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Jharkhand Board JAC Class 9 Science Important Questions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Important Questions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

1. किसी वस्तु के पृथ्वी की ओर गिरने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा-
(a) बढ़ेगी
(b) घटेगी
(c) स्थिर रहेगी
(d) कभी बढ़ेगी और कभी घटेगी।
उत्तर:
(b) घटेगी।

2. ऊर्जा किस प्रकार की राशि है?
(a) अदिश
(b) सदिश
(c) सदिश या अदिश कोई भी
(d) इनमें से कोई भी नहीं।
उत्तर:
(a) अदिश।

3. किसी पिण्ड को बल लगाकर विस्थापित किया जाता है किया गया कार्य न्यूनतम तब होगा, जब बल तथा विस्थापन के बीच कोण होगा-
(a) 30°
(c) 90°
(b) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) 90°।

4. निम्नलिखित में से अशुद्ध कथन है-
(a) सामर्थ्य कार्य / समय
(b) कार्य = बल x विस्थापन
(c) कार्य = सामर्थ्य x दूरी
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) सामर्थ्य – सामर्थ्य दूरी।

5. शक्ति का मात्रक होता है-
(a) जूल
(b) जूल सेकण्ड
(c) जूल / सेकण्ड
(d) जूल सेकण्ड।
उत्तर:
(c) जूल / सेकण्ड।

6. किसी कारक द्वारा कार्य करने की दर को कहते हैं-
(a) शक्ति
(b) ऊर्जा
(c) बल
(d) संवेग।
उत्तर:
(a) शक्ति।

7. 10 किग्रा द्रव्यमान का एक पिण्ड स्वतन्त्र रूप से वायु में गिरते हुए 8 मीटर की दूरी तय करता है। यदि गुरुत्वीय त्वरण 10 मीटर/ सेकण्ड² हो, तो पिण्ड पर कृत कार्य होगा-
(a) 80 जूल
(b) 100 जूल
(c) 800 जूल
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) 800 जूल।

8. किसी पिण्ड का द्रव्यमान दो गुना तथा वेग आधा करने पर उसकी गतिज ऊर्जा हो जाएगी-
(a) आधी
(b) दो गुनी
(c) अपरिवर्तित
(d) चौथाई।
उत्तर:
(a) आधी।

9. 1 किलोवॉट घण्टा में जूल की संख्या होगी-
(a) 3600
(b) 36 x 10³
(c) 3.6 x 10⁵
(d) 3.6 x 10⁶।
उत्तर:
(d) 3.6 x 10⁶।

10 यान्त्रिक ऊर्जा को वैद्युत ऊर्जा में बदलने वाला यन्त्र है-
(a) वोल्टमीटर
(b) डायनमो
(c) मोटर
(d) ट्रांसफॉर्मर।
उत्तर:
(b) डायनमो।

11. एक मशीन 200 जूल कार्य 8 सेकण्ड में करती है। मशीन की सामर्थ्य होगी-
(a) 25 वॉट
(b) 25 जूल
(c) 1600 जूल सेकण्ड
(d) जूल सेकण्ड।
उत्तर:
(b) 25 जूल।

12. निम्नलिखित में से कौन-सा कार्य का मात्रक नहीं है?
(a) जूल
(b) न्यूटन मीटर
(c) वॉट
(d) किलोवॉट – घण्टा।
उत्तर:
(c) वॉट।

13. ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद की उच्चतम बिन्दु पर ऊर्जा का रूप होता है-
(a) स्थितिज
(b) गतिज
(c) ध्वनि
(d) प्रकाश।
उत्तर:
(a) स्थितिज।

14. निम्नलिखित में से किस स्थिति में कोई कार्य नहीं होता, जब-
(a) लकड़ी के टुकड़े में कील ठोंकी जाती है।
(b) किसी बक्से को क्षैतिज पृष्ठ पर खिसकाया जाता है
(c) गति की दिशा के समांतर तल का कोई घटक नहीं होता
(d) गति की दिशा के लम्बवत् तल का कोई घटक नहीं होता।
उत्तर:
(c) गति की दिशा के समांतर तल का कोई घटक नहीं होता।

15. निम्नलिखित में से किसमें गतिज ऊर्जा है?
(a) पृथ्वी तल से 4m ऊँचाई पर उठा हुआ 10 kgwt का एक पिण्ड
(b) चाबी भरी हुई घड़ी की स्प्रिंग
(c) भूमि पर लुढ़कती क्रिकेट की गेंद
(d) बाँध के जलाशय में भरा पानी।
उत्तर:
(c) भूमि पर लुढ़कती क्रिकेट की गेंद।

रिक्त स्थान भरो

1. कार्य बल x ……………. ।
2. कार्य करने की क्षमता को ……………. कहते हैं।
3. ऊर्जा एक ……………. राशि है।
4. ऊर्जा का SI मात्रक …………….

उत्तर:

1. विस्थापन
2. ऊर्जा
3. अदिश
4. जूल।

सुमेलन कीजिए

कॉलम ‘क’	कॉलम ‘ख’
1. F	(क) Mgh
2. W	(ख) \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv²
3. EK	(ग) F x S
4. Ep	(घ) Mg

उत्तर:
1. (घ) Mg
2. (ग) F x S
3. (ख) \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv²
4. (क) Mgh

सत्य / असत्य

1. कार्य धनात्मक होता है जब बल वस्तु की दिशा में लगाया जाता है।
2. ऊर्जा एक सदिश राशि है।
3. ऊर्जा का SI मात्रक N है।
4. धनात्मक कार्य पृथ्वी के गुरुत्व बल की दिशा में किया गया कार्य है।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य।

अति लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यांत्रिक ऊर्जा के मुख्य दो रूप कौन-कौन से हैं?
उत्तर:

1. गतिज ऊर्जा
2. स्थितिज ऊर्जा।

प्रश्न 2.
बाँध बनाकर जलाशय में रोके गए पानी में कौन सी ऊर्जा संचित है?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा।

प्रश्न 3.
एक ऐसा उदाहरण दीजिए जिसमें गतिज तथा स्थितिज दोनों प्रकार की ऊर्जा हो।
उत्तर:
उड़ता हुआ पक्षी।

प्रश्न 4.
जब वस्तु ऊपर फेंकी जाती है, तो ऊर्जा रूपान्तरण कैसे होता है?
उत्तर:
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित होती जाती है।

प्रश्न 5.
जब कोई पत्थर गुरुत्व बल के कारण मुक्त रूप से गिरता है तो ऊर्जा रूपान्तरण कैसे होता है?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा, गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होती जाती है।

प्रश्न 6.
नीचे गिर रही गेंद में ऊर्जा का रूपान्तरण किस प्रकार होता है?
उत्तर:
जब कोई गेंद नीचे की ओर गिरती है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा में बदलती जाती है।

प्रश्न 7.
किसी कारक की शक्ति से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
शक्ति – किसी कारक के कार्य करने की समय- दर को उसकी शक्ति कहते हैं।

प्रश्न 8.
S. I. पद्धति में शक्ति का मात्रक लिखिए।
उत्तर:
S. I. पद्धति में शक्ति का मात्रक वाट अथवा जूल / सेकण्ड है।

प्रश्न 9.
वाट तथा किलोवाट घण्टा किन भौतिक राशियों के मात्रक हैं?
उत्तर:
वाट शक्ति का तथा किलोवाट घण्टा ऊर्जा का मात्रक है।

प्रश्न 10.
चाबी से चलने वाली एक खिलौना कार में किस प्रकार का ऊर्जा रूपान्तरण होता है?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में रूपान्तरण।

प्रश्न 11.
एक वस्तु पर 40 न्यूटन का बल लगाकर 20 मीटर तक विस्थापित करने में 200 जूल कार्य करना पड़ता है, बल तथा विस्थापन के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, F = 40N, s = 20m,
W = 200 J, θ =?
∵ W = F s cos θ
cos θ = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{F} \times \mathrm{s}}=\frac{200}{40 \times 20}=\frac{1}{2}\)
या cos θ = cos 60° ⇒ θ = 60°
अतः बल तथा विस्थापन के बीच कोण θ = 60° उत्तर

प्रश्न 12.
यदि किसी वस्तु का वेग तीन गुना कर दिया तो गतिज ऊर्जा कितने गुनी हो जाएगी?
उत्तर:
9 गुनी हो जाएगी।

प्रश्न 13.
किन दशाओं में किसी पिण्ड पर बल लगाने पर बल के द्वारा किया गया कार्य शून्य होगा?
उत्तर:
जब पिण्ड का विस्थापन शून्य हो अथवा बल पिण्ड की गति के लम्बवत् हो।

प्रश्न 14.
अधिकतम कार्य के लिए बल एवं विस्थापन के बीच का कोण कितना होना चाहिए?
उत्तर:
अधिकतम कार्य के लिए बल एवं विस्थापन के बीच का कोण शून्य होना चाहिए।

प्रश्न 15.
किसी पिण्ड पर F बल लगाकर उसे बल की दिशा से 0 कोण बनाते हुए दूरी तक विस्थापित किया गया है। बल द्वारा किए गए कार्य के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
कार्य (W) = F s cosθ.

प्रश्न 16.
एक मनुष्य नदी की धारा के विपरीत तैर रहा है। किनारे पर खड़े व्यक्ति को मनुष्य स्थिर दिखाई देता है। समझाइए कि मनुष्य कार्य कर रहा है अथवा नहीं।
उत्तर:
चूँकि तैरने वाले मनुष्य का विस्थापन शून्य है, अतः इसके द्वारा किए गए कार्य का मान शून्य होगा।

प्रश्न 17.
वृत्तीय गति में बल तथा विस्थापन की दिशाएँ क्या होती हैं? एक वस्तु वृत्तीय पथ पर एक चौथाई चक्कर पूरा करती है, उसने कितना कार्य किया होगा?
उत्तर:
बल केन्द्र की दिशा में (त्रिज्या के अनुदिश ) तथा विस्थापन स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। शून्य कार्य किया जाता है।

प्रश्न 18.
एक भार को सिर पर रखे हुए खड़ा व्यक्ति कुछ ही देर में थक जाता है, जबकि वह कोई कार्य नहीं करता, क्यों? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
यद्यपि मनुष्य किसी बाह्य बल के विरुद्ध कार्य नहीं करता है, परन्तु शरीर के भीतर जैव-रासायनिक क्रियाओं में ऊर्जा खर्च करने के कारण शीघ्र ही थक जाता है।

प्रश्न 19.
एक व्यक्ति एक पत्थर को धकेलने के लिए 20 मिनट तक प्रयत्न करता रहा। क्या उसने कोई कार्य किया? यदि नहीं, तो उसे थकावट क्यों महसूस होती है?
उत्तर:
चूँकि प्रश्न में विस्थापन शून्य हैं; अतः व्यक्ति ने कोई कार्य नहीं किया; क्योंकि
कार्य – बल x बल की दिशा में विस्थापन।
मनुष्य को थकावट पृथ्वी के आकर्षण बल के विरुद्ध व्यय ऊर्जा के कारण होती है।

प्रश्न 20.
ऊर्जा से आप क्या समझते हो? उदाहरण भी दीजिए।
उत्तर:

1. ऊर्जा- किसी वस्तु के कार्य करने की क्षमता को ‘ऊर्जा’ कहते हैं।
2. उदाहरण- गिरते हुए हथौड़े में, चलती हुई बन्दूक की गोली आदि में ऊर्जा है।

प्रश्न 21.
यान्त्रिक ऊर्जा से क्या तात्पर्य है? यह कितने प्रकार की होती है?
उत्तर:
यान्त्रिक ऊर्जा किसी वस्तु में केवल यान्त्रिक कारणों से कार्य करने की जो क्षमता होती है, उसे वस्तु की यान्त्रिक ऊर्जा कहते हैं। यह गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा के रूप में दो प्रकार की होती है- अतः यान्त्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा।

प्रश्न 22.
जब हम धनुष पर तीर चढ़ाते हैं तो उसमें कैसी ऊर्जा संचित होती है?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा।

लघु एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक ऐसा उदाहरण दीजिए जहाँ बल, वस्तु की गति की दिशा के लंबवत् कार्य कर रहा हो। इस स्थिति में बल द्वारा वस्तु पर कितना कार्य किया जाता है?
उत्तर:
जब हम किसी डोरी के एक सिरे पर पत्थर बाँधकर उसे सिर के ऊपर क्षैतिज तल में वृत्ताकार मार्ग पर घुमाते हैं तो इस स्थिति में पत्थर पर बल, डोरी की दिशा में लग रहा है। क्योंकि पत्थर वृत्ताकार पथ पर गति करता है इसलिए हर क्षण पत्थर की गति की दिशा वृत्त की स्पर्श रेखा के अनुदिश होगी जोकि बल की दिशा के लंबवत् है।

यहाँ बल की दिशा में पत्थर के विस्थापन का प्रक्षेप शून्य होगा। अतः बल द्वारा वस्तु पर किया गया कार्य भी शून्य होगा।

प्रश्न 2.
विभिन्न प्रकार की स्थितिज ऊर्जाओं को बताइए।
उत्तर:
वस्तुओं में स्थितिज ऊर्जा विभिन्न रूपों में हो सकती है; जैसे-
(a) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (Gravitational Potential Energy ) – गुरुत्वीय बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण वस्तुओं में संचित ऊर्जा गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कहलाती है। पृथ्वी तल पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है।
यदि m द्रव्यमान की वस्तु को पृथ्वी तल से h ऊँचाई तक उठाया जाए तो
वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (E_p) = वस्तु को गुरुत्वाकर्षण बल (F =mg) के विरुद्ध। ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य = F x h = m x g x h
जहाँ, g गुरुत्वीय त्वरण है।
अतः गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा = द्रव्यमान x गुरुत्वीय त्वरण x ऊँचाई

(b) प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (Elastic Potential Energy ) – यदि किसी स्प्रिंग के एक सिरे को दृढ़ आधार से बाँधकर इसके दूसरे सिरे पर पिण्ड लटकाने पर सन्तुलन की अवस्था से थोड़ा सा विस्थापन करके छोड़ दिया जाए तो यह ऊपर-नीचे दोलन करने लगता है क्योंकि पिण्ड को नीचे खींचने में कृत कार्य स्प्रिंग में स्थितिज ऊर्जा के रूप में एकत्रित हो जाता है एवं पिण्ड को छोड़ने पर यह स्थितिज ऊर्जा, गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। स्प्रिंग में संचित इस ऊर्जा को प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।

स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा निम्नलिखित सूत्र से दी जाती है-
U = \(\frac { 1 }{ 2 }\)Kx²
या U = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x बल नियतांक x (लम्बाई में वृद्धि)²

(c) स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा (Electrostatic Poten- tial energy) – आवेशों के आकर्षण अथवा प्रतिकर्षण के कारण निकाय में जो स्थितिज ऊर्जा होती है, उसे स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।

(d) चुम्बकीय स्थितिज ऊर्जा (Magnetic Potential Energy ) – यदि चुम्बकीय क्षेत्र में कोई धारावाही चालक अथवा कोई आवेश गतिमान है, तो उस पर लगने वाले चुम्बकीय बल के कारण उसमें कार्य करने की जो क्षमता उत्पन्न होती है, उसे चुम्बकीय स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।

(e) रासायनिक ऊर्जा (Chemical Energy ) – पदार्थ में उसकी विशेष परमाण्वीय संरचना के कारण जो स्थितिज ऊर्जा संचित रहती है, उसे रासायनिक स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।

प्रश्न 3.
सूर्य को ऊर्जा का मूल स्रोत क्यों कहते हैं?
उत्तर:
सूर्य से प्राप्त ऊर्जा को सौर ऊर्जा कहते हैं। सूर्य से प्राप्त ऊर्जा का अधिकांश भाग प्रकाशीय व ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में होता है। सूर्य से प्राप्त ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदला जा सकता है।

पृथ्वी पर सूर्य की ऊर्जा के उपयोग से ही पौधों प्रकाश संश्लेषण की क्रिया सम्पादित होती है। इसका उपयोग खाना पकाने, खाना गर्म करने आदि में किया जाता है। सूर्य की ऊर्जा का स्रोत उसमें उपस्थित हल्के नाभिकों का संलयन है। सूर्य के केन्द्र का ताप 2 x 10⁷ K होता है तथा इसका 90% भाग हल्के तत्वों से बना है जिसमें हाइड्रोजन मुख्य है।

सूर्य के केन्द्र में इतना अधिक ताप होने पर हाइड्रोजन नाभिक संलयन क्रिया करके हीलियम नाभिक बनाते हैं, जिसके फलस्वरूप अत्यधिक ऊर्जा उत्सर्जित होती है। सूर्य में नाभिकीय संलयन की अभिक्रिया होती है। इसके अतिरिक्त नाभिकीय विखण्डन की अभिक्रिया द्वारा नाभिकीय ईंधन से ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है।

नाभिकीय विखण्डन में एक भारी नाभिक, दो छोटे नाभिकों में टूटता है इस प्रक्रिया में द्रव्यमान की क्षति होती है तथा ऊर्जा मुक्त होती है। इस ऊर्जा का परिकलन आइन्स्टीन के द्रव्यमान ऊर्जा समीकरण E = mc² द्वारा किया जाता है। परमाणु बम नाभिकीय विखण्डन की प्रक्रिया पर आधारित है, इसमें यूरेनियम अथवा प्लूटोनियम विखण्डित किया जाता है जिससे अपार ऊर्जा प्राप्त होती है।

प्रश्न 4.
एक पिण्ड पर बल लगाकर उसे विस्थापित किया जाता है, बताइए – (i) पिण्ड पर किस दिशा में बल लगाने पर अधिकतम कार्य होगा? (ii) पिण्ड पर किस दिशा में बल लगाने पर कार्य शून्य होगा?
उत्तर:
पिण्ड पर किए गए कार्य का सूत्र W = F x s cos θ से,
(i) यदि θ = 0° तो cos 0° = 1 जो कि cos θ का अधिकतम मान है।
अत: W (अधिकतम) = F x s
अत: जब पिण्ड का विस्थापन लगाए गए बल की दिशा में होता है, अर्थात् 60° तो किया गया कार्य अधिकतम होगा।

(ii) यदि θ = 90° तो cos 90° = 0 जो कि cos 8 का न्यूनतम मान है।
अत: W (न्यूनतम) = 0
अत: जब पिण्ड का विस्थापन लगाए गए बल के लम्बवत् होता है, अर्थात् θ = 90° तो किया गया कार्य शून्य (न्यूनतम) होगा।

प्रश्न 5.
वृत्ताकार गति से कार्य शून्य क्यों होता है?
उत्तर:
वृत्ताकार गति में कार्य शून्य- जब कोई वस्तु किसी बल के अन्तर्गत वृत्ताकार मार्ग पर गति करती है तो बल की दिशा सदैव वृत्त के केन्द्र की ओर दिष्ट रहती है, जबकि विस्थापन की दिशा सदैव वृत्त पर स्पर्शी की दिशा में होती है। चूँकि बल और विस्थापन परस्पर लम्बवत् होते हैं; अतः वृत्तीय गति में कृत कार्य शून्य होता है।

प्रश्न 6.
किसी वृत्तीय कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन को एक चक्कर लगाने में कितना कार्य करना पड़ता है?
उत्तर:
वृत्तीय कक्षा में गति करते समय इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला नाभिक का आकर्षण बल गति की दिशा के लम्बवत् होता है अर्थात् बल और विस्थापन के बीच सदैव θ = 90° होता है; अत: कार्य W = F x s cos θ = F x s cos 90° = 0 (शून्य) होगा।
इस प्रकार, वृत्तीय गति में इलेक्ट्रॉन द्वारा एक या एक से अधिक चक्कर लगाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

प्रश्न 7.
किसी वस्तु द्वारा किए गए कार्य तथा किसी वस्तु पर किए गए कार्य का अन्तर उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर:
जब वस्तु का विस्थापन लगाए गए बाह्य बल की दिशा में होता है तो वस्तु पर कार्य किया जाता इसके विपरीत जब वस्तु का विस्थापन बल की विपरीत दिशा में होता है तो कार्य वस्तु द्वारा किया जाता है।

उदाहरण 1- यदि किसी बर्तन में भरी गैस को बल द्वारा दबाएँ तो कार्य गैस पर किया गया। इसके विपरीत यदि बर्तन की गैस फैलती है तो यह वायुमण्डलीय दाब के विरुद्ध गैस द्वारा किया गया कार्य है।

उदाहरण 2 – जब कोई गतिमान पिण्ड किसी स्प्रिंग से टकराता है अथवा उसे दबाता है, तब स्प्रिंग पिण्ड पर गति के विपरीत दिशा में बल लगाती है और पिण्ड का विस्थापन स्प्रिंग द्वारा लगे बल के विपरीत दिशा में होता है; अतः कार्य पिण्ड द्वारा किया जाता है। इसके विपरीत दबी हुई स्प्रिंग जब फैलती है तो पिण्ड को बल की दिशा में विस्थापित करती है; अतः कार्य पिण्ड पर किया जाता है।

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक कुली 50 किग्रा की किसी वस्तु को लेकर 3 मीटर ऊँची बस की छत पर चढ़ता है। उसे गुरुत्वीय बल के विरुद्ध कितना कार्य करना पड़ेगा? (g = 9.8 मीटर / सेकण्ड )
हल:
दिया है, F = mg = 50 x 9.8 = 490 न्यूटन
θ = 0°, s = 3 मीटर, W = ?
∵ W = Fs cos θ
= 490 x 3 x cos 0°
= 490 × 3 × 1
W = 1470 जूल

प्रश्न 2.
एक पिण्ड पर 20 न्यूटन का बल लगाकर उसे बल की दिशा से 45° का बनाते हुए 40 मीटर विस्थापित किया जाता है। किए गए कार्य की गणना कीजिए।
हल:
दिया है, F = 20 न्यूटन,
θ = 45°, s = 40 मीटर, W = ?
किया गया कार्य
∵ W = Fs cos θ
= 20 x 40 cos 45° = 800 x \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
W = 400 \(\sqrt{2}\) जूल

प्रश्न 3.
एक व्यक्ति किसी भवन की पाँचवीं मंजिल पर चढ़ने में 5000 जूल कार्य करता है और 5 मिनट का समय लेता है। उसके शक्ति की गणना कीजिए।
हल:
दिया है, W= 5000 जूल,
t = 5 मिनट = 300 सेकण्ड
∵ शक्ति P = \(\frac{\mathrm{W}}{t}=\frac{5000}{300}\)
P = \(\frac { 50 }{ 3 }\) वॉट
= 16.67 W

प्रश्न 4.
12 किग्रा द्रव्यमान 25 मीटर ऊँचाई से गिरता है उस पर लगे बल व किए गए कार्य की गणना कीजिए। (g10 मीटर/सेकण्ड)
हल:
दिया है: m = 12 किग्रा,
s = 25 मीटर,
g = 10 मीटर/सेकण्ड²
W = ?
अतः किया गया कार्य (W) = Fs
= (mg)s = 12 x 10 × 25
= 120 × 25
W = 3000 न्यूटन मीटर

प्रश्न 5.
एक मशीन 450 जूल कार्य 15 सेकण्ड में करती है। मशीन की शक्ति की गणना कीजिए।
हल:
दिया है, W = 450 जूल,
= 15 सेकण्ड शक्ति P = ?
∵ शक्ति P = \(\frac{\mathrm{W}}{t}=\frac{450}{15}\) = 30 वॉट

प्रश्न 6.
60 किग्रा का एक व्यक्ति 30 सीढ़ियाँ जिसमें प्रत्येक की ऊँचाई 20 सेमी है, दौड़कर 20 सेकण्ड में चढ़ जाता है। मनुष्य द्वारा किया गया कुल कार्य तथा उसकी शक्ति की गणना कीजिए। (g= 10 मीटर / सेकण्ड²)
हल:
दिया है, m = 60 किग्रा, h = 20 सेमी, n = 30
t = 20 सेकण्ड, W = ?, P = 2
बल F = mg = 60 × 10 = 600 न्यूटन
बल की दिशा में चली गई दूरी = सीढ़ियों की संख्या (n) x एक सीढ़ी की ऊँचाई (h)
= 30 × 20 = 600 सेमी = 6 मीटर
अतः मनुष्य द्वारा कृत कार्य W= बल x बल की दिशा में विस्थापन
= 600 × 6
W = 3600 जूल
अतः मनुष्य की शक्ति
P = \(\frac{\mathrm{W}}{t}=\frac{3600}{20}\) = 180 वॉट

प्रश्न 7.
एक इंजन की शक्ति 30 किलोवॉट है। इसके द्वारा 150 किग्रा के पिण्ड को 50 मीटर की ऊँचाई तक उठाने में कितना समय लगेगा? (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
दिया है, P = 30 किलोवॉट
= 30 × 1000 वॉट; m = 150 किग्रा
h = 50 मीटर, g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²,
t = ?
∵ शक्ति P = \(\frac{\mathrm{W}}{t}=\frac{mgh}{t}\)
अतः पिण्ड को उठाने में लगा समय
t = \(\frac { mgh }{ P }\) = \(\frac{150 \times 9.8 \times 50}{30000}\)
t = 12.45 सेकण्ड

प्रश्न 8.
यदि किसी पिण्ड का वेग तीन गुना कर दिया जाए तो उस पिण्ड की गतिज ऊर्जा कितने गुनी हो जाएगी?
हल:
प्रारम्भ में गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
वेग तीन गुना करने पर गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m x (3v)² = 9 x \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv²
अर्थात् पिण्ड का वेग तीन गुना करने पर उसकी गतिज ऊर्जा नौ गुनी हो जाएगी।

प्रश्न 9.
दो वस्तुओं के द्रव्यमान बराबर है। यदि उनके वेगों का अनुपात 2:3 हो, तो उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
4 किग्रा द्रव्यमान की एक वस्तु की गतिज ऊर्जा 200 जूल है। इस वस्तु के संवेग की गणना कीजिए।
हल:
दिया है, m = 4 किग्रा,
गतिज ऊर्जा,
K = 200 जूल, संवेग (p) =?
∵ K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² तथा p = mv
अतः K = \(\frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m}=\frac{1}{2 m}(m v)^2=\frac{p^2}{2 \mathrm{~m}}\)
अतः
p² = 2mk
या P = \(\sqrt{2mK}\) = \(\sqrt{2×4×200}\) किग्रा मीटर / सेकण्ड

प्रश्न 11.
एक खिलाड़ी बाँस-कूद में 5 मीटर ऊंचा कूदना चाहता है। उसे कितने वेग से दौड़ना चाहिए? (g = 10 मीटर / सेकण्ड²)
हल:
माना खिलाड़ी को वेग से दौड़ना चाहिए। इस स्थिति में उसके द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा आवश्यक स्थितिज ऊर्जा (\(\frac { 1 }{ 2 }\)mv)²(mgh) प्राप्त होगी।
अतः \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² = m x g x h
या \(\sqrt{2gh}\) = \(\sqrt{2×10×5}\)
या v 10 मीटर / सेकण्ड
अत: खिलाड़ी को 10 मीटर / सेकण्ड के वेग से दौड़ना होगा।

प्रश्न 12.
2 किग्रा द्रव्यमान का एक पिण्ड पृथ्वी से 10000 सेमी ऊँचाई से गुरुत्वीय त्वरण (8) के अन्तर्गत स्वतन्त्रतापूर्वक नीचे गिरता है। पृथ्वी पर पहुँचने पर उसका वेग तथा कुल ऊर्जा ज्ञात कीजिए। (g = 10 मीटर / सेकण्ड² )
हल:
प्रश्नानुसार, पिण्ड का द्रव्यमान m = 2 किग्रा, 1⁄2 = 10000 सेमी = 100 मीटर, g 10 मीटर / सेकण्ड’, पृथ्वी तल पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होगी।
अतः ऊर्जा संरक्षण नियम से,
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² = mgh
= 2 × 10 × 100 = 2 × 10³ जूल
अत: \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv² = 2 x 10³
या v² = \(\frac{2 \times 2 \times 10^3}{m}=\frac{2 \times 2 \times 10^3}{2}\)
v² = 2 x 10³
या V = 20/5 मीटर / सेकण्ड

प्रश्न 13.
यदि 1 ग्राम द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित किया जाए, तो कितनी ऊर्जा प्राप्त होगी?
हल:
दिया है,
m = 1 ग्राम = \(\frac { 1 }{ 1000 }\)किग्रा,
c = 3 x 10⁸ मी/से
आइन्स्टीन के समीकरण E = mc² से
E = \(\frac { 1 }{ 1000 }\) x (3 × 10⁸)²
E = 9 × 10¹³ जूल

प्रश्न 14.
200 ग्राम द्रव्यमान का एक पिण्ड भूमि से 25 किलोमीटर की ऊँचाई से गिराया जाता है। पृथ्वी को स्पर्श करते समय उसके वेग तथा गतिज ऊर्जा का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
पृथ्वी को स्पर्श करते समय यदि पिण्ड का v वेग हो, तो
समीकरण v² = u² + 2gh से
∵ u = 0, g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²?
अत: v² = 0 + 2 × 9.8 × 25000
v² = 490000 या v = 700 मीटर / सेकण्ड 200 ग्राम
∵ पिण्ड का द्रव्यमान m = 200 ग्राम
= 200 x 10^-3 किग्रा,
अतः पिण्ड की गतिज ऊर्जा
E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 200 x 10^-3 x 490000
अत : E_K = 4.9 × 10⁴ जूल

प्रश्न 15.
एक पिण्ड का द्रव्यमान 1.2 किग्रा है। यह 15 मी/से. के वेग से ऊर्ध्व दिशा में फेंका जाता है। पिण्ड की प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा कितनी है? अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने पर इस ऊर्जा का क्या होगा? महत्तम ऊँचाई भी ज्ञात कीजिए। (गुरुत्वीय त्वरण g 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार, m = 1.2 किग्रा, v = 15 मी/से.
गतिज ऊर्जा E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 1.2 × 15 × 15
E_K = 135 जूल
महत्तम ऊँचाई पर पिण्ड का वेग शून्य हो जाता है अतः यह गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित होती है, अतः महत्तम ऊँचाई पर
स्थितिज ऊर्जा = 135 जूल
mgh = 135
या h = \(\frac { 135 }{ mg }\) = \(\frac { 135 }{ 1.2×9.8 }\)
या h = 11.48 मीट

प्रश्न 16.
हॉर्स शक्ति के इंजन द्वारा 7.46m गहरे कुएँ से प्रति सेकण्ड कितना जल उठाया जायेगा? (g = 10m/s²)
हल:

प्रश्न 17.
50 kg का एक व्यक्ति 20cm ऊँची 40 सीढ़ियाँ दौड़कर 10 सेकेण्ड में चढ़ जाता है। मनुष्य द्वारा किया गया कुल कार्य तथा उसकी शक्ति की गणना कीजिए। (g = 10 m/s²)
हल :
बल F = mg = 50 × 10 = 500 N
बल की दिशा में चली गई दूरी = 40 x 20 x 10^-2m = 8m
इसलिए, कार्य W = F x s = 500 × 8 = 4000 Nm = 4000 J

प्रश्न 18.
100 वाट के एक बल्ब को 2 घण्टे तक जलाया जाता है, कितनी विद्युत व्यय होगी?
हल:
दिया है,
बल्ब की शक्ति = 100 वॉट = 100 जूल/सेकण्ड,
समय = 2 घण्टे = 2 x 60 x 60 सेकण्ड

बल्ब को जलाने में व्यय ऊर्जा = शक्ति x समय = (100 जूल / सेकण्ड) x (2 x 60 x 60 सेकण्ड)
= 7.2 x 10⁵ जूल

प्रश्न 19.
60 वाट का एक विद्युत बल्ब प्रतिदिन 10 घण्टे उपयोग किया जाता है। बल्ब द्वारा एक दिन में खर्च की गई ऊर्जा की ‘यूनिटों का परिकलन कीजिए।
हल :
बल्ब की शक्ति P = 60 वॉट
= \(\frac { 60 }{ 1000 }\) किलोवाट,
समय t = 10 घण्टे
P = \(\frac { W }{ t }\)
∴ एक दिन में व्यय ऊर्जा, W = P x t
= \(\frac { 60 }{ 1000 }\) किलोवाट x 10 घण्टे
= 0.6 किलोवाट घण्टा
= 0.6 यूनिट।

प्रश्न 20.
40 वाट का एक बल्ब प्रतिदिन 10 घण्टे जलाया जाता है। 1 यूनिट की कीमत 2.50 रु. है। 30 दिन के महीने में उपभोग की गई विद्युत ऊर्जा की कीमत ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, बल्ब की शक्ति = 40 वाट,
समय = 10 घण्टे,
दिनों की संख्या = 30 दिन
1 यूनिट की कीमत 2.50 रु.
एक माह में व्यय विद्युत ऊर्जा = बल्ब की शक्ति x समय x दिनों की संख्या
= 40 वाट x 10 घण्टे x 30
= (\(\frac { 40 }{ 1000 }\)) किलोवाट x 10 × 30 × घण्टे
= \(\frac{40 \times 10 \times 30}{1000}\) किलोवाट घण्टा
= 12 यूनिट
∴ एक माह में व्यय विद्युत ऊर्जा की कीमत यूनिट की संख्या x 1 यूनिट की कीमत
= 12 यूनिट x (2.50 रु. प्रति यूनिट)
= 30 रु.1

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

प्रश्न 1.
यदि दो रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हों, तो उनके मध्य कोण होगा :
(A) 180°
(B) 80°
(C) 90°
(D) 360°
हल :
दो लम्बवत् रेखाओं के मध्य कोण 90° होता है।
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 2.
रेखाखण्ड की लम्बाई होती है :
(A) अनिश्चित दूरी
(B) निश्चित दूरी
(C) अपनी इच्छा के अनुरूप
(D) किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य दूरी।
हल :
किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य की दूरी को रेखाखण्ड द्वारा व्यक्त किया जाता है। होगी:
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 3.
दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या
(A) एक
(B) तीन
(C) अनन्त
(D) दो।
हल :
दो बिन्दुओं से होकर केवल एक रेखा गुजर सकती है।
अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 4.
यदि रेखाखण्ड AB तथा CD बराबर तथा संपाती हैं और यदि CD = 3 सेमी हो, तो AB की दूरी दोगुनी हो जाने पर CD की दूरी हो जायेगी :
(A) 1.5 सेमी
(B) 6 सेमी
(C) 5 सेमी
(D) 9 सेमी।
हल :
AB = CD (दिया है)
CD = 3 सेमी
यदि AB दोगुनी कर दी जाय, तो CD भुजा भी दोगुनी होगी।
∴ CD = 3 × 2 = 6 सेमी ।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 5.
यदि एक रेखा दो समान्तर रेखाओं को काटती है तो उसके एक ही ओर बने दो अन्तः कोणों का योग होगा :
(A) 180° से कम
(B) 2 समकोण
(C) 180° से अधिक
(D) 180° < 90°.
हल :
दो समान्तर रेखाओं को कोई एक तिर्यक रेखा काटती है, तो उससे बने अन्तः कोणों का योग 2 समकोण अर्थात् 180° होता है।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 6.
यूक्लिड ने सांत रेखा किसे कहा था ?
(A) किरण को
(B) रेखा को
(C) रेखाखण्ड को
(D) त्रिज्या को।
हल :
यूक्लिड ने रेखाखण्ड को सांत रेखा कहा था।
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 7.
अथर्ववेद में दिये गये ‘श्रीयंत्र’ में एक-दूसरे से जुड़े कितने समद्विबाहु त्रिभुज अन्तर्निहित हैं :
(A) आठ
(B) छ:
(C) नौ
(D) पन्द्रह ।
हल :
‘श्रीयन्त्र’ में एक-दूसरे से जुड़े ‘नौ’ समद्विबाहु त्रिभुज अन्तर्निहित हैं।
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 8.
एलीमेन्ट्स (Elements) नामक प्रसिद्ध ग्रन्थ के लेखक हैं :
(A) गणितज्ञ थेल्स
(B) गणितज्ञ यूक्लिड
(C) गणितज्ञ पाइथागोरस
(D) गणितज्ञ आर्यभट्ट |
हल :
एलीमेन्ट्स नामक प्रसिद्ध ग्रन्थ के लेखक गणितज्ञ यूक्लिड थे।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 9.
ज्यामितीय विधि से \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) ………. आदि को अपरिमेय सिद्ध करने वाले गणितज्ञ थे :
(A) थिरोडोरस
(B) बोधायन
(C) आर्काइटस
(D) बेल्स
हल :
ज्यामितीय विधि से \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) ………. आदि को अपरिमेय सिद्ध करने वाले गणितज्ञ थिरोडोरस थे ।
अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 10.
यूनानियों ने ज्यामिति का ज्ञान प्राप्त किया था :
(A) भारत से
(B) अमेरिका से
(C) मिस्त्र से
(D) इंग्लैण्ड से
हल :
यूनानियों ने ज्यामिति का ज्ञान मिस्त्र से प्राप्त किया था।
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 11.
वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक दूसरे के ………….. ‘होती हैं।
हल :
बराबर ।

प्रश्न 12.
एक सांत रेखा को …………….. रूप से बढ़ाया जा सकता है।
हल :
अनिश्चित ।

प्रश्न 13.
उस भारतीय गणितज्ञ का नाम बताइए जो पाइथागोरस प्रमेय की खोज पहले ही कर चुके थे।
हल :
पाइथागोरस प्रमेय की खोज करने वाले सर्वप्रथम गणितज्ञ बोधायन थे।

प्रश्न 14.
क्या समान्तर रेखाएँ, किसी बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं ? यदि नहीं तो क्यों ?
हल :
नहीं, क्योंकि समान्तर रेखाओं के मध्य की दूरी सदैव समान होती है, इसलिए वे प्रतिच्छेद नहीं कर सकती।

प्रश्न 15.
यूक्लिड ने ज्यामिति के कौन-कौन से मुख्य बिन्दुओं को अपने शब्दों में परिभाषित किया है ?
हल :
यूक्लिड ने बिन्दु, रेखा और तल को अपने शब्दों में परिभाषित किया है।

प्रश्न 16.
ज्यामिति में गणितज्ञों ने कौन-कौन से पदों को अपरिभाषित माना है?
हल :

1. बिन्दु – इसका कोई परिमाण नहीं होता है।
2. रेखा – सीधी रेखा को दोनों ओर कितना भी बढ़ाया जा सकता है।
3. तल – दीवार का समतल पृष्ठ, समतल भूमि, कागज का पृष्ठ तल आदि ।

प्रश्न 17.
दो बिन्दुओं से कितनी रेखाएँ गुजर सकती हैं ?
हल :
दो बिन्दुओं से केवल एक रेखा गुजर सकती है।

प्रश्न 18.
यूक्लिड द्वारा दी गई अभिधारणाओं में से कोई दो अभिधारणाएँ लिखिए।
हल :
अभिधारणा (1) – एक बिन्दु से अन्य बिन्दु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
अभिधारणा (2) – किसी बिन्दु को केन्द्र मानकर भिन्न त्रिज्याओं वाले अनन्त वृत्त खींचे जा सकते हैं।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिये हुए रेखाखण्ड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।.
हल :
प्रश्नानुसार,
(i) बिन्दु A को केन्द्र मानकर AB त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं।
(ii) इसी प्रकार बिन्दु B को केन्द्र मानकर BA त्रिज्या लेकर दूसरा वृत्त खींचते हैं ये दोनों वृत्त C बिन्दु पर मिलते हैं।
(iii) बिन्दु C से A और B बिन्दु को मिलाते हैं।

इस प्रकार ΔABC की चना हुई।
जहाँ AB = AC, क्योंकि ये एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
इस प्रकार, AB = BC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
⇒ AB = BC = AC
अत: ΔABC समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 20.
यदि A, B और C एक रेखा पर स्थित तीन बिन्दु हैं और B बिन्दुओं A और C के बीच स्थित है, तो सिद्ध कीजिए कि AB + BC = AC.

हल :
चित्र में, AB + BC के साथ AC सम्पाती है।
हम जानते हैं कि वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक- दूसरे के बराबर होती हैं।
अतः AB + BC = AC.
अतः दो बिन्दुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

प्रश्न 21.
यूक्लिड ने ज्यामिति के बिन्दु, रेखा और तल (पृष्ठ) के बारे में क्या परिभाषाएँ दीं हैं, लिखिए।
हल :

1. बिन्दु ऐसी आकृति होती है, जिसका कोई भाग नहीं होता।
2. रेखा की केवल लम्बाई होती है, चौड़ाई नहीं
3. एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है जो स्वयं पर बिन्दुओं के साथ सपाट रूप में स्थित होती है।
4. एक पृष्ठ वह है जिसकी लम्बाई चौड़ाई होती है।
5. किसी पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं।
6. एक समतल पृष्ठ ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण

प्रश्न 1.
समीकरण x + 3y – 10 को सन्तुष्ट करने वाला बिन्दु है :
(A) (4, 2)
(B) (-4, 2)
(C) (4, – 1)
(D) (2, 4).
हल :
समीकरण x + 3y = 10 में करते हैं।
x = 4 और y = 2 रखने पर,
4 + 3 × 2 = 10
अतः विकल्प ‘A’ के दोनों मान समीकरण को सन्तुष्ट
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 2.
रैखिक समीकरण x + 40 = 0 है
(A) एकचरीय समीकरण
(B) द्विचरीय समीकरण
(C) द्विघात समीकरण
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
हल :
x + 4 y = 0
इस समीकरण में और y दो चर हैं।
∴ यह दो चरों वाला रैखिक समीकरण है।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 3.
समीकरण 4x + 5y = k में यदि x = 2, y = 1 हो, तो k का मान होगा :
(A) 9
(B) – 12
(C) – 13
(D) 13.
हल :
समीकरण 4x + 5y = k में x = 2 और y = 1
रखने पर,
4 × 2 + 5 × 1 = k
⇒ 8 + 5 = k ⇒ 13 = k
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 4.
रैखिक समीकरण y – 2 = 0 का आलेख खींचने पर प्राप्त होगा :
(A) X- अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(B) मूलबिन्दु से गुजरती हुई सरल रेखा
(C) Y-अक्ष के समान्तर सरल रेखा
(D) आलेख नहीं खींचा जा सकता।
हल :
समीकरण y – 2 = 0 को निम्न प्रकार लिख सकते हैं : 0x + y = 2
x के विभिन्न मानों के लिए y का मान 2 प्राप्त होगा । अतः सरल रेखा X- अक्ष के समान्तर प्राप्त होगी।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
दो चर वाले रैखिक समीकरण के हल होंगे:
(A) एक अद्वितीय
(B) केवल अपरिमित रूप से अनेक
(C) दो
(D) चार हल।
हल :
दो चर वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 6.
रैखिक समीकरण y = 3x से व्यक्त रेखा पर स्थित बिन्दु होगा :
(A) (2, 3)
(B) (3, 1)
(C) (1, 3)
(D) (1, -3).
हल :
समीकरण y = 3x
समीकरण में x = 1 रखने पर y = 3 प्राप्त होता है
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 7.
किसी रैखिक समीकरण में घरों की बात होती है
(A) कोई भी
(B) 0
(C) 2
(D) 1.
हल :
रैखिक समीकरण की घात होती है।
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 8.
रैखिक समीकरण के बिन्दु (2, 5) से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या होगी :
(A) 2
(B) 5
(C) अनन्त
(D) 7.
हल :
किसी बिन्दु से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या अनन्त होती है।
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 9.
यदि दो अंकों वाली संख्या में इकाई का अंक b तथा दहाई का अंक a हो तो संख्या लिखिए।
हल :
संख्या (10a + b).

प्रश्न 10.
यदि आपके लिए कोई रैखिक समीकरण दिया गया है, तो उसे कैसे पहचानोगे? उदाहरण दीजिए।
हल :
रैखिक समीकरण में चर की अधिकतम घात एक होती है।
जैसे: 2x + y – 10 = 0, y + 3x = 0 आदि रैखिक समीकरण के उदाहरण हैं।

प्रश्न 11.
y = mx प्रकार के समीकरण की रेखा किस बिन्दु से गुजरती है ?
हल :
मूलबिन्दु (0, 0) से ।

प्रश्न 12.
यदि x = 3y समीकरण में y = 0 हो तो उक्त समीकरण किस अक्ष का होगा ?
हल :
दिया गया समीकरण है :
x = 3y, x = 3 (0) = 0
⇒ x = 0, Y अक्ष का समीकरण है।

प्रश्न 13.
समीकरण 230 का आलेख किस प्रकार का होगा ? समझाइए ।
हल :
समीकरण
2y – 3 = 0 ⇒ 2y = 3
∴ y = \(\frac {3}{2}\)
अतः x के सभी मानों के लिए रैखिक समीकरण
0.x + 2y – 3 = 0 से y का मान \(\frac {3}{2}\) प्राप्त होगा।

∴ बिन्दु (1, \(\frac {3}{2}\)), (2, \(\frac {3}{2}\)), (-2, \(\frac {3}{2}\))………… से प्राप्त आलेख मूल बिन्दु से \(\frac {3}{2}\) इकाई दूर X- अक्ष के समान्तर होगा।

प्रश्न 14.
फारेनहाइट को सेल्सियस में परिवर्तित करने वाला रैखिक समीकरण लिखिए ।
हल :
रैखिक समीकरण F = (\(\frac {9}{5}\))C + 32.

प्रश्न 15.
निम्नलिखित सेल्सियस को फारेनहाइट में रूपांतरित कीजिए :
(i) 25°C
(ii) 35°C
(iii) 0°C.
हल :
(i) 25°C.
F = \(\frac {9}{5}\) × 25 + 32 = 9 × 5 + 32 = 45 + 32 = 77
अतः 25°C = 77°E.

(ii) 35°C.
F = \(\frac {9}{5}\) × 35 + 32 = 9 × 7 + 32 = 63 + 32 = 95
अतः 35°C = 95°F.

(iii) 0°C.
F = \(\frac {9}{5}\) × 0 + 32 = 32
अतः 0°C = 32°F.

प्रश्न 16.
यदि x = 1 हो तो समीकरण \(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}\) = 5 में y का मान बताइए।
हल :
समीकरण \(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}\) = 5 में x = 1 रखने पर,
\(\frac{4}{1}+\frac{3}{y}\) = 5
⇒ \(\frac {3}{y}\) = 5 – 4 = 1
⇒ \(\frac {3}{y}\) = 1
∴ y = 3.

प्रश्न 17.
निम्नलिखित समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर a, b और c के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 3 + 5y = πx
(ii) 2x + \(\frac {3}{2}\) = 1.4y.
हल :
(i) समीकरण
3 + 5y = πx
⇒ πx – 5y – 3 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से करने पर, a = π, b = – 5 और c = – 3.

(ii) समीकरण 2x + \(\frac {3}{2}\) = 1.4y
⇒ 2x – 14y + \(\frac {3}{2}\) = 0 की तुलना ax + by + c = 0
से करने पर, a = 2, b = – 1.4 और c = \(\frac {3}{2}\)

प्रश्न 18.
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के दो संगत हल ज्ञात कीजिए :
(i) 4x + 3y = 12
(ii) 2x + 5y = 0
(iii) 3y + 4 = 0.
हल :
(i) x = 0 लेने पर,
4(0) + 3y = 12 ∴ y = 4
अत: (0, 4) समीकरण का हल है।
y = 0 लेने पर,
4x + 3(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ∴ x = 3
अतः (3, 0) समीकरण का हल है।
अत: समीकरण 4x + 3y = 12 के दो हल (0, 4) और (3, 0) होंगे।

(ii) x = 0 लेने पर 2(0) + 5y = 0 ⇒ y = 0
अतः (0, 0) समीकरण का हल है।
x = 1 लेने पर,
2 × 1 + 5y = 0 ⇒ 5y = -2 ∴ y = \(\frac {-2}{5}\)
अतः (1, \(\frac {-2}{5}\)) समीकरण का हल हैं।
अतः दिये गये समीकरण के दो हल (0, 0) और (1, \(\frac {-2}{5}\)) होंगे।

(iii) समीकरण 3y + 4 = 0 को 0x + 3y + 4 = 0 के रूप में लिखने पर x के सभी मानों के लिए y = \(\frac {-4}{3}\) प्राप्त होगा ।
अतः दिये गये समीकरण के दो हल (0, \(\frac {-4}{3}\)) और (1, \(\frac {-4}{3}\)) हैं।

प्रश्न 19.
निम्नलिखित कथनों को समीकरण के रूप में लिखिए :
(i) यदि किसी संख्या में 9 जोड़ दिया जाए, तो वह 25 के बराबर होती है।
(ii) यदि किसी संख्या में से 15 घटा दिए जाये, तो वह 5 के बराबर हो जाती है।
(iii) किसी संख्या का 7 गुना, 42 के बराबर होता है।
(iv) किसी संख्या में 5 का भाग देने पर वह 6 बन जाती है।
(v) यदि किसी संख्या के 3 गुने में 6 जोड़ा जाये, तो वह 15 के बराबर हो जाती है।
हल :
सभी प्रश्नों में अज्ञात संख्या को x मानने पर,
(i) x + 9 = 25
(ii) x – 15 = -5
(iii) x × 7 = 42 ⇒ 7x = 42
(iv) \(\frac {x}{5}\) = 6
(v) x × 3 + 6 = 15 ⇒ 3x + 6 = 15.

प्रश्न 20.
समीकरण 2x – 3y + 4 = 0 का आलेख खींचिए ।
हल :
दिया गया समीकरण 2x – 3y + 4 = 0
या 2x = 3y – 4
या x = \(\frac{3 y-4}{2}\)
यदि y = 0, हों, तो x = \(\frac{3 \times 0-4}{2}\) = – 2
यदि y = 2, हों, तो x = \(\frac{3 \times 2-4}{2}\) = 1
यदि y = 4, हों, तो x = \(\frac{3 \times 4-4}{2}\) = 4
सारणी :

x	– 2	1	4
y	0	2	4

आलेख खींचना : माना पैमाना X- अक्ष पर 1 सेमी 1 इकाई, Y- अक्ष पर 1 सेमी = 1 इकाई ।

बिन्दु A(-2, 0) B (1, 2) और C(4, 4) दो चर रैखिक समीकरण 2x = 3y – 4 के हल हैं।

प्रश्न 21.
पिता की आयु पुत्र की आयु से 25 वर्ष अधिक है। 10 वर्ष पूर्व पिता की आयु पुत्र की आयु से दुगुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात करो ।
हल :
माना, पिता की आयु = x वर्ष
पुत्र की आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार, x = y +25 ……..(i)
तथा 10 वर्ष पूर्व दोनों की आयु (x – 10) वर्ष तथा (y – 10) वर्ष होगी।
अतः (x – 10) = 2(y – 10)
⇒ x – 10 = 2y – 20
⇒ x = 2y – 20 +10
⇒ x = 2y – 10 ……..(ii)
समी. (ii) में (i) से x का मान रखने पर
y + 25 = 2y – 10
⇒ 25 + 10 = 2y – y
⇒ y = 35
समी. (i) में y का मान रखने पर,
x = 35 + 25 = 60
∴ पिता की आयु 60 वर्ष तथा पुत्र की आयु 35 वर्ष।

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Solutions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Solutions Chapter 11 कार्य तथा ऊर्जा

Jharkhand Board Class 9 Science कार्य तथा ऊर्जा Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1.
निम्न सूचीबद्ध क्रियाकलापों को ध्यान से देखिए। अपनी कार्य शब्द की व्याख्या के आधार पर तर्क दीजिए कि इनमें कार्य हो रहा है अथवा नहीं।

1. सूमा एक तालाब में तैर रही है।
2. एक गधे ने अपनी पीठ पर बोझा उठा रखा है।
3. एक पवन चक्की (विंड मिल) कुएँ से पानी उठा रही है।
4. एक हरे पौधे में प्रकाश संश्लेषण की प्रक्रिया हो रही है।
5. एक इंजन ट्रेन को खींच रहा है।
6. अनाज के दाने सूर्य की धूप में सूख रहे हैं।
7. एक पाल नाव पवन ऊर्जा के कारण गतिशील है।

उत्तर:

1. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, किन्तु किया जा रहा कार्य ऋणात्मक है, क्योंकि बल पीछे की ओर लगाया जा रहा है, जबकि विस्थापन आगे की दिशा में हो रहा है।
2. इस स्थिति में कोई कार्य नहीं हो पा रहा है, क्योंकि बल नीचे की ओर लग रहा है, परंतु कोई विस्थापन नहीं हो रहा है।
3. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि बल ऊपर की ओर आरोपित किया जा रहा है तथा पानी भी ऊपर की ओर उठाया जा रहा है।
4. इस स्थिति में कोई कार्य नहीं हो रहा है, क्योंकि न तो कोई बल आरोपित किया जा रहा है और न ही वस्तु विस्थापित हो रही है।
5. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि इंजन द्वारा रेलगाड़ी पर बल आरोपित किया जा रहा है तथा रेलगाड़ी आरोपित बल की दिशा में विस्थापित हो रही है।
6. नहीं, इसमें कोई कार्य नहीं हो रहा है, क्योंकि यहाँ न तो कोई बल आरोपित हो रहा है और न कोई विस्थापन उत्पन्न हो रहा है।
7. हाँ, इस स्थिति में कार्य हो रहा है, क्योंकि पवन ऊर्जा द्वारा नाव पर बल आरोपित हो रहा है तथा नाव भी आरोपित बल की दिशा में गति कर रही है।

प्रश्न 2.
एक पिण्ड को धरती से किसी कोण पर फेंका जाता है। यह एक वक्र पथ पर चलता है और वापस धरती पर आ गिरता है। पिण्ड के पथ के प्रारम्भिक तथा अंतिम बिन्दु एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं। पिण्ड पर गुरुत्व बल द्वारा कितना कार्य किया गया?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य की मात्रा शून्य होगी, क्योंकि गुरुत्व बल के विरुद्ध किया गया कार्य mgh वस्तु का द्रव्यमान तथा गुरुत्वीय त्वरण तो स्थिर रहते हैं, किन्तु उसकी ऊँचाई शून्य हो जाती है। ऐसा पथ के आरंभिक तथा अंतिम बिन्दुओं के एक ही क्षैतिज तल में स्थित होने के कारण होता है।

प्रश्न 3.
एक बैटरी बल्ब जलाती है। इस प्रक्रम में होने वाले ऊर्जा परिवर्तनों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
बैटरी की रासायनिक ऊर्जा, विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित होती है। विद्युत ऊर्जा, ताप एवं प्रकाश ऊर्जा में परिवर्तित होती है।

प्रश्न 4.
20 kg द्रव्यमान पर लगने वाला कोई बल इसके वेग को 5ms^-1 से 2ms^-1 में परिवर्तित कर देता है। बल द्वारा किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m = 20 kg
आरंभिक वेग u = 5 m/s
अंतिम वेग v = 2m/s
समय t = 1 s
गति के पहले समीकरण से v = u + at
या, a = \(\frac{v-u}{t}=\frac{2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}-5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{1 \mathrm{~s}}\)
या, a = – 3 m/s²
गति के तीसरे समीकरण से,
v² – u² = 2as
(2m/s)² – (5m/s)² = 2 × (-3m/s²) x s
– 21 m²/s² = – 6m/s².s
s = \(\frac { -21 }{ -6 }\) = \(\frac { 7 }{ 2 }\) m
किया गया कार्य = F x s
W = m x a x s
= 20 kg × (- 3m/s²) x \(\frac { 7 }{ 2 }\)
= – 210 J

प्रश्न 5.
10 kg द्रव्यमान का एक पिण्ड मेज पर A बिन्दु पर रखा है। इसे B बिन्दु तक लाया जाता है। यदि A तथा B को मिलाने वाली रेखा क्षैतिज है तो पिण्ड पर गुरुत्व बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा। अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
उत्तर:
द्रव्यमान m = 10 kg
गुरुत्वीय त्वरण g = 10m/s²
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य = m x g x h
इस स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य की मात्रा शून्य होगी, क्योंकि बिन्दु A तथा B को जोड़ने वाली रेखा एक ही क्षैतिज तल अर्थात् वस्तु द्वारा प्राप्त ऊँचाई शून्य है। साथ ही, गुरुत्वाकर्षण बल का कोई भी घटक वस्तु के विस्थापन की दिशा में कार्य नहीं करता है।

प्रश्न 6.
मुक्त रूप से गिरते एक पिण्ड की स्थितिज ऊर्जा लगातार कम होती जाती है। क्या यह ऊर्जा संरक्षण नियम का उल्लंघन करती है? कारण बताओ।
उत्तर:
यह ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्त की उल्लंघन नहीं करती है, क्योंकि जिस अनुपात में वस्तु की स्थितिज ऊर्जा में कमी आती है, उसी अनुपात में उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि भी होती है अर्थात्, वस्तु की कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है।

प्रश्न 7.
जब आप साइकिल चलाते हैं तो कौन-कौन से ऊर्जा रूपांतरण होते हैं?
उत्तर:
स्थितिज ऊर्जा से पेशीय ऊर्जा तथा पेशीय ऊर्जा से यान्त्रिक ऊर्जा में ऊर्जा का रूपान्तरण होता है।

प्रश्न 8.
जब आप अपनी सारी शक्ति लगाकर एक बड़ी चट्टान को धकेलना चाहते हैं और इसे हिलाने में असफल हो जाते हैं तो क्या इस अवस्था में ऊर्जा का स्थानांतरण होता है? आपके द्वारा व्यय की गई ऊर्जा कहाँ चली जाती है?
उत्तर:
नहीं, जब हम अपनी पूरी शक्ति से बड़ी चट्टान को धकेलने पर उसे हिला नहीं पाते हैं, तो ऊर्जा का स्थानांतरण नहीं होता है। जब हम चट्टान को धक्का लगाते हैं तो हमारी पेशियाँ तन जाती हैं तथा इन पेशियों की ओर रक्त बहुत तेजी से विस्थापित होता है और ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होती है। इन परिवर्तनों में ऊर्जा खपत होती है तथा हम थका हुआ अनुभव करते हैं।

प्रश्न 9.
किसी घर में एक महीने में ऊर्जा की 250 यूनिटें व्यय हुई। यह ऊर्जा जूल में कितनी होगी?
हल:
पूरे महीने के दौरान कुल ऊर्जा खपत = 250 यूनिट
1 यूनिट = 1 kWh
∴ 250 यूनिट = 250kWh
पुन:, 1kWh = 36,00,0003
∴ 250kWh = 250 × 36,00,000 J
= 90,00,00,000 J
= 9 x 10⁸ J

प्रश्न 10.
40 kg द्रव्यमान का एक पिण्ड धरती से 5 m की ऊँचाई तक उठाया जाता है। इसकी स्थितिज ऊर्जा कितनी है? यदि पिण्ड मुक्त रूप से गिरने दिया जाए तो जब पिण्ड ठीक आधे रास्ते पर है, उस समय इसकी गतिज ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (g = 10ms^-2)
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m = 40 kg
ऊँचाई h = 5m
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 ms^-2
स्थितिज ऊर्जा = m x g x h
= 40kg x 10ms^-2 x 5m
= 2000 J
जब वस्तु आधी ऊँचाई पर होती है
वस्तु का द्रव्यमान = 40kg
ऊँचाई h = 2.5m
गुरुत्वीय त्वरण g = 10ms^-2
आरंभिक वेग u = 0 m/s
तृतीय समीकरण के अनुसार,
v² – u² = 2as
v² = u² + 2as
v² = 0 + 2 × 10 ms^-2 x s = 20.s
गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 40 kg x 20 x 2.5 m²/s²
= 1000 J

प्रश्न 11.
पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए किसी उपग्रह पर गुरुत्व बल द्वारा कितना कार्य किया जाएगा? अपने उत्तर को तर्कसंगत बनाइए।
उत्तर:
पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए उपग्रह पर किये जाने वाले कार्य की मात्रा शून्य है।
उपग्रह अपनी वृत्तीय कक्षा में घूमता है, तो उसकी कक्षा की त्रिज्या के केन्द्र की ओर एक अभिकेन्द्रीय बल बल कार्य करता है तथा उपग्रह की दिशा कक्षा के लंबवत् होती है। इस तरह, बल तथा विस्थापन की दिशा एक-दूसरे के लंबवत् होती है।

किया गया कार्य = F x s x cos θ
W = Fs cos 90° = 0
एकसमान वृत्तीय गति की स्थिति में किया गया कुल कार्य शून्य होगा।

प्रश्न 12.
क्या किसी पिण्ड पर लगने वाले किसी भी बल की अनुपस्थिति में इसका विस्थापन हो सकता है? सोचिए। इस प्रश्न के बारे में अपने मित्रों तथा अध्यापकों से विचार-विमर्श कीजिए।
उत्तर:
जब वस्तु विरामावस्था में होती है, तो न्यूटन के गति के नियम के अनुसार, यह तब तक विरामावस्था में रहती है जब तक कि उस पर लगा बल उसकी इस अवस्था में परिवर्तन न ला दे। जब वस्तु गति अवस्था में होती है, जैसे चलती हुई बस, तो इसे रोकने के लिए बल की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में किसी कार्यकारी बल की अनुपस्थिति में भी बस में विस्थापन संभव है।

प्रश्न 13.
कोई मनुष्य भूसे के एक गट्ठर को अपने सिर पर 30 मिनट तक रखे रहता है और थक जाता है। क्या उसने कुछ कार्य किया या नहीं? अपने उत्तर को तर्कसंगत बनाइए।
उत्तर:
नहीं, व्यक्ति ने भूसे के गट्ठर पर कोई कार्य नहीं किया, क्योंकि गट्ठर में कोई विस्थापन नहीं होता है।

प्रश्न 14.
एक विद्युत्-हीटर (उष्मक) की घोषित शक्ति 1500 W है। 10 घंटे में यह कितनी ऊर्जा उपयोग करेगा?
हल:

प्रश्न 15.
जब हम किसी सरल लोलक के गोलक को एक ओर ले जाकर छोड़ते हैं तो यह दोलन करने लगता है। इसमें होने वाले ऊर्जा परिवर्तनों की चर्चा करते हुए ऊर्जा संरक्षण के नियम को स्पष्ट कीजिए। गोलक कुछ समय पश्चात् विराम अवस्था में क्यों आ जाता है? अंततः इसकी ऊर्जा का क्या होता है? क्या यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन है?
उत्तर:
(i) लोलक के गोलक की स्थितिज ऊर्जा उस समय सर्वाधिक होती है जब इसे एक तरफ खींचा जाता है। जब इसे दोलन के लिए छोड़ा जाता है, तो प्रत्येक अधिकतम विस्थापन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम तथा गतिज ऊर्जा शून्य होती है और माध्य की स्थिति में गतिज ऊर्जा अधिकतम हो जाती है जबकि स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। किन्तु कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है।

(ii) लोलक का गोलक अंत में रुक जाता है। ऐसा इसलिए होता है कि लोलक जिस बिन्दु से बंधा रहता है, उसके साथ घर्षण के कारण तथा दोलन करते हुए गोलक का हवा के साथ घर्षण के कारण होता है। इस घर्षण के कारण दोलन करते हुए गोलक की यांत्रिक ऊर्जा धीरे-धीरे ऊष्मा या ताप ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(iii) अंत में यह ताप ऊर्जा वातावरण में खो जाती है।

(iv) नहीं, यह ऊर्जा संरक्षण के सिद्धान्त का उल्लंघन नहीं है।

प्रश्न 16.
m द्रव्यमान का एक पिंड एक नियत वेग से गतिशील है। पिण्ड पर कितना कार्य करना चाहिए कि वह विराम अवस्था में आ जाए?
हल:
द्रव्यमान = m, स्थिर वेग = v
वस्तु की ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² (चूँकि वस्तु गति में है)
अतः वस्तु को विराम में लाने के लिए समान मात्रा में कार्य करने की आवश्यकता होगी।
अतः वस्तु पर किया जाने वाला कार्य = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²

प्रश्न 17.
1500 kg द्रव्यमान की कार को जो 60 km/b के वेग से चल रही है, रोकने के लिए किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
द्रव्यमान m = 1500 kg
वेग v = 60 km/h
= \(\frac { 60×1000m }{ 3600s }\) = 16.67 m/s
गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 1500 kg x (16.67m/s)²
= 208416.67 J

प्रश्न 18.
निम्न में से प्रत्येक स्थिति में m द्रव्यमान के एक पिण्ड पर एक बल F लग रहा है। विस्थापन की दिशा पश्चिम से पूर्व की ओर है जो एक लंबे तीर से प्रदर्शित की गई है। चित्रों को ध्यानपूर्वक देखिए और बताइए कि किया गया कार्य ऋणात्मक है, धनात्मक है या शून्य है।

उत्तर:
स्थिति (i) में किए गए कार्य की मात्रा शून्य है, क्योंकि बल विस्थापन के लम्बवत् कार्य कर रहा है।
θ कोण पर किया गया कार्य = F x s x cos θ
W = F x s x cos 90°
W = F × s × 0 = 0 J

स्थिति (ii) में किया गया कार्य धनात्मक है, क्योंकि वस्तु का विस्थापन आरोपित बल की दिशा में हो रहा है।

स्थिति (iii) में किया गया कार्य ऋणात्मक है, क्योंकि आरोपित बल की विपरीत दिशा में वस्तु का विस्थापन हो रहा है।

प्रश्न 19.
सोनी कहती है कि किसी वस्तु का त्वरण शून्य हो सकता है चाहे उस पर कई बल कार्य कर रहे हों। क्या आप उससे सहमत हैं? बताइए क्यों?
उत्तर:
हाँ, सोनी का कहना ठीक है, क्योंकि जब कोई वस्तु विरामावस्था में होती है तथा उसकी गति शून्य होती है, तब उसमें त्वरण भी शून्य होता है जब किसी वस्तु में एक साथ कई बल लगते हैं, तो वे एक-दूसरे को अप्रभावी कर देते हैं। जब वस्तु एकसमान वेग से गति में होती है, उसका त्वरण शून्य होता है। हाँ, क्योंकि इस स्थिति में भी वस्तु पर एक साथ कई संतुलनकारी बल कार्य कर सकते हैं।

प्रश्न 20.
चार युक्तियाँ, जिनमें प्रत्येक की शक्ति 500 W है 10 घंटे तक उपयोग में लाई जाती हैं इनके द्वारा व्यय की गई ऊर्जा kWh में परिकलित कीजिए।
हल:
कुल युक्तियाँ = 5
1 युक्ति की शक्ति = 500W
समय = 10 घंटे
कुल शक्ति = कुल युक्तियाँ – युक्ति की शक्ति
= 4 x 500 वाट = 2000 वाट 2kW
व्यय ऊर्जा = शक्ति x समय
= 2kW x 10 घंटे
= 20 kWh

प्रश्न 21.
मुक्त रूप से गिरता एक पिण्ड अंतत: धरती तक पहुँचने पर रुक जाता है इसकी गतिज ऊर्जा का क्या होती है?
उत्तर:
मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड की स्थितिज ऊर्जा धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा में बदलने लगती है। लेकिन जैसे ही पिण्ड पृथ्वी पर पहुँचता है तो यह रुक जाता है, जिससे इसका वेग शून्य हो जाता है।
अत: सूत्र गतिज ऊर्जा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² के अनुसार वेग शून्य हो जाने पर गतिज ऊर्जा भी शून्य हो जाएगी।
K.E. = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x m x 0² = 0
यह गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा, ध्वनि ऊर्जा आदि में रूपान्तरित हो जाती है।

Jharkhand Board Class 9 Science कार्य तथा ऊर्जा InText Questions and Answers

क्रियाकलाप 11.1. (पा. प. पृ. सं. 163)
उपर्युक्त उदाहरणों में दैनिक जीवन के क्रियाकलाप पर चर्चा हुई है। इनमें से प्रत्येक कार्यकलाप के लिए निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें-
(i) किस वस्तु पर कार्य किया गया?
(ii) वस्तु पर क्या घटित हो रहा है?
(iii) कार्य कौन (क्या) कर रहा है?
नोट: छात्र अध्यापक की सहायता से स्वयं करें।

क्रियाकलाप 11.2. (पा. पु. पृ. सं. 163 )
अपने दैनिक जीवन की कुछ स्थितियों पर विचार करके उन्हें सूचीबद्ध कीजिए जिनमें कार्य सम्मिलित हो। अपने मित्रों से विचार-विमर्श करके किए गए कार्य के बारे में जानिए।

क्रियाकलाप 11.3. (पा. पु. पृ. सं, 164)
कुछ ऐसी स्थितियों पर विचार करें जब वस्तु पर बल लगने के बावजूद भी उसमें विस्थापन न हो। इसी प्रकार ऐसी स्थिति पर भी विचार करें जब कोई वस्तु बल लगे बिना ही विस्थापित हो जाए। इन स्थितियों को सूचीबद्ध करें तथा मित्रों से विचार-विमर्श करें कि कार्य हुआ या नहीं।

क्रियाकलाप 11.4. (पा. पु. पृ. सं. 165)
किसी वस्तु को ऊपर उठाइए। आपके द्वारा वस्तु पर लगाए गए बल के द्वारा कार्य किया गया तथा आपके द्वारा आरोपित बल, विस्थापन की दिशा में है। इसके अतिरिक्त वस्तु पर गुरुत्वीय बल भी कार्यरत है। इनमें से कौन सा बल धनात्मक तथा कौन सा ऋणात्मक है? कारण सहित बताइए।

उदाहरण 11.2.
एक कुली 15k g का बोझ धरती से 1.5 m ऊपर उठाकर अपने सिर पर रखता है। उसके द्वारा बोझे पर किए गए कार्य का परिकलन कीजिए।
हल:
बोझ का द्रव्यमान m = 15kg तथा
विस्थापन s = 1.5 m
किया गया कार्य W = F x s = mg x s
∵ F = mg
= 15 × 10 × 1.5
= 225 N m
= 225 J
कुली द्वारा बोझे पर किया गया कार्य 225 J है।

खण्ड 11.1 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 165)

प्रश्न 1.
हम कब कहते हैं कि कार्य किया गया है?
उत्तर:
किसी वस्तु पर बल लगाने पर वस्तु विस्थापित हो जाती है तो कहा जाता है कि कार्य किया गया है।

प्रश्न 2
जब किसी वस्तु पर लगने वाला बल इसके विस्थापन की दिशा में हो तो किए गए कार्य का व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
जब बल विस्थापन की दिशा में ही लगता है तो कार्य = बल x बल की दिशा में विस्थापन।

प्रश्न 3.
1 J कार्य को परिभाषित कीजिए।
उत्तर:
जब किसी वस्तु पर एक न्यूटन का बल लगाने पर वस्तु में बल की दिशा में 1 मीटर का विस्थापन हो जाता है तो किया गया कार्य 1 J कहलाता है।
1 J = 1 N × 1 m

प्रश्न 4.
बैलों की एक जोड़ी खेत जोतते समय किसी हल पर 140 न्यूटन का बल लगाती है। जोता गया खेत 15 m लंबा है। खेत की लंबाई को जोतने में कितना कार्य किया गया?
हल:
बैलों द्वारा लगाया गया बल = 140 N
जोता गया खेत = 15 m
किया गया कार्य = बल x विस्थापन
= 140 N x 15 m
= 21000 N m या 2100 जूल

क्रियाकलाप 11.5. (पा. पु. पृ. सं. 166)
ऊर्जा के कुछ स्रोतों की सूची बनाइए। छोटे समूह में विचार-विमर्श कीजिए कि किस प्रकार ऊर्जा के कुछ स्रोत सूर्य के कारण हैं।

क्रियाकलाप 11.6. (पा.पु. पृ. सं. 167)
एक भारी गेंद लेकर इसे गीले रेत की मोटी परत पर गिराइए। गेंद को लगभग 30 सेमी की ऊँचाई से गिराकर हम पाते हैं कि रेत में एक गड्ढा हो जाता है । इसी क्रियाकलाप को 50 cm, 1 m तथा 1.5 m की ऊँचाइयों से गिराकर बने गड्ढों की तुलना करके सूचीबद्ध करें तथा देखें कि किसके कारण बड़ा गड्ढा बना।

अब उत्तर दें-

प्रश्न-
कौन सा गड्ढा सबसे अधिक गहरा है, क्यों?
उत्तर:
सबसे अधिक ऊँचाई (1.5 m) से गिरने पर बना गड्ढा सबसे अधिक गहरा होगा, क्योंकि अधिक ऊँचाई से गिरने के कारण उस गेंद में गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

क्रियाकलाप 11.7. (पा.पु. पृ. सं. 167)
चित्र 11.4 के अनुसार एक ज्ञात द्रव्यमान के लकड़ी के गुटके को ट्रॉली के सामने किसी सुविधाजनक निश्चित दूरी पर रखकर पलड़े पर एक साथ ज्ञात द्रव्यमान रखा जिससे कि ट्राली गतिमान हो जाए। गतिमान ट्रॉली लकड़ी के गुटके से टकराती है। मेज पर एक अवरोधक इस प्रकार लगाया जाए कि गुटके से टकराकर ट्राली वहीं रुक जाए, गुटका विस्थापित हो जाता है तथा गुटके के विस्थापन को मापकर सारणी में लिखिए। पलड़े के द्रव्यमान को बढ़ाकर इस प्रयोग को दोहराकर विस्थापन का मापन किया तथा उसे सारणीबद्ध किया।

अब उत्तर दें-

प्रश्न 1.
गतिशील ट्राली किस प्रकार कार्य करती है?
उत्तर:
गतिशील ट्राली में गतिज ऊर्जा निहित होती है जो कि लकड़ी के गुटके से टकराने पर उसमें स्थानान्तरित हो जाती है जिससे गुटका विस्थापित हो जाता है। ट्राली से बँधे पलड़े पर अधिक द्रव्यमान लटकाने पर उसमें अधिक गतिज ऊर्जा संचित हो जाती है जिसके कारण गुटका और अधिक विस्थापित हो जाता है।

अतः किसी वस्तु में उसकी गति के कारण जो ऊर्जा निहित रहती है उसे उस वस्तु की गतिज ऊर्जा कहते हैं। उदाहरण के लिए चलती हुई कार, फेंकी हुई गेंद, गिरता हुआ कोई पिण्ड तथा बन्दूक से निकली गोली इन सभी में गतिज ऊर्जा निहित रहती है।.

गतिज ऊर्जा की माप (Measurement of Kinetic Energy) – किसी गतिमान पिण्ड की गतिज ऊर्जा की माप कार्य की उस मात्रा से की जाती है, जो वह पिण्ड उसकी वर्तमान अवस्था से विरामावस्था तक लाए जाने में कर सकता है।
यदि m द्रव्यमान की किसी वस्तु पर जो कि विरामावस्था में है, एक बल F लगाया जाता है तब न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से
F = ma अत: a = \(\frac { F }{ m }\) … (i)
यदि वस्तु द्वारा चली गई दूरी हो तब वस्तु पर कृत
कार्य W = F x s … (ii)
गति के तृतीय समीकरण के अनुसार
v² = u² + 2 as [∵ u = 0)
v² = 0 + 2 as … (iii)
समीकरण (i) व (iii) से
v² = 2 x (\(\frac { F }{ m }\)) x s
या mv² = 2Fs या Fs = \(\frac { F }{ m }\) mv² … (iv)
समीकरण (ii) व (iv) की तुलना करने पर
W = Fs = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
यदि गतिज ऊर्जा को E_K से प्रदर्शित करें तब
वस्तु की गतिज ऊर्जा
W = E_K = Fs = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
अतः वस्तु की गतिज ऊर्जा
E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² x द्रव्यमान x (वेग)²
अतः वस्तु की गतिज ऊर्जा वस्तु के द्रव्यमान समानुपाती व वस्तु के वेग के वर्ग के समानुपाती होती है।

खंड 11.2 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा. पु. पू. सं. 169)

प्रश्न 1.
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा क्या होती है?
उत्तर:
गतिज ऊर्जा- किसी वस्तु में उसकी गति के कारण जो ऊर्जा निहित होती है, उसे वस्तु की गतिज ऊर्जा कहते हैं। किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा, उसे विरामावस्था से वर्तमान गति की अवस्था तक लाने में वस्तु पर किए गए कार्य के बराबर होती है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
यदि द्रव्यमान की कोई वस्तु वेग से गतिमान है तो वस्तु की गतिज ऊर्जा E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² होगी।

प्रश्न 3.
5 मीटर प्रति सेकण्ड के वेग से गतिशील किसी m द्रव्यमान की वस्तु की गतिज ऊर्जा 25 जूल है। यदि इसके वेग को दोगुना कर दिया जाए तो इसकी गतिज ऊर्जा कितनी हो जाएगी? यदि इसके वेग को तीन गुना बढ़ा दिया जाए तो इसकी गतिज ऊर्जा कितनी हो जाएगी?
हल:
प्रश्नानुसार, वेग v = 5 मीटर / सेकण्ड,
E_K = 25 जूल
सूत्र ∴ E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\) से
25 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (5)² या 2 x 25 = m x 25
∵ वस्तु का द्रव्यमान m = 2 किग्रा
प्रथम दशा – जबकि वेग दुगना अर्थात् v₂ = 2 × 5 = 10
मीटर / सेकण्ड कर दिया जाता है तो
गतिज ऊर्जा E_K = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv_v²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2 x (10)²
= 100 जूल।
दूसरी दशा- जबकि वेग तीन गुना अर्थात् v₃ = 3 x 5 = 15 मीटर / सेकण्ड कर दिया जाता है तो
गतिज ऊर्जा E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv₃²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2 किग्रा (15 मीटर / सेकण्ड )²
= 225 जूल

क्रियाकलाप 11.8. (पा.पु. पू. सं. 169)
एक रबड़ बैंड लेकर इसके एक सिरे को पकड़कर दूसरे सिरे से खींचने पर छल्ला खिंच जाता है तथा सिरे को छोड़ देने पर यह अपनी प्रारम्भिक लम्बाई को प्राप्त करने का प्रयत्न करता है। स्पष्ट है कि स्थिति विशेष के कारण रबड़ के छल्ले ने ऊर्जा संचित कर ली थी।

क्रियाकलाप 11.9. (पा.पु. पू. सं. 169)
चित्र 11.5 के अनुसार एक स्लिंकी (स्प्रिंग) लेकर इसके एक सिरे को पकड़िए तथा दूसरे सिरे को अपने मित्र से पकड़वाकर थोड़ा सा खींचिए। अब स्लिंकी को छोड़ दीजिए।

स्लिंकी ने किस प्रकार की ऊर्जा उपार्जित की तथा संपीडित करने पर भी क्या स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करेगी?

क्रियाकलाप 11.10. (पा.पु. पू. सं. 169)
एक खिलौना कार लेकर उसमें चाबी भरकर कार को जमीन पर रखिए यह चलने लगेगी। इसमें ऊर्जा कहाँ से आयी, सोचिए।

क्रियाकलाप 11.11. (पा.पु. पू. सं. 169)
किसी वस्तु को एक निश्चित ऊँचाई तक उठाकर इसे छोड़ने पर यह नीचे गिरने लगती है, और अधिक ऊँचा उठाने पर यह और अधिक कार्य कर सकती है। इसमें ऊर्जा कहाँ से आई? सोचिए तथा विचार-विमर्श कीजिए।

क्रियाकलाप 11.12. (पा.पु. पृ. सं. 170)
बाँस की खपच्ची लेकर इसका धनुष बनाकर एक हल्की डंडी लेकर इसका तीर बनाइए, डोरी को चित्रानुसार खींचिए और तीर को मुक्त कीजिए। तीर को धनुष दूर जाते देखिए।

धनुष की आकृति में परिवर्तन को नोट कीजिए धनुष की आकृति में परिवर्तन के से कारण उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा तीर को गतिज ऊर्जा प्रदान करती है जिससे तीर गतिमान होकर दूर तक जाता है।

अब उत्तर दें-

प्रश्न 1.
क्रियाकलाप 11.8 में रबड़ का छल्ला खींचने पर ऊर्जा किस प्रकार उपार्जित करता है?
उत्तर:
रबर बैंड में स्थितिज ऊर्जा संचित हो जाती है।

प्रश्न 2.
खींचने पर स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करती है। क्या संपीड़ित करने पर भी स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करेगी?
उत्तर:
छोड़ने पर स्लिंकी अपनी मूल अवस्था प्राप्त कर लेती है। खींचने के दौरान किए गए कार्य के कारण स्लिंकी ऊर्जा उपार्जित करती है। हाँ, स्लिंकी संपीडित करने पर भी स्थितिज ऊर्जा उपार्जित करेगी।

प्रश्न 3.
फर्श पर चाबी भरकर खिलौने को रखने पर यह चलता है। क्या उपार्जित ऊर्जा, चाबी द्वारा भरे गए लपेटनों की संख्या पर निर्भर है?
उत्तर:
कृत कार्य लपेटनों में, स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होती है। उपार्जित ऊर्जा, चाबी द्वारा भरे गए लपेटनों पर निर्भर करती है। लपेटनों की संख्या अधिक होने पर अधिक ऊर्जा संचित हो जाती है।

प्रश्न 4.
किसी वस्तु को अधिक ऊँचाई तक उठाने पर उसमें अधिक ऊर्जा समाहित हो जाती है। यह ऊर्जा कहाँ से प्राप्त होती है? विचार विमर्श कीजिए।
उत्तर:
निश्चित ऊँचाई तक उठाने में किसी वस्तु को गुरुत्वीय बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य वस्तु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित रहता है। वस्तु की पृथ्वी तल से ऊँचाई बढ़ने पर उसमें समाहित ऊर्जा बढ़ती जाती है।

प्रश्न 5.
बाँस की एक खपच्ची से बने धनुष और हल्की डंडी से बने तीर को धनुष की डोरी पर रखकर और डोरी को खींचकर तीर को छोड़िए तीर धनुष से दूर क्यों जा गिरता है?
उत्तर:
धनुष की आकृति में परिवर्तन के कारण उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है जिससे तीर गतिशील होकर दूर तक जाता है।

क्रियाकलाप 11.13.
छोटे समूहों में बैठकर प्रकृति में ऊर्जा रूपान्तरण की विभिन्न विधियों पर विचार करें तथा निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार-विमर्श करें –

• हरे पौधे खाना कैसे बनाते हैं?
• उन्हें ऊर्जा कहाँ से मिलती है?
• वायु एक स्थान से दूसरे स्थान को क्यों बहती है?
• कोयला तथा पेट्रोलियम कैसे बने?
• किस प्रकार के ऊर्जा रूपान्तरण जल चक्र को बनाए रखते हैं?

नोट:

• जब हमने गमले में लगे पौधे को अंधेरे कमरे में रखकर उसे पानी नहीं दिया तो वह सूख गया। इससे निष्कर्ष निकलता है कि हरे पौधे अपना भोजन प्रकाश एवं जल से बनाते हैं।
• उन्हें ऊर्जा सूर्य के प्रकाश (सौर ऊर्जा) से मिलती है।
• वायुदाब में अन्तर के कारण वायु के कणों पर बल आरोपित होता है जिससे वायु एक स्थान से दूसरे स्थान की ओर बहती है।
• करोड़ों वर्ष पूर्व पृथ्वी की गहराई में हरे पेड़-पौधे एवं जीव-जन्तुओं हलचल के कारण दब गए जो कालान्तर में आज  कोयला तथा पैट्रोलियम में बदल गए।
• रासायनिक ऊर्जा का ऊष्मीय ऊर्जा में रूपान्तरण।

क्रियाकलाप 11.14. (पा.पु. पृ. सं. 172)
अनेक मानव क्रियाकलापों तथा हमारे द्वारा उपयोग में लाए जाने वाले जुगतों में ऊर्जा रूपान्तरण सम्मिलित है। इस प्रकार के क्रियाकलापों तथा जुगतों की एक सूची बनाइए तथा पहचानिए कि किस प्रकार का ऊर्जा रूपान्तरण हो रहा है।

क्रियाकलाप 11.15. (पा.पु. पृ. सं. 172)
20 kg द्रव्यमान का कोई पिण्ड 4m की ऊँचाई से मुक्त रूप से गिराया जाता है। दी गई सारणी के अनुसार प्रत्येक स्थिति में स्थितिज ऊर्जा तथा गतिज ऊर्जा की गणना करके, सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए। (g = 10ms^-2)
सारणी 11.2

ऊँचाई जहाँ पर पिण्ड स्थित है	स्थितिज ऊर्जा Ep = mgh (जूल में)	गतिज ऊर्जा (जूल में)	Ep + Ek Ek = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² (जूल में)
4m
3m
2m
1m
भूमि से ठीक ऊपर

संकेत-
h = 4m पर, E_p = mgh = 20 x 10 x 4800 J
v = 0, E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv² = 0
h = 3m पर, E_p = 20 x 10 x 3 = 600 J
तय की गई दूरी s = 4 – 3 = 1m
v² = u² + 2gs = 0 + 2gs = 2gs
E_k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)mv² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m x 2gs = mgs
= 20 x 10 x 1 = 200 J
h = 2m पर, s = 4 – 2 = 2m
E_p = mgh = 20 × 10 × 2 = 400 J
E_p = mgs = 20 x 10 × 2 = 400 J
h = 1 m पर, h = 1 m, s = 4 -1 = 3 m
E_p = mgh = 20 x 10 × 1 = 200 J
E_k= mgs = 20 x 10 × 3 = 600 J
भूमि से ठीक ऊपर,
h = 0, s = 4 – 0 = 4m
E_p = mg x 0 = 0
E_k= 20 x 10 × 4800 J

सारणी 11.3

ऊँचाई जहाँ पर पिण्ड स्थित है	स्थितिज ऊर्जा Ep = mgh	गतिज ऊर्जा (जूल में) Ek  = \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²	Ep + Ek
4m	800 J	0	800 J
3m	600 J	200 J	800 J
2m	400 J	400 J	800 J
1m	200 J	600 J	800 J
भूमि से ठीक ऊपर	0	800 J	800 J

इससे स्पष्ट है कि प्रत्येक ऊँचाई पर कुल यान्त्रिक ऊर्जा अचर रहती है, अर्थात् ऊर्जा संरक्षित है।

क्रियाकलाप 11.16. (पा. पु. पू. सं. 173)
A तथा B दो बच्चों का द्रव्यमान समान है। दोनों रस्से पर अलग-अलग चढ़ना प्रारंभ करते हैं। दोनों 8 m की ऊँचाई तक पहुँचते हैं। मान लीजिए इस कार्य को करने में A 15s तथा B 20s लेता है।
प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्य कितना है ? किया गया कार्य समान है तथापि A ने कार्य करने के लिए B की अपेक्षा कम समय लिया।
किस बच्चे ने दिए हुए समय मान लो 1 में अधिक कार्य किया ?
संकेत माना कि प्रत्येक बच्चे का भार mg प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्यmgh
किया गया कार्य समान है। परन्तु A 15s लेता है जबकि B 20s लेता है
समान कार्य करने के लिए इसलिए 1s में A ने अधिक कार्य किया। हम कहते हैं कि B से A ने अधिक काम किया।

खंड 11.3 से सम्बन्धित पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पू. सं. 174)

प्रश्न 1.
शक्ति क्या है?
उत्तर:
किसी कारक के कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। यदि कोई कारक W कार्य करने में t समय लगाता हैं तो,

प्रश्न 2.
1 बाट शक्ति को
उत्तर:
जब 1 सेकण्ड में कार्य करने की दर को 1 वाट कहते हैं।

प्रश्न 3.
एक लैंप 1000 J विद्युत ऊर्जा 10 में व्यय करता है। इसकी शक्ति कितनी है?
उत्तर:
दिया है:
W = 1000 J, t = 10s, P = ?
P = \(\frac { W }{ t }\) = \(\frac { 1000 }{ 10 }\)
= 100 वॉट

प्रश्न 4.
औसत शक्ति को परिभाषित कीजिए।
उत्तर:
कुल उपयोग की गई ऊर्जा को कुल लिए गए समय से भाग देकर निकाली गई शक्ति को औसत शक्ति कहते हैं।

क्रियाकलाप 11.17. (पा.पु. पू. सं. 175)
अपने घर में विद्युत मीटर में प्रतिदिन प्रातः तथा सायं 6:00 बजे मीटर का पाठ्यांक नोट करें।
दिन के समय कितनी ‘यूनिट’ व्यय होती है?
रात के समय कितनी ‘यूनिट’ व्यय होती है?
इस क्रिया को लगभग एक सप्ताह तक कीजिए।
अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध कीजिए।
अपने आँकड़ों से निष्कर्ष निकालिए।
अपने प्रेक्षणों की तुलना विद्युत् के मासिक बिल में दिए गए विवरणों से कीजिए।
संकेत-
हम मीटर का पाठ्यांक महीने के शुरू में तथा अंत में ले सकते हैं। दोनों पाठ्यांकों का अंतर हमें कुल व्यय हुई विद्युत के बारे में बताता है। इसकी हम मासिक बिल में दी गई यूनिटों से तुलना कर सकते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 3 निर्देशांक

प्रश्न 1.
बिन्दु (3, 4) की Y-अक्ष से दूरी होगी :
(A) 1
(B) 4
(C) 2
(D) 3
हल :
∵ x अक्ष का निर्देशांक 3 है।
∴ अतः Y-अक्ष से दूरी 3 होगी।
∴ सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 2.
बिन्दु (5, -2) की X- अक्ष से दूरी होगी :
(A) 5
(B) – 2
(C) 3
(D) 4
हल :
∵ Y अक्ष का निर्देशांक = – 2
अत: X- अक्ष से दूरी = – 2
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 3.
यदि समतल में किसी बिन्दु के निर्देशांक (2, – 1) हों, तो यह बिन्दु कौन-से चतुर्थांश में होगा ?
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ ।
हल :
बिन्दु (2, -1) में X- अक्ष का निर्देशांक धनात्मक और Y – अक्ष का निर्देशांक ऋणात्मक है।
समतल में (+, -) निर्देशांक, चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होते हैं।
अत: बिन्दु (2, – 1) चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित होगा।
∴ सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 4.
समतल में X- अक्ष पर एक बिन्दु के निर्देशांक होंगे :
(A) (x, 0)
(B) (0, x)
(C) (y, 0)
(D) (0, y)
हल :
X- अक्ष पर स्थित बिन्दु का y निर्देशांक 0 होगा।
अतः समतल में X- अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) होंगे।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
समतल में Y-अक्ष पर एक बिन्दु के निर्देशांक होंगे :
(A) (- y, 0)
(B) (0, y)
(C) (x, 0)
(D) (y, 0)
हल :
Y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का x निर्देशांक () होता है। अत: समतल में Y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (0. १) होंगे।
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 6.
तृतीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के निर्देशांक होते हैं :
(A) (+, -)
(B) (-, -)
(C) (-, +)
(D) (+, +)
हल :
तृतीय चतुर्थांश में स्थित बिन्दु के X- और Y-अक्ष पर निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।
∴ सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 7.
क्षैतिज रेखा किस अक्ष को निरूपित करती है ?
(A) X- अक्ष
(B) Y-अक्ष
(C) X- अक्ष और Y-अक्ष
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
क्षैतिज रेखा X- अक्ष को निरूपित करती है।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 8.
निर्देशांक ज्यामिति के जन्मदाता थे :
(A) रेने देकार्ते
(B) यूक्लिड
(C) जॉन प्लेफेयर
(D) थेल्स।
हल :
निर्देशांक ज्यामिति के जन्मदाता ‘रेने देकार्ते’ थे।
∴ सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 9.
दिये गये चित्र से बिन्दु P, Q, R, S के निर्देशांक लिखिए।

हल :
निर्देशांक P(5, 3), Q(-4, 6), R( – 3, – 2), तथा S( 1 – 5).

प्रश्न 10.
निम्नलिखित निर्देशांकों वाले बिन्दुओं को आलेखित कीजिए :
(1, 2), (1,3), (-2,-4), (3,2), (2, 0), (0, 3).
हल :
बिन्दु (1, 2), B ( – 1, 3), C ( – 2, – 4), D (3, – 2), E(2, 0) तथा F(0, 3) का आलेख निर्देशांक अक्ष खींचकर अग्र प्रकार करते हैं-

प्रश्न 11.
आयतीय निर्देशांक निकाय में बिन्दु (2, 4), (- 2, 3), (4, 3) और (5, -2) को आलेखित कीजिए।
हल :

आयतीय निर्देशांक XOX’ और YOY’ पर दिए गए बिन्दुओं (2, 4), (- 2, 3), (-4, – 3) और (5, – 2) को चित्रानुसार चिन्हित किया जाता है।

प्रश्न 12.
आयतीय निर्देशांक अक्षों को लेते हुए बिन्दु O(0, 0), P(3, 0) और R(0, 4) को आलेखित कीजिए । यदि OPQR एक आयत हो, तो बिन्दु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल :
XOX’ और YOY’ दो परस्पर लम्बवत् रेखाएँ खींचीं जो बिन्दु पर काटती हैं। इस पर हमने 0(0, 0), P(3, 0) और R (0, 4) को आलेखित किया।

∵ OPQR एक आयत है (दिया है)
∴ बिन्दु P से Y अक्ष के समान्तर तथा बिन्दु R से X- अक्ष के समान्तर रेखाएं खींचीं जो एक दूसरे को Q बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं। चित्रानुसार Q बिन्दु के निर्देशांक (3, 4) होंगे।

प्रश्न 13.
दिये गये चित्र से 4, B, C, D और E बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल :
बिन्दु A के निर्देशांक (-3, -3)
बिन्दु B के निर्देशांक (-4, 2)
बिन्दु C के निर्देशांक (0, 4)
बिन्दु D के निर्देशांक (4, 2)
बिन्दु E के निर्देशांक (3 – 3) हैं।

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Important Questions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Important Questions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सूत्र F = G \(\frac{m_1 m_2}{r^2}\) से ज्ञात किया जा सकता है-
(a) गुरुत्वाकर्षण बल
(b) पृथ्वी द्वारा आरोपित गुरुत्वीय बल
(c) गुरुत्वीय त्वरण
(d) पृथ्वी तथा चन्द्रमा के बीच लगने वाला आकर्षण बल।
उत्तर:
(a) गुरुत्वाकर्षण बल।

प्रश्न 2.
दो पिण्डों के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल निम्न से किस पर निर्भर नहीं करता?
(a) उनके मध्य की दूरी पर
(b) उनके द्रव्यमानों के गुणनफल पर
(c) गुरुत्वाकर्षण नियतांक पर
(d) द्रव्यमानों के योग पर।
उत्तर:
(d) द्रव्यमानों के योग पर।

प्रश्न 3.
निर्वात् में स्वतन्त्रतापूर्वक गिरते हुए पिण्डों का-
(a) वेग समान होता है
(b) त्वरण समान होता है
(c) बल समान होता है
(d) जड़त्व समान होता है।
उत्तर:
(b) त्वरण समान होता है

प्रश्न 4.
यदि किसी मीनार से मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड को पृथ्वी तक पहुँचने में 6 सेकण्ड का समय लगता है तो मीनार की ऊँचाई होगी-
(a) 176.4 मीटर
(c) 100 मीटर
(b) 175 मीटर
(d) 600 मीटर।
उत्तर:
(a) 176.4 मीटर।

प्रश्न 5.
पृथ्वी पर रखी दो वस्तुओं के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल F है। यदि उनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान 1/4 कर दिया जाय तो गुरुत्वाकर्षण बल होगा-
(a) F
(b) \(\frac { F }{ 16 }\)
(c) \(\frac { F }{ 4 }\)
(d) 4F.
उत्तर:
(b) \(\frac { F }{ 16 }\)

प्रश्न 6.
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक G का मात्रक होता है-
(a) न्यूटन / किग्रा
(b) मीटर/सेकण्डर
(c) न्यूटन मीटर²- किग्रा²
(d) न्यूटन मीटर² / किग्रा²।
उत्तर:
(d) न्यूटन मीटर² / किग्रा²।

प्रश्न 7.
किसी मकान की छत से पिण्ड गिराया जाता है। 50 मीटर गिरने के बाद पिण्ड की चाल होगी-
(a) 9.8 मीटर/सेकण्ड
(b) 31.30 मीटर / सेकण्ड
(c) 3.13मीटर / सेकण्ड
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 31.30 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 8.
गुरुत्वजनित त्वरण g का सही सूत्र है-
(a) g = \(\frac { GM }{ R }\)
(b) g = \(\frac{\mathrm{GM}}{r^2}\)
(c) g = \(\frac{G M^2}{\mathrm{R}}\)
(d) g = \(\frac{G M^2}{\mathrm{R}^2}\)
उत्तर:
(b) g = \(\frac{\mathrm{GM}}{r^2}\)

प्रश्न 9.
गुरुत्वीय त्वरण का मान-
(a) सभी ग्रहों पर समान होता है।
(b) पृथ्वी के सभी स्थानों पर समान होता है
(c) ध्रुवों पर अधिक, भूमध्य रेखा पर कम होता है
(d) उपर्युक्त में कोई सत्य नहीं है।
उत्तर:
(c) ध्रुवों पर अधिक, भूमध्य रेखा पर कम होता है।

प्रश्न 10.
ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंके गये पिण्ड का महत्तम ऊँचाई पर वेग-
(a) शून्य होता है
(b) अधिकतम होता है
(c) न्यूनतम होता है
(d) 9.8 मी / सेकण्ड होता है।
उत्तर:
(a) शून्य होता है।

प्रश्न 11.
दो पत्थर 2: 3 के अनुपात के वेगों से फेंके जाते हैं तो उनके द्वारा तय महत्तम ऊँचाइयों का अनुपात होगा-
(a) 2:3
(b) 3:2
(c) 9:1
(d) 4:91
उत्तर:
(d) 4:91

प्रश्न 12.
पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार 120 किग्रा है तो चन्द्रमा पर उसका भार होगा-
(a) 120 किग्रा
(b) 60 किग्रा
(c) 20 किग्रा
(d) 10 किग्रा ।
उत्तर:
(c) 20 किग्रा।

प्रश्न 13.
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का मान होता है-
(a) 9.8m/s²
(b) 1.57m/g²
(c) 6.67m/s²
(d) 0.98m/s².
उत्तर:
(b) 1.57m/s².

प्रश्न 14.
आपेक्षिक घनत्व का मात्रक है-
(a) मी.
(b) किग्रा
(c) सेकण्ड
(d) कोई मात्रक नहीं होता।
उत्तर:
(d) कोई मात्रक नहीं होता।

प्रश्न 15.
दाब का मात्रक है-
(a) न्यूटन²
(b) न्यूटन / मीर²
(c) न्यूटन मीटर²
(d) न्यूटन मीटर
उत्तर:
(b) न्यूटन / मी²

रिक्त स्थान भरो

1. गुरुत्वीय त्वरण का मान भिन्न-भिन्न स्थानों पर ……………… होता है।
2. गुरुत्वीय स्थिरांक का मान सदैव ……………… होता है।
3. उत्प्लावन बल सदैव ……………… की ओर आरोपित होता है।
4. किसी पदार्थ का एकांक आयतन द्रव्यमान ……………… कहलाता है।

उत्तर:

1. भिन्न
2. स्थिर
3. ऊपर
4. घनत्व।

सुमेलन कीजिए

उत्तर:
1. (ख) mg
2. (घ) \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
3.
4. (ख) mg

सत्य / असत्य

1. दो वस्तुओं के बीच उनकी बीच दूरी के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है।
2. G का मान भिन्न स्थानों पर भिन्न होता है।
3. g की दिशा सदैव पृथ्वी के केन्द्र की ओर होती है।
4. भार का SI मात्रक kg होता है।

उत्तर:

1. असत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य।

अति लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
वस्तुओं का पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरना किस बल के कारण होता है?
उत्तर:
पृथ्वी के गुरुत्व बल के कारण।

प्रश्न 2.
क्या ‘g’ का मान वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है?
उत्तर:
नहीं, ‘g’ का मान वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

प्रश्न 3.
यदि दो भिन्न-भिन्न द्रव्यमान की वस्तुओं को एक ऊँचाई से एक साथ मुक्त रूप से गिराया जाए तो वे एक ही साथ पृथ्वी पर पहुंचेंगी या अलग-अलग समय पर?
उत्तर:
एक ही साथ।

प्रश्न 4.
किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अन्य कोई द्रव्य रखा जाए तो उनके बीच लगने वाला गुरुत्व बल समान रहता है या बदल जाता है।
उत्तर:
गुरुत्व बल का मान समान रहता है।

प्रश्न 5.
‘g’ व G में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
g = G\(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{R}^2}\)

प्रश्न 6.
पृथ्वी तल से ऊपर जाने पर g के मान पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
पृथ्वी तल से ऊपर जाने पर 8 का मान घटता है।

प्रश्न 7.
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण कितना होता है?
उत्तर:
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का मान, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण के मान का 1/6 भाग होता है।

प्रश्न 8.
क्या g तथा G दोनों सार्वत्रिक नियतांक हैं?
उत्तर:
नहीं, केवल G सार्वत्रिक नियतांक है।

प्रश्न 9.
क्या गुरुत्वीय त्वरण एक सदिश राशि है अथवा अदिश? इसका SI मात्रक लिखिए।
उत्तर:
यह एक सदिश राशि है जिसकी दिशा सदैव पृथ्वी के केन्द्र की ओर होती है। इसका SI मात्रक मीटर / सेकण्ड² है।

प्रश्न 10.
यदि कोई पत्थर का टुकड़ा पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरता है तो पृथ्वी उस पर गुरुत्व बल लगाती है जिसके कारण पत्थर का टुकड़ा पृथ्वी की ओर त्वरित होता है क्या पत्थर भी पृथ्वी को अपनी ओर आकर्षित करता है?
उत्तर:
पत्थर भी पृथ्वी को गुरुत्व बल के बराबर बल से अपनी ओर आकर्षित करता है।

प्रश्न 11.
किसी वस्तु पर लगा गुरुत्व बल किस दिशा में कार्य करता है?
उत्तर:
वस्तु से पृथ्वी के केन्द्र को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।

प्रश्न 12.
गुरुत्वीय त्वरण का मान कितना है और इसके मात्रक क्या हैं?
उत्तर:
गुरुत्वीय त्वरण g का मान = 9.8 m/s² तथा मात्रक m/s² है।

प्रश्न 13.
ध्रुवों तथा भूमध्य रेखा में से किस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण का मान अधिक होता है?
उत्तर:
ध्रुवों पर।

प्रश्न 14.
किसी द्रव पर तैरती वस्तु पर कार्य करने वाले दो बलों के नाम बताइए।
उत्तर:

1. वस्तु का भार
2. द्रव का उत्क्षेप।

प्रश्न 15.
किसी द्रव में डुबोने पर कोई वस्तु हल्की क्यों प्रतीत होती है?
उत्तर:
द्रव द्वारा वस्तु पर लगाए गए उत्प्लावन बल के कारण।

प्रश्न 16.
कुएँ के पानी में डूबी हुई जल से भरी हुई बाल्टी क्यों हल्की प्रतीत होती है?
उत्तर:
कुएँ के पानी के उत्क्षेप के कारण।

प्रश्न 17.
जब किसी तैरती हुई वस्तु को थोड़ा नीचे की ओर दबाया जाता है तो दोनों में से कौन सी राशि बढ़ती है, वस्तु का भार या द्रव का उत्प्लावन बल?
उत्तर:
द्रव का उत्प्लावन बल।

प्रश्न 18.
सबसे पहले किस वैज्ञानिक ने यह अनुमान लगाया कि पृथ्वी की ओर गिरते हुए पिण्डों का त्वरण उनके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता?
उत्तर:
गैलीलियो ने।

प्रश्न 19.
उस वैज्ञानिक का नाम बताओ जिसने सबसे पहले प्रयोग द्वारा सिद्ध किया कि भिन्न-भिन्न वस्तुओं का त्वरण पृथ्वी की ओर गिरते हुए, द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता अर्थात् सभी पिण्ड पृथ्वी की ओर समान त्वरण से गिरते हैं।
उत्तर:
राबर्ट बॉयल।

प्रश्न 20.
गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G का मान विभिन्न ग्रहों पर अलग-अलग होगा या समान।
उत्तर:
विभिन्न ग्रहों पर G का मान समान रहेगा।

प्रश्न 21.
एक वस्तु का वायु में भार W₁ तथा जल में डुबोने पर भार W₂ है। वस्तु का आपेक्षिक घनत्व क्या होगा?
उत्तर:
वस्तु का आपेक्षिक घनत्व

प्रश्न 22.
6.5 आपेक्षिक घनत्व तथा 0.7 आपेक्षिक घनत्व वाले दो पिण्डों में से कौन-सा पिण्ड जल पर तैरेगा और क्यों?
उत्तर:
0.7 आपेक्षिक घनत्व वाला पिण्ड जल पर तैरेगा क्योंकि इसका आपेक्षिक घनत्व 1 से कम है।

प्रश्न 23.
एक ही ऊँचाई से एक पत्थर का टुकड़ा तथा एक कागज का टुकड़ा गिराने पर वे एक साथ पृथ्वी पर क्यों नहीं आते?
उत्तर:
वायु के घर्षण के कारण।

प्रश्न 24.
वस्तु के आभासी भार का क्या अर्थ है?
उत्तर:
किसी वस्तु का द्रव में डूबी हुई अवस्था में भार, वस्तु का ‘आभासी भार’ कहलाता है।

प्रश्न 25.
यदि विभिन्न प्रक्षेप्य पृथ्वी के समांतर एक ही ऊँचाई से तथा विभिन्न चाल से एक ही समय फेंके जाएँ तो वे पृथ्वी पर एक साथ पहुँचेंगे या अलग-अलग समय पर?
उत्तर:
एक साथ।

प्रश्न 26.
द्रव्यमान या संहति का SI मात्रक क्या है?
उत्तर:
किलोग्राम (kg)।

प्रश्न 27.
भार का SI मात्रक क्या है?
उत्तर:
न्यूटन (N)।

प्रश्न 28.
1 किलोग्राम भार (kg wt) में कितने न्यूटन होते हैं?
उत्तर:
1 किलोग्राम भार 9.8 न्यूटन (यदि g = 9.8 m/s²)।

प्रश्न 29.
एक पिण्ड द्वारा दूसरे पिण्ड पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल तथा दूसरे पिण्ड द्वारा पहले पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के बीच क्या अनुपात होगा?
उत्तर:
दोनों एक-दूसरे पर समान परिमाण का बल लगाते हैं; अतः यह अनुपात 1 : 1 होगा।

प्रश्न 30.
उस वैज्ञानिक का नाम बताइए जिसने सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक G का मान ज्ञात किया था?
उत्तर:
हेनरी कैवेन्डिश।

प्रश्न 31.
कोई वस्तु ऊपर से नीचे की ओर गिर रही है तो गति के समीकरण का स्वरूप बताइए।
उत्तर:

1. v = u + gt
2. h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
3. v² = u² + 2gh.

प्रश्न 32.
दाब का सूत्र लिखिए।
उत्तर:

प्रश्न 33.
क्या दाब एक सदिश राशि है?
उत्तर:
नहीं, दाब एक सदिश राशि नहीं है।

प्रश्न 34.
किसी वस्तु को नीचे से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है तो गति के समीकरणों के स्वरूप बताइए।
उत्तर:

1. v = u – gt.
2. h = ut – \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
3. v² = u² – 2gh

लघुत्तरात्मक एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
प्लवन अथवा उत्प्लवन के नियम लिखिए।
उत्तर:
जब किसी वस्तु को किसी द्रव में छोड़ा जाता है, तो उस पर दो बल कार्य करते हैं-

• वस्तु का भार W नीचे की ओर,
• वस्तु पर द्रव का उछाल बल F ऊपर की ओर।

इन दोनों बलों का परिणामी बल जिस दिशा में होगा, वस्तु का तैरना या डूबना इन्हीं बलों के मान पर निर्भर करता है; इसमें निम्नलिखित तीन स्थितियाँ सम्भव हैं-
स्थिति 1.
यदि वस्तु का भार W, उत्क्षेप बल F से अधिक है। इस स्थिति में वस्तु का परिणामी (WF) नीचे की ओर कार्य करता है तथा वस्तु द्रव में डूब जाएगी (चित्र 10.9. (a)) I

स्थिति 2.
यदि W = F अर्थात् वस्तु का भार उत्क्षेप बल के बराबर है। इस अवस्था में वस्तु पर परिणामी बल शून्य होगा। अतः वस्तु द्रव में पूरी तरह डूबकर तैरेगी। इसे वस्तु की प्लवन या तैरने की अवस्था कहते हैं ऐसा तब होता है जब वस्तु का घनत्व, द्रव के घनत्व के बराबर होता है (चित्र 10.9. (b))।

स्थिति 3.
जब W < F, इस अवस्था में वस्तु पर परिणामी बल (F- W) ऊपर की ओर लगेगा। अतः वस्तु द्रव में आंशिक रूप से डूबी रहकर तैरेगी सन्तुलन की अवस्था में वस्तु का आभासी भार शून्य होगा। यह भी वस्तु के प्लवन अथवा तैरने की अवस्था है। इस अवस्था में वस्तु का घनत्व, द्रव के घनत्व से कम होता है (चित्र 10.9 (c))।

इस प्रकार हम देखते हैं “कि जब कोई वस्तु द्रव में पूर्णतः या आंशिक रूप से डूबी रहकर तैरती है, तो वस्तु का भार, उसके डूबे हुए भाग द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है।” यही प्लवन का नियम हैं।

वस्तु का भार तथा वस्तु पर उत्क्षेप परस्पर विपरीत दिशाओं में लगते हैं। वस्तु के सन्तुलन में तैरने के लिए किसी भी प्रकार का बल आघूर्ण नहीं होना चाहिए। इसके लिए वस्तु का भार व उत्क्षेप बल एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए अतः सन्तुलन में वस्तु के तैरने के लिए निम्नलिखित दो शर्तें हैं-

• वस्तु का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।
• वस्तु का गुरुत्व केन्द्र तथा विस्थापित द्रव का उत्प्लवन केन्द्र एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए।

प्रश्न 2.
आर्किमिडीज के सिद्धान्त के सत्यापन को लिखिए।
उत्तर:
इसे चित्र 10.10 के अनुसार प्रदर्शित उपकरण द्वारा सत्यापित किया जाता है। इसमें काँच का एक जार होता है। इसके मुँह के पास नली लगी होती है। जार में नली की सतह तक जल भर दिया जाता है। अब ठोस का भार वायु में ज्ञात कर लेते हैं। इसके लिए एक स्प्रिंग से लटके हुए ठोस को पानी से भरे जार में डुबोते हैं।

जैसे-जैसे ठोस पानी में डूबता जाता है उसके भार में कमी होती जाती है; स्प्रिंग तुला द्वारा इसके भार में कमी को नोट कर लेते हैं तथा विस्थापित द्रव एक बीकर में एकत्रित होता जाता है। बीकर में एकत्रित हुए जल का भार ज्ञात कर लिया जाता है। ठोस के भार में कमी, उसके द्वारा हटाए गए पानी के भार के बराबर हो जाती है। अतः आर्किमिडीज के सिद्धान्त का सत्यापन हो जाता है।

प्रश्न 3.
किसी पदार्थ के आपेक्षिक घनत्व से आप क्या समझते हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
आपेक्षिक घनत्व किसी पदार्थ के घनत्व तथा जल के घनत्व के अनुपात को उस पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व कहते हैं।

चूँकि आपेक्षिक घनत्व एक अनुपात है; अतः इसका कोई मात्रक नहीं होता है।
किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व से कम होने पर वह पदार्थ जल में तैरेगा। यदि किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व से अधिक है तो वह पदार्थ जल में डूब जाएगा।
माना किसी वस्तु का आयतन V तथा घनत्व d₁ है, जबकि जल का घनत्व d₂ है।
तब वस्तु का वायु में भार
W₁ = वस्तु का आयतन x घनत्व x g = Vd₁ g
तथा जल में डुबोने पर, वस्तु के भार में कमी – वस्तु द्वारा हटाए गए पानी का भार
= वस्तु का आयतन × जल का घनत्व x g = Vd₂ g

प्रश्न 4.
भारी वाहनों के पहियों के टायर काफी चौड़े क्यों बनाए जाते हैं?
उत्तर:
भारी वाहनों के टायर काफी बड़े बनाना भारी वाहनों के टायर चौड़े होने से (क्षेत्रफल A अधिक है) सड़क अथवा जमीन पर लगने वाला दाब (PF/A) कम हो जाता है, क्योंकि वाहन का भार अधिक क्षेत्रफल पर लगता है, इसलिए वाहन के पहिये सड़क में धँसने से बच जाते हैं।

प्रश्न 5.
लोहे से बना जहाज समुद्र में तैरता है, परन्तु लोहे का ठोस टुकड़ा (कील) डूब जाता है, क्यों? सम्बन्धित नियम देते हुए इस कथन की व्याख्या कीजिये।
उत्तर:
लोहे से बने जहाज का जल पर तैरना – लोहे की कील की बनावट इस प्रकार की होती है कि उसका भार, उसके द्वारा हटाए गए जल के भार से बहुत अधिक होता है। इसी कारण वह जल में डूब जाती है।

इसके विपरीत लोहे का जहाज तैरता है। इसका कारण यह है कि जहाज का ढाँचा अवतल होता है तथा अन्दर से खोखला बनाया जाता है। जैसे ही जहाज समुद्र में प्रवेश करता है तो उसके द्वारा (उसकी बनावट के कारण) इतना जल हटा दिया जाता है कि उसके द्वारा हटाए गए जल का भार, जहाज (जहाज व उसके समस्त सामान सहित) के कुल भार के बराबर हो जाता है। इसी कारण प्लवन के सिद्धान्त के अनुसार जहाज जल में तैरता रहता है।

प्रश्न 6.
उत्प्लवन बल तथा उत्प्लवन केन्द्र से क्या तात्पर्य हैं?
उत्तर:
उत्प्लवन बल अथवा उत्क्षेप तथा उत्प्लवन केन्द्र- प्रत्येक द्रव अपने अन्दर पूर्ण अथवा आंशिक रूप से डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है। इस बल को उत्प्लवन बल अथवा उत्क्षेप कहते हैं यह बल वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के गुरुत्व केन्द्र पर कार्य करता है, इसे उत्प्लवन केन्द्र कहते हैं। उत्प्लवन बल के कारण ही द्रव में डूबी वस्तुएँ अपने वास्तविक भार से हल्की लगती हैं।

प्रश्न 7.
प्लवन (तैरने के नियम लिखिए।
अथवा
किसी वस्तु के सन्तुलन में तैरने के लिए क्या आवश्यक शर्तें हैं?
अथवा
कोई वस्तु किसी द्रव में कब तक तैरती है?
उत्तर:
प्लवन (तैरने) के नियम- किसी वस्तु के सन्तुलन में तैरने की दो शर्तें हैं-

• तैरने वाली वस्तु का भार वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।
• वस्तु का गुरुत्व केन्द्र तथा हटाए गए द्रव का उत्प्लावन केन्द्र एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए।

उपर्युक्त दोनों शर्तों के पूर्ण होने पर ही वस्तु द्रव में तैरती हैं।

प्रश्न 8.
रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे लकड़ी अथवा लोहे के चौड़े स्लीपर क्यों लगाए जाते हैं?
उत्तर:
यदि रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे चौड़े स्लीपर न लगाए जाएँ तो रेल की पटरियाँ अधिक दबाव के कारण जमीन में भैंस सकती हैं। पटरियों के नीचे स्लीपर लगाने से क्षेत्रफल अधिक हो जाता है, जिसके कारण दाब कम पड़ता है (P = F/A); अत: रेल की पटरियाँ जमीन में नहीं भैंस सकती।

प्रश्न 9.
एक तख्ते पर कुछ पुस्तकें फैलाकर रखने की अपेक्षा वही पुस्तकें एक जगह पर ऊपर-नीचे रखने पर तख्ता अधिक नीचे को झुक जाता है, ऐसा क्यों?
उत्तर:
तख्ते पर पुस्तकों को फैलाकर रखने से, उनके द्वारा घिरा क्षेत्रफल (A) अधिक होगा, जिसके कारण तख्ते पर दाब (PF / A) कम लगेगा। पुस्तकों को एक ही स्थान पर ऊपर नीचे रखने से उनके द्वारा घिरा क्षेत्रफल (A) कम होगा, इस कारण तख्ते पर दाब बढ़ जाएगा और तख्ता झुक जाएगा।

प्रश्न 10.
विशाल बाँधों की दीवारें नीचे मोटी व ऊपर पतली क्यों बनाई जाती हैं ?
उत्तर:
बाँध की दीवारों का नीचे मोटी व ऊपर पतली होना – विशाल बाँधों की गहराई बहुत अधिक होती है, चूँकि द्रव के अन्दर किसी बिन्दु पर दाब उस बिन्दु की मुक्त तल से गहराई के अनुक्रमानुपाती होता है; अतः बाँध की तली में जल का दाब सर्वाधिक होता है दाब क्योंकि एक ही क्षैतिज तल में सब बिन्दुओं पर सभी दिशाओं में समान होता है; अतः बाँध की दीवार पर सबसे अधिक दाब नीचे होता है; जैसे-जैसे ऊपर आते हैं दाब भी घटता जाता है; अतः बाँध की दीवार नीचे से मोटी बनाई जाती है, जिससे वह अधिक दाब बल को सहन कर सके। ऊपर जाने पर, क्योंकि दाब घटता जाता है अतः दीवारों की मोटाई भी कम करते जाते हैं, जैसा कि चित्र 10.11 में दिखाया गया है।

प्रश्न 11.
समान बल लगाने पर मोटी कील की अपेक्षा नुकीली कील दीवार में शीघ्र क्यों गढ़ जाती है?
उत्तर:
मोटी तथा नुकीली कीलों पर दाब – नुकीली कील के सिरे का क्षेत्रफल, मोटी कील के सिरे के क्षेत्रफल की अपेक्षा बहुत कम होती है; अतः दोनों कीलों पर एकसमान – बल लगाने से नुकीली कील द्वारा दीवार पर मोटी कील की अपेक्षा अधिक दाब (P = F/A) लगता है, जिससे नुकीली कील दीवार में आसानी से गढ़ जाती है।

प्रश्न 12.
कुएँ से जल खींचते समय जल से भरी बाल्टी जल की सतह से ऊपर आने पर धीरे-धीरे भारी क्यों प्रतीत होने लगती है?
उत्तर:
जब बाल्टी जल में डूबी होती है, तब उस पर उसके द्वारा हटाए गए जल के भार के बराबर उत्क्षेप बल लगता है जैसे-जैसे बाल्टी को जल से बाहर निकालते हैं, उस पर लगने वाले उत्क्षेप बल का मान कम होने लगता है। और बाल्टी भारी लगने लगती है।

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी कक्षा में बैठे दो छात्रों के मध्य कितना आकर्षण बल लगेगा यदि इनके द्रव्यमान क्रमश: 20 किग्रा, 30 किग्रा है तथा इनके मध्य की दूरी 2 मीटर है।
हल:
प्रश्नानुसार ms₁ = 20 किग्रा, m₂ = 30 किग्रा, d = 2 मीटर G = 6.7 x 10^-11 न्यूटन मीटर 2 / किग्रा, F = ?
∵ गुरुत्वाकर्षण बल F = G\(\frac{m_1 m_2}{d^2}\)
= 6.67 × 10^-11 x \(\frac{20 \times 30}{(2)^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 20 \times 30}{4}\)
= 1000.5 x 10^-11 न्यूटन
= 1.0 × 10^-8 न्यूटन (लगभग) उत्तर

प्रश्न 2.
यदि पृथ्वी का द्रव्यमान 5.97 x 10²⁴ किग्रा, पृथ्वी की त्रिज्या 6.38 x 10⁶ मीटर तथा एक व्यक्ति का द्रव्यमान 60 किग्रा है यदि गुरुत्वाकर्षण नियतांक 6.67 x 10^-11 न्यूटन मीटर²/किग्रा² हो, तो पृथ्वी एवं व्यक्ति के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 5.97 x 10²⁴ किग्रा
पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.38 x 10⁶ मीटर
व्यक्ति का द्रव्यमान m = 60 किग्रा
गुरुत्वाकर्षण नियतांक
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी² / किग्रार
गुरुत्वाकर्षण बल F = ?

प्रश्न 3.
पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा, चन्द्रमा का द्रव्यमान 7.4 x 10²² किग्रा तथा दोनों के मध्य की दूरी 3.84 x 10⁸ मीटर है। पृथ्वी तथा चन्द्रमा के मध्य लगने वाले आकर्षण बल की गणना कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 6 × 10²⁴ किग्रा
चन्द्रमा का द्रव्यमान m = 7.4 x 10²² किग्रा
पृथ्वी तथा चन्द्रमा के मध्य दूरी d = 3.84 x 10⁸ मीटर
गुरुत्वाकर्षण नियतांक
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी²/ किग्रा²

प्रश्न 4.
यदि पृथ्वी की त्रिज्या 6.67 x 10^-11 न्यूटन – मी² / किग्रा² तथा 89.8 मीटर/सेकण्ड² हो तो पृथ्वी के द्रव्यमान की गणना कीजिए।
हल:
पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.38 x 10⁶ मीटर
गुरुत्वाकर्षण नियतांक G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मी²./किग्रा
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²
पृथ्वी का द्रव्यमान M = ?
समीकरण g = \(\frac{g \mathrm{R}^2}{G}\) से M
= \(\frac{9.8 \times\left(6.38 \times 10^6\right)^2}{6.67 \times 10^{-11}}=\frac{398.90312 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}\)
= 59.81 × 10²³ = 5.98 × 10²⁴ किग्रा

प्रश्न 5.
एक व्यक्ति का पृथ्वी की सतह पर भार 60 किग्रा है। यदि मंगल ग्रह का द्रव्यमान, पृथ्वी की अपेक्षा \(\frac { 1 }{ 9 }\) तथा त्रिज्या पृथ्वी की अपेक्षा \(\frac { 1 }{ 2 }\) है तो मंगल ग्रह पर व्यक्ति का भार ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ F = G x \(\frac{\mathrm{M} \times m}{\mathrm{R}^2}\)
पृथ्वी का द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R है।
प्रश्नानुसार, F = 60 किग्रा भार = 60 x 9.8 न्यूटन
60 × 9.8 = G\(\frac{\mathrm{M} \times m}{\mathrm{R}^2}\) … (i)
मंगल का द्रव्यमान = \(\frac {M }{ 9 }\), मंगल ग्रह की त्रिज्या = \(\frac { R }{ 2 }\) यदि मंगल ग्रह पर व्यक्ति का भार ‘m’ किग्रा हो तो
m’g = \(\frac{\mathrm{G} \times \frac{\mathrm{M}}{9} \times m}{\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)^2}\) … (ii)
समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर
\(\frac{m^{\prime} g}{60 \times 9.8}=\frac{4}{9} ; m^{\prime} g=\frac{60 \times 9.8 \times 4}{9}=\frac{2352}{9}\)
m’g – 261.34 न्यूटन = \(\frac { 261.34 }{ 9.8 }\)
m’ = 26:67 किग्रा

प्रश्न 6.
एक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी से 6 गुना है। इसका व्यास पृथ्वी के व्यास का 6 गुना है। यदि पृथ्वी पर g का मान 9.8 मीटर / से² हो तो ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g’ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) … (i)
इसी प्रकार ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण
g’ = \(\frac{\mathrm{GM}^{\prime}}{\mathrm{R}^{\prime 2}}\) … (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग देने पर
\(\frac{g^{\prime}}{g}=\frac{\frac{\mathrm{GM}^{\prime}}{\mathrm{R}^{\prime 2}}}{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}} \Rightarrow \frac{g^{\prime}}{g}=\left(\frac{\mathrm{M}^{\prime}}{\mathrm{M}}\right)\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}^{\prime}}\right)^2\)
प्रश्नानुसार, M’ = 6M अथवा \(\frac {M’ }{ M }\) = 6
R’ = 6R अथवा \(\frac {R }{ R’ }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः \(\frac { g’ }{ g }\) = 6 x (\(\frac { 1 }{ 6 }\))² = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण
g’ = g x \(\frac { 1 }{ 6 }\) = 9.8 x \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 1.63 मीटर / सेकण्डर²

प्रश्न 7.
दो पिण्डों के मध्य गुरुत्वाकर्षण F है। यदि पिण्डों के मध्य दूरी आधी कर दी जाय तो उनके मध्य गुरुत्वाकर्षण बल कितना हो जायेगा?
हल:
माना कि पिण्डों के द्रव्यमान m₁ एवं m₂ हैं तथा उनके बीच की पहली दूरी है तो-
F = G \(\frac { 1 }{ 6 }\) … (i)
बीच की दूरी आधा कर देने पर बल
F’ = \(\frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{(r / 2)^2}=\frac{4 \mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\)
\(\frac{\mathrm{F}^{\prime}}{\mathrm{F}}=\frac{4 \mathrm{G} m_1 m_2}{r^2} / \frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\) = 4 … (ii)
∴ F’ = 4F
अतः गुरुत्वाकर्षण बल 4 गुना हो जायेगा।0

प्रश्न 8.
एक पिण्ड को पृथ्वी तल से h ऊँचाई से गिराने पर वह पृथ्वी पर 10 सेकण्ड में पहुँचता है, तो / का मान ज्ञात कीजिए। (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार u = 0 मीटर / सेकण्ड
= 10 सेकण्ड
h = ?
∵ h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt²
∴ h = (0 × 10) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 9.8 × (10)²
h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 9.8 × 10 × 10
= 490 मीटर

प्रश्न 9.
यदि किसी पिण्ड का भार 98 न्यूटन है तो वस्तु का द्रव्यमान कितना होगा? (g = 9.8 मीटर / सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार, W = 98 न्यूटन
8 = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
m = ?
∵ भार (W) = द्रव्यमान (m) x गुरुत्वीय त्वरण (g)
∴ द्रव्यमान (m) = \(\frac { W }{ g }\) = \(\frac { 9.8 }{ 9.8 }\)
= 10 किलोग्राम उत्तर

प्रश्न 10.
एक पिण्ड को ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर किस वेग से फेंकें कि वह 150 मीटर ऊँचाई तक जाये। (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल:
प्रश्नानुसार,
अन्तिम वेग v = 0
प्रारम्भिक वेग u = ?
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
∵ v² = u² – 2gh
∴ (0)² = u² – 2gh या u² = 2gh
या u = \(\sqrt{2gh}\)
या u = \(\sqrt{2 \times 9.8 \times 150}\)
= 54.22 मीटर / सेकण्ड उत्तर

प्रश्न 11.
60 मीटर ऊँचाई की मीनार से एक लड़का किसी पत्थर के टुकड़े को नीचे गिराता है। पुनः 1 सेकण्ड पश्चात् वही लड़का दूसरे पत्थर के टुकड़े को मीनार से फेंकता है। यदि दोनों पत्थर के टुकड़े पृथ्वी पर एक साथ पहुँचते हैं तो लड़के ने दूसरे पत्थर को किस वेग से फेंका?
हल:
पहले पत्थर के लिए-
प्रश्नानुसार, u = 0, h = 60 मीटर, t = ?
∵ h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
60 = 0 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 x t²
60 = 4.9 x t²
t² = \(\frac { 60 }{ 4.9 }\)
= 12.24
∴ t = \(\sqrt{12.24}\) = 3.49 सेकण्ड
दूसरे पत्थर के लिए-
प्रश्नानुसार,
h = 60 मीटर
t = 349 – 1 = 2.49 सेकण्ड
g = 9.8 मीटर/सेकण्ड², u = ?
समीकरण
h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
60 = u × 2.49 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 (2.49)²
60 = 2.49 u + 30.38
2.49 u = 60 – 30.38
2.49 u = 29.61
u = \(\frac { 29.61 }{ 2.49 }\)
= 11.89 मीटर / सेकण्ड
अतः दूसरे पत्थर का वेग 11.89 मीटर / सेकण्ड होगा।

प्रश्न 12.
किसी व्यक्ति का पृथ्वी पर द्रव्यमान 60 किग्रा है इसका चन्द्रमा पर भार तथा द्रव्यमान कितना होगा ? जबकि चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण g का \(\frac { 1 }{ 6 }\) है।
हल:
प्रश्नानुसार,
चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण
= पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण x \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 9.8 × \(\frac { 1 }{ 6 }\)
= 1.63 मीटर/सेकण्डर²
∴ चन्द्रमा पर व्यक्ति का भार (W) = द्रव्यमान (m) x गुरुत्वीय त्वरण (g)
= 60 × 1.63 = 97.8 किग्रा.
∵ द्रव्यमान प्रत्येक स्थान पर नियत रहता है।
अतः चन्द्रमा पर व्यक्ति का द्रव्यमान 60 किग्रा.

प्रश्न 13.
दो वस्तुएँ एक साथ ऊपर फेंकी जाती हैं। यदि उनके प्रारम्भिक वेग का अनुपात 2:3 है तो उनके द्वारा प्राप्त ऊँचाइयों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली वस्तु का प्रारम्भिक वेग u तथा प्राप्त ऊँचाई है।
तब वस्तु का अन्तिम वेग शून्य होगा।
अत: समीकरण v² = u² – 2gh से
(0)² = u² – 2gh
∴ h = \(\frac{u^2}{2 g}\) … (i)
इसी प्रकार दूसरी वस्तु का प्रारम्भिक वेग u’ तथा प्राप्त ऊँचाई h’ है।
तब 0 = u² – 2gh’
h’ = \(\frac{u^{\prime 2}}{2 g}\) … (ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर
\(\frac{h}{h^{\prime}}=\frac{u^2}{u^{\prime 2}}=\left(\frac{u}{u^{\prime}}\right)^2\)
प्रश्नानुसार \(\frac { u }{ u’ }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
∴ ऊँचाइयों का अनुपात \(\frac { h }{ h’ }\) = (\(\frac { u }{ u’ }\))² = \(\frac { 4 }{ 9 }\)
अतः प्राप्त ऊँचाइयों का अनुपात 49 होगा।

प्रश्न 14.
दो वस्तुएँ क्रमशः h₁ व h₂ ऊँचाई से एक साथ गिराई जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि उनके पृथ्वी पर पहुँचने के समय में \(\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\) का अनुपात होगा।
हल:
दोनों वस्तुएँ एक साथ गिरायी जाती हैं। अतः उनके प्रारम्भिक वेग शून्य होंगे। यदि उनके पृथ्वी पर पहुँचने के समय t₁ व h₂ हाँ तो-
h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
प्रथम वस्तु के लिए
h₁ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt₁² (∵ u = 0)
इसी प्रकार द्वितीय वस्तु के लिए
h₂ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt₁² (∵ u = 0)
∴ \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}\)
अतः \(\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\) इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी पिण्ड को मीनार की छत के किनारे से गिराया गया है-
(i) 10 मीटर दूरी तय करने में पिण्ड को कितना समय लगेगा?
(ii) उस समय पिण्ड की चाल क्या होगी?
(iii) 16 मीटर दूरी तय करने के बाद उसकी चाल क्या होगी?
(iv) गिरने के 2 सेकण्ड तथा 5 सेकण्ड बाद वस्तु का त्वरण क्या होगा?
हल:
(i) प्रारम्भिक चाल u = 0, ऊँचाई 60 मीटर गुरुत्वीय त्वरण g = 19.8 मीटर/सेकण्ड² समय t = ?
समीकरण h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² से
10 = 0 × \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 x t²
10 = 4.9 x t²
t² = 2.04
t = \(\sqrt{2.04}\) = 1.43 सेकण्ड
∴ पत्थर को 10 मीटर तय करने में लगा समय
= 1.43 सेकण्ड

(ii) समीकरण
v = u + gt से
v = 0 + 9.8 × 1.43
= 14 मीटर / सेकण्ड

(iii) ∵ u = 0, h = 16 मीटर, v = ?
समीकरण v² = u² + 2gh
v² = (0)² + 2 × 9.8 × 16
या v² = 313.6
∴ v = 17.71 मीटर/सेकण्ड

(iv) ∵ पत्थर अचर गुरुत्वीय त्वरण के अधीन गति कर रहा है। इसलिए
2 सेकण्ड बाद गुरुत्वीय त्वरण = 9.8 मीटर/सेकण्डर²
5 सेकण्ड बाद गुरुत्वीय त्वरण = 9.8 मीटर/सेकण्डर²

प्रश्न 16.
यदि बल को चार गुना तथा क्षेत्रफल को आधा कर दिया जाए, तो दाब, प्रारम्भिक दाब को कितने गुना हो जाएगा?
हल:

अतः दाब, प्रारम्भिक दाब का आठ गुना हो जाएगा।

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति अधिक से अधिक 35 किग्रा भार उठा सकता है। उस पिण्ड का वायु में अधिकतम भार ज्ञात कीजिए जिसे वह व्यक्ति जल में उठा सकता है। (पिण्ड का घनत्व = 3 x 10³ किग्रा / मीटर³, जल का घनत्व = 1 x 10³ किग्रा / मी.³)
हल:
दिया है, जल में पिण्ड का भार = 35 किग्रा
यदि पिण्ड का वायु में भार W किग्रा हो, तो
जल में डुबोने पर पिण्ड के भार में कमी = (W – 35) किग्रा
पुनः पिण्ड का आपेक्षिक घनत्व

अतः पिण्ड का वायु में भार W 52.5 किग्रा।

प्रश्न 18.
75 ग्राम भार के एक पिण्ड को द्रव में डुबोने पर उस पर दूब का उछाल 45 ग्राम भार के बराबर है। यदि पिण्ड के पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व 2.5 हो, तो द्रव का आपेक्षिक घनत्व ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, पिण्ड का वास्तविक भार = 75 ग्राम-भार
पिण्ड पर द्रव का उत्क्षेप = 45 ग्राम भार
पिण्ड के पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व = 2.5
द्रव का आपेक्षिक घनत्व = ?
जब पिण्ड द्रव में पूर्णतः डूबता है, तब

प्रश्न 19.
180 ग्राम द्रव्यमान की लकड़ी का एक टुकड़ा एल्कोहॉल में तैर रहा है। टुकड़े द्वारा विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन ज्ञात कीजिए । एल्कोहॉल का घनत्व 0.90 ग्राम / सेमी³ है।
हल:
दिया है, m 180 ग्राम, 0.90 ग्राम / सेमी³, V = ?
∴ लकड़ी का टुकड़ा एल्कोहॉल पर तैर रहा है अतः टुकड़े का भार = विस्थापित एल्कोहॉल का भार
180 x g = विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन x एल्कोहॉल का घनत्व x g
∴ विस्थापित एल्कोहॉल का आयतन

प्रश्न 20.
पानी से पूरे भरे गिलास में बर्फ का एक टुकड़ा तैर रहा है। थोड़े समय बाद जब बर्फ का टुकड़ा पूरा पिघल जाता है, तो गिलास के पानी के तल पर क्या प्रभाव पड़ेगा? कितना पानी बाहर निकल जाएगा? गणना द्वारा समझाइए। [बर्फ का आपेक्षिक घनत्व = 0.9]
हल:
माना बर्फ का द्रव्यमान M₁, उसका पानी में डूबा आयतन तथा जल का घनत्व d है, जब तैरने के नियम से,
बर्फ का भार बर्फ द्वारा हटाए गए जल का भार
Mg = V x d x g
अतः V = \(\frac { M }{ d }\) … (i)
बर्फ के पिघलने पर जल बनता है M किग्रा बर्फ के पिघलने पर बने जल का आयतन
V’ = \(\frac { M }{ d }\) … (ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से स्पष्ट है कि V = V’
अर्थात् पानी में डूबी बर्फ का आयतन = बर्फ से बने जल का आयतन
अतः बर्फ पिघलने पर जल के तल में कोई परिवर्तन नहीं होगा अर्थात् पानी बाहर नहीं निकलेगा।

प्रश्न 21.
किसी लकड़ी के टुकड़े का 2/3 भाग पानी में डूबता है। यदि उसे पूरा डुबाने के लिए उस पर कम से कम 200 ग्राम भार रखने की आवश्यकता हो, तो लकड़ी के टुकड़े का भार ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लकड़ी के टुकड़े का भार W तथा आयतन V है। चूँकि तैरते समय टुकड़े के आयतन का 2/3 भाग पानी में डूबता है, अतः
लकड़ी के टुकड़े का भार W= हटाए गए जल का भार
W = \(\frac { 2 }{ 3 }\) V x d x g … (i)
200 ग्राम भार और रख देने पर लकड़ी का टुकड़ा पूरा डूब जाता है, अतः
W + 200 = V x d x g … (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग देने पर
\(\frac{W+200}{W}=\frac{3}{2}\)
अथवा
2W + 400 = 3 W
अतः लकड़ी के टुकड़े का भार W = 400 ग्राम

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद

प्रश्न 1.
बहुपद p(x) = 5x² – 3x +7 में x 1 रखने पर बहुपद का मान होगा :
(A) 9
(B) 11
(C) 12
(D) 3
हल :
p(x) = 5x² – 3x +7
x = 1 रखने पर,
P( 1 ) = 5 (1)² – 3 ( 1 ) + 7
= 5 – 3 + 7 = 9
अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 2.
p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक होगा :
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) 3
(C) –\(\frac {1}{2}\)
(D) 1
हल :
p(x) = 2x + 1
शून्यक होने के लिए p(x) = 0 होगा।
∴ 0 = 2x + 1 ⇒ x = – \(\frac {1}{2}\)
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 3.
x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को x – 1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगा :
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) – 2
हल :
p(x) = x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को (x – 1) से शेषफल p (1) का मान (1) होता है।
∵ x – 1 = 0 ⇒ x = 1
p(1) = 1⁴ + 1³ – 2 (1)² + 1 + 1
= 1 + 1 – 2 + 1 +1 = 2
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 4.
व्यंजक (x – 3) बहुपद
p(x) = x³ + x² – 17x + 15
का गुणनखण्ड होगा, यदि :
(A) p(3) = 0
(B) p(-3) = 0
(C) P(-3) = 0
(D) p(-3) = – 3
हल :
p(x) = x³ + x² – 17x + 15
(x – 3), p(x) का एक गुणनखण्ड है, तो
x – 3 = 0, x = 3
अत: सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
x³ – y³ का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + y
(B) x² + y²
(C) x² – xy + y²
(D) x – y
हल :
x³ – y³ के गुणनखण्ड
= (x – y) (x² + xy + y²)
एक गुणनखण्ड (x – y) है। अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 6.
x⁴ + 8x का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 2
(C) x + 8
(D) x² + 2x + 2
हल :
x⁴ + 8x = x(x³ + 8)
= x[(x)³ + (2)³]
= x(x + 2) (x² – 2x + 4)
एक गुणनखण्ड (x + 2) है अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 7.
x³ – 8 का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 4
(C) x² + 2x + 4
(D) x² – 2x – 4
हल :
x³ – 8 = (x)³ – (2)³
= (x – 2) (x² + 2x + 4)
एक गुणनखण्ड (x² + 2x + 4 ) है अतः सही विकल्प ‘C’ है |

प्रश्न 8.
3y³ + 8y² – 1 का पूर्णांक शून्य है :
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) विद्यमान नहीं
हल :
3y³ + 8y² – 1 का पूर्णांक शून्य है।
y = 1 रखने पर, 3(1)³ + 8(1)² – 1
= 3 + 8 – 1 = 10 ≠ 0
y = – 1 रखने पर, 3(-1)³ + 8(-1)² – 1
= – 3 + 8 – 1 = 4 ≠ 0
y = 0 रखने पर, 3(0)³ + 8 × (0)² – 1
= – 1 ≠ 0
अतः व्यंजक में के स्थान पर 1, – 1 और 0 रखने पर शून्य नहीं आता है।
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए कि 2 और 0 बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं।
हल:
p(x) = x² – 2x
p(2) = 2² – 2(2)
p(2) = 4 – 4 = 0
एवं p(0) = 0 – 0 = 0
अतः 2 और 0 दोनों ही बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
जाँच कीजिए कि बहुपद
q(t) = 4t³ + 4t² – t – 1, 2t + 1 का एक गुणज है।
हल :
बहुपद q(t), 2t + 1 का गुणज केवल तब होगा जब 2t + 1 से q(t) को भाग देने पर शेषफल शून्य आता हो ।
∴ 2t + 1 = 0
t = – \(\frac {1}{2}\)
\(q\left(-\frac{1}{2}\right)=4\left(-\frac{1}{2}\right)^3+4\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)\) – 1
= – 4 × \(\frac {1}{8}\) + 4 × \(\frac {1}{4}\) + \(\frac {1}{2}\) – 1
= – \(\frac {1}{2}\) + 1 + \(\frac {1}{2}\) – 1 = 0
अतः 2t + 1 दिए गये बहुपद q(t) का एक गुणज है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि 5, बहुपद 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यक है।
हल :
5 बहुपद 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यांक है। बहुपद में x = 5 रखने पर,
2x³ – 7x² – 16x + 5 = 2(5)³ – 7(5)³ – 16(5) + 5
= 2 × 125 – 7(25) – 80 + 5
= 250 – 175 – 80 + 5
= 255 – 255 = 0
∵ x = 5 रखने पर बहुपद का मान शून्यक प्राप्त होता है।
अतः 5 बहुपद का पूर्णांक शून्यक होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
a के किस मान के लिए बहुपद x³ + 2x² – 3ax – 8 में व्यंजक (x – 4) का पूरा-पूरा भाग जाता है?
हल :
बहुपद में x – 4 का भाग देने पर शेषफल f(4) प्राप्त होगा।
f(x) = x³ + 2x² – 3ax – 8 में x के स्थान पर 4 रखने पर
f(4) = (4)³ + 2(4)² – 3a(4) – 8 = 0
= 64 + 2 × 16 – 12a – 8 = 0
= 64 + 32 – 12a – 8 = 0
= 96 – 12a – 8 = 88 – 12a = 0
⇒ 12a = 88
∴ a = \(\frac {88}{12}\) = \(\frac {22}{3}\)
अतः a = \(\frac {22}{3}\)

प्रश्न 13.
यदि x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 48 हो तब (x + \(\frac {1}{x}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :
सूत्र से,

प्रश्न 14.
यदि x³ + a³ में x + a का भाग दिया जाए, तो शेषफल ज्ञात कीजिए ।
हल:

∴ शेषफल = 0

प्रश्न 15.
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³ क गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
माना
2x + 3 = a
3x – 2 = b
– (5x + 1) = c
अब a + b + c = (2x + 3) + (3x – 2 ) – (5x + 1)
= 2x + 3 + 3x – 2 – 5x – 1
= 5x – 5x + 3 – 3 = 0
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ = 3abc
a, b तथा c के मान रखने पर
(2x + 3 )³ + (3x – 2)³ – (5x + 1 )³
= 3 × (2x + 3) × (3x – 2) × [- (5x + 1) ]
= – 3 (2x + 3) (3x – 2) (5x + 1).

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि x² + 6x + 15 का कोई शून्य नहीं होता।
हल :
माना कि f(x) = x² + 6x + 15
∴ f(x) = {x2 + 2 (3)x + 9} + 6
= (x + 3)² + 6
यहाँ x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)² का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः (x + 3)² का मान सदैव शून्य से बड़ा ही रहेगा। परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए (x) का कोई शून्य विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 17.
गुणनखण्ड कीजिए:
(i) x³ – 64
(ii) (2x – 1)³ – (x – 1)³
हल :
(i) x³ – 64 = (x)³ – (4)³
∵ a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
∴ (x – 4) [(x)² + (x)(4) + (4)²]
= (x – 4) (x² + 4x + 16)

(ii) (2x – 1)³ – (x – 1)³
= [(2x – 1) – (x – 1)] [(2x – 1)² + (2x – 1) (x – 1) + (x – 1)³]
= x[4x² – 4x + 1 + 2x² – 3x + 1 + x² – 2x + 1]
= x(7x² – 9x+3).

प्रश्न 18.
(3a + 4b + 5c)² को प्रसारित रूप में लिखिए।
हल :
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz +2zx
(3a + 4b + 5c)² = (3a)² + (4b)² + (5c)² + 2(3a)(4b) + 2 (4b) (5c) + 2 (5c) (3a)
= 9a² + 16b² + 25c² + 24ab + 40bc + 30ac.

प्रश्न 19.
4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4xz को गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
(2x)² + (y)² + (z)² + 2(2x)(-y) + 2(- y)(z) + 2(2x)(z)
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= [2x + (-y) + z]²
= (2x – y + z)²
= (2x – y + z) (2x – y + z).

प्रश्न 20.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (104)³
(ii) (999)³
हल :
(i) यहाँ (104)³ = ( 100 + 4)³
=(100)³ + (4)³ + 3(100)(4)(100 + 4)
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)]
= 1000000 + 64 + 124800 = 1124864.

(ii) यहाँ (999)³ = ( 1000 – 1)³
= (1000)³ – (1)³ – 3(1000)(1)(1000 – 1)
[सर्वसमिका a³ – b³ = a³ – b³ – 3ab (a + b)]
= 1000000000 – 1 – 2997000
= 997002999.

प्रश्न 21.
8x³ + 27y³ + 36x²y + 54xy – 2 के गुणनखण्डन कीजिए।
हल :
दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(2x)³ + (3y)³ + 3(4x²)(3y) + 3(2x)(9y²)
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²)
= (2x)³ + (3y)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)²
= (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y).

प्रश्न 22.
(4a – 2b – 3c)² का प्रसार कीजिए।
हल :
सर्वसमिका
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
∴ (4a – 2b – 3c)² = [4a + (-2b) + (- 3c)]²
= (4a)² + (-2b)² + (- 3c)² + 2(4a)(-2b) + 2(-2b) (- 3c) + 2 (-3c) (4a)
= 16a² + 4b² + 9c² – 16ab + 12bc – 24ac.

प्रश्न 23.
यदि (x – \(\frac {1}{x}\))² = 5 तो(x² – \(\frac{1}{x^2}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :
सूत्र,
(a – b)² = a² + 2ab – b²
(x – \(\frac {1}{x}\))² = x² + \(\frac{1}{x^2}\) – 2.x.\(\frac {1}{x}\)
5 = (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 2
∴ x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 7

प्रश्न 24.
प्रदर्शित कीजिए कि बहुपद x¹⁰ – 1 और x¹¹ – 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है ।
हल :
माना
p(x) = x¹⁰ – 1
तथा
q(x) = x¹¹ – 1
(x – 1) गुणनखण्ड प्रदर्शित करने के लिए p(x) = 0, q(x) = 0 दिखाना पड़ेगा।
∴ p(x) = x¹⁰ – 1
p(1) = (1)¹⁰ – 1
P(1) = 1 – 1
P(1) = 0

तथा q(x) = x¹¹ – 1
q (1) = (1)¹¹ – 1
q (1) = 1 – 1
q(1) = 0
अत: (x – 1), बहुपद (x¹⁰ – 1) तथा (x¹¹ – 1) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 25.
व्यंजक x⁸ – y⁸ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
सर्वसमिका a² + b² = (a + b) (a – b) से, (x⁴)² – (y⁴)²
= (x⁴ – y⁴) (x⁴ + y⁴)
= [(x²)² – (y²)²] [x⁴ + y⁴]
(x² – y²) (x² + y²) (x⁴ + y⁴)
पुनः (x – y) (x + y) (x² + y²) (x⁴ + y⁴)

प्रश्न 26.
यदि (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) = 83 तो (x³ – \(\frac{1}{x^3}\)) का मान ज्ञात करो ।
हल :

प्रश्न 27.
व्यंजक (x¹² – y¹²) के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
x¹² – y¹² = (x⁶)² – (y⁶)²,
सर्वसमिका a² – b² = (a – b)(a + b)
= (x⁶ + y⁶)(x⁶ – y⁶)
= (x⁶ + y⁶) [(x³)² – (y³)²]
= (x⁶ + y⁶) [x³ + y³] [x³ – y³]
सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
तथा a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
= (x⁶ + y⁶) [(x + y) (x² – xy + y²) (x – y) (x² + xy + y²)]
= [(x²)³ + (y²)³] [(x + y) (x – y) (x² – xy + y²) (x² + xy + y²)]
= (x² + y²) (x⁴ – x²y² + y⁴) (x + y) (x – y)(x² – xy + y²)(x² + xy + y²)
अतः x¹² – y¹² = (x + y) (x – y)(x² + y²) (x⁴ – x²y² + y⁴)(x² – xy + y²)(x² + xy + y²)

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Solutions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Solutions Chapter 10 गुरुत्वाकर्षण

Jharkhand Board Class 9 Science गुरुत्वाकर्षण Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1.
यदि दो वस्तुओं के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए तो उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल किस प्रकार बदलेगा?
उत्तर:
सूत्र F = \(\frac{\mathrm{G} m_1 m_2}{r^2}\) से

अतः दूरी को आधा करने पर गुरुत्वाकर्षण बल चार गुना हो जाएगा।

प्रश्न 2.
सभी वस्तुओं पर लगने वाला गुरुत्वीय बल उनके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। फिर एक भारी वस्तु, हल्की वस्तु के मुकाबले तेजी से क्यों नहीं गिरती?
उत्तर:
∵ F ∝ m
अर्थात् F = km
जहाँ K = नियतांक
अत: सूत्र F = ma से,
वस्तु का त्वरण a = \(\frac { F }{ m }\)
अर्थात् a = \(\frac { γm }{ m }\) = K ( नियतांक)
इससे स्पष्ट होता है कि भले ही गुरुत्वीय बल वस्तु के द्रव्यमान के समानुपाती होता है, परन्तु वस्तुओं के मुक्त पतन का त्वरण सभी वस्तुओं के लिए नियत है। अब चूँकि कोई वस्तु कितनी तेजी से गिरेगी यह वस्तु के त्वरण पर निर्भर करता है (न कि गुरुत्वीय बल पर); अतः त्वरण के नियत होने के कारण हल्की तथा भारी सभी वस्तुएँ समान तेजी से गिरती हैं।

प्रश्न 3.
पृथ्वी तथा उसकी सतह पर रखी किग्रा की वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल का परिमाण क्या होगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा है तथा पृथ्वी की त्रिज्या 6.4 x 100 मीटर है)।
हल:
पृथ्वी का द्रव्यमान M = 6.4 x 10²⁴ किग्रा, पृथ्वी की त्रिज्या R = 6.4 x 10⁶ मीटर, m = 1 किग्रा, d = R.
G = 6.67 × 10^-11 न्यूटन मीटर² / किग्रा²
∴ पृथ्वी तथा वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल
F = G\(\frac{\mathrm{M} m}{d^2}\) = 6.67 x 10^-11 x \(\frac{6 \times 10^{24} \times 1}{\left(6.4 \times 10^6\right)^2}\) न्यूटन
= \(\frac{6.67 \times 6 \times 10}{6.4 \times 6.4}\)
= 9.77 न्यूटन

प्रश्न 4.
पृथ्वी तथा चन्द्रमा एक-दूसरे को गुरुत्वीय बल से आकर्षित करते हैं। क्या पृथ्वी जिस बल से चन्द्रमा को आकर्षित करती है वह बल, उस बल से जिससे चन्द्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है बड़ा है या छोटा है या बराबर है? बताइए, क्यों?
उत्तर:
क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से पृथ्वी का चन्द्रमा पर आकर्षण बल चन्द्रमा के पृथ्वी पर आकर्षण बल के बराबर है।

प्रश्न 5.
यदि चन्द्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है तो पृथ्वी चन्द्रमा की ओर गति क्यों नहीं करती है?
उत्तर:
चन्द्रमा और पृथ्वी दोनों एक-दूसरे पर समान परिमाण का आकर्षण बल लगाते हैं, परन्तु चन्द्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में बहुत कम होने के कारण, समान बल होने पर भी चन्द्रमा का पृथ्वी की ओर त्वरण, पृथ्वी के चन्द्रमा की ओर त्वरण से बहुत अधिक है। इसीलिए चन्द्रमा पृथ्वी के चारों ओर गति करता है, पृथ्वी चन्द्रमा की ओर गति करती प्रतीत नहीं होती।

प्रश्न 6.
दो वस्तुओं के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का क्या होगा, यदि –
(i) एक वस्तु का द्रव्यमान दो गुना कर दिया जाए?
(ii) वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी अथवा तीन गुनी कर दी जाए?
(iii) दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएँ?
उत्तर:
(i) ∵ F ∝ m₁ m₂
∵ एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर देने पर बल भी दोगुना हो जाएगा।

(ii) ∵ F ∝ \(\frac{1}{d^2}\)
∴ दूरी दोगुनी करने पर बल एक-चौथाई रह जाएगा। जबकि दूरी तीन गुनी कर देने पर बल 9वाँ भाग रह जाएगा।

(iii) ∵ F ∝ m₁ m₂ अतः दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने करने पर बल चार गुना हो जाएगा।

प्रश्न 7.
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के क्या महत्व हैं?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का महत्व – यह नियम अनेक ऐसी परिघटनाओं की व्याख्या करता है, जो प्राचीनकाल में असम्बद्ध मानी जाती थीं; जैसे-

• इस नियम द्वारा सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा वस्तुओं के पृथ्वी की ओर गिरने की व्याख्या की जाती है।
• इस नियम द्वारा समुद्र में आने वाले ज्वार भाटा की व्याख्या की जाती है।

पृथ्वी की कक्षा में कृत्रिम उपग्रह स्थापित करना, चन्द्रमा तथा अन्य ग्रहों तक खोजी यान भेजना तथा अन्तरिक्ष स्टेशन स्थापित करना आदि इसी नियम का ज्ञान प्राप्त होने के बाद ही सम्भव हो पाया है।

प्रश्न 8.
मुक्त पतन का त्वरण क्या है?
उत्तर:
मुक्त पतन का त्वरण- किसी ऊँची मीनार की छत से छोड़ी गई किसी वस्तु का पृथ्वी की ओर त्वरण, मुक्त पतन का त्वरण कहलाता है, जिसे g से प्रदर्शित करते हैं। पृथ्वी तल पर मुक्त पतन के त्वरण का मान 9.8 मीटर/सेकण्ड² है।

प्रश्न 9.
पृथ्वी तथा किसी वस्तु के बीच लगने वाले गुरुत्वीय बल को हम क्या कहेंगे?
उत्तर:
उस वस्तु का भार कहेंगे।

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति A अपने मित्र के निर्देश पर ध्रुवों पर कुछ ग्राम सोना खरीदता है वह इस सोने को विषुवत् वृत्त पर अपने मित्र को देता है क्या उसका मित्र इस खरीदे हुए सोने के भार से सन्तुष्ट होगा? यदि नहीं, तो क्यों?
उत्तर:
मित्र सोने के भार से सन्तुष्ट नहीं होगा इसका कारण यह है कि विषुवत् वृत्त पर तौलने पर सोने का भार, ध्रुवों पर उसके भार की तुलना में कम होगा (g के मान में कमी के कारण)।

प्रश्न 11.
एक कागज की शीट उसी प्रकार की शीट को मोड़कर बनाई गई गेंद से धीमी क्यों गिरती है?
उत्तर:
ऐसा वायु के प्रतिरोध के कारण होता है। वायु कागज की शीट पर गेंद की अपेक्षा अधिक प्रतिरोध लगाती है; अतः कागज की शीट गेंद की तुलना में धीमी गिरती है।

प्रश्न 12.
चन्द्रमा की सतह पर गुरुत्वीय बल, पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय बल की अपेक्षा 1/6 गुना है। एक 10 किग्रा द्रव्यमान की वस्तु का चन्द्रमा पर तथा पृथ्वी पर न्यूटन में भार कितना होगा?
हल:
दिया है वस्तु का द्रव्यमान m = 10 किग्रा,
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर / सेकण्डर²
∴ पृथ्वी पर वस्तु का भार W₁ = mg
= 10 × 9.8 = 98 न्यूटन
अब चूँकि चन्द्रमा पर गुरुत्वीय बल
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x पृथ्वी पर गुरुत्वीय बल
∴ चन्द्रमा पर वस्तु का भार W₂
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x पृथ्वी पर वस्तु का भार (W₁)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 98 न्यूटन
= 16.33 न्यूटन
अतः पृथ्वी पर वस्तु का भार = 98 न्यूटन
तथा चन्द्रमा पर वस्तु का भार = 16.33 न्यूटन।

प्रश्न 13.
एक गेंद ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 49 मीटर / सेकण्ड के वेग से फेंकी जाती है। परिकलन कीजिए- (i) अधिकतम ऊंचाई जहाँ तक कि गेंद पहुँचती है। (ii) पृथ्वी की सतह पर वापस लौटने में लिया गया समय।
हल:
दिया है, गेंद का वेग 49 मीटर / सेकण्ड ऊपर की ओर
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मीटर/सेकण्ड² नीचे की ओर
माना कि गेंद। ऊँचाई तक ऊपर जाती है तथा ऊपर तक जाने में समय लेती है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक तथा नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानने पर,
सूत्र v² = u² + 2as से, (उच्चतम बिन्दु पर वेग v = 0)

कोई वस्तु जितना समय उच्चतम बिन्दु तक जाने में लेती है, उतना ही समय पृथ्वी तल तक आने में लेती है।
∴ पृथ्वी की सतह तक लौटने में लगा समय = 2 + उच्चतम बिन्दु तक जाने में लगा समय
= 25 10 सेकण्ड
∴ अधिकतम ऊँचाई / 122.5 मीटर
कुल समय = 10 सेकण्ड।

प्रश्न 14.
19.6 मीटर ऊँची मीनार की चोटी से एक पत्थर छोड़ा जाता है। पृथ्वी पर पहुँचने से पहले उसका अन्तिम वेग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है मीनार की ऊँचाई h = 19.6 मीटर,
पत्थर छोड़ते समय वेग v = 0,
त्वरण g = 9.8 मीटर / सेकण्ड² नीचे की ओर
सूत्र v² = u² + 2as से,
= 0² + 2 × 9.8 × 19.6
= 19.6 × 19.6 या v² = (19.6)²
∴ v = 19.6 मीटर/सेकण्ड
अतः पृथ्वी से टकराने से पहले अन्तिम वेग = 19.6 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 15.
कोई पत्थर ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 40 मीटर / सेकण्ड के प्रारम्भिक वेग से फेंका गया है। g 10 मीटर / सेकण्ड लेते हुए ग्राफ की सहायता से पत्थर द्वारा पहुँची अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए नेट विस्थापन तथा पत्थर द्वारा चली गई कुल दूरी कितनी होगी?
हल:
दिया है प्रारम्भिक वेग u = 40 मीटर / सेकण्ड ऊपर की ओर
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 मीटर / सेकण्ड² नीचे की ओर
माना कि पत्थर को उच्चतम बिन्दु तक जाने में t सेकण्ड लगते हैं जहाँ उसका वेग v = 0 हो जाता है तब y = u- gt से,
0 = 40 – 10 x t
10t = 40
∴ t = \(\frac { 40 }{ 10 }\) = 4 सेकण्ड
अर्थात् अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में पत्थर को 4 सेकण्ड लगते हैं।
पुन: सूत्र v = u – gt में g = 10 मीटर / सेकण्ड² तथा क्रमशः t = 0, 1, 2, 3, 4 प्राप्त होती है-

t (सेकण्ड में)	0	1	2	3	4
v (मीटर/सेकण्ड मे)	40	30	20	10	0

उपर्युक्त सारणी की सहायता से खींचा गया वेग- समय ग्राफ चित्र 10.7 में प्रदर्शित है।
वेग-समय ग्राफ से,
पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई
h = वेग समय ग्राफ के नीचे घिरा क्षेत्र
= ∆OAB का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) OA × OB

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (40 मीटर/सेकण्ड ) x (4 सेकण्ड)
= 80 मीटर।
पत्थर उच्चतम बिन्दु पर क्षणिक विराम की अवस्था में आता है और फिर नीचे की ओर गिरता हुआ अपने प्रारम्भिक बिन्दु पर वापस पहुँच जाता है।
∴ पत्थर का कुल विस्थापन = प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु के बीच सरल रेखीय दूरी = 0
जबकि कुल तय दूरी = तय किए गए पथ की लम्बाई
= 2 x अधिकतम ऊँचाई = 2 x 80 = 160 मीटर।

प्रश्न 16.
पृथ्वी तथा सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिकलन कीजिए।
दिया है, पृथ्वी का द्रव्यमान 6 x 10²⁴ किग्रा, सूर्य का द्रव्यमान = 2 x 10³⁰ किग्रा
दोनों के बीच औसत दूरी 1.5 x 10¹¹ मीटर है।
हल:
m₁ = 6 × 10²⁴ किग्रा, m₂ = 2 x 10³⁰ किग्रा,
d = 1.5 x 10¹¹ मीटर
G = 6.67 x 10^-11 न्यूटन मीटर²/किग्रार²
∴ पृथ्वी तथा सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल
F = G\(\frac{m_1 m_2}{d^2}\)
= 6.67 × 10^-11 x \(\frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 10^{30}}{\left(1.5 \times 10^{11}\right)^2}\)
= \(\frac{6.67 \times 6 \times 2}{1.5 \times 1.5}\)
= 3.56 x 10²² न्यूटन।

प्रश्न 17.
कोई पत्थर 100 मीटर ऊँची मीनार की चोटी से गिराया गया और उसी समय कोई दूसरा पत्थर 25 मीटर / सेकण्ड के वेग से ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका गया। परिकलन कीजिए कि दोनों पत्थर कब और कहाँ मिलेंगे?
हल:
माना कि दोनों पत्थर, छोड़े जाने के क्षण से सेकण्ड बाद, पृथ्वी तल से t ऊँचाई पर मिलते हैं, तब मिलते क्षण तक नीचे से फेंका गया पत्थर ऊपर की ओर ऊँचाई तय कर चुका होगा; अतः
अतः
h = u₂ x t – \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² … (1)
जबकि मीनार की चोटी से छोड़ा गया पिण्ड नीचे की ओर (100-h) दूरी गिर चुका होगा; अतः

100 – h = u₁ x t + \(\frac { 1 }{ 2 }\)gt²
या 100 – h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) gt² [∵ u₁ = 0] … (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,

t = 4 सेकण्ड तथा g 10 मीटर / सेकण्ड² समीकरण (2) में रखने में,
100 – h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 10 × (4)²
या 100 – h = 80 या h = 100 – 80 = 20 मीटर
अतः पत्थर, प्रारम्भिक क्षण से 4 सेकण्ड बाद, पृथ्वी तल से 20 मीटर की ऊँचाई पर मिलेंगे।.

प्रश्न 18.
ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद 6 सेकण्ड पश्चात् फेंकने वाले के पास लौट आती है। ज्ञात कीजिए-
(a) यह किस वेग से ऊपर फेंकी गई?
(b) गेंद द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई, तथा
(c) 4 सेकण्ड बाद गेंद की स्थिति।
हल:
(a) माना कि गेंद u वेग से ऊपर की ओर फेंकी गई थी।
चूँकि गेंद 6 सेकण्ड पश्चात् प्रारम्भिक बिन्दु पर लौट आती है
अत: t = 6 सेकण्ड में गेंद का विस्थापन s = 0
जबकि त्वरण a = – g = – 9.8 मीटर/सेकण्डर²
∴ s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² से,
0 = u × 6 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) (- 9.8) × 6²
या 6u = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 9.8 × 6 × 6 या u = 3 x 9.8 = 29.4
अत: गेंद 29.4 मीटर/सेकण्ड के वेग से फेंकी गई थी।

(b) माना कि गेंद अधिकतम ऊँचाई तक जाती है, तब s = h ऊँचाई पर वेग = 0
∴ v² = u² + 2as से,
0² = (29.4)² + 2 × (- 9.8) × h
या 2 × 9.8 × h = 29.4 × 29.4
∴ h = \(\frac{29.4 \times 29.4}{2 \times 9.8}\) = 44.1 मीटर

(c) माना कि t = 4 सेकण्ड बाद गेंद पृथ्वी तल से h₁ ऊँचाई पर है,
तब S = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² से,
h₁ = 29.4 × 4 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x (- 9.8) × 4²
= 117.6 – 78.4
= 39.2 मीटर
अतः 4 सेकण्ड बाद गेंद पृथ्वी तल से 39.2 मीटर ऊपर होगी।

प्रश्न 19.
किसी द्रव में डुबोई गई वस्तु पर उत्प्लावन बल किस दिशा में कार्य करता है?
उत्तर:
उत्प्लावन बल सदैव भार के विपरीत दिशा में अर्थात् ऊपर की और कार्य करता है।

प्रश्न 20.
पानी के भीतर किसी प्लास्टिक के गुटके को छोड़ने पर यह पानी की सतह पर क्यों आ जाता है?
उत्तर:
चूँकि प्लास्टिक का घनत्व, पानी के घनत्व से कम होता है, इस कारण प्लास्टिक के गुटके को जल में डुबोने पर उस पर लगने वाला उत्प्लावन बल गुटके के भार से अधिक होगा। अतः गुटका पानी की सतह पर आ जाता है।

प्रश्न 21.
50 ग्राम के किसी पदार्थ का आयतन 20 सेमी है। यदि पानी का घनत्व 1 ग्राम / सेमी हो तो पदार्थ तैरेगा या डूबेगा?
हल:
पदार्थ का द्रव्यमान 50 ग्राम
तथा आयतन 20 सेमी³
जल का घनत्व = 1 ग्राम/सेमी³

∵ पदार्थ का घनत्व > जल का घनत्व
∴ यह पदार्थ जल में डूब जाएगा।

प्रश्न 22.
500 ग्राम के एक मुहरबन्द पैकेट का आयतन 350 सेमी है। पैकेट 1 ग्राम / सेमी³ घनत्व वाले पानी में तैरेगा या डूबेगा? इस पैकेट द्वारा विस्थापित पानी का द्रव्यमान कितना होगा?
हल:
पैकेट का द्रव्यमान = 500 ग्राम तथा आयतन = 350 सेमी³
जल का घनत्व = 1 ग्राम / सेमी³

∵ पैकेट का घनत्व > जल का घनत्व
∴ पैकेट जल में डूब जायेगा।
∵ पैकेट पूरा डूब जाएगा, अतः यह अपने आयतन (350 सेमी³) के बराबर पानी को विस्थापित करेगा।
∴ विस्थापित पानी का द्रव्यमान विस्थापित पानी का आयतन x पानी का घनत्व
= 350 सेमी³ x 1 ग्राम / सेमी³
= 350 ग्राम।

Jharkhand Board Class 9 Science गुरुत्वाकर्षण InText Questions and Answers

क्रियाकलाप 10.1. (पा. पु. पू. सं. 145)
धागे का एक टुकड़ा लेकर इसके सिरे पर एक छोटा पत्थर बाँधकर दूसरे सिरे से पकड़कर पत्थर को वृत्ताकार पथ में घुमाइए तथा पत्थर की गति की दिशा देखिए। अब धागे को छोड़िए तथा फिर से पत्थर की गति की दिशा को देखिए।

निष्कर्ष-धागे को छोड़ने से पहले पत्थर एक निश्चित चाल से वृत्ताकार पथ में गति करता है तथा प्रत्येक बिन्दु पर उसकी गति की दिशा बदलती है। वस्तु को वृत्ताकार पथ पर गतिशील रखने वाला बल, जिसके कारण त्वरण होता है, अभिकेन्द्रीय बल कहलाता है।

पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति अभिकेन्द्रीय बल के कारण है। अभिकेन्द्रीय बल पृथ्वी के आकर्षण बल के कारण होता है। हमारे सौर परिवार में सभी ग्रह सूर्य की परिक्रमा करते हैं। सूर्य तथा ग्रह के बीच एक बल विद्यमान है जो गुरुत्वाकर्षण बल कहलाता है।

न्यूटन के निष्कर्ष के आधार पर विश्व के सभी पिण्ड एक दूसरे को आकर्षित करते हैं।

खण्ड 10.1 से सम्बन्धित पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा. पु. पृ. सं. 149)

प्रश्न 1.
गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताइए।
उत्तर:
दो वस्तुओं के बीच लगने वाला बल, दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती तथा उनकी बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम कहलाता है।

प्रश्न 2.
पृथ्वी तथा उसकी सतह पर रखी किसी वस्तु के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण ज्ञात करने को सूत्र लिखिए।
उत्तर:
सूत्र F = G\(\frac{\mathrm{M} m}{d^2}\) से पृथ्वी की सतह के लिए d = R अत: F = \(\frac{\mathrm{GM} m}{R^2}\)

क्रियाकलाप 10.2. (पा.पु. पृ. सं. 149)
एक पत्थर लेकर ऊपर की ओर फेंकिए। यह एक निश्चित ऊँचाई तक पहुँचता है और फिर नीचे की ओर गिरने लगता है।

पृथ्वी सभी वस्तुओं को अपनी ओर आकर्षित करती है। पृथ्वी के इस आकर्षण बल को गुरुत्वीय बल कहते हैं। वस्तुओं के पृथ्वी की ओर गिरने पर वस्तुओं को मुक्त पतन में होना कहा जाता है। गिरते समय वस्तुओं की गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है परन्तु पृथ्वी के आकर्षण के कारण वेग के परिमाण में परिवर्तन होता है जिससे त्वरण उत्पन्न होता है तथा इस त्वरण को पृथ्वी के गुरुत्वीय बल के कारण त्वरण या गुरुत्वीय त्वरण g कहते हैं।

गति के दूसरे नियम से हमें ज्ञात है कि द्रव्यमान तथा त्वरण का गुणनफल, बल कहलाता है। माना पत्थर का है तथा गिरती हुई वस्तुओं में गुरुत्वीय बल के द्रव्यमान कारण त्वरण लगता है और इसे g से प्रदर्शित करते हैं।
अतः
F = mg … (i)
तथा न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से
F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{d^2}\) … (ii)
समी. (i) व (ii) से,
mg = \(\frac{\mathrm{GMm}}{d^2}\)
या g = \(\frac{\mathrm{GM}}{d^2}\)
जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान तथा वस्तु और पृथ्वी के बीच की दूरी है।
यदि वस्तु पृथ्वी पर या इसके पृष्ठ के पास है तो d के स्थान पर पृथ्वी की त्रिज्या R रखनी होगी। इस प्रकार पृथ्वी के पृष्ठ पर या इसके समीप रखी वस्तुओं के लिए
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{R^2}\)
पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों से विषुवत रेखा की ओर जाने पर बढ़ती है अतः g का मान ध्रुवों पर विषुवत रेखा की अपेक्षा अधिक होता है।

क्रियाकलाप 10.3. (पा. पु. पू. सं. 150)
कागज की एक शीट तथा एक पत्थर लीजिए तथा दोनों को किसी इमारत की पहली मंजिल से एक साथ गिरा कर देखिए कि क्या दोनों एक साथ धरती पर पहुँचते हैं?

निष्कर्ष – हम यह पाते हैं कि कागज धरती पर पत्थर की अपेक्षा कुछ देर से पहुँचता है। ऐसा वायु के प्रतिरोध के कारण होता है। गिरती हुई गतिशील वस्तुओं पर घर्षण के कारण वायु प्रतिरोध लगाती है। कागज पर लगने वाला वायु का प्रतिरोध पत्थर पर लगने वाले प्रतिरोध से अधिक होता है।

यदि इस प्रयोग को ऐसे जार में करें जिसमें से वायु निकाल दी गई है तो कागज तथा पत्थर एक ही दर से नीचे गिरेंगे।

पृथ्वी के निकट g का मान स्थिर है अतः एक समान त्वरित गति के सभी समीकरण त्वरण a के स्थान पर g रखने पर भी मान्य रहेंगे, ये समीकरण निम्न हैं-

सरल रेखीय	गुरुत्व के अधीन
v = u + at	v = u + gt
s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\)at²	h = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\)gt²
v² = u² + 2as	v² = u² + 2gs

जहाँ
u – वस्तु का प्रारस्भिक वेग
v – वस्तु का अन्तिम वेग
s – वस्तु द्वारा t समय में चली गई दूरी
नोट- यदि त्वरण गति की दिशा में लग रहा हो तो इसे धनात्मक लेते हैं तथा यदि त्वरण गति की दिशा के विपरीत लग रहा हो तो इसे ऋणात्मक लेते हैं।

उदाहरण 10.2.
एक कार किसी कगार से गिरकर 0.55 में धरती पर आ गिरती है। परिकलन में सरलता के लिए g का मान 10 मी / से.2 लीजिए।
(i) धरती पर टकराते समय कार की चाल क्या होगी?
(ii) 0.5 से. के दौरान इसकी औसत चाल क्या होगी?
(iii) धरती से कगार कितनी ऊँचाई पर है?
हल:
प्रश्नानुसार समय t = 0.58
प्रारम्भिक वेग u = 0 ms^-1
गुरुत्वीय त्वरण g = 10 m s^-2
कार का त्वरण a = + 10m/sec² (अधोमुखी)
(i) चाल v = at से
v = 10 मी/से.² x 0.5 से.
= 5 मी./से.^-1

(ii) औसत चाल = \(\frac { u+v }{ 2 }\)
= (0 मी/से +5 मी/से.^-1) / 2 = 2.5 मी/से.

(iii) तय की गई दूरी s = \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 मी/से.² x (0.5 से.)²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 मी/से.^-2 x 0.25 से.²
अतः = 1.25 मीटर
(i) धरती पर टकराते समय इसकी चाल 5मी/से.^-1
(ii) 0.5 सेकण्ड के दौरान इसकी औसत चाल = 2.5 मी/से.^-1
(iii) धरती से कगार की ऊँचाई = 1.25 मी.

उदाहरण 10.3.
एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका जाता है और यह 10 मीटर की ऊँचाई तक पहुँचती है। परिकलन कीजिए-
(i) वस्तु कितने वेग से ऊपर फेंकी गई तथा
(ii) वस्तु द्वारा उच्चतम बिन्दु तक पहुँचने में लिया गया समय।
हल:
तय की गई दूरी s = 10 मी
अन्तिम वेग v = 0 मी/से.
गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 मी/से.²
वस्तु का त्वरण a = – 9.8 मी / से.² (ऊर्ध्वमुखी)
(i) v² = u² + 2as
0 = u² + 2 × (- 9.8 मी / से.²) x 10m
– u² = – 2 × 9.8 × 10 मी² / से.²
u = \(\sqrt{196}\) मी/से.
u = 14 मी/से.

(ii) v = u + at
0 = 14 मी / से. – 9.8 मी / से.² x 1
t = 1.43 से
(i) प्रारम्भिक वेग u = 14 मी / से. तथा
(ii) लिया गया समय t = 1.43 सेकण्ड।

खण्ड 10.2 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 152)

प्रश्न 1.
मुक्त पतन से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
वस्तुएँ पृथ्वी की ओर गुरुत्वीय आकर्षण बल के कारण गिरती हैं। इसे हम कहते हैं कि वस्तुएँ मुक्त पतन में हैं।

प्रश्न 2.
गुरुत्वीय त्वरण से आप क्या समझते हैं?
उत्तर:
जब कोई वस्तु पृथ्वी की ओर गिरती है तो पृथ्वी के आकर्षण के कारण वेग के परिमाण में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करता है। यह त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय बल के कारण है। इसलिए इसे गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं।

खण्ड 10.3 एवं 10.4 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 153)

प्रश्न 1.
किसी वस्तु के द्रव्यमान तथा भार में क्या अन्तर है?
उत्तर:
द्रव्यमान तथा भार में अन्तर

द्रव्यमान	भार
1. किसी वस्तु में उपस्थित पदार्थ की मात्रा ही उसका द्रव्यमान होती है।	किसी वस्तु का भार उस बल के बराबर होता है जिससे पृथ्वी उस वस्तु को आकर्षित करती है।
2. द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम है।	भार का मात्रक न्यूटन या किलोग्राम-भार है।
3. किसी वस्तु के द्रव्यमान का मान प्रत्येक स्थान पर समान रहता है।	वस्तु का भार (m g) गुरुत्वीय त्वरण g के परिवर्तन के कारण भिन्न-भिन्न स्थानों पर भिन्न-भिन्न होता है।
4. द्रव्यमान अदिश राशि है।	भार सदिश राशि है।
5. द्रव्यमान को भौतिक तुला से तोला जाता है।	भार को कमानीदार तुला से तोला जाता है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु का चन्द्रमा पर भार पृथ्वी पर इसके भार का 1/6 गुना क्यों होता है?
उत्तर:
चन्द्रमा का द्रव्यमान, पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में काफी कम है, इस कारण चन्द्रमा की सतह पर चन्द्रमा के कारण गुरुत्वीय त्वरण का मान, पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण के मान का 1/6 होता है। अब चूँकि किसी स्थान पर किसी वस्तु का भार उस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण के समानुपाती होता है; अंतः चन्द्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का 1/6 गुना होता है।

क्रियाकलाप 10.4. (पा. पु. पृ. सं. 155)
प्लास्टिक की एक खाली बोतल लेकर उसके मुँह को एक वायुरुद्ध डाट से बन्द करके इसे एक पानी की बाल्टी में रखिए। बोतल को पानी में धकेलने पर ऊपर की ओर एक धक्का महसूस होता है तथा इसे और नीचे धकेलने में आपको कठिनाई महसूस होगी। पानी द्वारा बोतल पर ऊपर की ओर एक बल लगाया जाता है जिसे उत्प्लावन बल कहते हैं।

क्रियाकलाप 10.5. (पा.पु. पृ. सं. 156)
एक बीकर लेकर उसमें भरे पानी की सतह पर एक लोहे की कील रखिए। कील पानी में डूब जाती है। इस प्रकार का उत्तर जानने के लिए एक क्रियाकलाप करते हैं।

क्रियाकलाप 10.6 (पा.पु. पू. सं. 156)
पानी से भरा बीकर लेकर एक कील तथा समान द्रव्यमान का एक कॉर्क का टुकड़ा लेकर उन्हें पानी की सतह पर रखा। आप पायेंगे कि कील पानी में डूब जाती है जबकि कॉर्क का टुकड़ा पानी के ऊपर तैरता
रहता है।

कारण- कॉर्क तैरता है जबकि कील डूब जाती है। ऐसा उनके घनत्वों में अन्तर के कारण होता है। किसी पदार्थ का घनत्व, उसके एकांक आयतन के द्रव्यमान को कहते हैं। कॉर्क का घनत्व पानी के घनत्व से कम है अर्थात् कॉर्क पर पानी का उत्प्लावन बल, कॉर्क के भार से अधिक है इसलिए यह तैरता है।

इस प्रकार द्रव के घनत्व से कम घनत्व की वस्तुएँ द्रव पर तैरती हैं। द्रव के घनत्व से अधिक घनत्व की वस्तुएँ द्रव मैं डूब जाती हैं।

खण्ड 10.5 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पू. सं. 157)

प्रश्न 1.
एक पतली तथा मजबूत डोरी से बने पट्टे की सहायता से स्कूल बैग को उठाना कठिन होता है, क्यों?
उत्तर:
यदि स्कूल बैग को पतली तथा मजबूत डोरी से बने पट्टे की सहायता से हाथ में उठाया जाए अथवा कन्धे से लटकाया जाए तो यह पट्टा हाथ अथवा कन्धे के छोटे से क्षेत्रफल के सम्पर्क में होगा। तब बैग का सम्पूर्ण भार इस छोटे से क्षेत्रफल पर लगेगा जिसके फलस्वरूप इस क्षेत्रफल पर दाब बहुत अधिक होगा और पट्टा हाथ या कन्धे में गढ़ जाएगा।

प्रश्न 2.
उत्प्लावकता से आप क्या समझते हैं?
उत्तर:
उत्प्लावकता- किसी द्रव का वह गुण जिसके कारण वह द्रव में छोड़ी गई किसी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है, उत्प्लावकता’ कहलाता है।

प्रश्न 3.
पानी की सतह पर रखने पर कोई वस्तु क्यों तैरती या डूबती है?
उत्तर:
जब किसी वस्तु को पानी की सतह पर रखा जाता है तो उस वस्तु पर दो बल कार्य करते हैं- प्रथम वस्तु पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल (वस्तु का भार) नीचे की ओर तथा द्वितीय वस्तु पर पानी का उत्प्लावन बल ऊपर की और।
किसी वस्तु का पानी में डूबना या तैरना उपर्युक्त दोनों बलों के आपेक्षिक मानों पर निर्भर करता है।

• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल से अधिक है तो वस्तु पानी में डूब जाएगी।
• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल से कम है तो वस्तु पानी में तैरेगी।
• यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल के बराबर है तो वस्तु पानी में पूरी डूबकर तैरती रहेगी।

किसी वस्तु के जल में तैरने या डूबने का ज्ञान उस वस्तु के घनत्व से प्राप्त किया जा सकता है। यदि वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से कम है तो वह वस्तु जल में तैरेगी। इसके विपरीत यदि वस्तु का घनत्व, जल के घनत्व से अधिक है तो वह वस्तु जल में डूब जाएगी।

क्रियाकलाप 10.7. (पा.पु. पू. सं. 157)
एक पत्थर के टुकड़े को किसी कमानीदार तुला या रबड़ की डोरी के एक सिरे से बाँधकर लटकाएँ (चित्र 10.5 a) पत्थर के भार के कारण रबड़ की डोरी की लम्बाई में वृद्धि या कमानीदार तुला का पाठ्यांक नोट कीजिए। अब पत्थर को पानी से भरे एक बर्तन में डुबोइए (चित्र 10.5 b) डोरी की लम्बाई या तुला की माप में हुए परिवर्तन को नोट कीजिए।

आप देखेंगे कि पानी में डुबाने पर डोरी की लम्बाई या तुला के पाठ्यांक में कमी आती है। यह कमी पत्थर द्वारा हटाए गए पानी के भार के बराबर होगी।

“जब किसी वस्तु को किसी तरल में पूर्ण या आंशिक रूप में डुबोया जाता है तो वह ऊपर की दिशा में एक बल का अनुभव करती हैं जो वस्तु द्वारा हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है। इसे आर्किमिडीज का सिद्धान्त कहते हैं।”

आर्किमिडीज के सिद्धान्त के बहुत से अनुप्रयोग हैं। यह जलयानों तथा पनडुब्बियों के डिजाइन बनाने में काम आता हैं। हाइड्रोमीटर तथा दुग्धमापी भी इसी सिद्धान्त पर आधारित हैं।

प्रश्न 1.
पनडुब्बियां किस सिद्धान्त पर कार्य करती हैं?
उत्तर:
आर्किमिडीज के सिद्धान्त पर

प्रश्न 2.
आर्किमिडीज का सिद्धान्त क्या है?
उत्तर:
जब किसी वस्तु को पूर्ण या आंशिक रूप से द्रव में डुबोया जाता है तो वह ऊपर की ओर एक बल का अनुभव करती है, जो उस वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है।

खण्ड 10.6 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा.पु. पृ. सं. 158)

प्रश्न 1.
एक तुला पर आप अपना द्रव्यमान 42 किग्रा नोट करते हैं। क्या आपका द्रव्यमान 42 किग्रा से अधिक है या कम?
उत्तर:
चूँकि हम किसी वस्तु का द्रव्यमान वायु में मापते हैं; अतः वायु की उत्प्लावकता के कारण तुला का पाठ्यांक सदैव ही वस्तु के वास्तविक द्रव्यमान से कम होता है। अतः हमारा वास्तविक द्रव्यमान 42 किग्रा से अधिक होगा, यद्यपि यह अन्तर अत्यन्त कम होगा।

प्रश्न 2.
आपके पास एक रुई का बोरा तथा एक लोहे की छड़ है। तुला पर मापने पर दोनों 100 किग्रा द्रव्यमान दर्शाते हैं। वास्तविकता में एक दूसरे से भारी है। क्या आप बता सकते हैं कि कौन-सा भारी है और क्यों?
उत्तर:
वायु की उत्प्लावकता के कारण तुला दोनों का ही द्रव्यमान कम मापती है। चूँकि समान द्रव्यमान की रुई का आयतन लोहे की तुलना में अधिक है। अतः रुई पर उत्प्लावकता का प्रभाव अधिक होगा अर्थात् रुई के वास्तविक द्रव्यमान तथा प्रेक्षित द्रव्यमान में अन्तर लोहे के वास्तविक तथा प्रेक्षित द्रव्यमानों में अन्तर की तुलना में अधिक होगा। अतः रुई का वास्तविक द्रव्यमान लोहे के वास्तविक द्रव्यमान से अधिक होगा। अर्थात् रुई लोहे की तुलना में भारी होगी।

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Important Questions Chapter 9 बल तथा गति के नियम Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Important Questions Chapter 9 बल तथा गति के नियम

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
बन्दूक से गोली निकलने पर पीछे की ओर धक्का लगता है क्योंकि
(a) बन्दूक से गोली छूटने की क्रिया के कारण पीछे की ओर प्रतिक्रिया होती है।
(b) बन्दूक चलाने वाला बन्दूक को पीछे खींचता है।
(c) बारूद से बनने वाली गैस पीछे की ओर दाब डालती है।
(d) उपर्युक्त तीनों में से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) बन्दूक से गोली छूटने की क्रिया के कारण पीछे की ओर प्रतिक्रिया होती है।

प्रश्न 2.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार क्रिया तथा प्रतिक्रिया से सम्बन्ध बल
(a) सदैव एक ही वस्तु पर लगे होने चाहिए
(b) भिन्न-भिन्न वस्तुओं पर लगे हो सकते हैं।
(c) सदैव भिन्न-भिन्न वस्तुओं पर ही लगे होने चाहिए
(d) का परिमाण बराबर होना आवश्यक नहीं है परन्तु दिशा एक समान होनी चाहिए।
उत्तर:
(c) सदैव भिन्न-भिन्न वस्तुओं पर ही लगे होने चाहिए।

प्रश्न 3.
बल (\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\)) द्रव्यमान (mm) तथा त्वरण (\(\overrightarrow{\mathbf{a}} \)) सम्बन्धित समीकरण है-
(a) F = ma
(b) m = a F
(c) a = mF
(d) ma = \(\frac { 1 }{ F }\)
उत्तर:
(a) F ma.

प्रश्न 4.
बल का मात्रक है-
(a) किग्रा मीटर सेकण्ड
(b) किग्रा मीटर सेकण्ड?
(c) किग्रा मीटर / सेकण्डर
(d) किग्रा मीटर/सेकण्ड
उत्तर:
(b) किग्रा मीटर / सेकण्डर

प्रश्न 5.
संवेग का मात्रक है-
(a) मीटर/सेकण्ड
(b) किग्रा मीटर / सेकण्डर
(c) किग्रा भार
(d) किग्रा मीटर / सेकण्ड।
उत्तर:
(d) किग्रा मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 6.
संवेग परिवर्तन की दर बराबर होती है-
(a) त्वरण के
(b) वेग के
(c) बल के
(d) बल के आवेग के।
उत्तर:
(c) बल के।

प्रश्न 7.
यदि कोई पिण्ड संवेग से सीधी रेखा में गतिमान है। यदि उस पर कोई बाह्य बल न लगे तो-
(a) इसके वेग में वृद्धि होगी
(b) वेग नियत रहेगा
(c) थोड़ी देर पश्चात् पिण्ड रुक जायेगा
(d) चाल में वृद्धि होगी।
उत्तर:
(b) वेग नियत रहेगा।

प्रश्न 8.
किसी वस्तु का जड़त्व निर्भर करता है-
(a) वस्तु के गुरुत्व केन्द्र पर
(b) वस्तु के द्रव्यमान पर
(c) गुरुत्वीय त्वरण पर
(d) वस्तु के आकार पर।
उत्तर:
(b) वस्तु के द्रव्यमान पर।

प्रश्न 9.
जब किसी वस्तु की गति त्वरित होती है तो-
(a) उसकी चाल में सदैव वृद्धि होती है।
(b) उसके वेग में सदैव वृद्धि होती है
(c) वह सदैव पृथ्वी की ओर गिरती है।
(d) उस पर सदैव कोई बल कार्य करता है।
उत्तर:
(d) उस पर सदैव कोई बल कार्य करता है।

प्रश्न 10.
5 किग्रा का एक पिण्ड 10 मीटर/सेक² के त्वरण से सरल रेखा में गतिमान है। पिण्ड पर कार्यरत परिणामी बल होगा-
(a) 50 न्यूटन
(b) 0.5 न्यूटन
(c) शून्य
(d) 2 न्यूटन।
उत्तर:
(a) 50 न्यूटन।

प्रश्न 11.
यदि पिण्ड A (5 किग्रा), पिण्ड B (10 किग्रा) पर यदि 5 न्यूटन बल लगाता हो तो इसके फलस्वरूप पिण्ड B द्वारा पिण्ड A पर लगने वाली प्रतिक्रिया का परिमाण कितना होगा-
(a) 5 न्यूटन
(b) 10 न्यूटन
(c) 2 न्यूटन
(d) शून्य।
उत्तर:
(a) 5 न्यूटन

प्रश्न 12.
किसी पिण्ड का द्रव्यमान 5 किग्रा हो और उस 15 न्यूटन का बल आरोपित किया जाय तो उसमें उत्पन्न त्वरण होगा-
(a) 5 मीटर / सेकण्ड
(b) 4 मीटर/सेकण्डर
(c) 3 मीटर/सेकण्ड 2
(d) 2 मीटर / सेकण्ड।
उत्तर:
(c) 3 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 13.
जब नेट बल किसी वस्तु पर कार्य करता है, वस्तु निम्नलिखित के आनुपातिक त्वरण से बल की दिशा में त्वरित होगा-
(a) वस्तु के ऊपर बल
(b) वस्तु के वेग
(c) वस्तु का द्रव्यमान
(d) वस्तु का जड़त्व
उत्तर:
(a) वस्तु के ऊपर बल

प्रश्न 14.
यदि दो वस्तुओं A तथा B का द्रव्यमान क्रमशः
16 kg तथा 40 kg हो तो-
(a) A का जड़त्व B से अधिक होगा
(b) B का जड़त्व A से अधिक होगा
(c) A तथा B का जड़त्व बराबर होगा
(d) A तथा B का जड़त्व शून्य होगा।
उत्तर:
(b) B का जड़त्व A से अधिक होगा।

प्रश्न 15.
यदि किसी वस्तु पर कोई बाह्य बल लग रहा है तो वह बल की दिशा में त्वरित हो जाती है। इस प्रकार उत्पन्न त्वरण वस्तु-
(a) पर लगे बल के समानुपाती होता है।
(b) के वेग के समानुपाती होता है
(c) के द्रव्यमान के समानुपाती होता है
(d) के ‘जड़त्व के समानुपाती होता है।
उत्तर:
(a) पर लगे बल के समानुपाती होता है।

रिक्त स्थान भरो-

1. जड़त्व का माप किसी वस्तु के …………………….. से होता है।
2. अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु का ……………………. भी अधिक होता है।
3. संवेग का SI मात्रक ……………………. है।
4. संवेग किसी वस्तु के द्रव्यमान और ……………………. गुणनफल होता है।

उत्तर:

1. द्रव्यमान
2. जड़त्व
3. kgm/s
4. वेग।

सुमेलन कीजिए-

कौलम ‘कं	कॉलम ‘ख’
1. संवेग	(क) kg m/s
2. बल	(ख) N
3. बल का S.I. मात्रक	(ग) ma
4. संवेग का S.I मात्रक	(घ) mv

उत्तर:
1. (घ) mv
2. (ग) ma
3. (ख) N
4. (क) kg m/s

सत्य / असत्य –

1. किसी वस्तु में समाहित गति की कुल मात्रा को संवेग कहते हैं।
2. संतुलित बल किसी स्थिर वस्तु को गतिशील कर देता है।
3. यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान अधिक है तो उसका जड़त्व भी अधिक होगा।
4. बल ऋणात्मक भी हो सकता है।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. सत्य।

अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक न्यूटन बल क्या है?
उत्तर:
F = ma से यदि m = 1 किग्रा, a = 1 मी/सेकण्डर² तब F = 1 न्यूटन। अतः एक न्यूटन बल वह बल है जो एक किलो ग्राम द्रव्यमान की किसी वस्तु में का त्वरण उत्पन्न कर दे।

प्रश्न 2.
जड़त्व क्या है?
उत्तर:
वस्तुओं की इस प्रवृत्ति को कि वे स्वतः (बिना बाह्य बल लगाये) अपनी विराम या गति की अवस्था को नहीं बदल सकतीं, जड़त्व कहते हैं।

प्रश्न 3.
ब्रेक लगाने से चलती हुई गाड़ी रुक जाती है। इस प्रक्रिया में गाड़ी के संवेग का क्या होता है?
उत्तर:
गाड़ी के संवेग का अधिकांश भाग पृथ्वी को तथा शेष भाग वायु के अणुओं को हस्तांतरित हो जाता है।

प्रश्न 4.
संवेग की परिभाषा दो।
उत्तर:
किसी वस्तु के द्रव्यमान तथा वेग के गुणनफल को उस वस्तु का संवेग कहते हैं।
संवेग = द्रव्यमान × वेग

प्रश्न 5.
संवेग का S.I. मात्रक क्या है?
उत्तर:
संवेग का S.I. मात्रक किग्रा मी./सेकण्ड है।

प्रश्न 6.
संवेग के संरक्षण का नियम लिखिए।
उत्तर:
जब दो (अथवा अधिक) वस्तुएँ एक-दूसरे के ऊपर कार्य करती हैं, उनका सम्पूर्ण संवेग स्थिर ( अथवा संरक्षित) बना रहता है, बशर्ते कोई बाहरी बल न कार्य कर रहा हो।

प्रश्न 7.
क्रिया और प्रतिक्रिया बराबर तथा विपरीत होती है, क्यों वे एक-दूसरे को खत्म नहीं करतीं?
उत्तर:
क्योंकि क्रिया तथा प्रतिक्रिया बल विभिन्न वस्तुओं पर कार्य करते हैं।

प्रश्न 8.
न्यूटन के गति का प्रथम नियम बताओ।
उत्तर:
न्यूटन के गति का पहला नियम- यदि कोई वस्तु विराम अवस्था में है तो वह विरामावस्था में ही रहेगी और यदि वह एक समान चाल में सीधी रेखा से चल रही है तो वैसे ही चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल न लगाया जाये। इसे गैलीलियो का नियम भी कहते हैं।

प्रश्न 9.
जब कई बल किसी वस्तु पर एक साथ लगते हैं, और उनका परिणामी बल शून्य हो, तो उन बलों को क्या कहते हैं?
उत्तर:
सन्तुलित बल।

प्रश्न 10.
बन्दूक से गोली छोड़ने से पहले बन्दूक तथा गोली का संवेग कितना होता है?
उत्तर:
शून्य।

प्रश्न 11.
जिस गुण के कारण कोई वस्तु अपनी विरामावस्था या गति परिवर्तन का विरोध करती है उसे क्या कहते हैं?
उत्तर:
जड़त्व।

प्रश्न 12.
साइकिल के पैडल मारने बन्द करने के बाद भी साइकिल चलती रहती है। क्यों?
उत्तर:
जड़त्व के कारण।

प्रश्न 13.
यदि एक जैसी गोलियों को हल्की रायफल तथा भारी राइफल से छोड़ा जाये, तो हल्की रायफल भारी रायफल की अपेक्षा बड़ा झटका देती है क्यों?
उत्तर:
प्रतिक्षेप बेग रायफल के द्रव्यमान के व्युत्क्र- मानुपाती होता है अतः हल्की रायफल बड़ा झटका देती है।

प्रश्न 14.
5 किग्रा द्रव्यमान की एक गतिशील वस्तु का संवेग 20 किग्रा मी/सेकण्ड है। वस्तु का वेग क्या होगा?
उत्तर:

प्रश्न 15.
5kg द्रव्यमान की वस्तु पर 25 N का बल लगता है। वस्तु में उत्पन्न त्वरण कितना होगा?
उत्तर:

प्रश्न 16.
एक से दो टूक सड़क पर समान वेग से चल रहे हैं। उनमें से एक खाली है और दूसरा बोझ से लदा हुआ है। किस ट्रक को रोकने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
भरे ट्रक का द्रव्यमान अधिक होने के कारण इसका संवेग अधिक होगा। अतः भरे ट्रक को रोकने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 17.
चलती हुई रेलगाड़ी में बैठे व्यक्ति द्वारा कवांधर दिशा में फेंकी गेंद लौटकर उसके हाथ में वापस क्यों आ जाती है?
उत्तर:
जड़त्व के कारण व्यक्ति एवं गेंद दोनों बराबर गाड़ी के साथ उसी वेग से क्षैतिज दिशा में चलते रहते हैं। इसलिए यदि गेंद उछालने के पश्चात् व्यक्ति का हाथ गेंद के नीचे ही रहता है तो गेंद उसके हाथ में आ जाती है।

प्रश्न 18.
एक बास्केटबाल तथा उसी आकार की धातु की बनी वस्तु में किसका जड़त्व अधिक होता है?
उत्तर:
धातु की बनी वस्तु का।

प्रश्न 19.
संवेग संरक्षण के लिये कौन-सा प्रतिबन्ध आवश्यक है?
उत्तर:
पिण्डों पर कोई बाह्य असन्तुलित बल नहीं लगा होना चाहिए।

प्रश्न 20.
रॉकेट का क्रिया-सिद्धान्त, न्यूटन के गति के किस नियम पर आधारित है?
उत्तर:
रॉकेट का क्रिया- सिद्धान्त, न्यूटन के गति के तृतीय नियम (क्रिया-प्रतिक्रिया नियम) पर आधारित है।

प्रश्न 21.
गोली छोड़ते समय बन्दूक पीछे की ओर क्यों प्रतिक्षेपित होती है?
उत्तर:
क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से बन्दूक गोली पर आगे की ओर बल लगाती है और गोली बन्दूक पर पीछे की ओर बल लगाती है, इसी बल के कारण बन्दूक प्रतिक्षेपित होती है।

प्रश्न 22.
यदि किसी गतिमान पिण्ड पर कोई असन्तुलित बल नहीं लगा है तो उसके संवेग का क्या होगा?
उत्तर:
संवेग संरक्षित रहेगा।

प्रश्न 23.
फर्श पर लुढ़क रही गेंद कुछ देर पश्चात् स्वयं ही रुक जाती है, इसके लिए कौन-सा बल उत्तरदायी है?
उत्तर:
फर्श पर लुढ़क रही गेंद के स्वयं रुकने के लिए घर्षण बल उत्तरदायी है।

प्रश्न 24.
एक गाड़ी को 500 न्यूटन के बल से सड़क पर खींचने से वह एक नियत वेग से चलती है। गाड़ी व पृथ्वी के बीच कितना घर्षण बल कार्य कर रहा है?
उत्तर:
500 न्यूटन; गाड़ी के चलने की विपरीत दिशा में।

प्रश्न 25.
घर्षण बल को कम करने का एक उपाय बताइए।
उत्तर:
दो सतहों के मध्य स्नेहक जैसे- तेल, ग्रीस आदि का प्रयोग करके घर्षण कम किया जा सकता है।

प्रश्न 26.
एक ही आकार के पत्थर व फुटबाल में किसका जड़त्व अधिक होगा?
उत्तर:
पत्थर का जड़त्व अधिक होगा।

प्रश्न 27.
पदार्थ का वह कौन-सा गुण है, जो पदार्थ की अवस्था परिवर्तन का विरोध करता है?
उत्तर:
जड़त्व का गुण।

प्रश्न 28.
किसी पिण्ड का भार 15 न्यूटन है। पृथ्वी उस पिण्ड को कितने बल से अपनी ओर खींच रही है?
उत्तर:
15 न्यूटन के बल से।

प्रश्न 29.
बिजली का पंखा स्विच बन्द होने के बाद भी कुछ समय तक किस कारण से चलता है?
उत्तर:
अपने गति – जड़त्व के गुण के कारण पंखा स्विच बन्द होने के बाद भी कुछ समय तक गति में रहता है।

प्रश्न 30.
चलती कार के एकाएक रुकने पर उसमें बैठे यात्री किस दिशा में गिरेंगे?
उत्तर:
आगे की ओर गिरेंगे।

प्रश्न 31.
किसी वस्तु का द्रव्यमान तथा वेग का गुणनफल किस भौतिक राशि को प्रदर्शित करता है?
उत्तर:
इन दोनों का गुणनफल संवेग को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 32.
सभी वस्तुएँ किसका विरोध करती हैं?
उत्तर:
अपनी गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध।

प्रश्न 33.
संवेग परिवर्तन की दर किस भौतिक राशि को प्रदर्शित करती है?
उत्तर:
यह बल को प्रदर्शित करती है।

प्रश्न 34.
बल तथा संवेग परिवर्तन की दर में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
बल (F) = संवेग परिवर्तन की दर \(\left(\frac{\Delta p}{\Delta t}\right)\)

प्रश्न 35.
एक मनुष्य पृथ्वी पर खड़ा है, इस दशा में क्रिया तथा प्रतिक्रिया की व्याख्या कीजिए।
उत्तर:
मनुष्य अपने भार के बराबर बल पृथ्वी तल पर लगाता है (क्रिया); पृथ्वी भी उतना ही बल मनुष्य पर ऊपर की ओर लगाती है (प्रतिक्रिया)।

प्रश्न 36.
स्पष्ट कीजिए कि जूतों के तले क्यों घिस जाते हैं?
उत्तर:
जब हम सड़क पर चलते हैं तो जूतों के तलों तथा सड़क के बीच घर्षण बल कार्य करता है जिससे जूतों के तले घिस जाते हैं।

प्रश्न 37.
टायरों को लहरदार तथा खुरदरा क्यों बनाया जाता है?
उत्तर:
सड़क की सतह तथा टायर के मध्य घर्षण बल बढ़ाने के लिए वाहनों के टायरों की ऊपरी सतह को लहरदार तथा खुरदरा बनाया जाता है, जिससे तीव्र गति पर वाहन अनियन्त्रित होकर अथवा ब्रेक लगाने पर फिसले नहीं।

प्रश्न 38.
गति के नियमों के आधार पर तैरने की क्रिया को समझाइए ।
उत्तर:
तैरने की क्रिया में तैराक बल लगाकर पानी को पीछे की ओर धकेलता है और पानी प्रतिक्रिया के रूप में तैराक पर आगे की ओर बल लगाता है, जिससे तैराक आगे बढ़ जाता है।

प्रश्न 39.
बन्दूक की गोली शरीर में क्यों घुस जाती है?
उत्तर:
बन्दूक की गोली शरीर में घुस जाती है-इसका कारण यह है कि बन्दूक से निकली गोली का वेग बहुत अधिक होता है तथा शरीर से टकराने पर यह बहुत कम समय में शून्य हो जाता है अतः गोली में वेग परिवर्तन की दर (अर्थात् मन्दन) a एवं बल (F=ma) बहुत अधिक होता है। परिणामस्वरूप गोली शरीर में घुस जाती है।

प्रश्न 40.
साइकिल के पहिये में तेल क्यों दिया जाता है?
उत्तर:
पहिये तथा धुरी के बीच घर्षण बल कार्य करता है इन दोनों के बीच खुरदरापन आने से घर्षण बल अधिक हो जाता है जिसके कारण पहिये को घुमाने के लिए अधिक बल लगाना पड़ता है। अतः घर्षण बल कम करने के लिए साइकिल के पहिये में तेल दिया जाता है।

प्रश्न 41.
तीव्र गति से गतिशील, किसी कंकड़ के लगने से खिड़की का काँच टूट जाता है, क्यों?
उत्तर:
वेग कम होने के कारण कंकड़ शीशे से टकराकर पार निकलने में पर्याप्त समय ले लेता है। इतने समय में सम्पूर्ण शीशे में गति उत्पन्न हो जाती है और शीशा चटखकर टूट जाता है।

प्रश्न 42.
दीवार पर किसी स्पंज के टुकड़े पर लगभग बराबर बल से हाथ से मारकर उन्हें पीटने का प्रयास कीजिए। इसमें से किस स्थिति में अधिक चोट लगेगी?
उत्तर:
दीवार को पीटने में हमारा हाथ अति शीघ्र विराम में आ जाएगा अर्थात् इस दशा में संवेग परिवर्तन की दर अधिक होगी। अतः इस दशा में अधिक चोट लगेगी।

लघुत्तरात्मक एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या होता है जब किसी गीले कपड़े को झटकते हैं? अपने प्रेक्षण को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
जब गीले कपड़े को झटकते हैं तो कपड़े से पानी की बूँदें बाहर आ जाती हैं। इसका कारण यह है कि कपड़ा झटकने पर वह तो गति की अवस्था में आ जाता है, परन्तु कपड़े के भीतर उपस्थित पानी की बूँदें जड़त्व के कारण अपनी विरामावस्था में बनी रहती हैं और कपड़े से अलग होकर बाहर निकल जाती हैं। इससे कपड़ा जल्दी सूख जाता है।

प्रश्न 2.
जैवलिन थ्रो में यदि खिलाड़ी किसी निश्चित रेखा को पार कर लेता है तो यह फाउल माना जाता है, किन्तु खिलाड़ी इस रेखा पर रुकने में प्रायः असफल रहते हैं। स्पष्ट कीजिए, क्यों?
उत्तर:
जैवलिन थ्रो (भाला फेंक) में तीव्र गति से भाला फेंकने के लिए खिलाड़ी तीव्र गति से आगे की ओर भागता है, इसलिये निश्चित रेखा तक पहुँचते समय खिलाड़ी गति की अवस्था में होता है। अतः शरीर के गति जड़त्व के कारण प्रायः वह निश्चित रेखा तक अपने को रोकने में असफल रहता है।

प्रश्न 3.
बन्दूक से गोली छोड़ने पर पीछे की ओर धक्का लगता है, क्यों?
उत्तर:
बन्दूक से गोली छोड़ने पर पीछे की ओर धक्का लगता है। इसका कारण यह है कि बन्दूक से गोली छूटने पर, बारूद की एकदम गैस बन जाती है जो कि फैलने के कारण गोली को बहुत जोर से आगे की ओर फेंक देती है। गोली भी गैस पर उतना ही, परन्तु विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया बल लगाती है जिससे कि बन्दूक चलाने वाले को पीछे की ओर धक्का लगता है।

प्रश्न 4.
कुएं से जल खींचते समय यकायक रस्सी टूट जाने पर पानी खींचने वाला व्यक्ति पीछे की ओर क्यों गिर पड़ता है?
उत्तर:
कुएँ से जल खींचते समय यकायक रस्सी टूट जाने पर पानी खींचने वाला व्यक्ति पीछे की ओर गिर पड़ता है। इसका कारण यह है कि जब कोई व्यक्ति रस्सी द्वारा जल से भरी बाल्टी को अपनी ओर खींचता है तो बाल्टी भी उस बल से व्यक्ति को अपनी ओर खींचती है। यदि रस्सी यकायक (अचानक ) टूट जाए तो बाल्टी द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया बल समाप्त हो जाता है तथा व्यक्ति अपने द्वारा लगाए गए बल के कारण पीछे की ओर गिर पड़ता है।

प्रश्न 5.
क्रिकेट की गेंद लपकते समय खिलाड़ी गेंद की गति की दिशा में अपने हाथ पीछे क्यों खींच लेता है?
उत्तर:
क्रिकेट की गेंद पकड़ते समय खिलाड़ी अपने हाथ पीछे की ओर खींच लेता है। इसका कारण यह है कि यदि खिलाड़ी हाथ को स्थिर रखकर गेंद पकड़ता है तो गेंद को रुकने में बहुत कम समय लगता है जिससे वेग परिवर्तन की दर (अर्थात् मन्दन) अधिक रहता है। अत: खिलाड़ी की हथेली को गेंद रोकने में अधिक बल (F= ma) लगाना होता है जिससे खिलाड़ी की हथेली में चोट लग सकती है। इसलिए खिलाड़ी गेंद को अधिक समय में रोकने के लिए हाथ को गेंद की गति की दिशा में पीछे खींचता है जिससे कि वेग परिवर्तन की दर (अर्थात् मन्दन) कम हो तथा उसे कम बल लगाना पड़े। इससे खिलाड़ी के हाथ ‘चोट लगने की सम्भावना घट जाती है।

प्रश्न 6.
“प्रत्येक क्रिया की उसके समान परन्तु विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया होती है।” इसको स्पष्ट करने के दो उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
उदाहरण 1-जब कोई व्यक्ति नाव से कूदता है तो वह अपने पैरों से बल लगाकर नाव को पीछे की ओर धकेलता है अर्थात् नाव पीछे की ओर जाती है। उसकी प्रतिक्रिया के फलस्वरूप नाव व्यक्ति पर आगे की ओर बल लगाती है और मनुष्य किनारे पर कूद जाता है।

उदाहरण 2-घोड़ा, गाड़ी को खींचते समय अपनी पिछली टाँगों से पृथ्वी को पीछे की ओर धकेलता है, जिससे प्रतिक्रिया के रूप में पृथ्वी घोड़े पर आगे की ओर बल लगाती है और गाड़ी आगे बढ़ जाती है।

प्रश्न 7.
यदि कोई व्यक्ति नाव से किनारे पर कूदे तो नाव विपरीत दिशा में चली जाती है, क्यों? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
जब कोई व्यक्ति नाव से कूदता है तो वह अपने पैरों से बल लगाकार नाव को पीछे की ओर धकेलता है। इस क्रिया बल के कारण नाव पीछे की ओर हट जाती है। नाव द्वारा बराबर व विपरीत बल ( प्रतिक्रिया बल) मनुष्य पर आगे की ओर लगता है जिससे वह किनारे पर कूद जाता है।

प्रश्न 8.
रेत की दलदल अथवा बालूपंक बहुत चिकने व छोटे रेत के कणों से बनता है। यदि कोई व्यक्ति अथवा भारी जन्तु रेगिस्तान में ऐसे स्थान पर चला जाए तो क्या हो सकता है?
उत्तर:
यदि कोई व्यक्ति अथवा भारी जन्तु रेत की दलदल या बालूपंक वाले स्थान पर चलने की कोशिश करता है, तो उसे आगे बढ़ने के लिए आवश्यक प्रतिक्रिया बल नहीं मिल पाता। इसके विपरीत, दलदल पीछे की ओर तथा नीचे की ओर खिसकती जाती है। इस प्रकार, व्यक्ति ( भारी जन्तु) आगे बढ़ने में असमर्थ रहता है, जितना ही वह आगे बढ़ने की कोशिश करता है उतना ही वह दलदल में भैंसता जाता |

प्रश्न 9.
जब कभी अचानक हमारा पैर केले के छिलके पर पड़ जाता है तो हमारे लिए अपने शरीर का सन्तुलन बनाए रखना कठिन क्यों हो जाता है?
उत्तर:
जब हम सड़क पर चलते हैं तो सड़क और हमारे पैरों के बीच कार्यरत बल हमारे शरीर का सन्तुलन बनाए रखने में हमारी मदद करता है। ऐसे में जब कभी हमारा पैर केले के छिलके पर पड़ता है तो हमारे पैरों और सड़क के बीच घर्षण बल एकाएक कम हो जाता है जिसके कारण शरीर का सन्तुलन बनाए रखना कठिन हो जाता है और हम गिर पड़ते हैं।

प्रश्न 10.
चलती हुई गाड़ी से अचानक उतरने पर यात्री आगे की ओर गिर पड़ता है, क्यों? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
चलती हुई गाड़ी से अचानक उतर जाने पर यात्री गिर पड़ता है- इसका कारण यह है कि यात्री अचानक चलती हुई गाड़ी से उतरता है तो उसके पैर तो जमीन के सम्पर्क में आते ही विरामावस्था में आ जाते हैं, परन्तु शरीर का ऊपरी भाग उसी वेग से चलता रहता है। अतः यात्री गाड़ी के चलने की दिशा में गिर पड़ता है। यदि यात्री गाड़ी से उतरते समय थोड़ी दूर गाड़ी के साथ-साथ दौड़े तो वह गिरने से बच सकता है।

प्रश्न 11.
यदि हथौड़े का हत्या ढीला हो तो हत्थे को पृथ्वी पर ऊर्ध्वाधर पटखने से हथौड़ा हत्थे में क्यों कस जाता है?
उत्तर:
हथौड़े को हत्थे में कसने के लिए हत्थे को तेजी से जमीन पर मारते हैं- जब हथौड़े के हत्थे को जमीन पर मारने के लिए तेजी से नीचे की ओर लाते हैं तो हथौड़ा तथा हत्था दोनों गति की अवस्था में होते हैं। हत्थे का सिरा जमीन पर लगते ही विरामावस्था में आ जाता है, जबकि हथौड़ा जड़त्व के कारण गति की अवस्था में रहता है अतः हथौड़ा नीचे आकर हत्थे में कस जाता है।

प्रश्न 12.
स्पष्ट कीजिए कि गति विषयक द्वितीय नियम F = ma में न्यूटन का गतिविषयक प्रथम नियम स्वतः निहित है।
उत्तर:
न्यूटन के गति के द्वितीय नियम से, F = ma
यदि F = 0 हो तो a = 0 अर्थात् यदि वस्तु पर बाह्य बल न लगाया जाए तो वस्तु में त्वरण भी उत्पन्न नहीं होगा। त्वरण के शून्य होने पर या तो वस्तु विरामावस्था में ही रहेगी या एकसमान वेग से गतिमान रहेगी । यही न्यूटन का गति विषयक प्रथम नियम है। अतः न्यूटन के गति के द्वितीय नियम में प्रथम नियम स्वतः निहित है।

प्रश्न 13.
गिलास पर रखे पत्ते को अचानक हटा देने पर उस पर रखा सिक्का गिलास में क्यों गिर जाता है?
उत्तर:
गिलास पर रखे पत्ते को अचानक हटा देने पर उस पर रखा सिक्का गिलास में जा गिरता है-इसका कारण यह है कि प्रारम्भ में पत्ता तथा सिक्का दोनों विरामावस्था में थे। पत्ते को क्षैतिज दिशा में ऊँगली से तीव्रता से धक्का देने पर उसमें गति उत्पन्न हो जाती है, जबकि सिक्का जड़त्व के कारण उसी स्थान पर स्थिर रहता है अतः पत्ता हटकर आगे बढ़ जाता है तथा सिक्का (पत्ता हटने के कारण) गिलास में गिर जाता है।

प्रश्न 14.
चलती हुई गाड़ी को अचानक रोक देने पर यात्री का शरीर आगे क्यों झुक जाता है?
उत्तर:
चलती हुई गाड़ी के अचानक रुकने पर उसमें बैठे यात्री आगे की आगे झुक जाते हैं-इसका कारण यह है कि गाड़ी के अचानक रुकने पर उसका फर्श तथा उस पर रखे हुए यात्रियों के पैर तो विरामावस्था में आ जाते हैं, परन्तु उनके शरीर का ऊपरी भाग जड़त्व के कारण उसी वेग से आगे की ओर चलने का प्रयास करता है। इसलिए यात्री आगे की ओर झुक जाते हैं।

प्रश्न 15.
रेलगाड़ी के अचानक चलने पर उसमें खड़ा यात्री पीछे की ओर क्यों गिर पड़ता है?
उत्तर:
रेलगाड़ी के अचानक चलने पर उसमें खड़ा यात्री पीछे की ओर गिर पड़ता है-इसका कारण यह है कि यात्री के शरीर का निचला भाग तो गाड़ी के सम्पर्क में होने के कारण गाड़ी के चलने पर तुरन्त गति में आ जाता है, परन्तु उसका ऊपरी भाग विराम जड़त्व के कारण विरामावस्था में ही बना रहता है। इस कारणवश यात्री के शरीर के ऊपरी भाग को पीछे की ओर धक्का लगता है तथा यात्री पीछे की ओर गिर पड़ता है।

प्रश्न 16.
न्यूटन के गतिविषयक नियमों को उदाहरण देकर समझाइए।
अथवा
गैलीलियो (जड़त्व) का नियम उदाहरण देकर समझाइए।
अथवा
न्यूटन के गतिविषयक द्वितीय नियम की सहायता से सिद्ध कीजिए-
बल = द्रव्यमान × त्वरण
अथवा
न्यूटन का गति-विषयक तृतीय नियम उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए।
अथवा
क्रिया-प्रतिक्रिया नियम लिखिए तथा इसका उदाहरण
देकर व्याख्या कीजिए।
अथवा
गति के तृतीय नियम का उल्लेख कीजिए। इसे क्रिया-प्रतिक्रिया नियम भी कहा जाता है, क्यों? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
(1) न्यूटन का गति-विषयक प्रथम नियम इस नियम के अनुसार, “यदि कोई वस्तु विरामावस्था में है तो विरामावस्था में ही बनी रहेगी और यदि वह एक सरल रेखा में एकसमान वेग से चल रही है तो वह उसी प्रकार चलती रहेगी, जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल लगाकर उसकी वर्तमान अवस्था में परिवर्तन न किया जाए।” इसे गैलीलियो का नियम अथवा जड़त्व का नियम भी कहते हैं।
उदाहरण 1- यदि कोई पुस्तक मेज पर रखी है तो वह तब तक उसी अवस्था में रहेगी, जब तक कि उस पर बाहर से कोई बल लगाकर उसे वहाँ से हटा न दिया जाए।

उदाहरण 2- चलती बस का इंजन बन्द करने के बाद भी बस कुछ दूर चलकर रुक जाती है यह घर्षण बल के कारण होता है। यदि घर्षण बल न हो तो बस चलती रहेगी।

(2) न्यूटन का गतिविषयक द्वितीय नियम इस नियम के अनुसार, “किसी वस्तु पर बाहर से लगाया गया बल, उस वस्तु के द्रव्यमान तथा उस वस्तु में बल की दिशा में उत्पन्न त्वरण के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती होता है।”
बल (F) ∝ द्रव्यमान (m) x त्वरण (a)
अथवा बल (F) = K x m x a … (1)
(जहाँ K एक नियतांक है।)
यदि हम बल F के मात्रक इस प्रकार चुनें कि एकांक बल, एकांक द्रव्यमान की वस्तु में एकांक त्वरण उत्पन्न कर सके, तब
समीकरण (1) मैं F = 1, m = 1 तथा a = 1 रखने पर,
1 = K × 1 × 1
अथवा K = 1
अत: समीकरण (1) से,
F = m x a
अर्थात्
बल = द्रव्यमान x त्वरण
इसे ही न्यूटन का गतिविषयक द्वितीय नियम कहते हैं।
उदाहरण 1- क्रिकेट की गेंद पकड़ते समय खिलाड़ी अपने हाथ पीछे की ओर खींचता है।
उदाहरण 2- बन्दूक की गोली शरीर में ‘घुस जाती है।

(3) न्यूटन का गति-विषयक तृतीय नियम- इस नियम के अनुसार, जब दो वस्तुओं में आपस में अन्योन्य क्रिया होती है तो पहली वस्तु द्वारा दूसरी वस्तु पर लगाया गया बल, दूसरी वस्तु द्वारा पहली वस्तु पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत दिशा में होता है अथवा क्रिया व उसकी प्रतिक्रिया बराबर तथा विपरीत दिशा में होती है।

उदाहरण- तैरते समय मनुष्य पानी को पीछे धकेलता है (क्रिया); परिणामस्वरूप जल मनुष्य को आगे की ओर धकेलता है (प्रतिक्रिया)।

(i) इन दो बलों में से एक को क्रिया तथा दूसरे को प्रतिक्रिया कहते हैं अतः इसे क्रिया-प्रतिक्रिया का नियम भी कहते हैं। इस नियम के अनुसार, “प्रत्येक क्रिया की उसके बराबर, परन्तु विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया होती है।”
(ii) बन्दूक से गोली छोड़ने पर गोली क्रिया बल के कारण आगे बढ़ती है परन्तु गोली भी बन्दूक पर विपरीत दिशा में इतना ही प्रतिक्रिया बल लगाती है; अतः बन्दूक स्वयं पीछे की ओर हटती है तथा बन्दूक चलाने वाले को पीछे की ओर धक्का मारती है।

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
9.8 kg द्रव्यमान की एक वस्तु पर 4kg wt का बल लगता है। वस्तु में उत्पन्न त्वरण ज्ञात कीजिए। (gm 9.8N/kg)
हल:
F = 4kg wt = 4 × 9.8N, m = 9.8 kg
परन्तु F = ma से
वस्तु में उत्पन्न त्वरण
a = \(\frac { F }{ m }\)
= \(\frac{4 \times 9.8 \mathrm{~N}}{9.8 \mathrm{~kg}}\)
= 4m/s² उत्तर

प्रश्न 2.
घर्षण रहित क्षैतिज तल पर रखी किसी वस्तु में 10 N का बल लगाने पर 5m/s² का त्वरण उत्पन्न होता है। वस्तु का द्रव्यमान कितना होगा?
हल:
F = 10 N, a = 5m/s², m = ?
हम जानते हैं कि F = ma
∴ m = \(\frac { F }{ a }\)
= \(\frac{10 \mathrm{~N}}{5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2}\)
= 2 kg

प्रश्न 3.
1500kg की एक कार को विरामावस्था से 10 5 में 30 m/s का वेग प्रदान करने के लिए कितने बल की आवश्यकता होगी?
हल:
= 30m/s, t = 10s
हम जानते हैं
a = \(\frac{v-u}{t}=\frac{(30-0)}{10 s}\) = 3 ms²
अब m = 1500 kg, a = 3 m/s²
तो F = m x a = 1,500 kg x a = 3 ms² = 4500N उत्तर

प्रश्न 4.
0.5 kg द्रव्यमान का एक ठोस मेज पर रखा है। बताइए उस पर कितना बल लगाया जाए कि उसमें 4 सेकण्ड में 2 m/s का वेग उत्पन्न हो जाए?
हल:
u = 0 m/s, v = 2 m/s, t = 4s, F = ?
त्वरण a के लिए
a = \(\frac{v-u}{t}=\frac{2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}-0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{4 \mathrm{~s}}\) = 0.5m/s²
अब बल
F = m.a = 0.5 kg x 0.5 m/s²
= 0.25 kg m/s² अथवा 0.25N उत्तर

प्रश्न 5.
एक 5 किग्रा. की रायफल 500 मीटर / सेकण्ड के वेग से 10 ग्राम की गोली छोड़ती है। रायफल का गोली छोड़ने का वेग ज्ञात करो।
हल:
रायफल का द्रव्यमान (m₁) = 5 किग्रा.
गोली का द्रव्यमान (m₂) = 10 ग्रा. = 10 x 10^-3 किग्रा.
गोली का वेग u₂ = 500 मीटर प्रति सेकण्ड
मान लो रायफल की गोली का वेग u₂ = u₁
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके
m₁u₁ = m₂u₂ या 5 x u₁ = 10 x 10^-3 x 500
u₁ = \(\frac{10 \times 10^{-3} \times 500}{5}\)
u₁ = 1 मीटर प्रति सेकण्ड।

प्रश्न 6.
एक वस्तु जिसका द्रव्यमान 10 kg है; 100 cm/ 8 के वेग से चल रही है। इसको 10 सेकण्ड में स्थिर दशा में लाने के लिए कितना बल लगेगा?
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m = 10kg
वस्तु का प्रारम्भिक वेग u = 100 cm/s
वस्तु का अन्तिम वेग v = 0
समय t = 10 s
अब त्वरण a = \(\frac{v-u}{t}=\frac{0 \times 100}{10}\)
= – 10 cm/s²
= \(\frac { -10 }{ 100 }\)m/s²
= – 0.01 m/s²
F = ma = 10 x \(\frac { 10 }{ 100 }\) उत्तर

प्रश्न 7.
दो गोले 20 kg तथा 80 kg द्रव्यमान के क्रमशः 40 m/s तथा 10 m/s के वेग से एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं। यदि वे टकराकर जुड़ जायें तो संयुक्त गोला किस वेग से गति करेगा?
हल:
प्रश्नानुसार, m₁ = 20 kg, m₂ = 80kg
u₁ = 40m/s; u₂ = 10 m/s (-)
टक्कर से पूर्व संवेग m₁u₁ + m₂u₂
= 20 × 40 – 80 x 10 = 800 – 800 = 0
टक्कर के बाद संयुक्त गोले का द्रव्यमान 20 + 80 = 100 kg, माना टक्कर के बाद वेग v है तब
टक्कर के बाद संवेग = mv = 100v
संवेग संरक्षण के नियम से,
टक्कर के पूर्व संवेग टक्कर के बाद संवेग 100 v या v = 0
अतः टक्कर के बाद दोनों गोले जुड़कर स्थिर हो जायेंगे।

प्रश्न 8.
6 किग्रा का एक पिण्ड स्थिर अवस्था में रखा है उस पर कितना बल लगाया जाए कि उसमें 4 सेकण्ड में 4 मीटर / सेकण्ड का वेग उत्पन्न हो जाए।
हल:
दिया है प्रारम्भिक वेग (u) = 0, अन्तिम वेग (v) = 4 मीटर / सेकण्ड समय (t) = 4 सेकण्ड
द्रव्यमान (m) = 6 किग्रा, बल (F) = ?
गति के प्रथम समीकरण
v = u + at से, 4 = 0 + a × 4
∴ पिण्ड में उत्पन्न त्वरण (a) = \(\frac { 4 }{ 4 }\) = 1 मीटर / सेकण्डर
पिण्ड पर लगाया गया बल (F) = m xa
= 6 किग्रा 1 मीटर/सेकण्डर²
= 6 किग्रा मीटर / सेकण्ड² = 6 न्यूटन।

प्रश्न 9.
30 न्यूटन का बल 5 किग्रा के पिण्ड पर कितनी देर तक कार्य करे कि उसका वेग 2 मीटर/सेकण्ड हो जाए?
हल:
दिया है बल (F) = 30 न्यूटन, द्रव्यमान (m) = 5 किग्रा, प्रारम्भिक वेग (u) = 0
अन्तिम वेग (v) = 12 मीटर / सेकण्ड समय (t) = ?
सूत्र F = m x a से,
पिण्ड में उत्पन्न त्वरण (a)

प्रश्न 10.
किसी राइफल का द्रव्यमान 3 kg है। उससे 0.03 kg द्रव्यमान की गोली चलाई जाती है। गोली राइफल से 100 m/s के वेग से बाहर निकलती है। यदि गोली नाल से होकर बाहर निकलने में 0.003 सेकण्ड का समय लेती है, तो राइफल पर प्रतिक्षेप के कारण लगने वाले बल की गणना कीजिए।
हल:
m₁ = 3kg, m₂ = 0.03kg
u₁ = u₂ = 0, v₁ = ?, v₂ = 100n/s
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार
m₁ u₁ + m₁v₁ = m₁v₁ + m₂v₂
अथवा 0 + 0 = 3 x v₁ + 100(0.03)
या v₁ = \(\frac{100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \times 0.03 \mathrm{~kg}}{3 \mathrm{~kg}}\) = – 1m/s
F = \(\frac{-3 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{0.003 \mathrm{~s}}\) = – 1000 kg m/s² = – 1000 N
अतः राइफल से गोली चलाने वाले व्यक्ति पर 1000 N के बल का धक्का पीछे की ओर लगेगा।

प्रश्न 11.
रायफल से 50g की गोली 400 m/s के बेग से निकलती है। रायफल 4 m/s के वेग से पीछे हटती है। रायफल का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
गोली के छूटने से पहले संवेग = 0
गोली के छूटने के बाद संवेग = 50 × 10^-3 kg × 400m/s
माना रायफल का द्रव्यमान m है अतः इसका संवेग
= – 4m ( पीछे हटती है।)
इसलिए गोली तथा रायफल का संयुक्त संवेग
= 20 – 4m
अतः गोली छूटने के बाद संयुक्त संवेग = गोली छूटने से पहले संयुक्त संवेग
20 – 4m = 0
अथवा m = \(\frac { 20 }{ 4 }\) = 5 kg

प्रश्न 12.
1000 kg की एक मोटर कार 4 m/s के वेग से जा रही है। 10,000 kg का एक ट्रक विपरीत दिशा से आता है तथा कार से टकरा जाता है। दोनों गाड़ियाँ तुरन्त रुक जाती हैं। दूक का वेग ज्ञात कीजिए।
हल:
टकराने से पहले कार का संवेग p = mv
= 10³ × 4 = 4 x 10³ kg m/s
माना टकराने से पहले ट्रक का वेग v m/s है।
इसलिए, टकराने से पहले ट्रक का संवेग
= 10⁴ x v kg m/s
कुल संवेग = 4 x 10³ + 10⁴ x v
टकराने के बाद कुल संवेग = 0
इसलिए, टकराने से पहले कुल संवेग = टकराने के बाद कुल संवेग
4 x 10³ + 10⁴ x v = 0 या v = \(\frac{4 \times 10^3}{10^4}\) = 0.4m/s

प्रश्न 13.
20 kg का विस्फोटक गोला जो कि 12 m/s के वेग से गतिमान है, अचानक फटकर दो टुकड़ों में टूट जाता है, जिनके द्रव्यमान 14 kg तथा 6 kg हैं। यदि बड़े टुकड़े का वेग शून्य हो तो छोटे टुकड़े का वेग क्या होगा? हल:
गोले के फटने से पहले संवेग = m x v
= 20 x 12 = 240 kgm/s
माना छोटे गोले का वेग है। फटने के बाद दोनों का संयुक्त संवेग
= 14 × 0 + 6 × v = 6v kg m/s
चूँकि फटने के बाद संवेग = फटने के पहले संवेग
6v = 240 या v = \(\frac { 240 }{ 6 }\) = 40 m/s

प्रश्न 14.
एक पिण्ड का द्रव्यमान 30 किग्रा है। उस पर 60 न्यूटन का बल आरोपित किया जाता है। ज्ञात कीजिए कि पिण्ड में कितना त्वरण उत्पन्न होगा?
हल:
दिया है पिण्ड का द्रव्यमान (m) 30 किग्रा, बल (F) = 60 न्यूटन, त्वरण (a) = ?
सूत्र F = m x a से,

प्रश्न 15.
10 न्यूटन का एक बल 0.2 किग्रा के एक पिण्ड पर कार्य कर रहा है। पिण्ड में उत्पन्न त्वरण की गणना कीजिए।
हल:
दिया है बल (F) = 10 न्यूटन = 10 किग्रा मीटर / सेकण्ड², द्रव्यमान (m) = 0.2 किग्रा, त्वरण (a) = ?
सूत्र F= m x a से,
पिण्ड में उत्पन्न त्वरण (a) = \(\frac{\mathrm{F}}{m}=\frac{10 \mathrm{~N}}{0.2 \mathrm{~kg} .}=\frac{100}{2}\)ms²
= 50 मीटर / सेकण्ड²।

प्रश्न 16.
किसी 10 ग्राम के द्रव्यमान में 5 मीटर / सेकण्ड का त्वरण उत्पन्न करने में अधिक बल की आवश्यकता होगी अथवा 20 ग्राम के द्रव्यमान में 5 मीटर/सेकण्ड का त्वरण उत्पन्न करने में?
हल:
पहली अवस्था में,
दिया है द्रव्यमान (m₁) = 10 ग्राम = 10 x 10^-3 किग्रा,
त्वरण (a₁) = 5 मीटर/सेकण्डर²
∴ बल (F₁) = m₁ x a₁
= (10 × 10^-3 किग्रा) x (5 मीटर / सेकण्ड)
= 5 × 10^-2 न्यूटन
= 0.05 न्यूटन
दूसरी अवस्था में,
दिया है द्रव्यमान (m₁) = 20 ग्राम 20 x 10^-3 किग्रा, त्वरण (a) = 5 मीटर/सेकण्ड 2 बल (F₂) = m₂ x a₂
= (20 x 10^-3 किग्रा) x (5 मीटर / सेकण्ड²)
= (10 x 10^-2 किग्रा – मीटर/सेकण्ड²)
= 10 × 10^-2 न्यूटन = 0.1 न्यूटन
क्योंकि F₂ का परिमाण F₁ से अधिक है; अतः दूसरी अवस्था में अर्थात् 20 ग्राम द्रव्यमान में 5 मीटर / सेकण्ड² का त्वरण उत्पन्न करने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 17.
यदि 5 किग्रा द्रव्यमान की वस्तु पर 200 न्यूटन का बल लगाया जाए तो वस्तु में उत्पन्न त्वरण कितना होगा?
हल:
दिया है वस्तु का द्रव्यमान = 5 किग्रा, वस्तु पर
बल F = 200 न्यूटन, वस्तु का त्वरण a = ?
सूत्र F = ma से,
वस्तु का त्वरण a = \(\frac { F }{ m }\)
= \(\frac { 200 }{ 5 }\)
= 40 मीटर/सेकण्ड²।

प्रश्न 18.
दो पिण्डों पर समान बल लगाने पर उसमें त्वरणों का अनुपात 1: 2 है। पहले पिण्ड का द्रव्यमान 5 किग्रा है। दूसरे पिण्ड का द्रव्यमान क्या होगा?
हल:
दिया है त्वरणों \(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)\) का अनुपात = \(\frac { 1 }{ 2 }\), m₁ = 2 किग्रा, m₂ = ?
माना दोनों पिण्डों के द्रव्यमान क्रमश: m₁ व m₂ तथा उनमें उत्पन्न त्वरण a₁ व a₂ हैं।
सूत्र F = m x a से, m₁ x a₁ = m₂ × a₂
अत: दूसरे पिण्ड का द्रव्यमान
(m₂) = \(\frac{m_1 \times a_1}{a_2}\)
= \(\frac { 2×1 }{ 2 }\) = 1 किया।

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति Important Questions and Answers.

JAC Board Class 9th Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

प्रश्न 1.
\(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}\) का मान होगा :
(A) 26
(B) 4
(C) 6
(D) – 2
हल :

अतः सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 2.
(\(\sqrt{m}\) – \(\sqrt{m}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\)) का मान होगा :
(A) 172
(B) 18
(C) 4
(D) 77
हल:
(\(\sqrt{m}\) – \(\sqrt{m}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
= (\(\sqrt{11}\))² – (\(\sqrt{7}\))²
= 11 – 7 = 4
अतः सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 3.
अपरिमेय संख्या होगी :
(A) \(\frac {2}{4}\)
(B) \(\sqrt{3}\)
(C) \(\sqrt{9}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
अपरिमेय संख्या \(\sqrt{3}\) है।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 4.
अनवसानी आवर्ती संख्या होगी :
(A) \(\frac {1}{3}\)
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {7}{8}\)
(D) \(\frac {3}{2}\)
हल :
अनवसानी आवर्ती में अंश में हर का भाग देने पर शेषफल आता है अर्थात् शेषफल 0 (शून्य) नहीं आता है तथा भागफल की पुनरावृत्ति होती रहती है। \(\frac {1}{3}\) = 0.333…
अत: सही विकल्प ‘A’ है।

प्रश्न 5.
समस्त परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह कहलाता है:
(A) पूर्णांक संख्याएँ
(B) वास्तविक संख्याएँ
(C) प्राकृत संख्याएँ
(D) सांत परिमेय संख्याएँ
हल :
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 6.
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) किस प्रकार की संख्या है ?
(A) परिमेय
(B) अपरिमेय
(C) प्राकृत संख्या
(D) पूर्णांक संख्या
हल:
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) में अंश (1) परिमेय संख्या है और हर (\(\sqrt{3}\)) अपरिमेय संख्या है।
परिमेय संख्या / अपरिमेय संख्या = अपरिमेय संख्या
अतः सही विकल्प ‘B’ है।

प्रश्न 7.
यदि किसी संख्या के अंश में हर का भाग देने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, तो वह होगा :
(A) असांत दशमलव
(B) असांत अनावर्ती
(C) सांत एवं असांत दोनों
(D) सांत दशमलव ।
हल :
जब किसी भिन्न के अंश में हर का भाग देने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, वह भिन्न परिमेय सांत दशमलव भिन्न कहलाती है।
अतः सही विकल्प ‘D’ है।

प्रश्न 8.
0.333…. को \(\frac {p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है:
(A) \(\frac {1}{0.3}\)
(B) \(\frac {3}{10}\)
(C) \(\frac {1}{3}\)
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
0.333… = \(0 . \overline{3}\)
माना x = \(0 . 3\overline{3}\)
10x = \(3 . \overline{3}\)
9x = 3 (घटाने पर)
x = \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
सही विकल्प ‘C’ है।

प्रश्न 9.
किसी परिमेय और अपरिमेय संख्या का अन्तर होगा :
(A) परिमेय
(B) अपरिमेय
(C) सांत दशमलव
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं का अन्तर सदैव अपरिमेय होता है।
अतः विकल्प ‘B’ सही है।

प्रश्न 10.
(\(\sqrt{3}\))⁶ का मान होगा :
(A) 3\(\sqrt{3}\)
(B) 3
(C) 9
(D) 27.
हल :
(\(\sqrt{3}\))⁶ = \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\)
= 3 × 3 × 3
= 27
अत: सही विकल्प ‘D’ है।

लघु उत्तरीय प्रश्न :

प्रश्न 11.
– 2 और 5 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 12.
निम्नलिखित संख्याओं को दशमलव संख्या में व्यक्त कीजिए तथा दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए :
(i) \(\frac {3}{11}\)
(ii) \(\frac {1}{7}\)
(iii) \(\frac {1}{16}\)
हल :

प्रश्न 13.
\(0 . \overline{361}\) को परिमेय संख्या में बदलिए ।
हल :
माना कि x = \(0 . \overline{361}\)
x = 0.361361361 …….(1)
समी. (1) में 1000 से गुणा करने पर,
1000x = 361.361361 …….(2)
समी (2) में से समी (1) घटाने पर
999x = 361
∴ x = \(\frac {361}{999}\)
⇒ अतः \(0 . \overline{361}\) = \(\frac {361}{999}\)

प्रश्न 14.
निम्नलिखित को सरल कीजिए:
(i) x² × x^-2 × x^-3
(ii) 2x³ ÷ 2x^-3
(iii) \(\frac{x}{\sqrt{5}+1}\) = \(\frac{\sqrt{5}-1}{x}\)
(iv) (2\(\sqrt{5}\) + 1) + (1 – 2\(\sqrt{5}\)) – 2.
हल :
(i) x² × x^-2 × x^-3 = x^2-2-3
= x^2-5
= x^-3 = \(\frac{1}{x^3}\)

(ii) 2x³ ÷ 2x^-3 = \(\frac {2}{2}\) x^3-(-3)
= x³⁺³ = x⁶

(iii) \(\frac{x}{\sqrt{5}+1}\) = \(\frac{\sqrt{5}-1}{x}\)
x × x = (\(\sqrt{5}\) – 1)(\(\sqrt{5}\) + 1)
x² = (\(\sqrt{5}\))² – (1)² = 5 – 1
x² = 4
x = ±2.

(iv) (2\(\sqrt{5}\) + 1)+(1 – 2\(\sqrt{5}\)) – 2
= (2\(\sqrt{5}\) – 2\(\sqrt{5}\)) + (1 + 1) – 2
= 0 + 2 – 2 = 0

प्रश्न 15.
वास्तविक संख्या रेखा पर \(\sqrt{3}\) का स्थान निर्धारित कीजिए।
हल :
सबसे पहले XY रेखा खींची। रेखा पर बिन्दु O पर 0 (शून्य) से इकाई लम्बाई (1 इकाई) पर बिन्दु 4 लिया। बिन्दु 4 पर लम्ब AB = 1 इकाई खींचा। O और B को मिलाया है।

अब OB के B बिन्दु पर एकांक लम्बाई का लम्ब BD खींचा तथा O और D को मिलाया। OD = \(\sqrt{(\sqrt{2})^2+(1)^2}\) = \(\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। O को केन्द्र मानकर OD त्रिज्या का चाप खींचा, जो संख्या रेखा को बिन्दु पर काटता है। अत: बिन्दु Q अपरिमेय संख्या \(\sqrt{3}\) को निरूपित करता है।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय संख्या है।
हल :
भाग विधि से वर्गमूल :

∴ \(\sqrt{3}\) = 1.732050807…………
अतः असांत अनावर्ती अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
\(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\) = a + b\(\sqrt{3}\)
तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई संख्या में (\(\sqrt{3}\) – 1) का अंश और हर में गुणा करने पर,

प्रश्न 18.
[(1)³ + (2)³ + (3)³]\(\frac {-5}{2}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
[(1)³ + (2)³ + (3)³]\(\frac {-5}{2}\)
⇒ [1 + 8 + 27]\(\frac {-5}{2}\)
⇒ (36)\(\frac {-5}{2}\)
⇒ [(6)²]^-5/2
⇒ (6)^{2×\(\frac {-5}{2}\)}
⇒ \(\frac{1}{(6)^5}\)
⇒ \(\frac {1}{7776}\)

प्रश्न 19.
यदि धनात्मक संख्याएँ हैं, तो का मान ज्ञात कीजिए।
\(\sqrt{x^{-1} y} \cdot \sqrt{y^{-1} z} \cdot \sqrt{z^{-1} x}\)
हल :

प्रश्न 20.
6\(\sqrt{5}\) को 3\(\sqrt{5}\) से गुणा कीजिए।
हल :
6\(\sqrt{5}\) × 3\(\sqrt{5}\) = 6 × 3 × \(\sqrt{5}\) × \(\sqrt{5}\)
= 18 × 5 = 90.

प्रश्न 21.
\(\frac{3}{\sqrt{8}}\) का परिमेयकरण कीजिए।
हल :
\(\sqrt{8}\) का अंश और हर में गुणा करने पर,

प्रश्न 22.
यदि b = \(\sqrt[5]{243}\) हो, तो b का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
b = \(\sqrt[5]{243}\)
⇒ b = (243)^1/5
= (3 × 3 × 3 × 3 × 3)^1/5
= [(3)⁵]^1/5
= 3^5×1/5
∴ b = 3

प्रश्न 23.
\(\frac{3}{\sqrt{48}-\sqrt{75}}\) का मान क्या होगा ?
हल :

प्रश्न 24.
\(\frac{1}{3+\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल :
अंश और हर में (3 – \(\sqrt{2}\)) का गुणा करने पर,
\(\frac{3-\sqrt{2}}{(3+\sqrt{2}) \times(3-\sqrt{2})}\) ⇒ \(\frac{3-\sqrt{2}}{(9-2)}\)
{∵ a² – b² = (a+b) (a – b)}
⇒ \(\frac{3-\sqrt{2}}{7}\)

प्रश्न 25.
यदि (x)^y = 128, तो x तथा y का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
(x)^y = 128 = (2)⁷
x^y = 2⁷
आधार तथा घातकी तुलना करने पर,
x = 2
y = 7.

Jharkhand Board JAC Class 9 Science Solutions Chapter 9 बल तथा गति के नियम Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Science Solutions Chapter 9 बल तथा गति के नियम

Jharkhand Board Class 9 Science बल तथा गति के नियम Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1.
कोई वस्तु शून्य बाह्य असन्तुलित बल अनुभव करती है। क्या किसी भी वस्तु के लिए अशून्य वेग से गति करना सम्भव है? यदि हाँ, तो वस्तु के वेग के परिमाण एवं दिशा पर लगने वाली शर्तों का उल्लेख कीजिए। यदि नहीं, तो कारण स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
हाँ, सम्भव है। वास्तव में गति की अवस्था में परिवर्तन के लिए बल की आवश्यकता होती है न कि एकसमान गति की अवस्था को बनाए रखने के लिए। अतः यदि कोई वस्तु पहले से गतिमान है तो वह बाह्य असन्तुलित बल की अनुपस्थिति में भी एकसमान गति की अवस्था को बनाए रखेगी। इस स्थिति में वस्तु के वेग का परिमाण तथा गति की दिशा दोनों नियत रहेंगे।

प्रश्न 2.
जब किसी छड़ी से एक दरी (कार्पेट) को पीटा जाता है तो धूल के कण बाहर आ जाते हैं। स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
दरी (कार्पेट) को छड़ी से पीटने पर धूल के कण निकल आते हैं- इसका कारण यह है कि छड़ी से पीटने पर दरी (कार्पेट) के कण तो गति की अवस्था में आ जाते हैं, परन्तु विराम जड़त्व के कारण धूल के कण विराम में ही बने रहते हैं और दरी (कार्पेट) के कणों से अलग होकर बाहर निकल जाते हैं।

प्रश्न 3.
बस की छत पर रखे सामान को रस्सी से क्यों बाँधा जाता है?
उत्तर:
जब चलती हुई गाड़ी में अचानक ब्रेक लगाए जाते हैं अथवा एकाएक उसे मोड़ा जाता है तो गति जड़त्व के कारण गाड़ी की छत पर रखा सामान उसी वेग से उसी दिशा में गतिमान रहने का प्रयास करता है। ऐसे में यदि सामान को बाँधा नहीं गया है तो वह छत से नीचे गिर सकता है, इससे सामान के टूटने की सम्भावना रहती है। अतः बस की छत पर रखे सामान को बाँधकर रखा जाता है।

प्रश्न 4.
किसी बल्लेबाज द्वारा क्रिकेट की गेंद को मारने पर गेंद जमीन पर लुढ़कती है। कुछ दूरी चलने के पश्चात् गेंद रुक जाती है। गेंद रुकने के लिए धीमी होती है, क्योंकि-
(a) बल्लेबाज ने गेंद को पर्याप्त प्रयास से हिट नहीं किया है।
(b) वेग गेंद पर लगाए गए बल के समानुपाती है।
(c) गेंद पर गति की दिशा के विपरीत एक बल कार्य कर रहा है।
(d) गेंद पर कोई असन्तुलित बल कार्यरत नहीं है; अतः गेंद विरामावस्था में आने के लिए प्रयासरत है। (सही विकल्प का चयन कीजिए।)
उत्तर:
(c) गेंद पर गति की दिशा में विपरीत एक बल कार्य कर रहा है।

प्रश्न 5.
एक ट्रक विरामावस्था से किसी पहाड़ी से नीचे की ओर नियत त्वरण से लुढ़कना शुरू करता है। यह 20 सेकण्ड में 400 मीटर की दूरी तय करता है। इसका त्वरण ज्ञात कीजिए। अगर इसका द्रव्यमान 7 टन है तो इस पर लगने वाले बल की गणना कीजिए। (1 टन = 1000 किग्रा)
हल:
प्रश्नानुसार दूरी (s) = 400 मीटर,
प्रारम्भिक वेग (u) = 0 मीटर / सेकण्ड,
समय (t) = 20 सेकण्ड, त्वरण (a) = ?
s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at² से
400 = (0 × 20) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) a × (20)²
अथवा 400 = 200 a
अतः ट्रक का त्वरण (a) = \(\frac { 400 }{ 200 }\) = 2 मीटर/सेकण्ड²।
दिया है त्वरण (a) = 2 मीटर / सेकण्ड², द्रव्यमान (m) = 7 टन 7000 किग्रा, बल (F) = ?
सूत्र
F = m x a से,
बल (F) = 7000 किग्रा x 2 मीटर/सेकण्डर
= 14,000 किग्रा मीटर/सेकण्डर
= 14,000 न्यूटन
अतः ट्रक पर लगा बल = 14,000 न्यूटन।

प्रश्न 6.
1 किग्रा द्रव्यमान के एक पत्थर को 20 मीटर / सेकण्ड के वेग से झील की जमी हुई सतह पर फेंका जाता है। पत्थर 50 मीटर की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है। पत्थर और बर्फ के बीच लगने वाले घर्षण बल की गणना कीजिए।
हल
दिया है द्रव्यमान m = 1 किग्रा, 4 = 20 मीटर / सेकण्ड s = 50 मीटर, v = 0 मीटर / सेकण्ड, बल F = ?
सूत्र,
v² – u² = 2as से,
0² – (20)² = 2a × 50
या a = – \(\frac{20 \times 20}{2 \times 50}\)
= – 4 मीटर / सेकण्डर
ऋणात्मक चिह्न मन्दन को प्रदर्शित करता है।
अत: पत्थर का मन्दन 4 मीटर / सेकण्ड है।
अब सूत्र F = m xa से,
बर्फ द्वारा पत्थर पर लगाया गया बल
F = 1 किग्रा x 4 मीटर / सेकण्ड² = 4 न्यूटन
अतः बर्फ तथा पत्थर के बीच 4 न्यूटन का बल लगता है।

प्रश्न 7.
एक 8,000 किग्रा द्रव्यमान का रेल इंजन प्रति 2,000 किग्रा द्रव्यमान वाले पाँच डिब्बों को सीधी पटरी पर खींचता है। यदि इंजन 40,000 न्यूटन का बल आरोपित करता है तथा पटरी 5,000 न्यूटन का घर्षण बल लगाती हो तो ज्ञात कीजिए-
(a) नेट त्वरण बल
(b) रेल का त्वरण
हल:
दिया है इंजन द्वारा लगाया गया बल = 40,000 न्यूटन,
इंजन का द्रव्यमान = 8,000 किग्रा,
पटरी द्वारा लगाया गया घर्षण बल = 5,000 न्यूटन,
प्रत्येक डिब्बे का द्रव्यमान = 2,000 किग्रा।
(a) ∵ घर्षण बल एक अवरोधी बल है,
∴ रेलगाड़ी पर नेट त्वरण बल = इंजन का बल – पटरी का घर्षण बल
= 40,000 – 5,000- 35,000 न्यूटन।

(b) पाँच डिब्बों का कुल द्रव्यमान
m = 5 × 2000 = 10,000 किग्रा
जबकि डिब्बों पर नेट त्वरण बल
F = 35,000 न्यूटन
∴ सूत्र F = ma से,

प्रश्न 8.
एक गाड़ी का द्रव्यमान 1,500 किग्रा है। यदि गाड़ी को 1.7 मीटर / सेकण्ड के ऋणात्मक त्वरण (अव- मन्दन) के साथ विरामावस्था में लाना है तो गाड़ी तथा सड़क के बीच लगने वाला बल कितना होगा?
हल:
दिया है गाड़ी का द्रव्यमान m= 1,500 किग्रा, मन्दन a = 1.7 मीटर/सेकण्डर²
माना कि गाड़ी व सड़क के बीच लगा बल = F
तब यही बल गाड़ी में मन्दन उत्पन्न करेगा; अतः
सूत्र F = m x a से,
बल F = 1,500 किग्रा 1.7 मीटर/सेकण्डर²
= 2,550 न्यूटन।

प्रश्न 9.
किसी द्रव्यमान की वस्तु, जिसका वेग है, का संवेग क्या होगा?
(a) (mv)²
(b) mv²
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\) mv²
(d) mv
(उपर्युक्त में से सही विकल्प चुनिए)
उत्तर:
(d) mv.

प्रश्न 10.
हम एक लकड़ी के बक्से को 200 न्यूटन बल लगाकर उसे नियत वेग से फर्श पर धकेलते हैं। बक्से पर लगने वाला घर्षण बल क्या होगा?
हल:
बक्से पर लगाया गया बल F₁ = 200 न्यूटन
माना बक्से पर लगा घर्षण बल तब बक्से पर लगा नेट बल = F₂ न्यूटन
= F₁ – F₂ = (200 – F₂) न्यूटन
∵ बक्सा नियत वेग से गतिमान है; अतः बक्से पर नेट असन्तुलित बल शून्य होगा।
अत: नेट बल = (200 – F₂) = 0
F₂ = 200 न्यूटन
अतः बक्से पर लगा घर्षण बल 200 न्यूटन है।

प्रश्न 11.
दो वस्तुएँ, प्रत्येक का द्रव्यमान 1-5 किग्रा है, एक ही सीधी रेखा में एक-दूसरे के विपरीत दिशा में गति कर रही हैं। टकराने के पहले प्रत्येक का वेग 2.5 मीटर / सेकण्ड है। टकराने के बाद यदि दोनों एक-दूसरे से जुड़ जाती हैं, तब उनका सम्मिलित वेग क्या होगा?
हल:
दिया है वस्तुओं के द्रव्यमान m₁ = m₂ = 1.5 किग्रा
टकराने से पहले इनके वेग u₁ = 2.5 मीटर / सेकण्ड
u₂ = 22.5 मीटर / सेकण्ड
(ऋण चिह्न विपरीत दिशा के कारण लिया है।)
माना कि टक्कर के बाद दोनों का सम्मिलित वेग v हो जाता है।
दोनों के जुड़ जाने से बनी नई वस्तु का द्रव्यमान (m₁ + m₂) होगा।
तब टक्कर के पहले दोनों का कुल संवेग
= m₁u₂ + m₂u₂
= 1.5 x 2.5 + 15 x (-2.5)
= 3.75 – 3.75 = 0
तथा टक्कर के बाद दोनों का कुल संवेग
= (m₁ + m₂)v = (1·5 + 1.5) v = 3v
संवेग संरक्षण के नियम से,
टक्कर के बाद कुल संवेग = टक्कर के पहले कुल संवेग
अर्थात्
3v = 0
∴ v = 0
अतः टक्कर के बाद दोनों वस्तुओं का सम्मिलित वेग शून्य होगा अर्थात् वे विरामावस्था में आ जाएँगी।

प्रश्न 12.
गति के तृतीय नियम के अनुसार जब हम किसी वस्तु को धक्का देते हैं तो वस्तु उतने ही बल के साथ हमें भी विपरीत दिशा में धक्का देती है। यदि वह वस्तु एक ट्रक है जो सड़क के किनारे खड़ा है; सम्भवतः हमारे द्वारा बल आरोपित करने पर गतिशील नहीं हो पाएगा एक विद्यार्थी इसे सही साबित करते हुए कहता है कि दोनों बल विपरीत एवं बराबर हैं जो एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इस तर्क पर अपने विचार दीजिए और बताइए कि ट्रक गतिशील क्यों नहीं हो पाता?
उत्तर:
विद्यार्थी का तर्क गलत है, यह सही है कि क्रिया तथा प्रतिक्रिया के बल विपरीत एवं बराबर होते हैं, परन्तु ये बल कभी भी एक ही वस्तु पर कार्य नहीं करते। जैसे कि उपर्युक्त उदाहरण में, हमारे द्वारा आरोपित बल ट्रक पर लगेगा, जबकि ट्रक का प्रतिक्रिया बल हम पर लगेगा। ट्रक के गतिमान होने का सम्बन्ध केवल ट्रक पर लगने वाले बल से है न कि हमारे द्वारा लगे प्रतिक्रिया बल से अतः क्रिया-प्रतिक्रिया के बलों के निरस्त होने का यहाँ कोई प्रश्न ही नहीं उठता।

हमारे द्वारा ट्रक पर बल आरोपित किए जाने पर भी ट्रक गतिशील नहीं हो पाता, इसका कारण यह है कि ट्रक पर इस बल के अतिरिक्त पृथ्वी द्वारा आरोपित घर्षण बल भी लगा है। जो कि हमारे द्वारा आरोपित बल को सन्तुलित कर देता है।

प्रश्न 13.
200 ग्राम द्रव्यमान की हॉकी की एक गेंद 10 ms^-1 से गति कर रही है। यह एक हॉकी स्टिक से इस प्रकार टकराती है कि यह 5ms^-1 के वेग से अपने प्रारंभिक मार्ग पर वापस लौटती है। हॉकी स्टिक द्वारा आरोपित बल द्वारा हॉकी की गेंद में आये संवेग परिवर्तन के परिमाप का परिकलन कीजिए।
हल:
दिया है गेंद का द्रव्यमान m = 200 g = 0.2kg
गेंद का प्रारम्भिक वेग, u₁ = 10 m/s
गेंद का प्रारंभिक संवेग = mu₁ = 0.2 x 10 = 2 kg m/s
गेंद का अंतिम वेग, u₂ = – 5 ms^-1
गेंद का अंतिम संवेग = mu₂ x 0.2 x – 5 = – 1 kg m/s
संवेग परिवर्तन = 1 Ns – 2Ns = – 3 kg m/s

प्रश्न 14.
10 ग्राम द्रव्यमान की एक गोली सीधी रेखा में 150 मीटर / सेकण्ड के वेग से चलकर एक लकड़ी के गुटके से टकराती है और 0-03 सेकण्ड के बाद रुक जाती है। गोली लकड़ी को कितनी दूरी तक भेदेगी? लकड़ी के गुटके द्वारा गोली पर लगाए गए बल के परिमाण की गणना कीजिए।
हल:
दिया है गोली का द्रव्यमान
m = 10 ग्राम
= \(\frac { 10 }{ 1000 }\)
= 0.01
किग्रा, वेग u = 150 मीटर / सेकण्ड
समय t = 0.03 सेकण्ड, वेग v = 0 मीटर/सेकण्ड s = ?
गोली का त्वरण a = \(\frac { v-u }{ t }\)
= \(\frac { 0-150 }{ 0.03 }\)
= – \(\frac { 150 }{ 0.03 }\)
= – 5000 मीटर / सेकण्ड²
ऋणात्मक चिह्न मन्दन को प्रदर्शित करता है।
अब दूरी s = ut + \(\frac { 1 }{ 2 }\) at²
s = 150 × 0.03 + \(\frac { 1 }{ 2 }\) (- 5000) x (0.03)²
= 4.5 – 2500 – 0.0009
= 4.5 – 2.25
= 2.25
अतः गोली लकड़ी को 2.25 मीटर दूरी तक भेदेगी।
पुन: सूत्र F = ma से,
लकड़ी द्वारा गोली पर लगाया गया बल
F = 0.01× 5000 = 50 न्यूटन।

प्रश्न 15.
एक वस्तु जिसका द्रव्यमान 1 किग्रा है, 10 मीटर / सेकण्ड के वेग से एक सीधी रेखा में चलते हुए विरामावस्था में रखे 5 किग्रा द्रव्यमान के एक लकड़ी के गुटके से टकराती है। उसके बाद दोनों साथ-साथ उसी सीधी रेखा में गति करते हैं संघट्ट के पहले तथा बाद के कुल संवेगों की गणना कीजिए आपस में जुड़े हुए संयोजन के वेग की भी गणना कीजिए।
हल:
वस्तु का द्रव्यमान m₁ = 1 किग्रा, वेग u₁ = 10 मीटर/सेकण्ड
गुटके का द्रव्यमान m₂ = 5 किग्रा, वेग u₂ = 0 (विरामावस्था)
माना संघट्ट के बाद संयुक्त पिण्ड (m₁ + m₂), वेग v से
गति करता है,
तब संघट्ट के पहले का कुल संवेग
= m₁ u₁ + m₂u₂
= 1 × 10 + 5 × 0
= 10 किग्रा मीटर / सेकण्ड
संघट्ट के बाद, संयुक्त पिण्ड का संवेग
= (m₁ + m₂) v
= (1 + 5) v
= 6 v किग्रा मीटर/सेकण्ड
संवेग संरक्षण के नियम से,
संघट्ट के बाद कुल संवेग = संघट्ट के पहले कुल संवेग
अर्थात् 6 v = 10
या v = \(\frac { 10 }{ 6 }\)
= 1.67 मीटर/सेकण्ड
अतः संघट्ट के पहले तथा बाद में कुल संवेग
= 10 किग्रा मीटर / सेकण्ड।
संघट्ट के बाद संयोजन का वेग
= 1.67 मीटर / सेकण्ड।

प्रश्न 16.
100 किग्रा द्रव्यमान की एक वस्तु का वेग समान त्वरण से चलते हुए 6 सेकण्ड में 5 मीटर/सेकण्ड से 8 मीटर / सेकण्ड हो जाता है। वस्तु के पहले तथा बाद के संवेगों की गणना कीजिए। उस बल के परिमाण की गणना कीजिए जो उस वस्तु पर आरोपित है।
हल:
दिया है वस्तु का द्रव्यमान m = 100 किग्रा, प्रारम्भिक वेग u = 5 मीटर/सेकण्ड, अन्तिम वेग v = 8 मीटर / सेकण्ड समय t = 6 सेकण्ड
वस्तु का प्रारम्भिक संवेग
= mu = 100 किग्रा x 5 मीटर / सेकण्ड
= 500 किग्रा मीटर/सेकण्ड
तथा वस्तु का अन्तिम संवेग
mv = 100 किग्रा x 8 मीटर/सेकण्ड
= 800 किग्रा मीटर / सेकण्ड
∴ वस्तु के संवेग में परिवर्तन = अन्तिम संवेग – प्रारम्भिक संवेग
= 800 – 500 = 300 किग्रा मीटर/सेकण्ड
गति के द्वितीय नियम से,
वस्तु पर आरोपित बल

अतः वस्तु का प्रारम्भिक संवेग = 500 किग्रा मीटर / सेकण्ड।
वस्तु का अन्तिम संवेग = 800 किग्रा मीटर / सेकण्ड।
वस्तु पर आरोपित बल का परिमाण = 50 न्यूटन।

प्रश्न 17.
अख्तर, किरण और राहुल किसी राजमार्ग पर बहुत तीव्र गति से चलती हुई कार में सवार हैं, अचानक उड़ता हुआ कोई कीड़ा गाड़ी के सामने के शीशे से आ टकराया और वह शीशे से चिपक गया। अख्तर और किरण इस स्थिति पर विवाद करते हैं। किरण का मानना है कि कीड़े के संवेग परिवर्तन का परिमाण कार के संवेग परिवर्तन के परिमाण की अपेक्षा बहुत अधिक है (क्योंकि कीड़े के वेग में परिवर्तन का मान कार के वेग में परिवर्तन के मान से बहुत अधिक है)। अख्तर ने कहा कि चूंकि कार का वेग बहुत अधिक था अतः कार ने कीड़े पर बहुत अधिक बल लगाया जिसके कारण कीड़े की मौत हो गई। राहुल ने एक नया तर्क देते हुए कहा कि कार तथा कीड़ा दोनों पर समान बल लगा और दोनों के संवेग में बराबर परिवर्तन हुआ। इन विचारों पर अपनी प्रतिक्रिया दीजिए।
उत्तर:
राहुल का तर्क सही है क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से दोनों पर समान बल लगेगा तथा दोनों के संवेग में भी समान परिवर्तन होगा। क्योंकि कीड़े का प्रारम्भिक संवेग, कार के संवेग की तुलना में नगण्य है अतः कीड़े का संवेग परिवर्तन स्पष्ट परिलक्षित होगा, जबकि समान संवेग परिवर्तन से कार के संवेग में कोई स्पष्ट अन्तर नहीं दिखाई देता।

प्रश्न 18.
एक 10 किग्रा द्रव्यमान की घण्टी 80 सेमी की ऊँचाई से फर्श पर गिरी। इस अवस्था में घण्टी द्वारा फर्श पर स्थानान्तरित संवेग के मान की गणना कीजिए। परिकलन में सरलता हेतु नीचे की ओर दिष्ट त्वरण का मान 10 मीटर / सेकण्ड² लीजिए।
हल:
दिया है घण्टी का द्रव्यमान m = 10 किग्रा, प्रारम्भिक ऊँचाई 880 सेमी 0.8 मीटर, घण्टी का त्वरण = 10 मीटर / सेकण्डर, गिरते समय प्रारम्भिक वेग u = 0
माना फर्श पर पहुँचकर घण्टी वेग से फर्श से टकराती है।
तब समीकरण v² = u² + 2as से,
v² = 0² + 2 x 10 × 0-8
= 16 मीटर/सेकण्ड²
∴ घण्टी का वेग v = \(\sqrt{16}\)
= 4 मीटर / सेकण्ड।
माना कि फर्श से टकराने के बाद घण्टी विरामावस्था में आ जाती है।
फर्श से टकराते समय घण्टी का वेग
v₁ = 4 मीटर/सेकण्ड
तथा फर्श से टकराने के बाद घण्टी का वेग v₂ = 0
घण्टी के संवेग में परिवर्तन = m (v₂ – v₁)
= 10 (0 – 4)
= 40 किग्रा – मीटर / सेकण्ड|
क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से फर्श को स्थानान्तरित – घण्टी का संवेग परिवर्तन
= – (- 40) = 40 किग्रा मीटर / सेकण्ड।

अतिरिक्त अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्न एवं उनके उत्तर (पा.पु. पृ.सं. 144)

प्रश्न 1.
एक वस्तु की गति की अवस्था में दूरी- समय सारणी निम्नवत् है-

समय (सेकण्ड)	दूरी (मीटर)
0	0
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343

(a) त्वरण के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? क्या यह नियत है? बढ़ रहा है? घट रहा है? या शून्य है?
(b) आप वस्तु पर लगने वाले बल के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
त्वरण तथा बल के विषय में जानकारी प्राप्त करने के लिए हम प्रत्येक समयान्तराल के लिए वेग तथा त्वरण की गणना करेंगे, जैसा कि निम्नांकित सारणी में दर्शाया गया है।
(a) निम्नलिखित सारणी से स्पष्ट है कि त्वरण नियत नहीं है, अपितु बढ़ रहा है।

(b) सूत्र बल F = m a के अनुसार, चूँकि वस्तु का त्तरण समय के साथ बढ़ रहा है; अतः वस्तु पर लगा बल भी समय के साथ बढ़ेगा।

प्रश्न 2.
1,200 किग्रा द्रव्यमान की एक कार को एक समतल सड़क पर दो व्यक्ति समान वेग से धक्का देते हैं। उसी कार को तीन व्यक्तियों द्वारा धक्का दिलाकर 0-2 मीटर/सेकेण्ड² का त्वरण उत्पन्न किया जाता है। कितने बल के साथ प्रत्येक व्यक्ति कार को धक्का देता है? (मान लीजिए कि सभी व्यक्ति समान पेशीय बल के साथ कार को धक्का देते हैं।)
हल:
दिया है कार का द्रव्यमान m₂ = 1,200 किग्रा
प्रथम दो व्यक्तियों के धक्का देने पर त्वरण = शून्य
(∵ कार एकसमान वेग से बढ़ती है।)
तीन व्यक्तियों द्वारा धक्का देने पर त्वरण a = 0.2 मीटर/सेक्ण²
∵ प्रथम दो व्यक्तियों के धक्का देने पर कार समान वेग से ही आगे बढ़ पाती है। इससे स्पष्ट है कि दूसरी दिशा में कार में त्वरण तीसरे व्यक्ति द्वारा लगाए गए बल के कारण उत्पन्न होता है।
∴ तीसरे व्यक्ति द्वारा लगाया बल F = m a
= 1,200 किग्रा x 0.2 मीटर / सेकण्ड² = 240 न्यूटन
अतः प्रत्येक व्यक्ति द्वारा लगाया गया बल = 240 न्यूटन।

प्रश्न 3.
500 ग्राम द्रव्यमान के एक हृौड़े द्वारा 50 मीटर/सेकण्ड के वेग से एक कील पर प्रहार किया जाता है। कील द्वारा हथौड़े को बहुत कम समय 0.01 सेकण्ड में ही रोका जाता है। कील के द्वारा हथौड़े पर लगाए गए बल की गणना कीजिए।
हल:
दिया है हथौड़े का द्रव्यमान m = 500 ग्राम = 0.5
किग्रा, टकराते समय वेग u = 50 मीटर / सेकण्ड,
समय t = 0.01 सेकण्ड अन्तिम वेग v = 0
कील से टकराने पर हथौड़े का त्वरण
a = \(\frac { v-u }{ t }\)
= \(\frac { 0-50 }{ 0.01 }\)
= – 5,000 मीटर / सेकण्डर²
ऋणात्मक चिह्न मन्दन की प्रदर्शित करता है। कील द्वारा हथौड़े पर लगाया गया बल F = ma
= 0.5 किग्रा x 5,000 मीटर / सेकण्ड²
= 2,500 न्यूटन।

प्रश्न 4.
एक 1,200 किग्रा द्रव्यमान की मोटरकार 90 किमी / घण्टा के वेग से एक सीधी रेखा पर चल रही है। उसका वेग बाहरी असन्तुलित बल लगने के कारण 4 सेकण्ड में घटकर 18 किमी / घण्टा रह जाता है। त्वरण और संवेग में परिवर्तन की गणना कीजिए लगने वाले बल के परिमाण की भी गणना कीजिए।
हल:
दिया है कार का द्रव्यमान m = 1,200 किग्रा,
प्रारम्भिक वेग u = 90 किमी / घण्टा
= 90 × \(\frac { 5 }{ 18 }\)
= 25 मीटर/सेकण्ड
समय t = 4 सेकण्ड, अन्तिम वेग v = 18 किमी / घण्टा
= 18 × \(\frac { 5 }{ 18 }\) = 5 मीटर / सेकण्ड
त्वरण a = ?, संवेग में परिवर्तन = ?, बल F = ?
कार का त्वरण a = \(\frac { v-u }{ t }\)
= \(\frac { 5-25 }{ 4 }\)
= – \(\frac { 20 }{ 4 }\)
= 5 मीटर/सेकण्ड
ऋणात्मक चिह्न मन्दन को प्रदर्शित करता है।
कार के संवेग में परिवर्तन अन्तिम संवेग – प्रारम्भिक संवेग
= 1200 × 5-1200 × 25
= 6000-30000
= – 24,000 किग्रा मीटर सेकण्ड
कार पर लगा बल F = ma
= 1200 × 5
= 6,000 न्यूटन
अतः कार का त्वरण = – 5 मीटर / सेकण्ड²
संवेग में परिवर्तन = 24,000 किग्रा-मीटर/सेकण्ड की कमी तथा कार पर लगा बल = 6,000 न्यूटन।

Jharkhand Board Class 9 Science बल तथा गति के नियम InText Questions and Answers

क्रियाकलाप 9.1 (पा. पु. पृ. सं. 130)
चित्रानुसार कैरम की गोटियों को एक के ऊपर एक रखकर ढेरी ननाएँ। स्ट्राइकर को तेजी से झटका देकर ढेरी की सबसे नीचे वाली गोटी पर टकराएँ। आप पायेंगे कि केवल नीचे वाली गोटी ही शीघ्रता से ढेरी से बाहर जाती है, शेष गोटियाँ अपने जड़त्व के कारण लम्वबत् दिशा में नीचे की ओर गिर जाती हैं।

क्रियाकलाप 9.2 (पा. पु. पृ. सं. 130)
काँच के एक खाली गिलास के ऊपर एक कड़े ताश का पत्ता रखकर चित्र के अनुसार उस पर एक पाँच रुपए का सिक्का रखें तथा पत्ते को अंगुलियों से तीव्रता से क्षैतिज झटका दें। आप पायेंगे कि पत्ता आगे खिसक जाता है तथा सिक्का अपने जड़त्व के कारण नीचे की ओर गिलास में गिर जाता है। ऐसा होने का कारण यह है कि सिक्का अपनी विरामावस्था को बनाये रखना चाहता है।

क्रियाकलाप 9.3 (पा. पु. पृ. सं. 130)
ट्रे पर एक पानी से भरा गिलास रखाकर ट्रे को हाथ से पकड़कर तेजी से घूमने पर गिलास लुढ़क जाता है और पानी छलक जाता है।

खण्ड 9.3 से सम्बन्धित पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर (पा. पु. पृ. सं. 131)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में किसका जड़त्व अधिक है?
(a) रबर की गेंद एवं उसी आकार का पत्थर,
(b) एक साइकिल एवं एक रेलगाड़ी,
(c) पाँच रुपये का सिक्का एवं एक रुपये का सिक्का।
उत्तर:
हम जानते हैं कि किसी वस्तु का द्रव्यमान ही उसके जड़त्व की माप है।

• चूँकि पत्थर का द्रव्यमान, समान आकार की रबर की गेंद के द्रव्यमान से अधिक होगा; अतः पत्थर का जड़त्व ही अधिक होगा।
• रेलगाड़ी का द्रव्यमान साइकिल के द्रव्यमान से अधिक है; अत: रेलगाड़ी का जड़त्व ही अधिक होगा।
• पाँच रुपये के सिक्के का जड़त्व एक रुपये के सिक्के से अधिक होगा।

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए उदाहरण में गेंद का वेग कितनी बार बदलता है, जानने का प्रयास की जिए-
“फुटबाल का एक खिलाड़ी गेंद पर किक लगाकर गेंद को अपनी टीम के दूसरे खिलाड़ी के पास पहुँचाता है। दूसरा खिलाड़ी उस गेंद को किक लगाकर गोल की ओर पहुँचाने का प्रयास करता है। विपक्षी टीम का गोलकीपर गेंद को पकड़ता है और अपनी टीम के खिलाड़ी की ओर किक लगाता है।”
इसके साथ ही उस कारक की भी पहचान कीजिए, जो प्रत्येक अवस्था में बल प्रदान करता है।
उत्तर:
उपर्युक्त उदाहरण में गेंद का वेग कुल तीन बार बदलता है।

• पहली बार वेग-परिवर्तन के लिए आवश्यक बल प्रदान करने वाला कारक पहले खिलाड़ी द्वारा लगाई गई किक है।
• दूसरी बार वेग-परिवर्तन के लिए आवश्यक बल, दूसरे खिलाड़ी द्वारा लगाई गई किक से प्राप्त होता है।
• तीसरी बार वेग- परिवर्तन के लिए आवश्यक बल विपक्षी टीम के गोलकीपर द्वारा लगाई गई किक से प्राप्त होता है।

प्रश्न 3.
किसी पेड़ की शाखा को तीव्रता से हिलाने पर कुछ पत्तियाँ झड़ जाती हैं, क्यों?
उत्तर:
जब किसी पेड़ की शाखाओं को जोर-जोर से हिलाया जाता है तो शाखाएँ तुरन्त ही गति की अवस्था में आ जाती हैं, जबकि उनसे जुड़ी पत्तियाँ जड़त्व के कारण, विरामावस्था में ही बनी रहती हैं। अतः इनमें से कुछ पत्तियाँ शाखाओं से अलग होकर गिर जाती हैं।

प्रश्न 4.
जब कोई गतिशील बस अचानक रुकती है तो आप आगे की ओर झुक जाते हैं, और जब विरामावस्था से गतिशील होती है तो पीछे की ओर हो जाते हैं, क्यों?
उत्तर:
ऐसा जड़त्व के कारण होता है। जब तक गाड़ी चलती रहती है तो हमारा शरीर भी गाड़ी के साथ उसी वेग से गति करता रहता है। गाड़ी के अचानक रुकने पर हमारे पैर गाड़ी के सम्पर्क में होने कारण तुरन्त विराम में आ जाते हैं, परन्तु गति जड़त्व के कारण हमारा ऊपरी शरीर आगे की ओर गति करता रहता है और हम आगे की ओर झुक जाते हैं।

जब रुकी हुई गाड़ी अचानक चलती है तो हमारे पैर तो तुरन्त गति में आ जाते हैं, परन्तु हमारा ऊपरी शरीर विराम जड़त्व के कारण विरामावस्था में बना रहता है; अतः हम पीछे की ओर झुक जाते हैं।

क्रियाकलाप 9.4. (पा. पु. पू. सं. 136)
चित्र 9.15 के अनुसार दो बच्चों को पहिये वाली गाड़ी पर खड़ा होने के लिए कहें। उन्हें बालू से भरा थैला या कोई भारी वस्तु दे दें। उन्हें थैले को लपकने के लिए कहें। गाड़ी के पहिये पर कोई सफेद रेखा खीच दें, ताकि जब वे बच्चे थैले को फेंकें तो गाड़ी की गति का अवलोकन किया जा सके।

थैले को फेंकने (क्रिया) के कारण उसमें से प्रत्येक तात्क्षणिक प्रतिक्रिया का अनुभव करें। अब दो बच्चों को किसी एक गाड़ी पर खड़ा कर दें तथा एक अन्य बच्चे को दूसरी गाड़ी पर। आप यहाँ गति के द्वितीय नियम को देख सकते हैं, क्योंकि इस अवस्था में यह बल अलग-अलग त्वरण उत्पन्न करेगा।

क्रियाकलाप 9.5. (पा. पु. पृ. सं. 137)
एक बड़े आकार का गुब्बारा लेकर इसमें पूरी तरह से हवा भरकर इसके मुँह से धागा बाँधकर किसी चिपकाने वाले टेप की सहायता से चित्र $9.17$ के अनुसार एक स्ट्रॉं लगाएँ। स्ट्रॉ के बीच से एक धागे को पार कराएँ। इसके उपरान्त गुब्बारे के मुँह पर बाँधे धागे को खोल दें।

गुब्बारे में भरी हवा उसके मुख से बाहर की ओर निकलने लगेगी तथा स्ट्रो की गति की दिशा का अवलोकन करें।

निष्कर्ष-स्ट्रॉं की दिशा हवा के निकलने की विपरीत दिशा में होगी।

क्रियाकलाप 9.6. (पा. पु. प.. सं. 138)
एक अच्छे काँच की परखनली लेकर उसमें थोड़ा पानी डालकर परखनली के मुख पर एक स्टॉप कॉर्क लगाएँ। चित्रानुसार परखनली को दो धागों के द्वारा स्टैण्ड पर क्षैतिज दिशा में लटकाएँ। अब बर्नर की सहायता

से परखनली को तब तक गर्म करें जब तक कि परखनली का पानी वाष्पित न हो जाए तथा कार्क बाहर न आ जाए।
निष्कर्ष – हम यह पाते हैं कि परखनली कार्क की गति की विपरीत दिशा में प्रक्षेपित होती है।

उदाहरण 9.6.2
kg के एक पिस्टल से 20 g द्रव्यमान की एक गोली 150ms के क्षैतिज वेग से छोड़ी जाती है। पिस्टल के पीछे हटने के वेग का परिकलन करें।
हल:
गोली का द्रव्यमान m₁ 20 ग्राम = 0.02 किग्रा
पिस्टल का द्रव्यमान m₂ = 2 किग्रा
गोली का प्रारम्भिक वेग u₁ तथा पिस्टल का प्रारम्भिक वेग u₂ क्रमशः शून्य हैं।
अर्थात्
u₁ – u₂ = 0
गोली का अन्तिम वेग v₁ = + 150 ms^-1
गोली की दिशा बाएँ से दाएँ परिपाटी के अनुसार धनात्मक (चित्र 9.19 ) ली गई है।
माना कि पिस्टल का प्रतिक्षेपित वेग v है।

गोली छूटने के पहले गोली तथा पिस्टल का कुल संवेग,
= (2 + 0.02) kg x 0 ms^-1
= 0kg ms^-1
गोली छूटने के बाद कुल संवेग
= 0.02 kg × (+ 150 ms^-1) + 2 kg x vm s^-1
= (3 + 2v) kg ms^-1
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,
गोली छूटने के बाद का कुल संवेग = गोली छूटने के पहले का कुल संवेग
3 + 2v = 0
⇒ v = – 1.5 ms^-1
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि पिस्टल गोली के विपरीत दिशा में अर्थात् दाई से बाई ओर प्रतिक्षेपित होगी।

उदाहरण 9.7.
40 kg द्रव्यमान वाली एक लड़की, 5 ms^-1 के क्षैतिज वेग से एक 3 kg द्रव्यमान वाली स्थिर गाड़ी पर कूदती है। गाड़ी के पहिये घर्षणरहित हैं। गाड़ी की गति प्रारम्भ करने की अवस्था में लड़की का वेग क्या होगा? मान लें कि क्षैतिज दिशा में कोई असन्तुलित बल कार्य नहीं कर रहा है।
हल:
लड़की और गाड़ी का लड़की के कूदने से पहले
कुल संवेग
= 40kg x 5ms^-1 + 3kg x 0 ms^-1
= 200 kgms^-1
मान लें कि लड़की के गाड़ी पर कूदने के बाद गाड़ी और लड़की का वेग लड़की का कुल संवेग है। इस अवस्था में गाड़ी तथा
= (40 + 3 ) kg x v ms^-1
= 43 v kg ms^-1
संवेग संरक्षण के नियमानुसार दोनों स्थितियों में कुल संवेग समान होंगे।
अर्थात्, 43 v = 200
⇒ v = 200/43 = + 4.65ms^-1
गाड़ी पर संवार लड़की 4-65 ms के वेग से छलाँग लगाने की दिशा में चलेगी (चित्र 9.20 )।

उदाहरण 9.8.
हॉकी की प्रतिद्वन्द्वी टीमों के दो खिलाड़ी गेंद को हिट करने के प्रयास में परस्पर टकरा जाते हैं तथा आपस में उलझ जाते हैं। पहले खिलाड़ी का द्रव्यमान 60 kg है तथा वह 5.0ms^-1 के वेग से गति में था, जबकि दूसरा खिलाड़ी जिसका द्रव्यमान 55 kg है तथा वह 6.0ms^-1 के वेग से पहले खिलाड़ी की ओर गति कर रहा था। टकराकर उलझने के बाद वे दोनों किस दिशा में किस वेग से गति करेंगे। मान लें कि दोनों खिलाड़ियों के पैर तथा पृथ्वी के बीच कार्यरत घर्षण बल नगण्य है।
हल:
मान लें कि पहला खिलाड़ी बाएँ से दाएँ दौड़ रहा है। परिपाटी के अनुसार, बाएँ से दाएँ गति की दिशा धनात्मक और दाएँ से बाएँ गति की दिशा को ऋणात्मक लेते हैं (चित्र 9. 21)। प्रतीक तथा दोनों खिलाड़ियों के क्रमश: द्रव्यमान और वेग को दर्शाते हैं। इन भौतिक राशियों पर अधोलिखित संख्याएँ तथा 2 क्रमश: प्रथम एवं द्वितीय हॉकी खिलाड़ियों को बताती हैं। अतः

m₁ = 60kg; u₁
= + 5ms^-1 तथा
m₂ = 55 kg: u₂
= – 6ms^-1
टक्कर से पहले दोनों खिलाड़ियों का कुल संवेग
= 60 kg × (+ 5ms^-1) + 55 kg x (- 6ms^-1)
= – 30kgms^-1
मान लें कि दोनों खिलाड़ियों के टकराने के बाद उलझने पर वेग v है, टक्कर के बाद कुल संवेग
= (m₁ + m₂) x v
=(60 + 55) kg x v ms^-1
= 115 x v kg ms^-1
संवेग संरक्षण के नियमानुसार टक्कर से पहले तथा बाद के संवेगों की समानता से,
v = – 30/115 = – 0.26ms^-1
अतः उलझने के बाद दोनों खिलाड़ी दाएँ से बाएँ 0.26 ms^-1 के वेग से गतिशील होंगे।

खण्ड 9.6 से सम्बन्धित पाठ्य पुस्तक के प्रश्न (पा.पु. पृ. सं. 140)

प्रश्न 1.
यदि क्रिया सदैव प्रतिक्रिया के बराबर होती है तो स्पष्ट कीजिए कि घोड़ा गाड़ी को कैसे खींच पाता है?
उत्तर:
घोड़ा गाड़ी की गति- घोड़ा गाड़ी को खींचते समय अपने पैरों से सड़क पर पीछे की ओर बल लगाता है। क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम के अनुसार सड़क भी घोड़े पर समान परिमाण का बल आगे की ओर लगाती है। इसी प्रतिक्रिया बल के कारण घोड़ा तथा उसके पीछे जुड़ी गाड़ी आगे की ओर चल पड़ते हैं। इस प्रकार घोड़ा व गाड़ी घोड़े द्वारा लगाए बल के कारण नहीं बल्कि पृथ्वी के प्रतिक्रिया बल के कारण गतिमान होते हैं।

प्रश्न 2.
एक अग्निशमन कर्मचारी को तीव्र गति से बहुतायत मात्रा में पानी फेंकने वाली रबर की नली को पकड़ने में कठिनाई क्यों होती है? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
फायर ब्रिगेड की अत्यधिक मात्रा उच्च वेग से मोटर के पाइप से पानी की निकलती है अर्थात् पाइप से निकलने वाले पानी की संवेग परिवर्तन की दर बहुत अधिक होती है। क्रिया-प्रतिक्रिया के नियम से, पाइप का संवेग भी इसी दर से विपरीत दिशा में परिवर्तित होता है। इसका अर्थ यह हुआ कि पाइप से निकलने वाला पानी पाइप पर बहुत अधिक बल आरोपित करता है जिसके कारण पाइप को सँभालना कठिन होता है।

प्रश्न 3.
एक 50 ग्राम द्रव्यमान की गोली 4 किग्रा द्रव्यमान की रायफल से 35 मीटर / सेकण्ड के प्रारम्भिक वेग से छोड़ी जाती है। रायफल के प्रारम्भिक प्रतिक्षेपित वेग की गणना कीजिए।
हल:
दिया है गोली का द्रव्यमान m₁ = 50 ग्राम = \(\frac { 50 }{ 1000 }\) किग्रा = 0.05 किग्रा।
गोली के छूटने का वेग v₁ = 35 मीटर / सेकण्ड
रायफल का द्रव्यमान m₂ = 4 किग्रा,
रायफल का प्रतिक्षेपित वेग v₂ = ?
∵ गोली में विस्फोट होने से पूर्व गोली तथा रायफल दोनों विरामावस्था में थीं,
∴ विस्फोट से पूर्व दोनों का कुल संवेग
= m₁u₁ + m₂ u₂
= m₁ x 0 + m₂ x 0 = 0 [∴ u₁ = 0, u₂ = 0]
तथा विस्फोट के बाद दोनों का संवेग
= m v₁ + m₂ v₂
= 0.05 x 35 + 4v₂
संवेग संरक्षण के नियम से, दोनों संवेगों को बराबर
रखने पर,
0.05 x 35 + 4v₂ = 0
या 4v₂ = 0.05 x 35 = – 1.75
या v₂ = – \(\frac { 1.75 }{ 4 }\)
= – 0.4375 मीटर/सेकण्ड।
ऋणात्मक चिह्न यह प्रदर्शित करता है कि रायफल गोली के विपरीत दिशा में गति करेगी।
अतः रायफल का प्रतिक्षेपित वेग = 0-4375 मीटर / सेकण्ड पीछे की ओर।

प्रश्न 4.
100 ग्राम तथा 200 ग्राम द्रव्यमान की दो वस्तुएँ एक ही रेखा के अनुदिश एक ही दिशा में क्रमश: 2 मीटर / सेकण्ड तथा 1 मीटर/सेकण्ड के वेग से गति कर रही हैं। दोनों वस्तुएँ टकरा जाती हैं। टक्कर के पश्चात् प्रथम वस्तु का वेग 1-67 मीटर/सेकण्ड हो जाता है तो दूसरी वस्तु का वेग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है द्रव्यमान m₁ = 100 ग्राम 0.1 किग्रा, m₂ = 200 ग्राम 0-2 किग्रा
टक्कर से पूर्व वेग u₁ = 2 मीटर/सेकण्ड,
u₂ = 1 मीटर/सेकण्ड
टक्कर के बाद वेग v₁ = 1.67 मीटर / सेकण्ड, v₂ = ?
टक्कर से पूर्व दोनों का संवेग = m₁ u₁ + m₂ u₂
= 0.1 × 2 + 0.2 × 1
= 0.4 किग्रा मीटर/सेकण्ड
तथा टक्कर के बाद दोनों का संवेग = m₁ v₁ + m₂ v₂
= (0.1 × 1.67 + 0.2 × 12 ) किग्रा – मीटर / सेकण्ड संवेग संरक्षण के नियम से,
टक्कर के बाद संवेग = टक्कर से पूर्व संवेग
अर्थात् 0.1 × 1.67 + 0.2 x v₂ = 0.4
या 0.2 x v₂ = 0-4 – 0.167
0.2 × v₂ = 0.233
या v₂ = \(\frac { 0.233 }{ 0.2 }\)
= 1.165 मीटर / सेकण्ड
अतः टक्कर के बाद दूसरी वस्तु का वेग 1.165 मीटर / सेकण्ड होगा।