JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Exercise 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 मीटर, BC = 12 मीटर, CD = 5 मीटर और AD = 8 मीटर है। यह पार्क कितना क्षेत्रफल घेरे हुए है ?
हल:
विकर्ण BD खींचा जो चतुर्भुजाकार पार्क ABCD को दो ΔABD तथा ΔBCD में विभाजित करता हैं।

1. समकोण त्रिभुज BCD का
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) BC × CD
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × 5 = 30 वर्ग मीटर
2. ∵ BD, समकोण त्रिभुज BCD का कर्ण है।
∴ ΔBCD में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = BC² + CD²
= (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169 = (13)²
BD² = (13)²
∴ BD = 13 मीटर
तब ΔABD में, a = 9 मीटर, b = 8 मीटर व c = 13 मीटर

∴ पार्क का क्षेत्रफल = क्षे.फ. ΔBCD + क्षेत्रफल ΔABD
= 30 + 35.4 वर्ग मीटर
= 65.4 वर्ग मीटर
अतः पार्क का क्षेत्रफल = 65.4 वर्ग मीटर।

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी, CD = 4 सेमी, DA = 5 सेमी और AC = 5 सेमी है।
हल:
चित्रानुसार चतुर्भुज ABCD को विकणं AC
ΔABC व ΔACD में विभक्त करता है।


= 9.16 वर्ग सेमी या 9.2 वर्ग सेमी.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= 6.0 + 9.2 = 15.2 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
हवाई जहाज को पाँच भागों में बाँटा गया है। अतः प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।
आकृति I समद्विबाहु त्रिभुज है।
a = 5 सेमी, b = 5 सेमी तथा c = 1 सेमी

आकृति II आयत है।
आकृति II का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 6.5 सेमी × 1 सेमी
= 6.5 वर्ग सेमी
आकृति III समलम्ब चतुर्भुज है जिमसें समान्तर भुजाएँ 2 सेमी व 1 सेमी हैं और बराबर भुजाओं में से प्रत्येक 1 सेमी है।

2 सेमी की भुजा के मध्य-बिन्दु से ऊपर की समान्तर भुजाओं को जोड़कर आकृति को सेमी भुजा वाले 3 समबाहु त्रिभुजों में विभक्त किया गया है।
तब आकृति III का क्षेत्रफल
= 3 × 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

∴ पूरी आकृति का क्षेत्रफल = 2.5 + 6.5 + 1.3 + 9.0
= 19.3 वर्ग सेमी
अतः प्रयोग किये कागज का क्षेत्रफल = 19.3 वर्ग सेमी।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिभुज में a = 26 सेमी, b = 28 सेमी व c = 30 सेमी

∵ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
∴ 336 = 28 × ऊँचाई
∴ संगत ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\)
= 12 सेमी
अतः समान्तर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 सेमी।

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
हल:
विकर्ण समचतुर्भुज को समद्विभाजित करता है, अतः खेत का क्षेत्रफल त्रिभुज का क्षेत्रफल का दोगुना होगा।

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × 18 × 24 वर्ग मीटर
∴ 1 गाय को चरने के लिए क्षेत्रफल

= 2 × 24 m² = 48 वर्ग मीटर।

प्रश्न 6.
दो भिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सिलकर एक छाता बनाया गया है। प्रत्येक टुकड़े की माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?
हल:
∵ छाते में 2 रंग हैं और उसे 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों से सिला गया है।

∴ प्रत्येक रंग के 5 टुकड़े होंगे।
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की माप 20, 50 व 50 सेमी है।
∴ a = 20 सेमी, b = 50 सेमी तथा c = 50 सेमी
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}\)

अतः प्रयुक्त प्रत्येक रंग 1000\(\sqrt{6}\) वर्ग सेमी है।

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 सेमी विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
हल:
∵ वर्गाकार भाग का विकर्ण = 32 सेमी
और वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित भी करते हैं तथा वर्ग के विकर्ण समान होते हैं।

Δ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
भाग 1 का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16
= 256 वर्ग सेमी
भाग II का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16
= 256 वर्ग सेमी
भाग III में समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें a = 8 सेमी, b = 6 सेमी, c = 6 सेमी
s = \(\frac{a+b+c}{2}\)
= \(\frac{8+6+6}{2}\)
= \(\frac{20}{2}\) = 10 सेमी
∴ भाग III का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

= 8 × 2.236 वर्ग सेमी
= 17.88 वर्ग सेमी
अतः भाग I व भाग II प्रत्येक के कागज का क्षेत्रफल = 256 वर्ग सेमी तथा भाग III के लिए कागज का क्षेत्रफल = 17.88 वर्ग सेमी।

प्रश्न 8.
किसी फर्श पर एक फूलोंकी डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति सेमी² की दर से पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल की माप 9 सेमी, 28 सेमी व 35 सेमी है।

∴ a = 9 सेमी, b = 28 सेमी तथा c = 35 सेमी
s = \(\frac{a+b+c}{2}\)
= \(\frac{9+28+35}{2}\)
= \(\frac{72}{2}\) = 365 सेमी
∴ प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल

∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल
= 16 × 36\(\sqrt{6}\) = 576\(\sqrt{6}\) वर्ग सेमी
= 576 × 2.45 = 1.411.2 वर्ग सेमी
1 वर्ग सेमी पॉलिश का व्यय = 50 पैसे = \(\frac{1}{2}\) रु.
1411.2 वर्ग सेमी पॉलिश का व्यय = \(\frac{1}{2}\) × 1411.2
= 705.60 रु.
अतः टाइलों पर पॉलिश कराने का व्यय = 705.60 रु.

प्रश्न 9.
एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाओं की लम्बाई 25 मीटर और 10 मीटर तथा असमान्तर भुजाओं की लम्बाई 14 मीटर तथा 13 मीटर हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समलम्ब के आकार के खेत ABCD की समान्तर भुजा
BC = 25 मीटर
DA = 10 मी. तथा
AB = 13 मी.
CD = 14 मी.
D से DE || AB खींची जिससे ADEB एक समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है जिसमें DE = AB = 13 मीटर।

∵ BC = 25 मीटर और BE = AD = 10 मीटर
∴ EC = 25 – 10 = 15 मीटर
इस प्रकार समलम्ब दो भागों में विभक्त हो गया:
(1) एक समान्तर चतुर्भुज ADEB
(2) एक ΔCDE जिसकी भुजाएँ CD = 14 मीटर, DE = 13 मीटर व EC = 15 मीटर।
D से EC पर DF लम्ब डाला।
ΔCDE का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × EC × DF = \(\frac{1}{2}\) × 15 × DF
= \(\frac{15}{2}\) × DF वर्ग मीटर।
अब ΔCDE में,
a = 14 मीटर, b = 13 मीटर, c = 15 मीटर
∴ s = \(\frac{a+b+c}{2}\)
ΔCDE का अर्द्ध परिमाप s
s = \(\frac{14+13+15}{2}\) = \(\frac{42}{2}\) = 21 मीटर
∴ ΔCDE का क्षेत्रफल
= \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)}\)
= \(\sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6}\)
= \(\sqrt{3 \times 7 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\)
= 84 वर्ग मीटर।
तब ΔCDE के दोनों क्षेत्रफल समान होने चाहिए।
अतः \(\frac{15}{2}\) × DF = 84
∴ DF = \(\frac{84 \times 2}{15}=\frac{168}{15}\)
= 11.2 मीटर
समान्तर चतुर्भुज ADEB का क्षेत्रफल
= BE × DF
= 10 × 11.2 = 112 वर्ग मीटर
अत: समलम्ब ABCD का क्षेत्रफल
= समान्तर चतुर्भुज ADEB का क्षेत्रफल + ΔCDE का क्षेत्रफल
= (112 + 84) वर्ग मीटर
= 196 वर्ग मीटर।