति में स्थितिज ऊर्जा तथा गतिज ऊर्जा की गणना करके, सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए। (g = 10ms^-2)
सारणी 11.2

ऊँचाई जहाँ पर पिण्ड स्थित है	स्थितिज ऊर्जा Ep = mgh (जूल में)	गतिज ऊर्जा (जूल में)	Ep + Ek Ek = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² (जूल में)
4m
3m
2m
1m
भूमि से ठीक ऊपर

संकेत-
h = 4m पर, E_p = mgh = 20 x 10 x 4800 J
v = 0, E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² = 0
h = 3m पर, E_p = 20 x 10 x 3 = 600 J
तय की गई दूरी s = 4 – 3 = 1m
v² = u² + 2gs = 0 + 2gs = 2gs
E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m x 2gs = mgs
= 20 x 10 x 1 = 200 J
h = 2m पर, s = 4 – 2 = 2m
E_p = mgh = 20 × 10 × 2 = 400 J
E_p = mgs = 20 x 10 × 2 = 400 J
h = 1 m पर, h = 1 m, s = 4 -1 = 3 m
E_p = mgh = 20 x 10 × 1 = 200 J
E_k= mgs = 20 x 10 × 3 = 600 J
भूमि से ठीक ऊपर,
h = 0, s = 4 – 0 = 4m
E_p = mg x 0 = 0
E_k= 20 x 10 × 4800 J

सारणी 11.3

ऊँचाई जहाँ पर पिण्ड स्थित है	स्थितिज ऊर्जा Ep = mgh	गतिज ऊर्जा (जूल में) Ek  = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²	Ep + Ek
4m	800 J	0	800 J
3m	600 J	200 J	800 J
2m	400 J	400 J	800 J
1m	200 J	600 J	800 J
भूमि से ठीक ऊपर	0	800 J	800 J

इससे स्पष्ट है कि प्रत्येक ऊँचाई पर कुल यान्त्रिक ऊर्जा अचर रहती है, अर्थात् ऊर्जा संरक्षित है।

क्रियाकलाप 11.16. (पा. पु. पू. सं. 173)
A तथा B दो बच्चों का द्रव्यमान समान है। दोनों रस्से पर अलग-अलग चढ़ना प्रारंभ करते हैं। दोनों 8 m की ऊँचाई तक पहुँचते हैं। मान लीजिए इस कार्य को करने में A 15s तथा B 20s लेता है।
प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्य कितना है ? किया गया कार्य समान है तथापि A ने कार्य करने के लिए B की अपेक्षा कम समय लिया।
किस बच्चे ने दिए हुए समय मान लो 1 में अधिक कार्य किया ?
संकेत माना कि प्रत्येक बच्चे का भार mg प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्यmgh
किया गया कार्य समान है। परन्तु A 15s लेता है जबकि B 20s लेता है
समान कार्य करने के लिए इसलिए 1s में A ने अधिक कार्य किया। हम कहते हैं कि B से A ने अधिक काम किया।

खंड 11.3 से सम्बन्धित पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पू. सं. 174)

प्रश्न 1.
शक्ति क्या है?
उत्तर:
किसी कारक के कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। यदि कोई कारक W कार्य करने में t समय लगाता हैं तो,

प्रश्न 2.
1 बाट शक्ति को
उत्तर:
जब 1 सेकण्ड में कार्य करने की दर को 1 वाट कहते हैं।

प्रश्न 3.
एक लैंप 1000 J विद्युत ऊर्जा 10 में व्यय करता है। इसकी शक्ति कितनी है?
उत्तर:
दिया है:
W = 1000 J, t = 10s, P = ?
P = \(\frac { W }{ t }\) = \(\frac { 1000 }{ 10 }\)
= 100 वॉट

प्रश्न 4.
औसत शक्ति को परिभाषित कीजिए।
उत्तर:
कुल उपयोग की गई ऊर्जा को कुल लिए गए समय से भाग देकर निकाली गई शक्ति को औसत शक्ति कहते हैं।

क्रियाकलाप 11.17. (पा.पु. पू. सं. 175)
अपने घर में विद्युत मीटर में प्रतिदिन प्रातः तथा सायं 6:00 बजे मीटर का पाठ्यांक नोट करें।
दिन के समय कितनी ‘यूनिट’ व्यय होती है?
रात के समय कितनी ‘यूनिट’ व्यय होती है?
इस क्रिया को लगभग एक सप्ताह तक कीजिए।
अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध कीजिए।
अपने आँकड़ों से निष्कर्ष निकालिए।
अपने प्रेक्षणों की तुलना विद्युत् के मासिक बिल में दिए गए विवरणों से कीजिए।
संकेत-
हम मीटर का पाठ्यांक महीने के शुरू में तथा अंत में ले सकते हैं। दोनों पाठ्यांकों का अंतर हमें कुल व्यय हुई विद्युत के बारे में बताता है। इसकी हम मासिक बिल में दी गई यूनिटों से तुलना कर सकते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O इन आँकड़ों को एक बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-स रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल:

सारणी से स्पष्ट है कि रक्त समूह O की बारम्बारता सर्वाधिक है अतः यह अधिक सामान्य है और रक्त समूह AB की बारम्बारता सबसे कम है, अतः यह विरलतम (कम) है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अन्तराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
हल:
इन आँकड़ों में न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ (किमी) क्रमशः 2 और 32 हैं। प्रश्न से स्पष्ट है कि प्रथम वर्ग अन्तराल 0-5 है और विस्तार समान है अतः समान आकार के वर्ग निम्न प्रकार से प्राप्त होते हैं:
0 – 5, 5 – 10, 10 – 15, 15 – 20, 20 – 25, 25 – 20 और 30 – 35
अतः बारम्बारता सारणी निम्नवत् है:

आँकड़ों की उच्चतम सीमा 35 इस वर्ग तालिका में शामिल नहीं है। इसी प्रकार तालिका से स्पष्ट हैं कि न्यूनतम दूरी भी आँकड़ों में सम्मिलित नहीं है अतः कोई भी इन्जीनियर कार्य स्थल पर निवास नहीं करता। अत: 0-5 किमी वर्ग में अपने काम पर जाने के लिए 5 किमी चली दूरी इस वर्ग में नहीं आयेगी। वह अपने वर्ग 5-10 में आयेगी। अतः निष्कर्ष यह निकलता है कि 40 में 27 इंजीनियरों का कार्यस्थल उनके घर से 15 किमी से अधिक नहीं है।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (% में) यह रही है:

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से सम्बन्धित हैं ?
(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सापेक्षिक आर्द्रता (% में) 84.9 और 99.2 है और वर्ग 84-86, 86-88,…. आदि समान आकार के हैं।
अतः बारम्बारता सारणी :

(ii) सापेक्षिक आर्द्रता अधिक है। अतः ये आँकड़े वर्षा ऋतु के हैं।
(iii) परिसर = अधिकतम आर्द्रता – न्यूनतम सापेक्ष आर्द्रता
= 99.2 – 84.9 = 14.3

प्रश्न 4.
निकटतम सेण्टीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ ये हैं:

(i) 160 – 165, 165 – 170 आदि का वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लम्बाइयों के सम्बन्ध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
(i) इन आँकड़ों में अधिकतम और न्यूनतम लम्बाई क्रमशः 150 सेमी और 173 सेमी दी गयी हैं। दो वर्गअन्तराल 160 – 165 एवं 165 – 170
दिए गए है जिनकी समान वर्ग माप 165 – 160 = 170 – 165 = 5 है।
अतः समान आकार के वर्ग 150 – 155,155 – 160,…… 170 – 175 हैं अतः बारम्बारता सारणी निम्न है :

(ii) इस सारणी से यह निष्कर्ष निकलता है कि 50% से अधिक छात्रों की लम्बाई 165 सेमी से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं :.

(i) 0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08 आदि का वर्ग अन्तराल लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाइऑक्साइड की सान्दता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सल्फर डाइऑक्साइड की सान्द्रता क्रमशः 0.01 और 0.22 है। वर्गमाप समान दी है तथा एक वर्ग 0.00 – 0.04 ज्ञात है।
अतः वर्ग समान आकार के होंगे जो निम्न हैं:
0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08,……, 0.20 – 0.24
अतः बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक सीमा वाले वर्ग और उनकी बारम्बारता :

अत: सल्फर डाइऑक्साइड का वायु में सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक 8 दिनों तक रहा।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न प्रकार है:

ऊपर दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
चित आने की न्यूनतम संख्या = 0 और अधिकतम संख्या = 3
बारम्बारता सारणी निम्न है :

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध का मान नीचे दिया गया है:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारम्बारता बंटन बनाइए ।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
हल:
(i) 0 से 9 तक के अंकों की बारम्बारता बंटन सारणी

(ii) सारणी से स्पष्ट है कि सबसे कम बार शून्य का अंक और सबसे अधिक बार 3 और 9 का अंक आया है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घण्टों तक टी. वी. प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं:

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अन्तराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा?
हल:
(i) सबसे कम तथा अधिक टी. वी. देखने का समय क्रमश: 1 घण्टा और 17 घण्टे हैं। वर्ग अन्तराल 5-10 ज्ञात है। अत: समान आकार के वर्ग अन्तराल होंगे : 0-5, 5-10, 10-15 और 15-20.
अतः वर्ग बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) 2 बच्चे सप्ताह में 15 या अधिक घण्टे टी. वी. देखते हैं।

प्रश्न 9.
एक कम्पनी एक विशेष प्रकार की कार बैटरी बनाती है। इस प्रकार की 40 बैटरियों के जीवन काल (वर्षो में) ये रहे हैं:

0.5 माप के वर्ग अन्तराल लेकर तथा अन्तराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
बैटरी का न्यूनतम तथा अधिकतम जीवन काल क्रमशः 2.2 वर्ष तथा 4.6 वर्ष है।
वर्गमाप 0.5 है अतः वर्ग-अन्तराल है 2.0-2.5, 2.5-3.0 3.0-3.5,….., 4.5-5.0
अतः बारंबारता सारणी निम्न है :

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दीजिए जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं।
हल:
उन आँकड़ों के उदाहरण जिन्हें हम दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हैं:

• हमारी कक्षा में छात्रों की संख्या।
• हमारे स्कूल में पंखों की संख्या।
• हमारे घर का पिछले दो साल का बिजली का बिल।
• टी. वी. और अखबार से प्राप्त मतदान परिणाम।
• शैक्षिक सर्वे से प्राप्त साक्षरता दर के आँकड़े आदि।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़ों या गौण आँकड़ों में वर्गीकृत कीजिए।
हल:
प्रश्न 1 में दिए गये प्रथम तीन उदाहरण (i), (ii) व (iii) प्राथमिक आँकड़ों के हैं, क्योंकि इनका संग्रह स्वयं किया गया है।
उदाहरण (iv) और (v) गौण आँकड़ों के हैं, क्योंकि इनका संग्रह स्वयं न करके किसी दूसरे स्रोतों से प्राप्त किया गया है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुक – शैल्फ की बाहरी विमाएँ निम्न हैं:
ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी (देखिए आकृति)।
प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेण्ट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी है और पेण्ट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है, तो इस बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेण्ट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

बुक शैल्फ समान लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई वाले तीन घनाभाकार बॉक्स से बनी है।
हमें प्रत्येक बॉक्स का अलग-अलग पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

बॉक्स की ऊँचाई:
शैल्फ की ऊँचाई = 110 सेमी तथा बीच में प्रत्येक 5 सेमी मोटाई के 4 तख्ते ऊँचाई में हैं।
तब बिना तख्तों के शैल्फ की ऊँचाई = (110 – 4 × 5 ) सेमी
= 90 सेमी
∴ बॉक्स की ऊँचाई = \(\frac{90}{3}\) सेमी = 30 सेमी

बॉक्स की लम्बाई :
इसी प्रकार शैल्फ की लम्बाई = 85 सेमी तथा दोनों ओर 2 तख्ते लम्बाई में हैं।
अतः बिना तख्तों के शैल्फ की लम्बाई = (85 – 2 × 5) सेमी = 75 सेमी
∴ प्रत्येक बॉक्स की लम्बाई = 75 सेमी

बॉक्स की चौड़ाई:
शैल्फ की चौड़ाई = 25 सेमी तथा इसमें केवल एक तख्ता है।
अतः बिना तख्ते के शैल्फ की चौड़ाई = (25 – 5) सेमी = 20 सेमी
∴ बॉक्स की चौड़ाई = 20 सेमी

बक्सों का पृष्ठीय क्षेत्रफल :
1 बॉक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl)
= 2 (75 × 20 + 20 × 30 + 30 × 75) सेमी²
= 2(1500 + 600 + 2250) सेमी²
= 2 × 4350 = 8700 सेमी²
इस घनाभाकार शैल्फ में सामने की ओर का खुला 1 फलक सम्मिलित नहीं है।
∴ फलक का क्षेत्रफल = l × h
= 75 सेमी × 30 सेमी = 2250 सेमी²
बॉक्स का वास्तविक पृष्ठीय क्षेत्रफल = (8700 – 2250) = 6450 सेमी²
3 बाक्सों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 6450 = 19350 सेमी²
अतः आन्तरिक फलक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 19350 सेमी²
अतः 10 पैसे प्रति सेमी² की दर से पेण्ट करने का व्यय = 0.10 × 19350 = 1,935
सम्पूर्ण शैल्फ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (85 × 25 + 25 × 110 + 110 × 85 ) सेमी ²
= 2(2125 + 2750 + 9350) सेमी²
= 2 × 14225 = 28450 सेमी²
∴ शैल्फ सम्पूर्ण घनाभ न होकर सामने के तीन फलक खुले हुए हैं। इन तीन फलकों में से प्रत्येक फलक की लम्बाई 75 सेमी तथा चौड़ाई 30 सेमी है।
∴ 1 फलक का क्षेत्रफल = 75 × 30 सेमी²
= 2250 सेमी²
∴ 3 फलकों का क्षेत्रफल = 3 × 2250 सेमी²
= 6750 सेमी²
∴ शैल्फ का वास्तविक बाहरी क्षेत्रफल = (28450 – 6750) सेमी²
= 21700 सेमी²
20 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से शैल्फ पर पॉलिश का खर्च = ₹ 0.20 × 21700 = ₹ 4,340
अतः पॉलिश और पेण्ट में कुल खर्च = ₹ (4,340 + 1,935)
= ₹ 6,275

प्रश्न 2.
किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाता है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेण्ट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेण्ट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेण्ट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी है तथा काले रंग के पेण्ट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी² हो, तो पेण्ट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
बेलन की त्रिज्या (r) = 1.5 सेमी
तथा बेलन की ऊँचाई = 7 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1.5 × 7 सेमी² = 66 सेमी²

∴ 8 बेलनों का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 8 × 66 सेमी²
= 528 सेमी²
काले रंग का पेण्ट करने वाले भाग का क्षेत्रफल = 528 सेमी²
∴ काले रंग करने का व्यय = ₹ 0.05 × ₹ 528
= ₹ 26.40
लकड़ी के गोले का व्यास = 21 सेमी
लकड़ी के गोले की त्रिज्या = \(\frac{21}{2}\) सेमी
लकड़ी के एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\)
= 1386 सेमी²
बेलनाकार आधार का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 1.5 × 1.5 सेमी²
= \(\frac{49.50}{7}\) सेमी²
= 7.1 सेमी² (लगभग)।
पेण्ट कराने के लिए आवश्यक क्षेत्रफल = 1386 – 7.1 = 1378.9 सेमी²
तथा 8 गोलों का पेण्ट कराने का क्षेत्रफल = 8 × 1378.9 सेमी²
= 11031.2 सेमी²
∴ चाँदी के रंग के पेण्ट का व्यय = ₹ 0.25 × ₹ 11031.2 = 2757.80
कुल पेण्ट कराने का व्यय = ₹ (26.40 + 2757.80)
= ₹ 2,784.20

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल:
गोले का व्यास = 100 सेमी
∴ त्रिज्या = \(\frac{100}{2}\) सेमी = 50 सेमी
पहले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 50 × 50 सेमी²
= 10000π सेमी²
गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है।
∴ नये गोले का व्यास = 75 सेमी
∴ त्रिज्या = \(\frac{75}{2}\) सेमी
नवनिर्मित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × \(\frac{75}{2} \times \frac{75}{2}\)सेमी²
= 5625π सेमी²
∴ क्षेत्रफल में कमी (10000π = 5625π) सेमी²
= 4375π सेमी²
अतः क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी = \(\frac{4375 \pi}{10000 \pi} \times 100 \%\)
\(\frac{4375}{100} \%\) = 43.75%

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक

प्रश्न 1.
बिन्दु (3, 4) की Y-अक्ष से दूरी होगी :
(A) 1
(B) 4
(C) 2
(D) 3
हल :
∵ x अक्ष का निर्देशांक 3 है।
∴ अतः Y-अक्ष से दूरी 3 होगी।
∴ सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 2.
बिन्दु (5, -2) की X- अक्ष से दूरी होगी :
(A) 5
(B) – 2
(C) 3
(D) 4
हल :
∵ Y अक्ष का निर्देशांक = – 2
अत: X- अक्ष से दूरी = – 2
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 3.
यदि समतल में किसी बिन्दु के निर्देशांक (2, – 1) हों, तो यह बिन्दु कौन-से चतुर्थांश में होगा ?
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ ।
हल :
बिन्दु (2, -1) में X- अक्ष का निर्देशांक धनात्मक और Y – अक्ष का निर्देशांक ऋणात्मक है।
समतल में (+, -) निर्देशांक, चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होते हैं।
अत: बिन्दु (2, – 1) चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित होगा।
∴ सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 4.
समतल में X- अक्ष पर एक बिन्दु के निर्देशांक होंगे :
(A) (x, 0)
(B) (0, x)
(C) (y, 0)
(D) (0, y)
हल :
X- अक्ष पर स्थित बिन्दु का y निर्देशांक 0 होगा।
अतः समतल में X- अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) होंगे।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
समतल में Y-अक्ष पर एक बिन्दु के निर्देशांक होंगे :
(A) (- y, 0)
(B) (0, y)
(C) (x, 0)
(D) (y, 0)
हल :
Y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का x निर्देशांक () होता है। अत: समतल में Y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (0. १) होंगे।
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 6.
तृतीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के निर्देशांक होते हैं :
(A) (+, -)
(B) (-, -)
(C) (-, +)
(D) (+, +)
हल :
तृतीय चतुर्थांश में स्थित बिन्दु के X- और Y-अक्ष पर निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 7.
क्षैतिज रेखा किस अक्ष को निरूपित करती है ?
(A) X- अक्ष
(B) Y-अक्ष
(C) X- अक्ष और Y-अक्ष
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
क्षैतिज रेखा X- अक्ष को निरूपित करती है।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 8.
निर्देशांक ज्यामिति के जन्मदाता थे :
(A) रेने देकार्ते
(B) यूक्लिड
(C) जॉन प्लेफेयर
(D) थेल्स।
हल :
निर्देशांक ज्यामिति के जन्मदाता ‘रेने देकार्ते’ थे।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 9.
दिये गये चित्र से बिन्दु P, Q, R, S के निर्देशांक लिखिए।

हल :
निर्देशांक P(5, 3), Q(-4, 6), R( – 3, – 2), तथा S( 1 – 5).

प्रश्न 10.
निम्नलिखित निर्देशांकों वाले बिन्दुओं को आलेखित कीजिए :
(1, 2), (1,3), (-2,-4), (3,2), (2, 0), (0, 3).
हल :
बिन्दु (1, 2), B ( – 1, 3), C ( – 2, – 4), D (3, – 2), E(2, 0) तथा F(0, 3) का आलेख निर्देशांक अक्ष खींचकर अग्र प्रकार करते हैं-

प्रश्न 11.
आयतीय निर्देशांक निकाय में बिन्दु (2, 4), (- 2, 3), (4, 3) और (5, -2) को आलेखित कीजिए।
हल :

आयतीय निर्देशांक XOX’ और YOY’ पर दिए गए बिन्दुओं (2, 4), (- 2, 3), (-4, – 3) और (5, – 2) को चित्रानुसार चिन्हित किया जाता है।

प्रश्न 12.
आयतीय निर्देशांक अक्षों को लेते हुए बिन्दु O(0, 0), P(3, 0) और R(0, 4) को आलेखित कीजिए । यदि OPQR एक आयत हो, तो बिन्दु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल :
XOX’ और YOY’ दो परस्पर लम्बवत् रेखाएँ खींचीं जो बिन्दु पर काटती हैं। इस पर हमने 0(0, 0), P(3, 0) और R (0, 4) को आलेखित किया।

∵ OPQR एक आयत है (दिया है)
∴ बिन्दु P से Y अक्ष के समान्तर तथा बिन्दु R से X- अक्ष के समान्तर रेखाएं खींचीं जो एक दूसरे को Q बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं। चित्रानुसार Q बिन्दु के निर्देशांक (3, 4) होंगे।

प्रश्न 13.
दिये गये चित्र से 4, B, C, D और E बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल :
बिन्दु A के निर्देशांक (-3, -3)
बिन्दु B के निर्देशांक (-4, 2)
बिन्दु C के निर्देशांक (0, 4)
बिन्दु D के निर्देशांक (4, 2)
बिन्दु E के निर्देशांक (3 – 3) हैं।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं :
(i) 7 सेमी,
(ii) 0.63 मीटर।
हल:
(i) गोले की त्रिज्या (r) = 7 सेमी

∴ गोले का आयतन = 1437.33 घन सेमी।

(ii) गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मीटर
∴ गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.63)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 घन मीटर
= 1.047816 घन मीटर।
= 1.05 घन मीटर लगभग
अतः गोले का आयतन = 1.05 घन मीटर (लगभग)।

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्नलिखित हैं:
(i) 28 सेमी,
(ii) 0.21 मीटर
हल:
(i) गोले का व्यास = 28 सेमी
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गोले का आयतन

अतः गोला पानी हटाएगा = 11,498.67 घन सेमी।

(ii) गोले का व्यास = 0.21 मीटर
∴ गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{0.21}{2}\) मीटर
= 0.105 मीटर
गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन =
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.105)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.0011576 घन मीटर
= 0.004851 घन मीटर लगभग
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 घन मीटर लगभग।

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
गेंद का व्यास = 4.2 सेमी
∴ गेंद की त्रिज्या (r) = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 सेमी
∴ गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^3\) घन सेमी
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 4 × 22 × 0.1 × 2.1 × 2.1 घन सेमी
= 38.808 घन सेमी
∴ गेंद का द्रव्यमान = गेंद का आयतन × गेंद की धातु का घनत्व
= 38.808 घन सेमी × 8.9 ग्राम/घन सेमी
= 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम लगभग
अतः गेंद का द्रव्यमान = 345.39 ग्राम (लगभग)।

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल:
माना पृथ्वी का व्यास 4D मीटर है।
∴ पृथ्वी की त्रिज्या (R) = 2D मीटर
प्रश्नानुसार, चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) पृथ्वी का व्यास
∴ चन्द्रमा का व्यास = \(\frac{1}{4}\) × 4D = D मीटर
∴ चन्द्रमा की त्रिज्या r = \(\frac{D}{2}\) मीटर

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्द्ध-गोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल:
कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी
∴ कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{10.5}{2}\) सेमी
= \(\frac{105}{20}\) सेमी = \(\frac{21}{4}\) सेमी
अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन

= 303.1875 घन सेमी = 303 घन सेमी
= \(\frac{303}{1000}\) लीटर (क्योंकि लीटर 1000 घन सेमी)
= 0.303 लीटर
अतः कटोरे में 0.303 लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अर्द्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या = R
तथा भीतरी त्रिज्या = r
R = (1 + 0.01) मी., (मोटाई = 1 सेमी = 0.01 मीटर)
= 1.01 मी.
और r = 1 मीटर
टंकी में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाहरी आयतन – भीतरी आयतन

अतः टंकी में लगे लोहे का आयतन = 0.06348 मीटर³।

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सेमी

अतः गोले का आयतन लगभग 179.67 घन सेमी

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल:
(i) ₹2 प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय = ₹ 498.96
∴ गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{498.96}{2}\) मी²
= 249.48 मीटर²।
(ii) अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= \(\frac{9 \times 7}{10}\) = \(\frac{63}{10}\)
अब गुम्बद का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10}\) मी³
= 523.908 मीटर2 523.9 लगभगं
अतः गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन = 523.9 मीटर³ (लगभग)।

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठ का क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल:
(i)… गोले की त्रिज्या और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तब
S = 4πr2 …..(1)
और गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\) πr³
∴ सभी 27 गोलों का आयतन (V’) = 27 × \(\frac{4}{3}\) πr³
= 36πr³
∴ नव निर्मित गोले का आयतन = 36πr³
∵ नव निर्मित गोले की त्रिज्या r’ है अतः इस गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr’³
तब, \(\frac{4}{3}\) πr’³ = 36πr³ ⇒ r’³ = 27r³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
अतः नव निर्मित गोले की त्रिज्या 3r है (जहाँ r गोलों की त्रिज्या है)।

(ii) नव निर्मित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ = 4πr’²
= 4π(3r)²
∴ S’ = 36πr² …..(2)
समीकरण (1) व (2) से.
अपेक्षित अनुपात = \(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
अपेक्षित अनुपात = 1 : 9.

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल:
कैपसूल का व्यास = 3.5 मिमी
∴ कैप्सूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मिमी
= \(\frac{35}{20}\) मिमी = \(\frac{7}{4}\) मिमी
∴ कैप्सूल का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) मिमी³
= \(\frac{539}{24}\) मिमी³
= 22.46 मिमी³ (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए दवाई की आवश्यकता होगी = 22.46 मिमी³।

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Important Questions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Important Questions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सूत्र F = G \(\frac{m_1 m_2}{r^2}\) से ज्ञात किया जा सकता है-
(a) गुरुत्वाकर्षण बल
(b) पृथ्वी द्वारा आरोपित गुरुत्वीय बल
(c) गुरुत्वीय त्वरण
(d) पृथ्वी तथा चन्द्रमा के बीच लगने वाला आकर्षण बल।
उत्तर:
(a) गुरुत्वाकर्षण बल।

प्रश्न 2.
दो पिण्डों के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल निम्न से किस पर निर्भर नहीं करता?
(a) उनके मध्य की दूरी पर
(b) उनके द्रव्यमानों के गुणनफल पर
(c) गुरुत्वाकर्षण नियतांक पर
(d) द्रव्यमानों के योग पर।
उत्तर:
(d) द्रव्यमानों के योग पर।

प्रश्न 3.
निर्वात् में स्वतन्त्रतापूर्वक गिरते हुए पिण्डों का-
(a) वेग समान होता है
(b) त्वरण समान होता है
(c) बल समान होता है
(d) जड़त्व समान होता है।
उत्तर:
(b) त्वरण समान होता है

प्रश्न 4.
यदि किसी मीनार से मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड को पृथ्वी तक पहुँचने में 6 सेकण्ड का समय लगता है तो मीनार की ऊँचाई होगी-
(a) 176.4 मीटर
(c) 100 मीटर
(b) 175 मीटर
(d) 600 मीटर।
उत्तर:
(a) 176.4 मीटर।

प्रश्न 5.
पृथ्वी पर रखी दो वस्तुओं के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल F है। यदि उनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान 1/4 कर दिया जाय तो गुरुत्वाकर्षण बल होगा-
(a) F
(b) \(\frac { F }{ 16 }\)
(c) \(\frac { F }{ 4 }\)
(d) 4F.
उत्तर:
(b) \(\frac { F }{ 16 }\)

प्रश्न 6.
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक G का मात्रक होता है-
(a) न्यूटन / किग्रा
(b) मीटर/सेकण्डर
(c) न्यूटन मीटर²- किग्रा²
(d) न्यूटन मीटर² / किग्रा²।
उत्तर:
(d) न्यूटन मीटर² / किग्रा²।

प्रश्न 7.
किसी मकान की छत से पिण्ड गिराया जाता है। 50 मीटर गिरने के बाद पिण्ड की चाल होगी-
(a) 9.8 मीटर/सेकण्ड
(b) 31.30 मीटर / सेकण्ड
(c) 3.13मीटर / सेकण्ड
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 31.30 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 8.
गुरुत्वजनित त्वरण g का सही सूत्र है-
(a) g = \(\frac { GM }{ R }\)
(b) g = \(\frac{\mathrm{GM}}{r^2}\)
(c) g = \(\frac{G M^2}{\mathrm{R}}\)
(d) g = \(\frac{G M^2}{\mathrm{R}^2}\)
उत्तर:
(b) g = \(\frac{\mathrm{GM}}{r^2}\)

प्रश्न 9.
गुरुत्वीय त्वरण का मान-
(a) सभी ग्रहों पर समान होता है।
(b) पृथ्वी के सभी स्थानों पर समान होता है
(c) ध्रुवों पर अधिक, भूमध्य रेखा पर कम होता है
(d) उपर्युक्त में कोई सत्य नहीं है।
उत्तर:
(c) ध्रुवों पर अधिक, भूमध्य रेखा पर कम होता है।

प्रश्न 10.
ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंके गये पिण्ड का महत्तम ऊँचाई पर वेग-
(a) शून्य होता है
(b) अधिकतम होता है
(c) न्यूनतम होता है
(d) 9.8 मी / सेकण्ड होता है।
उत्तर:
(a) शून्य होता है।

प्रश्न 11.
दो पत्थर 2: 3 के अनुपात के वेगों से फेंके जाते हैं तो उनके द्वारा तय महत्तम ऊँचाइयों का अनुपात होगा-
(a) 2:3
(b) 3:2
(c) 9:1
(d) 4:91
उत्तर:
(d) 4:91

प्रश्न 12.
पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार 120 किग्रा है तो चन्द्रमा पर उसका भार होगा-
(a) 120 किग्रा
(b) 60 किग्रा
(c) 20 किग्रा
(d) 10 किग्रा ।
उत्तर:
(c) 20 किग्रा।

प्रश्न 13.
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का मान होता है-
(a) 9.8m/s²
(b) 1.57m/g²
(c) 6.67m/s²
(d) 0.98m/s².
उत्तर:
(b) 1.57m/s².

प्रश्न 14.
आपेक्षिक घनत्व का मात्रक है-
(a) मी.
(b) किग्रा
(c) सेकण्ड
(d) कोई मात्रक नहीं होता।
उत्तर:
(d) कोई मात्रक नहीं होता।

प्रश्न 15.
दाब का मात्रक है-
(a) न्यूटन²
(b) न्यूटन / मीर²
(c) न्यूटन मीटर²
(d) न्यूटन मीटर
उत्तर:
(b) न्यूटन / मी²

रिक्त स्थान भरो

1. गुरुत्वीय त्वरण का मान भिन्न-भिन्न स्थानों पर ……………… होता है।
2. गुरुत्वीय स्थिरांक का मान सदैव ……………… होता है।
3. उत्प्लावन बल सदैव ……………… की ओर आरोपित होता है।
4. किसी पदार्थ का एकांक आयतन द्रव्यमान ……………… कहलाता है।

उत्तर:

1. भिन्न
2. स्थिर
3. ऊपर
4. घनत्व।

सुमेलन कीजिए

उत्तर:
1. (ख) mg
2. (घ) \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
3.
4. (ख) mg

सत्य / असत्य

1. दो वस्तुओं के बीच उनकी बीच दूरी के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है।
2. G का मान भिन्न स्थानों पर भिन्न होता है।
3. g की दिशा सदैव पृथ्वी के केन्द्र की ओर होती है।
4. भार का SI मात्रक kg होता है।

उत्तर:

1. असत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य।

अति लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
वस्तुओं का पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरना किस बल के कारण होता है?
उत्तर:
पृथ्वी के गुरुत्व बल के कारण।

प्रश्न 2.
क्या ‘g’ का मान वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है?
उत्तर:
नहीं, ‘g’ का मान वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

प्रश्न 3.
यदि दो भिन्न-भिन्न द्रव्यमान की वस्तुओं को एक ऊँचाई से एक साथ मुक्त रूप से गिराया जाए तो वे एक ही साथ पृथ्वी पर पहुंचेंगी या अलग-अलग समय पर?
उत्तर:
एक ही साथ।

प्रश्न 4.
किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अन्य कोई द्रव्य रखा जाए तो उनके बीच लगने वाला गुरुत्व बल समान रहता है या बदल जाता है।
उत्तर:
गुरुत्व बल का मान समान रहता है।

प्रश्न 5.
‘g’ व G में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
g = G\(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{R}^2}\)

प्रश्न 6.
पृथ्वी तल से ऊपर जाने पर g के मान पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
पृथ्वी तल से ऊपर जाने पर 8 का मान घटता है।

प्रश्न 7.
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण कितना होता है?
उत्तर:
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का मान, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण के मान का 1/6 भाग होता है।

प्रश्न 8.
क्या g तथा G दोनों सार्वत्रिक नियतांक हैं?
उत्तर:
नहीं, केवल G सार्वत्रिक नियतांक है।

प्रश्न 9.
क्या गुरुत्वीय त्वरण एक सदिश राशि है अथवा अदिश? इसका SI मात्रक लिखिए।
उत्तर:
यह एक सदिश राशि है जिसकी दिशा सदैव पृथ्वी के केन्द्र की ओर होती है। इसका SI मात्रक मीटर / सेकण्ड² है।

प्रश्न 10.
यदि कोई पत्थर का टुकड़ा पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरता है तो पृथ्वी उस पर गुरुत्व बल लगाती है जिसके कारण पत्थर का टुकड़ा पृथ्वी की ओर त्वरित होता है क्या पत्थर भी पृथ्वी को अपनी ओर आकर्षित करता है?
उत्तर:
पत्थर भी पृथ्वी को गुरुत्व बल के बराबर बल से अपनी ओर आकर्षित करता है।

प्रश्न 11.
किसी वस्तु पर लगा गुरुत्व बल किस दिशा में कार्य करता है?
उत्तर:
वस्तु से पृथ्वी के केन्द्र को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।

प्रश्न 12.
गुरुत्वीय त्वरण का मान कितना है और इसके मात्रक क्या हैं?
उत्तर:
गुरुत्वीय त्वरण g का मान = 9.8 m/s² तथा मात्रक m/s² है।

प्रश्न 13.
ध्रुवों तथा भूमध्य रेखा में से किस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण का मान अधिक होता है?
उत्तर:
ध्रुवों पर।

प्रश्न 14.
किसी द्रव पर तैरती वस्तु पर कार्य करने वाले दो बलों के नाम बताइए।
उत्तर:

1. वस्तु का भार
2. द्रव का उत्क्षेप।

प्रश्न 15.
किसी द्रव में डुबोने पर कोई वस्तु हल्की क्यों प्रतीत होती है?
उत्तर:
द्रव द्वारा वस्तु पर लगाए गए उत्प्लावन बल के कारण।

प्रश्न 16.
कुएँ के पानी में डूबी हुई जल से भरी हुई बाल्टी क्यों हल्की प्रतीत होती है?
उत्तर:
कुएँ के पानी के उत्क्षेप के कारण।

प्रश्न 17.
जब किसी तैरती हुई वस्तु को थोड़ा नीचे की ओर दबाया जाता है तो दोनों में से कौन सी राशि बढ़ती है, वस्तु का भार या द्रव का उत्प्लावन बल?
उत्तर:
द्रव का उत्प्लावन बल।

प्रश्न 18.
सबसे पहले किस वैज्ञानिक ने यह अनुमान लगाया कि पृथ्वी की ओर गिरते हुए पिण्डों का त्वरण उनके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता?
उत्तर:
गैलीलियो ने।

प्रश्न 19.
उस वैज्ञानिक का नाम बताओ जिसने सबसे पहले प्रयोग द्वारा सिद्ध किया कि भिन्न-भिन्न वस्तुओं का त्वरण पृथ्वी की ओर गिरते हुए, द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता अर्थात् सभी पिण्ड पृथ्वी की ओर समान त्वरण से गिरते हैं।
उत्तर:
राबर्ट बॉयल।

प्रश्न 20.
गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G का मान विभिन्न ग्रहों पर अलग-अलग होगा या समान।
उत्तर:
विभिन्न ग्रहों पर G का मान समान रहेगा।

प्रश्न 21.
एक वस्तु का वायु में भार W₁ तथा जल में डुबोने पर भार W₂ है। वस्तु का आपेक्षिक घनत्व क्या होगा?
उत्तर:
वस्तु का आपेक्षिक घनत्व

प्रश्न 22.
6.5 आपेक्षिक घनत्व तथा 0.7 आपेक्षिक घनत्व वाले दो पिण्डों में से कौन-सा पिण्ड जल पर तैरेगा और क्यों?
उत्तर:
0.7 आपेक्षिक घनत्व वाला पिण्ड जल पर तैरेगा क्योंकि इसका आपेक्षिक घनत्व 1 से कम है।

प्रश्न 23.
एक ही ऊँचाई से एक पत्थर का टुकड़ा तथा एक कागज का टुकड़ा गिराने पर वे एक साथ पृथ्वी पर क्यों नहीं आते?
उत्तर:
वायु के घर्षण के कारण।

प्रश्न 24.
वस्तु के आभासी भार का क्या अर्थ है?
उत्तर:
किसी वस्तु का द्रव में डूबी हुई अवस्था में भार, वस्तु का ‘आभासी भार’ कहलाता है।

प्रश्न 25.
यदि विभिन्न प्रक्षेप्य पृथ्वी के समांतर एक ही ऊँचाई से तथा विभिन्न चाल से एक ही समय फेंके जाएँ तो वे पृथ्वी पर एक साथ पहुँचेंगे या अलग-अलग समय पर?
उत्तर:
एक साथ।

प्रश्न 26.
द्रव्यमान या संहति का SI मात्रक क्या है?
उत्तर:
किलोग्राम (kg)।

प्रश्न 27.
भार का SI मात्रक क्या है?
उत्तर:
न्यूटन (N)।

प्रश्न 28.
1 किलोग्राम भार (kg wt) में कितने न्यूटन होते हैं?
उत्तर:
1 किलोग्राम भार 9.8 न्यूटन (यदि g = 9.8 m/s²)।

प्रश्न 29.
एक पिण्ड द्वारा दूसरे पिण्ड पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल तथा दूसरे पिण्ड द्वारा पहले पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के बीच क्या अनुपात होगा?
उत्तर:
दोनों एक-दूसरे पर समान परिमाण का बल लगाते हैं; अतः यह अनुपात 1 : 1 होगा।

प्रश्न 30.
उस वैज्ञानिक का नाम बताइए जिसने सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक G का मान ज्ञात किया था?
उत्तर:
हेनरी कैवेन्डिश।

प्रश्न 31.
कोई वस्तु ऊपर से नीचे की ओर गिर रही है तो गति के समीकरण का स्वरूप बताइए।
उत्तर:

1. v = u + gt
2. h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
3. v² = u² + 2gh.

प्रश्न 32.
दाब का सूत्र लिखिए।
उत्तर:

प्रश्न 33.
क्या दाब एक सदिश राशि है?
उत्तर:
नहीं, दाब एक सदिश राशि नहीं है।

प्रश्न 34.
किसी वस्तु को नीचे से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है तो गति के समीकरणों के स्वरूप बताइए।
उत्तर:

1. v = u – gt.
2. h = ut – \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
3. v² = u² – 2gh

लघुत्तरात्मक एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
प्लवन अथवा उत्प्लवन के नियम लिखिए।
उत्तर:
जब किसी वस्तु को किसी द्रव में छोड़ा जाता है, तो उस पर दो बल कार्य करते हैं-

• वस्तु का भार W नीचे की ओर,
• वस्तु पर द्रव का उछाल बल F ऊपर की ओर।

इन दोनों बलों का परिणामी बल जिस दिशा में होगा, वस्तु का तैरना या डूबना इन्हीं बलों के मान पर निर्भर करता है; इसमें निम्नलिखित तीन स्थितियाँ सम्भव हैं-
स्थिति 1.
यदि वस्तु का भार W, उत्क्षेप बल F से अधिक है। इस स्थिति में वस्तु का परिणामी (WF) नीचे की ओर कार्य करता है तथा वस्तु द्रव में डूब जाएगी (चित्र 10.9. (a)) I

स्थिति 2.
यदि W = F अर्थात् वस्तु का भार उत्क्षेप बल के बराबर है। इस अवस्था में वस्तु पर परिणामी बल शून्य होगा। अतः वस्तु द्रव में पूरी तरह डूबकर तैरेगी। इसे वस्तु की प्लवन या तैरने की अवस्था कहते हैं ऐसा तब होता है जब वस्तु का घनत्व, द्रव के घनत्व के बराबर होता है (चित्र 10.9. (b))।

स्थिति 3.
जब W < F, इस अवस्था में वस्तु पर परिणामी बल (F- W) ऊपर की ओर लगेगा। अतः वस्तु द्रव में आंशिक रूप से डूबी रहकर तैरेगी सन्तुलन की अवस्था में वस्तु का आभासी भार शून्य होगा। यह भी वस्तु के प्लवन अथवा तैरने की अवस्था है। इस अवस्था में वस्तु का घनत्व, द्रव के घनत्व से कम होता है (चित्र 10.9 (c))।

इस प्रकार हम देखते हैं “कि जब कोई वस्तु द्रव में पूर्णतः या आंशिक रूप से डूबी रहकर तैरती है, तो वस्तु का भार, उसके डूबे हुए भाग द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है।” यही प्लवन का नियम हैं।

वस्तु का भार तथा वस्तु पर उत्क्षेप परस्पर विपरीत दिशाओं में लगते हैं। वस्तु के सन्तुलन में तैरने के लिए किसी भी प्रकार का बल आघूर्ण नहीं होना चाहिए। इसके लिए वस्तु का भार व उत्क्षेप बल एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए अतः सन्तुलन में वस्तु के तैरने के लिए निम्नलिखित दो शर्तें हैं-

• वस्तु का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।
• वस्तु का गुरुत्व केन्द्र तथा विस्थापित द्रव का उत्प्लवन केन्द्र एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए।

प्रश्न 2.
आर्किमिडीज के सिद्धान्त के सत्यापन को लिखिए।
उत्तर:
इसे चित्र 10.10 के अनुसार प्रदर्शित उपकरण द्वारा सत्यापित किया जाता है। इसमें काँच का एक जार होता है। इसके मुँह के पास नली लगी होती है। जार में नली की सतह तक जल भर दिया जाता है। अब ठोस का भार वायु में ज्ञात कर लेते हैं। इसके लिए एक स्प्रिंग से लटके हुए ठोस को पानी से भरे जार में डुबोते हैं।

जैसे-जैसे ठोस पानी में डूबता जाता है उसके भार में कमी होती जाती है; स्प्रिंग तुला द्वारा इसके भार में कमी को नोट कर लेते हैं तथा विस्थापित द्रव एक बीकर में एकत्रित होता जाता है। बीकर में एकत्रित हुए जल का भार ज्ञात कर लिया जाता है। ठोस के भार में कमी, उसके द्वारा हटाए गए पानी के भार के बराबर हो जाती है। अतः आर्किमिडीज के सिद्धान्त का सत्यापन हो जाता है।

प्रश्न 3.
किसी पदार्थ के आपेक्षिक घनत्व से आप क्या समझते हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
आपेक्षिक घनत्व किसी पदार्थ के घनत्व तथा जल के घनत्व के अनुपात को उस पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व कहते हैं।

चूँकि आपेक्षिक घनत्व एक अनुपात है; अतः इसका कोई मात्रक नहीं होता है।
किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व से कम होने पर वह पदार्थ जल में तैरेगा। यदि किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व से अधिक है तो वह पदार्थ जल में डूब जाएगा।
माना किसी वस्तु का आयतन V तथा घनत्व d₁ है, जबकि जल का घनत्व d₂ है।
तब वस्तु का वायु में भार
W₁ = वस्तु का आयतन x घनत्व x g = Vd₁ g
तथा जल में डुबोने पर, वस्तु के भार में कमी – वस्तु द्वारा हटाए गए पानी का भार
= वस्तु का आयतन × जल का घनत्व x g = Vd₂ g

प्रश्न 4.
भारी वाहनों के पहियों के टायर काफी चौड़े क्यों बनाए जाते हैं?
उत्तर:
भारी वाहनों के टायर काफी बड़े बनाना भारी वाहनों के टायर चौड़े होने से (क्षेत्रफल A अधिक है) सड़क अथवा जमीन पर लगने वाला दाब (PF/A) कम हो जाता है, क्योंकि वाहन का भार अधिक क्षेत्रफल पर लगता है, इसलिए वाहन के पहिये सड़क में धँसने से बच जाते हैं।

प्रश्न 5.
लोहे से बना जहाज समुद्र में तैरता है, परन्तु लोहे का ठोस टुकड़ा (कील) डूब जाता है, क्यों? सम्बन्धित नियम देते हुए इस कथन की व्याख्या कीजिये।
उत्तर:
लोहे से बने जहाज का जल पर तैरना – लोहे की कील की बनावट इस प्रकार की होती है कि उसका भार, उसके द्वारा हटाए गए जल के भार से बहुत अधिक होता है। इसी कारण वह जल में डूब जाती है।

इसके विपरीत लोहे का जहाज तैरता है। इसका कारण यह है कि जहाज का ढाँचा अवतल होता है तथा अन्दर से खोखला बनाया जाता है। जैसे ही जहाज समुद्र में प्रवेश करता है तो उसके द्वारा (उसकी बनावट के कारण) इतना जल हटा दिया जाता है कि उसके द्वारा हटाए गए जल का भार, जहाज (जहाज व उसके समस्त सामान सहित) के कुल भार के बराबर हो जाता है। इसी कारण प्लवन के सिद्धान्त के अनुसार जहाज जल में तैरता रहता है।

प्रश्न 6.
उत्प्लवन बल तथा उत्प्लवन केन्द्र से क्या तात्पर्य हैं?
उत्तर:
उत्प्लवन बल अथवा उत्क्षेप तथा उत्प्लवन केन्द्र- प्रत्येक द्रव अपने अन्दर पूर्ण अथवा आंशिक रूप से डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है। इस बल को उत्प्लवन बल अथवा उत्क्षेप कहते हैं यह बल वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के गुरुत्व केन्द्र पर कार्य करता है, इसे उत्प्लवन केन्द्र कहते हैं। उत्प्लवन बल के कारण ही द्रव में डूबी वस्तुएँ अपने वास्तविक भार से हल्की लगती हैं।

प्रश्न 7.
प्लवन (तैरने के नियम लिखिए।
अथवा
किसी वस्तु के सन्तुलन में तैरने के लिए क्या आवश्यक शर्तें हैं?
अथवा
कोई वस्तु किसी द्रव में कब तक तैरती है?
उत्तर:
प्लवन (तैरने) के नियम- किसी वस्तु के सन्तुलन में तैरने की दो शर्तें हैं-

• तैरने वाली वस्तु का भार वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।
• वस्तु का गुरुत्व केन्द्र तथा हटाए गए द्रव का उत्प्लावन केन्द्र एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए।

उपर्युक्त दोनों शर्तों के पूर्ण होने पर ही वस्तु द्रव में तैरती हैं।

प्रश्न 8.
रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे लकड़ी अथवा लोहे के चौड़े स्लीपर क्यों लगाए जाते हैं?
उत्तर:
यदि रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे चौड़े स्लीपर न लगाए जाएँ तो रेल की पटरियाँ अधिक दबाव के कारण जमीन में भैंस सकती हैं। पटरियों के नीचे स्लीपर लगाने से क्षेत्रफल अधिक हो जाता है, जिसके कारण दाब कम पड़ता है (P = F/A); अत: रेल की पटरियाँ जमीन में नहीं भैंस सकती।

प्रश्न 9.
एक तख्ते पर कुछ पुस्तकें फैलाकर रखने की अपेक्षा वही पुस्तकें एक जगह पर ऊपर-नीचे रखने पर तख्ता अधिक नीचे को झुक जाता है, ऐसा क्यों?
उत्तर:
तख्ते पर पुस्तकों को फैलाकर रखने से, उनके द्वारा घिरा क्षेत्रफल (A) अधिक होगा, जिसके कारण तख्ते पर दाब (PF / A) कम लगेगा। पुस्तकों को एक ही स्थान पर ऊपर नीचे रखने से उनके द्वारा घिरा क्षेत्रफल (A) कम होगा, इस कारण तख्ते पर दाब बढ़ जाएगा और तख्ता झुक जाएगा।

प्रश्न 10.
विशाल बाँधों की दीवारें नीचे मोटी व ऊपर पतली क्यों बनाई जाती हैं ?
उत्तर:
बाँध की दीवारों का नीचे मोटी व ऊपर पतली होना – विशाल बाँधों की गहराई बहुत अधिक होती है, चूँकि द्रव के अन्दर किसी बिन्दु पर दाब उस बिन्दु की मुक्त तल से गहराई के अनुक्रमानुपाती होता है; अतः बाँध की तली में जल का दाब सर्वाधिक होता है दाब क्योंकि एक ही क्षैतिज तल में सब बिन्दुओं पर सभी दिशाओं में समान होता है; अतः बाँध की दीवार पर सबसे अधिक दाब नीचे होता है; जैसे-जैसे ऊपर आते हैं दाब भी घटता जाता है; अतः बाँध की दीवार नीचे से मोटी बनाई जाती है, जिससे वह अधिक दाब बल को सहन कर सके। ऊपर जाने पर, क्योंकि दाब घटता जाता है अतः दीवारों की मोटाई भी कम करते जाते हैं, जैसा कि चित्र 10.11 में दिखाया गया है।

प्रश्न 11.
समान बल लगाने पर मोटी कील की अपेक्षा नुकीली कील दीवार में शीघ्र क्यों गढ़ जाती है?
उत्तर:
मोटी तथा नुकीली कीलों पर दाब – नुकीली कील के सिरे का क्षेत्रफल, मोटी कील के सिरे के क्षेत्रफल की अपेक्षा बहुत कम होती है; अतः दोनों कीलों पर एकसमान – बल लगाने से नुकीली कील द्वारा दीवार पर मोटी कील की अपेक्षा अधिक दाब (P = F/A) लगता है, जिससे नुकीली कील दीवार में आसानी से गढ़ जाती है।

प्रश्न 12.
कुएँ से जल खींचते समय जल से भरी बाल्टी जल की सतह से ऊपर आने पर धीरे-धीरे भारी क्यों प्रतीत होने लगती है?
उत्तर:
जब बाल्टी जल में डूबी होती है, तब उस पर उसके द्वारा हटाए गए जल के भार के बराबर उत्क्षेप बल लगता है जैसे-जैसे बाल्टी को जल से बाहर निकालते हैं, उस पर लगने वाले उत्क्षेप बल का मान कम होने लगता है। और बाल्टी भारी लगने लगती है।

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी कक्षा में बैठे दो छात्रों के मध्य कितना आकर्षण बल लगेगा यदि इनके द्रव्यमान क्रमश: 20 किग्रा, 30 किग्रा है तथा इनके मध्य की दूरी 2 मीटर है।
हल:
प्रश्नानुसार ms₁ = 20 किग्रा, m₂ = 30 किग्रा, d = 2 मीटर G = 6.7 x 10^-11 न्यूटन मीटर 2 / किग्रा, F = ?
∵ गुरुत्वाकर्षण बल F = G\(\frac{m_1 m_2}{d^2}\)
= 6.67 × 10^-11 x \(\frac{20 \times 30}{(2)^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 20 \times 30}{4}\)
= 1000.5 x 10^-11 न्यूटन
= 1.0 × 10^-8 न्यूटन (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2.
यदि पृथ्वी का द्रव्यमान 5.97 x 10²⁴ किग्रा, पृथ्वी की त्रिज्या 6.38 x 10⁶ मीटर तथा एक व्यक्ति का द्रव्यमान 60 किग्रा है यदि गुरुत्वाकर्षण नियतांक 6.67 x 10^-11 न्यूटन मीटर²/किग्रा² हो, तो पृथ्वी एवं व्यक्ति के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 5.97 x 10²⁴ किग्रा
पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.38 x 10⁶ मीटर
व्यक्ति का द्रव्यमान m = 60 किग्रा
गुरुत्वाकर्षण नियतांक
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी² / किग्रार
गुरुत्वाकर्षण बल F = ?

प्रश्न 3.
पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा, चन्द्रमा का द्रव्यमान 7.4 x 10²² किग्रा तथा दोनों के मध्य की दूरी 3.84 x 10⁸ मीटर है। पृथ्वी तथा चन्द्रमा के मध्य लगने वाले आकर्षण बल की गणना कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 6 × 10²⁴ किग्रा
चन्द्रमा का द्रव्यमान m = 7.4 x 10²² किग्रा
पृथ्वी तथा चन्द्रमा के मध्य दूरी d = 3.84 x 10⁸ मीटर
गुरुत्वाकर्षण नियतांक
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी²/ किग्रा²

प्रश्न 4.
यदि पृथ्वी की त्रिज्या 6.67 x 10^-11 न्यूटन – मी² / किग्रा² तथा 89.8 मीटर/सेकण्ड² हो तो पृथ्वी के द्रव्यमान की गणना कीजिए।
हल:
पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.38 x 10⁶ मीटर
गुरुत्वाकर्षण नियतांक G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी²./किग्रा
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²
पृथ्वी का द्रव्यमान M = ?
समीकरण g = \(\frac{g \mathrm{R}^2}{G}\) से M
= \(\frac{9.8 \times\left(6.38 \times 10^6\right)^2}{6.67 \times 10^{-11}}=\frac{398.90312 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}\)
= 59.81 × 10²³ = 5.98 × 10²⁴ किग्रा

प्रश्न 5.
एक व्यक्ति का पृथ्वी की सतह पर भार 60 किग्रा है। यदि मंगल ग्रह का द्रव्यमान, पृथ्वी की अपेक्षा \(\frac { 1 }{ 9 }\) तथा त्रिज्या पृथ्वी की अपेक्षा \(\frac { 1 }{ 2 }\) है तो मंगल ग्रह पर व्यक्ति का भार ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ F = G x \(\frac{\mathrm{M} \times m}{\mathrm{R}^2}\)
पृथ्वी का द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R है।
प्रश्नानुसार, F = 60 किग्रा भार = 60 x 9.8 न्यूटन
60 × 9.8 = G\(\frac{\mathrm{M} \times m}{\mathrm{R}^2}\) … (i)
मंगल का द्रव्यमान = \(\frac {M }{ 9 }\), मंगल ग्रह की त्रिज्या = \(\frac { R }{ 2 }\) यदि मंगल ग्रह पर व्यक्ति का भार ‘m’ किग्रा हो तो
m’g = \(\frac{\mathrm{G} \times \frac{\mathrm{M}}{9} \times m}{\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)^2}\) … (ii)
समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर
\(\frac{m^{\prime} g}{60 \times 9.8}=\frac{4}{9} ; m^{\prime} g=\frac{60 \times 9.8 \times 4}{9}=\frac{2352}{9}\)
m’g – 261.34 न्यूटन = \(\frac { 261.34 }{ 9.8 }\)
m’ = 26:67 किग्रा

प्रश्न 6.
एक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी से 6 गुना है। इसका व्यास पृथ्वी के व्यास का 6 गुना है। यदि पृथ्वी पर g का मान 9.8 मीटर / से² हो तो ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g’ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) … (i)
इसी प्रकार ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण
g’ = \(\frac{\mathrm{GM}^{\prime}}{\mathrm{R}^{\prime 2}}\) … (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग देने पर
\(\frac{g^{\prime}}{g}=\frac{\frac{\mathrm{GM}^{\prime}}{\mathrm{R}^{\prime 2}}}{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}} \Rightarrow \frac{g^{\prime}}{g}=\left(\frac{\mathrm{M}^{\prime}}{\mathrm{M}}\right)\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}^{\prime}}\right)^2\)
प्रश्नानुसार, M’ = 6M अथवा \(\frac {M’ }{ M }\) = 6
R’ = 6R अथवा \(\frac {R }{ R’ }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः \(\frac { g’ }{ g }\) = 6 x (\(\frac { 1 }{ 6 }\))² = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण
g’ = g x \(\frac { 1 }{ 6 }\) = 9.8 x \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 1.63 मीटर / सेकण्डर²

प्रश्न 7.
दो पिण्डों के मध्य गुरुत्वाकर्षण F है। यदि पिण्डों के मध्य दूरी आधी कर दी जाय तो उनके मध्य गुरुत्वाकर्षण बल कितना हो जायेगा?
हल:
माना कि पिण्डों के द्रव्यमान m₁ एवं m₂ हैं तथा उनके बीच की पहली दूरी है तो-
F = G \(\frac { 1 }{ 6 }\) … (i)
बीच की दूरी आधा कर देने पर बल
F’ = \(\frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{(r / 2)^2}=\frac{4 \mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\)
\(\frac{\mathrm{F}^{\prime}}{\mathrm{F}}=\frac{4 \mathrm{G} m_1 m_2}{r^2} / \frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\) = 4 … (ii)
∴ F’ = 4F
अतः गुरुत्वाकर्षण बल 4 गुना हो जायेगा।0

प्रश्न 8.
एक पिण्ड को पृथ्वी तल से h ऊँचाई से गिराने पर वह पृथ्वी पर 10 सेकण्ड में पहुँचता है, तो / का मान ज्ञात कीजिए। (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार u = 0 मीटर / सेकण्ड
= 10 सेकण्ड
h = ?
∵ h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
∴ h = (0 × 10) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 9.8 × (10)²
h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 9.8 × 10 × 10
= 490 मीटर

प्रश्न 9.
यदि किसी पिण्ड का भार 98 न्यूटन है तो वस्तु का द्रव्यमान कितना होगा? (g = 9.8 मीटर / सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार, W = 98 न्यूटन
8 = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
m = ?
∵ भार (W) = द्रव्यमान (m) x गुरुत्वीय त्वरण (g)
∴ द्रव्यमान (m) = \(\frac { W }{ g }\) = \(\frac { 9.8 }{ 9.8 }\)
= 10 किलोग्राम उत्तर

प्रश्न 10.
एक पिण्ड को ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर किस वेग से फेंकें कि वह 150 मीटर ऊँचाई तक जाये। (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार,
अन्तिम वेग v = 0
प्रारम्भिक वेग u = ?
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
∵ v² = u² – 2gh
∴ (0)² = u² – 2gh या u² = 2gh
या u = \(\sqrt{2gh}\)
या u = \(\sqrt{2 \times 9.8 \times 150}\)
= 54.22 मीटर / सेकण्ड उत्तर

प्रश्न 11.
60 मीटर ऊँचाई की मीनार से एक लड़का किसी पत्थर के टुकड़े को नीचे गिराता है। पुनः 1 सेकण्ड पश्चात् वही लड़का दूसरे पत्थर के टुकड़े को मीनार से फेंकता है। यदि दोनों पत्थर के टुकड़े पृथ्वी पर एक साथ पहुँचते हैं तो लड़के ने दूसरे पत्थर को किस वेग से फेंका?
हल:
पहले पत्थर के लिए-
प्रश्नानुसार, u = 0, h = 60 मीटर, t = ?
∵ h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
60 = 0 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 x t²
60 = 4.9 x t²
t² = \(\frac { 60 }{ 4.9 }\)
= 12.24
∴ t = \(\sqrt{12.24}\) = 3.49 सेकण्ड
दूसरे पत्थर के लिए-
प्रश्नानुसार,
h = 60 मीटर
t = 349 – 1 = 2.49 सेकण्ड
g = 9.8 मीटर/सेकण्ड², u = ?
समीकरण
h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
60 = u × 2.49 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 (2.49)²
60 = 2.49 u + 30.38
2.49 u = 60 – 30.38
2.49 u = 29.61
u = \(\frac { 29.61 }{ 2.49 }\)
= 11.89 मीटर / सेकण्ड
अतः दूसरे पत्थर का वेग 11.89 मीटर / सेकण्ड होगा।

प्रश्न 12.
किसी व्यक्ति का पृथ्वी पर द्रव्यमान 60 किग्रा है इसका चन्द्रमा पर भार तथा द्रव्यमान कितना होगा ? जबकि चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण g का \(\frac { 1 }{ 6 }\) है।
हल:
प्रश्नानुसार,
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण
= पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण x \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 9.8 × \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 1.63 मीटर/सेकण्डर²
∴ चन्द्रमा पर व्यक्ति का भार (W) = द्रव्यमान (m) x गुरुत्वीय त्वरण (g)
= 60 × 1.63 = 97.8 किग्रा.
∵ द्रव्यमान प्रत्येक स्थान पर नियत रहता है।
अतः चन्द्रमा पर व्यक्ति का द्रव्यमान 60 किग्रा.

प्रश्न 13.
दो वस्तुएँ एक साथ ऊपर फेंकी जाती हैं। यदि उनके प्रारम्भिक वेग का अनुपात 2:3 है तो उनके द्वारा प्राप्त ऊँचाइयों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली वस्तु का प्रारम्भिक वेग u तथा प्राप्त ऊँचाई है।
तब वस्तु का अन्तिम वेग शून्य होगा।
अत: समीकरण v² = u² – 2gh से
(0)² = u² – 2gh
∴ h = \(\frac{u^2}{2 g}\) … (i)
इसी प्रकार दूसरी वस्तु का प्रारम्भिक वेग u’ तथा प्राप्त ऊँचाई h’ है।
तब 0 = u² – 2gh’
h’ = \(\frac{u^{\prime 2}}{2 g}\) … (ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर
\(\frac{h}{h^{\prime}}=\frac{u^2}{u^{\prime 2}}=\left(\frac{u}{u^{\prime}}\right)^2\)
प्रश्नानुसार \(\frac { u }{ u’ }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
∴ ऊँचाइयों का अनुपात \(\frac { h }{ h’ }\) = (\(\frac { u }{ u’ }\))² = \(\frac { 4 }{ 9 }\)
अतः प्राप्त ऊँचाइयों का अनुपात 49 होगा।

प्रश्न 14.
दो वस्तुएँ क्रमशः h₁ व h₂ ऊँचाई से एक साथ गिराई जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके पृथ्वी पर पहुँचने के समय में \(\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\) का अनुपात होगा।
हल:
दोनों वस्तुएँ एक साथ गिरायी जाती हैं। अतः उनके प्रारम्भिक वेग शून्य होंगे। यदि उनके पृथ्वी पर पहुँचने के समय t₁ व h₂ हाँ तो-
h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
प्रथम वस्तु के लिए
h₁ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt₁² (∵ u = 0)
इसी प्रकार द्वितीय वस्तु के लिए
h₂ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt₁² (∵ u = 0)
∴ \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}\)
अतः \(\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\) इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी पिण्ड को मीनार की छत के किनारे से गिराया गया है-
(i) 10 मीटर दूरी तय करने में पिण्ड को कितना समय लगेगा?
(ii) उस समय पिण्ड की चाल क्या होगी?
(iii) 16 मीटर दूरी तय करने के बाद उसकी चाल क्या होगी?
(iv) गिरने के 2 सेकण्ड तथा 5 सेकण्ड बाद वस्तु का त्वरण क्या होगा?
हल:
(i) प्रारम्भिक चाल u = 0, ऊँचाई 60 मीटर गुरुत्वीय त्वरण g = 19.8 मीटर/सेकण्ड² समय t = ?
समीकरण h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
10 = 0 × \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 x t²
10 = 4.9 x t²
t² = 2.04
t = \(\sqrt{2.04}\) = 1.43 सेकण्ड
∴ पत्थर को 10 मीटर तय करने में लगा समय
= 1.43 सेकण्ड

(ii) समीकरण
v = u + gt से
v = 0 + 9.8 × 1.43
= 14 मीटर / सेकण्ड

(iii) ∵ u = 0, h = 16 मीटर, v = ?
समीकरण v² = u² + 2gh
v² = (0)² + 2 × 9.8 × 16
या v² = 313.6
∴ v = 17.71 मीटर/सेकण्ड

(iv) ∵ पत्थर अचर गुरुत्वीय त्वरण के अधीन गति कर रहा है। इसलिए
2 सेकण्ड बाद गुरुत्वीय त्वरण = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
5 सेकण्ड बाद गुरुत्वीय त्वरण = 9.8 मीटर/सेकण्डर²

प्रश्न 16.
यदि बल को चार गुना तथा क्षेत्रफल को आधा कर दिया जाए, तो दाब, प्रारम्भिक दाब को कितने गुना हो जाएगा?
हल:

अतः दाब, प्रारम्भिक दाब का आठ गुना हो जाएगा।

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति अधिक से अधिक 35 किग्रा भार उठा सकता है। उस पिण्ड का वायु में अधिकतम भार ज्ञात कीजिए जिसे वह व्यक्ति जल में उठा सकता है। (पिण्ड का घनत्व = 3 x 10³ किग्रा / मीटर³, जल का घनत्व = 1 x 10³ किग्रा / मी.³)
हल:
दिया है, जल में पिण्ड का भार = 35 किग्रा
यदि पिण्ड का वायु में भार W किग्रा हो, तो
जल में डुबोने पर पिण्ड के भार में कमी = (W – 35) किग्रा
पुनः पिण्ड का आपेक्षिक घनत्व

अतः पिण्ड का वायु में भार W 52.5 किग्रा।

प्रश्न 18.
75 ग्राम भार के एक पिण्ड को द्रव में डुबोने पर उस पर दूब का उछाल 45 ग्राम भार के बराबर है। यदि पिण्ड के पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व 2.5 हो, तो द्रव का आपेक्षिक घनत्व ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, पिण्ड का वास्तविक भार = 75 ग्राम-भार
पिण्ड पर द्रव का उत्क्षेप = 45 ग्राम भार
पिण्ड के पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व = 2.5
द्रव का आपेक्षिक घनत्व = ?
जब पिण्ड द्रव में पूर्णतः डूबता है, तब

प्रश्न 19.
180 ग्राम द्रव्यमान की लकड़ी का एक टुकड़ा एल्कोहॉल में तैर रहा है। टुकड़े द्वारा विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन ज्ञात कीजिए । एल्कोहॉल का घनत्व 0.90 ग्राम / सेमी³ है।
हल:
दिया है, m 180 ग्राम, 0.90 ग्राम / सेमी³, V = ?
∴ लकड़ी का टुकड़ा एल्कोहॉल पर तैर रहा है अतः टुकड़े का भार = विस्थापित एल्कोहॉल का भार
180 x g = विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन x एल्कोहॉल का घनत्व x g
∴ विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन

प्रश्न 20.
पानी से पूरे भरे गिलास में बर्फ का एक टुकड़ा तैर रहा है। थोड़े समय बाद जब बर्फ का टुकड़ा पूरा पिघल जाता है, तो गिलास के पानी के तल पर क्या प्रभाव पड़ेगा? कितना पानी बाहर निकल जाएगा? गणना द्वारा समझाइए। [बर्फ का आपेक्षिक घनत्व = 0.9]
हल:
माना बर्फ का द्रव्यमान M₁, उसका पानी में डूबा आयतन तथा जल का घनत्व d है, जब तैरने के नियम से,
बर्फ का भार बर्फ द्वारा हटाए गए जल का भार
Mg = V x d x g
अतः V = \(\frac { M }{ d }\) … (i)
बर्फ के पिघलने पर जल बनता है M किग्रा बर्फ के पिघलने पर बने जल का आयतन
V’ = \(\frac { M }{ d }\) … (ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से स्पष्ट है कि V = V’
अर्थात् पानी में डूबी बर्फ का आयतन = बर्फ से बने जल का आयतन
अतः बर्फ पिघलने पर जल के तल में कोई परिवर्तन नहीं होगा अर्थात् पानी बाहर नहीं निकलेगा।

प्रश्न 21.
किसी लकड़ी के टुकड़े का 2/3 भाग पानी में डूबता है। यदि उसे पूरा डुबाने के लिए उस पर कम से कम 200 ग्राम भार रखने की आवश्यकता हो, तो लकड़ी के टुकड़े का भार ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लकड़ी के टुकड़े का भार W तथा आयतन V है। चूँकि तैरते समय टुकड़े के आयतन का 2/3 भाग पानी में डूबता है, अतः
लकड़ी के टुकड़े का भार W= हटाए गए जल का भार
W = \(\frac { 2 }{ 3 }\) V x d x g … (i)
200 ग्राम भार और रख देने पर लकड़ी का टुकड़ा पूरा डूब जाता है, अतः
W + 200 = V x d x g … (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग देने पर
\(\frac{W+200}{W}=\frac{3}{2}\)
अथवा
2W + 400 = 3 W
अतः लकड़ी के टुकड़े का भार W = 400 ग्राम

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद

प्रश्न 1.
बहुपद p(x) = 5x² – 3x +7 में x 1 रखने पर बहुपद का मान होगा :
(A) 9
(B) 11
(C) 12
(D) 3
हल :
p(x) = 5x² – 3x +7
x = 1 रखने पर,
P( 1 ) = 5 (1)² – 3 ( 1 ) + 7
= 5 – 3 + 7 = 9
अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 2.
p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक होगा :
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) 3
(C) –\(\frac {1}{2}\)
(D) 1
हल :
p(x) = 2x + 1
शून्यक होने के लिए p(x) = 0 होगा।
∴ 0 = 2x + 1 ⇒ x = – \(\frac {1}{2}\)
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 3.
x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को x – 1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगा :
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) – 2
हल :
p(x) = x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से शेषफल p (1) का मान (1) होता है।
∵ x – 1 = 0 ⇒ x = 1
p(1) = 1⁴ + 1³ – 2 (1)² + 1 + 1
= 1 + 1 – 2 + 1 +1 = 2
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 4.
व्यंजक (x – 3) बहुपद
p(x) = x³ + x² – 17x + 15
का गुणनखण्ड होगा, यदि :
(A) p(3) = 0
(B) p(-3) = 0
(C) P(-3) = 0
(D) p(-3) = – 3
हल :
p(x) = x³ + x² – 17x + 15
(x – 3), p(x) का एक गुणनखण्ड है, तो
x – 3 = 0, x = 3
अत: सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
x³ – y³ का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + y
(B) x² + y²
(C) x² – xy + y²
(D) x – y
हल :
x³ – y³ के गुणनखण्ड
= (x – y) (x² + xy + y²)
एक गुणनखण्ड (x – y) है। अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 6.
x⁴ + 8x का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 2
(C) x + 8
(D) x² + 2x + 2
हल :
x⁴ + 8x = x(x³ + 8)
= x[(x)³ + (2)³]
= x(x + 2) (x² – 2x + 4)
एक गुणनखण्ड (x + 2) है अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 7.
x³ – 8 का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 4
(C) x² + 2x + 4
(D) x² – 2x – 4
हल :
x³ – 8 = (x)³ – (2)³
= (x – 2) (x² + 2x + 4)
एक गुणनखण्ड (x² + 2x + 4 ) है अतः सही विकल्प ‘C’ है |

प्रश्न 8.
3y³ + 8y² – 1 का पूर्णांक शून्य है :
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) विद्यमान नहीं
हल :
3y³ + 8y² – 1 का पूर्णांक शून्य है।
y = 1 रखने पर, 3(1)³ + 8(1)² – 1
= 3 + 8 – 1 = 10 ≠ 0
y = – 1 रखने पर, 3(-1)³ + 8(-1)² – 1
= – 3 + 8 – 1 = 4 ≠ 0
y = 0 रखने पर, 3(0)³ + 8 × (0)² – 1
= – 1 ≠ 0
अतः व्यंजक में के स्थान पर 1, – 1 और 0 रखने पर शून्य नहीं आता है।
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए कि 2 और 0 बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं।
हल:
p(x) = x² – 2x
p(2) = 2² – 2(2)
p(2) = 4 – 4 = 0
एवं p(0) = 0 – 0 = 0
अतः 2 और 0 दोनों ही बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
जाँच कीजिए कि बहुपद
q(t) = 4t³ + 4t² – t – 1, 2t + 1 का एक गुणज है।
हल :
बहुपद q(t), 2t + 1 का गुणज केवल तब होगा जब 2t + 1 से q(t) को भाग देने पर शेषफल शून्य आता हो ।
∴ 2t + 1 = 0
t = – \(\frac {1}{2}\)
\(q\left(-\frac{1}{2}\right)=4\left(-\frac{1}{2}\right)^3+4\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)\) – 1
= – 4 × \(\frac {1}{8}\) + 4 × \(\frac {1}{4}\) + \(\frac {1}{2}\) – 1
= – \(\frac {1}{2}\) + 1 + \(\frac {1}{2}\) – 1 = 0
अतः 2t + 1 दिए गये बहुपद q(t) का एक गुणज है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि 5, बहुपद 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यक है।
हल :
5 बहुपद 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यांक है। बहुपद में x = 5 रखने पर,
2x³ – 7x² – 16x + 5 = 2(5)³ – 7(5)³ – 16(5) + 5
= 2 × 125 – 7(25) – 80 + 5
= 250 – 175 – 80 + 5
= 255 – 255 = 0
∵ x = 5 रखने पर बहुपद का मान शून्यक प्राप्त होता है।
अतः 5 बहुपद का पूर्णांक शून्यक होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
a के किस मान के लिए बहुपद x³ + 2x² – 3ax – 8 में व्यंजक (x – 4) का पूरा-पूरा भाग जाता है?
हल :
बहुपद में x – 4 का भाग देने पर शेषफल f(4) प्राप्त होगा।
f(x) = x³ + 2x² – 3ax – 8 में x के स्थान पर 4 रखने पर
f(4) = (4)³ + 2(4)² – 3a(4) – 8 = 0
= 64 + 2 × 16 – 12a – 8 = 0
= 64 + 32 – 12a – 8 = 0
= 96 – 12a – 8 = 88 – 12a = 0
⇒ 12a = 88
∴ a = \(\frac {88}{12}\) = \(\frac {22}{3}\)
अतः a = \(\frac {22}{3}\)

प्रश्न 13.
यदि x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 48 हो तब (x + \(\frac {1}{x}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :
सूत्र से,

प्रश्न 14.
यदि x³ + a³ में x + a का भाग दिया जाए, तो शेषफल ज्ञात कीजिए ।
हल:

∴ शेषफल = 0

प्रश्न 15.
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³ क गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
माना
2x + 3 = a
3x – 2 = b
– (5x + 1) = c
अब a + b + c = (2x + 3) + (3x – 2 ) – (5x + 1)
= 2x + 3 + 3x – 2 – 5x – 1
= 5x – 5x + 3 – 3 = 0
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ = 3abc
a, b तथा c के मान रखने पर
(2x + 3 )³ + (3x – 2)³ – (5x + 1 )³
= 3 × (2x + 3) × (3x – 2) × [- (5x + 1) ]
= – 3 (2x + 3) (3x – 2) (5x + 1).

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि x² + 6x + 15 का कोई शून्य नहीं होता।
हल :
माना कि f(x) = x² + 6x + 15
∴ f(x) = {x2 + 2 (3)x + 9} + 6
= (x + 3)² + 6
यहाँ x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)² का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः (x + 3)² का मान सदैव शून्य से बड़ा ही रहेगा। परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए (x) का कोई शून्य विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 17.
गुणनखण्ड कीजिए:
(i) x³ – 64
(ii) (2x – 1)³ – (x – 1)³
हल :
(i) x³ – 64 = (x)³ – (4)³
∵ a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
∴ (x – 4) [(x)² + (x)(4) + (4)²]
= (x – 4) (x² + 4x + 16)

(ii) (2x – 1)³ – (x – 1)³
= [(2x – 1) – (x – 1)] [(2x – 1)² + (2x – 1) (x – 1) + (x – 1)³]
= x[4x² – 4x + 1 + 2x² – 3x + 1 + x² – 2x + 1]
= x(7x² – 9x+3).

प्रश्न 18.
(3a + 4b + 5c)² को प्रसारित रूप में लिखिए।
हल :
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz +2zx
(3a + 4b + 5c)² = (3a)² + (4b)² + (5c)² + 2(3a)(4b) + 2 (4b) (5c) + 2 (5c) (3a)
= 9a² + 16b² + 25c² + 24ab + 40bc + 30ac.

प्रश्न 19.
4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4xz को गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
(2x)² + (y)² + (z)² + 2(2x)(-y) + 2(- y)(z) + 2(2x)(z)
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= [2x + (-y) + z]²
= (2x – y + z)²
= (2x – y + z) (2x – y + z).

प्रश्न 20.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (104)³
(ii) (999)³
हल :
(i) यहाँ (104)³ = ( 100 + 4)³
=(100)³ + (4)³ + 3(100)(4)(100 + 4)
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)]
= 1000000 + 64 + 124800 = 1124864.

(ii) यहाँ (999)³ = ( 1000 – 1)³
= (1000)³ – (1)³ – 3(1000)(1)(1000 – 1)
[सर्वसमिका a³ – b³ = a³ – b³ – 3ab (a + b)]
= 1000000000 – 1 – 2997000
= 997002999.

प्रश्न 21.
8x³ + 27y³ + 36x²y + 54xy – 2 के गुणनखण्डन कीजिए।
हल :
दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(2x)³ + (3y)³ + 3(4x²)(3y) + 3(2x)(9y²)
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²)
= (2x)³ + (3y)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)²
= (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y).

प्रश्न 22.
(4a – 2b – 3c)² का प्रसार कीजिए।
हल :
सर्वसमिका
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
∴ (4a – 2b – 3c)² = [4a + (-2b) + (- 3c)]²
= (4a)² + (-2b)² + (- 3c)² + 2(4a)(-2b) + 2(-2b) (- 3c) + 2 (-3c) (4a)
= 16a² + 4b² + 9c² – 16ab + 12bc – 24ac.

प्रश्न 23.
यदि (x – \(\frac {1}{x}\))² = 5 तो(x² – \(\frac{1}{x^2}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :
सूत्र,
(a – b)² = a² + 2ab – b²
(x – \(\frac {1}{x}\))² = x² + \(\frac{1}{x^2}\) – 2.x.\(\frac {1}{x}\)
5 = (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 2
∴ x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 7

प्रश्न 24.
प्रदर्शित कीजिए कि बहुपद x¹⁰ – 1 और x¹¹ – 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है ।
हल :
माना
p(x) = x¹⁰ – 1
तथा
q(x) = x¹¹ – 1
(x – 1) गुणनखण्ड प्रदर्शित करने के लिए p(x) = 0, q(x) = 0 दिखाना पड़ेगा।
∴ p(x) = x¹⁰ – 1
p(1) = (1)¹⁰ – 1
P(1) = 1 – 1
P(1) = 0

तथा q(x) = x¹¹ – 1
q (1) = (1)¹¹ – 1
q (1) = 1 – 1
q(1) = 0
अत: (x – 1), बहुपद (x¹⁰ – 1) तथा (x¹¹ – 1) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 25.
व्यंजक x⁸ – y⁸ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
सर्वसमिका a² + b² = (a + b) (a – b) से, (x⁴)² – (y⁴)²
= (x⁴ – y⁴) (x⁴ + y⁴)
= [(x²)² – (y²)²] [x⁴ + y⁴]
(x² – y²) (x² + y²) (x⁴ + y⁴)
पुनः (x – y) (x + y) (x² + y²) (x⁴ + y⁴)

प्रश्न 26.
यदि (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) = 83 तो (x³ – \(\frac{1}{x^3}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :

प्रश्न 27.
व्यंजक (x¹² – y¹²) के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
x¹² – y¹² = (x⁶)² – (y⁶)²,
सर्वसमिका a² – b² = (a – b)(a + b)
= (x⁶ + y⁶)(x⁶ – y⁶)
= (x⁶ + y⁶) [(x³)² – (y³)²]
= (x⁶ + y⁶) [x³ + y³] [x³ – y³]
सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
तथा a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
= (x⁶ + y⁶) [(x + y) (x² – xy + y²) (x – y) (x² + xy + y²)]
= [(x²)³ + (y²)³] [(x + y) (x – y) (x² – xy + y²) (x² + xy + y²)]
= (x² + y²) (x⁴ – x²y² + y⁴) (x + y) (x – y)(x² – xy + y²)(x² + xy + y²)
अतः x¹² – y¹² = (x + y) (x – y)(x² + y²) (x⁴ – x²y² + y⁴)(x² – xy + y²)(x² + xy + y²)

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Solutions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Solutions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण

Jharkhand Board Class 9 Science गुरुत्वाकर्षण Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1.
यदि दो वस्तुओं के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए तो उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल किस प्रकार बदलेगा?
उत्तर:
सूत्र F = \(\frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\) से

अतः दूरी को आधा करने पर गुरुत्वाकर्षण बल चार गुना हो जाएगा।

प्रश्न 2.
सभी वस्तुओं पर लगने वाला गुरुत्वीय बल उनके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। फिर एक भारी वस्तु, हल्की वस्तु के मुकाबले तेजी से क्यों नहीं गिरती?
उत्तर:
∵ F ∝ m
अर्थात् F = km
जहाँ K = नियतांक
अत: सूत्र F = ma से,
वस्तु का त्वरण a = \(\frac { F }{ m }\)
अर्थात् a = \(\frac { γm }{ m }\) = K ( नियतांक)
इससे स्पष्ट होता है कि भले ही गुरुत्वीय बल वस्तु के द्रव्यमान के समानुपाती होता है, परन्तु वस्तुओं के मुक्त पतन का त्वरण सभी वस्तुओं के लिए नियत है। अब चूँकि कोई वस्तु कितनी तेजी से गिरेगी यह वस्तु के त्वरण पर निर्भर करता है (न कि गुरुत्वीय बल पर); अतः त्वरण के नियत होने के कारण हल्की तथा भारी सभी वस्तुएँ समान तेजी से गिरती हैं।

प्रश्न 3.
पृथ्वी तथा उसकी सतह पर रखी किग्रा की वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल का परिमाण क्या होगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा है तथा पृथ्वी की त्रिज्या 6.4 x 100 मीटर है)।
हल:
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 6.4 x 10²⁴ किग्रा, पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.4 x 10⁶ मीटर, m = 1 किग्रा, d = R.
G = 6.67 × 10^-11 न्यूटन मीटर² / किग्रा²
∴ पृथ्वी तथा वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल
F = G\(\frac{\mathrm{M} m}{d^2}\) = 6.67 x 10^-11 x \(\frac{6 \times 10^{24} \times 1}{\left(6.4 \times 10^6\right)^2}\) न्यूटन
= \(\frac{6.67 \times 6 \times 10}{6.4 \times 6.4}\)
= 9.77 न्यूटन

प्रश्न 4.
पृथ्वी तथा चन्द्रमा एक-दूसरे को गुरुत्वीय बल से आकर्षित करते हैं। क्या पृथ्वी जिस बल से चन्द्रमा को आकर्षित करती है वह बल, उस बल से जिससे चन्द्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है बड़ा है या छोटा है या बराबर है? बताइए, क्यों?
उत्तर:
क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से पृथ्वी का चन्द्रमा पर आकर्षण बल चन्द्रमा के पृथ्वी पर आकर्षण बल के बराबर है।

प्रश्न 5.
यदि चन्द्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है तो पृथ्वी चन्द्रमा की ओर गति क्यों नहीं करती है?
उत्तर:
चन्द्रमा और पृथ्वी दोनों एक-दूसरे पर समान परिमाण का आकर्षण बल लगाते हैं, परन्तु चन्द्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में बहुत कम होने के कारण, समान बल होने पर भी चन्द्रमा का पृथ्वी की ओर त्वरण, पृथ्वी के चन्द्रमा की ओर त्वरण से बहुत अधिक है। इसीलिए चन्द्रमा पृथ्वी के चारों ओर गति करता है, पृथ्वी चन्द्रमा की ओर गति करती प्रतीत नहीं होती।

प्रश्न 6.
दो वस्तुओं के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का क्या होगा, यदि –
(i) एक वस्तु का द्रव्यमान दो गुना कर दिया जाए?
(ii) वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी अथवा तीन गुनी कर दी जाए?
(iii) दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएँ?
उत्तर:
(i) ∵ F ∝ m₁ m₂
∵ एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर देने पर बल भी दोगुना हो जाएगा।

(ii) ∵ F ∝ \(\frac{1}{d^2}\)
∴ दूरी दोगुनी करने पर बल एक-चौथाई रह जाएगा। जबकि दूरी तीन गुनी कर देने पर बल 9वाँ भाग रह जाएगा।

(iii) ∵ F ∝ m₁ m₂ अतः दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने करने पर बल चार गुना हो जाएगा।

प्रश्न 7.
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के क्या महत्व हैं?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का महत्व – यह नियम अनेक ऐसी परिघटनाओं की व्याख्या करता है, जो प्राचीनकाल में असम्बद्ध मानी जाती थीं; जैसे-

• इस नियम द्वारा सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा वस्तुओं के पृथ्वी की ओर गिरने की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा समुद्र में आने वाले ज्वार भाटा की व्याख्या की जाती है।

पृथ्वी की कक्षा में कृत्रिम उपग्रह स्थापित करना, चन्द्रमा तथा अन्य ग्रहों तक खोजी यान भेजना तथा अन्तरिक्ष स्टेशन स्थापित करना आदि इसी नियम का ज्ञान प्राप्त होने के बाद ही सम्भव हो पाया है।

प्रश्न 8.
मुक्त पतन का त्वरण क्या है?
उत्तर:
मुक्त पतन का त्वरण- किसी ऊँची मीनार की छत से छोड़ी गई किसी वस्तु का पृथ्वी की ओर त्वरण, मुक्त पतन का त्वरण कहलाता है, जिसे g से प्रदर्शित करते हैं। पृथ्वी तल पर मुक्त पतन के त्वरण का मान 9.8 मीटर/सेकण्ड² है।

प्रश्न 9.
पृथ्वी तथा किसी वस्तु के बीच लगने वाले गुरुत्वीय बल को हम क्या कहेंगे?
उत्तर:
उस वस्तु का भार कहेंगे।

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति A अपने मित्र के निर्देश पर ध्रुवों पर कुछ ग्राम सोना खरीदता है वह इस सोने को विषुवत् वृत्त पर अपने मित्र को देता है क्या उसका मित्र इस खरीदे हुए सोने के भार से सन्तुष्ट होगा? यदि नहीं, तो क्यों?
उत्तर:
मित्र सोने के भार से सन्तुष्ट नहीं होगा इसका कारण यह है कि विषुवत् वृत्त पर तौलने पर सोने का भार, ध्रुवों पर उसके भार की तुलना में कम होगा (g के मान में कमी के कारण)।

प्रश्न 11.
एक कागज की शीट उसी प्रकार की शीट को मोड़कर बनाई गई गेंद से धीमी क्यों गिरती है?
उत्तर:
ऐसा वायु के प्रतिरोध के कारण होता है। वायु कागज की शीट पर गेंद की अपेक्षा अधिक प्रतिरोध लगाती है; अतः कागज की शीट गेंद की तुलना में धीमी गिरती है।

प्रश्न 12.
चन्द्रमा की सतह पर गुरुत्वीय बल, पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय बल की अपेक्षा 1/6 गुना है। एक 10 किग्रा द्रव्यमान की वस्तु का चन्द्रमा पर तथा पृथ्वी पर न्यूटन में भार कितना होगा?
हल:
दिया है वस्तु का द्रव्यमान m = 10 किग्रा,
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर / सेकण्डर²
∴ पृथ्वी पर वस्तु का भार W₁ = mg
= 10 × 9.8 = 98 न्यूटन
अब चूँकि चन्द्रमा पर गुरुत्वीय बल
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x पृथ्वी पर गुरुत्वीय बल
∴ चन्द्रमा पर वस्तु का भार W₂
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x पृथ्वी पर वस्तु का भार (W₁)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 98 न्यूटन
= 16.33 न्यूटन
अतः पृथ्वी पर वस्तु का भार = 98 न्यूटन
तथा चन्द्रमा पर वस्तु का भार = 16.33 न्यूटन।

प्रश्न 13.
एक गेंद ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 49 मीटर / सेकण्ड के वेग से फेंकी जाती है। परिकलन कीजिए- (i) अधिकतम ऊंचाई जहाँ तक कि गेंद पहुँचती है। (ii) पृथ्वी की सतह पर वापस लौटने में लिया गया समय।
हल:
दिया है, गेंद का वेग 49 मीटर / सेकण्ड ऊपर की ओर
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्ड² नीचे की ओर
माना कि गेंद। ऊँचाई तक ऊपर जाती है तथा ऊपर तक जाने में समय लेती है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक तथा नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानने पर,
सूत्र v² = u² + 2as से, (उच्चतम बिन्दु पर वेग v = 0)

कोई वस्तु जितना समय उच्चतम बिन्दु तक जाने में लेती है, उतना ही समय पृथ्वी तल तक आने में लेती है।
∴ पृथ्वी की सतह तक लौटने में लगा समय = 2 + उच्चतम बिन्दु तक जाने में लगा समय
= 25 10 सेकण्ड
∴ अधिकतम ऊँचाई / 122.5 मीटर
कुल समय = 10 सेकण्ड।

प्रश्न 14.
19.6 मीटर ऊँची मीनार की चोटी से एक पत्थर छोड़ा जाता है। पृथ्वी पर पहुँचने से पहले उसका अन्तिम वेग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है मीनार की ऊँचाई h = 19.6 मीटर,
पत्थर छोड़ते समय वेग v = 0,
त्वरण g = 9.8 मीटर / सेकण्ड² नीचे की ओर
सूत्र v² = u² + 2as से,
= 0² + 2 × 9.8 × 19.6
= 19.6 × 19.6 या v² = (19.6)²
∴ v = 19.6 मीटर/सेकण्ड
अतः पृथ्वी से टकराने से पहले अन्तिम वेग = 19.6 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 15.
कोई पत्थर ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 40 मीटर / सेकण्ड के प्रारम्भिक वेग से फेंका गया है। g 10 मीटर / सेकण्ड लेते हुए ग्राफ की सहायता से पत्थर द्वारा पहुँची अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए नेट विस्थापन तथा पत्थर द्वारा चली गई कुल दूरी कितनी होगी?
हल:
दिया है प्रारम्भिक वेग u = 40 मीटर / सेकण्ड ऊपर की ओर
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 मीटर / सेकण्ड² नीचे की ओर
माना कि पत्थर को उच्चतम बिन्दु तक जाने में t सेकण्ड लगते हैं जहाँ उसका वेग v = 0 हो जाता है तब y = u- gt से,
0 = 40 – 10 x t
10t = 40
∴ t = \(\frac { 40 }{ 10 }\) = 4 सेकण्ड
अर्थात् अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में पत्थर को 4 सेकण्ड लगते हैं।
पुन: सूत्र v = u – gt में g = 10 मीटर / सेकण्ड² तथा क्रमशः t = 0, 1, 2, 3, 4 प्राप्त होती है-

t (सेकण्ड में)	0	1	2	3	4
v (मीटर/सेकण्ड मे)	40	30	20	10	0

उपर्युक्त सारणी की सहायता से खींचा गया वेग- समय ग्राफ चित्र 10.7 में प्रदर्शित है।
वेग-समय ग्राफ से,
पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई
h = वेग समय ग्राफ के नीचे घिरा क्षेत्र
= ∆OAB का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) OA × OB

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (40 मीटर/सेकण्ड ) x (4 सेकण्ड)
= 80 मीटर।
पत्थर उच्चतम बिन्दु पर क्षणिक विराम की अवस्था में आता है और फिर नीचे की ओर गिरता हुआ अपने प्रारम्भिक बिन्दु पर वापस पहुँच जाता है।
∴ पत्थर का कुल विस्थापन = प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु के बीच सरल रेखीय दूरी = 0
जबकि कुल तय दूरी = तय किए गए पथ की लम्बाई
= 2 x अधिकतम ऊँचाई = 2 x 80 = 160 मीटर।

प्रश्न 16.
पृथ्वी तथा सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिकलन कीजिए।
दिया है, पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा, सूर्य का द्रव्यमान = 2 x 10³⁰ किग्रा
दोनों के बीच औसत दूरी 1.5 x 10¹¹ मीटर है।
हल:
m₁ = 6 × 10²⁴ किग्रा, m₂ = 2 x 10³⁰ किग्रा,
d = 1.5 x 10¹¹ मीटर
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मीटर²/किग्रार²
∴ पृथ्वी तथा सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल
F = G\(\frac{m_1 m_2}{d^2}\)
= 6.67 × 10^-11 x \(\frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 10^{30}}{\left(1.5 \times 10^{11}\right)^2}\)
= \(\frac{6.67 \times 6 \times 2}{1.5 \times 1.5}\)
= 3.56 x 10²² न्यूटन।

प्रश्न 17.
कोई पत्थर 100 मीटर ऊँची मीनार की चोटी से गिराया गया और उसी समय कोई दूसरा पत्थर 25 मीटर / सेकण्ड के वेग से ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका गया। परिकलन कीजिए कि दोनों पत्थर कब और कहाँ मिलेंगे?
हल:
माना कि दोनों पत्थर, छोड़े जाने के क्षण से सेकण्ड बाद, पृथ्वी तल से t ऊँचाई पर मिलते हैं, तब मिलते क्षण तक नीचे से फेंका गया पत्थर ऊपर की ओर ऊँचाई तय कर चुका होगा; अतः
अतः
h = u₂ x t – \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² … (1)
जबकि मीनार की चोटी से छोड़ा गया पिण्ड नीचे की ओर (100-h) दूरी गिर चुका होगा; अतः

100 – h = u₁ x t + \(\frac { 1 }{ 2 }\)gt²
या 100 – h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² [∵ u₁ = 0] … (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,

t = 4 सेकण्ड तथा g 10 मीटर / सेकण्ड² समीकरण (2) में रखने में,
100 – h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 10 × (4)²
या 100 – h = 80 या h = 100 – 80 = 20 मीटर
अतः पत्थर, प्रारम्भिक क्षण से 4 सेकण्ड बाद, पृथ्वी तल से 20 मीटर की ऊँचाई पर मिलेंगे।.

प्रश्न 18.
ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद 6 सेकण्ड पश्चात् फेंकने वाले के पास लौट आती है। ज्ञात कीजिए-
(a) यह किस वेग से ऊपर फेंकी गई?
(b) गेंद द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई, तथा
(c) 4 सेकण्ड बाद गेंद की स्थिति।
हल:
(a) माना कि गेंद u वेग से ऊपर की ओर फेंकी गई थी।
चूँकि गेंद 6 सेकण्ड पश्चात् प्रारम्भिक बिन्दु पर लौट आती है
अत: t = 6 सेकण्ड में गेंद का विस्थापन s = 0
जबकि त्वरण a = – g = – 9.8 मीटर/सेकण्डर²
∴ s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² से,
0 = u × 6 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) (- 9.8) × 6²
या 6u = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 × 6 × 6 या u = 3 x 9.8 = 29.4
अत: गेंद 29.4 मीटर/सेकण्ड के वेग से फेंकी गई थी।

(b) माना कि गेंद अधिकतम ऊँचाई तक जाती है, तब s = h ऊँचाई पर वेग = 0
∴ v² = u² + 2as से,
0² = (29.4)² + 2 × (- 9.8) × h
या 2 × 9.8 × h = 29.4 × 29.4
∴ h = \(\frac{29.4 \times 29.4}{2 \times 9.8}\) = 44.1 मीटर

(c) माना कि t = 4 सेकण्ड बाद गेंद पृथ्वी तल से h₁ ऊँचाई पर है,
तब S = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² से,
h₁ = 29.4 × 4 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (- 9.8) × 4²
= 117.6 – 78.4
= 39.2 मीटर
अतः 4 सेकण्ड बाद गेंद पृथ्वी तल से 39.2 मीटर ऊपर होगी।

प्रश्न 19.
किसी द्रव में डुबोई गई वस्तु पर उत्प्लावन बल किस दिशा में कार्य करता है?
उत्तर:
उत्प्लावन बल सदैव भार के विपरीत दिशा में अर्थात् ऊपर की और कार्य करता है।

प्रश्न 20.
पानी के भीतर किसी प्लास्टिक के गुटके को छोड़ने पर यह पानी की सतह पर क्यों आ जाता है?
उत्तर:
चूँकि प्लास्टिक का घनत्व, पानी के घनत्व से कम होता है, इस कारण प्लास्टिक के गुटके को जल में डुबोने पर उस पर लगने वाला उत्प्लावन बल गुटके के भार से अधिक होगा। अतः गुटका पानी की सतह पर आ जाता है।

प्रश्न 21.
50 ग्राम के किसी पदार्थ का आयतन 20 सेमी है। यदि पानी का घनत्व 1 ग्राम / सेमी हो तो पदार्थ तैरेगा या डूबेगा?
हल:
पदार्थ का द्रव्यमान 50 ग्राम
तथा आयतन 20 सेमी³
जल का घनत्व = 1 ग्राम/सेमी³

∵ पदार्थ का घनत्व > जल का घनत्व
∴ यह पदार्थ जल में डूब जाएगा।

प्रश्न 22.
500 ग्राम के एक मुहरबन्द पैकेट का आयतन 350 सेमी है। पैकेट 1 ग्राम / सेमी³ घनत्व वाले पानी में तैरेगा या डूबेगा? इस पैकेट द्वारा विस्थापित पानी का द्रव्यमान कितना होगा?
हल:
पैकेट का द्रव्यमान = 500 ग्राम तथा आयतन = 350 सेमी³
जल का घनत्व = 1 ग्राम / सेमी³

∵ पैकेट का घनत्व > जल का घनत्व
∴ पैकेट जल में डूब जायेगा।
∵ पैकेट पूरा डूब जाएगा, अतः यह अपने आयतन (350 सेमी³) के बराबर पानी को विस्थापित करेगा।
∴ विस्थापित पानी का द्रव्यमान विस्थापित पानी का आयतन x पानी का घनत्व
= 350 सेमी³ x 1 ग्राम / सेमी³
= 350 ग्राम।

Jharkhand Board Class 9 Science गुरुत्वाकर्षण InText Questions and Answers

क्रियाकलाप 10.1. (पा. पु. पू. सं. 145)
धागे का एक टुकड़ा लेकर इसके सिरे पर एक छोटा पत्थर बाँधकर दूसरे सिरे से पकड़कर पत्थर को वृत्ताकार पथ में घुमाइए तथा पत्थर की गति की दिशा देखिए। अब धागे को छोड़िए तथा फिर से पत्थर की गति की दिशा को देखिए।

निष्कर्ष-धागे को छोड़ने से पहले पत्थर एक निश्चित चाल से वृत्ताकार पथ में गति करता है तथा प्रत्येक बिन्दु पर उसकी गति की दिशा बदलती है। वस्तु को वृत्ताकार पथ पर गतिशील रखने वाला बल, जिसके कारण त्वरण होता है, अभिकेन्द्रीय बल कहलाता है।

पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति अभिकेन्द्रीय बल के कारण है। अभिकेन्द्रीय बल पृथ्वी के आकर्षण बल के कारण होता है। हमारे सौर परिवार में सभी ग्रह सूर्य की परिक्रमा करते हैं। सूर्य तथा ग्रह के बीच एक बल विद्यमान है जो गुरुत्वाकर्षण बल कहलाता है।

न्यूटन के निष्कर्ष के आधार पर विश्व के सभी पिण्ड एक दूसरे को आकर्षित करते हैं।

खण्ड 10.1 से सम्बन्धित पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा. पु. पृ. सं. 149)

प्रश्न 1.
गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताइए।
उत्तर:
दो वस्तुओं के बीच लगने वाला बल, दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती तथा उनकी बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम कहलाता है।

प्रश्न 2.
पृथ्वी तथा उसकी सतह पर रखी किसी वस्तु के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण ज्ञात करने को सूत्र लिखिए।
उत्तर:
सूत्र F = G\(\frac{\mathrm{M} m}{d^2}\) से पृथ्वी की सतह के लिए d = R अत: F = \(\frac{\mathrm{GM} m}{R^2}\)

क्रियाकलाप 10.2. (पा.पु. पृ. सं. 149)
एक पत्थर लेकर ऊपर की ओर फेंकिए। यह एक निश्चित ऊँचाई तक पहुँचता है और फिर नीचे की ओर गिरने लगता है।

पृथ्वी सभी वस्तुओं को अपनी ओर आकर्षित करती है। पृथ्वी के इस आकर्षण बल को गुरुत्वीय बल कहते हैं। वस्तुओं के पृथ्वी की ओर गिरने पर वस्तुओं को मुक्त पतन में होना कहा जाता है। गिरते समय वस्तुओं की गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है परन्तु पृथ्वी के आकर्षण के कारण वेग के परिमाण में परिवर्तन होता है जिससे त्वरण उत्पन्न होता है तथा इस त्वरण को पृथ्वी के गुरुत्वीय बल के कारण त्वरण या गुरुत्वीय त्वरण g कहते हैं।

गति के दूसरे नियम से हमें ज्ञात है कि द्रव्यमान तथा त्वरण का गुणनफल, बल कहलाता है। माना पत्थर का है तथा गिरती हुई वस्तुओं में गुरुत्वीय बल के द्रव्यमान कारण त्वरण लगता है और इसे g से प्रदर्शित करते हैं।
अतः
F = mg … (i)
तथा न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से
F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{d^2}\) … (ii)
समी. (i) व (ii) से,
mg = \(\frac{\mathrm{GMm}}{d^2}\)
या g = \(\frac{\mathrm{GM}}{d^2}\)
जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान तथा वस्तु और पृथ्वी के बीच की दूरी है।
यदि वस्तु पृथ्वी पर या इसके पृष्ठ के पास है तो d के स्थान पर पृथ्वी की त्रिज्या R रखनी होगी। इस प्रकार पृथ्वी के पृष्ठ पर या इसके समीप रखी वस्तुओं के लिए
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{R^2}\)
पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों से विषुवत रेखा की ओर जाने पर बढ़ती है अतः g का मान ध्रुवों पर विषुवत रेखा की अपेक्षा अधिक होता है।

क्रियाकलाप 10.3. (पा. पु. पू. सं. 150)
कागज की एक शीट तथा एक पत्थर लीजिए तथा दोनों को किसी इमारत की पहली मंजिल से एक साथ गिरा कर देखिए कि क्या दोनों एक साथ धरती पर पहुँचते हैं?

निष्कर्ष – हम यह पाते हैं कि कागज धरती पर पत्थर की अपेक्षा कुछ देर से पहुँचता है। ऐसा वायु के प्रतिरोध के कारण होता है। गिरती हुई गतिशील वस्तुओं पर घर्षण के कारण वायु प्रतिरोध लगाती है। कागज पर लगने वाला वायु का प्रतिरोध पत्थर पर लगने वाले प्रतिरोध से अधिक होता है।

यदि इस प्रयोग को ऐसे जार में करें जिसमें से वायु निकाल दी गई है तो कागज तथा पत्थर एक ही दर से नीचे गिरेंगे।

पृथ्वी के निकट g का मान स्थिर है अतः एक समान त्वरित गति के सभी समीकरण त्वरण a के स्थान पर g रखने पर भी मान्य रहेंगे, ये समीकरण निम्न हैं-

सरल रेखीय	गुरुत्व के अधीन
v = u + at	v = u + gt
s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\)at²	h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\)gt²
v² = u² + 2as	v² = u² + 2gs

जहाँ
u – वस्तु का प्रारस्भिक वेग
v – वस्तु का अन्तिम वेग
s – वस्तु द्वारा t समय में चली गई दूरी
नोट- यदि त्वरण गति की दिशा में लग रहा हो तो इसे धनात्मक लेते हैं तथा यदि त्वरण गति की दिशा के विपरीत लग रहा हो तो इसे ऋणात्मक लेते हैं।

उदाहरण 10.2.
एक कार किसी कगार से गिरकर 0.55 में धरती पर आ गिरती है। परिकलन में सरलता के लिए g का मान 10 मी / से.2 लीजिए।
(i) धरती पर टकराते समय कार की चाल क्या होगी?
(ii) 0.5 से. के दौरान इसकी औसत चाल क्या होगी?
(iii) धरती से कगार कितनी ऊँचाई पर है?
हल:
प्रश्नानुसार समय t = 0.58
प्रारम्भिक वेग u = 0 ms^-1
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 m s^-2
कार का त्वरण a = + 10m/sec² (अधोमुखी)
(i) चाल v = at से
v = 10 मी/से.² x 0.5 से.
= 5 मी./से.^-1

(ii) औसत चाल = \(\frac { u+v }{ 2 }\)
= (0 मी/से +5 मी/से.^-1) / 2 = 2.5 मी/से.

(iii) तय की गई दूरी s = \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 मी/से.² x (0.5 से.)²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 मी/से.^-2 x 0.25 से.²
अतः = 1.25 मीटर
(i) धरती पर टकराते समय इसकी चाल 5मी/से.^-1
(ii) 0.5 सेकण्ड के दौरान इसकी औसत चाल = 2.5 मी/से.^-1
(iii) धरती से कगार की ऊँचाई = 1.25 मी.

उदाहरण 10.3.
एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका जाता है और यह 10 मीटर की ऊँचाई तक पहुँचती है। परिकलन कीजिए-
(i) वस्तु कितने वेग से ऊपर फेंकी गई तथा
(ii) वस्तु द्वारा उच्चतम बिन्दु तक पहुँचने में लिया गया समय।
हल:
तय की गई दूरी s = 10 मी
अन्तिम वेग v = 0 मी/से.
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मी/से.²
वस्तु का त्वरण a = – 9.8 मी / से.² (ऊर्ध्वमुखी)
(i) v² = u² + 2as
0 = u² + 2 × (- 9.8 मी / से.²) x 10m
– u² = – 2 × 9.8 × 10 मी² / से.²
u = \(\sqrt{196}\) मी/से.
u = 14 मी/से.

(ii) v = u + at
0 = 14 मी / से. – 9.8 मी / से.² x 1
t = 1.43 से
(i) प्रारम्भिक वेग u = 14 मी / से. तथा
(ii) लिया गया समय t = 1.43 सेकण्ड।

खण्ड 10.2 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 152)

प्रश्न 1.
मुक्त पतन से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
वस्तुएँ पृथ्वी की ओर गुरुत्वीय आकर्षण बल के कारण गिरती हैं। इसे हम कहते हैं कि वस्तुएँ मुक्त पतन में हैं।

प्रश्न 2.
गुरुत्वीय त्वरण से आप क्या समझते हैं?
उत्तर:
जब कोई वस्तु पृथ्वी की ओर गिरती है तो पृथ्वी के आकर्षण के कारण वेग के परिमाण में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करता है। यह त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय बल के कारण है। इसलिए इसे गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं।

खण्ड 10.3 एवं 10.4 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 153)

प्रश्न 1.
किसी वस्तु के द्रव्यमान तथा भार में क्या अन्तर है?
उत्तर:
द्रव्यमान तथा भार में अन्तर

द्रव्यमान	भार
1. किसी वस्तु में उपस्थित पदार्थ की मात्रा ही उसका द्रव्यमान होती है।	किसी वस्तु का भार उस बल के बराबर होता है जिससे पृथ्वी उस वस्तु को आकर्षित करती है।
2. द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम है।	भार का मात्रक न्यूटन या किलोग्राम-भार है।
3. किसी वस्तु के द्रव्यमान का मान प्रत्येक स्थान पर समान रहता है।	वस्तु का भार (m g) गुरुत्वीय त्वरण g के परिवर्तन के कारण भिन्न-भिन्न स्थानों पर भिन्न-भिन्न होता है।
4. द्रव्यमान अदिश राशि है।	भार सदिश राशि है।
5. द्रव्यमान को भौतिक तुला से तोला जाता है।	भार को कमानीदार तुला से तोला जाता है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु का चन्द्रमा पर भार पृथ्वी पर इसके भार का 1/6 गुना क्यों होता है?
उत्तर:
चन्द्रमा का द्रव्यमान, पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में काफी कम है, इस कारण चन्द्रमा की सतह पर चन्द्रमा के कारण गुरुत्वीय त्वरण का मान, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण के मान का 1/6 होता है। अब चूँकि किसी स्थान पर किसी वस्तु का भार उस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण के समानुपाती होता है; अंतः चन्द्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का 1/6 गुना होता है।

क्रियाकलाप 10.4. (पा. पु. पृ. सं. 155)
प्लास्टिक की एक खाली बोतल लेकर उसके मुँह को एक वायुरुद्ध डाट से बन्द करके इसे एक पानी की बाल्टी में रखिए। बोतल को पानी में धकेलने पर ऊपर की ओर एक धक्का महसूस होता है तथा इसे और नीचे धकेलने में आपको कठिनाई महसूस होगी। पानी द्वारा बोतल पर ऊपर की ओर एक बल लगाया जाता है जिसे उत्प्लावन बल कहते हैं।

क्रियाकलाप 10.5. (पा.पु. पृ. सं. 156)
एक बीकर लेकर उसमें भरे पानी की सतह पर एक लोहे की कील रखिए। कील पानी में डूब जाती है। इस प्रकार का उत्तर जानने के लिए एक क्रियाकलाप करते हैं।

क्रियाकलाप 10.6 (पा.पु. पू. सं. 156)
पानी से भरा बीकर लेकर एक कील तथा समान द्रव्यमान का एक कॉर्क का टुकड़ा लेकर उन्हें पानी की सतह पर रखा। आप पायेंगे कि कील पानी में डूब जाती है जबकि कॉर्क का टुकड़ा पानी के ऊपर तैरता
रहता है।

कारण- कॉर्क तैरता है जबकि कील डूब जाती है। ऐसा उनके घनत्वों में अन्तर के कारण होता है। किसी पदार्थ का घनत्व, उसके एकांक आयतन के द्रव्यमान को कहते हैं। कॉर्क का घनत्व पानी के घनत्व से कम है अर्थात् कॉर्क पर पानी का उत्प्लावन बल, कॉर्क के भार से अधिक है इसलिए यह तैरता है।

इस प्रकार द्रव के घनत्व से कम घनत्व की वस्तुएँ द्रव पर तैरती हैं। द्रव के घनत्व से अधिक घनत्व की वस्तुएँ द्रव मैं डूब जाती हैं।

खण्ड 10.5 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पू. सं. 157)

प्रश्न 1.
एक पतली तथा मजबूत डोरी से बने पट्टे की सहायता से स्कूल बैग को उठाना कठिन होता है, क्यों?
उत्तर:
यदि स्कूल बैग को पतली तथा मजबूत डोरी से बने पट्टे की सहायता से हाथ में उठाया जाए अथवा कन्धे से लटकाया जाए तो यह पट्टा हाथ अथवा कन्धे के छोटे से क्षेत्रफल के सम्पर्क में होगा। तब बैग का सम्पूर्ण भार इस छोटे से क्षेत्रफल पर लगेगा जिसके फलस्वरूप इस क्षेत्रफल पर दाब बहुत अधिक होगा और पट्टा हाथ या कन्धे में गढ़ जाएगा।

प्रश्न 2.
उत्प्लावकता से आप क्या समझते हैं?
उत्तर:
उत्प्लावकता- किसी द्रव का वह गुण जिसके कारण वह द्रव में छोड़ी गई किसी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है, उत्प्लावकता’ कहलाता है।

प्रश्न 3.
पानी की सतह पर रखने पर कोई वस्तु क्यों तैरती या डूबती है?
उत्तर:
जब किसी वस्तु को पानी की सतह पर रखा जाता है तो उस वस्तु पर दो बल कार्य करते हैं- प्रथम वस्तु पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल (वस्तु का भार) नीचे की ओर तथा द्वितीय वस्तु पर पानी का उत्प्लावन बल ऊपर की और।
किसी वस्तु का पानी में डूबना या तैरना उपर्युक्त दोनों बलों के आपेक्षिक मानों पर निर्भर करता है।

• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल से अधिक है तो वस्तु पानी में डूब जाएगी।
• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल से कम है तो वस्तु पानी में तैरेगी।
• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल के बराबर है तो वस्तु पानी में पूरी डूबकर तैरती रहेगी।

किसी वस्तु के जल में तैरने या डूबने का ज्ञान उस वस्तु के घनत्व से प्राप्त किया जा सकता है। यदि वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से कम है तो वह वस्तु जल में तैरेगी। इसके विपरीत यदि वस्तु का घनत्व, जल के घनत्व से अधिक है तो वह वस्तु जल में डूब जाएगी।

क्रियाकलाप 10.7. (पा.पु. पू. सं. 157)
एक पत्थर के टुकड़े को किसी कमानीदार तुला या रबड़ की डोरी के एक सिरे से बाँधकर लटकाएँ (चित्र 10.5 a) पत्थर के भार के कारण रबड़ की डोरी की लम्बाई में वृद्धि या कमानीदार तुला का पाठ्यांक नोट कीजिए। अब पत्थर को पानी से भरे एक बर्तन में डुबोइए (चित्र 10.5 b) डोरी की लम्बाई या तुला की माप में हुए परिवर्तन को नोट कीजिए।

आप देखेंगे कि पानी में डुबाने पर डोरी की लम्बाई या तुला के पाठ्यांक में कमी आती है। यह कमी पत्थर द्वारा हटाए गए पानी के भार के बराबर होगी।

“जब किसी वस्तु को किसी तरल में पूर्ण या आंशिक रूप में डुबोया जाता है तो वह ऊपर की दिशा में एक बल का अनुभव करती हैं जो वस्तु द्वारा हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है। इसे आर्किमिडीज का सिद्धान्त कहते हैं।”

आर्किमिडीज के सिद्धान्त के बहुत से अनुप्रयोग हैं। यह जलयानों तथा पनडुब्बियों के डिजाइन बनाने में काम आता हैं। हाइड्रोमीटर तथा दुग्धमापी भी इसी सिद्धान्त पर आधारित हैं।

प्रश्न 1.
पनडुब्बियां किस सिद्धान्त पर कार्य करती हैं?
उत्तर:
आर्किमिडीज के सिद्धान्त पर

प्रश्न 2.
आर्किमिडीज का सिद्धान्त क्या है?
उत्तर:
जब किसी वस्तु को पूर्ण या आंशिक रूप से द्रव में डुबोया जाता है तो वह ऊपर की ओर एक बल का अनुभव करती है, जो उस वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है।

खण्ड 10.6 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 158)

प्रश्न 1.
एक तुला पर आप अपना द्रव्यमान 42 किग्रा नोट करते हैं। क्या आपका द्रव्यमान 42 किग्रा से अधिक है या कम?
उत्तर:
चूँकि हम किसी वस्तु का द्रव्यमान वायु में मापते हैं; अतः वायु की उत्प्लावकता के कारण तुला का पाठ्यांक सदैव ही वस्तु के वास्तविक द्रव्यमान से कम होता है। अतः हमारा वास्तविक द्रव्यमान 42 किग्रा से अधिक होगा, यद्यपि यह अन्तर अत्यन्त कम होगा।

प्रश्न 2.
आपके पास एक रुई का बोरा तथा एक लोहे की छड़ है। तुला पर मापने पर दोनों 100 किग्रा द्रव्यमान दर्शाते हैं। वास्तविकता में एक दूसरे से भारी है। क्या आप बता सकते हैं कि कौन-सा भारी है और क्यों?
उत्तर:
वायु की उत्प्लावकता के कारण तुला दोनों का ही द्रव्यमान कम मापती है। चूँकि समान द्रव्यमान की रुई का आयतन लोहे की तुलना में अधिक है। अतः रुई पर उत्प्लावकता का प्रभाव अधिक होगा अर्थात् रुई के वास्तविक द्रव्यमान तथा प्रेक्षित द्रव्यमान में अन्तर लोहे के वास्तविक तथा प्रेक्षित द्रव्यमानों में अन्तर की तुलना में अधिक होगा। अतः रुई का वास्तविक द्रव्यमान लोहे के वास्तविक द्रव्यमान से अधिक होगा। अर्थात् रुई लोहे की तुलना में भारी होगी।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी :
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
हल:
(i) लंम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सेमी तथा ऊँचाई (h) = 7 सेमी।
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^2 \times 7\) घन सेमी
= 264 घन सेमी।
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 264 घन सेमी।

(ii) लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी
= \(\frac{7}{2}\) सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12\) घन सेमी
= 154 घन सेमी
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन = 154 घन सेमी।

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी:
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊंचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 13 सेमी है।
हल:
(i) यहाँ, r = 7 सेमी और l = 25 सेमी
माना शंकु की ऊँचाई h सेमी है, तब
∴ l² = h² + r²
h² = l² – r² = 25² – 7²
= 625 – 49
= 576
∴ h = \(\sqrt{576}\) = 24 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24\right)\) सेमी³
= 1232 सेमी³
∴ बर्तन की धारिता (लीटर में)
= \(\left(\frac{1232}{1000}\right)\) लीटर = 1.232 लीटर।

(ii) यहाँ h= 12 सेमी और l = 13 सेमी
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
तब, r² = l² – h² = 13² – 12²
= 169 – 144 = 25
⇒ r = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12\right)\) सेमी³
= \(\frac{2200}{7}\) सेमी³
∴ लीटर में बर्तन की धारिता (आयतन) = \(\left(\frac{2200}{7} \times \frac{1}{1000}\right)\) लीटर
(∵ 1000 घन सेमी = 1 लीटर)
= \(\frac{11}{35}\) लीटर।

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल:
यहाँ, h = 15 सेमी और आयतन = 1570 सेमी³
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
आयतन = 1570 सेमी³
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570
\(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
r² = \(\frac{1570}{3.14 \times 5}\) = 100
∴ r = \(\sqrt{100}\) = 10
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 4.
यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48π सेमी है। इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
शंकु की ऊँचाई (h) = 9 सेमी
शंकु का आयतन = 48π सेमी³
\(\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\) = 48π सेमी³
\(\frac{1}{3}\) × πr² × 9 = 48π
r² = \(\frac{48 \pi \times 3}{\pi \times 9}\) सेमी²
= 16 सेमी²
∴ r = \(\sqrt{16}\) सेमी = 4 सेमी
⇒ 2r = 2 × 4 सेमी = 8 सेमी
अंतः शंकु के आधार का व्यास 8 सेमी।

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्डा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है ?
हल:
गड्ढे का ऊपरी व्यास = 3.5 मीटर
∴ गड्ढे की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मीटर
= \(\frac{35}{2 \times 10}\) मीटर = \(\frac{7}{4}\) मीटर
गड्ढे की ऊँचाई (h) = 12 मीटर
∴ गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12\) मीटर³ = \(\frac{154}{4}\) मीटर³
∵ 1 मी = 1000 लीटर = 1 किलो लीटर
∴ 38.5 मी³ = 38.5 किलो लीटर
अतः गढ्ढे की धारिता = 38.5 किलो लीटर

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) शंकु की ऊंचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) शंकु के आधार का व्यास 28 सेमी
∴ त्रिज्या = r = \(\frac{28}{2}\) सेमी
= 14 सेमी
शंकु का आयतन = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
⇒ h = \(\frac{9856 \times 3 \times 7}{22 \times 14 \times 14}\)
= 48 सेमी
अतः शंकु की ऊँचाई = 48 सेमी।

(ii) माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है, तब
l² = h² + r²
= 48² + 14²
= 2304 + 196 = 2500
∴ l = \(\sqrt{2500}\) = 50 सेमी
अतः शंकु की तिर्यक् ऊँचाई = 50 सेमी

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50
= 2,200 सेमी²।

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ ΔABC को 12 सेमी वाली भुजा AB के परित: घुमाए जाने पर प्राप्त निम्नलिखित शंक्वाकार ठोस आकृति प्राप्त होती हैं जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई AB = 12 सेमी
और शंकु की त्रिज्या CB = शंकु की दूसरी भुजा
= 5 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × (5)² × 12
= 100π घन सेमी।
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 100π घन सेमी।

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
…. ΔABC को 5 सेमी वाले भुजा के परितः घुमाए जाने पर निम्नांकित शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई (h) = 5 सेमी
और आधार की त्रिज्या (r) = दूसरी भुजा
= 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
\(\frac{1}{3}\) × π × (12)² × 5 घन सेमी
= 240π घन सेमी
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 240π घन सेमी।
तब प्रश्न 7 व प्रश्न 8 से प्राप्त ठोसों के आयतनों का अनुपात
= 100π : 240π
= 5 : 12.

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है इसका ‘आयतन ज्ञात कीजिए। इस बेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाता है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
गेहूँ की ढेरी से बने शंकु की ऊँचाई (h) = = 3 मीटर
तथा आधार का व्यास = 10.5 मीटर = \(\frac{21}{2}\) मीटर
∴ आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}=\frac{21}{4}\) मीटर
∴ गेहूँ की ढेरी (शंकु) का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr2h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\) घन मीटर
= \(\frac{693}{8}\) घन मीटर
= 86.625 घन मीटर।

∴ ढेरी को ढकने के लिए आवश्यक केनवास = गेहूँ की ढेरी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.05\)
= 99.825 वर्ग मीटर
अत: गेहूँ की ढेरी (शंकु) को ढकने के लिए आवश्यक केनवास का क्षेत्रफल
= 99.825 वर्ग मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बेर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 सेमी³ = 1 लीटर)
हल:
माना आधार की त्रिज्या r सेमी और बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h सेमी है।
आधार की परिधि = 132 सेमी
⇒ 2πr = 132
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
r = \(\left(\frac{132 \times 7}{2 \times 22}\right)\) सेमी = 21 सेमी
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr²h
= (\(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 25 ) सेमी³
= 34650 सेमी³
∴ पात्र में जल आ सकता है = \(\left(\frac{34650}{1000}\right)\) लीटर
= 34.65 लीटर जल।

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 सेमी³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल:
पाइप का आन्तरिक व्यास = 24 सेमी
∴ आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = \(\frac{24}{2}\) सेमी = 12 सेमी
पाइप का बाहरी व्यास = 28 सेमी
∴ बाहरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{28}{2}\) सेमी = 14 सेमी
तथा पाइप की ऊँचाई (h) = 35 सेमी
प्रयुक्त लकड़ी का आतयन = पाईप का बाहरी आयतन – पाईप का भीतरी आवतन
= πr₂²h – πr₁²h
= πh (r₂² – r₁²)
= πh (r₂ – r₁)(r₂ + r₁)
= \(\frac{22}{7}\) × 35(14 – 12)(14 + 12)
= 22 × 5 × 2 × 26 = 5720 सेमी³
∴ लकड़ी की आयतन = (21560 – 15840) सेमी³
= 5720 सेमी³
∵ 1 सेमी³ लकड़ी की द्रव्यमान = 0.6 ग्राम
∴ 5720 सेमी लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 g
= 3432 ग्राम
= \(\frac{3432}{1000}\) किग्रा = 3.432 किग्रा।
(∵ 1000 ग्राम = 1 किग्रा)

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है: (i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊंचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊंचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
हल:
(i) टीन के डिब्बे की लम्बाई (l) = 5 सेमी
चौड़ाई (b) = 4 सेमी और ऊँचाई (h) = 15 सेमी
∴ टीन के डिब्बे का आयतन = lbh
= 5 × 4 × 15 घन सेमी
= 300 घन सेमी
∴ टीन के डिब्बे की धारिता = 300 घन सेमी

(ii) वृत्तीय आधार वाले डिब्बे का व्यास = 7 सेमी
∴ वृत्तीय आधार वाले डिब्बे की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\)सेमी
डिब्बे की ऊँचाई (h’) = 10 सेमी
∴ बेलनाकार डिब्बे का आयतन = πr²h’
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10\) घन सेमी
= 385 घन सेमी
∴ बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 385 घन सेमी।
अतः स्पष्ट है कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 385 – 300 = 85 घन सेमी अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी² है और उसकी ऊंचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल:
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 सेमी²
(i) 2πrh = 94.2 सेमी²
⇒ 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2
⇒ r = \(\frac{94.2}{2 \times 3.14 \times 5}\) सेमी
∴ आधार की त्रिज्या = 3 सेमी।

(ii) बेलन का आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 सेमी³
= 141.3 सेमी³।

प्रश्न 5.
10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय ₹ 2,200 है। यदि पेंट कराने की दर ₹20 प्रति मीटर है, तो निम्न ज्ञात कीजिए:
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
हल:
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) माना वर्तन के आधार की त्रिज्या = r मीटर
और ऊँचाई = h मीटर
∴ 2πrh = 110
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
r = \(\frac{110 \times 7}{2 \times 22 \times 10}=\frac{7}{4}\) = 1.75
अतः बर्तन के आधार की त्रिज्या = 1.75 मीटर

(iii) बर्तन की धारिता = πr²h
= \(\left(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 10\right)\) मीटर³
= 96.25 मीटर³।

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 मी वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ?
हल:
बेलनाकार बर्तन की धारिता = 15.4 लीटर
= \(\left(15.4 \times \frac{1}{1000}\right)\) मीटर³
= 0.0154 मीटर³
माना आधार की त्रिज्या मीटर और बर्तन की ऊँचाई h मीटर है, तब
आयतन = πr²h = πr² × 1 = πr²
[∵ h = 1 मीटर]
⇒ πr² = 0.0154
⇒ \(\frac{22}{7}\) × r² = 0.0154
⇒ r² = \(\frac{0.0154 \times 7}{22}\)
= 0.0049
∴ r = \(\sqrt{0.0049}\) = 0.07 मीटर
इस प्रकार, बर्तन के आधार की त्रिज्या = 0.07 मीटर
वर्तन के निर्माण के लिए आवश्यक धातु की शीट = बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + πr2 = 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07 (1 + 0.07) मीटर2
= 44 × 0.01 × 1.07 मीटर2
= 0.4708 मीटर2

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
ग्रेफाइट का व्यास = 1 मिमी
ग्रेफाइट की त्रिज्या (r) = \(\frac{1}{2}\) मिमी
= \(\frac{1}{2 \times 10}\) सेमी = \(\frac{1}{20}\) सेमी
और ग्रेफाइट की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
∴ ग्रेफाइट का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{20} \times \frac{1}{20} \times 14\) सेमी³
= \(\frac{11}{110}\) सेमी³ = 0.11 सेमी³
पेंसिल का व्यास = 7 मिमी
∴ पेंसिल की त्रिज्या (R) = \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{7}{20}\) सेमी
तथा पेंसिल की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
∴ पेंसिल का आयतन = πR²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{20} \times \frac{7}{20} \times 14\) सेमी³
= \(\frac{539}{100}\) सेमी³ = 5.39 सेमी²
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) सेमी³ = 5.28 सेमी³।

प्रश्न 8.
एक अस्पताल के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि कटोरा सूप से 4 सेमी ऊंचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल:
बर्तन का व्यास = 7 सेमी
बर्तन की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) सेमी
बर्तन में सूप की ऊँचाई (h) = 4 सेमी
बर्तन में सूप का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4\) सेमी³
= 22 × 7 सेमी³ = 154 सेमी³
अस्पताल में दिए जाने वाले सूप की मात्रा = एक रोगी को प्राप्त सूप × रोगियों की संख्या
= 154 × 250 = 38500 घन सेमी.
(∵ 1000 घन सेमी = 1 लीटर)
= \(\frac{38500}{1000}\) ली. = 38.5 ली.।