# JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

## JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित के गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4 ) (x + 10)
(ii) (x + 8 ) (x – 10)
(iii) (3x + 4 ) (3x – 5)
(iv) $$\left(y^2+\frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right)$$
(v) (3 – 2x) (3 + 2x).
हल:
(i) (x + 4 ) (x + 10)
सर्वसमिका
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
= x2 + (4 + 10 )x + 10 × 4
= x2 + 14x + 40.

(ii) (x + 8) (x – 10)
सर्वसमिका
[(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab]
= x2 + (8 – 10)x + 8 × (-10)
= x – 2x – 80.

(iii) (3x + 4) (3x – 5) = 3x(3x – 5) + 4(3x – 5 )
= 9x2 – 15x + 12x – 20
= 9x2 – 3x – 20.

(iv) $$\left(y^2+\frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right)$$
सर्वसमिका
(a + b) (a – b) = (a)2 – (b)2 से
= (y2)2 – ($$\frac{3}{2}$$)2 = y4 – $$\frac{9}{4}$$

(v) सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 से
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96.
हल:
(i) सर्वसमिका
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) + ab
103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
= (100)2 + (3 + 7) (100) + 3 × 7
= 10000 + 1000 + 21
= 11021.

(ii) सर्वसमिका
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) + ab
95 × 96 = (100 – 5) (100 – 4)
= (100)2 + (- 5 – 4) (100) + (-5) × (-4)
10000 – 900 + 20 = 9120.

(iii) सर्वसमिका (a + b) (a – b) = a2 – b2
104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= (100)2 – (4)2
= 10000 – 16 = 9984.

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2
(ii) 4y2 – 4y + 1
(iii) x2 – $$\frac{y^2}{100}$$
हल:
(i) 9x2 + 6xy + y2
सर्वसमिका
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
= (3x)2 + 2 × 3x × y + (y)2
= (3x + y)2.

(ii) 4y2 – 4y + 1
सर्वसमिका a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
= (2y)2 – 2 × 2y × 1 + (1)2.
= (2y – 1)2.

(iii) x2 – $$\frac{y^2}{100}$$ = $$(x)^2-\left(\frac{y}{10}\right)^2$$
[सर्वसमिका a2 – b2 = (a + b)(a – b) से]
= $$\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)$$

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)2
(ii) (2x – y + z)2
(iii) (-2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2
(v) (-2x + 5y – 3z)2
(vi) $$\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^2$$
हल:
(i) (x + 2y + 4z)2
सर्वसमिका (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx से
= (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y) (4z) + 2(4z) (x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx.

(ii) (2x – y + z)2
सर्वसमिका (x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz + 2zx
= (2x)2 + (y)2 + (z)2 + 2(2x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(z) (2x)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4xz.

(iii) (-2x + 3y + 2z)2
सर्वसमिका (x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz + 2zx
= (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(-2x) (3y) + 2(3y) (2z) + 2(2z) (-2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx.

(iv) (3a – 7b – c)2
सर्वसमिका (x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz + 2zx
= (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2(3a) (-7b) + 2(-7b) (-c) + 2(-c) (3a)
= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ca.

(v) (-2x + 5y – 3z)2
सर्वसमिका (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x) (5y) + 2(5y) (-3z) + 2(-3z) (-2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx.

(vi) $$\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^2$$
सर्वसमिका (x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz + 2zx

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2$$\sqrt{2}$$xy + 4$$\sqrt{2}$$yz – 8xz
हल:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (-4z)2 + 2(2x) (3y) + 2(3y)(-4z) + 2(2x)(-4z)
सर्वसमिका [∵ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz = (x + y + z)2] से
= [2x + 3y + (-4z)]2
= (2x + 3y – 4z)2.

(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2$$\sqrt{2}$$xy + 4$$\sqrt{2}$$yz – 8xz
सर्वसमिका (x + y + z2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= ($$\sqrt{2}$$x)2 + (-y)2 + (-2$$\sqrt{2}$$z)2 + 2($$\sqrt{2}$$x) (-y) + 2(-y)(-2$$\sqrt{2}$$z) + 2($$\sqrt{2}$$x)(-2$$\sqrt{2}$$z)
= [$$\sqrt{2}$$x + (y) + (2$$\sqrt{2}$$z)]2
= ($$\sqrt{2}$$x – y – 2$$\sqrt{2}$$z)2

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखो :
(i) (2x + 1)3
(ii) (2a – 3b)3
(iii) $$\left[\frac{3}{2} x+1\right]^3$$
(iv) $$\left[x-\frac{2}{3} y\right]^3$$
हल:
(i) सर्वसमिका
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 से
(2x + 1)3 = (2x)3 + (1)3 + 3(2x)2 (1) + 3(2x) (1)2
= 8x3 + 1 + 12x2 + 6x
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1.

(ii) सर्वसमिका
(x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 से
(2a – 3b)3 = (2a)3 – (3b)3 – 3(2a)2 (3b) + 3(2a) (3b)2
= 8a3 – 27b3 – 36a2b + 54ab2
= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3.

(iii) सर्वसमिका
(x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2

(iv) सर्वसमिका
(x – y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3
(ii) (102)3
(iii) (998)3.
हल:
(i) सर्वसमिका
(x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y) से
∴ (99)3 = (100 – 1)3
= (100)3 – (1)3 – 3 × 100 × 1(100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300(99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299.

(ii) सर्वसमिका
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) से
(102)3 = (100 + 2)3
= (100)3 + (2)3 + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 × 102
= 1000000 + 8 + 61200
= 1061208.

(iii) सर्वसमिका
(x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y) से
(998)3 = (1000 – 2)3
(1000)3 – (2)3 – 3 × 1000 × 2(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000 × 998
= 1000000000 – 8 – 5988000
= 994011992.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
(v) 27p3 – $$\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4} p$$
हल:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
= 8a3 + b3 + 6ab(2a + b)
= (2a)3 + b3 + 3(2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)3
= (2a + b) (2a + b) (2a + b).

(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
= 8a3 – b3 – 6ab(2a – b)
= (2a)3 – b3 – 3(2a)(b)(2a – b)
= (2a – b)3
= (2a – b)(2a – b)(2a – b).

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
= 27 – 125a3 – 45a(3 – 5a)
= (3)3– (5a)3 – 3 × 3 × 5a(3 – 5a)
= (3 – 5a)3
= (3 – 5a) (3 – 5a) (3 – 5a).

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
= 64a3 – 27b3 – 36ab(4a – 3b)
= (4a)3 – (3b)3 – 3 × 4a × 3b(4a – 3b)
= (4a – 3b)3
= (4a – 3b) (4a – 3b) (4a – 3b).

(v) 27p3 – $$\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4} p$$

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2).
हल:
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
दायाँ पक्ष = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + y2x + yx2 – xy2+ y3
= x3 + y3 = बायाँ पक्ष। इति सिद्धम्

(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
दायाँ पक्ष = (x – y) (x2 + xy + y2)
= x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
= x3 – y3 = बायाँ पक्ष। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए:
(i) 27y3 + 125z3,
(ii) 64m – 343n3
हल:
(1) 27y3 + 125z3 = (3y)3 + (5z)3
सर्वसमिका
x2 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) से
= (3y + 5z) [(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2]
= (3y + 5z)(9y2 – 15yz + 25z2).

(ii) सर्वसमिका
x3 – y33 = (x – y) (x2 + xy + y2)
64m3 – 343n3 = (4m)3 – (7n)3
= (4m – 7n) [(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2]
= (4m – 7n)(16m2 + 28mn + 49n2).

प्रश्न 11.
गुणनखण्ड कीजिए :
27x3 + y3 – 9xyz.
हल:
27x3 + y3 + z3 – 9xyz
सर्वसमिका
x3 + y3 + z3(-3xyz) = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z) [(3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)y – yz – z(3x)]
= (3x + y + z)(9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx).

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x3 + y3 + z3 – 3xyz = $$\frac{1}{2}$$(x + y + z) [(x – y)2 + ( y – z)2 + (z – x)2]
हल:
दायाँ पक्ष = $$\frac{1}{2}$$(x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
= $$\frac{1}{2}$$(x + y + z)(x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2)
= $$\frac{1}{2}$$(x + y + z)(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
[∵ a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)]
सर्वसमिका से
= x3 + y3 + z3 – 3xyz
= बायाँ पक्ष इति सिद्धम् ।

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है।
हल:
दिया है, x + y + z = 0 ⇒ x + y = -z
दोनों पक्षों का घन लेने पर,
(x + y)3 = (-z)3
⇒ x3 + y3 + 3xy(x + y) = -z3 (∵ x + y = -z)
⇒ x3 + y3 + 3xy(-z) = -z3
⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz, इति सिद्धम्।

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3.
हल:
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
माना x = -12, y = 7, z = 5
यदि x + y + z = 0, तो x3+ y3 + z3 = 3xyz
⇒ -12 + 7 + 5 = 0
∵ सर्वसमिका x3 + y3 + z3 = 3xyz से
∴ (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × 3(-12) × 7 × 5
= -1260.

(ii) 283 + (-15)3 + (-13)3
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
अतः 283 + (-15)3 + (-13)3
= 3 × 28 × (-15) × (-13 )
= 16380.

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक दीजिए:

हल:
आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्षेत्रफल के गुणनखण्ड होंगे।
(i) आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
क्षेत्रफल = 25a2 – 35a + 12
= 25a2 – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) – 4(5a – 3)
= (5a – 3) (5a – 4)
∴ यदि लम्बाई (5a – 3) तो चौड़ाई = (5a – 4) तो चौड़ाई
और यदि लम्बाई = (5a – 4) तो चौड़ाई = (5a – 3) इकाई

(ii) क्षेत्रफल 35y2 + 13y – 12
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)
∴ यदि लम्बाई = (5y + 4) तो चौड़ाई = (7y – 3) तो चौड़ाई
इकाई और यदि लम्बाई = (7y – 3) तो चौड़ाई = (5y + 4) इकाई.

प्रश्न 16.
घनाभ (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?

हल:
संभवत: घनाभों की भुजाएँ आयतन के गुणनखण्ड होंगे।
घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
(i) आयतन = 3x2 – 12x = 3x(x – 4)
= 3 × x × (x – 4)
अतः संभवत: घनाभ की भुजाएँ क्रमश: 3, x और (x – 4) इकाई हैं।

(ii) आयतन = 12ky2 + 8ky – 20k
= 4k(3y2 + 2y – 5)
= 4k[3y2 + 5y – 3y – 5]
= 4k[(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k(3y + 5) (y – 1)
= 4k × (3y + 5) × (y – 1)
अतः सम्भवत: घनाभ की भुजाएँ क्रमश: 4k, (3y + 5) और (y – 1) हैं।