JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
शंकु के आधार का व्यास = 10.5 सेमी
∴ शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{10.5}{7}\) सेमी
और शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 10 सेमी
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{10.5}{2}\) × 10 वर्ग सेमी
= 165 वर्ग सेमी
अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 165 वर्ग सेमी।

प्रश्न 2.
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊंचाई 21 मीटर और आधार का व्यास 24 मीटर है।
हल:
शंकु के आधार का व्यास = 24 मीटर
∴ शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{24}{2}\) = 12 मीटर
और शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 21 मीटर
∴ शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल
= πrl + πr² = πr (l + r)
= \(\frac{22}{7}\) × 12 × (21 + 12)
= \(\frac{22}{7}\) × 12 × 33 वर्ग मीटर
= \(\frac{8712}{7}\) वर्ग मीटर = 1244.57 वर्ग मीटर
अतः शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1244.57 वर्ग मीटर।

प्रश्न 3.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी² और इसकी तिर्यक ऊंचाई 14 सेमी है ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल:
(i) माना शंकु के आधार की त्रिज्या r सेमी है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 14 सेमी
∴ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
308 = \(\frac{22}{7}\) × r × 14 वर्ग सेमी
= 44 वर्ग सेमी
r = \(\frac{308}{44}\) = 7 सेमी
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या = 7 सेमी।

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल
= πrl + πr² = πr(l + r)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × (14 + 7)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 21 = 462 वर्ग सेमी।
अतः शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग सेमी।

प्रश्न 4.
शंकु के आकार का एक तम्बू 10 मीटर ऊँचा है। और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है। ज्ञात कीजिए:
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तम्बू में लगे केनवास की लागत, यदि 1 वर्ग मीटर केनवास की लागत ₹ 70 है।
हल:
(i) तम्बू के आधार की त्रिज्या (r) = 24 मीटर तथा ऊँचाई (h) = 10 मीटर है।
∴ तिर्यक् ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
= \(\sqrt{(10)^2+(24)^2}\)
= \(\sqrt{100+576}\)
= \(\sqrt{676}\) = 26 सीटर
अतः तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (l) = 26 मीटर।

(ii) तम्बू को बनाने में प्रयुक्त केनवास शंकु के आकार वाले तम्बू का वक्र पृष्ठ = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 24 × 26 वर्ग मीटर
= \(\frac{13,728}{7}\) वर्ग मीटर
∴ तम्बू को बनाने में प्रयुक्त केनवास का क्षेत्रफल = \(\frac{13,728}{7}\) वर्ग मीटर
अतः तम्बू में लगे केनवास की लागत = केनवास का क्षेत्रफल × 1 वर्ग मीटर केनवास की लागत
= \(\frac{13,728}{7}\) × 70 = ₹ 1,37,280

प्रश्न 5.
8 मीटर ऊंचाई और आधार की त्रिज्या 6 मीटर वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी ? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल:
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 6 मीटर
शंकु की ऊँचाई (h) = 8 मीटर
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
= \(\sqrt{(8)^2+(6)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\)
= \(\sqrt{100}\) = 10 मीटर
∴ तम्बू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 6 × 10
= 188.40 वर्ग मीटर
∴ तिरपाल का क्षेत्रफल = 188.40 वर्ग मीटर
तिरपाल की चौड़ाई = 3 मीटर

सिलाई इत्यादि में प्रयुक्त तिरपाल = 20 सेमी
= 0.20 मीटर
अतः तिरपाल की कुल लम्बाई = (62.80 + 0.20) मीटर = 63 मीटर।

प्रश्न 6.
एक शंकु के आकार के एक गुम्बज की तिर्थक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 मीटर और 14 मीटर है। इसके वक्र पृष्ठ पर 210 रुपये प्रति 100 मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
शंक्वाकार गुम्बज के आधार का व्यास = 14 मीटर
∴ शंक्वाकार गुम्बज के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{14}{2}\) = 7 मीटर
गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई (l) = 25 मीटर
∴ गुम्बज का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 25 = 550 वर्ग मीटर
… 100 वर्ग मीटर पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय = पृष्ठीय क्षेत्रफल दर × प्रति 100 मी²
= 550 × \(\frac{210}{100}\) = 1,155
अतः गुम्बज के वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय = ₹ 1,155

प्रश्न 7.
एक जोकर की टोपी शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊंचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
जोकर की टोपी शंक्वाकार है।
∴ टोपी के आधार की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
तथा टोपी की ऊँचाई (h) = 24 सेमी
∴ टोपी की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
= \(\sqrt{(24)^2+(7)^2}\)
= \(\sqrt{576+49}\)
= \(\sqrt{625}\) = 25 सेमी
∴ टोपी का वक्र पृष्ठ = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 25
= 550 वर्ग सेमी
∵ 1 टोपी बनाने में लगा गत्ता = 550 वर्ग सेमी
∴ 10 टोपी बनाने में लगा गता = 550 × 10
= 5500 वर्ग सेमी।

प्रश्न 8.
किसी बस स्टॉप को पुराने गले से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 सेमी और ऊंचाई 1 मीटर है। यदि इन शंकुओं के बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति मीटर² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आयेगी? π = 3.14 और \(\sqrt{\mathbf{1 . 0 4}}\) = 1.02 का प्रयोग कीजिए।
हल:
शंकु के आधार का व्यास = 40 सेमी
∴ शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{40}{2}\) = 20 सेमी
= 0.20 मीटर
और शंकु की ऊँचाई (h) = 1 मीटर
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
\(\sqrt{(1)^2+(0.2)^2}=\sqrt{1.04}\) = 1.02 मीटर
शंकु का वक्र पृष्ठ = πrl
= 3.14 × 0.20 × 1.02 वर्ग मीटर
= 0.64056 वर्ग मीटर
∴ 50 शंकुओं का वक्र पृष्ठ = 50 × 0.64056 वर्ग मीटर
= 32.028 वर्ग मीटर
∴ 50 शंकुओं पर सफेदी कराने का व्यय = वक्र पृष्ठ × मूल्य-दर
= 32.028 × 12 = ₹ 384.336
= ₹ 384.34 लगभग।
अतः शंकुओं पर सफेदी कराने में लगभग ₹ 384.34 व्यय होंगे।