Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हैं या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल:
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है
x – 3y – 3 = 0 …..(1)
तथा 3x – 9y – 2 = 0 …..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अंत: दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है।
2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0
3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -8

अतः दिए गए समीकरणों का एक अद्वितीय हल है।
अब वज्रगुणन विधि से,

अतः समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 1 है।

(iii) दिए हुए समीकरण युग्म :
3x – 5y = 20.
6x – 10y = 40
इन समीकरणों को निम्न प्रकार लिख सकते हैं :
3x – 5y – 20 = 0
6x – 10y – 40 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = -20
a₂ = 6, b₂ = -10, c₂ = 40

अतः समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिया गया समीकरण युग्म :
x – 3y – 7 = 0 …..(i)
3x – 3y – 15 = 0 …..(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = – 7
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 15

अतः दिया गया समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब बज्रगुणन विधि से,

अतः दिए गए समीकरण के हल x = 4 और y = -1 है।

प्रश्न 2.
(i) a और 6 के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हाल होंगे ?
(i) 2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k +1
हल:
(i) दिया गया समीकरण युग्म है:
2x + 3y = 7
या 2x + 3y – 7 = 0 …..(i)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
या (a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 …..(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण
a₁x + b₁y + c₁ =0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (a+b), c₂ = -(3a + b – 2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए शर्त

⇒ 7(a – b) = 2(3a + b – 2)
⇒ 7a – 7b = 6a + 2b – 4
⇒ 7a – 6a – 7b – 2b = -4
⇒ a – 9b = -4 …..(iii)
और \(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
⇒ 7(a + b) = 3(3a + b – 2)
⇒ 7a + 7b = 9a + 3b – 6
⇒ 9a + 3b – 6 – 7a – 7b = 0
⇒ 2a – 4b = 6
⇒ 2(a – 2b) = 6
⇒ a – 2b = 3
⇒ a = 3 + 2b …..(iv)
समीकरण (iv) से a = 3 + 2b समीकरण (iii) में रखने पर,
⇒ 3 + 2b – 9b = -4
⇒ -7b = – 4 – 3
⇒ -7b = -7
b = \(\frac{-7}{-7}\) = 1
b के इस मान को समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 3 + 2 × 1
= 3 + 2 = 5
अतः रैखिक समीकरण युग्म के अभीष्ट हल a = 5 तथा b = 1 हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
3x + y = 1 ⇒ 3x + y -1 = 0 …..(i)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
⇒ (2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0 … (ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂x + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = (2k – 1), b₂ = (k – 1), c₂ = – (2k + 1)
कोई हल नहीं है के लिए शर्त

⇒ 6k + 3 ≠ 2k – 1
⇒ 6k – 2k ≠ – 1 – 3
⇒ 4k ≠ -4
⇒ k ≠ -1
और \(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
3(k – 1) = 2k – 1
3k – 3 = 2k – 1
3k – 2k = – 1 + 3
∴ k = 2
अतः k = 2 और k ≠ -1

प्रश्न 3.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन विधि और वज्रगुणन विधि द्वारा हल कीजिए।
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है:
8x + 5y = 9 …..(i)
3x + 2y = 4 …..(ii)
प्रतिस्थापन विधि से : समीकरण (ii) से,
2y = 4 – 3x
⇒ y = \(\frac{4-3 x}{2}\) …..(iii)
y के इस मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,

x + 20 = 18
⇒ x = 18 – 20
∴ x = – 2
x का यह मान समीकरण (3) में रखने पर,
y = \(\frac{4-3 \times-2}{2}=\frac{4+6}{2}\)
∴ y = \(\frac{10}{2}\) = 5
अत: x = – 2 और y = 5
वज्रगुणन विधि से-रैखिक युग्म समीकरण है-
8x + 5y – 9 = 0
और 3x + 2y – 4 = 0

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के हल x = -2 तथा y = 5 होंगे।

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है जब एक विद्यार्थी 4 को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न
हो जाती \(\frac{1}{3}\) है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा गलत उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते और गलत उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। यदि वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि छात्रावास में भोजन करने वाले छात्र के नियत व्यय = ₹ x तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।
20 दिन के भोजन के लिए किया गया भुगतान = नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ (x + 20y)
परन्तु विद्यार्थी A 20 दिन भोजन करने के ₹ 1000 चुकाता है।
∴ x + 20y = 1000 …..(i)
इसी प्रकार, 26 दिन के भोजन के लिए किया गया भुगतान = नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ (x + 26y)
परन्तु विद्यार्थी B 26 दिन भोजन करने के ₹ 1180 चुकाता है।
x + 26y = 1180 …..(ii)
∴ समीकरण (ii) मैं से समीकरण (i) को घटाने पर,

समीकरण (i) में y = 30 रखने पर
x + 20 (30) = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600
∴ x = 400
समीकरण युग्म के अभीष्ट हल x = 400 और y = 30 है।
अत: छात्रावास का नियत व्यय = ₹ 400
तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹ 30

(ii) माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
जब भिन्न के अंश में से 1 घटाया जाता है तो वह \(\frac{x-1}{y}\) हो जाती है।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3(x – 1) = y
⇒ y = 3x – 3 …..(i)
इसी प्रकार जब भिन्न के हर में 8 जोड़ा जाता है तो वह \(\frac{x}{y+8}\) हो जाती है।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
⇒ x = (y + 8) × 1 = x × 4
⇒ y + 8 = 4x …..(ii)
समीकरण (i) से समीकरण (ii) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ 3x – 3 + 8 = 4x
⇒ – 3 + 8 = 4x – 3x
⇒ 5 = x
∴ x = 5
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
y = 3x – 3
= 3 × 5 – 3
= 15 – 3 = 12
y = 12
अत: x = 5, y = 12
∴ अभीष्ट भिन्न = \(\frac{5}{12}\)

(iii) माना कि यश द्वारा हल किए गये सही प्रश्नों की संख्या x है और गलत हल किए गये प्रश्नों की संख्या y है।
पहली शर्त के अनुसार,
3x – y = 40
⇒ 3x – y – 40 = 0 …..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
4x – 2y = 50
⇒ 4x – 2y – 50 = 0 …..(2)
वज्रगुणन विधि से हल करने पर,

सही प्रश्नों की संख्या = 15
तथा गलत प्रश्नों की संख्या = 5
अत: प्रश्नों की कुल संख्या = [सही प्रश्नों की संख्या] + [गलत प्रश्नों की संख्या]
= 15 + 5
= 20

(iv) माना कि स्थान A से चलने वाली कार की चाल = x किमी./ घण्टा
और स्थान B से चलने वाली कार की चाल = y कि.मी./ घण्टा
स्थान A व स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में स्थान A तथा B से चलती हैं तो 5 घण्टे बाद P स्थान पर मिलती हैं।

∴ 5 घण्टे में स्थान A से चली दूरी – 5 घण्टे में स्थान B से चली दूरी = 100 किमी.
⇒ 5x – 5y = 100 [दूरी = चाल × समय]
⇒ x – y = 20 …..(1)
जब कारें विपरीत दिशा में स्थान A तथा B से चलकर Q स्थान पर मिलती हैं तो उन्हें 1 घण्टे में 100 किमी चलना होगा।

∴ 1 घण्टे में स्थान A से चली दूरी + 1 घण्टे में स्थान B से चली दूरी = 100 किमी
⇒ x + y = 100 ……(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर

x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
60 – y = 20 ⇒ y = 40
अतः कारों की चाल 60 किमी./ घण्टा और 40 किमी./ घण्टा है।

(v) माना कि आयत की लम्बाई = x मात्रक
और आयत की चौड़ाई = y मात्रक
∴ आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x × y
= xy वर्ग मात्रक
पहली शर्त के अनुसार,

अतः आयत की लम्बाई = 17 मात्रक
तथा आयत की चौड़ाई = 9 मात्रक

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को विलोपन विधि और प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 और x – \(\frac{y}{3}\) = 3
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 …..(i)
2x – 3y = 4 …..(ii)
विलोपन विधि : समीकरण (i) व (ii) में x का गुणांक समान करने के लिए समीकरण (i) में 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 …..(iii)
अब समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाने पर

अत: समीकरण युग्म का हल x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\) है।

प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (i) से,
⇒ y = 5 – x …..(iii)
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
2x – 3(5 – x) = 4
⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 4 + 15 = 19
x = \(\frac{19}{5}\)
x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
y = \(5-\frac{19}{5}\)
= \(\frac{25-19}{5}=\frac{6}{5}\)
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल
x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\)

विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x + 4y = 10 …..(i)
2x – 2y = 2 …..(ii)
विलोपन विधि: समी. (i) को 2 से तथा समी. (ii) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 8y = 20 …..(iii)
6x – 6y = 6 …..(iv)
अब समी. (iii) मैं से समी. (iv) को घटाने पर,

समीकरण (i) मैं y = 1 रखने पर,
3x + 4(1) = 10
⇒ 3x = 10 – 4 = 6
x = \(\frac{6}{3}\)
∴ x = 2
अतः रैखिक समीकरणं युग्म का हल :
x = 2 तथा y = 1
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
⇒ 2x = 2 + 2y
⇒ 2x = 2(1 + y)
⇒ x = 1 + y …..(iii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
∴ 3(1 + y) + 4y = 10
⇒ 3 + 3y + 4y = 10
⇒ 3 + 7y = 10
⇒ 7y =10 – 3
⇒ 7y = 7
y = \(\frac{7}{7}\) = 1
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = 1 + 1
⇒ x = 2
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = 2 और y = 1
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iii) दिया हुआ समीकरण युग्म :
3x – 5y – 4 = 0
और 9x = 2y + 7
या 3x – 5y = 4 …..(i)
और 9x – 2y = 7 …..(ii)
विलोपन विधि: समीकरण (i) में 2 से तथा समी.
(ii) में 5 से गुणा कर घटाने पर,

अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) और y = –\(\frac{5}{13}\)
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (ii) से,
x = \(\frac{2 y+7}{9}\) ……(iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,

⇒ -13y + 7 = 12
⇒ -13y = 12 – 7
⇒ -13y = 5
⇒ y = \(\frac{-5}{13}\)
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,

अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल :
x = \(\frac{9}{13}\) तथा y = \(\frac{-5}{13}\)
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :

विलोपन विधि: समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,

y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
3x – (3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 9 – 3 = 6
∴ x = \(\frac{6}{3}\) = 2
x = 2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (ii) से,
y = 3x – 9
y का यह मान समी. (i) में प्रतिस्थापित करने पर
3x + 4 (3x – 9) = -6
⇒ 3x + 12x – 36 = -6
⇒ 15x = -6 + 36 = 30
x = \(\frac{30}{15}\) = 2
x का यह मान समी. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर :
3 × 2 – y = 9
6 – y = 9
y = 6 – 9
y = -3
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = -3 हैं।
विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।
[नोट: यह निर्णय विद्यार्थी स्वयं कर लें कि कब कौन-सी विधि उनके लिए उपयुक्त होगी।]

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हम हर में 1 जोड़ दें, तो यह \(\frac{1}{2}\) हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु वर्तमान आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने कितने नोट प्राप्त किए ?
(v) किराये पर पुस्तकें देने वाले किसी ‘पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।
अतः भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
यदि भिन्न के अंश में 1 जोड़ा जाए और हर में से 1 घटाया जाए तो भिन्न \(\frac{x+1}{y-1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
x + 1 = y – 1
⇒ x – y= – 1 – 1
⇒ x – y = – 2 …..(i)
यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा जाए तो भिन्न \(\frac{x}{y+1}\) हो जाएगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
⇒ 2x – y = 1 …..(ii)
समीकरण (i) में 2 से गुणा करके समीकरण (ii) को घटाने पर,

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
x – 5 = – 2
x = – 2 + 5 = 3
अतः भिन्न \(\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{3}{5}\)

(ii) माना कि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, x – 5 = 3 (y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = – 15 + 5
⇒ x – 3y = – 10 …..(i)
10 वर्ष बाद नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
और 10 वर्ष बाद सोनू की आयु = (y – 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2 (y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10
⇒ x – 2y = 10 …..(ii)
समीकरण (i) में से समी. (ii) को घटाने पर,

y का यह मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x – 2 × 20 = 10
⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 10 + 40
∴ x = 50
अत: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष
(iii) माना कि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = y
∴ अभीष्ट संख्या = 10y + x
पहली शर्त के अनुसार, x + y = 9 …..(i)
अंकों को पलटने पर,
इकाई का अंक = y
दहाई का अंक = x
∴ संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
संख्या का 9 गुना = अंकों के पलटने पर प्राप्त संख्या का दो गुना
∴ (10 + x) × 9 = (10x + y) × 2
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 90y + 9x – 20x – 2y = 0
⇒ 88y – 11x = 0
⇒ 11x = 88y
∴ x = 8y …..(ii)
समीकरण (ii) से प्राप्त x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
8y + y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = \(\frac{9}{9}\) = 1
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 8 × 1
⇒ x = 8
∴ संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 10 + 8 = 18
अत: अभीष्ट संख्या = 18

(iv) माना ₹ 50 मूल्य वाले नोटों की संख्या = x
तथा ₹ 100 मूल्य वाले नोटों की संख्या = y
प्रश्नानुसार, कुल नोटों की संख्या 25 है।
∴ x + y = 25 …..(i)
∵ 50 वाले नोटों का मूल्य = 50 × x = ₹ 50x
और ₹ 100 वाले नोटों का मूल्य = 100 × y = ₹ 100y
∴ कुल नोटों का मूल्य = ₹ 50x + 100y
= ₹ 50(x + 2y)
प्रश्नानुसार,
50 (x + 2y) = 2000
x + 2y = \(\frac{2000}{50}\) = 40 …(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर,
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
⇒ x + 2y – x – y = 15
∴ y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 15 = 25
∴ x = 25 – 15 = 10
अतः मीना ने ₹ 50 मूल्य वाले 10 नोट और ₹ 100 मूल्य वाले 15 नोट प्राप्त किए।

(v) माना प्रथम 3 दिनों तक पुस्तकालय का नियत किराया ₹ x है तथा इसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ y है।
7 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का किराया + 4 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ (x + 4y)
परन्तु सरिता ने 7 दिन का किराया ₹ 27 चुकाया
∴ x + 4y = 27 …..(i)
5 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 2 दिन का अतिरिक्त किराया
= ₹ (x + 2y)
परन्तु सूसी ने 5 दिन का किराया ₹ 21 चुकाया
∴ x + 2y = 21 …..(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
⇒ x + 4y – x – 2y = 6
⇒ 2y = 6
∴ y = \(\frac{6}{2}\) = 3
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
⇒ x + 2 × 3 = 21
⇒ x + 6 = 21
⇒ x = 21 – 6
∴ x = 15
अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन का नियत किराया = ₹ 15 और उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3 ।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{2}\)y = 0
\(\sqrt{2}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0
(vi) \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 …..(i)
x – y = 4 …..(ii)
समीकरण (i) से,
⇒ x = 14 – y
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(14 – y) – y = 4
14 – y – y = 4.
-2y = 4 – 14
-2y = -10
∴ y = \(\frac{-10}{-2}\) = 5
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5
∴ x = 9
अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 9 तथा y = 5
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
s – t = 3 …..(i)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
समीकरण (i) से,
5 = 3 + t
s का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
\(\frac{3+t}{3}+\frac{t}{2}=6\)
⇒ \(\frac{2(3+t)+3 t}{6}=6\)
⇒ \(\frac{6+2 t+3 t}{6}=6\)
⇒ 5t + 6 = 36
⇒ 5t = 36 – 6
⇒ 5t = 30
∴ t = \(\frac{30}{5}\) = 6
समीकरण (i) मैं का मान रखने पर,
s – 6 = 3
∴ s = 3 + 6 = 9
अंतः रैखिक समीकरण युग्म का हल s = 9 और t = 6

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x – y = 3 …..(i)
9x – 3y = 9 …..(ii)
समीकरण (i) से,
y = 3x – 3
y का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
9x – 3 (3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है। फिर भी हम x का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं करते। इसलिए y का भी कोई मान प्राप्त नहीं कर सकते हैं।
इस प्रकार की स्थिति तभी पैदा होती है जब दोनों समीकरण एक जैसे हों।
अत: समीकरण (i) व (ii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
0.2x + 0.3y = 1.3 …..(i)
और 0.4x + 0.5y = 2.3 …..(ii)
समीकरण (i) से,
\(\frac{2}{10} x+\frac{3}{10} y=\frac{13}{10}\)
⇒ 2x + 3y = 13 …..(iii)
समीकरण (ii) से,
\(\frac{4}{10} x+\frac{5}{10} y=\frac{23}{10}\)
⇒ 4x + 5y = 23 ….(iv)
समीकरण (iii) से,
2x = 13 – 3y
x = \(\frac{13-3 y}{2}\)
x का यह मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(\frac{13-3 y}{2}\) + 5y = 23
⇒ 2(13 – 3y) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ – y =23 – 26 = -3
∴ y = 3
y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2x + 3 × 3 = 13
⇒ 2x + 9 = 13
⇒ 2x = 13 – 9
⇒ 2x = 4 ⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 3

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
\(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)y =0 …..(i)
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0 ….. (ii)
समीकरण (i) से,
\(\sqrt{2}\)x = –\(\sqrt{3}\)y
⇒ x = \(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\) ….. (iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर,

y का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
∵ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} y\)
∴ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 0=0\)
⇒ x = 0
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल
x = 0 तथा y = 0

(vi) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म

x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(2\left[\frac{10 y-12}{9}\right]\) + 3y = 13
\(\frac{20 y-24}{9}\) + 3y = 13
\(\frac{20 y-24+27 y}{9}\) = 13
⇒ 20y – 24 + 27y = 13 × 9
⇒ 47y = 117 + 24
⇒ 47y = 141
∴ y = \(\frac{141}{47}\) = 3
समीकरण (i) मैं y = 3 रखने पर,
9x – 10 × 3 = – 12
9x – 30 = – 12
9x = – 12 + 30 = 18
x = \(\frac{18}{9}\) = 2
अतः दिए गये रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 और y = 3 हैं।

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
2x + 3y = 11 …..(i)
2x – 4y = -24 …..(ii)
समीकरण (i) से,
2x = 11 – 3y ⇒ x = \(\frac{11-3 y}{2}\) …..(iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(2\left(\frac{11-3 y}{2}\right)\) – 4y = -24
⇒ 11 – 3y – 4y = -24
– 7y = – 24 – 11
– 7y = – 35
∴ y = \(\frac{-35}{-7}\) = 5
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = \(\frac{11-3 \times 5}{2}\)
= \(\frac{11-15}{2}\)
= \(\frac{-4}{2}\) = -2
∴ x = -2
x और y के मान दिये गये समीकरण y = mx + 3 में रखने पर,
5 = m × -2 + 3
या 5 = -2m + 3
या 2m = 3 – 5
या 2m = – 2
या m = \(\frac{-2}{2}\)
∴ m = -1
अतः दिए गए रैखिक समीकरण का हल
x = -2, y = 5 और m = -1

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3,800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1,750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर प्रति किमी के हिसाब से भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 किमी के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{9}{11}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
(i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
∵ एक संख्या दूसरी संख्या की 3 गुनी है।
⇒ x = 3y …..(i)
यहाँ x, y से बड़ा है।
दोनों संख्याओं का अन्तर 26 है।
∴ x – y = 26 …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = \(\frac{26}{2}\) ⇒ y = 13
समीकरणं (i) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
अत: अभीष्ट संख्याएँ x = 39 और y = 13

(ii) माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y° है।
कोण x° और y° एक-दूसरे के संपूरक हैं।
∴ x + y = 180° …..(i)
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
∴ x = y + 18° …..(ii)
समीकरण (ii) से x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ y + 18° + y = 180°
⇒ 2y +18° = 180°
⇒ 2y = 180° – 18° = 162°
∴ y = \(\frac{162}{2}\) = 81°
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 81° + 18° = 99°
अतः बड़ा कोण 99° और छोटा कोण 81° है।

(iii) माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
∴ 7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x
और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y
प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 …..(i)
पुनः 3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y
प्रश्नानुसार,
3x + 5y = 1750 …..(ii)
समीकरण (i) से,
7x = 3800 – 6y
⇒ x = \(\frac{3800-6 y}{7}\) …..(iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
\(3\left[\frac{3800-6 y}{7}\right]\) + 5y = 1750
⇒ \(\frac{11400-18 y+35 y}{7}\) = 1750
⇒ 11400 – 18y + 35y = 1750 × 7
⇒ 11400 + 17y = 12250
⇒ 17y = 12250 – 11400
⇒ 17y = 850
∴ y = \(\frac{850}{17}\) = 50
y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{3800-6 \times 50}{7}=\frac{3800-300}{7}\)
x = \(\frac{3500}{7}\)
∴ x = 500
अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹ 500
और एक गेंद का मूल्य = ₹ 50

(iv) मान लीजिए टैक्सी का निश्चित किराया = ₹ x
और एक किमी यात्रा का किराया = ₹ y
पहली शर्त के अनुसार,
x + 10y = 105 …..(i)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 15y = 155 …..(ii)
समीकरण (i) से,
x = 105 – 10y ….. (iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
105 – 10y + 15y = 155
⇒ 5y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
∴ y = \(\frac{50}{5}\) = 10
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर,
x = 105 – 10 × 10
⇒ x = 105 – 100
∴ x = 5
अतः टैक्सी का निश्चित किराया = ₹ 5
और प्रति किमी यात्रा का किराया = ₹ 10
साथ ही 25 किमी यात्रा का किराया = x + 25y = 5 + 25 × 10
= 5 + 250
= 255 रुपये।

(v) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
तब भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
भिन्न के अंश व हर में 2 जोड़ने पर भिन्न \(\frac{x+2}{y+2}\) होगी।
प्रशनानुसार, \(\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}\)
⇒ 11(x + 2) = 9 (y + 2)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x = 9y + 18 – 22
⇒ 11x = 9y – 4
⇒ x = \(\frac{(9 y-4)}{11}\) …..(i)
भिन्न के अंश व हर में 3 जोड़ने पर भिन्न \(\frac{x+3}{y+3}\) होगी।
प्रश्नानुसार, \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}\)
⇒ 6(x + 3 ) = 5(y + 3)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18
⇒ 6x – 5y = – 3 …..(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ – y – 24 = – 3 × 11
⇒ – y = – 33 + 24
⇒ -y = -9
⇒ y = 9.
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ \(\frac{9 \times 9-4}{11}\)
⇒ \(\frac{81-4}{11}=\frac{77}{11}\)
∴ x = 7
∴ रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 7, y = 9
अतः भिन्न = \(\frac{7}{9}\)

(vi) माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष है।
और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष तथा 5 बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
5 वर्ष के बाद जैकब की आयु = 3 × (5 वर्ष बाद उसक पुत्र की आयु)
x + 5 = 3 × (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु (x – 5) वर्ष और 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = 7 × (5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु)
x – 5 = 7 × (y – 5)
x – 5 = 7y – 35
x – 7y = -35 + 5
x – 7y = – 30 ….(ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(3 y + 10) – 7y = 30
⇒ 3y + 10 – 7y = -30
⇒ – 4y = -30 – 10
⇒ – 4y = – 40
∴ y = \(\frac{-40}{-4}\) = 10
y का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3 × 10 + 10
⇒ x = 30 + 10
∴ x = 40

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्मों का निर्माण कीजिए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिलों और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
∴ कुल संख्या = x + y
प्रश्नानुसार, x + y = 10.
∵ लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है।
∴ x = y + 4 ⇒ x – y = 4
∴ रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 10 …(i)
x – y = 4 …(ii)
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण x + y = 10 से,
⇒ y = 10 – x
x = 3 रखने पर, y = 10 – 3 = 7
x = 7 रखने पर, y = 10 – 7 = 3
x = 8 रखने पर, y = 10 – 8 = 2
सारणी-I

पुन: समीकरण x – y = 4 से
⇒ y = x – 4
x = 2 रखने पर, y = 2 – 4 = -2
y = 7 रखने पर, y = 7 – 4 = 3
y = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
सारणी-II

बिन्दुओं (3, 7), (7, 3) तथा (8, 2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 10 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती है।

पुन: बिन्दुओं (2, -2) (7, 3) तथा (4, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(7, 3) पर प्रतिच्छेदित होती हैं।
∴ बिन्दु P(7, 3) आलेखीय स्थिति है।
अतः लड़कियों की संख्या (x) = 7
तथा लड़कों की संख्या (y) = 3
(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
प्रश्नानुसार, 5 पेंसिलों तथा 7 कलमों का मूल्य ₹ 50 है।
5x + 7y = 50
प्रश्नानुसार, 7 पेंसिलों तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है।
7x + 5y = 46
∴ रैखिक समीकरण युग्म
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ज्यामितीय निरूपण :
समीकरण 5x + 7y = 50 से,
7y = 50 – 5x

सारणी-I

पुन: समीकरण 7x + 5y = 46 से
⇒ 5y = 46 – 7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

सारणी-II

बिन्दुओं (-4, 10) (3, 5) तथा (10, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख रेखा AB प्राप्त होती हैं। पुनः बिन्दुओं (-2, 12), (3, 5) तथा (8, -2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख रेखा CD प्राप्त होती है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरणों से प्राप्त सरल रेखाएँ बिन्दु P(3, 5) पर कांटती हैं।
दिए हुए समीकरण-युग्म का अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।

अत: एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) दिए गए समीकरण युग्म :
5x – 4y + 8 = 0 …(1)
7x + 6y – 9 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c2 = 0 से करने पर,
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
6x – 3y +10 = 0
और 2x – y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 9

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण के युग्म संगत हैं या असंगत हैं :
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण-युग्म है:
3x + 2y = 5 या 3x + 2y – 5 = 0
और 2x – 3y = 7 या 2x – 3y – 7 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7

∴ रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल।
अतः दिया हुआ रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म
2x – 3y = 8
या 2x – 3y – 8 = 0…(i)
और 4x – 6y = 9
या 4x – 6y – 9 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर
a₁ = 2, b₁ = – 3, c₁ = – 8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = – 9

∴ दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया समीकरण युग्म :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0 …(i)
और 9x – 10y = 14
या 9x – 10y – 14 = 0 …(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = -14

समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः दिया गया समीकरण युग्म संगत है।

(iv) दिया गया समीकरणं युग्म :
5x – 3y = 11
या 5x – 3y – 11 = 0 ….(i)
और -10x + 6y = -22
या -10x + 6y + 22 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = -11
a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = 22

समीकरण युग्म सम्पाती है।
दिए गए समीकरण युग्म के अनन्त हल है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
या \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0 …..(i)
और 2x + 3y = 12
और 2x + 3y – 12 = 0 ….(ii)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक युग्म a₁x + b₁y + c = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
यहाँ a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = -8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-से रैखिक समीकरणों के युग्म संगत/असंगत हैं ? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 20, 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 5 या x + y – 5 = 0 …(1)
2x + 2y = 10 या 2x + 2y – 10 = 0 … (2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ =-5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि:
समीकरण (1) से,
x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 2 रखने पर, y = 5 – 2 = 3
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-I

बिन्दुओं A (5, 0) B (2, 3) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण x + y = 5 को इंगित करती है।
समीकरण (2) से,
2x + 2y = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x = 5 रखने पर, y = 5 – 5 = 0
x = 3 रखने पर, y = 5 – 3 = 2
x = 0 रखने पर, y = 5 – 0 = 5
सारणी-II

बिन्दुओं A(5, 0), B (3, 2) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण 2x + 2y = 10 को इंगित करती है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दिया गया रैखिक समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः इनके अपरिमित रूप से अनेकों हल हैं।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
x – y = 8
या x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16
या 3x – 3y – 16 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म् a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16

∵ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 …(1)
4x – 2y – 4 = 0 …(2)
उक्त समीकरणों की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 6
a₂ = 4, b₂ = – 2, c₂ = -4

∴ दिए गए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
अतः समीकरण युग्म संगत है।
आलेखीय विधि : समीकरण (1) से,
2x + y – 6 = 0
⇒ y = 6 – 2x
x = 3 रखने पर, y = 6 – 2 × 3 = 6 – 6 = 0
x = 2 रखने पर, y = 6 – 2 × 2 = 6 – 4 = 2
x = 4 रखने पर, y = 6 – 2 × 4= 6 – 8 = -2
सारणी-I

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2y = 4x – 4
⇒ y = \(\frac{4 x-4}{2}\) = 2x – 2
x = 1 रखने पर, y = 2 × 1 – 2 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 × 2 – 2 = 4 – 2 = 2
x = 0 रखने पर, y = 2 × 0 – 2 = 0 – 2 = -2
सारणी-II

पुन: बिन्दुओं D(1, 0), B(2, 2), E(0, -2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि दिए गए समीकरण युग्म की दो सरल रेखाएँ बिन्दु B(2, 2) पर काटती हैं।
x = 2, y = 2
अतः दिए गए समीकरण युग्म के अद्वितीय हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं:
2x – 2y – 2 = 0
और 4x – 4y – 5 = 0
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = – 2
a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

∴ दिए गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर
और चौड़ाई y मीटर हैं।
दिया है, लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 या x – y = 4
आयताकार बाग का परिमाप = 2 (x + 1) मीटर
आयताकार बांग का अर्द्धपरिमाप = \(\frac{1}{2}\) × परिमाप
= \(\frac{1}{2}\)× 2 (x + y)
= (x + y) मीटर
परन्तु दिया है अर्द्ध परिमाप = 36 मीटर
∴ x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 4
और x + y = 36
ज्यामितीय विधि द्वारा हल :
समीकरण x – y = 4
⇒ y = x – 4
x = 0 रखने पर, y = 0 – 4 = -4
x = 4 रखने पर, y = 4 – 4 = 0
x = 20 रखने पर, y = 20 – 4 = 16
सारणी-I

पुन: समीकरण x + y = 36 से
⇒ y = 36 – x
x = 30 रखने पर, y = 36 – 30 = 6
x = 20 रखने पर, y = 36 – 20 = 16
x = 10 रखने पर, y = 36 – 10 = 26
सारणी-II

बिन्दुओं A(0, -4), B(4, 0) और P(20, 16) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – y = 4 का आलेख प्राप्त होता है। पुनः बिन्दुओं C(30, 6) P(20, 16 ) तथा D(10, 26) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु P(20, 16) पर काटता है।
∴ x = 20, y = 16
अतः बाग की लम्बाई = 20 मीटर
बाग का चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि :
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण
2x + 3y – 8 = 0
व्यापक रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तुलना करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 8
(i) जब समीकरण युग्म प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}\)
अर्थात् a₂ का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b₂ का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a₂ ≠ 2 तथा b₂ ≠ 3 और a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y – 7 = 0 है।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है, तो शर्त

अर्थात् a₂ और b₂ का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a₂ = 2k तथा b₂ = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।
∵ \(\frac{3}{b_2} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ \(\frac{3}{3 k} \neq \frac{-8}{c_2}\)
⇒ c₂ ≠ -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – mk = 0; m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y – 12 = 0 है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{a_2}=\frac{3}{b_2}=\frac{-8}{c_2}=\frac{1}{k}\)
⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 है।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण युग्म है :
x – y + 1 = 0 ….(1)
3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के ग्राफ के लिए
⇒ y = x + 1
x = – 1 रखने पर, y = -1 + 1 = 0
x = 2 रखने पर, y = 2 + 1 = 3
x = 0 रखने पर, y = 0 + 1 = 1
सारणी-I

बिन्दुओं A(-1, 0), B (2, 3), C(0, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुन: समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 से
⇒ 2y = 12 – 3x
⇒ y = \(\frac{12-3 x}{2}\)

बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3) और E(0, 6) को आलेखित कर समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है। दोनों रेखाएँ बिन्दु B(2, 3) पर काटती हैं।
X-अक्ष पर ΔBAD छायांकित भाग प्राप्त होता है। जिसके शीर्ष B(2, 3), A(-1, 0) तथा D(4, 0) प्राप्त होते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना कि आफताब की वर्तमान आयु वर्ष है
और आफताब की पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।
बीजगणितीय स्थिति :
प्रथत शर्त के अनुसार,
x – 7 = 7(y – 7) = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 3 = 3(y + 3) = 3y +9
⇒ x – 3y – 6 = 0
∴ दो चरों वाला रैखिक समीकरण युग्म
x – 7y + 42 = 0 ……..(i)
x – 3y – 6 = 0 ……..(ii)
ग्राफीय निरूपण
समीकरण (i) से,
x – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = x + 42
⇒ y = \(\frac{x+42}{7}\)
x = -7 रखने पर, y = \(\frac{-7+42}{7}\) = 5
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0+42}{7}\) = 6
x = 7 रखने पर, y = \(\frac{7+42}{7}\) = 7
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे:

समीकरण x – 3y – 6 = 0 से,
3y = x – 6
y = \(\frac{x-6}{3}\)
x = 6 रखने पर, y = \(\frac{6-6}{3}\) = 0
x = 3 रखने पर, y = \(\frac{3-6}{3}\) = -1
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0-6}{3}\) = -2
x के विभिन्न मानों के लिए के मान निम्न होंगे :

अब बिन्दुओं (-7, 5), (0, 6) और (7, 7) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 7y + 42 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा AB प्राप्त होती हैं।
पुन: बिन्दुओं (0, -2), (3, -1) और (6, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 3y – 6 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3,900 में 3 बल्ले (Bats) तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में, उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1,300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक बल्ले की कीमत ₹ x तथा एक गेंद की कीमत ₹ y है।
दिया है कि 3 बल्ले तथा 6 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 3900.
∴ 3x + 6y = 3900
या x + 2y = 1300
दिया है कि बल्ले तथा 3 गेंदों की कुल कीमत
= ₹ 1300
तब x + 3y = 1300
बीजगणितीय निरूपण :
x + 2y = 1300…(i)
तथा x + 3y = 1300…(ii)
आलेखीय निरूपण आलेखीय निरूपण करने के लिए हमें समीकरण युग्म के प्रत्येक समीकरण के कम-से-कम दो हल निकालने होंगे।
प्रथम समीकरण से,
x + 2y = 1300
y = \(\frac{1300-x}{2}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{2}=\frac{1200}{2}\) = 600
x = 300 रखने पर,
y = \(\frac{1300-300}{2}=\frac{1000}{2}\) = 500
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{2}=\frac{900}{2}\) = 450
सारणी-1

दूसरे समीकरण से:
x + 3y = 1300
⇒ 3y = 1300 – x
⇒ y = \(\frac{1300-x}{3}\)
x = 100 रखने पर,
y = \(\frac{1300-100}{3}=\frac{1200}{3}\) = 400
x = 400 रखने पर,
y = \(\frac{1300-400}{3}=\frac{900}{3}\) = 300
x = 700 रखने पर,
y = \(\frac{1300-700}{3}=\frac{600}{3}\) = 200
सारणी-II

अब बिन्दुओं (100, 600), (300, 500) और (400, 450) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 2y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (100, 400), (400, 300) और (700, 200) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x + 3y = 1300 का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।

आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिन्दु P(1300, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रश्न 3.
2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना एक दिन किग्रा सेब का मूल्य ₹ x और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y था।
दिया है : 2 किग्रा सेब तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 160 है।
∴ 2x + y = 160
1 महीने बाद 4 किग्रा सेब तथा 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 है।
∴ 4x + 2y = 300
बीजगणितीय निरूपण :
2x + y = 160 …(1)
तथा 4x + 2y = 300 …(2)
ज्यामितीय निरूपण
समीकरण (1) से,
2x + y = 160
⇒ y = 160 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 160 – 2 × 0 = 160
x = 50 रखने पर, y = 160 – 2 × 50
= 160 – 100 = 60
x = 75 रखने पर, y = 160 – 2 × 75
= 160 – 150 = 10
सारणी I

समीकरण (2) से,
4x + 2y = 300
या 2(2x + y) = 300
या 2x + y = 150
या y = 150 – 2x
x = 0 रखने पर, y = 150 – 2 × 0 = 150
x = 50 रखने पर, y = 150 – 2 × 50
= 150 – 100 = 50
x = 100 रखने पर y = 150 – 2 × 100
= 150 – 200 = -50
सारणी II

अब बिन्दुओं (0, 160), (50, 60) तथा (75, 10) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + y = 160 का आलेख एक सरल AB प्राप्त होती है।
पुन: बिन्दुओं (0, 150), (50, 50) तथा (100, -50) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x + 2y = 300 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

अत: सरल रेखाएँ AB व CD दिए गये कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप है। आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
दी गई संख्याएँ = \(\frac{1}{2}\), 1, -2

\(\frac{1}{2}\), बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
अब p(1) = 2 (1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 0
∴ 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अब p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= 2 × -8 + 4 + 10 + 2
= -16 + 16 = 0
∴ -2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः \(\frac{1}{2}\), 1 व -2 बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2) = –\(\frac{1}{2}\)
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1 × (-2) + (-2) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3 = –\(\frac{5}{2}\)
शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 × -2 = -1
बहुपद 2x³ + x² – 5x + 2 के पदों की तुलना त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d से करने पर,
a = 2, b = 1, c = -5 और d = 2 यदि बहुपद के शून्यक α, β और γ हों तो,
शून्यकों का योग (α + β + γ) = –\(\frac{b}{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)
तथा αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}\)
और शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(\frac{-2}{2}\) = -1
∴ बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सही है।

(ii) त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 दी गई संख्याएँ = 2, 1, 1
अब p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
अत: 2 बहुपद p(x) का शून्यक है।
पुनः p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
अतः 1 बहुपद p(x) का शून्यक है।
अतः स्पष्ट है कि बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक 2, 1 और 1 है।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 1 × 1 = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग
= ( 2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों की तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर a = 1, b = – 4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों, तो
शून्यकों का योग = (α + β + γ)
= \(-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}\) = 4
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग = (αβ + βγ + γα)
= \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}\) = 5
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
= \(-\left(\frac{-2}{1}\right)\) = 2
अत: बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल:
माना बहुपद के शून्यक α, β और γ हों, तो
शून्यक का योग (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल αβγ = -14
∴ वांछित त्रिघात बहुपद
= x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अतः अभीष्ट बहुपद x³ – 2x² – 7x + 14 है।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद x³ – 3x² + x + 1
दिए गए बहुपद की तुलना Ax³ + Bx² + Cx + D से करने पर A = 1, B = -3, C = 1 तथा D = 1.
शून्यकों का योग = \(-\frac{B}{A}=-\left(\frac{-3}{1}\right)\) = 3
परन्तु शून्यक a – b, a तथा a + b हैं।
∴ a – b + a + a + b = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac{3}{3}\) = 1
शून्यकों का गुणनफल = \(-\frac{D}{A}=-\left(\frac{1}{1}\right)\) = -1
परन्तु शून्यकों का गुणनफल = (a – b) (a) (a + b)
= a(a² – b²)
तब a(a² – b²) = -1
∴ 1(1² – b²) = -1
⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 2 ⇒ b ± \(\sqrt{2}\)
अतः a = 1 और b ± \(\sqrt{2}\).

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt{3}\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि दो शून्यक (2 + \(\sqrt{3}\)) और (2 – \(\sqrt{3}\)) है।
∴ [x – (2 + \(\sqrt{3}\))] [x – (2 – \(\sqrt{3}\))]
= [(x – 2) – \(\sqrt{3}\)] [(x – 2) + \(\sqrt{3}\)]
= (x – 2)² – (\(\sqrt{3}\))2 = x² – 4x + 1
दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
पुन: x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 को x² – 4x + 1 से विभाजित करने पर

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर
∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1 ) [x² – (7 – 5)x – 35]
= (x² – 4x + 1 ) [x² – 7x + 5x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x(x – 7) + 5(x – 7)]
= (x² – 4x + 1)(x – 7)(x + 5)
अब बहुपद के अन्य शून्यकः
यदि x + 5 = 0 हो, तो x = -5
या फिर x – 7 = 0 हो, तो x = 7
अतः दिए गए चार घात वाले बहुपद के अन्य शून्यक -5 और 7 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k और a ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को x² – 2x + k से भाग देने पर शेषफल x + a आता है।

बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 = (x – 2x + k) [x² – 4x + (8 – k)] + [(-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
∴ भागफल = x² – 4x + (8 – k)
और शेषफल = (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
परन्तु शेषफल = x + a
∴ (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²) = x + a
समान गुणांकों की तुलना करने पर,
-9 + 2k = 1 तथा 10 – 8k + k² = a
या 2k = 1 + 9
या 2k = 10
या k = \(\frac{10}{2}\) = 5
अब k का मान 10 – 8k + k² = a में रखने पर,
10 – 8(5) + (5)² = a
या 10 – 40 + 25 = a
या -40 + 35 = a
या -5 = a
अर्थात् a = -5
अतः k = 5 और a = -5