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Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक।
(ii) -37, -33, -29, …, 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots 11\) पदों तक।
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढी = 2, 7, 12, ….. 10 पदों तक
प्रथम पद a = 2 तथा सार्वअन्तर d = 7 – 2 = 5
पदों की संख्या n = 10
n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{5}\)[2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5[4 + 9 × 5]
= 5[4 + 45] = 5 × 49 = 245
अतः 10 पदों तक योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी = -37, -33, -29, …, 12 पदों तक
प्रथम पद a = -37
तथा सार्वअन्तर d = – 33 – (-37) = 4
और पदों की संख्या n = 12
∵ n पदों तक योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × (-37) + (12 – 1) × 4)
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30) = -180
अतः 12 पदों तक योग = -180

(iii) दी गई समान्तर श्रेढी = 0.6, 1.7, 2.8, …. 100
पदों तक
प्रथम पद a = 0.6
सार्वअन्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1
और पदों की संख्या n = 100
n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\)[2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
अतः 100 पदों तक योग = 5505

(iv) दी गई समान्तर श्रेढी = \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11\) पदों तक

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
(ii) 34 + 32 + 30 +…+ 10
(iii) -5 + (8) + (11) +…+ (-230)
हल:
(1) दिया गया है,
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84.
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद a = 7
सार्वअन्तर d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7
= \(\frac{21}{2}-7=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
दिया है, nवाँ पद a_n = 84
a + (n – 1)d = 84

∴ अनुक्रम में 23 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l) से
∴ 23 पदों का योगफल
⇒ S₂₃ = \(\frac{23}{2}\)(7 + 84)
= \(\frac{23}{2}\) × 91 = \(\frac{2093}{2}\)
= 1046\(\frac{1}{2}\)
अतः 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…+ 84 = 1046\(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया है: 34 + 32 + 30 + … + 10
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ प्रथम पद = 34
और सार्वअन्तर d = 32 – 34 = -2
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
nवाँ पद a_n = 10
⇒ a + (n – 1)d = 10
⇒ 34 + (n – 1) × (-2) = 10
⇒ (n – 1) × (-2) = 10 – 34 = -24
⇒ (n – 1) = \(\frac{-24}{-2}\) = 12
⇒ n = 13
∴ अनुक्रम में कुल 13 पद हैं।
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
13 पदों का योग S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) = (34 + 10)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
अत: 34 + 32 + 30 + … + 10 = 286

(iii) दिया गया है:
– 5 + (-8) + (-11) + … + (-230) स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = -5
तथा सार्वअन्तर d = (-8) – (-5)
= – 8 + 5 = -3
यदि अनुक्रम में पदों की संख्या n हो, तो
अनुक्रम का nवाँ पद a_n = -230
⇒ a + (n – 1)d = -230
⇒ -5 + (n – 1) × – 3 = -230
⇒ 5 + (n – 1)3 = 230
⇒ (n – 1)3 = 230 – 5 = 225
(n – 1) = \(\frac{225}{3}\) =75
∴ n = 75 + 1 = 76
तब n पदों तक योगफल
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 76 पदों तक योगफल
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)]
= \(\frac{76}{2}\) × (-235)
= 38 × (-235) = -8930
अत: -5 + (-8) + (-11) + … + (-230)
= -8930

प्रश्न 3.
एक A. P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S_n = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया है,
a = 5, d = 3 और अन्तिम पद (a_n) = 50
∵ अनुक्रम A. P. है और a_n = 50
⇒ a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1)3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50 ⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
∴ n = \(\frac{48}{3}\) = 16
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{16}{2}\)(5 + 50) = 8 × 55 = 440
अत: n = 16 तथा S_n = 440

(ii) दिया है: a = 7, a₁₃ = 35
a + (n – 1)d = 35
⇒ 7 + (13 – 1)d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
सूत्र : S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से
अब S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35]
⇒ S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
अतः d = \(\frac{7}{3}\) तथा S₁₃ = 273

(iii) दिया है: a₁₂ = 37, d = 3
∵ a₁₂ = 37
a + (n – 1)d = 37
⇒ a + (12 – 1)3 = 37
⇒ a = 37 – 33 = 4
अब S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]से]
S₁₂ = 6 × 41 = 246
अतः a = 4 तथा S₁₂ = 246

(iv) दिया है: a₃ = 15, S₁₀ = 125
∵ a₃ = 15
⇒ a + (3 – 1)d = 15
⇒ a + 2d = 15 ….(1)
∵ दिया है S₁₀ = 125
\(\frac{10}{2}\)[2a + (10 – 1)d] = 125
⇒ 5[2a + 9d] = 125
⇒ 2a + 9d = \(\frac{125}{5}\)
⇒ 2a + 9d = 25 …(2)
समीकरण (1) से, a = 15 – 2d ….(3)
a का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(15 – 2d) + 9d = 25
⇒ 30 – 4d + 9d = 25
⇒ 5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
d का मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 15 – 2(-1)
⇒ a = 15 + 2 = 17
अब a₁₀ = 17 + (10 – 1) (-1)
[∵ a_n = a + (n – 1)d]
= 17 – 9 = 8
अत: d = -1 और a₁₀ = 8

(v) दिया है: d = 5 और S₉ = 75
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∵ S₉ = \(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1)5]
⇒ 75 = \(\frac{9}{2}\)[2a + 8 × 5] [∵ S₉ = 75]
⇒ \(\frac{75 \times 2}{9}\) = 2a + 40

(vi) दिया है: a = 2, d = 8 और S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
90 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1)8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[4 + 8n – 8]
90 = \(\frac{n}{2}\)[8n – 4]
90 = \(\frac{n}{2}\) × 4(2n – 1)
90 = 2n(2n – 1)
\(\frac{90}{2}\) = n(2n – 1)
45 = 2n² – n
2n² – n – 45 = 0
2n² – (10 – 9) – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0
2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
n = 5 या –\(\frac{9}{2}\)
∵ n का मान सदैव धन पूर्णांक होता है।
∴ n = 5
तब a₅ = a + (5 – 1)d
= 2 + 4 × 8
= 2 + 32 = 34
अतः n = 5 तथा a_n = 34

(vii) दिया है: a = 8, a_n = 62
और S_n = 210
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + a_n)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\)(8 + 62)
⇒ 210 = \(\frac{n}{2}\) × 70
⇒ \(\frac{210 \times 2}{70}\) = 6
∵ a_n = 62
⇒ a + (n – 1)d = 62
⇒ 8 + (6 – 1)d = 62
⇒ 8 + 5d = 62
⇒ 5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{2}\)
अत: n = 6 तथा d = \(\frac{54}{2}\)

(viii) दिया है: a_n = -4, d = 2 और S_n = -14
∵ a_n = 4
a + (n – 1)d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a + 2n = 6 …..(1)
∵ S_n = -14
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)2] = -14
n[a + n – 1] = – 14 ….(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n समीकरण (2) में a के
स्थान पर (6 – 2n) रखने पर,
n[6 – 2n + n – 1] = -14
∴ n[5 – n] = – 14
⇒ 5n – n² = -14
⇒ n² – 5n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = – 2
n का मान सदैव धनपूर्णांक होता है। इसलिए n = 7
तब a = 6 – 2n
= 6 – (2 × 7)
= 6 – 14 = -8
अतः a = -8 तथा n = 7

(ix) a = 3, n = 8 और S_n = 192
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
परन्तु S_n = 192
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 192
⇒ \(\frac{8}{2}\)[2 × 3 + (8 – 1)d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
∴ d = \(\frac{168}{28}\) = 6
अतः d = 6

(x) दिया है: l = 28, S_n = 144 और कुल पदं n = 9
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
144 = \(\frac{9}{2}\)[a + 28]
288 = 9[a + 28]
288 = 9a + 252
9a = 288 – 252
9a = 36
∴ a = 4
अतः a = 4

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A. P. : 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए ?
हल:
दी गई A. P.: 9, 17, 25, …
प्रथम पद a = 9 सार्वअन्तर d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है।
S_n = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[18 + 8n – 8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\)[8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n² + 5n = 636
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53 ) -12(4n + 53 ) = 0
⇒ (4n + 53 ) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या –\(\frac{53}{4}\)
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः n = –\(\frac{53}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ n = 12
अतः दी गई A.P के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A. P का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, प्रथम पद a = 5,
अन्तिम पद l = a_n = 45
और S_n = 400
∵ a_n = 45
a + (n – 1)d = 45
⇒ 5 + (n – 1)d = 45
⇒ (n – 1)d = 45 – 5
⇒ (n – 1)d = 40 ….(1)
और S_n = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + l] = 400
⇒ \(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
∴ n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(16 – 1)d = 40
⇒ 15d = 40
∴ d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अत: n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A. P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल:
दिया है,
प्रथम पद a = 17
अन्तिम पद l = a_n = 350
और सार्वअन्तर d = 9
∵ a_n = 350
a + (n – 1)d = 350
⇒ 17 + (n – 1)9 = 350
⇒ 9(n – 1) = 350 – 17 = 333
⇒ n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{38}{2}\)(17 + 350)
= 19 × 367 = 6973
अतः n = 38 और पदों का योग (S_n) = 6973

प्रश्न 7.
उस A. P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
d = 7, n = 22
∵ 22वाँ पद a₂₂ = 149
⇒ a + (22 – 1)d = 149
⇒ a + 21 × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
∴ a = 149 – 147 = 2
तब प्रथम 22 पदों का योग
S₂₂ = \(\frac{n}{2}\)(a + l) = \(\frac{22}{2}\)(2 + 149)
= 11 × 151 = 1661
अतः दी गई A.P के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

प्रश्न 8.
उस A. P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
A.P का दूसरा पद a₂ = 14
तथा तीसरा पद a₃ = 18
∴ सार्वअन्तर d = a₃ – a₂ = 18 – 14 = 4
∵ दूसरा पद = 14
∴ a + d = 14
⇒ a + 4 = 14
⇒ a = 14 – 4
⇒ a = 10
∵ a = 10, d = 4
तब n पदों का योग S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1)4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 +200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
अतः दी गई A.P के प्रथम 51 पदों का योग = 5610

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A.P का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।.
∵ प्रथम 7 पदों का योग
S₇ = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d] = 49
[∵ सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] से]
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d ) = 49
⇒ a + 3d = \(\frac{49}{7}\)
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d …(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2a + 16d] = \(\frac{289}{17}\)
⇒ a + 8d = 17
a का मान समीकरण (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × [2n] = n × n = n²
अतः दी गई A.P. के प्रथम n पदों का योग n² है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए किa₁, a₂, …, a_n, … से एक A. P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) a_n = 3 + 4n,
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है, a_n = 3 + 4n …(1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 3 + 4 (1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 15, …
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 4
अतः अनुक्रम 7, 11, 15, …. है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70 = 15 × 35 = 525
∴ S₁₅ = 525

(ii) दिया है कि a_n = 9 – 5n …. (1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a₁ = 9 – 5(1) = 4
a₂ = 9 – 5(2) = -1
a₃ = 9 – 5(3) = -6
सार्वअन्तर (d) = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = -5
और a₃ – a₂ = – 6 + 1 = -5
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -5
अतः अनुक्रम 4, -1, -6 … है।
और दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 4, d = – 5 और n = 15
तब प्रथम 15 पदों का योगफल ज्ञात करना है।
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2 × 4 + (15 – 1) × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 + 14 × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70]
\(\frac{15}{2}\) × (-62) = 15 × (-31) = -465
अत: S₁₅ = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार, तीसरे 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A.P के प्रथम n पदों का योगफल
S_n = 4n – n²
n = 1 रखने पर,
S₁ = 4 × 1 – 1²= 3
∴ प्रथम पद a₁ = S₁ = 3
n = 2 रखने पर,
S₂ = 4 × 2 – 2² = 8 – 4 = 4
द्वितीय पद a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
n = 3 रखने पर,
S₃ = 4 × 3 – 3² = 12 – 9 = 3
∴ तीसरा पद a₃ = S₃ – S₂
[∵ a_n = S_n – S_n-1]
= 3 – 4 = -1
n = 9 रखने पर,
S₉ = 4 × 9 – 9² = 36 – 81 = -45
∴ 10 रखने पर
S₁₀ = 4 × 10 – 10²
= 40 – 100 = -60
n = 10वीं पद a₁₀ = S₁₀ – S₉
= -60 – (-45)
= -60 + 45 = -15
∵ S_n = 4n – n²
और S_n-1 = 4 (n – 1) – (n – 1)²
= (n – 1) {4 – n + 1}
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n² – 5 + n
= 6n – n² – 5
अब a_n = S_n – S_n-1
= (4n – n²) – (6 – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
= 5 – 2n
अतः S₁ =3
प्रथम दो पदों का योग S₂ = 4
दूसरा पद a₂ = 1
तीसरा पद a₃ = -1
10वीं पद a₁₀ = -15
तथा n वाँ पद a_n = 5 – 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांकों की सूची :
6, 12, 18, 24, 30, …. 40 पदों तक
प्रथम पद a = 6 तथा सार्वअन्तर d = 12 – 6 = 6, n = 40
∵ प्रथम n पदों का योगफल S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ प्रथम 40 पदों का योगफल
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\)[2 × 6 + (40 – 1)6]
= 20[12 + 39 × 6]
= 20[12 + 234]
= 20 × 246 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के प्रथम 15 गुणजों की सूची :
8, 16, 24, 32… 15 पदों तक
∴ S = 8 + 16 + 24 + 32 + … + 120
= 8[1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15]
= 8 [\(\frac{15}{2}\)(1 + 15)] [सूत्र: S_n = [\(\frac{n}{2}\)(a + l)से]
= 8[\(\frac{15}{2}\) × 16]
= 8 × 120 = 960
अतः 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं की सूची:
1, 3, 5, 7, …., 49
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
∵ a_n = 49
∴ a(n – 1)d = 49
⇒ 1 + (n – 1)2 = 49
⇒ (n – 1)2 = 48
⇒ (n – 1) = 24
∴ n = 25
A.P. 1, 3, 5, 7, …. का 25 पदों तक योगफल
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)[2 × 1 + (25 – 1) × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 24 × 2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300, इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
दिया है, पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है- ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अन्तर से बढ़ता जाता है :
∴ ₹ 200 ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350… यह एक समान्तर श्रेढी है।
प्रथम पद a = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुमनि की राशि = S30
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₃₀ = \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 – 1)50]
= 15[400 + 1450] = 15(1850) = 27750
अतः यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहला पुरस्कार ₹ a है।
∴ दूसरा पुरस्कार a₂ = ₹ (a – 20)
तीसरा पुरस्कार a₃ = ₹ a – 20 – 20
= ₹ (a – 40)
∴ समान्तर श्रेढी a, (a – 20) (a – 40), … है।
यहाँ प्रथम पद = a, सार्वअन्तर d = (a – 20) – a = – 20
पदों की संख्या n = 7 तथा 7 पदों का योगफल S₇ = 700
तब, S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) (-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a + 6(-20)]
700 = \(\frac{7}{2}\)[2a – 120]
700 = \(\frac{7}{2}\)2(a – 60)
\(\frac{700}{7}\) = a – 60
a = 100 + 60
a = 160
पहला पुरस्कार = ₹ 160 शेष पुरस्कार क्रम से ₹20-20 कम हैं।
अतः पुरस्कार ₹ 160, ₹ 140 ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल:
प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 =3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 4 = 12
……………………………………………….
……………………………………………….
तब 3, 6, 9, 12, ……….. एक समान्तर श्रेढी बनती है।
यहाँ a = 3, सार्वअन्तर d = 6 – 3 = 3
तब कक्षा XII तक के कुल विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों का योगफल = S₁₂
∵ S_n= \(\frac{n}{2}\)[2a – (n – 1)d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6[6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या 234 होगी,

प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm… वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है ? (लीजिए π = \(\frac{22}{7}\))
हल:

पहले अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁ = 0.5 सेमी
दूसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₂ = 1.0 सेमी
तीसरे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₃ = 1.5 सेमी
चौथे अर्धवृत्त की त्रिज्या r₄ = 2.0 सेमी
………………………………………
………………………………………
13 वें अर्धवृत्त की त्रिज्या r₁₃ = ?
प्रथम पद (r₁) = r = 0.5 सेमी
सार्वअन्तर d = 1.0 – 0.5
= 0.5 सेमी
पदों की संख्या n = 13
∴ r₁₃ = r + (n – 1)d
= 0.5 + (13 – 1) × 0.5
⇒ r₁₃ = 0.5 + 12 × 0.5
= 0.5 + 6.0 = 6.5
∴ r₁₃ = 6.5 सेमी
इन अर्धवृत्तों की वृत्तीय परिधियाँ:
πr₁, πr₂, πr₃, …… πr₁₃
∴ 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की लम्बाई
= πr₁ + πr₂ + πr₃ + πr₄ +…. + πr₁₃
= π[r₁ + r₂ + r₃ + r₄ +…+ r₁₃]
= π[0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 +…+ 6.5]
= π[\(\frac{13}{2}\)(0.5 + 6.5)] [सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] से]
= π[\(\frac{13}{2}\) × 7.0] = \(\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7\) [π = \(\frac{22}{7}\)]
= 143
अतः सर्पिल की लम्बाई = 143 सेमी

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को णेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?

हल:
यहाँ S_n = 200, a₁ = 20, a₂ = 19, a₃ = 18
d = 19 – 20 = 18 – 19 = -1
माना पंक्तियों की संख्या = n
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) × d]
200 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 20 + (n – 1) × – 1]
⇒ 400 = n (40 – n + 1)
⇒ 400 = n(41 – n)
⇒ 400 = 41n – n²
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25)(n – 16) = 0
∴ n = 25 या n = 16
अतः पंक्तियों की संख्या 25 या 16 होगी।
Q₂₅ = a + (n – 1)d
= 20 + (24) × (-1) = -4, जो कि सम्भव नहीं है।
Q₁₆ = a + (n – 1)d
= 20 + 15 × (-1) = 20 – 15 = 5
अतः 16 पंक्तियाँ है तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे रखे गये हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल:
पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 मीटर
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3) = 8 मीटर
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 मीटर
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 मीटर
∵ एक बार बाल्टी से चलकर आलू को उठाना पड़ता है और उसे फिर बाल्टी में वापस डालना पड़ता है।
∴ पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 5 = 10 मीटर
उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 मीटर
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 8 = 16 मीटर
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 11 = 22 मीटर
चौथा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 × 14 = 28 मीटर
और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A. P. बन जाती है।
10 मी., 16 मी., 22 मी., 28 मी., …… 10 पदों तक
∴ a = 10
d = 16 – 10 = 6
n = 10
प्रतियोगी को कुल दूरी दौड़नी पड़ेगी = S₁₀
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5[20 + 9 × 6] = 5[20 + 54]
= 5 × 74 = 370 मीटर
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी = 370 मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
x² – \(\frac{7}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) = 0
[प्रत्येक पद में x² के गुणांक से भाग देने पर]
\(\left[x^2-\frac{7}{2} x\right]+\frac{3}{2}=0\)
[वह भाग जिसे पूर्ण वर्ग बनाना है, अलग करने पर]
\(x^2-\frac{7}{2} x=-\frac{3}{2}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर :

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

अत: अभीष्ट मूल 3 और \(\frac{1}{2}\) होंगे।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 4 = 0
2x² + x = 4
x² + \(\frac{1}{2}\)x = \(\frac{4}{2}\)
x के गुणांक \(\frac{1}{2}\) के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
⇒ 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x = -3
⇒ x² + \(\frac{4 \sqrt{3}}{4} x\) = \(-\frac{3}{4}\)
x² + \(\sqrt{3}\)x = \(-\frac{3}{4}\)
x के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर

x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अतः दी गई समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
x² + \(\frac{1}{2}\)x + 2 = 0
[प्रत्येक पद को 2 से भाग देने पर]

जो कि एक काल्पनिक संख्या है,
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।

प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 7 तथा c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः समीकरण के मूल 3, \(\frac{1}{2}\)

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है।
2x² + x – 4 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = – 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) होंगे।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = 4\(\sqrt{3}\), c = 3
श्रीधराचार्य सूत्र से,

\(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{8}\)
x = \(\frac{-4 \sqrt{3}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) है।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² + x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1, c = 4
श्रीधराचार्य सूत्र से,

∵ \(\sqrt{-31}\) एक काल्पनिक संख्या है।
अतः दिए गये समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) \(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
हल:
(i) दिया गया समीकरण है:
\(x-\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
⇒ \(\frac{x^2-1}{x}\) = 3
⇒ x² – 1 = 3x [वज्रगुणन से]
⇒ x² – 3x – 1 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -3 तथा c = -1
द्विघात सूत्र से,

(ii) दिया गया समीकरण है:

[दोनों पक्षों को 11 से भाग देने पर]
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2)
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
या तो x – 2 = 0 या फिर x – 1 = 0
जब x – 2 = 0 तो x = 2
जब x – 1 = 0 तो x = 1
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और 2 है ।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac{1}{3}\) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0, जो कि x में द्विघात है।
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 21
द्विघात सूत्र से

∵ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -3 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग 30 है।
तब अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x) अंक
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2) अंक मिलते और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3) या (27 – x) अंक मिलते तो अंकों का गुणनफल = (x + 2) (27 – x)
= 27x – x² + 54 – 2x
= 25x – x² + 54
परन्तु प्रश्नानुसार, अंकों का गुणनफल = 210
∴ 210 = 25x – x² + 54
⇒ x² – 25x – 54 + 210 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -25 तथा c = 156
द्विघात सूत्र से,

तब शेफाली ने गणित में या तो 13 अंक प्राप्त किए या फिर 12 अंक प्राप्त किए।
यदि उसने गणित में 12 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 12) = 18 अंक प्राप्त किए और यदि उसने गणित में 13 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 13) = 17 प्राप्त किए।
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकणं उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक आयताकार खेत की छोटी भुजा = AD = x मीटर

आयताकार खेत की लम्बी भुजा = AB = (x + 30) मीटर
और आयताकार खेत का विकर्ण = DB = (x + 60) मीटर
एक आयत में लम्बाई और चौड़ाई के बीच का कोण समकोण होता है।
∴ ∠DAB = 90°
समकोण त्रिभुज DAB में, पाइथागोरथ प्रमेय से,
(DB)² = (AD)² + (AB)²
(x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
⇒ x² + 3600 + 120x = x² + x² + 900 + 60x
⇒ x² + 3600 + 120x – x² – x² – 900 – 60x = 0
⇒ -x² + 60x + 2700 = 0
या, x² – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = -60, c = -2700
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\)
⇒ x = 90
स्थिति (II) ऋणात्मक चिह्न लेने पर
x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\)
⇒ x = -30
∴ x = 90 और -30
∵ किसी भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -30 को छोड़ देते हैं।
अत: x = 90 मीटर
आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा = (90 + 30) मीटर = 120 मीटर।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या = x
छोटी संख्या = y
प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
x² – y² = 180 …..(i)
प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
y² = 8x …..(ii)
समीकरण (ii) से y² का मान समीकरण (i) में रखने पर
x² – 8x = 180
= x² – 8x – 180 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 8, c = -180
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (I)-धनात्मक चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) = 18
स्थिति (II)-ऋणात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = -10
अतः x = 18 और -10
जब x = 18 हो, तो समीकरण (ii) से,
y² = 8 × 18 = 144
⇒ y = ±\(\sqrt{144}\)
⇒ y = ± 12
जब x = -10 हो, तो समीकरण (ii) से,
y2 = 8 × (-10)
⇒ y2 = -80
⇒ y = ±\(\sqrt{-80}\) (एक काल्पनिक संख्या)
इसे छोड़ देते हैं।
∴ y = +12
अर्थात् y = +12 और -12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 18 और 12 या 18, -12 होंगी।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/ घण्टा है।
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय

यदि रेलगाड़ी की चाल 5 किमी / घण्टा अधिक होती अर्थात् चाल = (x + 5) किमी/घण्टा
∴ समय = \(\frac{360}{x+5}\) घण्टा
यह समय पहले समय से 1 घण्टा कम है (दिया है)

इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 5 तथा c = – 1800
तब द्विघात सूत्र से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी / घण्टा।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac{3}{8}\) घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग-अलग हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = x घण्टे
कम व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय = (x + 10) घण्टे
बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x}\) भाग
छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज का 1 घण्टे में भरा गया भाग = \(\frac{1}{x+10}\) भाग
प्रश्नानुसार यदि दोनों नल एक साथ खुले हों तो 1 घण्टे में हौज भरेगा = \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}\right)\) भाग
दिया है, दोनों नल एक साथ हौज को भरने में 9\(\frac{3}{8}\) अर्थात् \(\frac{75}{8}\) घण्टे लेते हैं।

⇒ 150x + 750 = 8x² + 80x
⇒ 8x² + 80x – 150x – 750 = 0
⇒ 8x² – 70x – 750 = 0
⇒ 2(4x² – 35x – 375) = 0
⇒ 4x² – 35x – 375 = 0
इसकी तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 4, b = – 35, c = -375
द्विघात सूत्र से,

स्थिति (II)-ऋण चिह्न लेने पर,
x = \(\frac{35-85}{8}\)
= \(\frac{-50}{8}=\frac{-25}{4}\) घण्टे
∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
∴ x = \(\frac{-25}{4}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 15 घण्टे
अतः बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = 15 घण्टे
और छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लगा समय = (15 + 10) घण्टे
= 25 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बंगलौर के बीच की 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारीगाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारीगाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/ घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी / घण्टा है।
∵ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की औसत चाल की अपेक्षा 11 किमी/ घण्टा अधिक है।
∴ एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 11) किमी / घण्टा
तब 132 किमी यात्रा में सवारीगाड़ी द्वारा लिया गया

⇒ x² + 11x = 1452
⇒ x² + 11x – 1452 = 0
इस समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = 11, c = -1452
श्रीधराचार्य से,

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -44 अस्वीकार्य है।
अतः सवारीगाड़ी की औसत चाल = 33 किमी / घण्टा है।
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल (33 + 11) = 44 किमी / घण्टा है।

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना एक वर्ग की भुजा x मीटर है।
उस वर्ग का परिमाप = 4x मीटर
∵ दोनों परिमापों का अन्तर 24 मीटर है।
∴ दूसरे वर्ग का परिमाप = 4x + 24 मीटर
तब दूसरे वर्ग की भुजा = \(\frac{4 x+24}{4}\)
= \(\frac{4(x+6)}{4}\)
= (x + 6) मीटर
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² वर्ग मीटर
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (x + 6)² वर्ग मीटर
= x² + 12x + 36 वर्ग मीटर
∵ दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 वर्ग मीटर
∴ x² + (x² + 12x + 36) = 468
⇒ 2x² + 12x + 36 – 468 = 0
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ 2(x² + 6x – 216) = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18 ) (x – 12) = 0
जब x + 18 = 0 हो, तो x = -18
या फिर x – 12 = 0 हो, तो x = 12
वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इस कारण x = -18 को छोड़ने पर
∴ x = 12
छोटे वर्ग की भुजा = 12 मीटर
तथा बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 मीटर
अतः वर्गों की भुजाएँ क्रमश: 12 मीटर व 18 मीटर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
दी गई संख्याएँ = \(\frac{1}{2}\), 1, -2

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
अब p(1) = 2 (1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
∴ 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अब p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= 2 × -8 + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
∴ -2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = –\(\frac{1}{2}\)
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1 × (-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3 = –\(\frac{5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों की तुलना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से करने पर,
a = 2, b = 1, c = -5 और d = 2 यदि बहुपद के शून्यक α, β और γ हों तो,
शून्यकों का योग (α + β + γ) = –\(\frac{b}{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)
तथा αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(\frac{-2}{2}\) = -1
∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।

(ii) त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 दी गई संख्याएँ = 2, 1, 1
अब p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
अत: 2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
पुनः p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
अतः 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः स्पष्ट है कि बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक 2, 1 और 1 है।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 1 × 1 = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= ( 2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों की तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर a = 1, b = – 4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों, तो
शून्यकों का योग = (α + β + γ)
= \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}\) = 4
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग = (αβ + βγ + γα)
= \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}\) = 5
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(-\left(\frac{-2}{1}\right)\) = 2
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल:
माना बहुपद के शून्यक α, β और γ हों, तो
शून्यक का योग (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल αβγ = -14
∴ वांछित त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अतः अभीष्ट बहुपद x³ – 2x² – 7x + 14 है।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद x³ – 3x² + x + 1
दिए गए बहुपद की तुलना Ax³ + Bx² + Cx + D से करने पर A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1.
शून्यकों का योग = \(-\frac{B}{A}=-\left(\frac{-3}{1}\right)\) = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं।
∴ a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac{3}{3}\) = 1
शून्यकों का गुणनफल = \(-\frac{D}{A}=-\left(\frac{1}{1}\right)\) = -1
परन्तु शून्यकों का गुणनफल = (a – b) (a) (a + b)
= a(a² – b²)
तब a(a² – b²) = -1
∴ 1(1² – b²) = -1
⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 2 ⇒ b ± \(\sqrt{2}\)
अतः a = 1 और b ± \(\sqrt{2}\).

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt{3}\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि दो शून्यक (2 + \(\sqrt{3}\)) और (2 – \(\sqrt{3}\)) है।
∴ [x – (2 + \(\sqrt{3}\))] [x – (2 – \(\sqrt{3}\))]
= [(x – 2) – \(\sqrt{3}\)] [(x – 2) + \(\sqrt{3}\)]
= (x – 2)² – (\(\sqrt{3}\))2 = x² – 4x + 1
दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
पुन: x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 को x² – 4x + 1 से विभाजित करने पर

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर
∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1 ) [x² – (7 – 5)x – 35]
= (x² – 4x + 1 ) [x² – 7x + 5x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x(x – 7) + 5(x – 7)]
= (x² – 4x + 1)(x – 7)(x + 5)
अब बहुपद के अन्य शून्यकः
यदि x + 5 = 0 हो, तो x = -5
या फिर x – 7 = 0 हो, तो x = 7
अतः दिए गए चार घात वाले बहुपद के अन्य शून्यक -5 और 7 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k और a ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को x² – 2x + k से भाग देने पर शेषफल x + a आता है।

बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 = (x – 2x + k) [x² – 4x + (8 – k)] + [(-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
∴ भागफल = x² – 4x + (8 – k)
और शेषफल = (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
परन्तु शेषफल = x + a
∴ (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²) = x + a
समान गुणांकों की तुलना करने पर,
-9 + 2k = 1 तथा 10 – 8k + k² = a
या 2k = 1 + 9
या 2k = 10
या k = \(\frac{10}{2}\) = 5
अब k का मान 10 – 8k + k² = a में रखने पर,
10 – 8(5) + (5)² = a
या 10 – 40 + 25 = a
या -40 + 35 = a
या -5 = a
अर्थात् a = -5
अतः k = 5 और a = -5

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) \(\sqrt{2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है :
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – (5 – 2)x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यहाँ या तो (x – 5) = 0 या फिर (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0 हो तो x = 5 और
यदि x + 2 = 0 हो तो x = – 2
अतः द्विघात समीकरण के मूल 5 या -2 है।

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + (4 – 3)x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यहाँ या तो (x + 2) = 0 या फिर (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = -2
यदि 2x – 3 = 0 हो, तो
⇒ 2x = 3 या x = \(\frac{3}{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल – 2 या \(\frac{3}{2}\) है।

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है:
\(\sqrt{2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt{2}\) =0
\(\sqrt{2}\)x² + (5 + 2)x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
\(\sqrt{2}\)x² + 5x + 2x + 5\(\sqrt{2}\) = 0
x(\(\sqrt{2}\)x + 5) + \(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0
(\(\sqrt{2}\)x + 5) (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यहाँ या तो (\(\sqrt{2}\)x + 5) = 0 या फिर (x + \(\sqrt{2}\)) = 0
यदि \(\sqrt{2}\)x + 5 = 0 हो, तो
\(\sqrt{2}\)x – 5 ⇒ x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
यदि x + \(\sqrt{2}\) = 0 हो, तो x = –\(\sqrt{2}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\) या –\(\sqrt{2}\) होंगे।

(iv) दिया गया द्विघात समीकरण है:
2x² – x – \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ \(\frac{16 x^2-8 x+1}{8}\) = 0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
अर्थात् 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{1}{4}\) या \(\frac{1}{4}\) अर्थात् दोनों मूल समान होंगे।

(v) दिया गया द्विघात समीकरण है:
100x² – 20x + 1 = 0
100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
अर्थात् 10x – 1 = 0 या फिर 10x – 1 = 0
या 10x = 1 या 10x = 1
या x = \(\frac{1}{10}\) या x = \(\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होंगे।
∴ x = \(\frac{1}{10}\) और \(\frac{1}{10}\)

प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए:
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं। अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि प्रारम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे ?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में), 55 में से एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल:
(i) माना प्रारम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे थे।
∴ जीवंती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार,
जब जीवंती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष कंचों की संख्या
= (45 – x – 5) = (40 – x)
अब कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार,
-x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 200 – 124 = 0
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ -(x² – 45x + 324) = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – (36 + 9)x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324=0
⇒ x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
या तो x – 36 = 0 या फिर x – 9 = 0
यदि x – 36 = 0 तो x = 36
और यदि x – 9 = 0 तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9 तब स्पष्ट है कि
यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं, तो जीवंती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9)।

(ii) माना उस विशेष दिन x खिलौने निर्मित किए गए।
∴ प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
∴ उस दिन निर्मित सभी खिलौनों की लागत
= ₹ x(55 – x)
= ₹ (55x – x²)
परन्तु प्रश्नानुसार उस दिन की निर्माण लागत ₹ 750 थी।
⇒ 55x – x² = 750
⇒ 55x – x² – 750 = 0
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – (30 + 25)x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30 ) – 25 (x – 30 ) = 0
⇒ (x – 30) (x – 25) = 0
अर्थात् x – 30 = 0 या फिर x – 25 = 0
∴ x = 30 या x = 25
x = 30 और 25
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 या 25 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल:
माना कि पहली संख्या x है।
दिया है, दोनों संख्याओं का योग 27 है।
∴ दूसरी संख्या = 27 – x
दिया है, संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x)
= 27x – x²
प्रश्नानुसार, 27x – x² = 182
⇒ -x² – 27x – 182 = 0
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ (x – 13) – 14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13 ) (x – 14) = 0
अर्थात् या तो
x – 13 = 0 या फिर x – 14 = 0
∴ x = 13 या x = 14
∴ x = 13, 14
अतः दो संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना कि पहला धनात्मक पूर्णांक x है
तथा दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक (x + 1) होगा।
प्रश्नानुसार, (x²) + (x + 1 )² = 365
⇒ x² + x² + 1 + 2x = 365
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए x = -14 सम्भव नहीं है।
∴ x = 13
∴ दूसरा धनात्मक पूर्णांक = 13 + 1 = 14
अतः दो अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 है।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्णे 13 सेमी हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समकोण त्रिभुज का आधार = x सेमी
इसलिए, समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (x – 7 ) सेमी
दिया है, समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
(आधार)² + (लम्ब)² = (कर्ण)²
(x)² + (x – 7)² = (13)²
⇒ x² + x² + 49 – 14x = 169
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ 2[x² – 7x – 60] = 0
⇒ x² – 7x – 60= 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
∵ त्रिभुज की लम्बाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = -5 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 12
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 सेमी
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (12 – 7) सेमी 5 सेमी।
अतः त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 5 सेमी और 12 सेमी हैं।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
∵ प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी।
∴ प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹ x × (2x + 3)
= ₹ (2x² + 3x)
प्रश्नानुसार,
उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
∴ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + (15 – 12)x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
यदि 2x + 15 = 0 हो, तो 2x = -15 ⇒ x = –\(\frac{15}{2}\)
और यदि x – 6 = 0 हो, तो x = 6
∵ बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः x = –\(\frac{15}{2}\) को छोड़ देते हैं।
∴ x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6 + 3)
= ₹ (12 + 3) = 15
अतः निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Exercise 9.4

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
हल:
दिया है एक समान्तर चतुर्भुज ABCD और एक आयत ABEF समान आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल भी समान हैं।

सिद्ध करना है: समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आयत ABEF का परिमाप।
उपपत्ति: ∵ समान्तर चतुर्भुज और आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
∴ AB = DC …..(i)
[∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है]
तथा AB = EF …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
DC = EF [∵ ABEF एक आयत है।]
दोनों ओर AB को जोड़ने पर,
AB + DC = AB + EF ….. (iii)
∵ दी गई रेखा के किसी बिन्दु से खींचे जा सकने वाले सभी रेखा खण्ड इस पर स्थित नहीं है, अतः लम्ब खण्ड सबसे छोटा है।
∴ BE < BC तथा AF < AD
⇒ BC > BE तथा AD > AF
⇒ BC + AD > BE + AF …..(iv)
समीकरण (iii) व (iv) को जोड़ने पर
AB + DC + BC + AD > AB + EF + BE + AF
⇒ AB + BC + CD + DA > AB + BE + EF + FA
अत: समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आयत ABEF का परिमाप।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
आकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है। क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की ‘भूमिका’ में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है ?”

हल:
माना AL रेखा BC पर लम्ब है, अत: AL, ΔABD, ΔADE और ΔAEC की ऊँचाई है।

∴ ar (ΔABD) = \(\frac{1}{2}\) × BD × AL
ar (ΔADE) = \(\frac{1}{2}\) × DE × AL
और ar (ΔAEC) = \(\frac{1}{2}\) × EC × AL
⇒ BD = DE = EC
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔADE) = ar (ΔAEC)
हाँ, सभी त्रिभुजों की ऊँचाई समान है। बुधिया इस उत्तर द्वारा अपने खेत को तीन बराबर भागों में बाँट सकती है।

प्रश्न 3.
आकृति में ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ΔADE) = ar (ΔBCF)।

हल:
चूँकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। और ☐ABCD, ☐DCEF तथा ☐ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं।
∴ AD = BC
इसी प्रकार, DE = CF
और AE = BF
ΔADE ≅ ΔBCF (SSS नियम)
या ar (ΔADE) = ar (ΔBCF). इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
ar (ΔBPC) = ar (ΔDPQ).

हल:
A और C को मिलाया।
∵ ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर तथा समान समान्तर रेखाओं PC और AB के मध्य स्थित हैं।

∴ ar (ΔAPC) = ar (ΔBPC) …..(i)
∵ AD = CQ (दिया है)
∵ AD || BC (∵ ABCD समान्तर चतुर्भुज है)
तथा AD || CQ
∴ चतुर्भुज ADQC में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है।
∴ ADQC एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ AP = PQ और CP = DP
[∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं]
ΔAPC और ΔDPQ में,
∵ AP = PQ
∠APC = ∠DPQ [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं]
PC = PD [सिद्ध किया है]
∴ ΔAPC ≅ ΔDPQ (SAS नियम)
⇒ ar (ΔAPC) = ar (ΔDPQ)
∴ ar (ΔBPC) = ar (ΔDPQ), [∵ ar (ΔAPC) = ar (ΔBPC)] इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेदित करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
(ii) ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔBAE)
(iii) ar (ΔABC) = 2ar(ΔBEC)
(iv) ar (ΔBFE) = ar (ΔAFD)

(v) ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED).
(vi) ar (ΔFED) = \(\frac{1}{8}\)ar (ΔAFC).
हल:
दिया है दी गई आकृति ABC और ABDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्यबिन्दु है। रेखाखण्ड AE खींचा गया है जो BC को F पर प्रतिच्छेदित करता है।

सिद्ध करना है:
(i) ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
(ii) ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔBAE)
(iii) ar (ΔABC) = 2ar(ΔBEC)
(iv) ar (ΔBFE) = ar (ΔAFD)
(v) ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED).
(vi) ar (ΔFED) = \(\frac{1}{8}\)ar (ΔAFC).
रचना: रेखाखण्ड EC और AD खींचे।
उपपत्ति: (i) ∵ D, BC का मध्य- बिन्दु है।
∴ BD = DC या BD = \(\frac{1}{2}\)BC

तब समीकरण (1) व (2) से,
ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC).

(ii) ∵ ΔABC समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠ACB = 60°
और ΔBDE समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠DBE = 60° या ∠CBE = 60°
∴ ∠ACB और ∠CBE एकान्तर कोण हैं जो BE तथा AC को BC द्वारा काटने से बने हैं।
∴ BE || AC
∵ ΔBAE और ΔBEC समान आधार BE पर और समान समान्तर रेखाओं BE AC के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔBAE) = ar (ΔBEC) ……(3)
∵ D, BC का मध्यबिन्दु है।
∴ DE, ΔBEC की माध्यिका है।
∴ ar (ΔBDE) = ar (ΔDEC)
⇒ ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔBEC)
⇒ 2ar (ΔBDE) = ar (ΔBEC) ……(4)
समीकरण (3) व (4) से,
2 ar (ΔBDE) = ar (ΔBAE)
अतः ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔBAE).

(iii) समीकरण (4) से,
2 ar (ΔBDE) = ar (ΔBEC)
परन्तु परिणाम (i) से,
ar (ΔBDE) = \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
∴ 2 · \(\frac{1}{4}\) ar (ΔABC) = ar (ΔBEC)
या \(\frac{1}{2}\) ar (ΔABC) = ar (ΔBEC)
अत: \(\frac{1}{2}\) ar (ΔABC) = 2 ar (ΔBEC)

(iv) ∵ ΔBDE समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠BDE = 60°
और ΔABC समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠ABC = 60° या ∠ABD = 60°
∵ ∠BDE और ∠ABD एकान्तर कोण हैं जो AB और DE को BD के काटने से बने हैं।
∴ AB || DE
∵ ΔBDE और ΔADE एक ही आधार DE पर और समान समान्तर रेखाओं AB और DE के बीच बने हैं।
∴ ar (ΔBDE) = ar (ΔADE)
ar (ΔBFE) + ar (ΔFED) = ar (ΔFED) + ar (ΔAFD)
या ar (ΔBFE) = ar (ΔAFD).

(v) ∵ ΔABC की भुजा ΔBDE की भुजा से दो गुनी है।
∴ ΔABC की ऊँचाई भी ΔBDE की ऊँचाई से दो गुनी होगी।
∴ GE : AD = 1 : 2
यही अनुपात GF और FD में भी होगा, अत:
GF : FD = 1 : 2
परन्तु GD = BG = \(\frac{1}{4}\)BC
परन्तु GD = GF + FD
यदि GF = a तो FD = 2a होगा।
तब GD = a + 2a = 3a
तब BC = 2BD = 2(2BG)
= 4GB = 4GD = 4 × 3a = 12a
BG = GD = 3a ⇒ BD = 6a

(vi) ∵ परिणाम (iv) से,
ar (ΔAFD) = ar (ΔBFE)
और परिणाम (v) से,
ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED)
∴ ar (ΔAFD) = 2ar (ΔFED) ……(5)
∵ ar (ΔACD)= \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
= \(\frac{1}{2}\) · 4 ar (ΔBDE), परिणाम (i) से
= 2 ar (ΔBDE)
∴ ar (ΔACD) = 2 ar (ΔBDE) …..(6)
∵ ar (ΔBFE) = 2ar (ΔFED), परिणाम (v) से
दोनों ओर ar (ΔFED) जोड़ने पर,
ar (ΔBFE) + ar (ΔFED) = 3 ar (ΔFED)
या ar (ΔBDE) = 3 ar (ΔFED) …..(7)
समीकरण (6) व (7) से,
ar (ΔACD) = 2[3 ar (ΔFED)]
∴ ar (ΔACD) = 6ar (ΔFED) …..(8)
समीकरण (5) व (8) को जोड़ने पर,
ar (ΔAFD) + ar (ΔACD) = 8 ar (ΔFED)
∴ ar (ΔAFC) = 8 ar (ΔFED)
अतः ar (ΔFED) = \(\frac{1}{8}\)ar (ΔAFC).
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं दर्शाइए कि
ar (ΔAPB) × ar (ΔCPD) = ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC) है।
हल:
दिया है: ☐ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं।

सिद्ध करना है:
ar (ΔAPB) × ar (ΔCPD) = ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC)
रचना : A तथा C से BD पर क्रमश: AM तथा CN लम्ब डालें।
उपपत्ति: ar (ΔAPB) = \(\frac{1}{2}\)AM × BP …..(1)
ar (ΔAPD) = \(\frac{1}{2}\)AM × DP …..(2)
ar (ΔBPC) = \(\frac{1}{2}\)CN × BP …(3)
ar (ΔCPD) = \(\frac{1}{2}\)CN × DP ….. (4)
समीकरण (1) को (2) से भाग देने पर,

वज्रगुणन से,
ar (ΔAPB) × ar (ΔCPD) = ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC). इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि

(i) ar (ΔPRQ) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔARC)
(ii) ar (ΔRQC) = \(\frac{3}{8}\)ar (ΔABC)
(iii) ar (ΔPBQ) = ar (ΔARC).
हल:
P और Q क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य बिन्दु हैं। AQ और PC को मिलाया।
(i) ∵ ar (ΔPQR) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔAPQ),
[∵ QR, त्रिभुज APQ की माध्यिका है जो इसे समान क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में बाँटती है]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABQ)
[∵ QP, त्रिभुज ABQ की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABQ)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
[∵ AQ, त्रिभुज ABC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{8}\)ar (ΔABC) …..(i)
पुन:, ar (ΔARC) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔAPC)
[∵ CR, त्रिभुज APC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
[∵ CP त्रिभुज ABC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC) ……(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar (ΔPQR) = \(\frac{1}{8}\)ar (ΔABC)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
[∵ \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC) = ar (ΔARC)]
= \(\frac{1}{2}\)ar (ΔARC). इति सिद्धम्।

(ii) ar (ΔRQC) = ar (ΔRQA) + ar (ΔAQC) – ar (ΔARC) …..(iii)
अब ar (ΔRQA) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔPQA)
[∵ RQ, ΔPQA की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔAQB)
[∵ AQ, ΔAQB की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{4}\)ar (ΔAQB)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
[∵ AQ, ΔABC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{8}\)ar (ΔABC) …..(iv)
अतः ar (ΔAQC) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC) …..(v)
[∵ AQ, ΔABC की माध्यिका है]
⇒ ar(ΔARC) = \(\frac{1}{2}\)ar (ΔAPC)
[∵ CR, ΔAPC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar(ΔABC)
[∵ CP, ΔABC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC) …..(vi)
समीकरण (iii), (iv), (v) और (vi) से,
ar (ΔRQC) = \(\frac{1}{8}\)ar (ΔABC) + \(\frac{1}{2}\)ar (ΔABC) – \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
= \(\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)ar (ΔABC)
= \(\frac{3}{8}\)ar (ABC).
इति सिद्धम्।

(iii) ∵ ar (ΔPBQ) = ar (ΔABQ)
[∵ PQ, ΔABQ की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)ar (ΔABC)
[∵ AQ, ΔABC की माध्यिका है]
= \(\frac{1}{4}\)ar (ΔABC)
= ar (ΔARC) [समीकरण (vi) से]
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (☐BYXD) = 2 ar (ΔMBC)
(iii) ar (☐BYXD) = ar (☐ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar (☐CYXE) = 2 ar (ΔFCB)
(vi) ar (☐CYXE) = ar (☐ACFG)
(vii) ar (☐BCED) = ar (☐ABMN) + ar (ACFG).

हल:
(i) ΔMBC और ΔABD में,
∵ BC = BD [वर्ग BCED की भुजाएँ]
MB = AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ]
∠MBC = ∠ABD
[∵ प्रत्येक कोण = 90° + ∠ABC] (SAS नियम)
ΔMBC ≅ ΔABD. इति सिद्धम्।

(ii) ΔABD और आयत BYXD समान आधार BD पर और समान समान्तर रेखाओं BD और XY के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔABD) = \(\frac{1}{2}\)ar (☐BYXD)
लेकिन ΔMBC = ΔABD [भाग (i) से]
⇒ ar (ΔMBC) = ar (ΔABD)
∴ ar (ΔMBC) = ar (ΔABD)
= \(\frac{1}{2}\)ar (☐BYXD)
⇒ ar (☐BYXD) = 2ar (ΔMBC). इति सिद्धम्।

(iii) वर्ग ABMN और ΔMBC समान आधार MB पर और समान समान्तर रेखाओं MB और NAC के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔMBC) = \(\frac{1}{2}\)ar(☐ABMN)
ar (☐ABMN) = 2 ar (ΔMBC)
ar (☐ABMN) = ar (☐BYXD). [भाग (ii) से]
इति सिद्धम्।

(iv) ΔACE और ΔBCF में,
CE = BC [वर्ग BCED की भुजाएँ]
AC = CF [वर्ग ACFG की भुजाएँ]
और ∠ACE = ∠BCF [∵ प्रत्येक 90° + ∠BCA]
∴ ΔACE ≅ ΔBCF. (SAS नियम) इति सिद्धम्।

(v) ΔACE और आयत CYXE समान आधार CE पर और समान समान्तर रेखाओं CE और AYX के बीच स्थित हैं।
ar (ΔACE) = \(\frac{1}{2}\)ar (☐CYXE)
⇒ ar (ΔFCB) = \(\frac{1}{2}\)ar (☐CYXE)
[∵ ΔACE ≅ ΔBCF, भाग (iv) से]
⇒ ar (☐CYXE) = 2ar (ΔFCB). इति सिद्धम्।

(vi) वर्ग ACFG और ΔBCF समान आधार CF पर और समान समान्तर रेखाओं CF और BAG के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (ΔBCF) = \(\frac{1}{2}\)ar (☐ACFG)
⇒ \(\frac{1}{2}\)ar (☐CYXE) = \(\frac{1}{2}\)ar (☐ACFG) [भाग (v) से]
⇒ ar (☐CYXE) = ar (☐ACFG). इति सिद्धम्।

(vii) भाग (iii) और (vi) से,
ar (☐BYXD) = ar (☐AMBN)
और ar (☐CYXE) = ar (☐ACFG)
जोड़ने पर,
ar (☐BYXD) + ar (☐CYXE) = ar (☐ABMN) + ar (ACFG)
या ar (☐BCED) = ar (☐ABMN) + ar (☐ACFG).
इति सिद्धम्।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O इन आँकड़ों को एक बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-स रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल:

सारणी से स्पष्ट है कि रक्त समूह O की बारम्बारता सर्वाधिक है अतः यह अधिक सामान्य है और रक्त समूह AB की बारम्बारता सबसे कम है, अतः यह विरलतम (कम) है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अन्तराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
हल:
इन आँकड़ों में न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ (किमी) क्रमशः 2 और 32 हैं। प्रश्न से स्पष्ट है कि प्रथम वर्ग अन्तराल 0-5 है और विस्तार समान है अतः समान आकार के वर्ग निम्न प्रकार से प्राप्त होते हैं:
0 – 5, 5 – 10, 10 – 15, 15 – 20, 20 – 25, 25 – 20 और 30 – 35
अतः बारम्बारता सारणी निम्नवत् है:

आँकड़ों की उच्चतम सीमा 35 इस वर्ग तालिका में शामिल नहीं है। इसी प्रकार तालिका से स्पष्ट हैं कि न्यूनतम दूरी भी आँकड़ों में सम्मिलित नहीं है अतः कोई भी इन्जीनियर कार्य स्थल पर निवास नहीं करता। अत: 0-5 किमी वर्ग में अपने काम पर जाने के लिए 5 किमी चली दूरी इस वर्ग में नहीं आयेगी। वह अपने वर्ग 5-10 में आयेगी। अतः निष्कर्ष यह निकलता है कि 40 में 27 इंजीनियरों का कार्यस्थल उनके घर से 15 किमी से अधिक नहीं है।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (% में) यह रही है:

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से सम्बन्धित हैं ?
(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सापेक्षिक आर्द्रता (% में) 84.9 और 99.2 है और वर्ग 84-86, 86-88,…. आदि समान आकार के हैं।
अतः बारम्बारता सारणी :

(ii) सापेक्षिक आर्द्रता अधिक है। अतः ये आँकड़े वर्षा ऋतु के हैं।
(iii) परिसर = अधिकतम आर्द्रता – न्यूनतम सापेक्ष आर्द्रता
= 99.2 – 84.9 = 14.3

प्रश्न 4.
निकटतम सेण्टीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ ये हैं:

(i) 160 – 165, 165 – 170 आदि का वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लम्बाइयों के सम्बन्ध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
(i) इन आँकड़ों में अधिकतम और न्यूनतम लम्बाई क्रमशः 150 सेमी और 173 सेमी दी गयी हैं। दो वर्गअन्तराल 160 – 165 एवं 165 – 170
दिए गए है जिनकी समान वर्ग माप 165 – 160 = 170 – 165 = 5 है।
अतः समान आकार के वर्ग 150 – 155,155 – 160,…… 170 – 175 हैं अतः बारम्बारता सारणी निम्न है :

(ii) इस सारणी से यह निष्कर्ष निकलता है कि 50% से अधिक छात्रों की लम्बाई 165 सेमी से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं :.

(i) 0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08 आदि का वर्ग अन्तराल लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाइऑक्साइड की सान्दता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?
हल:
(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सल्फर डाइऑक्साइड की सान्द्रता क्रमशः 0.01 और 0.22 है। वर्गमाप समान दी है तथा एक वर्ग 0.00 – 0.04 ज्ञात है।
अतः वर्ग समान आकार के होंगे जो निम्न हैं:
0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08,……, 0.20 – 0.24
अतः बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक सीमा वाले वर्ग और उनकी बारम्बारता :

अत: सल्फर डाइऑक्साइड का वायु में सान्द्रण 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक 8 दिनों तक रहा।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न प्रकार है:

ऊपर दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
चित आने की न्यूनतम संख्या = 0 और अधिकतम संख्या = 3
बारम्बारता सारणी निम्न है :

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध का मान नीचे दिया गया है:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारम्बारता बंटन बनाइए ।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
हल:
(i) 0 से 9 तक के अंकों की बारम्बारता बंटन सारणी

(ii) सारणी से स्पष्ट है कि सबसे कम बार शून्य का अंक और सबसे अधिक बार 3 और 9 का अंक आया है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घण्टों तक टी. वी. प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं:

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अन्तराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा?
हल:
(i) सबसे कम तथा अधिक टी. वी. देखने का समय क्रमश: 1 घण्टा और 17 घण्टे हैं। वर्ग अन्तराल 5-10 ज्ञात है। अत: समान आकार के वर्ग अन्तराल होंगे : 0-5, 5-10, 10-15 और 15-20.
अतः वर्ग बारम्बारता सारणी निम्न है:

(ii) 2 बच्चे सप्ताह में 15 या अधिक घण्टे टी. वी. देखते हैं।

प्रश्न 9.
एक कम्पनी एक विशेष प्रकार की कार बैटरी बनाती है। इस प्रकार की 40 बैटरियों के जीवन काल (वर्षो में) ये रहे हैं:

0.5 माप के वर्ग अन्तराल लेकर तथा अन्तराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल:
बैटरी का न्यूनतम तथा अधिकतम जीवन काल क्रमशः 2.2 वर्ष तथा 4.6 वर्ष है।
वर्गमाप 0.5 है अतः वर्ग-अन्तराल है 2.0-2.5, 2.5-3.0 3.0-3.5,….., 4.5-5.0
अतः बारंबारता सारणी निम्न है :

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी :
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
हल:
(i) लंम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सेमी तथा ऊँचाई (h) = 7 सेमी।
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^2 \times 7\) घन सेमी
= 264 घन सेमी।
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 264 घन सेमी।

(ii) लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी
= \(\frac{7}{2}\) सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12\) घन सेमी
= 154 घन सेमी
अतः लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन = 154 घन सेमी।

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी:
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊंचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 13 सेमी है।
हल:
(i) यहाँ, r = 7 सेमी और l = 25 सेमी
माना शंकु की ऊँचाई h सेमी है, तब
∴ l² = h² + r²
h² = l² – r² = 25² – 7²
= 625 – 49
= 576
∴ h = \(\sqrt{576}\) = 24 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24\right)\) सेमी³
= 1232 सेमी³
∴ बर्तन की धारिता (लीटर में)
= \(\left(\frac{1232}{1000}\right)\) लीटर = 1.232 लीटर।

(ii) यहाँ h= 12 सेमी और l = 13 सेमी
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
तब, r² = l² – h² = 13² – 12²
= 169 – 144 = 25
⇒ r = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी
शंक्वाकार बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\left(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12\right)\) सेमी³
= \(\frac{2200}{7}\) सेमी³
∴ लीटर में बर्तन की धारिता (आयतन) = \(\left(\frac{2200}{7} \times \frac{1}{1000}\right)\) लीटर
(∵ 1000 घन सेमी = 1 लीटर)
= \(\frac{11}{35}\) लीटर।

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल:
यहाँ, h = 15 सेमी और आयतन = 1570 सेमी³
माना शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी है।
आयतन = 1570 सेमी³
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570
\(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
r² = \(\frac{1570}{3.14 \times 5}\) = 100
∴ r = \(\sqrt{100}\) = 10
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 4.
यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48π सेमी है। इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
शंकु की ऊँचाई (h) = 9 सेमी
शंकु का आयतन = 48π सेमी³
\(\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\) = 48π सेमी³
\(\frac{1}{3}\) × πr² × 9 = 48π
r² = \(\frac{48 \pi \times 3}{\pi \times 9}\) सेमी²
= 16 सेमी²
∴ r = \(\sqrt{16}\) सेमी = 4 सेमी
⇒ 2r = 2 × 4 सेमी = 8 सेमी
अंतः शंकु के आधार का व्यास 8 सेमी।

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्डा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है ?
हल:
गड्ढे का ऊपरी व्यास = 3.5 मीटर
∴ गड्ढे की त्रिज्या (r) = \(\frac{3.5}{2}\) मीटर
= \(\frac{35}{2 \times 10}\) मीटर = \(\frac{7}{4}\) मीटर
गड्ढे की ऊँचाई (h) = 12 मीटर
∴ गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12\) मीटर³ = \(\frac{154}{4}\) मीटर³
∵ 1 मी = 1000 लीटर = 1 किलो लीटर
∴ 38.5 मी³ = 38.5 किलो लीटर
अतः गढ्ढे की धारिता = 38.5 किलो लीटर

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) शंकु की ऊंचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) शंकु के आधार का व्यास 28 सेमी
∴ त्रिज्या = r = \(\frac{28}{2}\) सेमी
= 14 सेमी
शंकु का आयतन = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856 सेमी³
⇒ \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
⇒ h = \(\frac{9856 \times 3 \times 7}{22 \times 14 \times 14}\)
= 48 सेमी
अतः शंकु की ऊँचाई = 48 सेमी।

(ii) माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है, तब
l² = h² + r²
= 48² + 14²
= 2304 + 196 = 2500
∴ l = \(\sqrt{2500}\) = 50 सेमी
अतः शंकु की तिर्यक् ऊँचाई = 50 सेमी

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50
= 2,200 सेमी²।

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ ΔABC को 12 सेमी वाली भुजा AB के परित: घुमाए जाने पर प्राप्त निम्नलिखित शंक्वाकार ठोस आकृति प्राप्त होती हैं जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई AB = 12 सेमी
और शंकु की त्रिज्या CB = शंकु की दूसरी भुजा
= 5 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × (5)² × 12
= 100π घन सेमी।
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 100π घन सेमी।

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
…. ΔABC को 5 सेमी वाले भुजा के परितः घुमाए जाने पर निम्नांकित शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है जिसमें

∴ शंकु की ऊँचाई (h) = 5 सेमी
और आधार की त्रिज्या (r) = दूसरी भुजा
= 12 सेमी
∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
\(\frac{1}{3}\) × π × (12)² × 5 घन सेमी
= 240π घन सेमी
अतः प्राप्त शंकु का आयतन = 240π घन सेमी।
तब प्रश्न 7 व प्रश्न 8 से प्राप्त ठोसों के आयतनों का अनुपात
= 100π : 240π
= 5 : 12.

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है इसका ‘आयतन ज्ञात कीजिए। इस बेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाता है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
गेहूँ की ढेरी से बने शंकु की ऊँचाई (h) = = 3 मीटर
तथा आधार का व्यास = 10.5 मीटर = \(\frac{21}{2}\) मीटर
∴ आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}=\frac{21}{4}\) मीटर
∴ गेहूँ की ढेरी (शंकु) का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr2h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\) घन मीटर
= \(\frac{693}{8}\) घन मीटर
= 86.625 घन मीटर।

∴ ढेरी को ढकने के लिए आवश्यक केनवास = गेहूँ की ढेरी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.05\)
= 99.825 वर्ग मीटर
अत: गेहूँ की ढेरी (शंकु) को ढकने के लिए आवश्यक केनवास का क्षेत्रफल
= 99.825 वर्ग मीटर।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना कि आफताब की वर्तमान आयु वर्ष है
और आफताब की पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।
बीजगणितीय स्थिति :
प्रथत शर्त के अनुसार,
x – 7 = 7(y – 7) = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 3 = 3(y + 3) = 3y +9
⇒ x – 3y – 6 = 0
∴ दो चरों वाला रैखिक समीकरण युग्म
x – 7y + 42 = 0 ……..(i)
x – 3y – 6 = 0 ……..(ii)
ग्राफीय निरूपण
समीकरण (i) से,
x – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = x + 42
⇒ y = \(\frac{x+42}{7}\)
x = -7 रखने पर, y = \(\frac{-7+42}{7}\) = 5
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0+42}{7}\) = 6
x = 7 रखने पर, y = \(\frac{7+42}{7}\) = 7
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे:

x	-7	0	7
y	5	6	7

समीकरण x – 3y – 6 = 0 से,
3y = x – 6
y = \(\frac{x-6}{3}\)
x = 6 रखने पर, y = \(\frac{6-6}{3}\) = 0
x = 3 रखने पर, y = \(\frac{3-6}{3}\) = -1
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0-6}{3}\) = -2
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे :

x	6	3	0
y	0	-1	-2

अब बिन्दुओं (-7, 5), (0, 6) और (7, 7) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 7y + 42 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा AB प्राप्त होती हैं।
पुन: बिन्दुओं (0, -2), (3, -1) और (6, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 3y – 6 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3,900 में 3 बल्ले (Bats) तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में, उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1,300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक बल्ले की कीमत ₹ x तथा एक गेंद की कीमत ₹ y है।
दिया है कि 3 बल्ले तथा 6 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 3900.
∴ 3x + 6y = 3900
या x + 2y = 1300
दिया है कि बल्ले तथा 3 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 1300
तब x + 3y = 1300
बीजगणितीय निरूपण :
x + 2y = 1300…(i)
तथा x + 3y = 1300…(ii)
आलेखीय निरूपण आलेखीय निरूपण करने के लिए हमें समीकरण युग्म के प्रत्येक समीकरण के कम-से-कम दो हल निकालने होंगे।
प्रथम समीकरण से,
x + 2y = 1300
y = \(\frac{1300-x}{2}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{2}=\frac{1200}{2}\) = 600
x = 300 रखने पर,
y = \(\frac{1300-300}{2}=\frac{1000}{2}\) = 500
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{2}=\frac{900}{2}\) = 450
सारणी-1

x	100	300	400
y	600	500	450

दूसरे समीकरण से:
x + 3y = 1300
⇒ 3y = 1300 – x
⇒ y = \(\frac{1300-x}{3}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{3}=\frac{1200}{3}\) = 400
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{3}=\frac{900}{3}\) = 300
x = 700 रखने पर,
y = \(\frac{1300-700}{3}=\frac{600}{3}\) = 200
सारणी-II

x	100	400	700
y	400	300	200

अब बिन्दुओं (100, 600), (300, 500) और (400, 450) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 2y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (100, 400), (400, 300) और (700, 200) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 3y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।

आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिन्दु P(1300, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रश्न 3.
2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक दिन किग्रा सेब का मूल्य ₹ x और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y था।
दिया है : 2 किग्रा सेब तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 है।
∴ 2x + y = 160
1 महीने बाद 4 किग्रा सेब तथा 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 है।
∴ 4x + 2y = 300
बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 …(1)
तथा 4x + 2y = 300 …(2)
ज्यामितीय निरूपण
समीकरण (1) से,
2x + y = 160
⇒ y = 160 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 160 – 2 × 0 = 160
x = 50 रखने पर, y = 160 – 2 × 50
= 160 – 100 = 60
x = 75 रखने पर, y = 160 – 2 × 75
= 160 – 150 = 10
सारणी I

x	0	50	75
y	160	60	10

समीकरण (2) से,
4x + 2y = 300
या 2(2x + y) = 300
या 2x + y = 150
या y = 150 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 150 – 2 × 0 = 150
x = 50 रखने पर, y = 150 – 2 × 50
= 150 – 100 = 50
x = 100 रखने पर y = 150 – 2 × 100
= 150 – 200 = -50
सारणी II

x	0	50	100
y	150	50	-50

अब बिन्दुओं (0, 160), (50, 60) तथा (75, 10) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + y = 160 का आलेख एक सरल AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (0, 150), (50, 50) तथा (100, -50) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x + 2y = 300 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

अत: सरल रेखाएँ AB व CD दिए गये कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप है। आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्मों का निर्माण कीजिए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिलों और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
∴ कुल संख्या = x + y
प्रश्नानुसार, x + y = 10.
∵ लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है।
∴ x = y + 4 ⇒ x – y = 4
∴ रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 10 …(i)
x – y = 4 …(ii)
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण x + y = 10 से,
⇒ y = 10 – x
x = 3 रखने पर, y = 10 – 3 = 7
x = 7 रखने पर, y = 10 – 7 = 3
x = 8 रखने पर, y = 10 – 8 = 2
सारणी-I

x	3	7	8
y	7	3	2

पुन: समीकरण x – y = 4 से
⇒ y = x – 4
x = 2 रखने पर, y = 2 – 4 = -2
y = 7 रखने पर, y = 7 – 4 = 3
y = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
सारणी-II

x	2	7	4
y	-2	3	0

बिन्दुओं (3, 7), (7, 3) तथा (8, 2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 10 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती है।

पुन: बिन्दुओं (2, -2) (7, 3) तथा (4, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(7, 3) पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
∴ बिन्दु P(7, 3) आलेखीय स्थिति है।
अतः लड़कियों की संख्या (x) = 7
तथा लड़कों की संख्या (y) = 3
(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
प्रश्नानुसार, 5 पेंसिलों तथा 7 कलमों का मूल्य ₹ 50 है।
5x + 7y = 50
प्रश्नानुसार, 7 पेंसिलों तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है।
7x + 5y = 46
∴ रैखिक समीकरण युग्म
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण 5x + 7y = 50 से,
7y = 50 – 5x

सारणी-I

x	-4	3	10
y	10	5	0

पुन: समीकरण 7x + 5y = 46 से
⇒ 5y = 46 – 7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

सारणी-II

x	-2	3	8
y	12	5	-2

बिन्दुओं (-4, 10) (3, 5) तथा (10, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती हैं। पुनः बिन्दुओं (-2, 12), (3, 5) तथा (8, -2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(3, 5) पर कांटती हैं।
दिए हुए समीकरण-युग्म का अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।

अत: एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) दिए गए समीकरण युग्म :
5x – 4y + 8 = 0 …(1)
7x + 6y – 9 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c2 = 0 से करने पर,
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
6x – 3y +10 = 0
और 2x – y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण के युग्म संगत हैं या असंगत हैं :
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण-युग्म है:
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0
और 2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7

∴ रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल।
अतः दिया हुआ रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8
या 2x – 3y – 8 = 0…(i)
और 4x – 6y = 9
या 4x – 6y – 9 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
a₁ = 2, b₁ = – 3, c₁ = – 8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = – 9

∴ दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0 …(i)
और 9x – 10y = 14
या 9x – 10y – 14 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = -14

समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः दिया गया समीकरण युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरणं युग्म :
5x – 3y = 11
या 5x – 3y – 11 = 0 ….(i)
और -10x + 6y = -22
या -10x + 6y + 22 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = -11
a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = 22

समीकरण युग्म सम्पाती है।
दिए गए समीकरण युग्म के अनन्त हल है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
या \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 …..(i)
और 2x + 3y = 12
और 2x + 3y – 12 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक युग्म a₁x + b₁y + c = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
यहाँ a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = -8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-से रैखिक समीकरणों के युग्म संगत/असंगत हैं ? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 20, 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 या x + y – 5 = 0 …(1)
2x + 2y = 10 या 2x + 2y – 10 = 0 … (2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ =-5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि:
समीकरण (1) से,
x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 2 रखने पर, y = 5 – 2 = 3
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-I

x	5	2	0
y	0	3	5

बिन्दुओं A (5, 0) B (2, 3) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण x + y = 5 को इंगित करती है।
समीकरण (2) से,
2x + 2y = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 3 रखने पर, y = 5 – 3 = 2
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-II

x	5	3	0
y	0	2	5

बिन्दुओं A(5, 0), B (3, 2) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण 2x + 2y = 10 को इंगित करती है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दिया गया रैखिक समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः इनके अपरिमित रूप से अनेकों हल हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x – y = 8
या x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16
या 3x – 3y – 16 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16

∵ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 …(1)
4x – 2y – 4 = 0 …(2)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 6
a₂ = 4, b₂ = – 2, c₂ = -4

∴ दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
अतः समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि : समीकरण (1) से,
2x + y – 6 = 0
⇒ y = 6 – 2x
x = 3 रखने पर, y = 6 – 2 × 3 = 6 – 6 = 0
x = 2 रखने पर, y = 6 – 2 × 2 = 6 – 4 = 2
x = 4 रखने पर, y = 6 – 2 × 4= 6 – 8 = -2
सारणी-I

x	3	2	4
y	0	2	-2

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2y = 4x – 4
⇒ y = \(\frac{4 x-4}{2}\) = 2x – 2
x = 1 रखने पर, y = 2 × 1 – 2 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 × 2 – 2 = 4 – 2 = 2
x = 0 रखने पर, y = 2 × 0 – 2 = 0 – 2 = -2
सारणी-II

x	1	2	0
y	0	2	-2

पुन: बिन्दुओं D(1, 0), B(2, 2), E(0, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि दिए गए समीकरण युग्म की दो सरल रेखाएँ बिन्दु B(2, 2) पर काटती हैं।
x = 2, y = 2
अतः दिए गए समीकरण युग्म के अद्वितीय हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:
2x – 2y – 2 = 0
और 4x – 4y – 5 = 0
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = – 2
a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

∴ दिए गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर
और चौड़ाई y मीटर हैं।
दिया है, लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 या x – y = 4
आयताकार बाग का परिमाप = 2 (x + 1) मीटर
आयताकार बांग का अर्द्धपरिमाप = \(\frac{1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac{1}{2}\)× 2 (x + y)
= (x + y) मीटर
परन्तु दिया है अर्द्ध परिमाप = 36 मीटर
∴ x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4
और x + y = 36
ज्यामितीय विधि द्वारा हल :
समीकरण x – y = 4
⇒ y = x – 4
x = 0 रखने पर, y = 0 – 4 = -4
x = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
x = 20 रखने पर, y = 20 – 4 = 16
सारणी-I

x	0	4	20
y	-4	0	16

पुन: समीकरण x + y = 36 से
⇒ y = 36 – x
x = 30 रखने पर, y = 36 – 30 = 6
x = 20 रखने पर, y = 36 – 20 = 16
x = 10 रखने पर, y = 36 – 10 = 26
सारणी-II

x	30	20	10
y	6	16	26

बिन्दुओं A(0, -4), B(4, 0) और P(20, 16) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख प्राप्त होता है। पुनः बिन्दुओं C(30, 6) P(20, 16 ) तथा D(10, 26) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु P(20, 16) पर काटता है।
∴ x = 20, y = 16
अतः बाग की लम्बाई = 20 मीटर
बाग का चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि :
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण
2x + 3y – 8 = 0
व्यापक रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तुलना करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 8
(i) जब समीकरण युग्म प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}\)
अर्थात् a₂ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b₂ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a₂ ≠ 2 तथा b₂ ≠ 3 और a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y – 7 = 0 है।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है, तो शर्त

अर्थात् a₂ और b₂ का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a₂ = 2k तथा b₂ = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।
∵ \(\frac{3}{b_2} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ \(\frac{3}{3 k} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ c₂ ≠ -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – mk = 0; m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y – 12 = 0 है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{a_2}=\frac{3}{b_2}=\frac{-8}{c_2}=\frac{1}{k}\)
⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 है।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है :
x – y + 1 = 0 ….(1)
3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के ग्राफ के लिए
⇒ y = x + 1
x = – 1 रखने पर, y = -1 + 1 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 + 1 = 3
x = 0 रखने पर, y = 0 + 1 = 1
सारणी-I

x	-1	2	0
y	0	3	1

बिन्दुओं A(-1, 0), B (2, 3), C(0, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 से
⇒ 2y = 12 – 3x
⇒ y = \(\frac{12-3 x}{2}\)

x	4	2	0
y	0	3	6

बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3) और E(0, 6) को आलेखित कर समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है। दोनों रेखाएँ बिन्दु B(2, 3) पर काटती हैं।
X-अक्ष पर ΔBAD छायांकित भाग प्राप्त होता है। जिसके शीर्ष B(2, 3), A(-1, 0) तथा D(4, 0) प्राप्त होते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{2}\)y = 0
\(\sqrt{2}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0
(vi) \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 …..(i)
x – y = 4 …..(ii)
समीकरण (i) से,
⇒ x = 14 – y
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(14 – y) – y = 4
14 – y – y = 4.
-2y = 4 – 14
-2y = -10
∴ y = \(\frac{-10}{-2}\) = 5
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5
∴ x = 9
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 9 तथा y = 5
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
s – t = 3 …..(i)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
समीकरण (i) से,
5 = 3 + t
s का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
\(\frac{3+t}{3}+\frac{t}{2}=6\)
⇒ \(\frac{2(3+t)+3 t}{6}=6\)
⇒ \(\frac{6+2 t+3 t}{6}=6\)
⇒ 5t + 6 = 36
⇒ 5t = 36 – 6
⇒ 5t = 30
∴ t = \(\frac{30}{5}\) = 6
समीकरण (i) मैं का मान रखने पर,
s – 6 = 3
∴ s = 3 + 6 = 9
अंतः रैखिक समीकरण युग्म का हल s = 9 और t = 6

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x – y = 3 …..(i)
9x – 3y = 9 …..(ii)
समीकरण (i) से,
y = 3x – 3
y का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
9x – 3 (3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है। फिर भी हम x का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं करते। इसलिए y का भी कोई मान प्राप्त नहीं कर सकते हैं।
इस प्रकार की स्थिति तभी पैदा होती है जब दोनों समीकरण एक जैसे हों।
अत: समीकरण (i) व (ii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
0.2x + 0.3y = 1.3 …..(i)
और 0.4x + 0.5y = 2.3 …..(ii)
समीकरण (i) से,
\(\frac{2}{10} x+\frac{3}{10} y=\frac{13}{10}\)
⇒ 2x + 3y = 13 …..(iii)
समीकरण (ii) से,
\(\frac{4}{10} x+\frac{5}{10} y=\frac{23}{10}\)
⇒ 4x + 5y = 23 ….(iv)
समीकरण (iii) से,
2x = 13 – 3y
x = \(\frac{13-3 y}{2}\)
x का यह मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(\frac{13-3 y}{2}\) + 5y = 23
⇒ 2(13 – 3y) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ – y =23 – 26 = -3
∴ y = 3
y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2x + 3 × 3 = 13
⇒ 2x + 9 = 13
⇒ 2x = 13 – 9
⇒ 2x = 4 ⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 3

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
\(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)y =0 …..(i)
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0 ….. (ii)
समीकरण (i) से,
\(\sqrt{2}\)x = –\(\sqrt{3}\)y
⇒ x = \(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\) ….. (iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर,

y का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
∵ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\)
∴ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 0=0\)
⇒ x = 0
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल
x = 0 तथा y = 0

(vi) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म

x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(2\left[\frac{10 y-12}{9}\right]\) + 3y = 13
\(\frac{20 y-24}{9}\) + 3y = 13
\(\frac{20 y-24+27 y}{9}\) = 13
⇒ 20y – 24 + 27y = 13 × 9
⇒ 47y = 117 + 24
⇒ 47y = 141
∴ y = \(\frac{141}{47}\) = 3
समीकरण (i) मैं y = 3 रखने पर,
9x – 10 × 3 = – 12
9x – 30 = – 12
9x = – 12 + 30 = 18
x = \(\frac{18}{9}\) = 2
अतः दिए गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 3 हैं।

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
2x + 3y = 11 …..(i)
2x – 4y = -24 …..(ii)
समीकरण (i) से,
2x = 11 – 3y ⇒ x = \(\frac{11-3 y}{2}\) …..(iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(2\left(\frac{11-3 y}{2}\right)\) – 4y = -24
⇒ 11 – 3y – 4y = -24
– 7y = – 24 – 11
– 7y = – 35
∴ y = \(\frac{-35}{-7}\) = 5
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = \(\frac{11-3 \times 5}{2}\)
= \(\frac{11-15}{2}\)
= \(\frac{-4}{2}\) = -2
∴ x = -2
x और y के मान दिये गये समीकरण y = mx + 3 में रखने पर,
5 = m × -2 + 3
या 5 = -2m + 3
या 2m = 3 – 5
या 2m = – 2
या m = \(\frac{-2}{2}\)
∴ m = -1
अतः दिए गए रैखिक समीकरण का हल
x = -2, y = 5 और m = -1

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3,800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1,750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर प्रति किमी के हिसाब से भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 किमी के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{9}{11}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
(i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
∵ एक संख्या दूसरी संख्या की 3 गुनी है।
⇒ x = 3y …..(i)
यहाँ x, y से बड़ा है।
दोनों संख्याओं का अन्तर 26 है।
∴ x – y = 26 …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = \(\frac{26}{2}\) ⇒ y = 13
समीकरणं (i) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
अत: अभीष्ट संख्याएँ x = 39 और y = 13

(ii) माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y° है।
कोण x° और y° एक-दूसरे के संपूरक हैं।
∴ x + y = 180° …..(i)
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
∴ x = y + 18° …..(ii)
समीकरण (ii) से x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ y + 18° + y = 180°
⇒ 2y +18° = 180°
⇒ 2y = 180° – 18° = 162°
∴ y = \(\frac{162}{2}\) = 81°
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 81° + 18° = 99°
अतः बड़ा कोण 99° और छोटा कोण 81° है।

(iii) माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
∴ 7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x
और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y
प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 …..(i)
पुनः 3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y
प्रश्नानुसार,
3x + 5y = 1750 …..(ii)
समीकरण (i) से,
7x = 3800 – 6y
⇒ x = \(\frac{3800-6 y}{7}\) …..(iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
\(3\left[\frac{3800-6 y}{7}\right]\) + 5y = 1750
⇒ \(\frac{11400-18 y+35 y}{7}\) = 1750
⇒ 11400 – 18y + 35y = 1750 × 7
⇒ 11400 + 17y = 12250
⇒ 17y = 12250 – 11400
⇒ 17y = 850
∴ y = \(\frac{850}{17}\) = 50
y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{3800-6 \times 50}{7}=\frac{3800-300}{7}\)
x = \(\frac{3500}{7}\)
∴ x = 500
अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹ 500
और एक गेंद का मूल्य = ₹ 50

(iv) मान लीजिए टैक्सी का निश्चित किराया = ₹ x
और एक किमी यात्रा का किराया = ₹ y
पहली शर्त के अनुसार,
x + 10y = 105 …..(i)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 15y = 155 …..(ii)
समीकरण (i) से,
x = 105 – 10y ….. (iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
105 – 10y + 15y = 155
⇒ 5y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
∴ y = \(\frac{50}{5}\) = 10
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = 105 – 10 × 10
⇒ x = 105 – 100
∴ x = 5
अतः टैक्सी का निश्चित किराया = ₹ 5
और प्रति किमी यात्रा का किराया = ₹ 10
साथ ही 25 किमी यात्रा का किराया = x + 25y = 5 + 25 × 10
= 5 + 250
= 255 रुपये।

(v) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
तब भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
भिन्न के अंश व हर में 2 जोड़ने पर भिन्न \(\frac{x+2}{y+2}\) होगी।
प्रशनानुसार, \(\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}\)
⇒ 11(x + 2) = 9 (y + 2)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x = 9y + 18 – 22
⇒ 11x = 9y – 4
⇒ x = \(\frac{(9 y-4)}{11}\) …..(i)
भिन्न के अंश व हर में 3 जोड़ने पर भिन्न \(\frac{x+3}{y+3}\) होगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}\)
⇒ 6(x + 3 ) = 5(y + 3)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18
⇒ 6x – 5y = – 3 …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ – y – 24 = – 3 × 11
⇒ – y = – 33 + 24
⇒ -y = -9
⇒ y = 9.
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ \(\frac{9 \times 9-4}{11}\)
⇒ \(\frac{81-4}{11}=\frac{77}{11}\)
∴ x = 7
∴ रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 7, y = 9
अतः भिन्न = \(\frac{7}{9}\)

(vi) माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष है।
और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष तथा 5 बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
5 वर्ष के बाद जैकब की आयु = 3 × (5 वर्ष बाद उसक पुत्र की आयु)
x + 5 = 3 × (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु (x – 5) वर्ष और 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = 7 × (5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु)
x – 5 = 7 × (y – 5)
x – 5 = 7y – 35
x – 7y = -35 + 5
x – 7y = – 30 ….(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(3 y + 10) – 7y = 30
⇒ 3y + 10 – 7y = -30
⇒ – 4y = -30 – 10
⇒ – 4y = – 40
∴ y = \(\frac{-40}{-4}\) = 10
y का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3 × 10 + 10
⇒ x = 30 + 10
∴ x = 40

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को विलोपन विधि और प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 और x – \(\frac{y}{3}\) = 3
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 …..(i)
2x – 3y = 4 …..(ii)
विलोपन विधि : समीकरण (i) व (ii) में x का गुणांक समान करने के लिए समीकरण (i) में 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 …..(iii)
अब समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाने पर

अत: समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\) है।

प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (i) से,
⇒ y = 5 – x …..(iii)
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
2x – 3(5 – x) = 4
⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 4 + 15 = 19
x = \(\frac{19}{5}\)
x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
y = \(5-\frac{19}{5}\)
= \(\frac{25-19}{5}=\frac{6}{5}\)
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल
x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\)

विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x + 4y = 10 …..(i)
2x – 2y = 2 …..(ii)
विलोपन विधि: समी. (i) को 2 से तथा समी. (ii) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 8y = 20 …..(iii)
6x – 6y = 6 …..(iv)
अब समी. (iii) मैं से समी. (iv) को घटाने पर,

समीकरण (i) मैं y = 1 रखने पर,
3x + 4(1) = 10
⇒ 3x = 10 – 4 = 6
x = \(\frac{6}{3}\)
∴ x = 2
अतः रैखिक समीकरणं युग्म का हल :
x = 2 तथा y = 1
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
⇒ 2x = 2 + 2y
⇒ 2x = 2(1 + y)
⇒ x = 1 + y …..(iii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
∴ 3(1 + y) + 4y = 10
⇒ 3 + 3y + 4y = 10
⇒ 3 + 7y = 10
⇒ 7y =10 – 3
⇒ 7y = 7
y = \(\frac{7}{7}\) = 1
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = 1 + 1
⇒ x = 2
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = 2 और y = 1
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iii) दिया हुआ समीकरण युग्म :
3x – 5y – 4 = 0
और 9x = 2y + 7
या 3x – 5y = 4 …..(i)
और 9x – 2y = 7 …..(ii)
विलोपन विधि: समीकरण (i) में 2 से तथा समी.
(ii) में 5 से गुणा कर घटाने पर,

अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) और y = –\(\frac{5}{13}\)
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
x = \(\frac{2 y+7}{9}\) ……(iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,

⇒ -13y + 7 = 12
⇒ -13y = 12 – 7
⇒ -13y = 5
⇒ y = \(\frac{-5}{13}\)
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,

अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) तथा y = \(\frac{-5}{13}\)
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :

विलोपन विधि: समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,

y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
3x – (3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 9 – 3 = 6
∴ x = \(\frac{6}{3}\) = 2
x = 2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (ii) से,
y = 3x – 9
y का यह मान समी. (i) में प्रतिस्थापित करने पर
3x + 4 (3x – 9) = -6
⇒ 3x + 12x – 36 = -6
⇒ 15x = -6 + 36 = 30
x = \(\frac{30}{15}\) = 2
x का यह मान समी. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर :
3 × 2 – y = 9
6 – y = 9
y = 6 – 9
y = -3
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 हैं।
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
[नोट: यह निर्णय विद्यार्थी स्वयं कर लें कि कब कौन-सी विधि उनके लिए उपयुक्त होगी।]

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हम हर में 1 जोड़ दें, तो यह \(\frac{1}{2}\) हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु वर्तमान आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने कितने नोट प्राप्त किए ?
(v) किराये पर पुस्तकें देने वाले किसी ‘पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।
अतः भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
यदि भिन्न के अंश में 1 जोड़ा जाए और हर में से 1 घटाया जाए तो भिन्न \(\frac{x+1}{y-1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
x + 1 = y – 1
⇒ x – y= – 1 – 1
⇒ x – y = – 2 …..(i)
यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा जाए तो भिन्न \(\frac{x}{y+1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
⇒ 2x – y = 1 …..(ii)
समीकरण (i) में 2 से गुणा करके समीकरण (ii) को घटाने पर,

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
x – 5 = – 2
x = – 2 + 5 = 3
अतः भिन्न \(\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{3}{5}\)

(ii) माना कि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, x – 5 = 3 (y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = – 15 + 5
⇒ x – 3y = – 10 …..(i)
10 वर्ष बाद नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
और 10 वर्ष बाद सोनू की आयु = (y – 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2 (y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10
⇒ x – 2y = 10 …..(ii)
समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,

y का यह मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x – 2 × 20 = 10
⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 10 + 40
∴ x = 50
अत: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष
(iii) माना कि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = y
∴ अभीष्ट संख्या = 10y + x
पहली शर्त के अनुसार, x + y = 9 …..(i)
अंकों को पलटने पर,
इकाई का अंक = y
दहाई का अंक = x
∴ संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
संख्या का 9 गुना = अंकों के पलटने पर प्राप्त संख्या का दो गुना
∴ (10 + x) × 9 = (10x + y) × 2
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 90y + 9x – 20x – 2y = 0
⇒ 88y – 11x = 0
⇒ 11x = 88y
∴ x = 8y …..(ii)
समीकरण (ii) से प्राप्त x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
8y + y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = \(\frac{9}{9}\) = 1
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 8 × 1
⇒ x = 8
∴ संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 10 + 8 = 18
अत: अभीष्ट संख्या = 18

(iv) माना ₹ 50 मूल्य वाले नोटों की संख्या = x
तथा ₹ 100 मूल्य वाले नोटों की संख्या = y
प्रश्नानुसार, कुल नोटों की संख्या 25 है।
∴ x + y = 25 …..(i)
∵ 50 वाले नोटों का मूल्य = 50 × x = ₹ 50x
और ₹ 100 वाले नोटों का मूल्य = 100 × y = ₹ 100y
∴ कुल नोटों का मूल्य = ₹ 50x + 100y
= ₹ 50(x + 2y)
प्रश्नानुसार,
50 (x + 2y) = 2000
x + 2y = \(\frac{2000}{50}\) = 40 …(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
⇒ x + 2y – x – y = 15
∴ y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 15 = 25
∴ x = 25 – 15 = 10
अतः मीना ने ₹ 50 मूल्य वाले 10 नोट और ₹ 100 मूल्य वाले 15 नोट प्राप्त किए।

(v) माना प्रथम 3 दिनों तक पुस्तकालय का नियत किराया ₹ x है तथा इसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ y है।
7 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का किराया + 4 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ (x + 4y)
परन्तु सरिता ने 7 दिन का किराया ₹ 27 चुकाया
∴ x + 4y = 27 …..(i)
5 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 2 दिन का अतिरिक्त किराया
= ₹ (x + 2y)
परन्तु सूसी ने 5 दिन का किराया ₹ 21 चुकाया
∴ x + 2y = 21 …..(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
⇒ x + 4y – x – 2y = 6
⇒ 2y = 6
∴ y = \(\frac{6}{2}\) = 3
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
⇒ x + 2 × 3 = 21
⇒ x + 6 = 21
⇒ x = 21 – 6
∴ x = 15
अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन का नियत किराया = ₹ 15 और उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3 ।