Jharkhand Board JAC Class 9 Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
JAC Board Class 9 Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.3
प्रश्न 1.
दो घरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y.
हल:
(i) दिया गया समीकरण
x + y = 4 ⇒ y = 4 – x
x = 0 के लिए, y = 4 – 0 = 4
x = 2 के लिए, y = 4 – 2 = 2
x = 4 के लिए, y = 4 – 4 = 0
सारणी:
| x | 0 | 2 | 4 |
| y | 4 | 2 | 0 |
बिन्दुओं (0, 4) (2, 2) तथा (4, 0) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करके मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(ii) दिया गया समीकरण x – y = 2 ⇒ y = x – 2
x = 0 के लिए, y= 0 – 2 = -2
x = 2 के लिए, y = 2 – 2 = 0
x = 4 के लिए, y = 4 – 2 = 2
सारणी :
| x | 0 | 2 | 4 |
| y | -2 | 0 | 2 |
बिन्दुओं (0, -2), (2, 0) और (4, 2) को ग्राफ पर निरूपित करके मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(iii) दिया गया समीकरण y = 3x
जब x = 0 हो, तो y = 3 × 0 = 0
जब x = 1 हो, तो y = 3 × (-1) = -3
सारणी :
| x | 0 | 1 | -1 |
| y | 0 | 3 | -3 |
बिन्दुओं (0, 0) (1, 3) और (-1, -3) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करके मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(iv) दिया गया समीकरण
3 = 2x + y ⇒ y = 3 – 2x
x = 0 के लिए, y = 3 – 2(0) = 3
x = 3 के लिए, y = 3 – 2 (3) = -3
x = -1 के लिए, y = 3 – 2 (-1) = 5
सारणी:
| x | 0 | 3 | -1 |
| y | 3 | -3 | 5 |
बिन्दुओं (0, 3), (3, 3) और (-1, 5) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करके मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
प्रश्न 2.
बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं ?
हल:
बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण 7x – y = 0 तथा x + y = 16 है।
एक बिन्दु से अनन्त रेखाएं खींची जा सकती हैं। अतः वे समस्त रेखाएँ जो बिन्दु (2, 14) द्वारा सन्तुष्ट हो सकती हैं इस बिन्दु से खींची जा सकती हैं। इनकी संख्या अपरिमित रूप से अनेक होगी।
प्रश्न 3.
यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है।
बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 को सन्तुष्ट करेगा।
समीकरण में x = 3, y = 4 रखने पर
3(4) = a(3) + 7
12 = 3a + 7
3a = 5 ∴ a = \(\frac{5}{3}\)
अतः a = \(\frac{5}{3}\) बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 पर स्थित है।
प्रश्न 4.
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया ₹8 है उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया ₹5 है। यदि तय की गई दूरी किलोमीटर हो और कुल किराया ₹y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल:
पहले किलोमीटर के लिए टैक्सी का किराया = ₹ 8 रुपये
अगले किलोमीटर के लिए टैक्सी का किराया = ₹ 5 प्रति किमी
कुल किराया = ₹ y
कुल दूरी = x किमी
अतः दो चरों का रैखिक समीकरण है:
y = 8 × 1 + 5 (x – 1)
⇒ y = 8 + 5x – 5
⇒ y = 5x + 3
अतः रैखिक समीकरण 5x – y + 3 = 0
यदि x = 0 हो, तो 5(0) – y + 3 = 0 ∴ y = 3
यदि x = -1 हो, तो 5 (-1) – y + 3 = 0
या – 5 – y + 3 = 0 ∴ y = -2
यदि x = 2 हो, तो 5(-2) – y + 3 = 0
या -10 – y + 3 = 0 ∴ y = -7
सारणी:
| x | 0 | -1 | -2 |
| y | 3 | -2 | -7 |
बिन्दुओं (0, 3), (-1, -2) और (-2, -7) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करके मिलाने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिये गये विकल्पों में से सही समीकरण का चयन कीजिए:
आकृति 1 के लिए
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x
आकृति II के लिए
(i) y = x + 2
(ii) y = x – 2
(iii) y = – x + 2
(iv) x + 2y = 6
हल:
(i) आकृति I में बिन्दु (-1, 1), (0, 0) और (1, -1) एक सरल रेखा पर स्थित है अतः ये बिन्दु रैखिक समीकरण x + y = 0 को सन्तुष्ट करते हैं। अत: विकल्प (ii) सही है।
(ii) आकृति II में बिन्दु (-1, 3), (0, 2) और (2, 0) एक सरल रेखा पर स्थित हैं। अतः ये बिन्दु रैखिक समीकरण y = – x + 2 को सन्तुष्ट करते हैं। अतः विकल्प (iii) सही
प्रश्न 6.
एक अचर बल लगाने पर एक पिण्ड द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी (i) 2 मात्रक, (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अचर बल लगाने पर पिण्ड द्वारा किया
गया कार्य = y
पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी = x
प्रश्नानुसार, समीकरण y = 5x
यदि x = 0 हो, तो y = 5(0) = 0
यदि x = 1 हो, तो y = 5(1) = 5
यदि x = – 1 हो, तो y = 5(-1) = -5
सारणी :
| x | 0 | 1 | -1 |
| y | 0 | 5 | -5 |
ग्राफ से स्पष्ट है:
(i) यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी 2 इकाई हो अर्थात्
x = 2 तब y = 10
∴ किया गया कार्य = 10 इकाई।
(ii) पिण्ड द्वारा तय की गयी दूरी 0 इकाई हो अर्थात्
x = 0 तब y = 0
∴ किया गया कार्य = 0 होगा।
प्रश्न 7.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकम्प पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में ₹ 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को सन्तुष्ट करता हो (आप उनका अंशदान ₹x और ₹y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल:
माना कि यामिनी तथा फातिमा का प्रधानमंत्री राहत कोष में योगदान क्रमश: x रुपये तथा 3 रुपये है।
∴ ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए रैखिक समीकरण x + y = 100 या y = 100 – x
अत: यदि x = 0, तब y = 100 – 0 = 100
यदि x = 100, तब y = 100 – 100 = 0
यदि x = 50, तब y = 100 – 50 = 50
इन मानों के लिए सारणी इस प्रकार है:
| x | 0 | 100 | 50 |
| y | 100 | 0 | 50 |
पैमाना X-अक्ष और Y-अक्ष पर
माना 1 सेमी = ₹ 20
बिन्दुओं (0,100) (50, 50) और (100, 0) से होकर जाने वाली एक सरल रेखा प्राप्त होती है जो रैखिक समीकरण x + y = 100 को सन्तुष्ट करती है।
प्रश्न 8.
अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:
F = \(\left(\frac{9}{5}\right)^{\circ} \mathrm{C}+32\)
(i) सेल्सियस को X-अक्ष और फारेनहाइट को Y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा ?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा ? और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है ? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) F = \(\left(\frac{9}{5}\right)^{\circ} \mathrm{C}+32\)
⇒ C = \(\frac{5}{9}\) (F – 32)
जब C = -40, तब
F = \(\frac{9}{5}\) × (-40) + 32 = – 72 + 32 = -40
जब C = 10. तब
F = \(\frac{9}{5}\) × 10 + 32 = 18 + 32 = 50
उपरोक्त मानों की सारणी निम्न है-
| C | -40 | 10 |
| F | -40 | 50 |
हम X-अक्ष पर सेल्सियस ताप तथा Y-अक्ष पर फारेनहाइट प्रदर्शित करते हुए बिन्दुओं (-40, -40) तथा (10, 50) को अंकित करते हैं। इन बिन्दुओं को मिलाने पर हमें F = \(\frac{9}{5}\)C + 32 का ग्राफ प्राप्त होता है।
(ii) ग्राफ से स्पष्ट है कि जब C = 30°, तब F = 86°
अतः 30°C – 86°F.
(iii) ग्राफ से स्पष्ट है कि जब F = 95°, तब C = 35°
अतः 95°F – 35°C.
(iv) तथा 0°C = 32°F तथा 0°F = -17.8°C
(v) ग्राफ से स्पष्ट है कि वह तापमान जो संख्यात्मक रूप से फारेनहाइट तथा सेल्सियस में बराबर है वह -40° है अर्थात्
-40°C = -40°F.