Class 10

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ

प्रश्न 1.
7.5 सेमी. रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिए। केवल चित्र बनाइए।
हल:
AP : PB = 2 : 3 होगा।

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें BC = 12 सेमी., AB = 5 सेमी. और ∠B = 90° है। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक \(\frac{2}{3}\) हो। क्या नया त्रिभुज भी क त्रिभुज है।
हल:
रचना के चरण :

• BC = 12 सेमी. की एक रेखा खींची।
• BC के बिन्दु B से 90° का कोण बनाती हुई BX रेखाखण्ड खींची।
• रेखाखण्ड BX से AB = 5 सेमी. काटा तथा AC को मिलाया। इस प्रकार ABC प्राप्त हुआ।
• रेखाखण्ड BC के नीचे की ओर B बिन्दु से न्यून कोण बनाती हुई BY किरण खींची।
• किरण BY के तीन बराबर भाग इस प्रकार किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃।
• B₃ को C से मिलाया।
• B₂ से B₃C के समान्तर रेखा B₂B’ खींची जो BC को B’ पर मिलती है।
• B’ से AB के समान्तर रेखा A’B’ खींची जो AC से A’ पर मिलती है।

इस प्रकार ΔA’B’C, अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

औचित्य (उपपत्ति) : ΔBB’B₂ तथा ΔBCB₃ में
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BB₂B’ = ∠BB₃C (रचना से)
ΔBB’B₂ ~ ΔBCB₃ (AA समरूपता कसौटी से)
\(\frac{B B^{\prime}}{B C}=\frac{B B_2}{B B_3}\)
(समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है)

∠A’BC = ∠ABC = 90° (रचना से)
अतः ΔA’B’C की भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) गुनी होंगी तथा ΔA’B’ C समकोण Δ होगी।

प्रश्न 3.
3 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 5 सेमी. त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी विन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए।
हल:
दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु माना P दिया गया है।

रचना के चरण :

• 3 सेमी त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
• केन्द्र O से 5 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु P लिया।
• रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
• बिन्दु M को लेकर MP त्रिज्या का एक वृत खींचा जो केन्द्र O के 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को T₁ और T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
• PT₁ और PT₂ को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

उपपत्ति: हम जानते हैं स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
OT₁ तथा OT₂ को मिलाया, OP वृत्त का व्यास है।
∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
OT1 ⊥ PT1 तथा OT2 ⊥ PT2
अत: PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
लम्बाई मापने पर-
परिकलन : स्पर्श रेखा

प्रश्न 4.
8 सेमी. लम्बी एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या पर एक वृत्त बनाइये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्मों की रचना कीजिए एवम् उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल:
रचना के चरण :

• 8 सेमी. लम्बाई का AB रेखाखण्ड खींचा।
• AB के A बिन्दु से 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
• AB का समद्विभाजक खींचा तथा समद्विभाजक बिन्दु को M अंकित किया।
• M को केन्द्र मानकर MA त्रिज्या का वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को T₁ तथा T₂ पर काटता है।
• BT₁ तथा BT₂ को मिलाया BT₁ तथा BT₂ अभीष्ट रेखाएँ हैं। नापने पर स्पर्श रेखाओं की लम्बाई = 6.93 सेमी।

औचित्य (उपपत्ति) : AT₁ तथा AT₂ को मिलाया।
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अत: ∠AT₁B = ∠AT₂B = 90°
AB, M केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है।
∠AT₁B = ∠AT₂B = 90°
(अर्द्धवृत्त में बनी कोण समकोण होता है)
अत: BT₁ तथा BT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 5.
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिये गये त्रिभुज की संगत भुजा की \(\frac{3}{5}\) गुनी हो।
हल:
माना ΔABC है जिसमें AB = 5 सेमी, AC = 4 सेमी, BC = 6 सेमी।

रचना के चरण :

• एक रेखाखण्ड BC 6 सेमी खींचा।
• B को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाया।
• C को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो पहले चाप को A बिन्दु पर काटता है।
• AB और AC को मिलाया ΔABC वांछित त्रिभुज है।
• आधार BC के नीचे की ओर कोई न्यून कोण बनाती BX किरण खींची।
• BX किरण के पाँच बराबर भाग इस प्रकार किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅
• B₅C को मिलाया। B₃ से B5C के समान्तर B₃C’ रेखा खींची जो B₃ से C’ पर मिलती है।
• C’ से AC के समान्तर A’C’ रेखा खींची जो AB को A’ पर मिलती है।

अतः A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज होगा।

औचित्य (उपपत्ति) : ΔBB₃C तथा BB₅C में
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BB₃C’ = ∠BB₅C (रचना से)
ΔBB₃C’ ~ ΔBB₅C (AA समरूपता कसौटी से)
\(\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_3}{B B_5}\)
[समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं]

A’B = \(\frac{3}{5}\)AB, A’C’ = \(\frac{3}{5}\)AC तथा BC’ = \(\frac{3}{5}\)BC
अत: ΔA’BC’ की भुजाएँ ABC की संगत भुजाओं \(\frac{3}{5}\) की हुँ गुनी होंगी।

प्रश्न 6.
त्रिज्या 5 सेमी का वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 13 सेमी दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएं खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापिए तथा गणना करो व औचित्य भी दीजिए।
हल:
रचना के चरण :

• सर्वप्रथम 5 सेमी का वृत्त खींचा जिसका केन्द्र O है।
• बिन्दु ‘O’ से 13 सेमी दूरी पर बिन्दु P लिया, OP को मिलाया।
• PO को सम द्विभाजित किया सम द्विभाजक को M अंकित है।
• M केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को A और B बिन्दुओं पर काटता है।
• PA और PB को मिलाया अतः PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श रेखा को नापने पर लम्बाई = 12 सेमी हैं।

गणना द्वारा लम्बाई ज्ञात करना : ΔPOA में,
∠PAO = 90° (प्रमेय 10.1 से)
अत: ΔPOA एक समकोण त्रिभुज है, अत: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
PO² = AO² + PA²
PA² = PO² + AO²
= (13)² – (5)²
= 169 – 25
PA = 144
PA = \(\sqrt{144}\)
= 12 सेमी
अतः नापने और गणना द्वारा स्पर्श रेखाओं की लम्बाई 12 सेमी।

औचित्य (उपपत्ति) :
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती हैं।
अतः ∠PAO = 90° तथा ∠PBO = 90°
∵ OA, OB की मिलाया, OP वृत्त का व्यास हैं।
∠PAO व ∠PBO अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠PAO = 90°, ∠PBO = 90°
अत: PA व PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 7.
4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस पर स्पर्श रेखाओं के ऐसे युग्म की रचना कीजिए कि इनके बीच का कोण 60° हो। रचना का औचित्य भी दीजिए। वृत्त के केन्द्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के बीच की दूरी को मापिये।
हल:
रचना के चरण :

• O को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या वाला वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचा।
• त्रिज्या AO के बिन्दु O पर 60° का कोण बनाती हुई एक रेखा OC खींची जो वृत्त को C बिन्दु पर काटती है।
• OC रेखाखण्ड के बिन्दु C से 90° का कोण बनाती हुई स्पर्श रेखा खींची।
• OB के बिन्दु B से 90° का कोण बनाती हुई दूसरी स्पर्श रेखा खींची जो पहली स्पर्श रेखा को D बिन्दु पर मिलती है।

अत: CD तथा BD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ 60″ का कोण बनाती है। मापने पर केन्द्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के बीच की दूरी = 8 सेमी.।
औचित्य (उपपत्ति) :
∠AOC + ∠BOC = 180° (रैखिक समीकरण युग्म)
⇒ 60° + ∠BOC = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 60° = 120°
∵ OB तथा OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं तथा CD व BD वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠OCD = ∠OBD = 90° (प्रमेय 10.1 से)
अब ∠BOC + ∠OCD + ∠BDC + ∠OBD = 360°
⇒ 120° + 90° + ∠BDC + 90° = 360°
⇒ 300° + ∠BDC = 360°
⇒ ∠BDC = 360° – 300°
= 60°
अंतः CD व BD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 8.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त की रचना कीजिए। वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से केन्द्र का उपयोग किए बिना वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए तथा औचित्य भी दीजिए।
हल:
दिया है : एक वृत्त और इसका बाह्य बिन्द P हैं। वृत का केन्द्र अज्ञात है।
रचना के चरण :

•  वृत्त की छेदक रेखा PAB खींची।
• PB को समद्विभाजित किया और इसके मध्य-बिन्दु M से MP = MB त्रिज्या का अर्द्धवृत खींचा।
• बिन्दु A पर लम्ब AC खींचा जो अर्द्ध वृत्त को C बिन्दु पर मिलता है।
• P को केन्द्र मानकर PC त्रिज्या के चाप खींचे जो वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• PR और PQ को मिलाया। अब PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : PB को व्यास मानकर अर्द्धवृत PCB खींचा और PB के बिन्दु A पर AC ⊥ PB पर,
PC² = PA.PB
(∵ PC त्रिज्या के चाप R व Q हैं)
∴ PR² = PA.PB (PC = PR = PQ)
PQ² = PA.PB
अत: PR और PQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 9.
4.5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएं खींचिए जो परस्पर 45° का कोण बनाती हों। औचित्य भी दीजिए।
हल:
रचना के चरण :

• O को केन्द्र मानकर 4.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचा।
• बिन्दु O पर OA से 45° का कोण बनाती हुई एक रेखा OC खींची जो वृत्त को C बिन्दु पर काटती है।
• बिन्दु B पर OB के लम्बवत् रेखा खींची तथा विन्दु C पर OC के लम्बवत् एक रेखा खींची। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को P बिन्दु पर काटती हैं।

अत: PB और PC वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक-दूसरे से 45° का कोण बनाती हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : माना वृत्त का केन्द्र O है। PB व PC स्पर्श रेखाएँ हैं।
इनके बीच का कोण BPC = 45° है।
∠BOC = 180° – 45° = 135°
∠AOC = 180° – ∠BOC (रैखिक समीकरण युग्म से)
= 180° – 135°
= 45°.

प्रश्न 10.
8.5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल:
केन्द्र A से 5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा गया है तथा B को केन्द्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा गया है।
रचना के चरण :

• सर्वप्रथम AB रेखाखण्ड 8.5 सेमी खींचा।
• A को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केन्द्र B से 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
• रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक किया जो कि AB को M बिन्दु पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर MA त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो 4 केन्द्र वाले वृत्त को S वT बिन्दुओं पर तथा B केन्द्र वाले वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर काटता है।
• SB, TB, PA व QA को मिलाया।

अत: SB और TB केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा PA और QA केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : ∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∠ASB = ∠ATB = 90°
और ∠APB = ∠AQB = 90°
M केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB है।
∠ASB, ∠ATB अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠ASB = 90°, ∠ATB = 90°.
∴ SB और TB केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसी प्रकार ∠APB और ∠AQB अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠APB = 90°, ∠AQB = 90°,
∴ PA और QA केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 11.
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) की गुनी हों।
हल:
रचना के चरण :

• एक रेखाखण्ड BC = 5 सेमी खींचिए।
• बिन्दु B को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या लेकर लगाइए।
• इसी प्रकार, बिन्दु C को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या एक अन्य चाप लगाइए, जो बिन्दु B से लगे चाप के है। यह प्रतिच्छेदित बिन्दु A है।
• A से C को मिलाइये। अतः एक समबाहु त्रिभुज BC रचना हो गई।
• BC से शीर्ष A के दूसरी ओर न्यूनकोण बनाती किरण XY खींचिए।
• 3 बिन्दु B₁, B₂, B₃ किरण BY पर इस प्रकार कीजिए कि BB₁ = BB₂ = B₂B₃ है।
• B₃ को C से मिलाइए।
• बिन्दु B₂ से, B₂D || B₃C खींचिए।
• बिन्दु D से, DE || CA खींचिए।
  तब ΔEBD अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज की संगत भुजाओं \(\frac{2}{3}\) की गुनी है।

प्रश्न 12.
2 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर 5 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्री वृत्त खींचिए। बाह्य वृत्त पर लिए गए एक बिन्दु P में छोटे वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए। PA की लम्बाई मापिए।
हल:
रचना के चरण :

• एक 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। अब इस O से एक 5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
• बाह्य वृत्त पर बिन्दु P लेकर उसे केन्द्र O से मिलाइये।
• अब OP का लम्ब अर्द्धक खींचिए, जो OP को M पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर तथा OM त्रिज्या से वृत्त खींचिए जो अंतः वृत्त को बिन्दु A व B परकाटता है।
• बिन्दु A व B को बिन्दु P से मिलाइए। PA तथा PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। PA = 4.5 सेमी।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें भुजा BC = 6 सेमी ∠B = 45° तथा ∠A = 105° हो, तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों।
हल:
रचना के चरण :
(1) एक रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचिए।
(2) बिन्दु B पर ∠B 45° बनाया।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 150°
∠C = 30°
(3) बिन्दु C पर ∠C = 30° बनाया। दोनों किरणें 4 पर काटती हैं। इस प्रकार ΔABC प्राप्त होता है।
(4) BC पर न्यून कोण बनाती एक किरण BX खींचिए।
(5) बिन्दुओं B₁, B₂, B₃ और B₄ को इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = BB₂ = B₂B₃ = B₃B₄

(6) B₂C को मिलाइए।
(7) B₄ में होती हुई रेखा B₄C || B₃ खींचिए।
(∠BB₃C = ∠BB₄C
(8) C में होती हुई रेखा C₄‘A’ || AC खींचिए।
(∠BCA = ∠BC’A)
अत: ΔA’BC’ एक अभीष्ट त्रिभुज हैं।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें भूजा BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो। तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों।
हल:
BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105°
∠C = 180° – ( ∠B + ∠A)
= 180° – (45° + 105°)
= 180° – 150°
= 30°
रचना के चरण :

• BC = 7 सेमी की रेखा खींचे।
• बिंदु B पर 45° तथा बिंदु C पर 30° का कोण बनाएँ। यह एक दूसरे को पर काटते हैं।
• बिंदु B पर एक न्यून कोण बनाएँ।
• कोण किरण को चार सामान भागों B₁, B₂, B₃ और B₄ पर विभाजित किया।
• B₄ को C पर मिलाएँ।
• बिंदु B₃ मैं रेखा B₄C के समानान्तर रेखा बनाये जो BC को C’ पर काटती है।
• C से AC के समानान्तर CA’ रेखा खींची जो AB को A’ पर काटती है।
• ΔA’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है। जिसमें A’B = \(\frac{3}{4}\)AB.

प्रश्न 15.
आधार 5 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं का \(\frac{2}{3}\) गुना हो।
हल:
रचना के चरण :

• BC = 8 सेमी खींचें।
• BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक XY खींचा जां BC को M पर काटता है।
• XM पर MA = 4 सेमी काटा, तब BA और CA को मिलाया जिसमें ΔABC प्राप्त हुआ।
• बिन्दु B पर एक न्यूनकोण बनाया तथा उस पर तीन चाप B₁, B₂ और B₃ बनाए।
• B₃C मिलाया और B₂ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जी BC को C’ पर काटती है।
• C’ से A’C’ || AC खींची।
• अत: A’C’B अभीष्ट त्रिभुज है।

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

भूमिका :
द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है। अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाती है। जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के तुल्य कर देते हैं, तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होती है। जैसे- p(x) = ax² + bx + c; a ≠ 0. एक द्विघात बहुपद है। यदि p(x) = 0 कर दें, तो ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 द्विघात समीकरण कहलाती है।
(1) द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): वह बहुपद जिसकी घात 2 हो द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात का व्यापक रूप ax² + bx + c है। जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, a ≠ 0 तथा x एक चर है।
(2) समीकरण (Equation): किसी बहुपद को शून्य के बराबर करने से प्राप्त रैखिक व्यंजक को एक समीकरण कहते हैं। बराबर चिन्ह द्वारा इसे दो भागों में बाँटा जा सकता है। बायाँ पक्ष को L.H.S. तथा दायाँ पक्ष को R.H.S. कहते हैं।
उदाहरणार्थं- (i) x + 5 = 0 (रैखिक समीकरण)
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
(ii) 2y² + 3y + 4 = 0 (द्विघात समीकरण)
(3) समीकरण के मूल (Roots of an equation): एक वास्तविक संख्या (a), समीकरण P(x) = 0 का एक मूल कहलाती है। यदि P(a) = 0 यदि P(x) = 0 एक द्विघात समीकरण हो, तो बहुपद P(x) के शून्यक समीकरण P(x) = 0 के मूल कहलाते हैं।
(4) काल्पनिक मूल (Imaginary roots ) : यदि किसी समीकरण के मूल वास्तविक संख्याएँ न हों तो उन्हें हम काल्पनिक मूल कहेंगे।
(5) चाल = दूरी / समय
(6) दूरी = चाल × समय
(7) समय = दूरी / चाल

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) :
दो घात की बहुपदीय समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं व्यापक रूप में इसे इस प्रकार से व्यक्त किया जाता है, ax² + bx + c = 0; जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠ 0
व्यापक द्विघात समीकरण में x² का गुणांक a, x का गुणांक b तथा c स्वतन्त्र अचर होता है।
3x² + x – 2 = 0, x² – 2x + 1 = 0; 4x² + 4x + 1 = 0 आदि द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण हैं।

द्विघात समीकरण के मूल (Roots of a Quadratic Equation) : यदि संख्याएँ α और β द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक हों अर्थात् यदि संख्याएँ α तथा β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को सन्तुष्ट करती हों, तब c तथा द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, द्विघाती बहुपद P(x) = x² – x – 2 में
x = 2 रखने पर, P(2) = (2)² – (2) – 2 = 4 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0
x = – 1 रखने पर, P(-1) = (-1)² – (-1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
∴ 2 और -1 बहुपद के शून्यक हैं।
अतः 2 और -1 द्विघात समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल कहलायेंगे।
टिप्पणी- (i) उपर्युक्त उदाहरण में 2 और -1 समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल हैं, शून्यक नहीं।
(ii) शून्यर्कों का सम्बन्ध बहुपद से होता है जबकि मूलों का सम्बन्ध समीकरण से होता है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ :
द्विघात समीकरण को निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा हल अर्थात् मूल ज्ञात किये जाते हैं-
(i) गुणनखण्ड विधि,
(ii) पूर्ण वर्ग बनाकर,
(iii) श्रीधर आचार्य सूत्र विधि द्वारा।

गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना :
(1) समीकरण को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि ‘=’ चिन्ह के दायीं ओर केवल शून्य तथा बाय और समीकरण के शेष सभी पद हों।
(2) बाई ओर के व्यंजक के रैखिक गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं।
(3) अन्त में, प्रत्येक गुणनखण्ड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखकर अज्ञात राशि के मान ज्ञात करते हैं जो समीकरण के अभीष्ट हल होते है।

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल :
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर निम्नलिखित चरणों में हल किया जाता है:
(i) समीकरण में चर x सम्बन्धी सभी पदों को बाय ओर रखकर अचर पद को दायीं ओर रखते हैं।
(ii) x² के गुणांक (यदि कोई हों) से दोनों पक्षों को भाग करते हैं ताकि x² का गुणांक 1 (इकाई) बन जाए।
(iii) दोनों पक्षों में,
x के गुणांक के आधे का वर्ग अर्थात् जोड़ने पर बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
(iv) अन्त में दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर के मान ज्ञात करते हैं।

द्विघात समीकरण का श्रीधराचार्य विधि द्वारा हल :
हिन्दू गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र दिया है। इसकी स्थापना एवं विवेचना आगे दी गई है।
माना समीकरण है : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (दोनों पक्षों में a का भाग देने पर)
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x = –\(\frac{c}{a}\)
अब x के गुणांक (\(\frac{b}{a}\)) के आधे (\(\frac{b}{2 a}\)) के वर्ग (\(\frac{b}{2 a}\))² = \(\frac{b^2}{4 a^2}\) को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

श्रीधराचार्य सूत्र की निम्न प्रकार से व्याख्या की जा सकती है :

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) कहते हैं।

मूलों की प्रकति :
विविक्तकर (Discriminant) राशि b² – 4ac द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 की विविक्तकर कहलाती है। इसे संकेत Δ या D द्वारा व्यक्त किया गया है।
अत: D = b² – 4ac;
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति : द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के विविक्तकर D = b² – 4ac के विभिन्न प्रकार के मानों के अनुरूप द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्न प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है:
(i) यदि D = b² – 4ac > 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक एवं पृथक्-पृथक् होंगे, अर्थात् यदि α और β दो मूल हों तो α = \(\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
तथा β = \(\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
(ii) यदि D = b² – 4ac = 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे अर्थात् α = \(-\frac{b}{2 a}\) = β
(iii) D = b² – 4ac < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् दोनों मूल काल्पनिक होंगे।
अर्थात् द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 के मूलों की प्रकृति उसके विविक्तकर D = b² – 4ac के मान पर निम्नवत् निर्भर करती है-

विविक्तकर D = b2 – 4ac	मूलों की प्रकृति
धनात्मक तथा पूर्ण वर्ग	वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न
धनात्मक (> 0)	वास्तविक, अपरिमेय तथा भिन्न
ऋणात्मक (< 0)	अधिकल्पित अर्थात् वास्तविक नहीं
शून्य (0)	वास्तविक परिमेय और समान

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.3

Question 1.
Solve the following pair of linear equations by the substitution method:
1. x + y = 14
x – y = 4
2. s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
3. 3x – y = 3
9x – 3y = 9
4. 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5 y = 2.3
5. \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)3y = 0
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0
6. \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
Solution:
1. x + y = 14 ……….(1)
x – y = 4 ……..(2)
From equation (1), we get y = 14 – x.
Substituting y = 14 – x in equation (2).
we get
x – (14 – x) = 4
∴ x – 14 + x = 4
∴ 2x = 4 + 14
∴ 2x = 18
∴ x = 9
Substituting x = 9 in equation (1), we get
9 + y = 14
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 9, y = 5.
Verification: x + y = 9 + 5 = 14 and x – y = 9 – 5 = 4.
Hence, the solution is verified.

2. s – t = 3 ……….(1)
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\) ……..(2)
From equation (1), we get s = t + 3.
Substituting s = t + 3 in equation (2),
we get
\(\frac{t+3}{3}+\frac{t}{2}=6\)
∴ 2 (t + 3) + 3t = 36 (Multiplying by 6)
∴ 2t + 6 + 3t = 36
∴ 5t = 30
∴ t = 6
Substituting t = 6 in equation (1), we get s – 6 = 3
∴ s = 9
Thus, the solution of the given pair of linear equations is s = 9, t = 6.
Verification: s – t = 9 – 6 = 3 and
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=\frac{9}{3}+\frac{6}{2}=6\)
Hence, the solution is verified.

3. 3x – y = 3 ……….(1)
9x – 3y = 9 ……….(2)
From equation (1), we get y = 3x – 3.
Substituting y = 3x – 3 in equation (2).
we get
9x – 3(3x – 3) = 9
∴ 9x – 9x + 9 = 9
∴ 9 = 9
Here, we do not get the value of x, but we get a true statement 9 = 9.
Hence, the given pair of linear equations has infinitely many solutions given by y = 3x – 3, where x is any real number.

4. 0.2x + 0.3y = 1.3 ……….(1)
0.4x + 0.5y = 2.3 ……….(2)
Not mandatory, but for convenience we multiply both the equations by 10 and get equations with integer coefficients as:
2x + 3y = 13 ……(3)
4x + 5y = 23 ……..(4)
From equation (3), we get x = \(\frac{13-3 y}{2}\).
Substituting x = \(\frac{13-3 y}{2}\) in equation (4),
we get
4(\(\frac{13-3 y}{2}\)) + 5y = 23
∴ 26 – 6y + 5y = 23
∴ -y = -3
∴ y = 3
Substituting y = 3 in x = \(\frac{13-3 y}{2}\)
x = \(\frac{13-3(3)}{2}\)
∴ x = \(\frac{4}{2}\)
∴ x = 2
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 3.
Verification:
0.2x + 0.3y = (0.2) (2) + (0.3) (3) = 1.3 and
0.4x + 0.5y = (0.4) (2) = (0.5) (3) = 2.3.
Hence, the solution is verified.

5. \(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{3}\)y = 0 ……….(1)
\(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{8}\)y = 0 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y.
Substituting x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y in equation (1),
we get
\(\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} y\right)+\sqrt{3} y=0\)
∴ \(\frac{4}{\sqrt{3}} y+\sqrt{3} y=0\)
∴ \(y\left(\frac{4}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)=0\)
∴ y = 0
Substituting y = 0 in x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y, we get
x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)(0)
∴ x = 0
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 0, y = 0.

6. \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}=-2\) ……….(1)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\) ……….(2)
Not mandatory, but for convenience we multiply both the equations by 6 and get
9x – 10y = – 12 ……….(3)
2x + 3y = 13 ……….(4)
From equation (3), we get x = \(\frac{10 y-12}{9}\).
Substituting x = \(\frac{10 y-12}{9}\) in equation (4).
we get
2(\(\frac{10 y-12}{9}\)) + 3y = 13
∴ 2(10y – 12) + 27y = 117 (Multiplying by 9)
∴ 20y – 24 + 27y = 117
∴ 47y = 141
∴ y = 3
Substituting y = 3 in x = \(\frac{10 y-12}{9}\), we get
x = \(\frac{10(3)-12}{9}\)
∴ x = \(\frac{18}{9}\)
∴ x = 2
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 3.

Question 2.
Solve 2x + 3y = 11 and 2x – 4y = -24 and hence find the value of ‘m’ for which y = mx +3.
Solution:
2x + 3y = 11 …..(1)
2x – 4y = -24 …..(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{4 y-24}{2}\) = 2y – 12.
Substituting x = 2y – 12 in equation (1), we get
2 (2y – 12) + 3y = 11
∴ 4y – 24 + 3y = 11
∴ 7y = 35
∴ y = 5
Substituting y = 5 in x = 2y – 12, we get
x = 2(5) – 12
∴ x = 10 – 12
∴ x = -2
Now, for x = -2 and y = 5, y = mx + 3 gives
5 = m(-2) + 3
∴ 5 = -2m + 3
∴ 2m = 3 – 5
∴ 2m = -2
∴ m = -1
Thus, the solution of the given pair of equations is x = -2, y = 5 and m = -1 satisfies y = mx +3.

Form the pair of linear equations for the following problems and find their solution by substitution method:

Question 1.
The difference between two numbers is 26 and one number is three times the other. Find them.
Solution:
Let the greater number be x and the smaller number be y
Then, from the given information, we get the following pair of linear equations:
x – y = 26 ……….(1)
x = 3y ………….(2)
Substituting x = 3y in equation (1).
we get
3y – y = 26
∴ 2y = 26
∴ y = 13
Then, x = 3y gives x = 3 × 13 = 39.
Thus, the required numbers are 39 and 13.
Verification: The difference of numbers = 39 – 13 = 26 and 39 = three times 13.

Question 2.
The larger of two supplementary angles exceeds the smaller by 18 degrees. Find them.
Solution:
Let the measure (in degrees) of the greater angle be x and that of the smaller angle be y.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
x + y = 180 ……….(1)
x – y = 18 ………….(2)
From equation (2), we get x = y + 18.
Substituting x = y + 18 in equation (1).
we get
y + 18 + y = 180
∴ 2y = 162
∴ y = 81
Substituting y = 81 in equation (2), we get
x – 81 = 18
∴ x = 99
Thus, the measures (in degrees) of the given angles are 99 and 81.
Verification: Larger angle-Smaller angle = 99° – 81° = 18° and Larger angle + Smaller angle = 99° + 81° = 180°, i.e., the angles are supplementary angles.

Question 3.
The coach of a cricket team buys 7 bats and 6 balls for ₹ 3800. Later, she buys 3 bats and 5 balls for ₹ 1750. Find the cost of each bat and each ball.
Solution:
Let the cost of each bat be ₹ x and the cost of each ball be ₹ y.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
7x + 6y = 3800 ……….(1)
3x + 5y = 1750 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{1750-5 y}{3}\)
Substituting x = \(\frac{1750-5 y}{3}\) in equation (1) we get
7(\(\frac{1750-5 y}{3}\)) + 6y = 3800
∴ 7(1750 – 5y) + 18y = 11400 (Multiplying by 3)
∴ 12250 – 35y + 18y = 11400
∴ -17y = 11400 – 12250
∴ -17y = -850
∴ 17y = 850
∴ y = 50
Substituting y = 50 in x = \(\frac{1750-5 y}{3}\), we get
x = \(\frac{1750-5(50)}{3}\)
∴ x = \(\frac{1500}{3}\)
∴ x = 500
Thus, the cost of each bat is ₹ 500 and the cost of each ball is ₹ 50.
Verification:
Cost of 7 bats and 6 balls = 7 × 500 + 6 × 50 = ₹ 3800
Cost of 3 bats and 5 balls = 3 × 500 + 5 × 50 = ₹ 1750

Question 4.
The taxi charges in a city consist of a fixed charge together with the charge for the distance covered. For a distance of 10 km, the charge paid is ₹ 105 and for a journey of 15 km. the charge paid is ₹ 155. What are the fixed charges and the charge per km? How much does a person have to pay for travelling a distance of 25 km?
Solution:
Let the fixed charge be ₹ x and the charge for the distance covered be ₹ y per km.
Then, from the given data, we get the following pair of linear equations:
x + 10y = 105 ……….(1)
x + 15y = 155 ……….(2)
From equation (1), we get x = 105 – 10y.
Substituting x = 105 – 10y in equation (2), we get
(105 – 10y) + 15y = 155
∴ 105 + 5y = 155
∴ 5y = 50
∴ y = 10
Substituting y = 10 in x = 105 – 10y.
we get
x = 105 – 10(10)
∴ x = 5
Thus, the fixed charge is ₹ 5 and the charge for the distance covered is ₹ 10 per km.
So, the total charge a person has to pay for travelling d km, is given by
Total charge = ₹(5 + 10d)
∴ Total charge to be paid for travelling 25 km = ₹ (5 + 10 × 25) = ₹ 255.

Question 5.
A fraction becomes \(\frac{9}{11}\), if 2 is added to both the numerator and the denominator. If, 3 is added to both the numerator and the denominator it becomes \(\frac{5}{6}\). Find the fraction.
Solution:
Let the numerator of the fraction be x and the denominator of the fraction be y.
Then, the required fraction is \(\frac{x}{y}\)
Then, from the given data, we get the following pair of equations:
\(\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}\)
∴ 11(x + 2) = 9(y + 2)
∴ 11x + 22 = 9y + 18
∴ 11x – 9y = -4 is the first linear equation derived from the data.
Similarly, \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}\)
∴ 6x + 18 = 5y + 15
∴ 6x – 5y = -3 is the second linear equation derived from the data.
Hence, required pair of linear equations is as follows:
11x – 9y = -4 ……….(1)
6x – 5y = -3 ……….(2)
From equation (2), we get x = \(\frac{5 y-3}{6}\)
Substituting x = \(\frac{5 y-3}{6}\) in equation (1),
we get
11(\(\frac{5 y-3}{6}\)) – 9y = -4
∴ 11 (5y – 3) – 54y = -24 (Multiplying by 6)
∴ 55y – 33 – 54y = -24
∴ y = 9
Substituting y = 9 in x = \(\frac{5 y-3}{6}\), we get
x = \(\frac{5(9)-3}{6}\)
∴ x = \(\frac{42}{6}\)
∴ x = 7
Thus, the required fraction is \(\frac{7}{9}\)
Verification:
\(\frac{7+2}{9+2}=\frac{9}{11}\) and \(\frac{7+3}{9+3}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)

Question 6.
Five years hence, the age of Jacob will be three times that of his son. Five years ago, Jacob’s age was seven times that of his son. What are their present ages?
Solution:
Let the present age of Jacob be x years and the present age of his son be y years.
∴ Five years hence, the age of Jacob will be (x + 5) years and the age of his son will be (y + 5) years.
Then, from the given data,
(x + 5) = 3(y + 5)
∴ x + 5 = 3y + 15
∴ x – 3y = 10
Again, five years ago, the age of Jacob was (x – 5) years and the age of his son was (y – 5) years.
Then, from the given data,
(x – 5) = 7(y – 5)
∴ x – 5 = 7y – 35
∴ x – 7y = -30
Hence, the required pair of linear equations is as follows:
x – 3y = 10 ……….(1)
x – 7y = -30 ……….(2)
From equation (2), we get x = 7y – 30.
Substituting x = 7y – 30 in equation (1).
we get
7y – 30 – 3y = 10
∴ 4y = 40
∴ y = 10
Substituting y = 10 in x = 7y – 30, we get
x = 7(10) – 30
∴ x = 40
Thus, the present ages of Jacob and his son are 40 years and 10 years respectively.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Exercise 2.2

Question 1.
Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients :
1. x² – 2x – 8
2. 4s² – 4s + 1
3. 6x² – 3 – 7x
4. 4u² + 8u
5. t² – 15
6. 3x² – x – 4
Solution:
1. x² – 2x – 8 = x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4) + 2(x – 4)
= (x – 4)(x + 2)
So, the value of x² – 2x – 8 is zero, when
x – 4 = 0 or x + 2 = 0, i.e., when x = 4 or x = -2.
Hence, the zeroes of polynomial x² – 2x – 8 are 4 and -2.
Now,
Sum of zeroes = 4 + (-2)
= 2
= \(\frac{-(-2)}{1}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } x)}{\text { Coefficient of } x^2}\)
and Product of zeroes = (4) (-2)
= -8
= \(\frac{-8}{1}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^2}\)

2. 4s² – 4s + 1 = 4s² – 2s – 2s + 1
= 2s (2s – 1) -1 (2s – 1)
= (2s – 1)(2s – 1)
So, the value of 4s² – 4s + 1 is zero, when \(\frac{1}{2}\) or
s = \(\frac{1}{2}\)
2s – 1 = 0 or 2s – 1 = 0, i.e., when s = 2
Hence, the zeroes of polynomial 4s² – 4s + 1 are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{2}\) (both equal).
Now,

3. 6x² – 3 – 7x = 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3)(3x + 1)
So, 6x² – 3 – 7x = 0 when 2x – 3 = 0 or 3x + 1 = 0,
i.e., when x = \(\frac{3}{2}\) or x = –\(\frac{1}{3}\).
Hence, the zeroes of polynomial 6x² – 3 – 7x are \(\frac{3}{2}\) and –\(\frac{1}{3}\).
Now,

4. 4u² + 8u = 4u (u + 2)
So, 4u² + 8u = 0 when 4u = 0 or u + 2 = 0,
i.e., when u = 0 or u = -2.
Hence, the zeroes of polynomial 4u² + 8u are 0 and -2.
Now,
Sum of zeroes = 0 + (-2)
= -2
= \(\frac{-(8)}{4}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } u)}{\text { Coefficient of } u^2}\)
and
Product of zeroes = (0)(-2) = 0
= \(\frac{0}{4}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } u^2}\)
Note: In polynomial
4u² + 8u = 4u² + 8u + 0, the constant term is 0.

5. t² – 15 = (t)² – (\(\sqrt{15}\))²
= (t + \(\sqrt{15}\)) (t – \(\sqrt{15}\))
So, t² – 15 = 0 when t + \(\sqrt{15}\) = 0 or
t – 15 = 0, i.e., when t = –\(\sqrt{15}\) or t = \(\sqrt{15}\).
Hence, the zeroes of polynomial t² – 15 are –\(\sqrt{15}\) and \(\sqrt{15}\).
Now,
Sum of zeroes = (\(-\sqrt{15}\)) + (\(\sqrt{15}\))
= 0
= \(\frac{-0}{1}\)
= \(\frac{-(\text { Coefficient of } t)}{\text { Coefficient of } t^2}\)
and
Product of zeroes = (\(\sqrt{15}\)) (\(\sqrt{15}\))
= -15
= \(\frac{-15}{1}\)
= \(\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } t^2}\)
Note: In polynomial t² – 15 = t² + 0t – 15, the coefficient of t is 0.

6. 3x² – x – 4 = 3x² + 3x – 4x – 4
= 3x(x + 1) – 4(x + 1)
= (x + 1)(3x – 4)
So, 3x² – x – 4 = 0 when x + 1 = 0 or 3x – 4 = 0, i.e., when x = -1 or x = \(\frac{4}{3}\)
Hence. -1 and \(\frac{4}{3}\) are the zeroes of polynomial 3x² – x – 4.
Now,

Question 2.
Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively:
1. \(\frac{1}{4}\), -1
2. \(\sqrt{2}\), \(\frac{1}{3}\)
3. 0, \(\sqrt{5}\)
4. 1, 1
5. \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
6. 4, 1
Solution:
1. \(\frac{1}{4}\), -1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = -1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 4, then b = -1 and c = -4.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 4x² – x – 4.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(4x² – x – 4), where k is a non-zero real number.

2. \(\sqrt{2}\), \(\frac{1}{3}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(\sqrt{2}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 3, then b = -3\(\sqrt{2}\) and c = 1
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 3x² – 3\(\sqrt{2}\)x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(3x² – 3\(\sqrt{2}\)x + 1).
where k is a non-zero real number.

3. 0, \(\sqrt{5}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given, α + β = 0 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\sqrt{5}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = 0 and c = \(\sqrt{5}\).
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² + \(\sqrt{5}\).
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² + \(\sqrt{5}\)), where k is a non-zero real number.

4. 1, 1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given.
α + β = 1 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = -1 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² – x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² – x + 1), where k is a non-zero real number.

5. \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given,
α + β = \(-\frac{1}{4}\) = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{c}{a}\)
If a = 4, then b = 1 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is 4x² + x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(4x² + x + 1), where k is a non-zero real number.

6. 4, 1
Let the quadratic polynomial be ax² + bx + c and its zeroes be α and β.
Then, as per given.
α + β = 4 = \(\frac{-b}{a}\)
and αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
If a = 1, then b = -4 and c = 1.
So, one quadratic polynomial satisfying the given condition is x² – 4x + 1.
In general, a quadratic polynomial satisfying the given condition is k(x² – 4x + 1), where k is a non-zero real number.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.1

Question 1.
Aftab tells his daughter, “Seven years ago, I was seven times as old as you were then. Also, three years from now, I shall be three times as old as you will be.” (Isn’t this interesting ?) Represent this situation algebraically and graphically.
Solution:
Let the present age of Aftab be x years and the present age of his daughter be y years. Then, seven years ago, the age of Aftab was x – 7 years and the age of his daughter was y – 7 years.
So, from the given data.
x – 7 = 7(y – 7)
∴ x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 …….. (1)
Similarly, three years from now, the age of Aftab will be x + 3 years and the age of his daughter will be y + 3 year.
So, according to the given data,
x + 3 = 3(y + 3)
∴ x + 3 = 3y + 9
∴ x – 3y – 6 = 0 ….. (2)
Thus, the equations x – 7y + 42 = 0 and x – 3y – 6 = 0 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation graphically. we draw the graphs of both the equations.
x – 7y + 42 = 0
∴ y = \(\frac{42+x}{7}\)

x	0	35
y	6	11

x – 3y – 6 = 0
∴ y = \(\frac{x-6}{3}\)

x	0	30
y	-2	8

The above graph represents the situation graphically.
We observe that the lines intersect at point (42, 12).

Question 2.
The coach of a cricket team buys 3 bats and 6 balls for ₹ 3900. Later, she buys another bat and 3 more balls of the same kind for ₹ 1300. Represent this situation algebraically and geometrically.
Solution:
Let the cost of one bat be ₹ x and the cost of one ball be ₹ y.
Then, the total cost of 3 bats is ₹ 3x and that of 6 balls is ₹ 6y. From the data, the total cost is ₹ 3900.
∴ 3x + 6y = 3900
∴ x + 2y = 1300
Similarly, the cost of 1 bat is ₹ x and the total cost of 3 balls is ₹ 3y. From the data, the total cost is ₹ 1300.
∴ x + 3y = 1300
Thus, the equations x + 2y = 1300 and x + 3y = 1300 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation geometrically. we draw the graphs of both the equations.
x + 2y = 1300

x	100	1300
y	600	0

x + 3y = 1300

x	100	1300
y	400	0

The above graph represents the situation geometrically.
We observe that the lines intersect at point (1300, 0).

Question 3.
The cost of 2 kg of apples and 1 kg of grapes on a day was found to be After a month, the cost of 4 kg of apples and 2 kg of grapes is 300. Represent the situation algebraically and geometrically.
Solution:
Let the cost of 1 kg of apples be ₹ x and the cost of 1 kg of grapes be ₹ y.
Then, from the given data, 2x + y = 160 and 4x + 2y = 300.
Thus, the equations 2x + y = 160 and 4x + 2y = 300 represent the given situation algebraically.
To represent the given situation geometrically. we draw the graphs of both the equations.
2x + y = 160

x	0	80
y	160	0

4x + 2y = 300

x	0	75
y	150	0

The above graph represents the situation geometrically.
We observe that the lines are parallel.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

लयूतरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
14 सेमी. व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
वृत्त का व्यास = 14 सेमी.
हम जानते हैं,
त्रिज्या r = \(\frac{14}{2}\) = 7 सेमी
वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7
= 44 सेमी.।

प्रश्न 2.
त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :
वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 सेमी.
माना कि चाप AB केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है।
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण
(θ) = 360° – 60°
= 300°

संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21^2 \times 300^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22 \times 3 \times 21 \times 5}{6}\)
= 11 × 21 × 5
= 1155 सेमी.²
अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 1155 सेमी.² ।

प्रश्न 3.
आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि AB = 5 सेमी., AC = 12 सेमी. और O वृत्त का केन्द्र है।

हल:
स्पष्टत: ∠BAC अर्द्धवृत्त में बना कोण है।
इसलिए यह समकोण Δ है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² + AC²
BC² = 5² + 12²
= 25 + 144
BC² = 169
∴ BC = 13 सेमी.
वृत्त की त्रिज्या R = \(\frac{13}{2}\) सेमी.
अब छायांकित भाग का क्षे. = अर्द्धवृत्त का क्षे. – ΔABC का क्षे.

प्रश्न 4.
चित्र में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है बड़े अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी
बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(14)^2\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\)
= 308 वर्ग सेमी
प्रत्येक छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(7)^2\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
= 77 वर्ग सेमी
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (308 + 77 +77) वर्ग सेमी
= 462 वर्ग सेमी
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 462 सेमी²

प्रश्न 5.
एक 6 सेमी त्रिज्या के वृत्त का व्यास PQRS इस प्रकार है कि PQ, QR और RS बराबर हैं। चित्रानुसार PQ और QS को व्यास मानकर अर्द्धवृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है : वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी
∴ वृत्त का व्यास PS = 12 सेमी
PQ = QR = RS = \(\frac{12}{3}\) = 4 सेमी
QS = QR + RS = (4 + 4) = 8 सेमी
अतः अभीष्ट परिमाप = 6 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप + 4 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप + 2 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त का चाप
= [π × 6 + π × 4 + π × 2] सेमी
= 12π सेमी
और अभीष्ट क्षेत्रफल = PS व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल + PQ व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – QS व्यास वाले अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 37.71 सेमी2।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, एक वृत्त के चतुथांश OAQB के अन्तर्गत एक वर्ग OPQR बना हुआ है। यदि वृत्त की त्रिज्या 6\(\sqrt{2}\) सेमी है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
∵ OPQR एक वर्ग है।
माना OP = PQ = QR = OR = x सेमी
दिया है, OR = 6\(\sqrt{2}\) सेमी
समकोण त्रिभुज OPQ में,
OQ² = OP² + PQ² (पाइथागोरस प्रमेय से)

(6\(\sqrt{2}\))² = x² + x²
72 = 2x²
x² = 36
x = 6 सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 90°
चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{(6 \sqrt{2})^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{396}{7}\) सेमी²
वर्ग OABC का क्षेत्रफल = 6 × 6 = 36 सेमी.²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्थाश OPBQ का क्षेत्रफल – वर्ग OABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{396}{7}\) – 36
= 20.5 सेमी.²
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 20.5 सेमी.²

प्रश्न 7.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि केन्द्र O पर संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 21 सेमी तथा 42 सेमी तथा ∠AOC = 60° है।

हल:
दिया है,
त्रिज्यखण्ड AOC की त्रिज्या (r₁) = 42 सेमी
त्रिज्यखंड BOD की त्रिज्या (r₂) = 21 सेमी
तथा त्रिज्यखंड कोण (θ) = 60°
क्षेत्र ABDC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOC का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड BOD का क्षेत्रफल

गोलाकार रिंग का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\) × (42)² – \(\frac{22}{7}\) × (21)²
= \(\frac{22}{7}\) × [1764 – 441]
= \(\frac{22}{7}\) × 1323 = 4158 सेमी²
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 4158 – 693
= 3465 सेमी²
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 3465 सेमी²

प्रश्न 8.
एक डार्टबोर्ड की प्रथम रिंग (ring I) के अन्तः तथा बाह्य व्यास क्रमश: 32 सेमी तथा 34 सेमी और दूसरी रिंग (ring II) के अन्तः तथा बाह्य व्यास क्रमशः 19 सेमी तथा 21 सेमी हैं। इन दोनों रिगों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है,
रिंग के व्यास क्रमशः 34 सेमी तथा 32 सेमी.
अतः रिंग की त्रिज्याएँ होगी R = \(\frac{34}{2}\) = 17 सेमी,
r = \(\frac{32}{2}\) = 16 सेमी.
रिंग II के व्यास क्रमश: 21 सेमी तथा 19 सेमी.
अतः रिंग II की त्रिज्याएँ होगी r₁ = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 सेमी r₂ = \(\frac{19}{2}\) = 9.5 सेमी.
प्रथम रिंग का क्षेत्रफल = πR² – πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (17)² – \(\frac{22}{7}\)(16)²
= \(\frac{22}{7}\)(17² – 16²)
= \(\frac{22}{7}\) × 33 सेमी²
दूसरी रिंग का क्षेत्रफल = πr₁² – πr₂²
= \(\frac{22}{7}\) × (10.5)² – \(\frac{22}{7}\) × (9.5)²
= \(\frac{22}{7}\) × [(10.5)² – (9.5)²]
= \(\frac{22}{7}\) × 20 सेमी²
अतः दोनों रिंगों का कुल क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\) × 33 + \(\frac{22}{7}\) × 20
= \(\frac{22}{7}\) × (33 + 20)
= \(\frac{22}{7}\) × 53 = 166.57 सेमी²
अतः दोनों रिंगों का कुल क्षेत्रफल = 166.57 सेमी²।

प्रश्न 9.
एक कागज आयत ABCD आकार का है जिसमें AB = 40 सेमी तथा AD = 28 सेमी है। यदि इसमें से BC व्यास का एक अर्द्ध वृत्ताकार भाग काट लिया जाता है तो शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत ABCD की लम्बाई AB = 40 सेमी और चौड़ाई AD = 28 सेमी
∴ आयत ABCD का क्षेत्रफल = AB × AD
= 40 × 28
= 1120 सेमी²
अर्द्धवृत्त का व्यास AD = 28 सेमी
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी

आयत ABCD से काटे गये अर्द्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr² = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\)
= 22 × 14 = 308 सेमी²
∴ शेष भाग का क्षेत्रफल
= आयत ABCD का क्षेत्रफल – अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= 1120 – 308 वर्ग सेमी
= 812 वर्ग सेमी
अत: शेष भाग का क्षेत्रफल = 812 सेमी²

प्रश्न 10.
14 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
वृत्त की त्रिज्या = 14 सेमी.
मूल बिन्दु O से जीवा AB द्वारा बना कोण 60° है।
अब वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 14²
= 616 सेमी²

त्रिज्यखण्ड AOB का क्षे. = πr² × \(\frac{60}{360}\)
= 616 × \(\frac{1}{6}\)
= 102.67 सेमी.² (लगभग)
ΔOAB में,
AO = OB (वृत्त की त्रिज्या)
∴ ∠OBA = ∠OAB
(त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ 2∠OAB = 180° – 60° – 120° [∵ ∠OBA = ∠OAB]
⇒ ∠OAB = 60°
इस प्रकार ΔAOB समबाहु त्रिभुज है।
∴ ΔAOB का है. = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)OA²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(14)²
= 196 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 84.87 सेमी.² (लगभग)
लघु वृत्त खण्ड का क्षेत्रफल = AOB का क्षे. – ΔAOB का क्षे.
= 102.67 – 84.87
= 17.8 सेमी² (लगभग)
अब दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षे. – लघु खण्ड का क्षे.
= 616 – 17.8
= 598.2 सेमी² (लगभग)।

प्रश्न 11.
56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे ABCD के AB व CD भुजा पर दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गई हैं। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्द्र बगीचे के विकणों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है, तो बगीचे और क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, वर्ग की भुजा 56 मी.
∵ AC और BD वर्ग के विकर्ण है तथा हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं तथा बराबर होते हैं।

∠AOB = 90°
माना कि AO = OB = x मी. [∵ \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)BD]
समकोण त्रिभुज AOB में,
AB² = AO² + OB² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ 56² = x² + x²
⇒ 56² = 2x²
⇒ x² = \(\frac{56 \times 56}{2}\)
⇒ x² = 28 × 56
⇒ x = \(\sqrt{28 \times 56}\) मी.
अब त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या = \(\sqrt{28 \times 56}\) मी.
तथा त्रिज्यखण्ड कोण (θ) = 90°.
वृत्ताकार क्यारी AB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल – समकोण ΔAOB का क्षेत्रफल

= 22 × 56 – 28 × 28
= 1232 – 784 = 448 मी.²
इसी प्रकार वृत्ताकार क्यारी CD का क्षेत्रफल = 448 मी.²
वर्गाकार बगीचे ABCD का क्षेत्रफल
= 56 × 56 = 3136 मी.²
अब वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल + वृत्ताकार क्यारियों का क्षेत्रफल
= 3136 + 448 + 448
= 4032 वर्ग मीटर
अत: वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल व वृत्ताकार क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग = 4032 वर्ग मीटर।

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में, दर्शाए गए वृत्त खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी हैं तथा ∠AOB = 120° है। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]

हल:
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAYB का क्षेत्रफल – ΔOAB का क्षेत्रफल

अब, त्रिज्यखण्ड OAYB का क्षेत्रफल
= \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\) × π × 21 × 21
= \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21
= 462 सेमी² …..(i)
अब, OM ⊥ AB खींचिए

ΔAMO तथा ΔBMO में,
OM = OM (उभयनिष्ठ) (S)
∠AMO = ∠BMO = 90° (A)
∠MOA = ∠MOB = 60° (A)
अतः AAS सर्वांगसमता द्वारा
∠AMO = ∠BMO
माना OM = x सेमी है।
इसीलिए ΔOMA में,
\(\frac{O M}{O A}\) = cos 60°
\(\frac{x}{21}=\frac{1}{2}\)
x = \(\frac{21}{2}\)
अत: OM = \(\frac{21}{2}\) सेमी

इसलिए वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल = \(\left(462-\frac{441}{4} \sqrt{3}\right)\)
= \(\frac{21}{4}\)(88 – 21\(\sqrt{3}\)) सेमी²

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वर्ग ABCD के शीर्षों A, B, C तथा D को केन्द्र मानकर खींची गई चायें भुजाओं AB, BC, CD तथ DA के मध्य बिन्दुओं क्रमश: P, Q, R तथा S पर दो-दो के जोड़ों में काटती हैं तथा वर्ग की भुजा 12 सेमी है। [π = 3.14 लीजिए]

हल:
ज्ञात है ABCD एक वर्ग हैं तथा P, Q, R व S वर्ग को भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं।

त्रिज्याखण्ड की त्रिज्या, r = \(\frac{a}{2}\)
= \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग में क्षेत्रफल – 4 × त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
= (a)² – 4 × \(\frac{1}{4}\)πr²
= (12)² – 3.14 × (6)²
= 144 – 11.04 = 30.96 सेमी²

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 सेमी व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 सेमी व्यास का एक वृत्त तथा 4.5 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त बनाए गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है, बड़े अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = 4.5 सेमी
बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πR²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7}\) × 4.5 × 4.5
आन्तरिक वृत्त का व्यास = 4.5 सेमी
⇒ r = \(\frac{4.5}{2}\) सेमी
आन्तरिक वृत्त का व्यास = πr²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{4.5}{2} \times \frac{4.5}{2}\)
छोटे अर्द्धवृत्त का व्यास = 3 सेमी
⇒ r = \(\frac{3}{2}\) सेमी
छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल + पहले छोटे अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – अन्तः वृत्त का क्षेत्रफल – दो छोटे अर्द्धवृत्तों पर क्षेत्रफल

= \(\frac{11}{7} \times \frac{90}{4}-\frac{22}{7} \times \frac{29.25}{4}\)
= \(\frac{990-643.5}{28}\)
= 12.37 सेमी² (लगभग)

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, ABCD एक आयत हैं जिसकी विमाएँ 21 सेमी × 14 सेमी हैं। BC की व्यास मान का एक अर्द्ध खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अद्यतन का क्षेत्रफल – अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= l × b – \(\frac{1}{2}\)πr²
= 21 × 14 – \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 294 – 77
= 217 सेमी²
छायांकित भाग का परिमाप = 2l + b + πr
= 2 × 21 + 14 + \(\frac{22}{7}\) × 7
= 42 + 14 + 22
= 78 सेमी

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में, ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° है। AB, AC व BC की व्यास मानकर अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² + BC²
= (3)² + (4)²
= 9 + 16 = 25
BC = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी

व्यास BC से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \times \pi\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{8} \pi\) सेमी²
व्यास AB से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \pi\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{8} \pi\) सेमी²
व्यास AC से निर्मित अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)πr²
= \(\frac{1}{2} \pi\left(\frac{4}{2}\right)^2=\frac{16}{8} \pi\) सेमी²
समकोण ΔBAC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 सेमी²
बिन्दुपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल = (\(\frac{25}{8}\)π – 6) सेमी²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= \(\frac{16}{8} \pi+\frac{9}{8} \pi-\left(\frac{25}{8} \pi-6\right)\)
= \(\frac{16}{8} \pi+\frac{9}{8} \pi-\frac{25}{8} \pi+6\)
= 6 सेमी²

प्रश्न 16.
22 सेमी लम्बी एक तार को एक वृत्त की चाप के रस में इस प्रकार मोड़ा गया कि वह वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
माना त्रिज्या r सेमी है।
चाप की लम्बाई = 22 सेमी

⇒ \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}=22\)
⇒ \(\frac{22 \times r \times 60^{\circ}}{7 \times 180^{\circ}}=22\)
⇒ r = \(\frac{22 \times 180 \times 7}{22 \times 60}=21\) सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या = 21 सेमी

प्रश्न 17.
वृत्त के एक तिज्यखंड को परिधि 16.4 सेमी है। यदि त्रिज्या 5.2 सेमी है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
r = 5.2 सेमी
त्रिज्यखण्ड की परिधि = 16.4 सेमी

⇒ r + r + चाप AB की लम्बाई = 16.4
⇒ 5.2 + 5.2 + l = 16.4
⇒ l = 16.4 – 10.46 = 6 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)lr
= \(\frac{1}{2}\) × 5.2 × 6 = 15.6 सेमी²

प्रश्न 18.
निम्न आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। भुजा AB को व्यास तथा बिन्दु O को केन्द्र मानते हुए एक अर्धवृत्त खींचा गया है जो D से होकर गुजरता है यदि AB = 12 सेमी तथा OD ⊥ AB, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल:
दिया है, समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB = 12 सेमी
∵ OD ⊥ AB
तथा O, AB का मध्यबिन्दु है।
∴ AO = OB = \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी
∵ OD = OA = 6 सेमी
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB × OD
= 12 × 6 सेमी
= 72 वर्ग सेमी
चतुर्थांश BOD का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times(6)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 28.26 सेमी
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल – चतुर्थाश OBD का क्षेत्रफल
= (72 – 28.26) सेमी²
= 43.64 सेमी²

प्रश्न 19.
एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का परिमाप 31 सेमी है। यदि वृत्त की त्रिज्या 6.5 सेमी है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 6.5 सेमी
वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप = 31 सेमी

⇒ l + 2r = 31

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).
1. नियति बिंदु को वृत्त पर ……………… कहते हैं।
2. वृत्त की परिधि पर स्थित किन्ही दो बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड को वृत्त की …………………. कहते हैं।
3. वृत्त के केन्द्र से होकर जाने वाली जीवा, वृत्त का ………………. कहलाती है।
4. वृत्त की परिधि पर किसी सतत् भाग को वृत्त का ………………. कहते हैं।
5. वृत्त के एक-चौथाई भाग को वृत्त का ………………. कहते हैं।
उत्तर:
1. केन्द्र,
2. जीवा,
3. व्यास,
4, चाप,
5. चतुर्थांश।

निम्न में सत्य / असत्य बताइए :

प्रश्न (ख).
1. किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अंतरित कोण को चाप का केन्द्रीय कोण कहते हैं।
2. किसी वृत्त का पूरा एक चक्कर चलने में तय की दूरी उसका क्षेत्रफल कहलाती है।
3. किसी वृत्त की त्रिज्या उस वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
4. ऐसी रेखा को, जो वृत्त के किन्हीं दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की छेदक रेखा कहते हैं।
5. लघुचाप से घिरे त्रिज्यखण्ड को लघु त्रिज्यखण्ड कहते हैं।
उत्तर:
1. सत्य,
2. असत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर समकोण अंतरित करती है, जो जीवा की लम्बाई है :
(A) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
(B) 5\(\sqrt{2}\)
(C) 10\(\sqrt{2}\)
(D) 10\(\sqrt{3}\)
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 10 सेमी
तथा ∠AOB = 90°

समकोण ΔAOB में,
AB² = OA² + OB²
= (10)² + (10)²
= 100 + 100 = 200
AB = \(\sqrt{100 \times 2}\) = 10\(\sqrt{2}\) सेमी
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की परिधि और एक वर्ग का परिमाप बराबर है, तो-
(A) वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
(B) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
(C) वृत्त का क्षेत्रफल < वर्ग का क्षेत्रफल
(D) वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों के बीच के संबंध में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता।
हल:
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
वृत्त के चतुर्थाश का परिमाप क्या होगा यदि वृत्त की त्रिज्या r हो :
(A) \(\frac{\pi+2 r}{r}\)
(B) πr + 2r
(C) \(\frac{\pi r+r}{r}\)
(D) \(\frac{\pi r+4 r}{2}\)
हल:
सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है इस वृत्त के 9 सेमी लम्बाई के चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है:
(A) 45 वर्ग सेमी
(B) 22.5 वर्ग सेमी
(C) 67.5 वर्ग सेमी
(D) 2.25 वर्ग सेमी
हल:
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 5 सेमी
वृत्त के चाप की लम्बाई (l) = 9 सेमी
हम जानते हैं, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
A = \(\frac{1}{2}\) × l × r
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 5 = \(\frac{45}{2}\)
= 22.5 वर्ग सेमी
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
एक वृत्त की परिधि 22 सेमी. है। उसके चतुर्थांश का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी. में) है-
(A) \(\frac{77}{2}\)
(B) \(\frac{77}{4}\)
(C) \(\frac{77}{8}\)
(D) \(\frac{77}{16}\)
हल:
दिया है,
वृत्त की परिधि = 22 सेमी.
⇒ 2πr = 22 [जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{22}{2 \pi}=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) सेमी.
वृत्त के चतुर्थाश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4}\)πr²
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= \(\frac{77}{8}\) वर्ग सेमी.
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 6.
चित्र में वृत्त का केन्द्र O है। वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है तथा ∠AOB = 30° है, तो लघु चाप AB की लम्बाई है :

(A) 2π
(B) 3π
(C) 6π
(D) 4π
हल:
दिया है : वृत्त की त्रिज्या (r) = 18 सेमी
∠AOB = θ = 30°
हम जानते हैं कि लघु चाप की लम्बाई = \(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}\)
= \(\frac{\pi \times 18 \times 30^{\circ}}{180^{\circ}}\)
= \(\frac{\pi \times 18}{6}=3 \pi\)
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 7.
आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थाश है। यदि OD = 2 सेमी हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात, कीजिए:

(A) 6.485 सेमी²
(B) 5.485 सेमी²
(C) 4.485 सेमी²
(D) 3.485 सेमी²
हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4}\)π(R² – r²)
जहाँ R = बाहरी त्रिज्या r = आन्तरिक त्रिज्या है।
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7}\) [(3.5)² – (2)²]
= \(\frac{22}{28}\)[12.25 – 4]
= \(\frac{22}{28}\) × 8.25
= \(\frac{181.5}{28}\) सेमी²
= 6.482 सेमी²
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 8.
यदि वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल का \(\frac{1}{12}\) वाँ भाग हो तो त्रिज्यखण्ड का कोण होगा :
(A) 20°
(B) 30°
(C) 40°
(D) 50°
हल:
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}\)
प्रश्नानुसार,
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{12}\) (वृत्त का क्षेत्रफल)
⇒ \(\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}=\frac{1}{12} \pi r^2\)
⇒ \(\frac{\theta}{360^{\circ}}=\frac{1}{12}\)
⇒ θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\)
∴ θ = 30°
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 9.
भुजा 6 सेमी. वाले एक वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रफल है-
(A) 36π सेमी.²
(B) 18π सेमी.²
(C) 12π सेमी.²
(D) 9π सेमी.²
हाल:
दिया है :
वर्ग ABCD की भुजा = 6 सेमी.

वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{6}{2}\) = 3 सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= π × (3)²
= 9π सेमी.²
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 10.
त्रिज्या 8 सेमी वाले एक वृत्त के अन्तर्गत खींचा जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल है-
(A) 256 सेमी²
(B) 128 सेमी²
(C) 64\(\sqrt{2}\) सेमी²
(D) 64 सेमी²
हल:
दिया है :
वृत्त की त्रिज्या (r) = 8 सेमी.
∴ वृत्त का व्यास = 2 × 8 = 16. सेमी.

∵ हम जानते हैं कि वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग के विकर्ण वृत्त के केन्द्र पर समद्विभाजित करते हैं।
अत: AC = 16 सेमी.
माना कि वर्ग की भुजा = x सेमी.
समकोण त्रिभुज ABC मैं
AB² + BC² = AC² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ x² + x² = 16²
⇒ 2x² = 256
⇒ x² = \(\frac{256}{2}\) = 128
x = \(\sqrt{128}\) = \(\sqrt{8 \times 8 \times 2}\)
x = 8\(\sqrt{2}\) सेमी.
वर्ग का क्षेत्रफल = 8\(\sqrt{2}\) × 8\(\sqrt{2}\)
= 128 सेमी.²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 11.
यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, तो उसके क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 22 : 7
(B) 14 : 11
(C) 7 : 22
(D) 11 : 14
हल:
माना कि वृत्त की त्रिज्या r तथा वर्ग की भुजा x है।
दिया है :
वृत्त का परिमाप = वर्ग का परिमाप
⇒ 2πr = 4 × x

वृत्त का क्षेत्रफल : वर्ग का क्षेत्रफल = 14 : 11
आत विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
यदि π = \(\frac{22}{7}\) लें, तो 35 सेमी, व्यास वाले एक पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गयी दूरी (मीटर में) है-
(A) 2.2
(B) 1.1
(C) 9.625
(D) 96.25
हल:
दिया है :
पहिए का व्यास = 35 सेमी.
∴ पहिए की त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) सेमी.
पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गयी दूरी = पहिए की परिधि
= 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{2}\)
= 110 सेमी.
= 1.1 मीटर
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 13.
व्यासों 36 सेमी, और 20 सेमी वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले एक वृत्त की त्रिज्या है-
(A) 56 सेमी.
(B) 42 सेमी.
(C) 28 सेमी.
(D) 16 सेमी.
हल:
दिया है दो वृत्तों के व्यास 36 सेमी, 20 सेमी. है। अतः इनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = \(\frac{36}{2}\) = 18 सेमी., r₂ = \(\frac{20}{2}\) = 10 सेमी.।
माना वाँछित वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
प्रश्नानुसार
दिये गये वृत्तों की परिधियों का योग = बाँछित वृत्त की परिधि
⇒ 2πr₁ + 2πr₂ = 2πR
⇒ 2π(r₁ + r₂) = 2πR
⇒ (18 + 10) = \(\frac{2 \pi \times R}{2 \pi}\)
⇒ 28 = R
⇒ R = 28 सेमी.
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
AB वृत्त का व्यास है AC = 6 सेमी और BC = 8 सेमी। छायांकित भाग का क्षेत्रफल होगा :

(A) 54.2 सेमी²
(B) 54.3 सेमी²
(C) 54.4 सेमी²
(D) 54.57 सेमी²
हल:
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= πr² – \(\frac{1}{2}\) × AC × BC
दिया है : AB वृत्त का व्यास है।
∵ ∠ACB अर्द्धवृत्त में बंना कोण है। ∠ACB = 90°
समकोण ΔACB में,
AB = \(\sqrt{A C^2+B C^2}\)
= \(\sqrt{6^2+8^2}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
∴ AB (व्यास) = 10 सेमी
अतः त्रिज्या (r) = \(\frac{10}{2}\) = 5 सेमी
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – समकोण ΔABC का क्षेत्रफल
= πr² – \(\frac{1}{2}\) × AC × BC
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 – \(\frac{1}{2}\) × 6 × 8
= \(\frac{550}{7}-\frac{24}{1}\)
= 78.57 – 24
= 54.57 सेमी²
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 15.
त्रिज्याओं 24 सेमी और 7 सेमी. वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का व्यास है-
(A) 31 सेमी.
(B) 25 सेमी.
(C) 62 सेमी.
(D) 50 सेमी.
हल:
दिया है,
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 24 सेमी., r₂ = 7 सेमी.
माना कि वाँछित वृत्त की त्रिज्या R सेमी है।
प्रश्नानुसार,
दिए गए दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = वाँछित वृत्त का क्षेत्रफल
= πr₁² + πr₂² = πR
= π(r₁² + r₂²) = πR2
(24² + 7²) = \(\frac{\pi R^2}{\pi}\)
576 + 49 = R2
R² = 625
R = \(\sqrt{625}\)
= 25 सेमी.
अतः वाँछित वृत्त का व्यास = 2 × 25
= 50 सेमी.
अत: विकल्प (D) सही है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.5

Question 1.
Which of the following pairs of linear equations has a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. In case there is a unique solution, find it by using cross-multiplication method:
1. x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
2. 2x + y = 5
3x + 2y = 8
3. 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
4. x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
Solution:
1. x – 3y – 3 = 0 and 3x – 9y – 2 = 0
Here, a₁ = 1; a₂ = 3; b₁ = -3; b₂ = -9; c₁ = -3 and c₂ = -2.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has no solution.

2. 2x + y – 5 = 0 and 3x + 2y – 8 = 0
Here, a₁ = 2; a₂ = 3; b₁ = 1; b₂ = 2; c₁ = -5 and c₂ = -8.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}\)
Here, \(\frac{1}{2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,


Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 1.

3. 3x – 5y – 20 = 0 and 6x – 10y – 40 = 0
Here, a₁ = 3, a₂ = 6, b₁ = -5, b₂ = -10, c₁ = -20 and c₂ = -40.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has infinitely many solutions.

4. x – 3y – 7 = 0 and 3x – 3y – 15 = 0
Here, a₁ = 1, a₂ = 3, b₁ = -3, b₂ = -3, c₁ = -7 and c₂ = -15.
Now, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-3}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-7}{-15}=\frac{7}{15}\)
Here, \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
Hence, the given pair of linear equations has a unique solution.
Now,

Thus, the unique solution of the given pair of linear equations is x = 4, y = -1.

Question 2.
1. For which values of a and b does the following pair of linear equations have an infinite number of solutions?
2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
2. For which value of k will the following pair of linear equations have no solution ?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1) y = 2k + 1
Solution:
1. For the given pair of equations, we express them in the standard form as:
2x + 3y – 7 = 0 and
(a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0
Here, A₁ = 2; A₂ = a – b; B₁ = 3; B₂ = a + b; C₁ = -7 and C₂ = -(3a + b – 2)
Then, \(\frac{\mathrm{A}_1}{\mathrm{~A}_2}=\frac{2}{a-b}, \frac{\mathrm{B}_1}{\mathrm{~B}_2}=\frac{3}{a+b}\) and \(\frac{C_1}{C_2}=\frac{-7}{-(3 a+b-2)}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
For the pair of equations to have infinite number of solution, we must have

∴ 2(a + b) = 3(a – b)
∴ 2a + 2b = 3a – 3b
∴ 5b = a
∴ a = 5b ………..(1)
Again, \(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
∴ 3 (3a + b – 2) = 7(a + b)
∴ 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
∴ 2a – 4b = 6
∴ 2 (5b) – 4b = 6 [from (1), a = 5b]
∴ 6b = 6
∴ b = 1
Now, a = 5b
∴ a = 5(1)
∴ a = 5
Thus, for a = 5 and b = 1, the given pair of linear equations will have an infinite number of solutions.

2. We express the given equations in the standard form as:
3x + y – 1 = 0 and
(2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0.
Here, a₁ = 3; a₂ = 2k – 1; b₁ = 1; b₂ = k – 1; c₁ = -1 and c₂ = -(2k + 1).
Then, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2 k-1}, \quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{k-1}\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-(2 k+1)}=\frac{1}{2 k+1}\)
For the pair of equations to have not solution, we must have
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
∴ \(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1} \neq \frac{1}{2 k+1}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
∴ 3(k – 1) = 2k – 1
∴ 3k – 3 = 2k – 1
∴ k = 2
For k = 2.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2(2)-1}=1\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2-1}=1\) and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2(2)+1}=\frac{1}{5}\)
Thus, k = 2 satisfies \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Thus, for k = 2, the given pair of linear equations has no solution.

Question 3.
Solve the following pair of linear equations by the substitution and cross-multiplication methods:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Solution:
1. Substitution method:
8x + 5y = 9 ……….(1)
3x + 2y = 4 ……….(2)
From equation (2), we get y = \(\frac{4-3 x}{2}\)
Substituting y = \(\frac{4-3 x}{2}\) in equation (1).
we get
8x + 5(\(\frac{4-3 x}{2}\)) = 9
∴ 16x + 5(4 – 3x) = 18 (Multiplying by 2)
∴ 16x + 20 – 15x = 18
∴ x = -2
Substituting x = -2 in y = \(\frac{4-3 x}{2}\), we get
∴ y = \(\frac{4-3(-2)}{2}\)
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

2. Cross-multiplication method:
We express both the equations in the standard form as:
8x + 5y – 9 = 0 and 3x + 2y – 4 = 0
Here, a₁ = 8; b₁ = 5; c₁ = -9; a₂ = 3; b₂ = 2 and c₂ = -4.
Now, we arrange the coefficients as required in cross-multiplication method as:

Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = -2, y = 5.

4. Form the pair of linear equations in the following problems and find their solutions. (if they exist) by any algebraic method:

Question 1.
A part of monthly hostel charges is fixed and the remaining depends on the number of days one has taken food in the mess. When a student A takes food for 20 days she has to pay ₹ 1000 as hostel charges whereas a student B, who takes food for 26 days, pays ₹ 1180 as hostel charges. Find the fixed charges and the cost of food per day.
Solution:
Let the fixed monthly charge be ₹ x and the cost of food per day be ₹ y.
Then, from the give data, we get the following pair of linear equations:
x + 20y = 1000 ……….(1)
x + 26y = 1180 ………..(2)
These equations in standard form are:
x + 20y – 1000 = 0 ……….(3)
x + 26y – 1180 = 0 ……….(4)
Now, we solve the equation by cross-multiplication method.

Thus, monthly fixed charge is ₹ 400 and the cost of food per day is ₹ 30.
Note: Here, the elimination method would be much easter, but we have solved. it by cross-multiplication method to show more applications of that method.

Question 2.
A fraction becomes \(\frac{1}{3}\) when 1 is subtracted from the numerator and it becomes \(\frac{1}{4}\) when 8 is added to its denominator. Find the fraction.
Solution:
Let the numerator and the denominator of the required fraction be x and y respectively.
Then, the required fraction = \(\frac{x}{y}\)
By the given data, we get
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
∴ 3x – 3 = y
∴ 3x – y = 3 ……….(1)
Also, \(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
∴ 4x = y +8
∴ 4x – y = 8 …………(2)
Subtracting equation (1) from equation (2),
we get
(4x – y) – (3x – y) = 8 – 3
∴ 4x – y – 3x + y = 5
∴ x = 5
Substituting x = 5 in equation (1),
we get
3(5) – y = 3
∴ 15 – 3 = y
∴ y = 12
Hence, the required fraction = \(\frac{x}{y}=\frac{5}{12}\)

Question 3.
Yash scored 40 marks in a test, getting 3 marks for each right answer and losing 1 mark for each wrong answer. Had 4 marks been awarded for each correct answer and 2 marks been deducted for each incorrect answer, then Yash would have scored 50 marks. How many questions were there in the test?
Solution:
Suppose Yash gave x right answers and y wrong answers.
Then, from the given data, we get
3x – y = 40 ………(1)
and 4x – 2y = 50, i.e.. 2x – y = 25 ……….(2)
We express the equations in the standard form as
3x – y – 40 = 0 ………(3)
2x – y – 25 = 0 ………(4)
Then,

Then, the total number of questions in the test = x + y = 15 + 5 = 20.
Thus, there were 20 questions in the test.

Question 4.
Places A and B are 100 km apart on a highway. One car starts from A and another from B at the same time. If the cars travel in the same direction at different speeds, they meet in 5 hours. If they travel towards each other, they meet in 1 hour. What are the speeds of the two cars?
Solution:
Let the speed of the car starting from A be x km/hour and the speed of the car starting from B be y km/hour such that x > y. If the cars travel in the same direction and meet, they should be travelling in the direction from A towards B as the car starting from A is faster than the car starting from B.

Suppose the cars meet at place P after 5 hours, when they travel in the same direction. Then, the distance travelled in 5 hours by the car starting from A= 5x km = AP (Distance = Speed × Time) Similarly, the distance travelled in 5 hours by the car starting from B = 5y km = BP.
Now, AB = 100 km
∴ AP – BP = 100
∴ 5x – 5y = 100
∴ x – y = 20 (Dividing by 5) ………(1)

Suppose the cars meet at place Q after 1 hour when they travel in opposite directions.
Then, distance travelled in 1 hour by the car starting from A = x km = AQ
Similarly, distance travelled in 1 hour by the car starting from B = y km = BQ.
Now, AB = 100 km
∴ AQ + BQ = 100
∴ x + y = 100 ………(2)
Adding equations (1) and (2), we get
(x – y) + (x + y) = 20 + 100
∴ 2x = 120
∴ x = 60
Substituting x = 60 in equation (2), we get
60 + y = 100
∴ y = 40
Thus, the speeds of the cars starting from A and B are 60 km/hour and 40 km/hour respectively under the assumption that x > y.

Question 5.
The area of a rectangle gets reduced by 9 square units, if its length is reduced by 5 units and breadth is increased by 3 units. If we increase the length by 3 units and the breadth by 2 units, the area increases by 67 square units. Find the dimensions of the rectangle.
Solution:
Let the length of the rectangle be x units and its breadth be units.
Area of a rectangle = Length × Breadth
∴ Area of given rectangle = xy square units
According to the first condition given,
new reduced length = (x – 5) units,
new increased breadth = (y + 3) units and new reduced area = (xy – 9) square units.
Then, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
∴ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
∴ 3x – 5y – 6 = 0 ……….(1)
Similarly, from the second condition given,
new increased length = (x + 3) units.
new increased breadth = (y + 2) units and
new increased area = (xy + 67) square units.
Again, Length × Breadth = Area of a rectangle gives
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
∴ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
∴ 2x + 3y – 61 = 0 ………..(2)
We solve these equations (1) and (2) by cross-multiplication method.


∴ x = \(\frac{323}{19}\) and y = \(\frac{171}{19}\)
∴ x = 17 and y = 9
Thus, the length and the breadth of the given rectangle are 17 units and 9 units respectively.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Triangles Exercise 6.1

Question 1.
Fill in the blanks using the correct word given in brackets:

1. All circles are …………… (congruent, similar)
2. All squares are ……….. (similar, congruent)
3. All ……………. triangles are similar. (isosceles, equilateral)
4. Two polygons of the same of sides are similar, if (a) their corresponding angles are …… and (b) their corresponding sides are ……….. (equal, proportional)

Answer:

1. similar
2. similar
3. equilateral
4. equal, proportional

Question 2.
Give two different examples of pair of
1. similar figures.
2. non-similar figures.
Answer:
1. Similar figures: Any two squares are similar. Any two equilateral triangles are similar. Any two circles are similar.
2. Non-similar figures: An equilateral triangle and an obtuse angled triangle are non- similar. An equilateral triangle and a right angled triangle are non-similar.

Question 3.
State whether the following quadrilaterals are similar or not:
Answer:

No, because for any correspondence between their vertices, the corresponding sides are proportional but the corresponding angles are not equal.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

लयूत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि किसी A. P. के प्रथम 12 पदों का योग 468 है तथा इसका सार्वअंतर 6 है, तो 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
S_n = 468, d = 6, n = 12
a₁₀ = ?
हम जानते हैं :
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
468 = \(\frac{12}{2}\)[2a + (12 – 1)6]
468 = 6(2a + 66)
= 12a + 396
a = \(\frac{468-396}{12}=\frac{72}{12}\)
a = 6
∴ a₁₀ = a + (n – 1)d
= 6 + (10 – 1)6
= 6 + 9 × 6 = 6 + 54
a₁₀ = 60.

प्रश्न 2.
एक समान्तर श्रेणी का 14वाँ पद उसके 8वें पद का दुगना है। यदि उसका छटा पद – 8 है, तो उसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद = a
तथा सर्वाअंतर = d
∴ समान्तर श्रेढी के nth पद
a_n = a + (n – 1)d
इस प्रकार a₁₄ = a + (14 – 1)d
= a + 13d
a₈ = a + (8 – 1)d = a + 7d
a₆ = a + (6 – 1)d = a + 5d
प्रश्नानुसार-
a₁₄ = 2a₈
⇒ a + 13d = 2(a + 7d)
⇒ a + d = 0 ………..(1)
इसी प्रकार,
a₆ = a + 5d = – 8 ………..(2)
समी (1) व (2) को हल करने पर,
a = 2, d = – 2
∴ S₂₀ = \(\frac{20}{2}\) [2 × z + (20 – 1) (- z)]
S₂₀ = – 340
अतः प्रथम 20 पदों का योगफल = – 340.

प्रश्न 3.
1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाजित होने वाली संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
1 से 100 तक के मध्य की 6 से विभाज्य संख्याएँ है….
6, 12, 18, 24, …, 96
स्पष्ट है कि उपर्युक्त संख्याएँ समान्तर श्रेढी में हैं।
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6 तथा a_n = 96
अत: a_n = 96
⇒ a + (n – 1)d = 96
⇒ 6 + (n – 1) × 6 = 96
⇒ (n – 1) × 6 = 96 – 6 = 90
⇒ n – 1 = \(\frac{90}{6}\) = 15
⇒ n = 15 + 1 = 16
∵ हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
⇒ S₁₆ = \(\frac{16}{2}\)(6 + 96)
⇒ S₁₆ = 8 × 102
⇒ S₁₆ = 816
अतः S₁₆ = 816

प्रश्न 4.
समीकरण हल कीजिए :
1 + 4 + 7 + 10 +……+ x = 287.
हल :
दिया गया समीकरण है :
1 + 4 + 7 + 10 +………+ x = 287
स्पष्ट है कि यह एक समान्तर श्रेढी है।
यहाँ a = 1, d = 4 – 13, a_n = x तथा S_n = 287
∵ a_n = x
⇒ a + (n – 1)d = x
⇒ 1 + (n – 1) × 3 = x
⇒ 1 + 3n – 3 = x
⇒ x = 3n – 2 ……………(i)
और S_n = 287
⇒ \(\frac{n}{2}\)(a + l) = 287
⇒ \(\frac{n}{2}\)(1 + x) = 287
⇒ \(\frac{n}{2}\)(1 + 3n – 2) = 287
[समी. (i) का प्रयोग करने पर]
⇒ n(3n – 1) = 574
⇒ 3n² – n – 574 = 0
श्रीधराचार्य सूत्र से –
n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

∵ n एक प्राकृतिक धन पूर्णांक है। अतः n = \(\frac{-41}{3}\) को छोड़ देते हैं।
अत: n = 14
n का मान समीकरण (i) में रखने पर
x = 3 × 14 – 2
= 42 – 2 = 40
अतः x = 40.

प्रश्न 5.
A. P. 17, 15, 13 के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 81 हो।
हल :
a = 17, d = 15 – 17 = – 2
S_n = 81
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
81 = \(\frac{n}{2}\)[2 × 17 + (n – 1) × (- 2)]
81 = \(\frac{n}{2}\)[34 – 2n + 2]
= n[17 – n + 1]
= n[18 – n]
81 = 18n – n²
n² – 18n + 81 = 0
n² – 9n – 9n + 81 = 0
n(n – 9) – 9 (n – 9) = 0
(n – 9) (n – 9) = 0
n = 9.

प्रश्न 6.
चार क्रमागत संख्याएँ जोकि समान्तर श्रेढी में हैं, का योग 32 है। प्रथम और अन्तिम संख्याओं का गुणनफल मध्य संख्याओं के गुणनफल से 7 : 15 के अनुपात में हो। वह संख्याएँ ज्ञात करो ।
हल :
माना चार क्रमागत संख्याएँ हैं-
a – 3d, a – d, a + d, a + 3d
प्रश्नानुसार,
संख्याओं का योग = 32
⇒ (a – 3d) + (a – d) + (a + d) + (a + 3d) = 32
⇒ 4a = 32
⇒ a = \(\frac{32}{4}\) = 8
तथा \(\frac{(a-3 d)(a+3 d)}{(a-d)(a+d)}\) = \(\frac{7}{15}\)
⇒ \(\frac{a^2-9 d^2}{a^2-d^2}\) = \(\frac{7}{15}\)
⇒ \(\frac{64-9 d^2}{64-d^2}\) = \(\frac{7}{15}\) [∵ a = 8]
⇒ 960 – 135d² = 448 – 7d²
⇒ 960 – 448 = 135d² – 7d²
⇒ 512 = 128d²
⇒ d² = \(\frac{512}{128}\) = 4
⇒ d = ± 2
अतः a – 3d = 8 – 3 × 2 = 2
a – d = 8 – 2 = 6
a + d = 8 + 2 = 10
a + 3d = 8 + 3 × 2 = 14
अतः अभीष्ट संख्याएँ हैं-
2, 6, 10, 14.

प्रश्न 7.
यदि एक समान्तर श्रेढी के m पदों का योग ‘n’ तथा n पदों का योग ‘m’ हो, तो सिद्ध कीजिए कि (m + n) पदों का योगफल – (m + n) होगा।
हल :
माना दी गई श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हैं।
दिया है S_m = n
⇒ \(\frac{m}{2}\){2a + (m – 1)d} = n
⇒ 2am + m(m-1)d = 2n ……..(1)
तथा S_n = m
⇒ \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1)d} = m
⇒ 2am + n(n – 1)d = 2m …….(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
2a(m – n) + {m(m – 1) n (n-1)} d = 2n – 2m
⇒ 2a(m – n) + {(m² – n²) – (m – n)} d
= – 2(m – n)
⇒ 2a + (m + n – 1)d = – 2 ………….(iii)
[दोनों पक्षों में (m – n) से भाग देने पर]
अब S_m+n = \(\frac{m+n}{2}\){2a + (m + n – 1)d}
⇒ \(\frac{(m+n)}{2}\)(-2) [(iii) के प्रयोग से]
⇒ S_m+n = – (m + n)
अतः S_m+n = – (m + n) इति सिद्धम् ।

प्रश्न 8.
यदि एक समान्तर श्रेढी का m वाँ पद \(\frac{1}{n}\) तथा n वाँ पद \(\frac{1}{m}\) हो, तो दर्शाइए कि mn पदों का योगफल \(\frac{1}{2}\) (mn + 1) होगा।
हल :
माना दी गई समान्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
दिया है : a_m = \(\frac{1}{n}\)
⇒ a + (m – 1)d = \(\frac{1}{n}\) ……..(i)
तथा a_n = \(\frac{1}{m}\)
⇒ a + (n – 1)d = \(\frac{1}{m}\) …………….(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
(m – n)d = \(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\)
⇒ (m – n)d = \(\frac{m-n}{m n}\)
⇒ d = \(\frac{1}{mn}\)
समीकरण (i) में d = \(\frac{1}{mn}\) रखने पर,
a + (m – 1)\(\frac{1}{mn}\) = \(\frac{1}{n}\)
⇒ a + \(\frac{1}{n}\) – \(\frac{1}{mn}\) = \(\frac{1}{n}\)
⇒ a = \(\frac{1}{mn}\)
∴ अभीष्ट योगफल S_mn = \(\frac{mn}{2}\){2a + (mn – 1)d}
⇒ S_mn = \(\frac{mn}{2}\){\(\frac{2}{mn}\) + (mn – 1) × \(\frac{1}{mn}\)}
⇒ S_mn = \(\frac{1}{2}\)(mn + 1)
अत: mn पदों का योगफल
= \(\frac{1}{2}\)(mn + 1) इति सिद्धम् ।

प्रश्न 9.
एक समान्तर श्रेढी के प्रथम n पदों केयोगफल को S_n द्वारा दर्शाया जाता है। इस श्रेढी में यदि S₅ + S₇ = 167 तथा S₁₀ = 235 है, तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना श्रेढी का प्रथम पद = a
और सार्वअंतर = d
n पदों का योगफल
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
दिया है,
S₅ + S₇ = 167
⇒ \(\frac{5}{2}\)(2a + 4d) + \(\frac{7}{2}\)(2a + 6d) = 167
⇒ 5a + 10d + 7a + 21d = 167
⇒ 12a + 31d = 167 ……….. (1)
इसी प्रकार,
S₁₀ = 235
⇒ \(\frac{10}{2}\)(2a + 9d) = 235
⇒ 2a + 9d = 47 ……….. (2)
समी. (1) व (2) से,
a = 1 और d = 5
अत: अभीष्ट A. P. 1, 6, 11… है ।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि उस A. P का योग, जिसका प्रथम पद a, द्वितीय पद b और अन्तिम पद c हो \(\frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)}\) के बराबर है।
हल :
दिया है,
प्रथम पद = a
द्वितीय पद = b
∴ सार्वअन्तर (d) = ba
अन्तिम पद (l) = c
माना कि समान्तर श्रेढी में पद है।
∴ a_n = c
⇒ a + (n – 1) × d = c
⇒ a + (n – 1) × (b – a) = c
⇒ (n – 1) (b – a) = c – a
⇒ (n – 1) = \(\frac{c-a}{b-a}\)
⇒ n = \(\frac{c-a}{b-a}\) + 1
⇒ n = \(\frac{c-a+b-a}{b-a}\)
⇒ n = \(\frac{b+c-2 a}{b-a}\)
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
⇒ S_n = \(\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}\)[a + c]
⇒ S_n = \(\frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)}\) इति सिद्धम् ।

प्रश्न 11.
एक मोटर कार A स्थान से B स्थान तक 175 किमी दूरी 70 किमी / घंटा समान गति से सभी 10 हरे यातायात्रा सिग्नलों को पार करती है। भारी यातायात के कारण यह प्रथम सिग्नल पर एक मिनट, दूसरे सिग्नल पर 3 मिनट, तीसरे सिग्नल पर 5 मिनट एवम् इसी प्रकार दसवें सिग्नल पर 19 मिनट रूकती हैं। स्थान B तक पहुँचने में इसे कुल कितना समय लगेना उपयुक्त गणितीय विधि से हल कीजिए ।
हल :
यहाँ, हम देखते हैं कि 10 सिग्नलों पर लगा समय समान्तर श्रेढी में हैं।

प्रथम पद a = 1, तथा सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2
∴ 10 सिग्नलों को पार करने के लगा समय = 1 + 3 + 5 + 5 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
= \(\frac{10}{2}\)[2 × 1 + (10 – 1) × 2]
= 5 [2 + 18] = 5 × 20 = 100 मिनट
= \(\frac{10}{60}\) घंटे = \(\frac{5}{3}\)घंटे
∴ A से B तक पहुँचाने में लगा कुल समय
= (\(\frac{175}{70}+\frac{5}{3}\))घंटे = (\(\frac{35}{14}+\frac{5}{3}\))घंटे
= (\(\frac{35 \times 3+5 \times 14}{42}\))घंटे = \(\frac{175}{42}\)घंटे
= 4\(\frac{1}{6}\) घंटे = 4 घंटे 10 मिनट

प्रश्न 12.
उस A. P. के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका पाँचवा और नवाँ पद क्रमश: 26 और 42 है।
हल :
माना सं. क्षे. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
स.क्षे. का पाँचवाँ पद,
a₅ = a + (n – 1)d
⇒ 26 = a + (5 – 1)d
⇒ 26 = a + 4d ………..(i)
स.क्षे. का नव पद, a₉ = a + (9 – 1)d
42 = a + 8d ………….(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) घटाने पर
a + 8d = 42
a + 4d = 26
4d = 16
d = 4
समीकरण (i) में d = 4 रखने पर
a + 4 × 4 = 26
a = 26 – 8 = 18
स.क्षे. के 15 पदों को योग
= [2 × 18 + (15 – 1) × 4]
= [36 + 56]
= 15 × 92
= 690

प्रश्न 13.
एक कार A स्थान से B स्थान पर 260 किमी दूरी 65 किमी / घंटा समान गति से सभी 13 हरे यातायात सिग्नलों को पार करती है। भारी यातायात के कारण यह प्रथम सिग्नल पर 4 मिनट, दूसरे सिग्नल पर 7 मिनट, तीसरे सिग्नल पर 10 मिनट एवम् इसी प्रकार तेरहवें सिग्नल पर 40 मिनट रूकती है। स्थान B तक पहुँचने इसे कुल कितना समय होगा? उपयुक्त गणितीय विधि से हल कीजिए।
हल :

A से B तक पहुँचने में लगा कुल समय
= \(\frac{260}{65}\)घंटे + \(\frac{13}{2}\)[2 × 4 + (13 – 1) × 3] मिनट
= \(\frac{20}{5}\)घंटे + \(\frac{13}{2}\) [8 + 36] मिनट
= 4 घंटे + \(\frac{13}{2}\) × 44 मिनट = 4 घंटे + 286 मिनट
= 4 घंटे + 46 मिनट = 8 घंटे 46 मिनट

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि (a – b)², (a² + b²), (a + b)² एक समान्तर श्रेणी में हैं।
हल :
माना a₁ = (a – b)², a₂ = (a² + b²), a₃ = (a + b)²
a₂ – a₁ = (a² + b²) – (a – b)²
= (a² + b²) – (a² + b² – 2ab)
= a² + b² – a² – b² + 2ab = 2ab … (i)
तथा
a₃ – a₂ = (a + b)² – (a² + b²)
= a² + b² + 2ab – a² – b²
= 2ab ……………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
∵(a² + b²) – (a – b)² = (a + b)² – (a² + b²)
a₂ – a₁ = a₃ – a₂
अत: (a – b)², (a² + b²), (a + b²) एक स.क्षे. मैं हैं।

प्रश्न 15.
एक स. क्षे. के प्रथम 7 पदों का योग 63 है और इसके अगले 7 पदों का योग 161 है। स. क्षे. ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना स.क्षे. का प्रथम पद ‘a’ तथा सार्व अन्तर ‘d’ है।
स. क्षे. के प्रथम 7 पदों का योग,
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a+ (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d]
63 = \(\frac{7}{2}\)(2a + 6d)
⇒ \(\frac{1}{2}\)(2a + 6d) = 9
⇒ a + 3d = 9
a = 9 – 3d ……………(i)
प्रश्नानुसार,
S₁₄ – S₇ = 161
\(\frac{14}{2}\)[2a + (14 – 1)d] – 63 = 161
\(\frac{14}{2}\)[2a + (14 – 1)d] = 161 + 63
7[2(9 – 3d) + 13d] = 224
18 – 6d + 13d = \(\frac{224}{7}\)
7d = 32 – 18
d = \(\frac{14}{7}\) = 2
समीकरण (i) से, a = 9 – 3 × 2 = 3
अतः समान्तर श्रेढी हैं :
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……………..
= 3, 5, 7, 9, …………

प्रश्न 16.
एक समान्तर श्रेणी के सभी 11 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका मध्य पद 30 है।
हल :
माना स. क्षे. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵ स. क्षे. में 11 पद हैं।
∴ मध्य पद = (\(\frac{n+1}{2}\)) वाँ पद = (\(\frac{11+1}{2}\))वाँ पद = 5वाँ पद
a₅ = a + (5 – 1)d
30 = a + 5d ……………(i)
स. क्षे. के 11 पदों का योग = \(\frac{11}{2}\)[2a + (11 – 1)d]
= \(\frac{11}{2}\)[2a + 10d]
= \(\frac{11}{2}\) × 2(a + 5d)
= 11 × 30 = 330

प्रश्न 17.
निम्न समीकरण को हल कीजिए: 1 + 5 + 9 + 13 + ……………. + x = 1326
हल :
यहाँ, प्रथम पद, a = 1
सार्वअन्तर, d = 5 – 1 = 4
प्रश्नानुसार,
S_n = 1326
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1)4] = 1326
⇒ \(\frac{n}{2}\)(2 + 4n – 4) = 1326
⇒ \(\frac{n}{2}\)(4n – 2) = 1326
⇒ n(2n – 1) = 1326
⇒ 2n² – n – 1326 = 0
⇒ 2n² – 52n + 51n – 1326 = 0
⇒ 2n(n – 26) + 51(n – 26) = 0
⇒ (n – 26) (2n + 51) = 0
यदि n – 26 = 0 तो n = 26
और यदि 2n + 51 = 0, तो n = \(\frac{-51}{2}\) असम्भव, क्योंकि ‘n’ एक प्राकृतिक संख्या है।
अर्थात् n = 14 है।
प्रश्नानुसार,
14वाँ पद = x
⇒ a + (14 – 1)d = x
⇒ 1 + 13 × 4 = x
अतः x = 53

प्रश्न 18.
यदि संख्याएँ a, 7, b, 23, c एक समान्तर श्रेढी में है, तो a, b तथा c के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना स. क्षे. का सार्व अन्तर d है।
प्रश्नानुसार,
a₂ = 7
a + (2 – 1)d = 7
a + d = 7 ……………(i)
तथा a₄ = 23
a + (4 – 1)d = 23
a + 3d = 23 ……………(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) घटाने पर

समीकरण (i) में, d = 8 रखने पर
a + 8 = 7
⇒ a = 7 – 8 = – 1
तीसरा पद, a₃ = a + (3 – 1)d
b = – 1 + 2 × 8 = 15
पाँचवाँ पद,
a₅ = a + (5 – 1)d
c = – 1 + 4 × 8 = 31.
अतः a = – 1, b = 15, c = 31

प्रश्न 19.
समानान्तर श्रेणी
20, 19\(\frac{1}{4}\), 18\(\frac{1}{2}\), 17\(\frac{3}{4}\), ………… का कौन-सा पद प्रथम ऋणात्मक पद है?
हल :
प्रश्नानुसार, समानान्तर श्रेणी
20, 19\(\frac{1}{4}\), 18\(\frac{1}{2}\), 17\(\frac{3}{4}\), …….. = 20, \(\frac{77}{4}\), \(\frac{37}{2}\), \(\frac{71}{4}\), ………..
यहाँ, a = 20, d = \(\frac{77}{4}\) – 20 = \(\frac{77-80}{4}\) = \(\frac{-3}{4}\)
माना पहला ऋणात्मक पद a_n है।

अतः दी गयी समानान्तर श्रेणी का 28वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 20.
यदि दो समानान्तर श्रेणियों के प्रथम पदों के योगफलों का अनुपात (7+ 1) (4 + 27) है, तो उनके 9वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, समानान्तर श्रेणियों के प्रथम n पदों के योगफलों का अनुपात :

अतः दो समानान्तर श्रेणियों के 9वें पदों का अनुपात = 24 : 19

प्रश्न 21.
n के किस मान के लिए, दो समानान्तर श्रेणियों 63, 65, 67, ….. तथा 3, 10, 17 ……… के n वें पद समान होंगे?
हल :
पहल समानान्तर श्रेणी 63, 65, 67, …………..
a = 63, d = 65 – 63 = 2
a_n = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)d
= 63 + 2n – 2 = 61 + 2n
दूसरी समानान्तर श्रेणी 3, 10, 17, ………..
a = 3, d = 10 – 3 = 7
a_n = a + (n – 1)d
= 3 + (n – 1) (7) = 3 + 7n – 7
= 7n – 4
प्रश्नानुसार
61 + 2n = 7n – 4
61 + 4 = 7n – 2n
65 = 5n
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
अतः दोनों समानान्तर क्षेणियों का 13वाँ पद समान हैं।

प्रश्न 22.
एक समान्तर श्रेढी के प्रथम 6 पदों का योग 42 है। इसके 10वें पद तथा 30वें पद में अनुपात 1 : 3 का है। इस समान्तर श्रेढी का प्रथम पद तथा 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
माना स.क्षे. का प्रथम पद a तथा सार्व अन्तर d है।
स. क्षे. का 6 पदों का योग,
S₆ = \(\frac{6}{2}\)[2a + (6 – 1)d]
⇒ 42 = 3 (2a + 5d)
⇒ 2a + 5d = 14 ………(i)
10वें तथा 30वें पद में अनुपात 1 : 3

समीकरण (i) में d = 2 रखने पर
2a + 5 × 2 = 14
⇒ 2a = 14 – 10
⇒ a = \(\frac{4}{2}\) = 2
अतः स.क्षे. का 13वाँ पद = 2 + (13 – 1) × 2
= 2 + 24 = 26

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क)

1. संख्याओं के एक निश्चित नियमानुसार क्रम को ………………. कहते हैं।
2. वह श्रेणी जिसमें अगल पद, पहले पदे में एक निश्चित संख्या जोड़ने अथवा घटाने पर प्राप्त होती है, ………….. श्रेणी कहलाती है।
3. समान्तर श्रेणी का …………… धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
4. यदि समान्तर श्रेणी में पदों की संख्या निश्चित है, तो उसे ……………… समान्तर श्रेणी कहते हैं।
5. यदि 3k – 2, 4k – 6 तथा k + 2 एक समान्तर श्रेणी के क्रमित पद हैं, तो k का मान ………….. हैं।

हल :

1. अनुक्रम
2. समान्तर
3. सार्व अन्तर,
4. परिमित,
5. 2.

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख)

1. यदि समान्तर श्रेणी में पदों की संख्या अपरिमित है, तो उसे परिमित समान्तर श्रेणी कहते हैं।
2. श्रेणी 21, 18, 15, …………… का 8वाँ पद शून्य है।
3. श्रेणी 5, 9, 13 …………. 185 में अन्तिम पद से पहले पद की और 9वीं पद 152 है।
4. दो अंकों की 30 संख्याएँ उसे भाग्य हैं।
5. समान्तर श्रेणी 3, 15, 27, 39, ….. का 31वाँ पद 21 वे पद से 120 अधिक है।

हल :

1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक समान्तर श्रेणी का प्रथम पद p है तथा सार्वअन्तर q है, तो उसका 10वाँ पद है :
(A) q + 9p
(B) p – 9q
(C) p + 9g
(D) 2p + 9q
हल :
a10 = a + (n – 1)d
⇒ a10 = p + (10 – 1) × q
⇒ a10 = p + 9q
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
x का मान जिसके लिए 2x, (x + 10) तथा (3x + 2) एक समान्तर श्रेणी के क्रमिक पद हैं, है:
(A) 6
(B) – 6
(C) 18
(D) – 18
हल :
∵ दिए गए पद स.क्षे. के क्रमिक पद हैं।
∴ (x + 10) – 2x = (3x + 2) – (x + 10)
⇒ – x + 10 – 2x = 3x + 2 – x – 10
⇒ – x + 10 = 2x – 8
⇒ – x – 2x = – 8 – 10
⇒ – 3x = – 18
⇒ x = 6
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 3.
समांतर श्रेणी \(\frac{1}{p}, \frac{1-p}{p}, \frac{1-2 p}{p}\), ……………… का सार्वअंतर है :
(A) 1
(B) \(\frac{1}{p}\)
(C) – 1
(D) – \(\frac{1}{p}\)
हल :
सार्व अंतर = \(\frac{1-p}{p}-\frac{1}{p}=\frac{1-p-1}{p}\)
= \(\frac{-p}{p}\)
= – 1
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 4.
समान्तर श्रेणी a, 3a, 5a, …………. का n वाँ पद है :
(A) na
(B) (2n – 1) a
(C) (2n + 1)a
(D) 2na
हल :
प्रथम पद, A = a
सार्वअन्तर
D = 3a – a = 2a
∴ n वाँ पद = A + (n – 1) D
= a + (n – 1) × 2a
= a + 2na – 2a
= 2na – a
= (2n – 1)a
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, ………., 185 में कितने पद हैं?
(A) 31
(B) 51
(C) 46
(D) 40
हल :
प्रथम पद, a = 5
सार्वअन्तर, d = 9 – 5 = 4
पदों की संख्या, n = ?
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 185 = 5 + (n – 1) × 4
⇒ n – 1 = \(\frac{180}{4}\) = 45
⇒ n = 45 + 1 = 46
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
उस समान्तर श्रेणी, जिसका n वाँ पद an = (3n + 7) है, का सार्वअंतर है :
(A) 3
(B) 7
(C) 10
(D) 6
हल :
n वाँ पद,
an = 3n + 7
प्रथम पद, a1 = 3 × 1 + 7 = 10
द्वितीय पद, a2 = 3 × 2 + 7 = 13
सार्व अंतर, = a2 – a1 = 13 – 10 = 3
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 7.
एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 5 है तथा अंतिम पद 45 है। यदि सभी पदों को योगफल 400 हो, तो पदों की संख्या है :
(A) 20
(B) 8
(C) 10
(D) 16
हल :
दिया है, a = 5, l = 45, Sn = 400
∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
⇒ 400 = \(\frac{n}{2}\) (5 + 45)
⇒ n = \(\frac{400 \times 2}{50}\) = 16
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेणी – 15 – 11 – 7, …………… 49 का 9 वाँ पद है
(A) 32
(B) 0
(C) 17
(D) 13
हल :
दियाहै,
a = – 15, d = – 11 – (-15) = – 11 + 5 = 4 तथा n = 9
an = a + (n – 1)d
a9 = – 15 + (9 – 1) × 4
= – 15 + 32 = 17
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से कौन-सी समांतर श्रेढी नहीं है?
(A) – 1.2, 0.8, 2.8, ………….
(B) 3, 3 + \(\sqrt{2}\), 3 + 2\(\sqrt{2}\), 3 + 3\(\sqrt{2}\),….
(C) \(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{9}{3}, \frac{12}{3}\), ………………..
(D) \(\frac{-1}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-3}{5}\), …………..
हल :
(C) में सार्वअन्तर समान नहीं है।
\(\frac{7}{3}-\frac{4}{3}=\frac{3}{3}\)
तथा \(\frac{9}{3}-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}\)
अर्थात् \(\frac{7}{3}-\frac{4}{3} \neq \frac{9}{3}-\frac{7}{3}\)
अंत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 10.
समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, ………. 47 का अंतिम पद से (प्रथम पद की ओर) दूसरा पद है:
(A) 50
(B) 45
(C) 44
(D) 41
हल :
दिया है, a = 5, d = 8 – 5 = 3, l = 47 तथा n = 2
स. क्षे. का अंत से n वाँ पद = l – (n – 1)d
= 47 – (2 – 1) × 3
= 47 – 3 = 44
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 11.
दी गई श्रेढी 2,\(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ………….. A.P. में है, तो इसका 3 वाँ पद होगा : (A) – 3
(B) 3
(C) 2
(D) 4
हल :
a = 2, d = \(\frac{5}{2}\) – 2 = \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)
an = a + (n – 1)d
∴ a3 = 2 + (3 – 1) × \(\frac{1}{2}\)
= 2 + 2 × \(\frac{1}{2}\) = 2 + 1 = 3
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 12.
समान्तर श्रेढी 21, 42, 63, 84, ………….. का कौन-सा पद 210 है ?
(A) 9th
(B) 10th
(C) 11th
(D) 12th
हल :
दी गयी समान्तर श्रेढी है :
21, 42, 63, 84, ………. 210
यहाँ a = 21, d = 42 – 21 = 21 तथा an = 210
∴ an = 210
a + (n – 1)d = 210
⇒ 21 + (n – 1) × 21 = 210
(n – 1) × 21 = 210 – 21 = 189
(n – 1) = \(\frac{189}{21}\) = 9
n = 9 + 1 = 10
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 13.
3 के प्रथम पाँच गुणजों का योगफल है :
(A) 45
(B) 55
(C) 65
(D) 75
हल :
3 के प्रथम पाँच गुणज हैं :
3, 6, 9, 12, 15
यहाँ a = 3, n = 3 तथा l = 15
सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + l) से
S5 = \(\frac{5}{2}\)(3 + 15)
⇒ S5 = \(\frac{5}{2}\) × 18 = 45
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 14.
m के किस मान के लिए 10, m, – 2 समान्तर श्रेढी में होंगे:
(A) m = 4
(B) m = 3
(C) m = 2
(D) m = 1
हल :
a2 – a1 = a2 – a2
⇒ m – 10 = – 2 – m
⇒ m + m = – 2 + 10
2m = 8
m = \(\frac{8}{2}\)
m = 4
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 15.
यदि एक समान्तर श्रेढी का n वाँ पद (2n + 1) है, तो उसके प्रथम तीन पदों का योगफल है :
(A) 6n + 3
(B) 15
(C) 12
(D) 21
हलं :
दिया गया है:
an = 2n + 1
n = 1, 2, 3 रखने पर
a1 = 2 × 1 + 1 = 3
a2 = 2 × 2 + 1 = 5
a3 = 2 × 3 + 1 = 7
अतः समान्तर श्रेढी है-
3, 5, 7,…
सार्वअन्तर (d) = 5 – 3 = 2
या 7 – 5 = 2
प्रथम तीन पदों का योगफल (Sn)
= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) × d)]
= \(\frac{3}{2}\) [2 × 3 + (3 – 1) × 2]
= \(\frac{3}{2}\) [6 + 4]
= \(\frac{3}{2}\) × 10 = 15
अत: विकल्प (B) सही है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
बिन्दु (- 5, 4) की x – अक्ष से दूरी लिखिये ।
हल :
बिन्दु (- 5, 4) की x-अक्ष से दूरी = 4 इकाई ।

प्रश्न 2.
बिन्दु (3, – 2) की -अक्ष से दूरी लिखिए।
हल :
बिन्दु (3, – 2) की y-अक्ष से दूरी 3 इकाई है।

प्रश्न 3.
k के मान ज्ञात कीजिए जिनसे (1, – 1), (- 4, 2k) तथा (- k, – 5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई हो ।
हल :
माना A(1, – 1), B (- 4, 2k) तथा (- k, – 5) दिये गये ΔABC के शीर्ष हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[1(2k + 5) + (- 4) (- 5 + 1) + (-k) (- 1 – 2k)]
= \(\frac{1}{2}\)[2k + 5 + 16 + k + 2k²]
= \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] वर्ग इकाई
दिया है
ΔABC का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई
∴ \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] = 24
2k² + 3k + 21 = 48
2k² + 3k – 27 = 0
2k² + 9k bk – 27 = 0
k(2k + 9) – 3(2k + 9) (k – 3) (2k + 9) =0
तथा k = 3
अतः k के मान 3 और हैं।

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं 4 (6, 5) और B (- 4, 5) से समदूरस्थ है।
हल :
x- अक्ष पर किसी बिन्दु P के निर्देशांक (x, 0) हैं।
∴ बिन्दु P(x, 0) की बिन्दुओं A(6, 5) और B(- 4, 5) से दूरी समान होगी।
PA = PB
⇒ PA² = PB²
⇒ (x – 6)² + (0 – 5)² = (x + 4)² + (0 – 5)²
⇒ x² – 12x + 36 + 25 = x² + 8x + 16 + 25
⇒ – 12x + 36 = 8x + 16
⇒ – 12x – 8x = 16 – 36
⇒ – 20x = – 20
⇒ x = \(\frac{-20}{-20}\) = 1
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 0).

प्रश्न 5.
यदि M(4, 5), रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है तथा 4 का निर्देशांक (3, 4) है, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना बिन्दु B के निर्देशांक (x, y) हैं।
दिया है (3, 4) तथा (x, y) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक (4, 5) है।
4 = \(\frac{3+x}{2}\) ⇒ 3 + x = 8
x = 8 – 3 = 5
तथा 5 = \(\frac{y+4}{2}\) ⇒ 10 = y + 4
y = 10 – 4 = 6
अत: B के निर्देशांक B(5, 6) है।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु 4(x, y), B (- 5, 7) तथा C (- 4, 5) सरेखीय हों तो x तथा में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि दिया गया बिन्दु (x, y), B(- 5, 7) और C(- 4, 5) है।
यहाँ x₁ = x, x₂ = – 5, x₃ = – 4
y₁ = y, y₂ = 7, y₃ = 5
तीन बिन्दु सरेखी होने के लिए ΔABC का क्षेत्रफल 0 होता है।
∴ \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[x(7 – 5) + (-5)(5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[2x – 5(5 – y) – 4(y – 7)] = 0
⇒ 2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
⇒ 2x + y + 3 = 0
अत: 2x + y + 3 = 0 अभीष्ट सम्बन्ध हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A(2, – 1), B(3, 4), C (- 2, 3) तथा D(- 3, – 2) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु हैं। क्या ABCD एक वर्ग है?
हल :

= \(\sqrt{(-4)^2+(4)^2}\)
= \(\sqrt{16+16}\) = 4\(\sqrt{2}\)
∴ AB = BC = CD = AD
तथा विकर्ण AC ≠ विकर्ण BD
अत: ABCD वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
यही सिद्ध करना था ।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु A(1, – 2), B(2, 3), C(a, 2) और D (- 4, – 3) एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं। a का मान तथा AB को आधार मानते हुए चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु 4 (1 , 2), B(2, 3), C(a, 2) तथा D(- 4, – 3) दिए गए समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ विकर्ण AC के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक विकर्ण BD के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक

अत: बिन्दु C के निर्देशांक = (- 3, 2)
आधार AB पर लम्ब DM खींचा। त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(3 – 3) + 2(3 + 2) + (- 4) (- 2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 10 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) × 30
= 15 वर्ग इकाई
आधार (AB) की लम्बाई

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 7), B (P, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें B पर समकोण है। P का मान ज्ञात करो ।
हल :
समकोण ΔABC में,
AB² + BC² = AC² (पाइथागोरस प्रमेय से)

(3 – 7)² + (P – 4)² + (3 – 3)² + (7 – P)² = (3 – 7)² + (7 – 4)²
⇒ (P – 4)² + (7 – P)² = 9
⇒ P² + 16 – 8P + 49 + p² – 14P = 9
⇒ 2P² – 22P + 56 = 0
⇒ P² – 11P + 28 = 0
⇒ P² – 4P – 7P + 28 = 0
= P(P – 4) – 7(P – 4) = 0
= (P – 4) (P – 7) = 0
P = 4, 7
अत: P का मान 4, 7 है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु 4 (6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(x, y) क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो बिन्दु D(x, y) ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु 4 (6, 1), B(8, 2), C(9, 4) तथा D(x, y) दिए गए समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ विकर्ण AC के मध्य विन्दु के निर्देशांक = विकर्ण BD के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

⇒ 8 + x = 15 और 2 + y = 5
⇒ x = 15 – 8 और y = 5 – 2
⇒ x = 7 और y = 3
अतः बिन्दु D के निर्देशांक = (7, 3).

प्रश्न 11.
बिन्दुओं P(- 3, 4) और Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं P(- 3, 4) और Q( 4, 5) को जोड़ने वाले रेखा खण्ड को समत्रिभाजित करते हैं।

माना कि
PA = AB = QB = x
AQ = x + x = 2x
PB = x + x = 2x
\(\frac{PA}{AQ}=\frac{x}{2x}\) = \(\frac{1}{2}\) = 1 : 2
\(\frac{PB}{BQ}=\frac{2x}{x}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2 : 1
अर्थात् बिन्दु A, PQ को 1 : 2 के अनुपात में तथा बिन्दु B, PQ को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
बिन्दु A के लिए:

अतः A और B के निर्देशांक क्रमश (\(\frac{5}{3}\), \(\frac{14}{3}\)) तथा (\(\frac{-2}{3}\), \(\frac{13}{3}\)) है।
यही सिद्ध करना था ।

प्रश्न 12.
यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्यबिन्दु है तथा Q के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) है।

तब बिन्दु P(x, y) तथा Q(2, 3) के मध्यबिन्दु K के निर्देशांक (5, 4).
5 = \(\frac{x+2}{2}\)
⇒ 10 = x + 2
⇒ x = 10 – 2 = 8
और 4 = \(\frac{y+3}{2}\)
⇒ 8 = y + 3
⇒ y = 8 – 3 = 5
P के निर्देशांक = (8, 5).

प्रश्न 13.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (- 3, – 2), (5, 2) और (5, 4) हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज हैं।
हल :
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(- 3, – 2), B (5, – 2) तथा C(5, 4) हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[- 3(- 2 – 4) + 5(4 + 2) + 5(- 2 + 2)]


∵ AB² + BC² = (8)² + (6)² = 100
= (10)² = CA²
⇒ AB² + BC² = CA²
अत: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
त्रिभुज ABC, जिसमें A(1, – 4) तथा A से जाने वाली भुजाओं के मध्य बिन्दु (2, – 1) तथा (0, – 1) है, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
माना ABC एक त्रिभुज है, जहाँ B (x, y) तथा C(z, 1) है।
दिया है, P, AB का मध्य-बिन्दु है।
(2, – 1) = (\(\frac{1+x}{2}\), \(\frac{-4+y}{2}\))

∴ C के निर्देशांक = (- 1, 2)
∴ ΔABC के शीषों के निर्देशांक A(1, – 4), B(3, 2) तथा C(1, – 2) हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 2) + 3(2 + 4) – 1(- 4 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(0) + 3(6) – 1(-6)]
= \(\frac{1}{2}\)[18 + 6] = 12 वर्ग इकाई

प्रश्न 15.
x – 3y = 0 बिन्दुओं (-2, -5) तथा (6, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा x – 3y = 0, बिन्दुओं (- 2, – 5) तथा (6, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को k : 1 अनुपात में विभाजित करती है।
यहाँ x₁ = – 2, x₂ = 6, y₁ = – 5, y₂ = 3, m = k तथा n = 1
∴ विभाजन सूत्र से,

अतः विभाजन बिन्दु (\(\frac{9}{2}\), \(\frac{3}{2}\)) तथा अभीष्ट अनुपात (\(\frac{13}{3}\) : 1) अथवा (13 : 3) है।

प्रश्न 16.
बिन्दु A, बिन्दुओं X(6, – 6) तथा Y(- 4, – 1) को मिलाने वाले रैखाखण्ड XY इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{5}\) है। यदि बिन्दु A रेखा 3x + k(y + 1) = 0 पर भी स्थित है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, \(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{5}\)

\(\frac{X A}{X A+A Y}\) = \(\frac{2}{5}\)
5XA = 2XA + 2AY
5XA = 2AY
\(\frac{XA}{XY}=\frac{2}{3}\)
अत: बिन्दु A रेखाखण्ड XY को 2 : 3 अनुपात में विभाजित करता है।
यहाँ m₁ = 2, m₂ = 3
अतः A बिन्दु के निर्देशांक

इसलिए A बिन्दु के निर्देशांक (2, – 4) है।
चूँकि बिन्दु A, रेखा 3x + k(y + 1) = 0 पर भी स्थित है, अतः यह रेखा के समीकरण की संतुष्ट करेगा।
∴ x = 2 तथा y = – 4 रखने पर,
3(2) + k (- 4 + 1) = 0
6 + k (- 3) = 0
– 3k = – 6
k = 2

प्रश्न 17.
यदि A(- 2, 1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) एक समानान्तर चतुर्भुज ABCD एके शीर्ष बिन्दु हैं, तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए। अतः इस चतुर्भुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है, ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है।

विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करते हैं।


अत: चतुर्भुज ABCD की भुजाओं की लम्बाई
AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{10}\) इकाई

प्रश्न 18.
यदि बिन्दु A(k + 1, 2k), B(3k, 2k + 3) तथा C(5k – 1, 5k) सरेख हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु A(k + 1, 2k), B (3k, 2k +3) और C(5k – 1, 5k) सरेख हैं। अतः त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 0
Δ = \(\frac{1}{2}\)[(k + 1)(2k + 3) – 6k² + 15k² – (5k – 1)(2k + 3) + 2k(5k – 1) – (k + 1)(5k)]
0 = \(\frac{1}{2}\)[2k² + 5k + 3 – 6k² + 15k² – 10k² – 13k + 3 + 10k² – 2k – 5k² – 5k]
0 = \(\frac{1}{2}\)[6k² – 15k + 6]
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 6k² – 12k – 3k + 6 = 0
⇒ 6k(k – 2) – 3 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (6k – 3) = 0
⇒ k = 2 या k = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि ΔABC जहाँ A(- 2, 0), B(2, 0) C(0, 2) तथा ΔPQR जहाँ P(- 4, 0), Q( 4, 0), R (0, 4) हैं, समरूप त्रिभुज है।
हल :
त्रिभुजों के शीर्षों के निर्देशांक है,
A (- 2, 0), B (2, 0), C(0, 2)
P(- 4, 0), Q(4, 0), R(0, 4)

यहाँ ΔPQR की भुजायें ΔABC को भुजाओं की दोगुनी हैं।
अत: दोनों त्रिभुज समरूप है। इति सिद्धम्

प्रश्न 20.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई है। इसके दो शीर्ष (2, 1) तथा (3, – 2) हैं। यदि तीसरा शीर्ष (\(\frac{7}{2}\), y), तो y का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, 4(2, 1), B(3, – 2) और C(\(\frac{7}{2}\), y)
अब, ΔMBC का क्षेत्रफल

प्रश्न 21.
निम्न आकृति में किसी कक्षा में रखे डेस्कों की व्यवस्था दर्शाइए गई है। आशिमा, भारती तथा आशा क्रमशः बिंदुओं A, B तथा C पर बैठी हैं। निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।
(i) ज्ञात कीजिए कि क्या तीनों लड़कियाँ एक ही रेखा में बैठी हैं।
(ii) यदि A, B तथा C सरेख हैं तो ज्ञात कीजिए कि बिंदु B रेखाखंड AC को किस अनुपात में विभाजित करता है।

हल :
आलेख से बिंदु A, B और C के निर्देशांक हैं :
A = (3, 1), B (6, 4) तथा C = (8, 6)
A, B, C के सरेख के लिए प्रतिबंध
x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂) = 0
∴ x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)
= 3(4 – 6) + 6(6 – 1) + 8(1 – 4)
= 3(-2) + 6(5) + 8(-3)
= – 6+ 30 – 24
= 0
∴ A, B और C सरेख है।
अतः तीनों लड़कियाँ एक ही रेखा में बैठी है।

(ii) माना B, रेखाखंड AC को m : n अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ 8m + 3n = 6m + 6n
⇒ 2m = 3n
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{3}{2}\)
⇒ m : n = 3 : 2
अत: B, AC को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 22.
कृष्णा के पास एक सेवों का बाग है जिसके साथ एक 10 मी × 10 मी साइज का एक किचन गार्डन है। उसने उसे एक 10 × 10 ग्रिड के बाँटकर उसमें मिट्टी तथा खाद डाली है। उसने बिंदु पर एक नींबू का पौधा, बिंदु B पर धनिए का पौधा, बिंदु C पर प्याज का पौधा तथा बिंदु D पर एक टमाटर का पौधा लगाया है। उसका पति राम किचन गार्डन को देखकर तारीफ़ करता है तथा कहलाता है A, B, C तथा D को मिलाने पर शायद एक समांतर चतुर्भुज बन जाएं। नीचे दिए गए चित्र को ध्यानपूर्वक देखकर निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :

(i) निर्देशांक अक्ष के रूप में 10 × 10 ग्रिड का उपयोग करते हुए बिंदुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) ज्ञात कीजिए कि क्या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं।
हल :
(i) चित्र से, A, B, C तथा D के निर्देशांक हैं :
A = (2, 2), B = (5, 4), C = (7, 7), D = (4, 5)

यहाँ AB = BC = CD = DA
लेकिन AC ≠ BD
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 23.
यदि A (- 5, 7), B (- 4, – 5), C(- 1, – 6) तथा D(4, 5) एक समानान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु हैं, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल कीजिए ।
हल :
चतुर्भुज ABCD का एक विकर्ण BD को मिलाया।

ΔABD के लिए शीर्ष A(- 5, 7), B(-4, -5), D(4, 5)
ΔABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₃)]
= \(\frac{1}{2}\)[- 5(- 5 – 5) + (- 4)(5 – 7) + 4(7 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[-5(-10) – 4(-2) + 4(12)]
= \(\frac{1}{2}\)[50 + 8 + 48]
= \(\frac{1}{2}\)[106]
= \(\frac{106}{2}\) = 53 वर्ग इकाई
ΔBCD के लिए शीर्ष
B(- 4, – 5), C(-1, – 6), D(4, 5)
ΔBCD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₃)]
= \(\frac{1}{2}\) [-4(- 6 – 5) + (-1)(5 + 5) + 4(-5 + 6)]
= \(\frac{1}{2}\) [-4(- 11) – 1(10) + 4(1)]
= \(\frac{1}{2}\) [44 – 10 + 4]
= \(\frac{1}{2}\) [38] = \(\frac{38}{2}\)
= 19 वर्ग इकाई
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 53 + 19
= 72 वर्ग इकाई

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क)

1. x निर्देशांक को ……….. भी कहते हैं।
2. y- निर्देशांक को ………….. भी कहते हैं।
3. AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष- बिंदु A(0, – 3), O(0, 0) एवं B (4, 0) हैं इसके विकर्ण की लंबाई …………… है।
4. बिन्दुओं (- 3, – 3) तथा (- 3, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु ………………. है।
5. बिंदुओं (- a, a) तथा (- a, – a) के बीच की दूरी ………………. है।

हल :

1. भुज,
2. कोटि,
3. 5 इकाई,
4. (- 3, 0),
5. 2a इकाई ।

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख)

1. यदि बिंदु (3, – 6) बिंदुओं (0, 0) तथा (x, y) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है, तो बिन्दु (x, y) का मान (6, – 12) होगा।
2. x – अक्ष पर स्थित वह बिंदु जो (2, 3) तथा (6, – 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है, के निर्देशांक (0, 3) है।
3. यदि बिंदुओं A(-3, b) तथा B (1, b + 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु P(- 1, 1) है, तो b का मान 2 है।
4. यदि एक वृत्त का केंद्र (3, 5) है तथा एक व्यास के अंत बिंदु (4, 7) तथा (2, y) हैं, तो y का मान 3 है।
5. बिंदुओं A(2, – 3) तथा B (5, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड x-अक्ष को 1 : 2 के अनुपात में बाँटता है।

हल :

1. सत्य,
2. असत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य ।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
बिंदुओं (a cos θ + b sin θ, 0) तथा (0, a sin θ – b sin θ) के बीच की दूरी है
(A) a² + b²
(B) a² – b²
(C) \(\sqrt{a^2+b^2}\)
(D) \(\sqrt{a^2-b^2}\)
हल :

अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
यदि बिंदु P(k, 0), बिंदुओं A(2, – 2) तथा B(- 7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो k का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) – 2
(D) 1
हल :
बिंदु P के निर्देशांक

⇒ P (k, 0) = (- 1, 0)
∴ k = – 1
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
p का वह मान जिसके लिए बिंदु 4 (3, 1), B (5, p) तथा C(7, – 5) सरेख हैं, है :
(A) – 2
(B) 2
(C) – 1
(D) 1
हल :
बिंदु A(3, 1), B(5, p) तथा C(7, – 5) सरेख होंगे यदि,
x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) = 0
⇒ 3 (p + 5) + 5 (- 5 – 1) + 7 (1 – p) = 0
⇒ 3p + 15 – 30 + 7 – 7p = 0
⇒ – 4p – 8 = 0
⇒ – 8 = 4p
⇒ p = \(\frac{-8}{4}\) = – 2
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर स्थित बिंदु P जो बिंदुओं B(5, 0) से समदूरस्थ है, हैं
(A) (2, 0)
(B) (0, 2)
(C) (3, 0)
(D) (2, 2)
हल :
माना x- अक्ष पद P(x, 0) कोई बिंदु है।
दिया है, PA = PB
⇒ PA² = PB²
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ (x + 1)² + (0 – 0)² = (x + 5)² + (0 – 0)²
⇒ x² + 1 + 2x = x² + 25 – 10x
⇒ 12x = 24
⇒ x = 2
∴ बिंदु (2, 0)
अत: सही विकल्प (A) हैं।

प्रश्न 5.
उस बिंदु के निर्देशांक जो बिंदु (- 3, 5) का x- अक्ष में प्रक्षेप है, है:
(A) (3, 5)
(B) (3, – 5)
(C) (- 3, – 5)
(D) (- 3, 5)
हल :
P(-3, 5) का प्रेक्षप बिंदु P'(- 3, – 5) है ।

अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
यदि बिंदुओं A(10, – 6) तथा B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिन्दु (a, b) है, तथा a – 2b = 18 है, तो k का मान है:
(A) 30
(B) 22
(C) 4
(D) 40
हल :
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 7.
उस त्रिभुज जिसके शीर्ष बिंदु (0, 4), (0, 0) तथा (3, 0) है का परिमाप है।
(A) 7 + \(\sqrt{5}\)
(B) 5
(C) 10
(D) 12
हल :
माना ABC एक त्रिभुज है।

त्रिभुज ABC की परिमाप = AB + BC + CA
= 4 + 3 + 5 = 12 इकाई ।
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 8.
बिंदु P(3, 4) की x-अक्ष से दूरी है :
(A) 3 इकाई
(C) 5 इकाई
(B) 4 इकाई
(D) 1 इकाई
हल :
बिंदु P(3, 4) की x अक्ष से दूरी इस बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर होती है।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 9.
यदि बिंदुओं A(4, p) तथा B (1, 0) के बीच की दूरी 5 इकाई है, तो का मान है :
(A) केवल 4
(B) केवल – 4
(c) ± 4
(D) 0
हल :
∵ AB = 5
⇒ \(\sqrt{(4-1)^2+(p-0)^2}\) = 5
⇒ \(\sqrt{3^2+p^2}\) = 5
⇒ 3² + p² = 25
(दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ p² = 25 – 9
⇒ p² = 16
⇒ p = ± 4
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 10.
आयत AOBC के तीन शीर्ष A(0, 3), O(0, 0) तथा C(5, 0) है। इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(A) 5
(B) 3
(C) \(\sqrt{34}\)
(D) 6
हल :
आयत AOBC के तीन शीर्ष 4 (0, 3), O(0, 0) तथा C(5, 0) है।
आयत के विकर्ण (AC) की लम्बाई
= बिन्दु A(0, 3) तथा C(5, 0) के बीच की दूरी (AC)

अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 11.
यदि (a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(A) (a + b + c)²
(B) 0
(C) a + b + c
(D) abc
हल :
(a, b + c), (b, c + a) और (c, a + b) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु हैं।
यहाँ
x₁ = a,
x₂ = b,
x₃ = c
y₁ = b + c
y₂ = c + a
y₃ = a + b
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂))]
= \(\frac{1}{2}\)[a(c + a – a – b) + b(a + b – b – c) + c(b + c – c – a)]
= \(\frac{1}{2}\)[a(c – b) + b(a – c) + c(b – a)]
= \(\frac{1}{2}\)[ac – ab + ab – bc + bc – ac]
= \(\frac{1}{2}\) × 0 = 0
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
यदि एक चतुर्भुज के शीर्ष (1, 4), (- 5, 4), (- 5, – 3) और (1, – 3) हों, तो चतुर्भुज का प्रकार है:
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समान्तर चतुर्भुज
(D) समचतुर्भुज
हल :
माना कि चतुर्भुज के शीर्ष 4(1, 4), B(- 5, 4) तथा D(1, – 3) है तब

अतः AB = CD और BC = DA और
विकर्ण AC = विकर्ण BD

अत: दिये गये बिन्दु आयत के शीर्ष हैं।
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (1, 2), O(0, 0) तथा C (a, b) संरेखी हैं, तब :
(A) a = b
(B) a = 2b
(C) 2a = b
(D) a = – b
हल :
यदि दिए गए बिन्दु A(1, 2), O(0, 0) तथा C(a, b) सरेखी हैं, तो इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा ।
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[1(0 – b) + 0(b – 2) + a(2 – 0)] = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)[- b + 0 + 2a] = 0
⇒ 2a – b = 0
⇒ 2a = b
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A(- 2, – 1), B (a, 0), C(4, b) और D (1, 2) समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो a और b का मान होगा :
(A) 1, 3
(B) 2, 4
(C) 2, 3
(D) 1, 4
हल :
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सम- द्विभाजित करते हैं।
∴ विकर्ण AC का मध्य-बिन्दु = विकर्ण BD का मध्य बिन्दु

अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 15.
आकृति में बिन्दु P(5, – 3) तथा Q(3, y) बिन्दुओं A (7, – 2) तथा B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समनिभाजित करते हैं, तो y बराबर है-

(A) 2
(B) 4
(C) – 4
(D) \(\frac{-5}{2}\)
हल :
∵ बिन्दु P तथा Q, AB को समत्रिभाजित करते हैं।

∴ AP = PQ = BQ
AQ = AP + PQ = 2AP
∴ \(\frac{AQ}{BQ}=\frac{2AP}{AP}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2 : 1
बिन्दु Q का निर्देशांक है।

अतः विकल्प (C) सही है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Science Important Questions Chapter 4 Carbon and Its Compounds Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Science Important Questions Chapter 4 Carbon and Its Compounds

Additional Questions and Answers

Question 1.
(1) Write the IUPAC names of the following compounds using their structural formulae:
1. CH₃ – CH₂ – CH₂ – Cl

7. CH₃ – CH₂ – CH₂ – CHO
8. CH₃ – CHO
9. CH₃ – CH₂ – CH₂ – CH₂ – CHO
10. CH₃ – CO – CH₃
11. CH₃ – CH₂ – CO – CH₃
12. CH₃ – CH₂ – CH₂ – CO – CH₃
13. CH₃ – CH₂ – COOH
14. CH₃ – CH₂ – CH₂ – COOH
15. CH₃ – COOH
16. CH₃ – CH = CH₂
17. CH₃ – CH₂ – CH = CH₂
18. CH₃ – C ≡ CH
19. CH₃ – CH₂ – C ≡ CH
20. CH ≡ CH
Answer:

Structural formula	IUPAC name
1. CH3 – CH2 – CH2 – Cl	1-Chloropropane
	1-Bromo-2-methylpropane
	3-Bromopentane
4. CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – OH	Butan-l-ol(Butanol)
	2-Methylpropan-2-ol
	Butan-2-ol
7. CH3 – CH2 – CH2 – CHO	Butanal
8. CH3 – CHO	Ethanal
9. CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CHO	Pentanal
10. CH3 -CO-CH3	Propanone
11. CH3 – CH2 – CO – CH3	Butanone
12. CH3 – CH2 – CH2 – CO – CH3	2-Pentanone
13. CH3 – CH2 – COOH	Propanoic acid
14. CH3 – CH2 – CH2 – COOH	Butanoic acid
15. CH3 – COOH	Ethanoic acid
16. CH3 – CH = CH2	Propene
17. CH3 – CH2 – CH = CH2	1-Butene (or But-l-ene)
18. CH3 – C = CH	1-Propyne
19. CH3 – CH2 – C = CH	1-Butyne (or But-l-yne)
20. CH = CH	Ethyne

(2) Give structural formulae of the following compounds using their IUPAC names:
1. 2-Chloropropane
2. 1-Bromopentane
3. 2-Bromo-2-methylpropane
4. 1-Pentanol
5. Ethanol
6. Methanol
7. Methanal
8. Ethanal
9. 3-Pentanone
10. Propanone
11. Methanoic acid
12. Pentanoic acid
13. Ethene
14. 2-Butene
15. 1-Pentyne
Answer:

IUPAC name	Structural formula
1. 2-Chloro-propane
2. 1-Bromo-pentane	CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – Br
3. 2-Bromo-2-methyl-propane
4. 1-Pentanol	CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – OH
5. Ethanol	CH3 – CH2 – OH
6. Methanol	CH3 – OH
7. Methanal	H – CHO
8. Ethanal	CH3 – CHO
9. 3-Pentanone	CH3 – CH2 – CO – CH2 – CH3
10. Propanone	CH3 – CO – CH3
11. Methanoic acid	HCOOH
12. Pentanoic acid	CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – COOH
13. Ethene	CH2 = CH2
14. 2-Butene	CH3 – CH = CH – CH3
15. 1-Pentyne	CH3 – CH2 – CH2 – C ≡ CH

Question 2.
Distinguish between:
(1) Ionic compounds and Covalent compounds
Answer:

Ionic compounds	Covalent compounds
1. The compounds formed by transfer of electrons between two atoms are known as ionic compounds.	1. The compounds formed by sharing of electrons between two atoms are known as covalent compounds.
2. They are mostly solids.	2. They may be solid, liquid or gases.
3. They have comparatively high melting point and boiling point.	3. They have comparatively low melting point and boiling point.
4. They conduct electricity through a solution or in molten state.	4. They are generally non-conductors of electricity.

(2) Diamond and Graphite
Answer:

Diamond	Graphite
1. In diamond, each carbon atom is covalently bonded to four other carbon atoms forming a hard and three-dimensional tetrahedral structure.	1. In graphite, each carbon atom is covalently bonded to three other carbon atoms forming two-dimensional hexagonal structure.
2. It is the hardest natural substance known.	2. It is soft and greasy.
3. It is non-conductor of electricity.	3. It is good conductor of electricity.
4. Chemically, diamond is unreactive.	4. Chemically, graphite is reactive.

(3) Saturated carbon compounds and Unsaturated carbon compounds
Answer:

Saturated carbon compounds	Unsaturated carbon compounds
1. Compounds of carbon which have only single covalent bonds between carbon atoms are called saturated carbon compounds.	1. Compounds of carbon which have double or triple bonds between carbon atoms are called unsaturated carbon compounds.
2. They are less reactive.	2. They are more reactive.
3. For example, compounds of alkanes.	3. For example, compounds of alkenes and alkynes.
4. They burn with blue flame.	4. They burns with yellow sooty flame and produce black smoke.

Question 3.
Give scientific reasons for the following statements:
(1) Candle burns with a yellow flame.
Answer:
Candle is made-up of wax, which consists of saturated hydrocarbons containing 18 to 20 carbon atoms.

• When a candle is lighted (ignited), the wax melts s which rises up the wick and gets covered by vapour. As a result, there is no proper mixing of O₂ of air and wax vapours.
• Therefore, here incomplete combustion of wax takes place, and complete combustion of wax does not take place.
• Furthermore, incomplete combustion of wax s produces unburnt carbon particles, which rise up in the flame, get heated and imparts yellow colour to the flame.

(2) Burning substances (fuels) burn with or without a flame.
Answer:
When the gaseous substances are heated, a luminous flame is seen and they start to glow.

• Some liquid and solid fuels burn with a flame because on heating, their atoms easily get converted into vapours; and burn with a luminous flame starting with glow.
• When volatile substances present in this type of fuel vapourises, then the fuel just glows red and gives out heat without flame.

(3) Diamond has high melting point, in spite of having covalent bonds.
Answer:
In diamond, each carbon atom is attached to four other carbon atoms by strong covalent bonds and forms three-dimensional tetrahedral structure.

• A large amount of energy is needed to break the network of large number of covalent bonds.
• Hence, diamond has high melting point.

Objective Questions and Answers

Question 1.
Answer the following questions in one word or in one sentence:

1. State the proportion of carbon in the earth’s crust in the form of minerals.
2. Mention the percentage proportion of carbon dioxide in the atmosphere.
3. Write the number of electrons in shell of carbon, oxygen and nitrogen respectively.
4. Mention the major component of biogas and CNG.
5. Are the boiling points and melting points of covalent compounds high or low in comparison to ionic compounds?
6. Write the property of electrical conductivity of carbon compounds.
7. Which allotrope of carbon is very hard?
8. Name the element which is next to carbon according to catenation property.
9. What is the number of carbon compounds estimated approximately?
10. State the general formula of saturated alkane compounds.
11. State the general formula of unsaturated alkene compounds.
12. Mention the general formula of unsaturated alkync compounds.
13. Compare the chemical reactivity of saturated and unsaturated compounds.
14. State the minimum number of carbon atoms required to form the ring structure.
15. How many isomers are possible for hexane?
16. Write the structural formula of functional groups (i) aldehyde, (ii) ketone and (iii) carboxylic acid respectively.
17. What is the difference of molecular masses between two successive compounds of homologous series?
18. State the elements used as catalyst in hydrogenation reaction.
19. Which ions are present in hard water?
20. Identify the functional groups in butanone and butanal respectively.

Answer:

1. 0.02 %
2. 0.03 %
3. 4, 6 and 5
4. Methane
5. Melting points and boiling points of covalent compounds are comparatively lower than the melting points and boiling points of ionic compounds.
6. Carbon compounds are non-conductor of electricity.
7. Diamond
8. Sulphur
9. Three million
10. C_nH_2n+2
11. C_nH_2n
12. C_nH_2n-2
13. Unsaturated compounds are more reactive chemically than the saturated compounds.
14. Three
15. Five
16. 
17. 14u
18. Nickel, palladium
19. Calcium (Ca²⁺), magnesium (Mg²⁺)
20. Ketone, aldehyde

Question 2.
Define:
(1) Covalent bond
Answer:
A chemical bond formed between two or more atoms by mutual sharing of valence electrons is known as a covalent bond.

(2) Catenation
Answer:
Carbon has the unique ability to form bonds with other atoms of carbon, giving rise to a large number of molecules. This property of carbon is called catenation.

(3) Saturated carbon compounds
Answer:
Compounds of carbon which are linked by only single covalent bonds between carbon atoms are called saturated carbon compounds.

(4) Unsaturated carbon compounds
Answer:
Compounds of carbon which have double or triple bonds between carbon atoms are called unsaturated carbon compounds.

(5) Hydrocarbons
Answer:
The compounds containing carbon and hydrogen only are called hydrocarbons.

(6) Functional group
Answer:
An atom or a group of atoms which imparts specific properties to the compound is called a functional group.

(7) Homologous series
Answer:
A series of organic compounds in succession which differ by a definite group (like – CH₂ -) is called homologous series.

(8) Combustion reaction
Answer:
Carbon (or most of the organic compounds), in all its allotropic forms, burns in air to give carbon dioxide along with the release of heat and light. This is called combustion reaction.

(9) Oxidising agent
Answer:
Some substances are capable of adding oxygen to other substances. These substances are known as oxidising agents.

(10) Addition reaction
Answer:
The reaction in which unsaturated hydrocarbons add hydrogen in the presence of catalysts such as palladium or nickel to form saturated hydrocarbons is called an addition reaction.

(11) Substitution reaction
Answer:
The reaction in which H-atoms of saturated hydrocarbons are displaced by another atom or functional group is called a substitution reaction.

(12) Esterification reaction
Answer:
A reaction in which a carboxylic acid and an alcohol react in the presence of acid catalyst forming esters and water is known as an esterification reaction.

(13) Saponification reaction
Answer:
The reaction of forming alcohol and sodium salt of carboxylic acid from ester is known as saponification.

Question 3.
Fill in the blanks :

1. All living structures are based on …………………
2. The earth’s crust has ………………… carbon in the form of minerals.
3. Carbon possesses ………………… electrons in its outermost shell.
4. The atomic number of chlorine is
5. The molecular formula of ammonia is …………………
6. ………………… is a major component of biogas and CNG.
7. Carbon atoms are linked together with a ………………… in saturated carbon compounds.
8. Fuels such as coal and petroleum contain some amount of ………………… and ………………… in them.
9. The molecular formula of propane is …………………
10. The general formula of alkene is …………………
11. Most of the carbon compounds release a large amount of ………………… and ………………… on burning.
12. Unsaturated hydrocarbons gives a ………………… flame with lots of ………………… smoke.
13. Alcohols are oxidised to …………………
14. ………………… are substances that cause a reaction to proceed at a higher rate without the reaction itself being affected.
15. ………………… catalyst is used in hydrogenation of vegetable oils.
16. Animals fats contain esters of …………………
17. Substitution of hydrogen of methane by chlorine in the presence of sunlight forms …………………
18. ………………… is used in the preparation of tincture iodine.
19. Reaction of alcohol with sodium forms …………………
20. Concentrated H₂SO₄ is a …………………
21. Reaction of ethanoic acid with ethanol in presence of acid catalyst forms …………………
22. The molecules of soap are ………………… salts of long chain carboxylic acids.
23. Micelles forms an ………………… in water.
24. Unsaturated hydrocarbons add hydrogen in the presence of catalyst such as ………………… to give saturated hydrocarbons.
25. Compound made-up of only carbon and hydrogen is called …………………

Answer:

1. carbon
2. 0.02 %
3. four
4. 17
5. NH₃
6. Methane
7. single bond
8. nitrogen, sulphur
9. C₃H₈
10. C_nH_2n
11. heat, light
12. yellow, black
13. carboxylic acids
14. Catalysts
15. Nickel (Ni)
16. saturated fatty acids
17. CH₃Cl
18. Ethanol
19. hydrogen gas (H₂)
20. dehydrating agent
21. ester (ethyl acetate) and water
22. sodium/ potassium
23. emulsion
24. palladium, nickel (Pd/Ni)
25. hydrocarbon

Question 4.
State whether the following statements are true or false:

1. Propene is a saturated hydrocarbon.
2. Alkenes or alkynes are more reactive than their corresponding alkane.
3. The difference in number of atoms or molecular formula between two successive members in homologous series is – CH₂.
4. The solution of ethanol containing 5 % water is called as an absolute alcohol.
5. The molecular formula of formaldehyde is HCHO.
6. IUPAC name of CH₃CH₂COOH is butanoic acid.
7. Detergents are used to prepare shampoos and products for cleaning clothes.
8. Non-polar end of soap is hydrophilic while the polar end (head) is hydrophobic.
9. Soap solution appears cloudy because micelles scatter the light.
10. Reaction of carboxylic acid with sodium carbonate produces carbon dioxide.
11. Dyes are added to colour the alcohol blue. This is called denatured alcohol.
12. Dehydration of ethanol gives propene.
13. Coal and petroleum have some amount of nitrogen and sulphur in them, hence, their combustion causes pollution in environment.

Answer:

1. False
2. True
3. True
4. False
5. True
6. False
7. True
8. False
9. True
10. True
11. True
12. False
13. True

Question 5.
Match the following:
(1)

Answer:
(1 → S), (2 → P), (3 → Q), (4 → R).

(2)

Column I (Molecule)	Column II (Number of bonds)
1. Molecule of hydrogen	P. Double bond and single bond
2. Molecule of nitrogen	Q. Only single bond
3. Molecule of oxygen	R. Triple bond
4. Benzene	S. Only double bond

Answer:
(1 → Q), (2 → R), (3 → S), (4 → P).

(3)

Answer:
(1 → S), (2 → P), (3 → Q), (4 → R).

Question 6.
Mention the formulae, and names of the products in the following reactions:
( 1 ) C + O₂ →
( 2 ) CH₄ + O₂ →
( 3 ) CH₃CH₂OH + O₂ →

( 14 ) CH₃COOH + KOH →
( 15 ) CH₃CH₂COOH + KOH →
( 16 ) CH₃COOH + Na₂O₃ →
( 17 ) CH₃CH₂COOH + Na₂CO₃ →
( 18 ) CH₃COOH + NaHCO₃ →
( 19 ) CH₃CH₂COOH + NaHCO₃ →
( 20 ) CH₃CH₂CH₂COOH + NaHCO₃ →
Answer:

Question 7.
Choose the correct option from those given below each question:
1. By which name the compounds containing functional group – CHO are known?
A. Amide
B. Aldehyde
C. Ketone
D. Alcohol
Answer:
B. Aldehyde

2. Which functional group is present in carboxylic acid?
A.
B. – COOH
C. – CHO
D. – OH
Answer:
B. – COOH

3. Which functional group is to be given suffix -ol in the nomenclature?
A. – CHO
B.
C. – OH
D. – X
Answer:
C. – OH

4. Which functional group is present in meyhyl ethanoate?
A. Alcohol
B. Halide
C. Ketone
D. Ester
Answer:
D. Ester

5. Which of the following is obtained by the reduction of methanal?
A. Ethanol
B. CO₂ and O₂
C. Methanol
D. All of the given
Answer:
C. Methanol

6. Which of the following reaction takes place between the reaction of alcohol and carboxylic acid in the presence of concentrated H₂SO₄?
A. Hydrolysis
B. Beta elimination
C. Saponification
D. Esterification
Answer:
D. Esterification

7. In order to form a compound, which of the following functional group possess minimum three carbon atoms?
A. – COOH
B. – CHO
C.
D. – C – O –
Answer:
C.

8. Which functional group is present in ketone?
A.
B. – COOH
C. – CHO
D. – OH
Answer:
A.

9. Which functional group is present in aldehyde?
A.
B. – COOH
C. – CHO
D. – OH
Answer:
C. – CHO

10. Name the substance having functional group – OH.
A. Alcohol
B. Ketone
C. Ester
D. Carboxylic acid
Answer:
A. Alcohol

11. How many carbon atom/s are present in formic acid?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Answer:
A. 1

12. Which of the following is used as food preservator?
A. CH₃OH
B. CH₃COOH
C. CH₃CHO
D. CH₃COCH₃
Answer:
B. CH₃COOH

13. In soap and detergent, non-polar tail is attracted towards ………………. and an anionic head is attracted towards ……………….
A. stain, glycerol
B. water molecules, stain
C. stain, water molecules
D. water molecules, glycerol
Answer:
C. stain, water molecules

14. Write the common name of ethanoic acid.
A. Formic acid
B. Acetic acid
C. Propanoic acid
D. Butanoic acid
Answer:
B. Acetic acid

15. A molecule of NH₃ (ammonia) has …
A. only single bonds.
B. only double bonds.
C. only triple bonds.
D. two double bonds and one single bond.
Answer:
A. only single bonds.

16. Fullerene is an allotropic form of…
A. phosphorus.
B. sulphur.
C. carbon.
D. tin.
Answer:
C. carbon.

17. Which of the following are correct structural isomers of butane?

A. (i) and (iii)
B. (ii) and (iv)
C. (i) and (ii)
D. (iii) and (iv)
Answer:
C. (i) and (ii)

18.
In the above given reaction, alkaline KMnO₄ acts as …
A. reducing agent.
B. oxidising agent.
C. catalyst.
D. dehydrating agent.
Answer:
B. oxidising agent.

19. Oils on treating with hydrogen in the presence of palladium or nickel catalyst form fats. This is an example of…
A. addition reaction.
B. substitution reaction.
C. rearrangement reaction.
D. oxidation reaction.
Answer:
A. addition reaction.

20. Structural formula of ethyne is …
A. H – C ≡ C – H
B. H₃C – C ≡ CH

Answer:
A. H – C ≡ C – H

21. Which of the following are unsaturated compounds ?
(i)Propane
(ii) Propene
(iii) Propyne
(iv) Chloropropane
A. (i) and (ii)
B. (ii) and (iv)
C. (iii) and (iv)
D. (ii) and (iii)
Answer:
D. (ii) and (iii)

22. In which condition, chlorine reacts with saturated hydrocarbons at room temperature?
A. In the absence of sunlight
B. In the presence of sunlight
C. In the presence of water
D. In the presence of hydrochloric acid
Answer:
B. In the presence of sunlight

23. Which products are formed by the reaction between ethanol and sodium?
A. Sodium ethanoate and hydrogen
B. Sodium ethanoate and oxygen
C. Sodium ethoxide and hydrogen
D. Sodium ethoxide and oxygen
Answer:
C. Sodium ethoxide and hydrogen

24. The correct structural formula of butanoic acid is …

Answer:

25. Vinegar is a solution of…
A. 50%-60% acetic acid in alcohol.
B. 5%-8% acetic acid in alcohol.
C. 5%-8% acetic acid in water.
D. 50%-60% acetic acid in water.
Answer:
C. 5%-8% acetic acid in water.

26. Carbon forms four covalent bonds by sharing its four valence electrons with four univalent atoms, for example, hydrogen. After the formation of four bonds, carbon attains the electronic configuration of….
A. helium
B. neon
C. argon
D. krypton
Answer:
B. neon

27. Which of the following compounds does not belong to the homologous series?
A. CH₄
B. C₂H₆
C. C₃H₆
D. C₄H₈
Answer:
D. C₄H₈

28. The first member of alkyne homologous series is … .
A. ethyne
B. ethene
C. propyne
D. methane
Answer:
A. ethyne

29. Which of the following represents saponification reaction?

Answer:
CH₃COOC₂H₅ + NaOH → CH₃COONa + C₂H₅OH

30. The number of covalent bonds present in pentane is –
A. 5
B. 12
C. 16
D. 17
Answer:
C. 16

Question 8.
Choose more than one correct options from those given below each question:
1. Which of the following are not correct for carbon compounds?
A. Three hydrocarbon compounds can be represented by a general formula.
B. Three hydrocarbon compounds are isomers of each other.
C. Three hydrocarbon compounds are unsaturated hydrocarbons.
D. Chemical reactions of three hydrocarbon compounds are similar.
Answer:
B, D.

2. Which of the following are unsaturated compounds?
A. Ethene, ethyne, propene, propyne
B. Ethyne, butyne, propanol, butanol
C. Ethene, propene, butene, pentene
D. Ethyne, propyne, butyne, pentyne
Answer:
A, C, D

3. Which of the following statements are correct for the given hydrocarbon compounds?

A. Three hydrocarbon compounds can be represented by a general formula.
B. Three hydrocarbon compounds are isomers of each other.
C. Three hydrocarbon compounds are unsaturated hydrocarbons.
D. Chemical reactions of three hydrocarbon compounds are similar.
Answer:
A, B, D

4. Which of the following are isomers of butane?

Answer:
A, B

5. Which of the following reactions are correct?

Answer:
B, C, D

Question 9.
In each of the following questions, two statements are given. A statement of Assertion (A) is followed by another statement of Reason (R). Study the statements carefully and choose the correct option:
A. Both assertion (A) and reason (R) are true, and reason (R) is the true explanation of the assertion (A).
B. Both assertion (A) and reason (R) are true, but reason (R) is not the true explanation of the assertion (A).
C. Assertion (A) is true and reason (R) is false.
D. Both assertion (A) and reason (R) are false.
1. (A) A mixture of oxygen and ethyne is burnt for welding.
(R) Burning of the mixture releases a large amount of heat.
Answer:
A. Both assertion (A) and reason (R) are true, and reason (R) is the true explanation of the assertion (A).

2. (A) Acidified K₂Cr₂O₇ is used in oxidation of ethanol.
(R) Acidic K₂Cr₂O₇ is a reducing agent.
Answer:
C. Assertion (A) is true and reason (R) is false.

3. (A) Animal fats should be chosen for cooking.
(R) Animal fats are not harmful for health.
Answer:
D. Both assertion (A) and reason (R) are false.

4. (A) Carbon could not form C^4- anion by gaining four electrons.
(R) It would be difficult for carbon atom with six protons in its nucleus to accomodate ten electrons.
Answer:
A. Both assertion (A) and reason (R) are true, and reason (R) is the true explanation of the assertion (A).

5. (A) C₂H₅OH, C₃H₇OH and C₄H₉OH are members of homologous series.
(R) These compounds do not have same functional group.
Answer:
C. Assertion (A) is true and reason (R) is false.

Value Based Questions With Answers

Question 1.
One day Mudra was talking to her mother who was cooking vegetables in a stainless steel? utensils. Mudra observed that the bottom of cooking utensils was getting blackened from outside. She showed this to her mother. The mother told Mudra that the bottoms of all the cooking utensils kept on the gas stove were getting blackened for the last few days and she had tough time cleaning these utensils.

Being a science student of class X, Mudra S checked the gas stove thoroughly and could understand the reason for this problem. She explained everything to her mother. As Mudra S was getting late for school, she asked her mother to take a particular step to stop the blackening of cooking utensils. Mudra’s mother S did the same. The mother was glad that the? bottoms of cooking utensils kept on gas burner were no longer being blackened.

Questions:

1. Why is the bottom of cooking utensils getting blackened? Explain.
2. Apart from blackening the utensils, state two other disadvantages in this condition.
3. What did Mudra find on checking the gas stove thoroughly which was causing this problem?
4. What step was taken by Mudra to get rid of this problem?
5. What type of flame was produced by the gas stove burner after the required step was taken by Mudra’s mother?
6. What values are shown by Mudra in this act?

Answer:

1. The fuel LPG is burning incompletely in the gas stove producing yellow, sooty flame. The unburnt particles present in sooty flame stick to the bottom of the cooking utensils and blacken it.
2. Since the fuel is not burning completely, there is wastage of fuel. and The incomplete combustion of LPG puts unburnt carbon particles into the air and pollutes the environment.
3. Mudra had found that the air holes of the gas stove were partially blocked.
4. Mudra had suggested her mother to clean the holes of the gas burner properly to bring in free flow of air sufficient for the complete combustion of fuel.
5. After the air holes of the gas stove were opened fully by proper cleaning, then sufficient air was made available for the complete combustion of fuel to produce smokeless, blue flame.’
6. The values shown by Mudra are : (1) Good observation skills, (2) Understanding of combustion of fuels, (3) Application of knowledge in everyday life and (4) Concern for the environment.

Question 2.
Yug studies in tenth standard. One day his science teacher was discussing about oils and fats in the class. During this discussion, Yug came to know many facts about oils and fats which he did not know earlier. When Yug came back home from school, he asked his mother about oil she used to prepare food for the family.

His mother replied that she was using vegetable ghee for cooking food. Yug requested his mother not to use vegetable ghee because it is harmful for health. He asked her to use vegetable oil for cooking the food because vegetable oil is good for health. Yug’s mother agreed to do the same; and she started the use of vegetable oil.

Questions :

1. Write the physical states of vegetable ghee and vegetable oil.
2. How do vegetable oils and fats differ chemically?
3. By which method, the vegetable oil is converted into vegetable ghee?
4. Why is vegetable ghee not considered good for health?
5. Name the most common animal fat consumed by people.
6. Why is vegetable oil better for health?

Answer:

1. Vegetable ghee is a solid and vegetable oil is a liquid at room temperature.
2. Vegetable oils are unsaturated organic compounds while fats are saturated organic compounds.
3. Vegetable oil is converted into vegetable ghee by hydrogenation of vegetable oil.
4. Vegetable ghee consists of saturated fatty acids, which raise the level of bad cholesterol in blood after a long time use and increase the risk of heart disorder. Hence vegetable ghee is not good for health.
5. Butter is the most common animal fat consumed by people.
6. Vegetable oil contains unsaturated fatty acids, which does not increase the level of bad cholesterol in blood and reduces the risk of heart disorder. Therefore, vegetable oil is preferable and good for health.

Practical Skill Based Questions With Answers

Question 1.
An organic compound A’ is widely used to preserve the pickles and has a molecular formula C₂H₄O₂. This compound reacts with ethanol to form a sweet smelling compound ‘B
( 1 ) Identify the compound A.
( 2 ) Write the chemical equation for the reaction of A with ethanol in the presence of acid.
(3 ) Which gas is produced when compound A reacts with washing soda? Write the chemical equation.
(4) How can we obtain compound A from ‘B’?
Answer:
( 1 ) Compound A is acetic acid (CH₃COOH).

( 3 ) Carbon dioxide gas is produced :

( 4 ) Saponification :

Question 2.
Identify the compounds A, B, C, D, E and F in the following reactions:

Answer:
( 1 ) A = Alkaline KMnO₄ or Acidic K₂Cr₂O₇
( 2 ) B = CH₃COOC₂H₅
( 3 ) C = CH₃COONa, B = CH₃COOC₂H₅
( 4 ) D = CH₃COOH, E = CO₂
( 5 ) E = CO₂, F = CaCO₃

Question 3.
An organic compound P when heated with excess concentrated H₂SO₄ at 443 K produced compound Question The number of carbon atoms in P and Q are same. Compound Q when treated with hydrogen in presence of nickel or palladium formed compound R. One mole of ‘R’ when reacts with sufficient O₂ gives two moles of carbon dioxide and three moles of water. Identify the compounds P, Q and R. Write chemical equations for the reactions.
Answer:
P : C₂H₅OH (Ethanol)
Q : H₂C = CH₂ (Ethene)
R : H₃C – CH₃ (Ethane)
Chemical reactions :

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