JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Exercise 7.4

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है।
हल:
माना ΔPQR समकोण त्रिभुज है, जिसमें
∠PQR = 90°
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परन्तु ∠PQR + ∠QRP + ∠RPQ = 180°
⇒ 90° + ∠QRP + ∠RPQ = 180°
⇒ ∠QRP + ∠RPQ = 90°
अत: ∠QRP तथा ∠RPQ न्यूनकोण होंगे।
अत: ∠QRP < 90° तथा ∠RPQ < 90°
∴ भुजा PR > भुजा PQ तथा भुजा PR > भुजा QR
[∵ बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है]
अतः समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है। इति सिद्धम्।

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प्रश्न 2.
आकृति में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिन्दुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही ∠PBC < ∠QCB है दर्शाइए कि AC > AB है।
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हल:
∠PBC < ∠QCB, (दिया है)
चूँकि ∠PBC, ΔABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠PBC = ∠ACB + ∠A
इसी प्रकार ∠QCB ΔABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠QCB = ∠ABC + ∠A
∵ ∠PBC < ∠QCB
∴ ∠ACB + ∠A < ∠ABC + ∠A
⇒ ∠ACB < ∠ABC
⇒ AC > AB
(∵ बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
आकृति में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D हैं। दर्शाइए कि AD < BC है।
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हल:
∠B < ∠A तथा ∠C < ∠D …..(i)
∴ AO < BO तथा OD < OC ….(ii)
[∵ बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है]
अतः AO + OD < BO + OC
∴ AD < BC (∵ AO + OD = AD तथा BO + OC = BO)
इति सिद्धम्।

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प्रश्न 4.
AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।
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हल:
दिया है: चतुर्भुज ABCD एक में AB सबसे छोटी तथा CD सबसे बड़ी भुजा है।
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रचना: AC तथा BD को मिलाया।
∵ AB, चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी भुजा है।
∴ ΔABC में, BC > AB
⇒ ∠8 > ∠3 ……(i)
[∵ बड़ी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है]
∵ CD, चतुर्भुज ABCD की सबसे बड़ी भुजा है।
∴ ΔACD में, CD > AD
⇒ ∠7 > ∠4 …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
∠8 + ∠7 > ∠3 + ∠4
⇒ ∠A > ∠C
पुन: ΔABD में AD > AB [∵ AB सबसे छोटी भुजा है]
⇒ ∠1 > ∠6 ….(iii)
ΔBCD में, CD > BC
[∵ CD सबसे बड़ी भुजा है]
∠2 > ∠5
समीकरण (iii) और (iv) जोड़ने पर,
∠1 + ∠2 > ∠5 + ∠6
⇒ ∠B > ∠D
∴ ∠A > ∠C और ∠B > ∠D.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करती है। सिद्ध कीजिए कि
∠PSR > ∠PSQ
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हल:
ΔPQR में, PR > PQ [दिया है]
या ∠PQR > ∠PRQ
[∵ बड़ी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है]
या ∠PQR + ∠1 > ∠PRQ + ∠1
[दोनों पक्षों में 21 जोड़ने पर]
या ∠PQR + ∠1 > ∠PRQ + ∠2 …..(i)
[∵ PS, ∠P का कोण समद्विभाजक है ∴ ∠1 + ∠2]
अब ΔPQS तथा ΔPSR में,
∠PQR + ∠1 + ∠PSQ = 180°
या ∠PQR + ∠1 = 180° – ∠PSQ
इसी प्रकार, ∠PRQ + ∠2 = 180° – ∠PSR
∴ 180° – ∠PSQ < 180° – ∠PSR [(i) से]
अर्थात् ∠PSR > ∠PSQ.
इति सिद्धम् ।

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प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी रेखा पर किसी बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखण्ड खींचे जा सकते हैं, उनमें लम्ब सबसे छोटा होता है।
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हल:
दिया है रेखाखण्ड X तथा बिन्दु O जो X पर स्थित नहीं है।
रचना : बिन्दु O से X पर लम्ब OL डाला X पर अन्य कोई बिन्दु M लिया। OM को मिलाया।
सिद्ध करना है : OL < OM
उपपत्ति : ΔOLM में ∠L = 90°
∴ ∠O + ∠L + ∠M = 180°
(त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग)
⇒ ∠O + 90° + ∠M = 180°
∠O + ∠M = 180° – 90° = 90°
स्पष्ट है ∠O तथा ∠M न्यून कोण हैं।
∴ ∠M < ∠L
∴ OL < OM
(बड़े कोण की सम्मुख भुजा)
इति सिद्धम्।

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