Bhagya

JAC Jharkhand Board Class 10th Sanskrit Solutions शेमुषी भाग 2

• Chapter 1 शुचिपर्यावरणम्
• Chapter 2 बुद्धिर्बलवती सदा
• Chapter 3 व्यायामः सर्वदा पथ्यः
• Chapter 4 शिशुलालनम्
• Chapter 5 जननी तुल्यवत्सला
• Chapter 6 सुभाषितानि
• Chapter 7 सौहार्द प्रकृतेः शोभा
• Chapter 8 विचित्रः साक्षी
• Chapter 9 सूक्तयः
• Chapter 10 भूकम्पविभीषिका
• Chapter 11 प्राणेभ्योऽपि प्रियः सुहृद्
• Chapter 12 अन्योक्तयः

JAC Class 10 Sanskrit अपठित-अवबोधनम्

• अपठित गद्यांशः

JAC Class 10 Sanskrit अनुप्रयुक्त-व्याकरणम्

• सन्धिकार्यम्
• समास:
• कारकम्
• प्रत्ययज्ञानम्
• अव्ययपदानि
• उपसर्ग प्रकरणम्
• शब्दरूप प्रकरणम्
• धातुरूप-प्रकरणम्
• संख्याज्ञानम्

JAC Class 10 Sanskrit रचनात्मक कार्यम्

• पत्र-लेखनम्
• चित्राधारित वर्णनम्
• संकेत आधारित वार्तालाप लेखनम्
• अनुवाद कार्यम्
• घटनाक्रमस्य संयोजनम्
• वाक्य निर्माणम्

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक अर्धगोलाकार टैंक पानी से भरा है, जिसका पानी एक पाइप द्वारा \(\frac{25}{7}\) लीटर प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जा रहा है। ज्ञात कीजिए कि इस टैंक को आधा खाली करने में कितना समय लगेगा, यदि टैंक के आधार का व्यास 3 मी. है।
हल:
दिया है,
अर्धगोलाकार टैंक का व्यास = 3 मी
∴ अर्धगोलाकार टैंक की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) मी
अर्धगोलाकार टैंक का आयतन = \(\frac{2}{3}\) πr³

∵ \(\frac{25}{7}\) लीटर पानी को खाली करने में लगा समय
= 1 सेकण्ड
∴ \(\frac{99000}{28}\) लीटर पानी को खाली करने में लगा समय
= \(\frac{7}{25} \times \frac{99000}{28}\)
= 990 सेकण्ड
= \(\frac{990}{60}\) मिनट
= 16.5 मिनट
अतः आधे टैंक को खाली करने में लगा समय = 16.5 मिनट।

प्रश्न 2.
10 सेमी भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र को पेंट करवाने का ₹ 5 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से व्यय ज्ञात कीजिए। [π = 3.14 लीजिए]
हल:
अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास:
= घन के एक किनारे की ल. (a) = 10 सेमी

∴ अर्द्धगोले की त्रिज्या, r = \(\frac{10}{2}\) = 5 सेमी
अब ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षे. = घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोलीय का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्द्धगोले के आधार का क्षेत्रफल
= 6a² + 2πr² – πr²
= 6 × 10² + 2 × 3.14 × (5)² – 3.14 × (5)² सेमी²
= 600 + 157 – 78.5 cm²
= 678.5 cm²
पेंट करवाने का खर्चा = ₹ 5 प्रति 100 सेमी²
∴ ठोस को पेंट करवाने का खर्चा
= 678.5 × \(\frac{5}{100}\)
= ₹ 33.90 (लगभग)
अतः पेंट करवाने का व्यय = ₹ 33.90 (लगभग)।

प्रश्न 3.
एक ठोस धातु के बेलन के दोनों किनारों से उसी व्यास के अर्द्धगोले के रूप में धातु निकाली गई। बेलन की ऊँचाई 10 सेमी तथा इसके आधार की त्रिज्या 4.2 सेमी है। शेष बेलन को पिघलाकर 1.4 सेमी मोटी बेलनाकार तार बनाई गई तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
ठोस धातु के बेलन की ऊँचाई = 10 सेमी
ठोस धातु के बेलन की त्रिज्या = 4.2 सेमी
∴ सभी अर्द्धगोले की त्रिज्या = ठोस धातु के बेलन की त्रिज्या; r = 4.2 सेमी
अब शेष बचे हुए बेलन का आयतन = बेलन का आयतन – 2 × अर्द्धगोले का आयतन
= πr²h – 2 × \(\frac{2}{3}\)πr³
= πr²\(\left(h-\frac{4}{3} r\right)\) = π × (4.2)² \(\left(10-\frac{4}{3} \times 4.2\right)\)
= π(4.2)² × 4.4 सेमी³
बेलनाकार तार की मोटाई = 1.4 सेमी
बेलनाकार तार की त्रिज्या = \(\frac{2}{3}\) = 7 सेमी
माना तार की लम्बाई = H सेमी
प्रश्नानुसार-
बेलनाकार तार का आयतन = शेष बचे हुए बेलन का आयतन
⇒ π × .7 × .7 × H = π × (4.2)².4.4
⇒ H = \(\frac{4.2 \times 4.2 \times 4.4}{.7 \times .7}\)
= 158.4
अतः तार की लम्बाई = 138.4 सेमी

प्रश्न 4.
पानी से भरी हुई अर्द्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मीटर है तो कितने समय में आधी खाली हो जायेगी।
हल:
दिया है,
अर्द्धगोलाकार टैंकी का व्यास = 13.5 मीटर
∴ त्रिज्या r = \(\frac{3.5}{2}\) मीटर
अर्द्धगोलाकार टंकी की आयतन

…….5 लीटर पानी को खाली करने में लगा समय = 1 सेकण्ड
∴ \(\frac{67375}{21}\) लीटर पानी को खाली करने में लगा समय
= \(\left(\frac{1}{5} \times \frac{67375}{21}\right)\)
\(\left(\frac{1}{5} \times \frac{67375}{21}\right)\) से. = 641.66 से. = 10.69 मिनट
अतः आधी टंकी को खाली करने में लगभग = 10.69 मिनट।

प्रश्न 5.
आकृति में, PQRS एक वर्गाकार लॉन है जिसकी भुजा PQ = 42 मीटर है। दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ भुजा PS तथा QR पर हैं जिनका केन्द्र इस वर्ग के विकणों का प्रतिच्छेन बिन्दु O है। दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
वर्गाकार लॉन का क्षेत्रफल PQRS = 42 मी × 42 मी
माना OP = OS = x मी
इसलिए x² + x² = (42)²
⇒ 2x² = 42 × 42
x² = 21 × 42 …..(1)
अब भाग POS का क्षेत्रफल = \(\frac{90}{360}\) πx² = \(\frac{1}{4}\) πx²
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 42 मी² …..(2)
पुन: ΔPOS का क्षे. = \(\frac{1}{4}\) × वर्गाकार लॉन PQRS का क्षे.
= \(\frac{1}{4}\) × 42 × 42 मी² …..(3)
∠POQ = 90°
∴ फूलों की क्यारियों PSP का क्षे. = खण्ड POS भाग का क्षे. – ΔPOS का क्षे.
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 42 – \(\frac{1}{4}\) × 42 × 42
= 33 × 21 – 441 = 693 – 441 = 252
दोनों फूलों की क्यारियों का कुल = 2 × 252 = 504 मी²
अतः दोनों फूलों की क्यारियाँ का कुल क्षे. 504 मी² है।

प्रश्न 6.
3.5 सेमी व्यास तथा 3 सेमी ऊँचे 504 शंकुओं को पिघलाकर एक धात्विक गोला बनाया गया। गोले का व्यास ज्ञात कीजिए। अतः इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए]
हल:
शंकु का व्यास = 3.5 सेमी
(r) = \(\frac{3.5}{2}\) सेमी
ऊँचाई (h) = 3 सेमी
अब प्रत्येक शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{3.5}{2}\right)^2 \times 3\) = 9.625 सेमी³
∴ 504 शंकुओं का आयतन = 504 × 9.625 = 4851 सेमी³
माना धात्विक गोले की त्रिज्या = R
प्रश्नानुसार,
गोले का आयतन = 504 × (शंकु का आयतन)
\(\frac{4}{3}\) πR³ = 4851
R³ = \(\frac{4851 \times 3}{4 \times 3.14}\) = 1157.625
R = 10.5 सेमी
गोले का व्यास = 2R = 2 × 10.5 = 21 सेमी
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 × \(\frac{22}{7}\) × (10.5)²
= 1386 सेमी²

प्रश्न 7.
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 27 सेमी³ है, तो संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

माना
धन की भुजा = a
घन का आयतन = 27 सेमी³
घन का आयतन = 27 भुजा³
27 सेमी³ = a³
a³ = 27
a = 3 सेमी
∴ घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षे.
= 2 (ल. × चौ. + चौ. x ऊँ. + ऊँ. x ल.)
= 2 ( 3 × 3 + 3 × 6 + 6 × 3)
= 3(9 + 18 + 18)
= 3(45) = 135 सेमी²

प्रश्न 8.
एक ठोस अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अर्धगोले की त्रिज्या r सेमी है।
प्रश्नानुसार,
अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग सेमी
⇒ 3πR² = 462
⇒ 3 × \(\frac{22}{7}\) × r² = 462
⇒ r² = \(\frac{462 \times 7}{3 \times 22}\) = 49
⇒ r = \(\sqrt{49}\) = 7 सेमी
अतः अर्धगोले की त्रिज्या = 7 सेमी

प्रश्न 9.
एक चाँदी के घनाभ, जिसकी विमाएँ 8 सेमी × 9 सेमी × 11 सेमी है, को पिघलाकर समान त्रिज्या के सात गोले बनाए गए है। एक चाँदी के गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r सेमी
घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 8 × 9 × 11 घन सेमी
∵ घनाभ को पिघलाकर सात गोले बनाए गए हैं,
∴ घनाभ का आयतन = 7 गोलों का आयतन
⇒ 8 × 9 × 11 = 7 × \(\frac{4}{3}\) πR³
⇒ 8 × 9 × 11 = \(7 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3\)
⇒ r³ = \(\frac{8 \times 9 \times 11 \times 3}{4 \times 22}\) = 27
⇒ r³ = (3)³
⇒ r = 3 सेमी
अतः एक गोले की त्रिज्या = 3 सेमी

प्रश्न 10.
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, अर्धगोले का व्यास = 14 सेमी
∴ त्रिज्या = 7 सेमी
∵ गोला खोखला है,
∴ अर्धगोले का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × (7)² वर्ग सेमी
= 308 वर्ग सेमी

प्रश्न 11.
7 मी व्यास वाला एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी × 14 मी × 2.5 मी वाला एक चबूतरा बनाया गया है। कुएं की गहराई ज्ञात कीजिए।
हल:
कुआँ बेलनाकार होता है।
माना कुएँ की गहराई h मी है।
∴ कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = बेलनाकार कुएँ का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × (7)² × घन मी
घनाभाकार चबूतरे का आयतन = 22 × 14 × 2.5 घन मी
प्रश्नानुसार,
\(\frac{22}{7}\) × (7)² × h = 22 × 14 × 2.5
⇒ h = \(\frac{22 \times 14 \times 2.5}{22 \times 7}\)
⇒ h = 17.5 मी
अतः कुएँ की गहराई = 17.5 मी

प्रश्न 12.
एक ठोस बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार है। ठोस की कुल लम्बाई 20 सेमी है तथा बेलन का व्यास 7 सेमी है। ठोस का कुल आयतन ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac{22}{7}\) प्रयोग कीजिए)
हल:
माना ABCD एक ठोस बेलन है जिसके दोनों सिरों पर दो एक-समान अर्धगोले हैं।

दिया है, पूरे ठोस की लम्बाई = 20 सेमी हैं, 2r = 7
∴ AB की लम्बाई = 20 – 2r
= 20 – 2 × \(\frac{7}{2}\)
h = 13 सेमी
अब, बेलन ABCD का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 13\)
= 500.5 सेमी³
दोनों अर्धगोलों का आयतन = 2 × एक अर्धगोले का आयतन
= 2 × \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(2 \times \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 179.67 सेमी³
ठोस का कुल आयतन = बेलन ABCD का आयतन + दोनों अर्धगोलों का आयतन
= 179.67 + 500.5
= 680.17 सेमी³

प्रश्न 13.
एक ही धातु के दो गोलों का भार 1 किलोग्राम तथा 7 किलोग्राम है। छोटे गोले की त्रिज्या 3 सेमी है। दोनों गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया गया। नए गोले का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटे गोले की त्रिज्या r₁ तथा बड़े गोले की त्रिज्या r₂ है और माना इनसे मिलकर बनने वाले नए गोले की त्रिज्या R है।
छोटे गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr₁³ [∵ r₁ = 3 ( दिया है)]
= \(\frac{4}{3}\)π(3)³ = 36π घन सेमी
अब,
छोटे गोले के पदार्थ का घनत्व = गोले का द्रव्यमान / गोले का आयतन
छोटे गोले के पदार्थ का आयतन = \(\frac{1}{36 \pi}\)
दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं, अतः इनके पदार्थ का घनत्व भी समान होगा।

अतः छोटे गोले का आयतन + बड़े गोले का आयतन = नए गोले का आयतन
⇒ \(\frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3=\frac{4}{3} \pi R^3\)
⇒ r₁³ + r₂³ = R³
⇒ 27 + 189 = R³
⇒ R³ = 216
R = 6 ⇒ D = 12 सेमी
अतः नए गोले का व्यास 12 सेमी है।

प्रश्न 14.
त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी वाले एक लंबवृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को 10 बच्चों में बाँटने के लिए बराबर-बराबर शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोले के आकार का है। यदि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई इसके आधार की त्रिज्या का 4 गुना है, तो आइसक्रीम शंकु की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना R तथा H क्रमशः लंबवृत्तीय बेलन की त्रिज्या तथा ऊँचाई है।
दिया है, R = 6 सेमी तथा H = 15 सेमी
लंब वृत्तीय बेलन में आइसक्रीम का आयतन
= πR²H
= π × 36 × 15
= 540π सेमी³
अब माना कि शंकु के आधार की त्रिज्या r सेमी हैं. तब इसकी ऊँचाई (h) = 4r

शंकु में आइसक्रीम का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन
= \(\frac{1}{3}\)πr²h + \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(\frac{1}{3}\)πr²(h + 2r)
= \(\frac{1}{3}\)πr²(4r + 2r) (∵ h = 4r)
= \(\frac{1}{3}\)πr² × 6r
= 2πr³
अब, 10 × शंकु में आइसक्रीम का आयतन = बेलन में आइसक्रीम का आयतन
⇒ 10 × 2πr³ = 540π
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3 सेमी
अतः आइसक्रीम शंकु की त्रिज्या 3 सेमी है।

प्रश्न 15.
6 मी चौड़ी और 1.5 मी गहरी एक नहर में पानी 10 किमी/घंटा की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 सेमी गहरे पानी की आवश्यकता होती है।
हल:
दिया है, नहर की चौड़ाई = 6 मी तथा गहराई 1.5 मी है व नहर में बहने वाले पानी की चाल 10 किमी/घंटा है, तो नहर में बहने वाला पानी घण्टे में 10 किमी या 10000 मी दूरी तय करेगा।
तथा माना सिंचाई हेतु क्षेत्रफल x मी है।
तब 30 मिनट में पानी का आयतन = 6 × 1.5 × 10000 × \(\frac{30}{60}\)
= 45000 मी³
अब, सिंचाई क्षेत्र का आयतन = नहर के पानी का आयतन
x × \(\frac{8}{100}\) = 45000
x = \(\frac{45000 \times 100}{8}\)
x = 562500 मी² या 56.25 हेक्टेयर

प्रश्न 16.
शंकु के छिन्नक के आकार की ऊपर से खुली एक बाल्डी का आयतन 12308.8 घन सेमी है। इसके ऊपरी तथा निचले वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 20 सेमी तथा 12 सेमी हैं। बाल्टी की ऊंचाई तथा इसके बनाने में लगी धातु की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [π = 1.732 लीजिए]
हल:
दिया है, r₁ = 20 सेमी, r₂ = 12 सेमी तथा छिन्नक का आयतन 12308.8 सेमी³ है।

अब,
छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × π × h (r₁² + r₂² + r₁r₂)
12308.8 = \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × (20² + 12² + 20 × 12)
= \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × h(400 + 144 + 240)
12308.8 = \(\frac{1}{3}\) × 3.14(784) × h
h = \(\frac{12308.8 \times 3}{3.14 \times 784}\)
h = 15 सेमी
धातु का क्षेत्रफल = πl(r₁ + r₃) + πr₂²
यहाँ l = \(\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}\)
= \(\sqrt{(20-12)^2+15^2}\)
= \(\sqrt{289}\)
= 17 सेमी
धातु का क्षेत्रफल = 3.14 × 17 (20 + 12) + 3.14 × 12²
= 1708.16 + 452.16
= 2160.32 सेमी²

प्रश्न 17.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्थ गोला खोद कर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई, जैसा कि दी गई आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + 2 × 2πr²
= 2πr[h + 2r]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{10}\)[10 + 2 × 3.5]
= 22[17]
= 374 सेमी²

प्रश्न 18.
चावल की एक ढेरी शंकु के आकार की है जिसके आधार का व्यास 24 मी तथा ऊँचाई 3.5 मी है। चावलों का आयतन ज्ञात कीजिए इस ढेरी को पूरा-पूरा ढकने के लिए कितने कैनवस की आवश्यकता हैं?
हल:
शंक्वाकार ढेरी का व्यास = 24 मी
त्रिज्या, r = 12 मी
ऊँचाई, h = 35 मी
तिर्यक ऊँचाई, l = \(\sqrt{h^2+r^2}\)
= \(\sqrt{(3.5)^2+(12)^2}\)
= \(\sqrt{12.25+144}\)
= \(\sqrt{156.25}\)
= 12.5 मी
चावलों का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(12)^2 \times(3.5)\)
= \(\frac{11}{3}\) × 144
= \(\frac{1584}{3}\)
= 528 मी³
ढेरी को ढकने के लिए कैनवास की आवश्यकता = शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 12 × 12.5
= \(\frac{3300}{7}\)
= 471 \(\frac{3}{7}\) मी²

प्रश्न 19.
शंकु के छिन्नक के आकार की एक बाल्टी के निचले तथा ऊपरी किनारों के व्यास क्रमशः 10 सेमी तथा 30 सेमी हैं। यदि बाल्टी की ऊँचाई 24 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बाल्टी को बनाने में लगने वाली धातु की शीट का क्षेत्रफल।
(ii) बाल्टी बनाने में सामान्य प्लास्टिक को क्यों नहीं लगाना चाहिए? [π = 3.14 लीजिए]
हल:
बाल्टी के ऊपरी सिरे का व्यास = 30 सेमी
बाल्टी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या R = 15 सेमी
बाल्टी के निचले सिरे का व्यास = 10 सेमी
बाल्टी के निचले सिरे की त्रिज्या, r = 5 सेमी
बाल्टी की ऊँचाई, h = 24 सेमी
तिर्यक ऊँचाई, l = \(\sqrt{h^2+(R-r)^2}\)
= \(\sqrt{(24)^2+(15-5)^2}\)
= \(\sqrt{576+100}\)
= \(\sqrt{676}\)
= 26 सेमी

(i) बाल्टी बनाने में लगी धातु की शीट का क्षेत्रफल = छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल
= πl(R + r) + πr²
= π[l(R + r) + r²]
= 3.14[26(15 + 5) + 5²]
= 3.14[520 + 25]
= 3.44(545)
= 1711.3 सेमी²
(ii) बाल्टी बनाने में सामान्य प्लास्टिक इसलिए नहीं लगानीं चाहिये, क्योंकि उसकी शक्ति तथा गलनांक बहुत कम होता है और प्लास्टिक वातावरण के लिए हानिकारक है।

प्रश्न 20.
5.4 मी चौड़ी और 1.8 मी गहरी एक नहर में पानी 25 किमी / घण्टा की गति से बह रहा है। इससे 40 मिनट में कितने प्रतिशत क्षेत्रफल की सिंचाई हो सकती है, यदि सिंचाई के लिए 10 सेमी गहरे पानी की आवश्यकता है।
हल:
नहर की चौड़ाई = 5.4 मी
नहर की गहराई = 1.8 मी
नहर में 1 घण्टे में बहे पानी की लम्बाई = 25 किमी = 25000 मी
नहर में 1 घण्टे में बहे पानी का आयतन
= l × b × h
= 5.4 × 1.8 × 25000
= 243000 मी³
40 मिनट में पानी का आयतन = 243000 × \(\frac{40}{60}\)
= 162000 मी³
10 सेमी ऊँचाई के सींचे जाने वाले खेत का का क्षेत्रफल

= 162000 मी²
= 162 हेक्टेयर

प्रश्न 21.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों की परिमाप 18 सेमी और 6 सेमी है। इस छिन्नक का व्रक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
छिन्नक को तिर्यक ऊँचाई = 4 सेमी
ऊपरी हिस्से का परिमाप = 18 सेमी
⇒ 2πR = 18 सेमी
⇒ R = \(\frac{9}{4}\) सेमी
निचले हिस्से का परिमाप = 6 सेमी
2πr = 6 ⇒ r = \(\frac{3}{8}\) सेमी
छिन्नक का वक्रपृष्ठ = πl[R + r]
= π × 4 × \(\left[\frac{9}{\pi}+\frac{3}{\pi}\right]\)
= π × 4 × \(\frac{12}{\pi}\) = 48 सेमी²

प्रश्न 22.
एक ठोस लोहे के घनाभ की विमाएँ 4.4 मी × 2.6 मी × 2.0 मी है। इसे पिघलाकर 30 सेमी आन्तरिक त्रिज्या और 5 सेमी मोटाई का एक खोखला बेलनाकार पाइप बनाया गया है। पाइप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
पाइप की आन्तरिक त्रिज्या, r = 30 सेमी
पाइप की मोटाई = 5 सेमी
पाइप की बाहरी त्रिज्या = 30 + 5
R = 35 सेमी
माना, पाइप की लम्बाई = h सेमी
खोखले पाइप की आयतन = घनाभ की आयतन
πrh[R² – r²] = l × b × h
\(\frac{22}{7}\) × h[35² – 30²] = 4.4 × 2.6 × 1 × 100 × 100 × 100
\(\frac{22}{7}\) × h × 65 × 5 = 44 × 26 × 1 × 100 × 100
h = \(\frac{44 \times 26 \times 100 \times 100 \times 7}{22 \times 65 \times 5}\)
= 11200 सेमी
⇒ h = 112 मीटर

प्रश्न 23.
किसी वर्षा जल संग्रहण तन्त्र में, 22 मी × 20 मी की छत से वर्षा जल बहकर 2 मी आधार के व्यास तथा 3.5 मी ऊँचाई के एक बेलनाकार टैंक में आता है। यदि टैंक भर गया हो, तो ज्ञात कीजिए कि सेमी में कितनी वर्षा हुई। जल संरक्षण पर अपने विचार व्यक्त कीजिए।
हल:
एकत्रित पानी का आयतन = बेलनाकार टैंक का आयतन
L × B × H = πr²h
20 × 20× H = \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 × 3.5
22 × 20 × H = 11
H = \(\frac{11}{22 \times 20}=\frac{1}{40}\) मीटर
= \(\frac{1}{40} \times 100\)
= \(\frac{5}{2}\) = 2.5 सेमी
अतः 2.5 सेमी वर्षा हुई।
जल संरक्षण अति आवश्यक है, वह सूखे कि स्थिति के समय में कारगर सिद्ध होता है।

प्रश्न 24.
5 सेमी आंतरिक त्रिज्या तथा 24 सेमी ऊँचाई के एक शंक्वाकार बर्तन का \(\frac{3}{4}\) भाग पानी से भरा है। इस पानी को 10 सेमी आंतरिक त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में खाली किया जाता है। बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
शंक्वाकार बर्तन में \(\frac{3}{4}\) भाग का आयतन = बेलनाकार बर्तन का आयतन

अतः बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई 1.5 सेमी है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).
1. ऐसी वस्तुओं को जो स्थान घेरती हैं ………….. आकृतियाँ लाती हैं।
2. ठोस आकृति की सीमा बनाने वाली समतल आकृतियों का क्षेत्रफल ……………. क्षेत्रफल कहलाता है।
3. कोई वस्तु जितना स्थान घेरती है, उसे उस वस्तु का ……………… कहते है।
4. एक …………… के आयताकार समतल फलक होते हैं।
5. किसी आयत के उसकी एक स्थिर भुजा के परितः घुमाने से प्राप्त आकृति लम्बवृत्तीय ………….. कहलाती हैं।
उत्तर:
1. ठोस,
2. पृष्ठीय,
3. आयतन,
4. घनाभ,
5. बेलन।

निम्न में सत्य / असत्य बताइए :

प्रश्न (ख).
1. बेलन का आयतन 2πrh वर्ग इकाई होता है।
2. खोखले बेलन में लगे पदार्थ का आयतन दोनों बेलनों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
3. गोले का आयतन 4πr² घन इकाई होता है।
4. अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr² वर्ग इकाई ।
5. शंकु का आयतन = πrl घन इकाई
उत्तर:
1. असत्य,
2. असत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
12π घन सेमी आयतन वाले गोले की त्रिज्या (सेमी में) है :
(A) 3
(B) 3\(\sqrt{3}\)
(C) 3^2/3
(D) 3^1/2
हल:
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
12π = \(\frac{4}{3}\)πr³
r³ = \(\frac{12 \pi \times 3}{4 \pi}\) = 9
r³ = 3²
⇒ r = 3^2/3
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं:
(A) 3πr²
(B) 2πr²
(C) 4πr²
(D) \(\frac{2}{3}\)πr³
हल:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 3.
एक 22 सेमी. आंतरिक किनारे वाले खोखले घन को 0.5 सेमी व्यास वाले गोलाकार कंचो से भरा जाता है तथा यह कल्पना की जाती है कि घन का भाग भरा नहीं जा सकता है। तब घन में समावेशित होने वाले कंचों की संख्या है :
(A) 142296
(B) 142396
(C) 142496
(D) 142596
हल:
दिया है,
घन की आन्तरिक भुजा = 22 सेमी.
तथा गोलाकार कंचे का व्यास = 0.5 सेमी.
∴ गोलाकार कंचे की त्रिज्या (r) = \(\frac{0.5}{2}\) सेमी.
= \(\left(\frac{5}{20}\right)\) सेमी.
∴ 1 गोलाकार कंचे का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{5}{20}\right)^3\)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5 \times 5 \times 5}{20 \times 20 \times 20}\)
माना घन में समावेशित होने वाले कंचों की संख्या x है।
तब x कंचों का आयतन = \(x \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5 \times 5 \times 5}{20 \times 20 \times 20}\)
= \(\frac{x \times 55}{21 \times 40}\) घन सेमी. ……….(1)
घन का आन्तरिक आयतन = 22 × 22 × 22 घन सेमी.
……. खोखले घन को कंचों से भरा जाता है, तो पन का \(\frac{1}{8}\) भाग भरा नहीं जा सकता है।
∴ खोखले घन का कंचों से भरा गया भाग = 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)
खोखले घन का कंचों से भरे भाग का आयतन = \(\frac{7}{8}\) × 22 × 22 × 22 घन सेमी. …..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से
\(\frac{x \times 55}{21 \times 40}\) = \(\frac{7}{8}\) × 22 × 22 × 22
⇒ x = \(\frac{7 \times 22 \times 22 \times 22 \times 21 \times 40}{55 \times 8}\)
= 14 × 22 × 22 × 21 = 142296
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 4.
यदि दो शंकुओं की त्रिज्याओं में अनुपात 3 : 1 और ऊँचाइयों में अनुपात 1 : 3 है, तो उनके आयतनों में अनुपात होगा :
(A) 2 : 1
(B) 3 : 1
(C) 1 : 3
(D) 1 : 2
हल:
माना दो शंकुओं की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं।
प्रश्नानुसार, \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{1}\) और \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{3}\)
दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात

दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 3 : 1
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
14 सेमी भुजा के एक घन से एक बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन है:
(A) 766.18 घन सेमी
(B) 817.54 घन सेमी
(C) 1232 घन सेमी
(D) 718.66 घन सेमी।

हल:
14 सेमी भुजा के घन से बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है।
अतः शंकु की ऊँचाई (h) = 14 सेमी
शंकु के आधार का व्यास = 14 सेमी
अत: शंकु के आधार की त्रिज्या = व्यास / 2 = \(\frac{14}{2}\)
= 7 सेमी
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²

अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 6.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 3 : 4
(B) 4 : 3
(C) 9 : 16
(D) 16 : 9
हल दिया है,
माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ है। पहले गोले का आयतन : दूसरे गोले का आयतन = 64 : 27

अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 7.
क्रमशः आन्तरिक और बाहरी व्यास 4 सेमी और 8 सेमी वाले धातु के गोलाकार खोल को पिघलाकर आधार व्यास 8 सेमी. के एक शंकु के आकार में ढाला जाता है। इस शंकु की ऊँचाई है:
(A) 12 सेमी
(B) 14 सेमी
(C) 15 सेमी
(D) 18 सेमी
हल:
दिया है,
गोलाकार खोल की आन्तरिक व्यास = 4 सेमी
∴ गोलाकार खोल की आन्तरिक त्रिज्या
(r₁) = \(\frac{4}{2}\) = 2 सेमी
गोलाकार खोल की बाहरी व्यास = 8 सेमी
∴ गोलाकार खोल की बाहरी त्रिज्या
(r₂) = \(\frac{8}{2}\) = 4 सेमी
∴ शंकु का व्यास (r) = \(\frac{8}{2}\) = 4 सेमी
माना शंकु की ऊँचाई h सेमी है।
……. गोलाकार खोल को पिघलाकार शंकु के आकार में ढाला जाता है।
∴ गोलाकार खोल का आयतन = शंकु का आयतन
⇒ \(\frac{4}{3}\)π[r₂³ – r₁³] = \(\frac{1}{3}\)πr²h
⇒ 4[4³ – 2³] = 4² × h
⇒ 4 × [64 – 8] = 16 × h
⇒ 4 × 56 = 16 × h
⇒ h = \(\frac{4 \times 56}{16}\) = 14 सेमी
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 8.
आधार व्यास 2 सेमी. और ऊँचाई 16 सेमी. वाले धातु के एक ठोस बेलन को पिघलाकर समान माप के बारह ठोस गोले बनाए जाते हैं। प्रत्येक गोले का व्यास है:
(a) 4 सेमी
(b) 3 सेमी
(c) 2 सेमी
(d) 6 सेमी
हल:
दिया है,
धातु के ठोस बेलन की ऊंचाई (h) = 16 सेमी
और धातु के ठोस बेलन का व्यास = 2 सेमी
∴ धातु के ठोस बेलन की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{2}{2}\) = 1 सेमी
माना कि पिघलाकर समान माप के प्रत्येक ठोस गोले की त्रिज्या r₂ सेमी है।
….. ठोस बेलन को पिघलाकर समान माप के 12 ठोस गोले बनाए जाते हैं।
∴ ठोस बेलन का आयतन = 12 ठोस गोलों का आयतन
⇒ πr₁²h = 12 × \(\frac{4}{3}\)πr₂³
⇒ r₁²h = 16r₂³
⇒ 1² × 16 = 16r₂³
⇒ \(\frac{16}{16}\) = r₂³
⇒ r₂³ = 1 सेमी.
⇒ r₂ = \(\sqrt[3]{1}\) = 1 सेमी
∴ ठोस गोले का व्यास = 2 × 1 = 2 सेमी.
अंत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 9.
यदि 11 सेमी × 3.5 सेमी × 2.4 सेमी मोम के एक घनाभ से 2.8 सेमी व्यास की एक मोमबत्ती बनाई जाती है। मोमबत्ती की लम्बाई होगी:
(A) 14 सेमी
(B) 15 सेमी
(C) 25 सेमी
(D) 12 सेमी
हल:
दिया है,
घनाभ की विमाएँ = 11 सेमी. × 3.5 सेमी × 2.4 सेमी.
∴ घनाभ का आयतन = 11 × 3.5 × 2.4
= 92.4 घन सेमी
माना मोमबत्ती की ऊँचाई h सेमी है।
मोमबत्ती का व्यास = 2.8 सेमी
मोमबत्ती की त्रिज्या (r) = \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 सेमी
प्रश्नानुसार,
मोमबत्ती का आयतन = घनाभ का आयतन
⇒ πr²h = 92.4
⇒ \(\frac{22}{7}\) × (1.4)² × h = 92.4
⇒ \(\frac{22}{7}\) × 1.4 × 14 × h = 92.4
⇒ h = \(\frac{92.4 \times 7}{22 \times 1.4 \times 1.4}\)
⇒ h = \(\frac{4.2}{0.2 \times 1.4}\) = 15 सेमी
मोमबत्ती की ऊँचाई = 15 सेमी
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 10.
एक जलाशय लम्बवृत्तीय शंकु के छिन्नक के आकार में है। इसका ऊपरी सिरा 8 मीटर तथा पेंदी वाला सिरा 4 मीटर चौड़ा है। यदि यह 6 मीटर गहरा हो, तो इसकी क्षमता है:
(A) 176 मीटर³
(B) 196 मीटर³
(C) 200 मीटर³
(D) 110 मीटर³
हल:
दिया है,
छिन्नक के ऊपरी सिरे का व्यास = 8 मीटर
छिन्नक के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{8}{2}\) = 4 मीटर
छिन्नक के निचले सिरे का व्यास = 4 मीटर
छिन्नक के निचले सिरे की त्रिज्या (r₂) = \(\frac{4}{2}\) = 2 मीटर
छिन्नक की ऊँचाई (h) = 6 मीटर
छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\)π × (r₁² + r₂² + r₁r₂)h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\)(4² + 2² + 4 × 2) × 6
= \(\frac{22}{7}\) × (16 + 4 + 8) × 2
= \(\frac{22 \times 56}{7}\) = 22 × 8 = 176 घन मीटर
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 11.
एक तेल की कुप्पी शंकु के छिन्नक को बेलन से जोड़ने पर बनी है। कुप्पी की ऊँचाई 12 सेमी है। बेलनाकार भाग की त्रिज्या 4 सेमी है और कुप्पी के. ऊपरी सिरे की त्रिज्या 9 सेमी है, तो शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई होगी:
(A) 13 सेमी
(B) 23 सेमी
(C) 26 सेमी
(D) 13.5 सेमी
हल:
कुप्पी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r₁) = 9 सेमी
कुप्पी के निचले सिरे की त्रिज्या (r₂) = 4 सेमी
कुप्पी की ऊँचाई (h) = 12 सेमी
शंकु के छिनक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}\)
= \(\sqrt{(12)^2+(9-4)^2}\)
= \(\sqrt{(12)^2+(5)^2}\)
= \(\sqrt{144+25}\)
= \(\sqrt{169}\)
= 13 सेमी
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 12.
9 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई के शंकु बनाये जा सकने वाले शंकुओं की संख्या है:
(A) 54
(B) 45
(C) 55
(D) 44
हल:
दिया है,
धातु के गोले की त्रिज्या (R) = 9 सेमी
शंकु की त्रिज्या (r) = 3 सेमी
तथा शंकु की ऊँचाई (h) = 6 सेमी
9 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन
\(\frac{4}{3}\)πR² = \(\frac{4}{3}\) × π × (9)²
= \(\frac{4}{3}\) × π × 9 × 9 × 9
= 4 × π × 3 × 81
= 972π घन सेमी
अब 3 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई वाले शंकु का आयतन
\(\frac{1}{3}\)πr²h = \(\frac{1}{3}\) × π × (3)² × 6
= \(\frac{1}{3}\) × π × 9 × 6
= π × 3 × 6 = 18π घन सेमी
गोले का आयतन शंकुओं की संख्या

अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 13.
एक ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों बीच से होकर जाते, शंकु के आधार के समान्तर एक तल द्वारा दो भागों में काटा गया है। इस प्रकार छोटे शंकु के आयतन का पूरे शंकु के आयतन से अनुपात है:
(A) 1 : 2
(B) 1 : 4
(C) 1 : 6
(D) 1 : 8
हल:
माना OAB एक शंकु है जिसकी ऊँचाई h तथा त्रिज्या R है। शंकु को बीचों बीच से आधार के समान्तर काटा गया है। अतः छोठे शंकु की ऊँचाई (h’) = \(\frac{h}{3}\)
माना कि छोटे शंकु की त्रिज्या r है।

LD || MB
⇒ ∠OLD = ∠OMB (संगत कोण)
ΔOLD तथा ΔOMB में,
∠OLD = ∠OMB
∠LOD = ∠MOB (उभयनिष्ठ कोण)
ΔOLD ~ ΔOMB (AA समरूपता गुणधर्म से)
⇒ \(\frac{O L}{O M}=\frac{L D}{M B}\)
[समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं]
⇒ \(\frac{\frac{h}{2}}{h}=\frac{r}{R}\)
⇒ \(\frac{h}{2 h}=\frac{r}{R}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{r}{R}\)
⇒ R = 2r
छोटे शंकु का आयतन : पूरे शंकु का आयतन
= πr²h’ : πR²h
= \(\frac{\pi \times r^2 \times \frac{h}{2}}{\pi \times(2 r)^2 \times h}\)
= \(\frac{r^2 \times h}{2 \times 4 r^2 \times h}=\frac{1}{8}\) = 1 : 8
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 14.
तीनों घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी और सेमी हैं। इनसे बनने वाले एक घन की भुजा है:
(A) 6 सेमी
(B) 5 सेमी
(C) 7 सेमी
(D) 4 सेमी
हल:
पहले घन का आयतन = (3)³ = 27 घन सेमी
दूसरे घन का आयतन = (4)³ = 64 घन सेमी
तीसरे घन का आयतन = (5)³ = 125 घन सेमी
इन तीनों घनों का कुल आयतन = 27 + 64 + 125
= 216 घन सेमी
∵ तीनों घनों से एक नया घन बनता है।
नये घन का आयतन = तीनों घनों का कुल आयतन
(भुजा)³ = 216
भुजा = \(\sqrt[3]{216}\)
= \(\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6}\) = 6 सेमी
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 15.
एक घनाभ की माप 18 सेमी × 12 सेमी × 9 सेमी है। इस घनाभ को पिघलाकार 3 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं ?
(A) 60
(B) 55
(C) 69
(D) 72
हल:
दिया है,
घनाभ की माप = 18 सेमी × 12 सेमी × 9 सेमी
दिये गये घनाभ का आयतन = 18 × 12 × 9
= 18 × 108
= 1944 घन सेमी
3 सेमी भुजा वाले घन का आयतन = (भुजा)³
= (3)³ = 27 घन सेमी
घनाभ को पिघलाकर बनाये गये घनों की संख्या = घनाभ का आयतन / 1 घन का आयतन
= \(\frac{1944}{27}\) = 72
अतः सही विकल्प (D) है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Exercise 5.3

Question 1.
Find the sum of following APs:
1. 2, 7, 12, ……, to 10 terms.
2. -37, -33, -29, ……, to 12 terms.
3. 0.6, 1.7, 2.8, ……, to 100 terms.
4. \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots\) to 11 terms.
Solution:
1. For the given AP 2, 7, 12, ……., a = 2.
d = 7 – 2 = 5, n = 10 and S_n is to be found.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[4 + (10 – 1) 5]
= 5(49) = 245
Thus, the sum of first 10 terms of the given AP is 245.

2. For the given AP -37, -33, -29, a = -37, d = (-33) – (-37) = 4, n = 12 and S_n is to be found.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[-74 + (12 – 1)4]
= 6(-30) = – 180
Thus, the sum of first 12 terms of the given AP is -180.

3. For the given AP 0.6, 1.7, 2.8,…… a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100 and S_n is to be found.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\)[1.2 + (100 – 1) (1.1)]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
Thus, the sum of first 100 terms of the given AP is 5505.

4.

Thus, the sum of first 11 terms of the given AP is \(\frac{33}{20}\).

Question 2.
Find the sums given below:
1. 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + … + 84
2. 34 + 32 + 30 + … + 10
3. (-5) + (-8) + (-11) + … + (-230)
Solution:
1. 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + …… + 84
Here, a = 7; d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\); last term l = 84.
Let the last term be nth term.
a_n = a + (n – 1)d
∴ 84 = 7 + (n – 1) (3\(\frac{1}{2}\))
∴ 77 = \(\frac{7}{2}\)(n – 1)
∴ (n – 1) = 22
∴ n = 23
Now,
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l), where l is the last term.
= \(\frac{23}{2}\)(7 + 84)
= \(\frac{23}{2}\) × 91 = 1046\(\frac{1}{2}\)
Thus, the required sum is 1046\(\frac{1}{2}\).

2. 34 + 32 + 30 + … + 10
Here, a = 34; d = 32 – 34 = (-2); last term l = 10.
Let the last term be nth term.
a_n = a + (n – 1)d
∴ 10 = 34 + (n – 1)(-2)
∴ -24 = -2(n – 1)
∴ (n – 1) = 12
∴ n = 13
Now,
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l), where l is the last term.
= \(\frac{13}{2}\)(34 + 10)
= 13 × 22 = 286
Thus, the required sum is 286.

3. (-5) + (-8) + (-11) + … + (-230)
Here, a = (-5); d = (-8) – (-5) = (-3):
last term l = (-230).
Let the last term be nth term.
a_n = a + (n – 1)d
∴ -230 = -5 + (n – 1)(-3)
∴ -225 = -3 (n – 1)
∴ n – 1 = 75
∴ n = 76
Now,
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l), where l is the last term.
= \(\frac{76}{2}\)[(-5) + (-230)]
= 38(-235) = -8930
Thus, the required sum is -8930.

Question 3.
In an AP:
1. Given a = 5, d = 3, a_n = 50, find n and S_n.
2. Given a = 7, a₁₃ = 35, find d and S₁₃.
3. Given a₁₂ = 37, d = 3, find a and S₁₂.
4. Given a₃ = 15, S₁₀ = 125, find d and a₁₀.
5. Given d = 5, S₉ = 75, find a and a₉.
6. Given a = 2, d = 8, S_n = 90, find n and a_n.
7. Given a = 8, a_n = 62, S_n = 210, find n and d.
8. Given a_n = 4, d = 2, S_n = -14, find n and a.
9. Given a = 3, n = 8, S_n = 192, find d.
10. Given l = 28, S_n = 144, and there are total 9 terms. Find a.
Solution:
1. a = 5, d = 3, a_n = 50, n = ? S_n = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ 50 = 5 + (n – 1)3
∴ 45 = 3(n – 1)
∴ 15 = n – 1
∴ n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₁₆ = \(\frac{16}{2}\)(5 + 50)
∴ S₁₆ = 8 × 55
∴ S₁₆ = 440

2. a = 7, a₁₃ = 35, d = ?, S₁₃ = ?
a_n = a + (n – 1)d
a₁₃ = a + (13 – 1) d
∴ 35 = 7 + 12d
∴ 28 = 12d
∴ d = \(\frac{28}{12}\)
∴ d = \(\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)(17 + 35)
∴ S₁₃ = 13 × 21
∴ S₁₃ = 273

3. a₁₂ = 37, d = 3, a = ?, S₁₂ = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₂ = a + 11d
∴ 37 = a + 11 (3)
∴ a = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)(4 + 37)
∴ S₁₂ = 246

4. a₃ = 15, S₁₀ = 125, d = ?, a₁₀ = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₃ = a + 2d
∴ a + 2d = 15 …….(1)
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2a + 9d]
∴ S₁₂₅ = 5(2a + 9d)
∴ 2a + 9d = 25 …….(2)
Solving equations (1) and (2), we get
d = -1 and a = 17.
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₀ = a + 9d
∴ a₁₀ = 17 + 9(-1)
∴ a₁₀ = 8

5. d = 5, S₉ = 75, a = ?, a₉ = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₉ = \(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1) d]
∴ 75 = \(\frac{9}{2}\)[2a + 8(5)]
∴ 75 = 9(a + 20)
∴ \(\frac{25}{3}\) = a + 20
∴ a = \(\frac{25}{3}\) – 20
∴ a = –\(\frac{35}{3}\)
a_n = a + (n – 1) d
∴ a₉ = a + 8d
∴ a₉ = (-\(\frac{35}{3}\)) + 8(5)
∴ a₉ = –\(\frac{35}{3}\) + 40
∴ a₉ = \(\frac{85}{3}\)

6. a = 2, d = 8, S_n = 90, n = ?, a_n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ 90 = \(\frac{n}{2}\)[4 + (n – 1)8]
∴ 90 = \(\frac{n}{2}\)[8n – 4]
∴ 90 = n (4n – 2)
∴ 4n² – 2n – 90 = 0
∴ 2n² – n – 45 = 0
∴ 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
∴ 2n (n – 5) + 9 (n – 5) = 0
∴ (n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 or 2n + 9 = 0
∴ n = 5 or n = –\(\frac{9}{2}\)
Since n is a positive integer, n ≠ –\(\frac{9}{2}\)
∴ n = 5
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₅ = a + 4d
∴ a₅ = 2 + 4(8)
∴ a₅ = 34

7. a = 8, a_n = 62, S_n = 210, n = ? d = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + a_n)
∴ 210 = \(\frac{n}{2}\)(8 + 62)
∴ 420 = n (70)
∴ n = 6
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₆ = a + 5d
∴ 62 = 8 + 5d
∴ 54 = 5d
∴ d = \(\frac{54}{5}\)

8. a_n = 4, d = 2, S_n = -14, n = ?, a = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ 4 = a + (n – 1) (2)
∴ 4 = a + 2n – 2
∴ a = 6 – 2n
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ -14 = \(\frac{n}{2}\)[2 (6 – 2n) + (n – 1) (2)] (by (1))
∴ -14 = \(\frac{n}{2}\)[12 – 4n + 2n – 2]
∴ -14 = \(\frac{n}{2}\)[-2n + 10]
∴ -14 = n(-n + 5)
∴ -14 = -n² + 5n
∴ n² – 5n – 14 = 0
∴ (n – 7)(n + 2) = 0
∴ n – 7 = 0 or n + 2 = 0
∴ n = 7 or n = -2
Since n is a positive integer, n ≠ -2.
∴ n = 7
By (1), a = 6 – 2n
∴ a = 6 – 2(7)
∴ a = -8

9. a = 3, n = 8, S_n = 192, d = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ 192 = \(\frac{8}{2}\)[6 + (8 – 1) d]
∴ 192 = 4[6 + 7d]
∴ 48 = 6 + 7d
∴ 42 = 7d
∴ d = 6

10. l = 28, S_n = 144, n = 9, a = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 144 = \(\frac{9}{2}\)(a + 28)
∴ 32 = (a + 28)
∴ a = 4

Question 4.
How many terms of the AP 9, 17, 25, … must be taken to give a sum of 636?
Solution:
Here, a = 9; d = 17 – 9 = 8; S_n = 636, n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ 636 = \(\frac{n}{2}\)[18 + (n – 1)8]
∴ 636 = \(\frac{n}{2}\)[10 + 8n]
∴ 636 = n[4n + 5]
∴ 4n² + 5n – 636 = 0
Here, a = 4; b = 5; c = -636
b² – 4ac = (5)² – 4(4)(-636)
= 25 + 10176
= 10201
∴ \(\sqrt{b^2-4 a c}=\sqrt{10201}=101\)
Then, n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
∴ n = \(\frac{-5 \pm 101}{8}\)
∴ n = \(\frac{96}{2}\) or n = \(\frac{-106}{8}\)
∴ n = 12 or n = \(-\frac{53}{4}\)
As n denotes the numbers of terms, it is a positive integer.
∴ n = \(-\frac{53}{4}\) is not possible.
∴ n = 12
Thus, 12 terms of the AP 9, 17, 25,… must be taken to give a sum of 636.

Question 5.
The first term of an AP is 5, the last term is 45 and the sum is 400. Find the number of terms and the common difference.
Solution:
Here, a = 5; l = 45; S_n = 400; n = ?; d = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ 400 = \(\frac{n}{2}\)(5 + 45)
∴ 800 = n (50)
∴ n = 16
l = a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₆ = a + 15d
∴ 45 = 5 + 15d
∴ 40 = 15d
∴ d = \(\frac{40}{15}\)
∴ d = \(\frac{8}{3}\)
Thus, the number of terms is 16 and the common difference is \(\frac{8}{3}\).

Question 6.
The first and the last terms of an AP are 17 and 350 respectively. If the common difference is 9, how many terms are there and what is their sum?
Solution:
Here, a = 17; l = a_n = 350; d = 9; n = ?; S_n = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ 350 = 17 + (n – 1)9
∴ 333 = 9 (n – 1)
∴ n – 1 = 37 ∴ n = 38
Again, S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₃₈ = \(\frac{38}{2}\)(17 + 350)
∴ S₃₈ = 19 × 367
∴ S₃₈ = 6973
Thus, there are 38 terms and their sum is 6973.

Question 7.
Find the sum of first 22 terms of an AP in which d = 7 and 22nd term is 149.
Solution:
Here, a₂₂ = 149; d = 7; S₂₂ = ?
a_n = a + (n – 1) d
∴ a₂₂ = a + 21d
∴ 149 = a + 21 × 7
∴ a = 149 – 147
∴ a = 2
Now, S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₂₂ = \(\frac{22}{2}\)(2 + 149)
∴ S₂₂ = 11 × 151
∴ S₂₂ = 1661
Thus, the sum of first 22 terms of the given AP is 1661.

Question 8.
Find the sum of first 51 terms of an AP whose second and third terms are 14 and 18 respectively.
Solution:
Here, a₂ = 14; a₃ = 18; S₅₁ = ?
a_n = a + (n – 1)d
∴ a₂ = a + d = 14 ……..(1)
∴ a₃ = a + 2d = 18 ……..(2)
Solving equations (1) and (2), we get
d = 4 and a = 10.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₅₁ = \(\frac{51}{2}\)[20 + 50 × 4]
∴ S₅₁ = 51 × 110
∴ S₅₁ = 5610
Thus, the sum of first 51 terms of the given AP is 5610.

Question 9.
If the sum of first 7 terms of an AP is 49 and that of 17 terms is 289, find the sum of first n terms.
Solution:
Here, S₇ = 49; S₁₇ = 289: S_n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d]
∴ 49 = 7(a + 3d)
∴ a + 3d = 7 ……..(1)
Again S₁₇ = \(\frac{17}{2}\)[2a + 16d]
∴ 289 = 17(a + 8d)
∴ a + 8d = 17 ……..(2)
Solving equations (1) and (2), we get d = 2 and a = 1.
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2 + (n – 1)2]
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n – 2]
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)(2n)
∴ S_n = n²
Thus, the sum of first n terms of the given AP is n².

Question 10.
Show that a₁, a₂, ……., a_n, ……. form an AP where a is defined as below:
1. a_n = 3 + 4n
2. a_n = 9 – 5n
Also find the sum of the first 15 terms in each case.
Solution:
1. a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4(1) = 7,
a₂ = 3 + 4(2) = 11,
a₃ = 3 + 4(3) = 15,
a₄ = 3 + 4(4) = 19 and so on.
Here, a₄ – a₃ = a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = 4.
Hence, a_k+1 – a_k remains the everywhere.
Hence, a₁, a₂, a₃, ….. defined as a_n = 3 + 4n form an AP in which a = 7 and d = 4.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[14 + 14 × 4]
∴ S₁₅ = 15 × 35
∴ S₁₅ = 525
The sum of first 15 terms of the given AP is 525.

2. a_n = 9 – 5n
a₁ = 9 – 5(1) = 4,
a₂ = 9 – 5(2) = -1,
a₃ = 9 – 5(3) = -6,
a₄ = 9 – 5(4) = -11 and so on.
Here, a₄ – a₃ = a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = -5.
Hence, a_k+1 – a_k remains the same everywhere.
Hence, a₁, a₂, a₃, ….. defined as a_n = 9 – 5n form an AP in which a = 4 and d = -5.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[8 + 14 (-5)]
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)(-62)
∴ S₁₅ = 15 × (-31)
∴ S₁₅ = -465
The sum of first 15 terms of the given AP is -465.

Question 11.
If the sum of the first n terms of an AP is 4n – n², what is the first term (that is S₁)? What is the sum of first two terms? What is the second term? Similarly, find the 3rd, the 10th and the nth terms.
Solution:
For the given AP
S_n = 4n – n²
∴ S₁ = 4(1) – (1)² = 4 – 1 = 3,
S₂ = 4 (2) – (2)² = 8 – 4 = 4,
S₃ = 4(3) – (3)² = 12 – 9 = 3,
S₉ = 4 (9) – (9)² = 36 – 81 = -45,
S₁₀ = 4 (10) – (10)² = 40 – 100 = -60
Now, the first term = a – a₁ = S₁ = 3
The sum of first two terms S₂ = 4
The second term a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
The third term a₃ = S₃ – S₂ = 3 – 4 = -1
The tenth term a₁₀ = S₁₀ – S₉
= -60 – (-45) = -15
Now, S_n = 4n – n²
∴ S_n-1 = 4(n – 1) – (n – 1)²
= 4n – 4 – n² + 2n – 1
= -n² + 6n – 5
Now nth term a_n = S_n – S_n-1
∴ a_n = (4n – n²) – (-n² + 6n – 5)
∴ a_n = 4n – n² + n² – 6n + 5
∴ a_n = -2n + 5

Question 12.
Find the sum of the first 40 positive integers divisible by 6.
Solution:
The first 40 positive integers divisible by 6 form the AP 6, 12, 18, ……, 240.
Here, a = 6; d = 12 – 6 = 6; n = 40 and l = 240.
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₄₀ = \(\frac{40}{2}\)(6 + 240)
∴ S₄₀ = 20 × 246
∴ S₄₀ = 4920
Thus, the required sum is 4920.

Alternate method:
Required sum
= 6 + 12 + 18 + … + 240
= 6(1 + 2 + 3 + … + 40)
= 6 × \(\frac{40 \times 41}{2}\) (1 + 2 + 3 + …. + n = \(\frac{n(n+1)}{2}\))
= 4920

Question 13.
Find the sum of the first 15 multiples of 8.
Solution:
The first 15 multiples of 8 form the AP 8, 16, 24, ….., 120.
Here, a = 8, d = 16 – 8 = 8, n = 15 and l = 120.
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)(8 + 120)
∴ S₁₅ = 15 × 64
∴ S₁₅ = 960
Thus, the required sum is 960.

Alternate method:
Required sum
= 8 + 16 + 24 + … + 120
= 8(1 + 2 + 3 + … + 15)
= 8 × \(\frac{15 \times 16}{2}\) (1 + 2 + 3 + … + n = \(\frac{n(n+1)}{2}\))
= 960.

Question 14.
Find the sum of the odd numbers between 0 and 50.
Solution:
The odd numbers between 0 and 50 form the AP 1, 3, 5, ….., 49.
Here, a = 1, d = 3 – 1 = -2, l = 49.
Let the last term be the nth term.
a_n = a + (n – 1) d
49 = 1 + (n – 1)²
2(n – 1) = 48
n – 1 = 24
n = 25
Now, S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
∴ S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)(1 + 49)
∴ S₂₅ = 25 × 25
∴ S₂₅ = 625
Thus, the required sum is 625.

Question 15.
A contract on construction job specifies a penalty for delay of completion beyond a certain date as follows: ₹ 200 for the first day, ₹ 250 for the second day, ₹ 300 for the third day, etc.. the penalty for each succeeding day being ₹ 50 more than for the preceding day. How much money the contractor has to pay as penalty, if he has delayed the work by 30 days?
Solution:
The sums (in rupees) of penalty for delay of completion form the AP 200, 250, 300, …..
Here, a = 200; d = 250 – 200 = 50; n = 30 as the contractor has delayed the work by 30 days. The total penalty amount (in rupees) to be paid by the contractor will be given by S₃₀.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S₃₀ = \(\frac{30}{2}\)[400 + (30 – 1)50]
∴ S₃₀ = 15 × 1850
∴ S₃₀ = 27750
Thus, the contractor has to pay a penalty of ₹ 27,750.

Question 16.
A sum of ₹ 700 is to be used to give seven cash prizes to students of a school for their overall academic performance. If cach prize is 20 less than its preceding prize, find the value of each of the prizes.
Solution:
₹ 700 is to be distributed as seven prizes such that each prize is ₹ 20 less than its preceding prize. Let the highest prize, i.e., the first prize be ₹ a. Then, the second prize will be of ₹ a – 20, the third prize will be of ₹ a – 40 and so on up to seven prizes. Hence, the amount (in rupees) of these prizes form a finite AP with seven terms as a, a – 20, a – 40, a – 60, a – 80, a – 100 and a – 120.
Here, the first term = a; d = (a – 20) – a = -20;
n = 7 and the sum of all the terms = S₇ = 700.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ 700 = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) (-20)]
∴ 200 = 2a + 6(-20)
∴ 200 = 2a – 120
∴ 2a = 320
∴ a = 160
Then, a – 20 = 140; a – 40 = 120; a – 60 = 100; a – 80 = 80; a – 100 = 60 and a – 120 = 40.
Thus, the values (in rupees) of those seven prizes are 160, 140, 120, 100, 80, 60 and 40.

Question 17.
In a school, students thought of planting trees in and around the school to reduce air pollution. It was decided that the number of trees, that each section of each class. will plant, will be the same as the class, in which they are studying, e.g.. a section of Class I will plant 1 tree, a section of Class II will plant 2 trees and so on till Class XII. There are three sections of each class. How many trees will be planted by the students?
Solution:
The number of trees that the three sections of Class I will plant = 1 + 1 + 1 = 3.
The number of trees that the three sections of Class II will plant = 2 + 2 + 2 = 6.
This system will continue till Class XII.
The number of trees that the three sections of Class XII will plant = 12 + 12 + 12 = 36.
Thus, the number of trees that will be planted will form a finite AP with 12 terms as 3, 6, 9, ….., 36.
Here, a = 3, d = 6 – 3 = 3, n = 12 and S₁₂ will give the total number of trees that will be planted.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[6 + (12 – 1)³]
∴ S₁₂ = 6 × 39
∴ S₁₂ = 234
Thus, 234 trees will be planted by the students.

Question 18.
A spiral is made up of successive semicircles, with centres alternately at A and B, starting with centre at A, of radii 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, as shown in the given figure. What is the total length of such a spiral made up of thirteen consecutive semicircles? (Take π = \(\frac{22}{7}\))

Hint: Length of successive semicircles is l₁, l₂, l₃, l₄, …with centres at A, B, A, B, ….., respectively.]
Solution:
We know that the length of a semicircle = πr, where r is the radius.
Length of 1st semicircle with centre A and radius 0.5 cm = l₁ = π × 0.5 cm.
Length of 2nd semicircle with centre B and radius 1 cm = l₂ = π × 1 cm.
Length of 3rd semicircle with centre A and radius 1.5 cm = l₃ = π × 1.5 cm.
This system continues till 13 semicircles are drawn.
Then, the 13th semicircle will be drawn with centre A and radius 6.5 cm. Length of 13th semicircle with centre A and radius 6.5 cm = l₁₃ = π × 6.5 cm.
Now, the total length of the spiral
= l₁ + l₂ + l₃ + … + l₁₃
= (π × 0.5) + (π × 1) + (π × 1.5) + … + (π × 6.5)
= π(0.5 + 1 + 1.5 + … + 6.5)
The sum inside the brackets is the sum of all the 13 terms of the finite AP 0.5, 1, 1.5, ….., 6.5.
For this AP a = 0.5; d = 1 – 0.5 = 0.5 and n = 13.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
∴ S_n = [1 + (13 – 1) (0.5)]
∴ S_n = \(\frac{13}{2}\) × 7
Hence, the total length of the spiral
= π\(\left(\frac{13}{2} \times 7\right)\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7\)
= 143 cm
Thus, the total length of the spiral made up of thirteen consecutive semicircles is 143 cm.

Question 19.
200 logs are stacked in the following manner: 20 logs in the bottom row, 19 in the next row, 18 in the row next to it and so on (see the given figure). In how many rows are the 200 logs placed and how many logs are in the top row?

Solution:
The number of logs stacked in the first row from the bottom = 20.
The number of logs stacked in the second row from the bottom = 19.
The number of logs stacked in the third row from the bottom = 18.
This system continues till all the 200 logs are stacked.
Thus, the number of logs stacked in the rows form the finite AP 20, 19, 18,….. up ton-terms and the sum of those n terms is 200. Here, a = 20 and d = 19 – 20 = -1.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ 200 = \(\frac{n}{2}\)[40 + (n – 1) (-1)]
∴ 400 = n(40 – n + 1)
∴ 400 = n(41 – n)
∴ 400 = 41n – n²
∴ n² – 41n + 400 = 0
∴ n² – 16n – 25n + 400 = 0
∴ n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0
∴ (n – 16) (n – 25) = 0
n – 16 = 0 or n – 25 = 0
n = 16 or n = 25
Here, both the answers are admissible. Hence, we verify by the value of 16th term and 25th term.
a_n = a + (n – 1) d
∴ a₁₆ = 20 + 15(-1) = 5
∴ a₂₅ = 20 + 24(-1) = -4
Thus, for the 25th row, the number of logs in the row becomes negative. This is inadmissible.
Hence, n ≠ 25.
∴ n = 16 and a₁₆ = 5.
Thus, the 200 logs are placed in 16 rows and in the top row there are 5 logs.

Question 20.
In a potato race, a bucket is placed at the starting point, which is 5 m from the first potato, and the other potatoes are placed 3 m apart in a straight line. There are ten potatoes in the line (see the given figure).

A competitor starts from the bucket, picks up the nearest potato, runs back with it, drops it in the bucket, runs back to pick up the next potato, runs to the bucket to drop it in, and she continues in the same way until all the potatoes are in the bucket. What is the total distance the competitor has to run?
[Hint: To pick up the first potato and the second potato, the total distance (in metres) run by a competitor is 2 × 5 + 2 × (5 + 3)].
Solution:
The distance (in metres) to be covered to pick up first potato = 2 × 5 = 10.
The distance (in metres) to be covered to pick up second potato = 2 × (5 + 3) = 16.
The distance (in metres) to be covered to pick up third potato = 2 × (5 + 3 + 3) = 22.
Thus, the distances to be covered to pick up 10 potatoes form the finite AP 10, 16, 22, …. up to 10 terms.
Here, a = 10, d = 16 – 10 = 6, n = 10 and Sn will give the total distance (in metres) that the competitor has to run.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[20 + (10 – 1)6]
∴ S₁₀ = 5 × 74
∴ S₁₀ = 370
Thus, the total distance that the competitor has to run is 370 metres.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 Statistics Exercise 14.2

Question 1.
The following table shows the ages of the patients admitted in a hospital during a year:

Find the mode and the mean of the data given above. Compare and interpret the two measures of central tendency.
Solution:
The class interval having the maximum frequencies is 35 – 45.
f₁ = 23, l = 35, h = 10, f₀ = 21, f₂ = 14


Maximum number of patients admitted in the hospital are of the age 36.8 years. The average age of the patient admitted to the hospital is 35.37 years.

Question 2.
The following data gives the information on the observed lifetimes (in hours) of 225 electrical

Determine the modal lifetimes of the components.
Class interval having the maximum frequency is 60 – 80.
f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38, l = 60, h = 20.

Question 3.
The following data gives the distribution of total monthly household expenditure of 200 families of a village. Find the modal monthly expenditure of the families. Also, find the mean monthly expenditure:

Expenditure (in Rs.)	No. of families
1000 – 1500	24
1500 – 2000	40
2000 – 2500	33
2500 – 3000	28
3000 – 3500	30
3500 – 4000	22
4000 – 4500	16
4500 – 5000	7

Solution:

Step deviation method: \(\bar{x}\) = a + \(\left[\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right]\)h
= 3250 + \(\left[\frac{-235}{200}\right]\) × 500
= 3250 – \(\left[-\frac{1175}{2}\right]\)
= 3250 – 587.5
= 2662.5.
Mean expenditure Rs. 2662.50.
l = 1500, f₁ = 40, f₂ = 33, f₀ = 24, h = 500

Modal monthly expenditure = 1847.83.

Question 4.
The following distribution gives the state-wise teacher-student ratio in higher secondary schools of India. Find the mode and mean of this data. Interpret the two measures.

Number of students per teacher	No. of states/U.T.
15 – 20	3
20 – 25	8
25 – 30	9
30 – 35	10
35 – 40	3
40 – 45	0
45 – 50	0
50 – 55	2

Solution:

l = lower limit of the CI = 30, f₁ = 10, f₀ = 9, f₂ = 3, h = 5
Mode = \(l+\left[\frac{\mathrm{f}_1-\mathrm{f}_0}{2 \mathrm{f}_1-\mathrm{f}_0-\mathrm{f}_2}\right] \times \mathrm{h}\)
= \(=30+\left[\frac{10-9}{20-9-3}\right] \times 5\)
= \(30+\left[\frac{1}{8} \times 5\right]=30+\frac{5}{8}\)
= 30 + 0.625 = 30.625.
Most states/UT’s have a student-teacher ratio of 30.6. On an average this ratio is 29.2.

Question 5.
The given distribution shows the number of runs scored by some top batsmen of the world in one-day international cricket matches.

Runs scored	Number of batsmen
3000 – 4000	4
4000 – 5000	18
5000 – 6000	9
6000 – 7000	7
7000 – 8000	6
8000 – 9000	3
9000 – 10000	1
10000 – 11000	1

Find the mode of the data.
Solution:
l = 4000, f₁ = 18, f₀ = 4, f₂ = 9, h = 1000

Question 6.
A student noted the number of cars passing through a spot on a road for 100 periods each of 3 minutes and summarised it in the table given below. Find the mode of the data.

Solution:
Class interval having the maximum frequency is 40 – 50. f₁ = 20, f₀ = 12, f₂ = 11, l = 40, h = 10.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Exercise 13.2

Unless stated otherwise, take π = \(\frac{22}{7}\)

Question 1.
A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere with both their radii being equal to 1 cm and the height of the cone equal to its radius. Find the volume of the solid in terms οf π.
Solution:
The given solid is a combination of a cone and a hemisphere.
We have radius of the cone r = Radius of the hemisphere = 1 cm and height of the cone h = 1 cm.

∴ Volume of the solid = Volume of the cone + Volume of the hemisphere

Question 2.
Rachel, an engineering student, was asked to make a model shaped like a cylinder with two cones attached at its two ends by using a thin aluminium sheet. The diameter of the model is 3 cm and its length is 12 cm. If each cone has a height of 2 cm, find the volume of air contained in the model that Rachel made. (Assume the outer and inner dimensions of the model to be nearly the same.)
Solution:
d = 3 cm, AF = 8 cm = H, Ax = Fy = 2 cm = h, r = \(\frac{3}{2}\)

Volume of the model = Volume of the cone ABC + Volume of the cylinder BCED + Volume of the cone DEF

Question 3.
A gulab jamun contains sugar syrup up to about 30% of its volume. Find approximately how much syrup would be found in 45 gulab jamuns, each shaped like a cylinder with two hemispherical ends with length 5 cm and diameter 2.8 cm.
Solution:

Volume of 1 jamun = Volume of the cylinder + 2 × Volume of the hemisphere

Question 4.
A pen stand made of wood is in the shape of a cuboid with four conical depressions to hold pens. The dimensions of the cuboid are 15 cm by 10 cm by 3.5 cm. The radius of each of the depressions is 0.5 cm and the depth is 1.4 cm. Find the volume of wood in the entire stand.
Solution:

Volume of wood in the stand = Volume of the cuboid – Volume of wood lost in making four conical depressions

Question 5.
A vessel is in the form of an inverted cone. Its height is 8 cm and the radius of its top, which is open, is 5 cm. It is filled with water up to the brim. When lead shots, each of which is a sphere of radius 0.5 cm are dropped into the vessel, one-fourth of the water flows out. Find the number of lead shots dropped in the vessel.
Solution:
Volume of water in the cone = \(\frac{\pi r^2 h}{3}\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 8 cc.
= \(\frac{22 \times 25 \times 8}{21}\) c.c.
When some lead shots are dropped into the vessel, volume of the water that flows out

= \(\frac{1}{4} \times \frac{22 \times 25 \times 8}{21}\)
= \(\frac{22 \times 25 \times 2}{21}\) cc
This is equal to the volume of the lead shots dropped.
Volume of a lead shot = \(\frac{4}{3}\)πr³
Let the no. of lead shots dropped be x.
The volume of x lead shots = Volume of water overflown

Number of lead shots dropped = 100.

Question 6.
A solid iron pole consists of a cylinder of height 220 cm and base diameter 24 cm, which is surrounded by another cylinder of height 60 cm and radius 8 cm. Find the mass of the pole, given that 1 cm³ of iron has approximately 8 g mass. (Use π = 3.14).
Solution:
R = 12, r = 4.
Common factor of 144 and 64 is 16 (HCF)
HCF of 220 and 60 is 20.
1 kg = 1000 gms.

Volume of the given solid = Volume of the bigger cylinder + Volume of the surmounted cylinder
= πR²H + πr²h
= 3.14 × 12² × 220 + 3.14 × 8² × 60
= 3.14 × 144 × 220 + 3.14 × 64 × 60
= 3.14 × 16 × 20(9 × 11 + 4 × 3)
= 3.14 × 320(99 + 12)
= 3.14 × 320 × 111 c.c.
Mass of the solid = Volume × density
= 3.14 × 320 × 111 × 8 gm
= \(\frac{3.14 \times 320 \times 111 \times 8}{1000}\)kg.
= \(\frac{3.14 \times 32 \times 888}{100}\)
= 3.14 × 32 × 8.88
= 892.26 kg.

Question 7.
A solid consisting of a right circular cone of height 120 cm and radius 60 cm standing on a hemisphere of radius 60 cm is placed upright in a right circular cylinder full of water such that it touches the bottom. Find the volume of water left in the cylinder, if the radius of the cylinder is 60 cm and its height is 180 cm.
Solution:
h = 180 (cylinder), H = 120 (Cone).
Volume of the solid given = Volume of the cone + Volume of the hemisphere

Volume of water left in the cylinder = Volume of water in the cylinder – Volume of the solid immersed

Question 8.
A spherical glass vessel has a cylindrical neck 8 cm long, 2 cm in diameter; the diameter of the spherical part is 8.5 cm. By measuring the amount of water it holds, a child finds its volume to be 345 cm³. Check whether she is correct, taking the above as the inside measurements, and π = 3.14.
Solution:
r = \(\frac{8.5}{2}\), R = \(\frac{2}{2}\) = 1

Volume of water in the vessel = Volume of water in the spherical part + Volume of water in the cylindrical neck.

= 3.14 × 110.354 = 346.51 cm³.
The child’s answer is wrong.

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

भूमिका :
हम पिछली कक्षाओं में सरल समीकरणों अर्थात् प्रथम घात ( रैखिक) तथा एक अज्ञात राशि (चर) के समीकरण का अध्ययन कर चुके हैं। व्यापक रूप में इन्हें ax + b = 0 या ax + b = c के द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं। a ≠ 0 तथा x चर है। हम यह भी जानते हैं कि ax + b = 0, a ≠ 0 का हल x = –\(\frac{b}{a}\) होता है तथा x = –\(\frac{b}{a}\) समीकरण ax + b = 0 का मूल (Root) कहलाता है।
इस अध्याय में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को बीजगणितीय तथा आलेखीय विधियों से हल करेंगे।

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म :
समीकरण ax + by + c = 0 दो चरों वाले रैखिक समीकरण का व्यापक रूप कहलाता है जिसमें a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं तथा a ≠ 0, b ≠ 0. जैसे- 3x + 4y + 7 = 0, -5y + x = -2 तथा 2x + \(\frac{3}{11}\)y = 1 आदि दो चरों वाले रेखीय समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं।
यदि समीकरण ax + by + c = 0 में a ≠ 0, b = 0 हो, तो यह समीकरण परिवर्तित होकर ax + c = 0 रूप ले लेती है जो कि एक घर में रैखिक समीकरण है। इसी प्रकार यदि तो ax + by + c = 0 परिवर्तित होकर by + c = 0 के रूप में आ जाती है जो कि पुनः एक चर y में रैखिक समीकरण है।
दो चरों में दो रैखिक समीकरण एक रैखिक समीकरणों का युग्म कहलाता है। ऐसे समीकरणों के युग्म को युगपत समीकरण भी कहते हैं।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 रैखिक समीकरण युग्म का सबसे व्यापक रूप है। जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि
a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0.

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल : दो चरों वाले रैखिक समीकरण को हल करने की दो विधियाँ हैं-
(i) लेखाचित्र विधि (Graphical Method),
(ii) बीजगणितीय विधि (Algebraic Method)

लेखाचित्र विधि (Graphical Method)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
(i) सबसे पहले समीकरण युग्म का एक समीकरण लिखिए।
(ii) अब x का कोई पूर्णांक मान लेकर समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित कर, चर y का मान निकाल लेते हैं।
(iii) यदि x का मान a तथा y का मान b प्राप्त होता है, तो एक बिन्दु (a, b) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(iv) पुन: इसी प्रकार x का अन्य कोई दूसरा पूर्णांक समीकरण में प्रतिस्थापित कर y का मान निकाल लेते हैं।
(v) यदि अब x का मान c तथा y का मान d प्राप्त होता है तब बिन्दु (c, d) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(vi) अब इन दोनों अंकित बिन्दुओं से ग्राफ पेपर पर आलेख खींचते हैं।
(vii) इस प्रकार पहले समीकरण का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(viii) अब समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण लेकर, ऊपर बताए गये बिन्दुओं के अनुसार दूसरे समीकरण का भी आलेख खींचते हैं।
(ix) दूसरे समीकरण का आलेख भी एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(x) ये दोनों सरल रेखाएँ परस्पर काटेंगी (Intersecting lines) या फिर समान्तर (Parallel lines) होंगी अथवा सम्पाती (Conincident lines) होंगी।

सम्पाती हो तो समीकरण युग्म के अनन्त (अपरिमित) सार्व हल प्राप्त होंगे-
इस प्रकार आलेखीय निरूपण निम्न प्रकार प्राप्त होता है-

रेखीय समीकरणों के संगत व असंगत युग्म :
संगत युग्म (Consistent pair) : यदि समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂ = 0 के हल विद्यमान हैं, तो दिया गया समीकरण निकाय संगत निकाय कहलाता है।
संगत निकाय के निम्न दो प्रकार हैं :
(i) दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अद्वितीय हल (Unique solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
(ii) दो सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अनन्त हल (Infinitely many solutions) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
असंगत युग्म (Inconsistent pair) : जब समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂ = 0 का कोई भी हल विद्यमान नहीं होता तब वह निकाय असंगत निकाय कहलाता है।
(iii) दो समान्तर रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् कोई हल नहीं (No solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल में रेखाओं का व्यवहार :
दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को निरूपित करने वाली रेखाओं के व्यवहार और हलों के होने या न होने का सार संक्षेप में निम्न प्रकार है-
(i) रेखाएँ केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करें, तो समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। – संगत समीकरण युग्म ।
(ii) रेखाएँ समान्तर भी हो सकती हैं तो इस स्थिति में समीकरणों का कोई हल नहीं होगा। – असंगत समीकरण युग्म।
(iii) रेखाएँ सम्पाती हो सकती हैं, समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
आश्रित (संगत) समीकरण युग्म रेखाओं के सामान्य समीकरणों को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं :
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0
जहाँ a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं (a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0, a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0)
(i) प्रतिच्छेद करें तो \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\); समीकरण: युग्म संगत होगा और उसका एक और केवल एक ही (अद्वितीय) हल होगा।
(ii) सम्पाती हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म संगत होगा और उसके अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
(iii) समान्तर हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म असंगत होगा और उसका कोई हल नहीं होगा।
किसी भी रेखाओं के युग्म के लिए विलोम भी सत्य है।

एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Method to Solve a Pair of Linear Equations in Two Variables) :
रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की तीन बीजीय विधियाँ हैं-
(1) प्रतिस्थापन विधि (Method of Substitution)
(2) विलोपन विधि (Method of Elimination)
(3) वज्रंगुणन विधि (Method of Cross multiplication)

प्रतिस्थापन विधि क्रियाविधि (Working Rule) :
चरण 1. किसी एक समीकरण से एक चर x को दूसरे चर के पदों के रूप में लिख लेते हैं।
चरण 2. y के पदों में प्राप्त x के इस मान को युग्म के शेष दूसरे समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करके y का मान निकाल सकते हैं।
चरण 3. y के इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर x का मान निकाल सकते हैं।

निराकरण या विलोपन विधि (Elimination Method) :
इस विधि में एक चर का विलोपन करते हैं या उसे हटा देते हैं। यह विधि कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक रहती है।
गुणांकों को बराबर करके हल सर्वप्रथम हम दोनों युगपत् समीकरणों को ऐसे शून्येतर गुणांकों अर्थात् शून्य को छोड़कर अन्य गुणांकों से गुणा करके दोनों समीकरणों में एक अज्ञात राशि या y के गुणांक बराबर कर लेते हैं। अब दोनों समीकरणों को आवश्यकतानुसार जोड़कर या घटाकर समान गुणांकों वाली राशि को विलुप्त करते हैं। अब हमें एक अज्ञात राशि वाला समीकरण प्राप्त होता है जिसे हल करके अज्ञात राशि का मान ज्ञात करते हैं इस मान को किसी भी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर दूसरी अज्ञात राशि का मान ज्ञात कर लेते हैं।

वज्रगुणन विधि (Method of Cross Multiplication) :
इस विधि में दोनों समीकरणों को इस प्रकार लिख लेते हैं कि उनके दायें पक्ष में शून्य हो ।
माना समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0.
तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 हैं।
अब निम्न प्रकार लिखकर x और y के मान ज्ञात कर लेते हैं-
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)
उपर्युक्त हल को स्मरणीय रूप में निम्न प्रकार लिखकर प्राप्त किया जा सकता है-

इस आरेख के अनुसार नीचे की ओर तीर वाली (↓) संख्याओं के गुणनफल में से ऊपर की ओर तीर वाली (↑) संख्याओं के गुणनफल को घटाकर लिखा जा सकता है।
अथवा
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)

दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण :
यदि समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में नहीं है अर्थात् \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+c\) = 0 के रूप में है, तो इसे रैखिक समीकरण के रूप में निम्न प्रकार बदला जा सकता है :
माना \(\frac{1}{x}\) = P और \(\frac{1}{y}\) = q प्रतिस्थापित करने पर,
ap + bq + c = 0 प्रकार का रैखिक समीकरण बना कर हल करते हैं।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.6

Question 1.
Sovle the following pairs of equations by reducing them to a pair of linear equations:

Solution:
1. The given pair of equations is

Taking \(\frac{1}{x}=a\) and \(\frac{1}{y}=b\) in both the equations, we get
\(\frac{1}{2}\)a + \(\frac{1}{3}\)b = 2 ……….(3)
\(\frac{1}{3}\)a + \(\frac{1}{2}\)b = \(\frac{13}{6}\) ………..(4)
Multiplying both the equations by 6, we get
3a + 2b = 12 ……(5)
2a + 3b = 13 ……(6)
Adding equations (5) and (6), we get
5a + 5b = 25
∴ a + b = 5 ……….(7)
Subtracting equation (6) from equation (5), we get
a – b = -1 ………..(8)
Equations (7) and (8) can be solved easily to get a = 2 and b = 3.
Then a = \(\frac{1}{x}\) = 2 and b = \(\frac{1}{y}\) = 3
∴ x = \(\frac{1}{2}\) and y = \(\frac{1}{3}\)
Thus, the solution of the given pair of equations is x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{1}{3}\)

2. The given pair of equations is
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2\) ……….(1)
\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1\) ……….(2)
Taking \(\frac{1}{\sqrt{x}}=a\) and \(\frac{1}{\sqrt{y}}=b\) in both the equations, we get
2a + 3b = 2 ……….(3)
4a – 9b = -1 ……….(4)
Multiplying equation (3) by 3, we get
6a + 9b = 6 ……….(5)
Adding equations (4) and (5). we get
(4a – 9b) + (6a + 9b) = -1 + 6
∴ 10a = 5
∴ a = \(\frac{1}{2}\)
Substituting a = \(\frac{1}{2}\) in equation (3), we get
2(\(\frac{1}{2}\)) + 3b = 2
∴ 1 + 3b = 2
∴ 3b = 1
∴ b = \(\frac{1}{3}\)
Now, a = \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\)
∴ 2 = \(\sqrt{x}\)
∴ x = 4
Again b = \(\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\)
∴ 3 = \(\sqrt{y}\)
∴ y = 9
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 4, y = 9,

3. The given pair of equations is
\(\frac{4}{x}\) + 3y = 14 ……….(1)
\(\frac{3}{x}\) – 4y = 23 ……….(2)
Taking \(\frac{1}{x}\) = a in both the equations, we get
4a + 3y = 14 ……….(3)
3a – 4y = 23 ……….(4)
Multiplying equation (3) by 4 and equation (4) by 3 and adding them, we get
4(4a + 3y) + 3(3a – 4y) = 4(14) + 3(23)
∴ 16a + 12y + 9a – 12y = 56 + 69
∴ 25a = 125
∴ a = 5
Now, a = \(\frac{1}{x}\) = 5
∴ x = \(\frac{1}{5}\)
Substituting x = \(\frac{1}{5}\) in equation (1), we get
\(\frac{4}{\frac{1}{5}}\) + 3y = 14
∴ 20 + 3y = 14
∴ 3y = -6
∴ y = -2
Thus, the solution of the given pair of equations is x = \(\frac{1}{5}\), y = -2.

4. The given pair of equations is
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2\) ………..(1)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1\) …………(2)
Taking \(\frac{1}{x-1}=a\) and \(\frac{1}{y-2}=b\) in both the equations, we get
5a + b = 2 ………..(3)
6a – 3b = 1 ………..(4)
Multiplying equation (3) by 3 and then additing equation (4) to it, we get
3(5a + b) + (6a – 3b) = 3(2) + 1
∴ 15a + 3b + 6a – 3b = 6 + 1
∴ 21a = 7
a = \(\frac{1}{3}\)
Substituting a = \(\frac{1}{3}\) in equation (4), we get
6(\(\frac{1}{3}\)) – 3b = -1
∴ 2 – 3b = 1
∴ 1 = 3b
∴ b = \(\frac{1}{3}\)
Now, a = \(\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}\)
∴ x – 1 = 3
∴ x = 4
Again, b = \(\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}\)
∴ y – 2 = 3
∴ y = 5
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 4, y = 5.

5. The given pair of equations is \(\frac{7 x-2 y}{x y}=5\) and \(\frac{8 x+7 y}{x y}=15\)
Hence, \(\frac{7}{y}-\frac{2}{x}=5\) ………..(1)
and \(\frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15\) ………..(2)
Taking \(\frac{1}{y}\) = a and \(\frac{1}{y}\) = b in both the equations, we get
7a – 2b = 5 ………..(3)
8a + 7b = 15 ………..(4)
Expressing the equation in the standard form, we get
7a – 2b – 5 = 0 and 8a + 7b – 15 = 0

Now, a = \(\frac{1}{y}\) = 1 ∴ y = 1
and b = \(\frac{1}{x}\) = 1 ∴ x = 1
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 1, y = 1.

6. The given pair of equations is 6x + 3y = 6xy and 2x + 4y = 5xy
Dividing both the equations by xy, we get
\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=6\) ………..(1)
\(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5\) ………..(2)
Taking \(\frac{1}{y}\) = a and \(\frac{1}{x}\) = b,
we get
6a + 3b = 6
i.e., 2a + b = 2 ……(3)
2a + 4b = 5 ……(4)
Subtracting equation (3) from equation (4),
we get
(2a + 4b) – (2a + b) = 5 – 2
∴ 3b = 3
∴ b = 1
Substituting b = 1 in equation (3), we get
2a + 1 = 2
∴ 2a = 1
∴ a = \(\frac{1}{2}\)
Now, a = \(\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\) ∴ y = 2
and b = \(\frac{1}{x}\) = 1 ∴ x = 1
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 1, y = 2.

7. The given pair of equations is
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4\) ………..(1)
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\) ………..(2)
Taking \(\frac{1}{x+y}=a\) and \(\frac{1}{x-y}=b\) in both the equations, we get
10a + 2b = 4
i.e., 5a + b = 2 ……(3)
15a – 5b = -2 ……(4)
Multiplying equation (3) by 5 and then adding equation (4) to it, we get
5(5a + b) + (15a – 5b) = 5(2) + (-2)
∴ 25a + 5b + 15a – 5b = 10 – 2
∴ 40a = 8
∴ a = \(\frac{1}{5}\)
Substituting a = \(\frac{1}{5}\) in equation (3), we get
5(\(\frac{1}{5}\)) + b = 2
∴ 1 + b = 2
∴ b = 1
Now, a = \(a=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\)
∴ x + y = 5 ……(5)
and b = \(\frac{1}{x-y}=1\)
∴ x – y = 1 ………(6)
Adding equations (5) and (6), we get
2x = 6
∴ x = 3
Substituting x = 3 in equations (5), we get
3 + y = 5
∴ y = 2
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 3, y = 2.

8. The given pair of equations is
\(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\) ………(1)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}\) ………(2)
Taking \(\frac{1}{3 x+y}=a\) and \(\frac{1}{3 x-y}=b\) in both the equations, we get
a + b = \(\frac{3}{4}\) ………(3)
\(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=-\frac{1}{8}\)
i.e., a – b = –\(\frac{2}{8}\)
i.e., a – b = –\(\frac{1}{4}\) ………….(4)
Adding equations (3) and (4), we get
2a = \(\frac{2}{4}\)
∴ a = \(\frac{1}{4}\)
Substituting a = \(\frac{1}{4}\) in equation (3), we get
\(\frac{1}{4}+b=\frac{3}{4}\)
∴ b = \(\frac{1}{2}\)
Now, a = \(\frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4}\)
3x + y = 4 ………….(5)
and b = \(\frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}\)
∴ 3x – y = 2 ………….(6)
Adding equations (5) and (6), we get
6x = 6
∴ x = 1
Substituting x = 1 in equations (5), we get
3(1) + y = 4
∴ y = 1
Thus, the solution of the given pair of equations is x = 1, y = 1.

2. Formulate the following problems as a pair of equations, and hence find their solutions:

Question 1.
Ritu can row downstream 20 km in 2 hours, and upstream 4 km in 2 hours. Find her speed of rowing in still water and the speed of the current.
Solution:
Let Ritu’s speed of rowing in still water be x km/h and the speed of the current by y km/h.
Then, her net speed going down-stream = (x + y) km/h and her net speed going upstream = (x – y) km/h.
Also, time = \(\frac{\text { distance }}{\text { speed }}\)
Then, form the first condition, we get
2 = \(\frac{20}{x+y}\)
∴ x + y = 10 ……(1)
And, from the second condition, we get
2 = \(\frac{4}{x-y}\)
∴ x – y = 2 ………..(2)
Adding equations (1) and (2), we get
2x = 12
∴ x = 6
Substituting x = 6 in equation (1), we get
6 + y = 10
∴ y = 4
Thus, Ritu’s speed of rowing in still water is 6 km/h and the speed of the current is 4 km/h.

Question 2.
2 women and 5 men can together finish an embroidery work in 4 days. while 3 women and 6 men can finish it in 3 days. Find the time taken by 1 woman alone to finish the work, and also that taken by 1 man alone.
Solution:
Suppose that 1 woman alone can finish the work in x days and 1 man alone can finish the work in y days.
∴ Work done by 1 woman in 1 day = \(\frac{1}{x}\) part and work done by 1 man in 1 day \(\frac{1}{y}\) part.
Then, work done by 2 women and 5 men together in 1 day = \(\left(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}\right)\) part.
But, according to the first information given, 2 women and 5 men together finish the work in 4 days, i.e., in one day they can finish \(\frac{1}{4}\) part of the work.
Hence, we get the following equation:
\(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\) ……(1)
Similarly, from the second information given, we get
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\) ……(2)
Taking \(\frac{1}{x}\) = a and \(\frac{1}{y}\) = b in both the equations, we get
2a + 5b = \(\frac{1}{4}\) ……(3)
3a + 6b = \(\frac{1}{3}\) ……(4)
Multiplying equation (3) by 6 and equation (4) by 5, we get
12a + 30b = \(\frac{6}{4}\) ……(5)
15a + 30b = \(\frac{5}{3}\) ……(6)
Subtracting equation (5) from equation (6), we get
(15a + 30b) – (12a + 30b) = \(\frac{5}{3}-\frac{6}{4}\)
15a + 30b – 12a – 30b = \(\frac{20-18}{12}\)
∴ 3a = \(\frac{2}{12}\)
∴ a = \(\frac{1}{18}\)
Substituting a = \(\frac{1}{18}\) in equation (3), we get
2(\(\frac{1}{18}\)) + 5b = 4
∴ 5b = \(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\)
∴ 5b = \(\frac{5}{36}\)
∴ b = \(\frac{1}{36}\)
Now, a = \(\frac{1}{x}=\frac{1}{18}\) ∴ x = 18
and b = \(\frac{1}{y}=\frac{1}{36}\) ∴ y = 36
Thus, 1 woman alone can finish the work in 18 days and 1 man alone can finish the work in 36 days.

Question 3.
Roohi travels 300 km to her home partly by train and partly by bus. She takes 4 hours if she travels 60 km by train and the remaining by bus. If she travels 100 km by train and the remaining by bus, she takes 10 minutes longer. Find the speed of the train and the bus separately.
Solution:
Let the speed of the train be x km/h and the speed of the bus be y km/h.
Also, time = \(\frac{\text { distance }}{\text { speed }}\)
In the first case, she travels 60 km by train and the remaining 240 km (300 – 60) by bus.
∴ Time taken for journey by train = \(\frac{60}{x}\)h and time taken for journey by bus \(\frac{240}{y}\)h.
∴ Total time taken = \(\left(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}\right)\)h
In the first case, total time taken = 4 h.
Hence, we get the following equation:
\(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4\) ………..(1)
Similarly, in the second case, the distances she travels by train and bus are 100 km and 200 km respectively and time taken by those journies are \(\frac{100}{x}\)h and \(\frac{200}{y}\)h respectively.
In this case, the total time taken = 4 hours + 10 minutes = 4\(\frac{1}{6}\) hours.
Hence, we get the following equation:
\(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4 \frac{1}{6}\)
∴ \(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}\) ………..(2)
Taking \(\frac{1}{x}\) = a and \(\frac{1}{y}\) = b in both the equations, we get
60a + 240b = 4 ………..(3)
100a + 200b = \(\frac{25}{6}\) ………..(4)
Multiplying equation (3) by 5 and equation (4) by 6, we get
300a + 1200b = 20 ………..(5)
600a + 1200b = 25 ………..(6)
Subtracting equation (5) from equation (6), we get
(600a + 1200b) – (300a + 1200b) = 25 – 20
∴ 300a = 5
∴ a = \(\frac{1}{60}\)
Substituting a = \(\frac{1}{60}\) in (3), we get
60(\(\frac{1}{60}\)) + 240b = 4
∴ 1 + 240b = 4
∴ 240b = 3
∴ b = \(\frac{1}{80}\)
Now, a = \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{60}\)
∴ x = 60
and b = \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{80}\)
∴ y = 80
Thus, the speed of the train is 60 km/h and the speed of the bus is 80 km/h.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Exercise 2.4

Question 1.
Verify that the numbers given alongside of the cubic polynomials below are their zeroes. Also verify the relationship between the zeroes and the coefficients in each case:
1. 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
2. x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
Solution:
1. Let p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2

Hence, \(\frac{1}{2}\) is a zero of
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2.
Again,
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 0
Hence, 1 is a zero of p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2.
Again,
p(-2) = 2(-2)² + (-2)² – 5(-2)+2
= -16 + 4 + 10 + 2 = 0
Hence, -2 is a zero of
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2.
Now, for p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2;
a = 2, b = 1, c = -5 and d = 2.
The zeroes of p (x) are α = \(\frac{1}{2}\), β = 1 and γ = -2.
Now, α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2)
= \(-\frac{1}{2}=\frac{-(1)}{2}=\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = (\(\frac{1}{2}\)) (1) + (1) (-2) + (-2) (\(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{-5}{2}=\frac{c}{a}\) and
αβγ = (\(\frac{1}{2}\))(1)(-2) = -1 = \(\frac{-(2)}{(2)}=\frac{-d}{a}\)

2. Let p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
Then, p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
Hence, 2 is a zero of p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
Again,
p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
Hence, 1 is a repeated zero of p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
Now, for p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2, a = 1, b = -4, c = 5 and d = -2.
The zeroes of p (x) are α = 2, β = 1 and γ = 1.
Now,
α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = \(\frac{-(-4)}{1}=\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = (2) (1) + (1) (1) + (1) (2)
= 2 + 1 + 2 = 5 = \(\frac{5}{1}=\frac{c}{a}\) and
αβγ = (2) (1) (1) = 2 = \(\frac{-(-2)}{1}=\frac{-d}{a}\)

Question 2.
Find a cubic polynomial with the sum of its zeroes, sum of the product of its zeroes taken two at a time, and the product of its zeroes as 2, 7, 14 respectively.
Solution:
Let p (x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0, be the required cubic polynomial and its zeroes be α, β and γ
Then, as given in the data,
α + β + γ = 2 ∴ \(\frac{-b}{a}\) = 2
αβ + βγ + γα = -7 ∴ \(\frac{c}{a}\) = -7
αβγ = \(\frac{-d}{a}\) = -14
So, if a = 1, then b = -2, c = -7 and d = 14.
Hence, the required polynomial is p(x) = x³ – 2x² – 7x + 14.

Question 3.
If the zeroes of the polynomial x³ – 3x² + x + 1 are a – b, a, a + b, find a and b.
Solution:
For the given polynomial x³ – 3x² + x + 1.
A = 1, B = -3, C = 1 and D = 1.
Its zeroes are given to be a – b, a and a + b.
Now, sum of zeroes = (a – b) + a + (a + b) = 3a
From the polynomial,
Sum of zeroes = \(\frac{-B}{A}=\frac{-(-3)}{1}=3\)
Hence, 3a = 3 ∴ a = 1
Product of zeroes = (a – b) × a × (a + b)
= a(a² – b²)
From the polynomial.
Product of zeroes = \(\frac{-\mathrm{D}}{\mathrm{A}}=\frac{-1}{1}=-1\)
Hence, a (a² – b²) = -1
1(1² – b²) = -1 ∴ 1 – b² = -1
∴ 1 + 1 = b² ∴ b² = 2
∴ b = ±\(\sqrt{2}\)
Thus, a = 1 and b = ±\(\sqrt{2}\).

Question 4.
It two zeroes of the polynomial x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 are 2±\(\sqrt{3}\), find other zeroes.
Solution:
Let p (x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
2 + \(\sqrt{3}\) and 2 – \(\sqrt{3}\) are zeroes of p (x).
∴ (x – 2 – \(\sqrt{3}\))(x – 2 + \(\sqrt{3}\)) = (x – 2)² – (\(\sqrt{3}\))²
= x² – 4x + 4 – 3
= x² – 4x + 1
is a factor of p(x).

Then, Quotient = x² – 2x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
=(x – 7)(x + 5)
x – 7 = 0 gives x = 7 and x + 5 = 0 gives x = -5.
Hence, the other zeroes of the given polynomial are 7 and -5.

Question 5.
If the polynomial x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 is divided by another polynomial x² – 2x + k, the remainder comes out to be x + a, find k and a.
Solution:

But, the remainder is given to be x + a.
Hence, comparing the coefficients of x and the constant term, we get
2k – 9 = 1 and k² – 8k + 10 = a
Now, 2k – 9 = 1
∴ 2k = 10
∴ k = 5
and a = k² – 8k + 10
∴ a = (5)² – 8(5) + 10
∴ a = 25 – 40 + 10
∴ a = -5
Thus, k = 5 and a = -5.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.7

Question 1.
The ages of two friends Ani and Biju differ by 3 years. Ani’s father Dharam is twice as old as Ani and Biju is twice as old as his sister Cathy. The ages of Cathy and Dharam differ by 30 years. Find the ages of Ani and Biju.
Solution:
Let the age of Ani be x years and the age of Biju be y years.
Then, from the given,
x – y = 3 ………….(1)
or y – x = 3 ………(2)
Dharam is twice as old as Ani.
∴ Age of Dharam = 2x years
Biju is twice as old as his sister Cathy. Hence, the age of Cathy is half the age of Biju.
∴ Age of Cathy = \(\frac{y}{2}\) years
Naturally, Dharam is older than Cathy by 30 years.
2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
∴ 4x – y = 60 ………..(3)
1. We solve equation (1) and equation (3).
Subtracting equation (1) from equation (3),
we get
(4x – y) – (x – y) = 60 – 3
∴ 3x = 57
∴ x = 19
Substituting x = 19 in equation (1), we get
19 – y = 3
∴ 19 – 3 = y
∴ y = 16
Hence, the age of Ani is 19 years and the age of Biju is 16 years.

2. We now solve equation (2) and equation (3). Adding equations (2) and (3), we get
(y – x) + (4x – y) = 3 + 60
∴ 3x = 63
∴ x = 21
Substituting x = 21 in equation (2), we get
∴ y – 21 = 3
∴ y = 24
Hence, the age of Ani is 21 years and the age of Biju is 24 years.
Thus, the ages of Ani and Biju are 19 years and 16 years respectively or 21 years and 24 years respectively.

Question 2.
One says, “Give me a hundred, friend! I shall then become twice as rich as you.” The other replies, “If you give me ten, I shall be six times as rich as you.” Tell me what is the amount of their (respective) capital? (From the Bijaganita of Bhaskara II) [Hint: x + 100 = 2(y – 100), y + 10 = 6(x – 10)].
Solution:
Let the amount with the first person (say A) be ₹ x and the amount with the second person (say B) be ₹ y.
If B gives ₹ 100 to A. then A will have ₹(x + 100) and B will have ₹(y – 100).
Then, from the first condition, we get
x + 100 = 2(y – 100)
∴ x + 100 = 2y – 200
∴ x – 2y = -300 ………..(1)
If A gives ₹ 10 to B, then A will have ₹(x – 10) and B will have ₹(y + 10).
Then, from the second condition, we get
y + 10 = 6(x – 10)
∴ y + 10 = 6x – 60
∴ 10 + 60 = 6x – y
∴ 6x – y = 70 ………..(2)
Multiplying equation (2) by 2, we get
12x – 2y = 140 ………..(3)
Subtracting equation (1) from equation (3),
we get
(12x – 2y) – (x – 2y) = 140 – (-300)
∴ 11x = 440
∴ x = 40
Substituting x = 40 in equation (1), we get
40 – 2y = -300
∴ 40 + 300 = 2y
∴ 2y = 340
∴ y = 170
Thus, the first person has got ₹ 40 and the second person has got ₹ 170.

Question 3.
A train covered a certain distance at a uniform speed. If the train would have. been 10 km/h faster, it would have taken 2 hours less than the scheduled time. And, if the train were slower by 10 km/h; it would have taken 3 hours more than the scheduled time. Find the distance covered by the train.
Solution:
Let the regular uniform speed of the train be x km/h and regular time taken by the train be y hours. Then, the total distance of the journey = speed × time = xy km.
Now, according to the first information, the new speed = (x + 10) km/h and new time = (y – 2) hours. Then, speed × time = distance gives
(x + 10) (y – 2) = xy
∴ xy – 2x + 10y – 20 = xy
∴ -2x + 10y = 20 …………..(1)
Again, according to the second condition. the new speed = (x – 10) km/h and new time = (y + 3) hours.
Then, (x – 10) (y + 3) = xy
∴ xy + 3x – 10y – 30 = xy
∴ 3x – 10y = 30 …………..(2)
Adding equations (1) and (2), we get
(-2x + 10y) + (3x – 10y) = 20 + 30
∴ x = 50
Substituting x = 50 in equation (1), we get
-2(50) + 10y = 20
∴ -100 + 10y = 20
∴ 10y = 120
∴ y = 12
Now, the total distance covered by the train = xy = 50 × 12 = 600 km.
Thus, the distance covered by the train is 600 km.

Question 4.
The students of a class are made to stand in rows. If 3 students are extra in a row, there would be 1 row less. If 3 students are less in a row, there would be 2 rows more. Find the number of students in the class.
Solution:
Let the number of students in each row be x and the number of rows be y. Then total number of students = xy.
From the first condition, number of students in each row = x + 3 and the number of rows = y – 1.
∴ (x + 3)(y – 1) = xy
∴ xy – x + 3y – 3 = xy
∴ -x + 3y = 3 …………..(1)
From the second condition, number of students in each row = x – 3 and the number of rows = y + 2.
∴ (x – 3) (y + 2) = xy
∴ xy + 2x – 3y – 6 = xy
∴ 2x – 3y = 6 ……….. (2)
Adding equations (1) and (2), we get
(-x + 3y) + (2x – 3y) = 3 + 6
∴ x = 9
Substituting x = 9 in equation (1), we get
-9 + 3y = 3
∴ 3y = 12
∴ y = 4
Now, total number of students = xy = 9 × 4 = 36. Thus, the number of students in the class is 36.

Question 5.
In a ΔABC, ∠C = 3∠B = 2 (A + B). Find the three angles.
Solution:
In ΔABC, we have
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠A + ∠B + 3∠B = 180° (∵ ∠C = 3∠B)
∴ ZA + 4∠B = 180° …………..(1)
Again, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠B + 2(∠A + ∠B) = 180° (∵ ∠C = 2 (∠A + ∠B))
∴ 3(∠A + ∠B) = 180°
∴ ∠A + ∠B = 60° ……….(2)
Subtracting equation (2) from equation (1),
we get
(∠A + 4∠B) – (∠A + ∠B) = 180° – 60°
∴ 3∠B = 120°
∴ ∠B = 40°
Substituting ∠B = 40° in equation (2), we get
∠A + 40° = 60°
∴ ∠A = 20°
Substituting ∠B = 40° in ∠C = 3∠B, we get
∠C = 3(40°)
∴ ∠C = 120°
Thus, in ΔABC, ∠A = 20°; ∠B = 40°; ∠C = 120°
Note: Replacing ∠A + ∠B = \(\frac{\angle \mathrm{C}}{2}\) in ∠A + ∠B + ∠C = 180°, we get a simple equation in one variable is \(\frac{3}{2}\)∠C = 180°.
After solving it for ∠C, ∠B and ∠A can be found easily.

Question 6.
Draw the graphs of the equations 5x – y = 5 and 3x – y = 3. Determine the co-ordinates of the vertices of the triangle formed by these lines and the y-axis.
Solution:
5x – y = 5 gives y = 5x – 5

x	1	2
y	0	5

3x – y = 3 gives y = 3x – 3

x	1	2
y	0	3

Now, we draw the graphs of both the equations.

From the graph, we observe that the co-ordinates of the vertices of the triangle formed by the graphs of 5x – y = 5 and 3x – y = 3 and the y-axis are (1, 0), (0, -3) and (0, -5).

Question 7.
Solve the following pair of linear equations:
1. px + qy = p – q
qx – py = p + q
2. ax + by = c
bx + ay = 1 + c
3. \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\)
ax + by = a² + b²
4. (a – b)x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y) = a² + b²
5. 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
Solution:
1. px + qy = p – q ……….(1)
qx – py = p + q ……….(2)
Multiplying equation (1) by p and equation (2) by q, we get
p²x + pqy = p² -pq ……….(3)
q²x – pqy = pq + q² ……….(4)
Adding equations (3) and (4), we get
(p²x + pqy) + (q²x – pqy) = (p² – pq) + (pq + q²)
∴ x(p² + q²) = p² + q²
∴ x = 1
Substituting x = 1 in equation (1), we get
p(1) + qy = p – q
∴ qy = -q
∴ y = -1
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 1, y = -1.

2. ax + by = c ……….(1)
bx + ay = 1 + c ……….(2)
Multiplying equation (1) by a and equation (2) by b, we get
a²x + aby = ac ……….(3)
b²x + aby = b + bc ……….(4)
Subtracting equation (4) from equation (3), we get
(a²x + aby) – (b²x + aby) = ac – (b + bc)
x(a² – b²) = ac – b – bc
x = \(\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}\)
Substituting x = \(\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}\) in equation (1), we get

Thus, the solution of the given pair of linear equations is
x = \(\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}\), y = \(\frac{c(a-b)+a}{a^2-b^2}\)

3. \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\) ……….(1)
ax + by = a² + b² ……….(2)
From equation (1), we get
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
y = \(\frac{b}{a}\)x
Substituting y = \(\frac{b}{a}\)x in equation (2), we get

Substituting x = a in y = \(\frac{b}{a}\)x, we get
y = \(\frac{b}{a}\)(a)
∴ y = b
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = a, y = b.

4. (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² ……….(1)
(a + b) (x + y) = a² + b²
∴ (a + b)x + (a + b)y = a² + b² ……….(2)
Subtracting equation (1) from equation (2), we get
[(a + b)x + (a + b)y] – [(a – b)x + (a + b)y] = (a² + b²) – (a² – 2ab – b²)
∴ x(a + b – a + b) = a² + b² – a² + 2ab + b²
∴ x (2b) = 2ab + 2b²
∴ x = \(\frac{2 b(a+b)}{2 b}\)
∴ x = a + b
Substituting x = a + b in equation (1), we get
(a – b)(a + b) + (a + b)y = a² – 2ab – b²
∴ a² – b² + (a + b) y = a² – 2ab – b²
∴ (a + b)y = -2ab
∴ y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = a + b, y = \(-\frac{2 a b}{a+b}\)

5. 152x – 378y = -74 ……….(1)
-378x + 152y = -604 ……….(2)
Adding equations (1) and (2), we get
-226x – 226y = -678
∴ x + y = 3 (Dividing by -226) ……….(3)
Subtracting equation (2) from equation (1),
we get
(152x – 378y) – (-378x + 152y) = (-74) – (-604)
∴ 530x – 530y = 530
x – y = 1 (Dividing by 530) ……….(4)
Adding equations (3) and (4), we get
2x = 4
∴ x = 2
Substituting x = 2 in equation (3), we get 2 + y = 3
∴ y = 1
Thus, the solution of the given pair of linear equations is x = 2, y = 1.

Question 8.
ABCD is a cyclic quadrilateral (See the given figure). Find the angles of the cyclic quadrilateral.

Solution:
ABCD is a cyclic quadrilateral.
∠A + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180°
∠A + ∠C = 180° gives 4y + 20° – 4x = 180°
∴ 4y – 4x = 160
∴ y – x = 40° (Dividing by 4) …………..(1)
∠B + ∠D = 180° gives 3y – 5° – 7x + 5° = 180°
∴ 3y – 7x = 180° …………..(2)
From equation (1), we get y = x + 40°
Substituting y = x + 40° in equation (2), we get
3(x + 40°) – 7x = 180°
∴ 3x + 120° – 7x = 180°
∴ -4x = 60°
∴ x = -15°
Substituting x = -15° in equation (1), we get
y – (-15) = 40°
∴ y + 15° = 40°
∴ y = 25°
Now, ∠A = 4y + 20° = 4(25°) + 20° = 120°,
∠B = 3y – 5° = 3 (25°) – 5° = 70°,
∠C = -4x = -4(-15) = 60° and
∠D = -7x + 5° = -7(-15°) + 5° = 110°
Thus, in the given cyclic quadrilateral ABCD.
∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, ∠D = 110°.

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में, दो वृत्त परस्पर बिन्दु C पर स्पर्श करते हैं। सिद्ध कीजिए कि C पर खींची गई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, P तथा Q पह खींची गई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती हैं।

हल:
दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र A तथा B हैं परस्पर बिन्दु C पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है: C पर खींची गई स्पर्श रेखा, P तथा Q पर खींची गई स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती है।
उपपत्ति: हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
PR = RC …..(1)
(बिन्दु R से केन्द्र A वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
तथा RQ = RC …..(2)
(बिन्दु R से केन्द्र B वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
समी (1) व (2) से
PR = RQ
अत: C पर खींची गई स्पर्श रेखा, P तथा Q पर खींची गई स्पर्श रेखा का समद्विभाजन करती है।

प्रश्न 2.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र 0 से जाने वाली एक रेखा के बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 13 सेमी. तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ PQ वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है। OP वृत्त की त्रिज्या है।

∴ PQ ⊥ OP अर्थात् ∠OPQ = 90°
समकोण त्रिभुज OPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से
OQ² = OP² + PQ²
⇒ 13² = 5² + PQ²
⇒ PQ² = 13² – 5²
⇒ PQ² = (13 + 5) (13 – 5)
⇒ PQ² = 18 × 8
⇒ PQ = \(\sqrt{144}\)
⇒ PQ = 12 सेमी.
अतः PQ की लम्बाई = 12 सेमी.।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा, जो कि छोटे को स्पर्श करती है, स्पर्श बिन्दु पर समद्विभाजित होती है।
हल:
दिया है : माना दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनके केन्द्र O और त्रिज्या r और r’ हैं, r > r’
माना AB बड़े वृत्त की जीवा है, जो छोटे वृत्त को C पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है : AC = CB.
रचना: ∵ OC को मिलाया।
उपपत्ति: OC छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
और जीवा AB को बिन्दु C पर स्पर्श करती है।
∴ AB, बिन्दु C पर छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∠OCB = 90° (प्रमेय 10.1 से )
अत: AB बड़े वृत्त की जीवा है और OC ⊥ AB,
AC = CB
[∵ वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]

प्रश्न 4.
O केन्द्र वाले वृत्त के बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
हल:
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ ∠PRO = 90° तथा ∠PQO = 90°
∠PRO + ∠PQO = 90° + 90°
= 180° …..(1)
चतुर्भुज QORP में
∠PRO + ∠ROQ + ∠PQO + ∠QPR = 360°
⇒ ∠PRO + ∠PQO + ∠ROQ + ∠QPR = 360°
⇒ 180° + ∠ROQ + ∠QPR = 360° [समी. (1) से]
⇒ ∠ROQ + ∠QPR = 360° – 180°
⇒ ∠ROQ + ∠OPR = 180°
अतः सम्मुख कोणों का योग 180° है। अतः QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।

प्रश्न 5.
आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त की PQ एक जीवा है तथा PT एक स्पर्श रेखा है। यदि ∠QPT = 60° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल:
चित्र से,
OP ⊥ PT अर्थात् OPT = 90°
∠OPQ = ∠OPT – ∠OPT
∠OPQ = 90 – 60
= 30°
ΔOPQ मैं, (वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है।)
∠OQP = ∠OPQ = 30°
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब,
∠QP + ∠OPQ + ∠POQ = 180°
कोण का योग = 30° + 30° + ∠POQ = 180°
∠POQ = 180° – 60° = 120°
∠POQ = 360° – 120° = 240°
हम जानते हैं, वृत्त के केन्द्र पर बना कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दुगना होता है।
∠POQ = 2∠PRQ
⇒ 240° = 2∠PRQ
⇒ ∠PRQ = \(\frac{240^{\circ}}{2}\) = 120°
अतः कोण PRQ की माप 120° है।

प्रश्न 6.
सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ, जीवा से समान कोण बनाती हैं।
हल:
माना वृत्त C(O, r) की जीवा AB के सिरे A और B पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं जो कि बिन्दु P पर काटती हैं।
माना OP, जीवा AB को C बिन्दु पर काटती है।

सिद्ध करना है : ∠PAC = ∠PBC
उपपत्ति : ΔPCA और ΔPCB में,
PA = PB (बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं)
PC = PC (उभयनिष्ठ भुजा)
∠APC = ∠BPC [∵ स्पर्श रेखाएँ PA व PB, OP के साथ समान कोण बनाती हैं]
S-A-S सर्वांगसमता से,
ΔPCA ≅ ΔPCB
⇒ ∠PAC = ∠PBC.

प्रश्न 7.
आकृति में, 3 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD तथा DC की लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी तथा 9 सेमी है। यदि ΔABC का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है, तो भुजाओं AB तथा AC की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।

हल:
3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक ΔABC खींचा गया है। त्रिभुज की भुजाएँ BC, AB, AC वृत्त को क्रमश: D, E, F बिन्दुओं पर स्पर्श करती है।
∵ किसी बाह्य बिन्दु से, वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती हैं।
AE = AF = x (माना)
BD = BE = 6 सेमी
CD = CF = 9 सेमी
OF, OE, OA, OB तथा OC को मिलाया।
हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ OD ⊥ BC, OE ⊥ AB, OF ⊥ AC
ΔABC में, b = AB = (x + 6)
a = BC = (6 + 9) = 15 सेमी
c = AC = (x + 9) सेमी

ΔOCB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 3 = \(\frac{45}{2}\) सेमी²
ΔCOA का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × (x + 9) × 3
= \(\frac{3 x+27}{2}\) सेमी²
ΔAOB का क्षे. = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2}\) × (6 + x)³ = \(\frac{18+3 x}{2}\) सेमी²
ΔABC का क्षे. = ΔOCB का क्षे. + ΔCOA का क्षे + ΔAOB का क्षे.
\(\sqrt{54 x^2+810 x}=\frac{45}{2}+\frac{3 x+27}{2}+\frac{18+3 x}{2}\)
= \(2 \sqrt{54 x^2+810 x}\) = 45 + 3x + 27 + 18 + 3x
वर्ग करने पर,
4(54x² + 810x) = (6x + 90)²
54 × 4(x² + 15x) = 36(x + 15)²
6x(x + 15) = (x + 15)²
6x = x + 15
5x = 15
x = 3
AE = AF = 3 सेमी
∴ AB = AE + EB = 3 + 6 = 9 सेमी
AC = AF + FC = 3 + 9 = 12 सेमी

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB, BC तथा CA, केन्द्र O तथा त्रिज्या r वाले वृत्त को क्रमश: P, Q तथा R पर स्पर्श करती हैं।

सिद्ध कीजिए :
(i) AB + CQ = AC + BQ
(ii) क्षेत्रफल (ΔABC) = \(\frac{1}{2}\)(ΔABC का परिमाप) × r
हल:
(i) चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य वृत्त से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
अतः AP = AR …..(1)
(बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
BP = BQ …..(2)
(बिन्दु B से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
तथा CQ = CR …..(3)
(बिन्दु C से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ)
समी. (1), (2) तथा (3) को जोड़ने पर
AP + BP + CQ = AR + BQ + CR
⇒ (AP + BP) + CQ = (AR + CR) + BQ
⇒ AB + CQ = AC + BQ.

(ii) OR, OP, OA, OB तथा OC को मिलाया।
चूँकि हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

अत: OP ⊥ AB, OQ ⊥ BC तथा OR ⊥ AC
अब (ΔABC) का क्षेत्रफल = त्रिभुज BOC का क्षेत्रफल + त्रिभुज AOC का क्षेत्रफल + त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)BC × OQ + \(\frac{1}{2}\) AC × OR + \(\frac{1}{2}\)AB × OP
(∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)आधार × ऊँचाई)
= \(\frac{1}{2}\)(BC × r + AC × r + AB × r)
(∵ OQ, OR तथा OP वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
= \(\frac{1}{2}\)(BC + AC + AB) × r
= \(\frac{1}{2}\)(ΔABC का परिमाप) × r
अत: ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)(ΔABC का परिमाप) × r

प्रश्न 9.
यदि एक बिन्दु T से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर TA व TB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 70° के कोण पर झुकी हों तो ∠AOB को ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु T से TA व TB वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ है। OA तथा OB वृत्त की त्रिज्याएँ है।

अत: AT ⊥ OA तथा BT ⊥ OB (प्रमेय 10.1 से)
∴ ∠OAT = 90°
तथा ∠OBT = 90°
∠AOB + ∠ATB = 180°
∠AOB + 70° = 180°
∠AOB = 180° – 70° = 110°

प्रश्न 10.
निम्न आकृति में XP तथा XQ, केन्द्र O वृत्त पर बिन्दु X से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं तथा AB वृत्त के बिंदु R पर स्पर्श रेखा है।
सिद्ध कीजिए : XA + AR = XB + BR

हल:
∵ वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है।
∴ XP = XQ
⇒ XA + AP = XB + BQ …..(i)
बिन्दु B से खींची गई स्पर्श रेखाएँ BQ तथा BR है।
∴ BQ = BR …..(ii)
इसी प्रकार AP = AR ……(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) से
XA + AR = XB + BR

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज ABC के अन्तर्गत एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह भुजाओं AB, BC तथा AC को क्रमश: P, Q तथा R पर स्पर्श करता है, यदि AB = 10 सेमी, AR = 7 सेमी तथा CR = 5 सेमी है, तो BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, AB = 10 सेमी
AR = 7 सेमी
तथा CR = 5 सेमी

∵ बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
∴ AP = AR = 7 सेमी
∵ AB = AP + PB
⇒ 10 = 7 + PB
⇒ PB = (10 – 7) सेमी = 3 सेमी
बिन्दु B से खींची गई स्पर्श रेखाएँ BP व BQ बराबर हैं।
∴ BQ = BP = 3 सेमी
तथा बिन्दु C से खींची गई स्पर्श रेखाएँ CQ व CR बराबर हैं।
CQ = CR = 5 सेमी
अतः BC = BQ + QC
= 3 सेमी + 5 सेमी
= 8 सेमी

प्रश्न 12.
निम्न आकृति में O केंन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB है तथा AC इसकी एक जीवा है। ∠BAC = 30° है। यदि बिंदु C पर खींची गई स्पर्श रेखा, बढ़ाए गए व्यास AB को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि BC = BD।

हल:
अर्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है,
∠ACB = 90°
ΔABC में,
∠ABC + ∠ACB + ∠OAB = 180°
⇒ ∠ABC + 90° + 30° = 180°
⇒ ∠ABC = 180° – 120° = 60°
∠ABC + CBD = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 60° + ∠CBD = 180°
⇒ ∠CBD = 180° – 60°- 120°
ΔAOC में
OA = OC
⇒ ∠ACO = ∠OAC = 30°
अब ∠ACB = ∠ACO + ∠OCB
⇒ 90° = 30° + ∠OCB
⇒ ∠OCB = 90° – 30° = 60°
∵ स्पर्श रेखा, त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠ACD = 90°
⇒ ∠OCB + ∠BCD = 90°
⇒ 60° + ∠BCD = 90°
⇒ ∠BCD = 90° – 60° = 30°
ΔCBD में,
∠BCD + ∠CBD + ∠BDC = 180°
⇒ 30° + 120° + BDC = 180°
⇒ ∠BDC = 180° – 150° = 30°
∵ ∠BCD = ∠BDC = 30°
⇒ BD = BC

वस्तुनिष्ठ प्रश्न :

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

प्रश्न (क).

1. दो वृत्त एक-दूसरे को ………………. बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु से वृत्त पर ………………. स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है।
3. वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है ………………. कहलाती है।
4. त्रिभुज का अन्तः वृत्त ………………. का प्रतिच्छेदक बिन्दु होता है।
5. वृत्त के बाहरी बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा, केन्द्र O से हमेशा OP से ………………… होती है।

उत्तर:

1. दो,
2. 2,
3. छेदक रेखा,
4. त्रिभुज के कोणों का समद्विभाजक,
5. कम ।

निम्न में सत्य / असत्य ज्ञात कीजिए :

प्रश्न (ख).

1. वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
2. किसी वृत्त पर खींची गई छेदक रेखा वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
3. समद्विबाहु त्रिभुज ABC के परिगत वृत्त पर बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि AB = AC जो BC के समान्तर है।
4. वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर अनेक स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
5. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।

उत्तर:

1. सत्य,
2. सत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य ।

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्न आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 115° है, तो ∠PTQ बराबर है:

(A) 115°
(B) 57.5°
(C) 55°
(D) 65°
हल:
∵ ∠PTO और ∠POQ सम्पूरक कोण हैं।
∠PTQ + ∠POQ = 180°
⇒ ∠PTQ + 115° = 180°
⇒ ∠PTQ = 180° – 115° = 650
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 2.
निम्न आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त पर बिन्दु B पर स्पर्श रेखा PQ खींची गई है। यदि ∠AOB = 100° है, तो ∠ABP बराबर है :

(A) 50°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 80°
हल:
दिया है,
∠AOB = 100°
∵ OA = OB
⇒ ∠OBA = ∠OAB = \(\frac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}\)
⇒ ∠OBA = ∠OAB = 40°
∵ स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OBP = 90°
∴ ∠ABP + ∠ABO = 90°
⇒ ∠ABP + 40° = 90°
⇒ ∠ABP = 90° – 40° = 50°
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त पर बाहय बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ तथा PR खींची गई हैं। वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। यदि ∠QPR = 90° है, तो PQ की लम्बाई होगी:

(A) 3 सेमी
(B) 4 सेमी
(C) 2 सेमी
(D) 2\(\sqrt{2}\) सेमी
हल:
∵ त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है,
∠OQP = ∠ORP = 90°
दिया है, ∠QPR = 90°
चतुर्भुज PQOR में,
∠PQO+ ∠QOR + ∠ORP + ∠RPQ = 360°
⇒ 90° + ∠QOR + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠QOR = 360°- 270° = 90°
∴ PR = PQ
⇒ ∠POQ = ∠POR = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
समकोण ΔOQP में,
tan 45° = \(\frac{P Q}{O Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{P Q}{4}\)
⇒ PQ = 4 सेमी
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 4.
निम्न चित्र में 7 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के बाहय बिंदु P से स्पर्श रेखा PT खींची गई है कि PT = 24 सेमी है। यदि O वृत्त का केन्द्र है, तो PR की लंबाई है:

(A) 30 सेमी
(B) 28 सेमी
(C) 32 सेमी
(D) 25 सेमी
हल:
समकोण ΔPTO में,
OP² = OT² + PT²
⇒ OP² = (7)² + (24)²
⇒ Op² = 49 + 576 = 625
⇒ OP = 25 सेमी
∴ PR = PO + OR
= (25 + 7) सेमी
= 32 सेमी
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 5.
निम्न आकृति में, O वृत्त का केन्द्र है। PQ एक जीवा है तथा PT, P पर एक स्पर्श रेखा है, जो PQ के साथ 50° का कोण बनाती है। ∠POQ का मान है:

(A) 130°
(B) 90°
(C) 100°
(D) 75°
हल:
∵ त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
∴ ∠OPT = 90°
∴ ∠OPQ + ∠QPT = 90°
⇒ ∠OPQ = 90° – 50° = 40°
∵ OP = OQ
⇒ ∠OQP = ∠OPQ = 40°
ΔPOQ में,
∠OQP + ∠OPQ + ∠POQ = 180°
⇒ 40° + 40° + ∠POQ = 180°
⇒ ∠POQ = 180° – 80° = 100°
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
एक वृत्त के केन्द्र से 13 सेमी दूरी पर स्थित एक बिन्दु Q से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा PQ की लम्बाई 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या (सेमी. में) है:
(A) 25
(B) \(\sqrt{313}\)
(C) 5
(D) 1
हल:
बाह्य बिन्दु Q से PQ वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा है तथा OP वृत्त की त्रिज्या है।

अतः ∠OPQ = 90° (प्रमेय 10.1 से)
समकोण त्रिभुज OPQ में,
OQ² = PQ² + OP² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ 13² = 12² + OP²
⇒ OP² = 13² – 12²
⇒ OP² = (13 + 12) (13 – 12)
⇒ OP² = 25
⇒ OP = \(\sqrt{25}\) = 5 सेमी.
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में AP, AQ तथा BC वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AB = 5 सेमी., AC = 6 सेमी. तथा BC = 4 सेमी है, तो AP की लम्बाई (सेमी. में) है:

(A) 7.5
(B) 15
(C) 10
(D) 9
हल चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
अत: BP = BD …..(1)
(बिन्दु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)
CQ = CD …..(2)
(बिन्दु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)
AP = AQ …..(3)
(बिन्दु A से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ) अब
AP = AB + BP ⇒ AP = 5 + BD ….. (4)
AQ = AC + CQ ⇒ AQ = 6 + CD ….. (5)
समी (4) तथा (5) को जोड़ने पर,
AP + AQ = 5 + BD + 6 + CD
⇒ AP + AP = 11 + BD + CD
[समी. (3) का प्रयोग करने पर]
⇒ 2AP = 11 + BC
⇒ 2AP = 11 + 4
⇒ 2AP = 15 ⇒ AP = 7.5 सेमी.
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 8.
यदि एक बाह्य बिन्दु P से एक O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB इस प्रकार खीची गई कि दोनों 80° के कोण पर झुकी है, तो ∠POA बराबर हैं:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल:
बिन्दु P से PA तथा PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा OA व OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
अत: AP ⊥ OA तथा PB ⊥ OB (प्रमेय 10.1 से)

∠OAP = 90°
तथा ∠OBP = 90°
अब ∠AOB + ∠APB = 180°
⇒ ∠AOB + 70° = 180°
⇒ ∠AOB = 180° – 80°
∴ ∠AOB = 100°
∵ OP रेखा, ∠AOB का समद्विभाजक है।
∠POA = \(\frac{\angle A O B}{2}=\frac{100^{\circ}}{2}\) = 50°
∴ ∠POA = 50°
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, एक चतुर्भुज ABCD के अन्तर्गत खींचा गया वृत्त, इसकी भुजाओं AB, BC, CD तथा AD को क्रमश: P, Q, R तथा S पर स्पर्श करता है। यदि वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी., BC = 38 सेमी. PB = 27 सेमी. तथा AD ⊥ CD है, तो CD की लम्बाई है:

(A) 11 सेमी
(B) 20 सेमी
(C) 21 सेमी
(D) 15 सेमी
हल:
बिन्दु D से DR तथा DS वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा OS व OR वृत्त की त्रिज्याएँ है।

AD⊥ OS तथा DR ⊥ OR (प्रमेय 10.1 से)
AD ⊥ CD (दिया है)
चतुर्भुज DROS में,
∠D + ∠R + ∠O + ∠S = 360°
⇒ 90° + 90° + ∠O + 90° = 360°
⇒ ∠O = 360° – 270° = 90°
इस प्रकार चतुर्भुज DROS में,
∠D = ∠R = ∠O = ∠S = 90°
तथा OS = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
अत: DROS एक वर्ग होगा।
अतः SD = DR = 10 सेमी
(बिन्दु D से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)
∵ बिन्दु B से BP व BQ वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ BP = BQ = 27 सेमी (प्रमेय 10.2 से)
CQ = BC – BQ
CQ = 38 – 27 = 11 सेमी
∵ बिन्दु C से CR व CQ वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ CR = CQ (प्रमेय 10.2 से)
⇒ CR = 11 सेमी
CD = CR + DR
⇒ CD = 11 + 19
⇒ CD = 21 सेमी
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 10.
किसी 5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के एक व्यास AB के पर स्पर्श रेखा XAY खींची गई है। XY के समान्तर 4 से 8 सेमी की दूरी पर, जीवा CD की लम्बाई है:
(A) 4 सेमी
(B) 5 सेमी
(C) 6 सेमी
(D) 8 सेमी
हल:
चूँकि X-AY वृत्त पर स्पर्श रेखा है तथा OA व OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

अत: XY ⊥ OA अर्थात् ∠XAO = 90° (प्रमेश 10.1 से)
∵ XY || CD (दिया गया है)
∴ ∠XAO + ∠OEC = 180°
⇒ 90° + ∠OEC = 180°
⇒ ∠OEC = 180° – 90° = 90°
AE = 8 सेमी
तथा AO = 5 सेमी (वृत्त की त्रिज्या)
∴ OE = AE – AO
= 8 – 5 = 3 सेमी
समकोण त्रिभुज OEC में,
OC² = OE² + CE² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ 5² = 3² + CE²
⇒ CE² = 5² – 3²
= 25 – 9 = 16
⇒ CE = \(\sqrt{16}\) = 4 सेमी
OE ⊥ CD
CE = ED
CD = 2 × CE = 2 × 4 = 8 सेमी
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 11.
यदि 60° पर झुकी दो स्पर्श रेखाएँ 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर खींची जाती हैं, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई है:
(A) 3 सेमी
(B) \(\frac{3}{2} \sqrt{3}\) सेमी
(C) 3\(\sqrt{3}\) सेमी
(D) 6 सेमी
हल:
माना बिन्दु P से PQ तथा PR वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं। OQ तथा OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

अतः PQ ⊥ OQ तथा PR ⊥ OR
अतः समकोण ΔPOQ तथा ΔPOR में
∠OQP = ∠ORP (प्रत्येक 90° है)
कर्ण PO = कर्ण PO (उभयनिष्ठ भुजा)
तथा OQ = OR (वृत्त की समान त्रिज्याएँ)
∴ ΔPOQ ≅ ΔPOR (समकोण कर्ण भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
⇒ ∠QPO = ∠RPO (CPCT)
⇒ ∠QPO = ∠RPO
= \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
अब समकोण ΔOQP में
tan 30° = \(\frac{O Q}{P Q}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{P Q}\)
⇒ PQ = 3\(\sqrt{3}\)
चूँकि बिन्दु P से PQ तथा PR वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं और हम जानते हैं कि वृत्त पर बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती है।
अत: PR = PQ
= 3\(\sqrt{3}\) सेमी.
अतः विकल्प (C) सही है।

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद

भूमिका :
पिछली कक्षाओं में हमने एक व्यंजक बहुपद तथा उनकी घातों, गुणनखंड तथा गुणक के बारे में पढ़ा है। स्मरण रहे कि P(x), x चर में एक बहुपद है P(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। उदाहरण के लिए, 4y² – 5y + 9, y चर में एक बहुपद है, जिसकी घात 2 है।
इस अध्याय में हम रैखिक तथा द्विघातीय बहुपदों के ज्यामितीय निरूपण (Geometrical Representation) और उनके शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ के साथ-साथ बहुपद के गुणांकों और शून्यांकों के बीच सम्बन्धों का अध्ययन करेंगे।

बहुपद के प्रकार :
→ एकपदी (Monomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल एक पद हो, एकपदी (monomial) कहते हैं:
जैसे : x², ax, 3x², a²x³, \(\frac{1}{2}\)x⁴ इत्यादि।

→ द्विपदी (Binomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल दो पद हों, द्विपदी (binomial) कहते हैं; जैसे: ax + b, 5x² + 3x, a²xⁿ + b इत्यादि ।

→ त्रिपदी (Trinomial) ऐसे बहुपद को जिसमें केवल तीन पद हों, त्रिपदी (trinomial) कहते हैं: जैसे 3x² + 5x – 7, ax² + bx + c, ….. इत्यादि।

→ शून्य बहुपद (Zero polynomial): यदि किसी बहुपद में सभी पदों के गुणांक शून्य हों तो वह शून्य बहुपद कहलाता है। जैसे : p(x) = 0.
एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद, दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद और तीन घातों वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।

→ बहुपद की घात (Power of polynomial) चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं।
उदाहरण के लिए: (i) बहुपद p(x) = x⁵ + 4x³ – 3x² + 2x – 3 में चर राशि x की उच्चतम घात का पद है। जिसका घातांक 5 है। अतः बहुपद की घात 5 होगी।
(ii) बहुपद p(y) = 3y³ + 4y² – y + 8 में चर राशि की उच्चतम घात का पद 3y3 है, जिसका घातांक 3 है। अतः बहुपद P(y) की घात 3 होगी।

→ अचर बहुपद (Costant Polynomial): शून्य घात वाला बहुपद नियतांक या अचर बहुपद कहलाता है।
जैसे: p(x) = 7, g(x) = –\(\frac{3}{2}\), h(y) = 2, p(t) = 1 इत्यादि में किसी भी चर की घात शून्य होगी। अत: इस प्रकार के बहुपद अचर बहुपद कहलाते हैं।

→ रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद रैखिक बहुपद कहलाता है।
जैसे: 2x + 3, \(\sqrt{3}\)x + 5, y + \(\sqrt{2}\), x – \(\frac{2}{11}\), 3t + 4 इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं।

→ द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात (Quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है जिसका अर्थ वर्ग अर्थात् घात 2 है।
जैसे : f(x) = 2x² + 3x – \(\frac{4}{5}\), g(y) = 2y² – 3
h(u) = 2 – u² + \(\sqrt{3}\)u, p(v) = \(\sqrt{3}\)v² – \(\frac{4}{3}\)v + \(\frac{1}{2}\), इत्यादि द्विघात बहुपद हैं जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।
व्यापक रूप से चर x में कोई द्विघात बहुपद f(x) = ax² + bx + c के रूप में होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a ≠ 0 है।

→ त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) : घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है।
जैसे : f(x)= \(\frac{9}{5}\)x³ – 2x² + \(\frac{7}{3}\)x – \(\frac{1}{5}\), g(x) = 2 – x³ तथा h(y) = 3y³ – 2y² + y + 1
चर x में एक त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप निम्न है :
f(x) = ax³ + bx² + cx + d, जहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ a ≠ 0 है।

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) : कुछ निश्चित चर तथा अचर राशियों के योग, अन्तर, गुणन, भाग इत्यादि के संयोग से बने पद को बीजीय व्यंजक कहते हैं।
उदाहरणार्थ : f(x) = x³ – 6x² + x + 9, f(x) = -3x² + 2x – 1 तथा f(x) = 4x + 3 इत्यादि
इस प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बहुपद (Polynomial) कहते हैं।
बहुपद : बीजीय व्यंजक के बहुपद होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूर्ण होनी चाहिए :
1. चर राशि का घातांक एक धनात्मक पूर्णांक हो।
2. पदों की संख्या निश्चित (सीमित) हो।
3. प्रत्येक पद में चर का गुणांक एक वास्तविक संख्या हो।
यदि x एक चर, प्राकृत संख्या और a₀, a₁, a₂, a₃, ….. a_n वास्तविक सख्याएँ हैं तो
p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + …… +a_nxⁿ
p(x) को चर x में एक बहुपद कहते हैं।
जहाँ a₀, a₁x, a₂x², a₃x³, …… इसके पद (Term) कहलाते हैं और a₀, a₁, a₂, a₃….. उनके गुणांक (Coefficient) कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए:
(i) p(x) = 3x – 2 [चर x में एक बहुपद है।]
(ii) q(y) = 3y² – 2y + 4 [चर y मेँ एक बहुपद है।]
(iii) f(u) = \(\frac{1}{2}\)u³ – 3u² + 2u – 4 [चर u में एक बहुपद है।]
क्योंकि इन सभी (i), (ii) एवं (iii) की घात धनात्मक पूर्णांक है तथा प्रत्येक पद में चर राशि का गुणांक एक वास्तविक संख्या है।

निम्न व्यंजकों पर ध्यान दीजिए:
(i) p(x) = 2x² – 3\(\sqrt{x}\) यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sqrt{x}\) या x^1/2 में x की घात \(\sqrt{2}\) है जो कि पूर्णांक नहीं है।
(ii) f(x) = \(\frac{1}{2 x^2-2 x+5}\) में भी x के घात धन पूर्णांक नहीं हैं अतः यह बहुपद नहीं है।
(iii) q(u) = x³ – \(\frac{1}{x^2}\) + 3 में \(\frac{1}{x^2}\) या x^-2 में x की घात -2 है, जो कि धन पूर्णाक नहीं है। अतः बहुपद नहीं है।

बहुपद का मान (Value of Poynomial): यदि f(x) चर x में एक बहुपद है और कोई वास्तविक संख्या है तो f(x) में x के स्थान पर α का मान रखने से प्राप्त वास्तविक संख्या बहुपद f(x) का x = α पर मान होगा और इसे f(α) द्वारा व्यक्त करते हैं।
जैसे: (i) f(x) = 2x² – 3x – 2 के x = 1 और x = -2 पर मान ज्ञात कीजिए ।
x = 1 पर, f(1) = 2(1)² – 3(1) – 2 = 2 × 1 – 3 × 1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3
x = -2 पर, f(-2) = 2(-2)² – 3(-2) – 2 = 2 × (+4) + 6 – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) यदि बहुपद f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 है, x = -1 पर बहुपद का मान ज्ञात कीजिए।

बहुपद के शून्यक (Zeroes of Polynomial) : यदि किसी बहुपद p(x) में चर x के स्थान पर a (एक वास्तविक संख्या) प्रतिस्थापित करने पर p(a) = 0 हो, तो को बहुपद p(x) का शून्यक (Zero) कहते हैं। अर्थात् किसी भी बहुपद के शून्यकं ज्ञात करने का अर्थ होता है समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
जैसे : (i) p(x) = 2x³ + 3x² + 3x + 2 का शून्यक ज्ञात करना है।
x = 0 पर, p(0) = 2(0)³ + 3(0)² + 3(0) +2
P(0) = 2 अर्थात p(0) ≠ 0
अत: शून्य, बहुपद p(x) का शून्यक नहीं है।
x = -1 पर, p(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 2 = – 2 + 3 – 3 + 2 = 0
P(-1) = 0
अत: -1 बहुपद p(x) का एक शून्यक है।

विशेष :
(i) प्रत्येक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक ही शून्यक होता है।
(ii) द्विघात बहुपद के दो शून्यक होते हैं।
(iii) त्रिघात बहुपद के तीन शून्यक होते हैं।
(iv) प्रत्येक बहुपद के वास्तविक शून्यक नहीं होते हैं।
जैसे : x² + a, x² + 2 तथा y² + y + 1 का कोई भी वास्तविक शून्यक नहीं है।
p(x) = x² + 6x + 15 का कोई शून्यक नहीं होता।
हल: माना कि p(x) = x² + 6x + 15
∴ p(x) = {x² + 2. (3). x + 9} + 6 = (x + 3)² + 6
यहाँ हम देखते हैं कि x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)² कभी भी ऋणात्मक मान ग्रहण नहीं कर सकता। अत: (x + 3)² का मान सदैव शून्य से बड़ा ही होगा। परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए p(x) का कोई शून्यक विद्यमान नहीं है।

बहुपद के आलेख एवं शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ :
बहुपद p(x) के ज्यामितीय आलेख को x अक्ष जिन बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है, उन बिन्दुओं के भुज या x-निर्देशांक बहुपद p(x) के शून्यक (zeroes) के रूप में जाने जाते हैं।
रैखिक बहुपद : व्यापक रूप में एक रैखिक बहुपद f(x) = ax + b, a ≠ 0 के लिए ग्राफ एक सरल रेखा प्राप्त होती है, जो x अक्ष को ठीक एक बिन्दु \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\) पर काटती है।
अत: रैखिक बहुपद p(x) = ax + b, a ≠ 0 का केवल एक शून्यक होगा क्योंकि बहुपद का आलेख x-अक्ष पर केवल एक बिन्दु पर काटता है।

(ii) द्विघात बहुपद : किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c, a ≠ 0 के लिए ग्राफ दो में से किसी एक आकार का हो सकता है या तो ऊपर की ओर खुला (∪ की तरह) अथवा नीचे की ओर खुला (∩ की तरह) का होता है जो कि a > 0 या a < 0 पर निर्भर करता है।
इन वनों को परवलय (Parabola) कहते हैं।
बहुपद ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक ठीक-ठीक उन बिन्दुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ बहुपद y = ax² + bx + c को निरूपित करने वाला ग्राफ (परवलय) x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
y = ax² + bx + c, के ग्राफ के आकार (परवलय) की तीन स्थितियाँ सम्भव हो सकती हैं।

स्थिति (I) : जब बहुपद ax² + bx + c के दो अलग-अलग गुणनखण्ड हैं:
इस स्थिति में ax² + bx + c का ग्राफ x-अक्ष को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं A और A’ पर प्रतिच्छेद करता है तो इन बिन्दुओं के x निर्देशांक बहुपद ax² + bx + c के दो शून्यक होते हैं।
परवलय y = ax² + bx + c के शीर्ष के निर्देशांक \(\left(\frac{-b}{2 a}, \frac{-D}{4 a}\right)\) हैं, जहाँ D = b² – 4ac है।

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध :
व्यापक रूप में, यदि द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक α और β हों, तो हम जानते हैं कि (x – α) और (x – β), p(x) के गुणनखण्ड होते हैं।
अतः ax² + bx + c = k(x – α) (x – β),
जहाँ k एक अचर है
= k[x² – (α + β)x + αβ]
ax² + bx + c = kx² – k(α + β)x + kαβ
दोनों पक्षों से x², x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = – k (a + B) और c = kαβ
इससे प्राप्त होता है, α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)

व्यापक रूप में, यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β और γ हों, तो हम जानते हैं कि (x – α), (x – β) और (x – γ) बहुपद के गुणनखण्ड होते हैं। अतः
ax³ + bx² + cx + d = k(x – α) (x – β) (x – γ), जहाँ k एक अचर है।
= k[{x² – (α + β)x + αβ} (x – γ)]
= k[x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
= kx³ – k(α + β + γ)x² + k (αβ + βγ + γλ) x – kλβγ
दोनों पक्षों से x³, x², x के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = -k(α + β + γ)
तथा c = k(αβ + βγ + γλ), d = -kαβγ
इससे प्राप्त होता है :

बहुपदों के लिए यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म :
माना कि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं, जहाँ g(x) ≠ 0 हो तो बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त किए जा सकते हैं कि
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ r(x) = 0 है अथवा r(x) की घात < g(x) की घात है।
उक्त परिणाम बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।